第10讲 指数与对数的运算
指数函数与对数函数的运算
指数函数与对数函数的运算指数函数与对数函数的运算是高等数学中一种重要的数学运算方法。
指数函数是一种以底数为常数，指数为变量的函数，表示为f(x) = a^x，其中a为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，表示为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。
指数函数与对数函数之间存在一种特殊的运算关系，即指数函数和对数函数是互为反函数的。
这意味着，对于任意的底数a和指数x，有a^log_a(x) = x，以及log_a(a^x) = x。
这一性质使得指数函数和对数函数可以进行运算，并且能够相互抵消。
一、指数函数的运算性质指数函数的运算包括指数相加、指数相减、指数相乘以及指数的幂运算等。
下面将一一介绍这些运算性质。
1. 指数相加：对于相同底数a，两个指数相加的结果等于将底数相乘，指数相加的结果为b^x1*b^x2 = b^(x1+x2)。
例如，2^3 * 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
2. 指数相减：对于相同底数a，两个指数相减的结果等于将底数相除，指数相减的结果为b^x1/b^x2 = b^(x1-x2)。
例如，5^8 / 5^3 = 5^(8-3) = 5^5。
3. 指数相乘：对于相同底数a，两个指数相乘等于底数为b，指数为(x1*x2)的指数函数，即(b^x1)^x2 = b^(x1*x2)。
例如，(6^3)^2 =6^(3*2) = 6^6。
4. 指数的幂运算：指数的幂运算即多次将相同的底数相乘，指数的幂运算的结果为(b^x)^n = b^(x*n)。
例如，(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8。
二、对数函数的运算性质对数函数的运算包括对数相加、对数相减、对数相乘以及对数的幂运算等。
下面将一一介绍这些运算性质。
1. 对数相加：对于相同底数a，两个对数相加的结果等于将指数相加，对数相加的结果为log_a(x1) + log_a(x2) = log_a(x1*x2)。
例如，log_2(4) + log_2(8) = log_2(4*8) = log_2(32)。
暑期备课笔记-高一数学第10讲：对数运算(教师版)
第10讲 对数运算1.一般的，我们把“以a 为底y 的对数x ”记作x=log a y （a ＞0且a ≠1），其中，数a 叫做对数的底数，y 叫做真数，读作“x 等于以a 为底y 的对数”。
2.根据对数的定义，可以得到对数恒等式：log a yay =。
3.对数log a N （a ＞0且a ≠1）具有下列性质：①零和负数没有对数，即N ＞0；②1的对数为零，即log a 1=0；③底的对数等于1，即log a a=1。
4.对数log a N （a ＞0且a ≠1），当底数①a=10时，叫做常用对数，记作lgN ；②a=e 时，叫做自然对数，记作lnN 。
e 为无理数，e ≈2.71828。
5.对数的运算性质：①log a (MN)=log a M+log a N ；②log aM N=log a M-log a N ；③log a N m=nlog a N 。
6.对数的换底公式：log a b=log log c c ba（a ＞0且a ≠1，c ＞0且c ≠1，b ＞0）。
推论：①log log m na a nN N m =，②log a b=1log b a（a 、b ＞0且a 、b ≠1）。
例1 求下列各式中的x 的取值范围：（1）lo ）（2x g 1-x +；（2）lo ）（2x g 2x ++=1 解析 （1）由101120x x x -⎧⎪-≠⎨⎪+⎩＞＞，解得x ∈(1,2)∪(2,+∞)（2）由x+2＞0且x+2≠1，解得x ∈(-2,-1)∪(-1,+∞) 例2 求下列各式中的x ：（1）x=91log 27；（2））（x log log 65=0；（3）x log 21=-4；（4）223log x +（）=-2；（5）27log x =-3；（6）2log x=-32解析 （1）x=322733122log log 3log 3933--===-； （2）∵）（x log log 65=0，∴log 6x=1，∴x=6； （3）∵x log 21=-4，∴41()162x -==；（4）原式等价于23x -=+1x =；（5）原式等价于x -3=27，∴13x =； （6）原式等价于232x -==例3 已知θ=45º，则（θcos 1θθcos log cos 1）= 。
指数和对数的运算公式
指数和对数的运算公式指数和对数是数学中常用的运算方法。
指数是表示某个数的乘方，而对数是指数的逆运算。
在实际应用中，指数和对数可以用来简化大数的运算、求解方程和表示科学计数法等。
本文将介绍指数和对数的运算公式及其应用。
一、指数运算公式1.指数的乘法公式当a、b为非零实数，m、n为任意实数时，有以下公式：a^m × a^n = a^(m+n)由此可以得出，指数相同的两个数相乘，可以将它们的底数保持不变，指数相加即可。
例如，2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128。
2.指数的除法公式当a、b为非零实数，m、n为任意实数且m > n时，有以下公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)由此可以得出，指数相同的两个数相除，可以将它们的底数保持不变，指数相减即可。
例如，4^5 ÷ 4^2 = 4^(5-2) = 4^3 = 64。
3.指数的幂公式当a为非零实数，m为任意实数时，有以下公式：(a^m)^n = a^(m×n)由此可以得出，指数的幂可以先求出底数的幂，再将其指数相乘。
例如，(3^2)^3 = 3^(2×3) = 3^6 = 729。
二、对数运算公式1.对数的定义对数是指数的逆运算，其中指数称为对数的底数。
例如，以10为底的对数可以表示为log10，即log10x表示以10为底，x的对数。
2.对数的换底公式当a、b为非零实数，且a ≠ 1时，有以下公式：loga b = logc b ÷ logc a由此可以得出，将一个数的对数从一种底数换成另一种底数时，可以将该数的对数除以旧底数的对数，再用新底数的对数乘以结果。
例如，log2 8 = log10 8 ÷ log10 2 ≈ 3。
三、指数和对数的应用1.简化大数的运算指数和对数可以用来表示大数和小数，从而简化它们的运算。
例如，用指数表示1,000,000,000可以写成10^9，用对数表示0.0000001可以写成log10 10^-7。
指数与对数的计算
指数与对数的计算指数与对数是数学中常见的计算方法，它们具有广泛的应用。
本文将介绍指数和对数的概念及其相关计算方法，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、指数的计算方法指数是数学中重要的运算符号，它表示一个数的重复乘积。
指数运算的定义如下：设a为一个实数，n为一个正整数，则a的n次方（记作a^n）表示a连乘n次的结果。
指数运算的计算方法如下：1. 两个数的指数运算若a和b都是正实数，m和n都是正整数，则有以下计算规则：（a^m）^n = a^(m×n) （a的m次方的n次方等于a的m×n次方）（a^m）×（b^m） =（ab）^m （a的m次方乘以b的m次方等于ab的m次方）2. 指数运算的特殊情况当指数为0时，a^0=1。
（任何非零数的0次方等于1）当指数为1时，a^1=a。
（任何数的1次方等于它本身）当底数为1时，1^n=1。
（任何数的n次方等于它本身）二、对数的计算方法对数是指数运算的逆运算，它用于求解指数方程。
对数运算的定义如下：设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，则log_a(b)表示满足a^x=b的实数x，称为以a为底b的对数。
对数运算的计算方法如下：1. 对数的运算规则对数运算具有以下规则：log_a(b×c) = log_a(b) + log_a(c) （对数的乘法规则）log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c) （对数的除法规则）log_a(b^k) = k × log_a(b) （对数的幂次规则）2. 常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(b)或lg(b)。
自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数，记作ln(b)。
三、指数与对数的应用指数和对数在数学以及众多领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是数学中常见的函数形式。
指数与对数的计算知识点总结
指数与对数的计算知识点总结1、引言指数与对数是数学中重要的概念和运算方法，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
掌握指数与对数的计算知识点对于解决实际问题和提高数学能力具有重要意义。
本文将对指数与对数的运算规则和常见应用进行总结和归纳。
2、指数运算2.1 指数的定义在数学中，指数是表示某个数的幂次方的表达方式。
例如a的n次方可以表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
2.2 指数的运算规则（1）底数相同，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)（2）指数相同，底数相乘：a^m * b^m = (ab)^m（3）指数相同，底数相除：a^m / b^m = (a/b)^m（4）指数相减，底数相除：a^m / a^n = a^(m-n)（5）指数为0，结果为1：a^0 = 1（6）指数为1，结果为自身：a^1 = a3、对数运算3.1 对数的定义对数是指数的逆运算，描述了一个数用什么指数幂可以得到另一个数。
例如log_a(x) = y，表示a的y次方等于x。
3.2 常见的对数类型（1）自然对数：底数为常数e的对数，记作ln(x)，其中e约等于2.71828。
（2）常用对数：底数为10的对数，记作log(x)。
（3）二进制对数：底数为2的对数，常用于计算机科学中。
（4）其他底数的对数：根据实际需求，可以使用任意底数的对数。
3.3 对数的运算规则（1）对数与指数的关系：log_a(a^x) = x，即对数和指数可以互相抵消。
（2）对数的乘法：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)（3）对数的除法：log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)（4）对数的幂运算：log_a(x^y) = y * log_a(x)4、指数和对数的应用4.1 科学计数法科学计数法是一种使用指数表示大数或小数的表示方法，常用于表示较大或较小的物理量、天文距离、化学反应等。
例如，1光年约等于9.461×10^15米。
理解指数与对数的运算法则
理解指数与对数的运算法则指数与对数是数学中的重要概念，它们具有广泛而深远的应用。
理解指数与对数的运算法则对于解决数学问题、进行科学计算以及理解自然现象等方面都具有重要意义。
本文将详细介绍指数与对数的定义、性质和运算法则，帮助读者更好地理解并应用它们。
一、指数的基本定义和性质指数是数学中描述重复乘方操作的一种运算符号。
在指数运算中，指数表示要重复乘的因子，底数表示需要被重复乘的数。
指数运算可以简化大量重复的乘法操作，使数的表示更加简洁。
指数运算有以下基本性质：1. 相同底数的指数相乘，底数保持不变，指数相加。
即，a^m × a^n = a^(m+n)；2. 底数相同，指数相减，相当于两个数的乘除运算。
即，a^m / a^n = a^(m-n)；3. 指数为零的数等于1。
即，a^0 = 1；4. 指数为负数的数等于它的倒数的相应指数。
即，a^(-n) = 1 / a^n。
二、对数的基本定义和性质对数是指数运算的逆运算。
对数可以将指数运算转化为简单的加减运算，方便了数的比较和计算。
对数运算有以下基本性质：1. 对数的基数必须是一个大于0且不等于1的数。
记作loga(b) = c，其中a为对数的基数，b为被求对数的数，c为结果；2. 当b为1时，任何实数的对数是0，即loga(1) = 0；3. 当b等于对数的基数a时，对数运算的结果为1，即loga(a) = 1；4. 对数运算满足乘法法则，即loga(b * c) = loga(b) + loga(c)；5. 对数运算满足除法法则，即loga(b / c) = loga(b) - loga(c)；6. 对数运算满足指数法则，即loga(b^m) = m * loga(b)，其中m为任意实数；7. 对数运算满足换底公式，即loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意与a、b都不相等且大于0的数。
三、指数与对数的运算法则在实际应用中，我们常常需要同时使用指数和对数的运算法则。
指数函数与对数函数的运算规则
指数函数与对数函数的运算规则指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学运算中具有特殊的规则和性质。
本文将介绍指数函数与对数函数的运算规则，并通过例题来说明。
无论是指数函数还是对数函数，它们的运算规则都是基于指数和对数的性质来推导和应用的。
下面我们将分别介绍指数函数与对数函数的运算规则。
一、指数函数的运算规则指数函数的基本形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，f(x)为函数值。
指数函数的运算规则主要包括指数相等、指数相加、指数相减以及指数与幂运算的关系。
1. 指数相等规则若a^x = a^y，其中a为正实数且a≠1，那么x = y。
这意味着若两个指数函数的底数相同，并且它们的函数值相等，那么它们的指数也必须相等。
2. 指数相加规则若a^x * a^y = a^(x+y)，其中a为正实数且a≠1，那么对于指数函数来说，底数相同的情况下，指数相加等于两个函数的乘积的指数。
即a的x次方和a的y次方相乘等于a的x+y次方。
3. 指数相减规则若a^x / a^y = a^(x-y)，其中a为正实数且a≠1，那么对于指数函数来说，底数相同的情况下，指数相减等于两个函数的商的指数。
即a的x次方除以a的y次方等于a的x-y次方。
4. 指数与幂运算的关系指数和幂运算之间有一个重要的关系，即a^x = b可以化简为x = log(a, b)，其中a为正实数且a≠1，b为正实数。
这个关系表明，若底数为a的指数函数的函数值等于b，那么它的指数可以表示为以a为底、b为函数值的对数。
二、对数函数的运算规则对数函数的基本形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为函数值，f(x)为对数。
对数函数的运算规则主要包括底数相等、底数之积等于函数值以及底数之商等于函数值。
1. 底数相等规则若loga(x) = loga(y)，其中a为正实数且a≠1，那么x = y。
这意味着若两个对数函数的底数相同，并且它们的对数值相等，那么它们的函数值也必须相等。
人教版高数必修一第10讲：对数与对数运算(教师版)
对数与对数运算__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
二、对数运算性质：如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：log ()log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N=- log log () n a a M n M n R =∈特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。
指数和对数的概念和运算法则
指数和对数的概念和运算法则指数和对数是数学中重要的概念和运算法则。
它们在代数、几何和科学计算等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍指数和对数的定义、性质以及它们的运算法则。
一、指数的概念和运算法则指数是表示一个数自乘多少次的运算，也可以看作是幂运算的简化形式。
指数的定义如下：对于正整数n和非零实数a，a的n次方记作a^n（读作“a的n次方”），其中a称为底数，n称为指数。
当n为正整数时，a^n表示a连乘n次，即a^n = a × a × ... × a（共n个a相乘）；当n为0时，a^0定义为1；当n为负整数时，a^n定义为a的倒数的|n|次方，即a^n = 1 / (a^|n|)。
指数有以下重要的运算法则：1. 相同底数幂的乘法法则：a^m × a^n = a^(m + n)。
即相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
2. 相同底数幂的除法法则：a^m / a^n = a^(m - n)。
即相同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
3. 幂的乘法法则：(a^m)^n = a^(m × n)。
即幂的指数乘法，指数相乘。
4. 幂的乘方法则：(a × b)^n = a^n × b^n。
即幂的乘方，底数和指数分别相乘。
二、对数的概念和运算法则对数是指数运算的逆运算，用来求解幂运算中的指数。
对数的定义如下：对于正实数a、b（a ≠ 1）和正整数n，满足a^n = b时，称n为以a为底b的对数，记作n = logₐb。
其中a称为底数，b称为真数，n称为对数。
对数有以下重要的运算法则：1. 对数的乘法法则：logₐb × logₐc = logₐ(b × c)。
即对数相乘，等于真数相乘后求以同样底数的对数。
2. 对数的除法法则：logₐb / logₐc = logc(b)。
即对数相除，等于真数求以同样底数的对数后再相除。
3. 对数的换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)。
指数与对数的运算总结
指数与对数的运算总结指数和对数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
通过对指数和对数的运算规则的学习和掌握，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本文将总结指数和对数的运算规则，并通过例子来说明其应用。
一、指数的运算规则指数运算是指以某个数为底数，用整数表示的运算。
以下是指数运算的几个重要规则：1.指数和底数相等时，结果为1当指数和底数相等时，即a^a，结果为1。
例如：2^2 = 42.指数相同，底数相乘当指数相同时，底数相乘。
例如：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 2163.指数相同，底数相除当指数相同时，底数相除。
例如：8^2 ÷ 4^2 = (8 ÷ 4)^2 = 2^2 = 44.指数相加，底数不变当指数相加时，底数不变。
例如：6^2 × 6^3 = 6^(2 + 3) = 6^5 = 77765.指数相减，底数不变当指数相减时，底数不变。
例如：25^3 ÷ 25^2 = 25^(3 - 2) = 25^1 = 25二、对数的运算规则对数是指底数的几次方等于一个数的运算，常用的对数有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
以下是对数运算的几个重要规则：1.乘法转换成加法对数的乘法可以转换成对数的加法。
例如：log(a × b) = log(a) + log(b)2.除法转换成减法对数的除法可以转换成对数的减法。
例如：log(a ÷ b) = log(a) - log(b)3.指数转换成乘法对数中的指数可以转换成乘法。
例如：log(a^b) = b × log(a)4.对数运算与指数运算相反对数运算与指数运算相反。
例如：log(a^b) = b × log(a) 等价于 a^b = 10^(b × log(a))三、指数和对数的应用指数和对数在实际问题中有广泛的应用。
10对数与对数函数
3.换底公式及常见结论 log a N (a, b 0且a, b 1, N 0). 1 换底公式 : logbN log a b
2 常见结论(其中a, b, c 0且a, b, c 1);
第十讲对数与对数函数
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1.对数概念 (1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数, 记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数性质
①零和负数没有对数,即N>0; ②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1); ③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1). (3)对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).
答案:B
2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p 的大小关系为() A.n>m>pB.m>p>n C.m>n>pD.p>m>n
解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;
又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+1>2a>0.因为a>1,所以函数 y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以 loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故选B. 答案:B
[解]原式 log 22 3 log 23 3 log 3 2 log 32 2 log 1 2
指数与对数函数的运算与性质
指数与对数函数的运算与性质指数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍指数与对数函数的运算规则和性质，帮助读者更好地理解和应用这两个函数。
一、指数函数的运算与性质指数函数的定义形式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的运算规则包括以下几个方面：1. 指数相加规则当底数相同时，指数可以进行相加。
例如，对于指数函数y=2^x和y=2^y，可以得到y=2^(x+y)。
这个规则在计算指数函数的和或差时非常有用。
2. 指数相乘规则当底数相同时，指数可以进行相乘。
例如，对于指数函数y=2^x和y=2^y，可以得到y=(2^x)^y，进一步化简为y=2^(xy)。
这个规则在计算指数函数的乘积或幂次时非常有用。
3. 指数的负指数规则对于正实数a和整数m，有a^(-m)=1/(a^m)。
这个规则为计算负指数的指数函数提供了方便。
4. 指数为零规则对于任意正实数a，有a^0=1。
这个规则说明任何数的零次幂都等于1。
除了上述运算规则，指数函数还有以下几个性质：1. 指数函数的图像当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现衰减趋势。
指数函数的图像通常是一条平滑的曲线。
2. 指数函数的性质指数函数的性质包括：对于任意正实数a，有a^x>0；当x1时，a^x2>a^x1。
二、对数函数的运算与性质对数函数的定义形式为y=loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
对数函数的运算规则包括以下几个方面：1. 对数的乘法规则loga(xy)=loga(x)+loga(y)。
这个规则为计算对数函数的乘积提供了方便。
2. 对数的除法规则loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。
这个规则为计算对数函数的商提供了方便。
3. 对数的指数规则loga(x^m)=m*loga(x)。
这个规则为计算对数函数的幂次提供了方便。
除了上述运算规则，对数函数还有以下几个性质：1. 对数函数的图像对数函数的图像通常是一条平滑的曲线，且在x轴的正半轴上逐渐增加。
对数与指数的运算
对数与指数是数学中两个重要且相互关联的概念。
它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
对数是指对某个数取指数的逆运算，指数则是指数学运算中的一种方法，它将一个数用作乘积的重复因子。
对数与指数的运算有着许多有趣的性质和规则。
首先，我们来了解一下指数的运算。
指数运算的基本思想是将一个数重复相乘多次。
例如，2的3次方等于2乘以2乘以2，即2³=2×2×2=8。
在这个例子中，2是底数，3是指数，8是乘积。
指数运算也可以用幂的形式表示，例如2³可以写为2的3次方。
指数运算有一些重要的性质和规则。
首先，任何数的0次方都等于1。
例如，2的0次方等于1，3的0次方等于1。
其次，任何数的1次方都等于它本身。
例如，2的1次方等于2，3的1次方等于3。
此外，指数运算满足乘方法则，即相同底数的幂相乘时，指数相加。
例如，2的2次方乘以2的3次方等于2的(2+3)次方，即2²×2³=2⁵=32。
接下来，我们来介绍一下对数的运算。
对数是指一个数在指数运算中作为幂出现的那个数。
对数运算的基本思想是找到底数为多少的幂能够得到指数。
例如，log₂8=3，意味着以2为底的对数，即log₂8等于3，因为2的3次方等于8。
对数运算可以用log的形式表示，例如log₂8表示以2为底，8的对数。
对数运算也有一些重要的性质和规则。
首先，任何数的以自身为底的对数都等于1。
例如，log₃3=1，log₂2=1。
其次，对数运算满足乘法法则，即对数相加等于两个数相乘对应的对数。
例如，log₂4+log₂8=log₂(4×8)=log₂32。
此外，对数运算满足幂法则，即对数的指数可以提到对数的外面。
例如，log₃(2³)=log₃2×3=log₃8。
对数与指数的运算在实际生活中有许多应用。
首先，对数可以用于解决指数方程。
例如，我们要求解方程2的x次方等于8，即2ˣ=8。
指数与对数的运算法则
指数与对数的运算法则一、指数的运算法则在数学中，指数是一种表示乘法的简便方式，用于表示以某个数为底的乘方。
指数的运算法则是指在进行指数运算时遵循的规则和原则。
1. 相同底数相乘，指数相加当两个相同底数的指数相乘时，其结果为底数不变，指数相加的乘方。
例如，若a和b为任意实数，且n和m为任意整数，则有：a^n * a^m = a^(n+m)2. 相同底数相除，指数相减当两个相同底数的指数相除时，其结果为底数不变，指数相减的乘方。
例如，若a和b为任意实数，且n和m为任意整数，则有：a^n / a^m = a^(n-m)3. 指数与指数相乘，底数不变，指数相乘当两个指数相乘时，其结果为底数不变，指数相乘的乘方。
例如，若a为任意实数，且n和m为任意整数，则有：(a^n)^m = a^(n*m)4. 乘方的乘方，底数不变，指数相乘当一个乘方再次乘方时，其结果为底数不变，指数相乘的乘方。
例如，若a为任意实数，且n和m为任意整数，则有：(a^n)^m = a^(n*m)这些法则可以用于简化指数的复杂运算，使计算更加简便和高效。
二、对数的运算法则对数是指数的逆运算，用于求解指数方程。
对数的运算法则是指在进行对数运算时遵循的规则和原则。
1. 对数的定义对数的定义是：若幂等于a，则称b为以底数为a的对数，记作logₐb。
其中，a为底数，b为真数。
2. 对数的乘法法则当进行对数乘法运算时，即求两个数的乘积的对数，其结果等于两个数的对数相加。
即：logₐ(a*b) = logₐa + logₐb3. 对数的除法法则当进行对数除法运算时，即求两个数的比值的对数，其结果等于两个数的对数相减。
即：logₐ(a/b) = logₐa - logₐb4. 对数的幂法法则当进行对数幂运算时，即对一个数求幂的对数，其结果等于幂乘以对数。
即：logₐ(a^m) = m * logₐa这些法则可以用于简化对数的复杂运算，使计算更加简便和高效。
人教版高数必修一第10讲：对数与对数运算(教师版)
高中数学·· 教师版 page 1 of 7对数与对数运算__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
二、对数运算性质：如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a MM N N=- log log () n a a M n M n R =∈特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。
指数与对数的运算法则与应用
指数与对数的运算法则与应用指数与对数是数学中重要的概念和运算法则，它们在科学、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍指数与对数的基本定义、运算法则以及在实际问题中的应用。
一、指数的定义与运算法则指数是数学中表示乘方的一种简洁形式，它由一个底数和一个指数构成。
在指数运算中，底数表示被乘的数，指数表示乘的次数。
指数的基本定义如下：定义1：对于非零实数a，任意整数n，a的n次方等于a与自身连乘n次，记作a^n。
在指数的运算中，有一些基本的法则可以简化计算，如下所示：法则1：指数相乘法则。
若a、b为非零实数，m、n为任意整数，则有a^m * a^n = a^（m+n）。
法则2：指数相除法则。
若a、b为非零实数，m、n为任意整数，则有a^m / a^n = a^（m-n）（其中a≠0）。
法则3：指数幂法则。
若a为非零实数，m、n为任意整数，则有（a^m）^n = a^（m*n）。
二、对数的定义与运算法则对数是指数的逆运算，它描述了指数运算的反过程。
对数的基本定义如下：定义2：对于正实数a（a≠1），任意正实数x，若满足a^x = y，则称x为以a为底的y的对数，记作x = logₐ y。
在对数的运算中，也有一些基本的法则可以简化计算，如下所示：法则4：对数乘法法则。
若a、b为正实数，m为任意实数，则有logₐ (ab) = logₐ a + logₐ b。
法则5：对数除法法则。
若a、b为正实数，m为任意实数，则有logₐ (a/b) = logₐ a - logₐ b。
法则6：对数幂法则。
若a为正实数，m为任意实数，则有logₐ (a^m) = m。
三、指数与对数的应用指数和对数广泛应用于科学、工程和经济等领域。
下面将介绍指数与对数在计算机科学、物理学和金融学中的应用。
1. 计算机科学中的指数与对数应用：在计算机科学中，指数和对数被广泛应用于算法分析、数据压缩、密码学等方面。
例如，指数运算可以用于复杂度分析中，对数函数可以用于测算算法的时间复杂度。
指数与对数的运算
指数与对数的运算指数与对数是数学中常见的运算方法，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍指数和对数的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、指数的定义与性质指数是一种表示乘法运算的简便方法。
在指数运算中，底数表示要乘的数，指数表示要乘的次数。
例如，a的n次方可表示为an，其中a为底数，n为指数。
指数具有以下性质：1. 相同底数的指数相乘，即a的n次方乘以a的m次方等于a的n+m次方。
2. 指数之差为相同底数的商，即a的n次方除以a的m次方等于a的n-m次方。
3. 指数的0次方等于1，即a的0次方等于1。
4. 指数为1的情况下，a的1次方等于a本身。
二、对数的定义与性质对数是指数的逆运算。
如果a的x次方等于b，那么记作loga(b)=x，其中a为底数，b为真数，x为对数。
对数具有以下性质：1. 底数为1时，对数为0，即log1(b)=0。
2. 底数为b时，对数为1，即logb(b)=1。
3. 对数的乘法法则，即loga(b) + loga(c) = loga(b × c)。
4. 对数的除法法则，即loga(b) - loga(c) = loga(b / c)。
5. 对数的指数法则，即loga(b的n次方) = n × loga(b)。
三、指数与对数的关系指数与对数是相互关联的，它们满足以下关系：1. 如果a的x次方等于b，那么x即为loga(b)。
2. 如果loga(b) = c，那么b等于a的c次方。
指数与对数的关系使得它们可以互相转化，解决一些复杂的运算问题。
在实际应用中，指数与对数经常用于科学计算、经济学、物理学等领域。
四、指数与对数的运算规则在实际运算中，指数和对数有一些常见的运算规则和公式：1. 指数的乘法规则，即(a的b次方)的c次方等于a的b × c次方。
2. 指数的除法规则，即(a的b次方)除以(a的c次方)等于a的b - c 次方。
3. 对数的乘法规则，即loga(b) × logb(c) = loga(c)。
指数与对数的基本运算规则
指数与对数的基本运算规则指数与对数是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
了解和掌握指数与对数的基本运算规则对于解决各类数学问题具有重要意义。
本文将介绍指数与对数的基本定义及其运算规则。
一、指数的基本定义在数学中，指数表示一个数的乘方。
指数通常写在一个数的右上角。
例如，2³表示2的3次幂，即2³=2×2×2=8。
在指数中，2称为底数，3称为指数。
指数有一些基本的运算规则：1. 相同底数幂相乘：aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ2. 相同底数幂相除：aⁿ ÷ aᵐ= aⁿ⁻ᵐ3. 幂的乘方：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ4. 积的幂：(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ5. 当指数为1时，任何数的指数都为1：a¹ = a6. 任何数的0次幂都等于1：a⁰ = 1（a ≠ 0）二、对数的基本定义对数是指数的逆运算。
如果aⁿ=b，那么可以写为logₐb=n。
其中，a称为底数，b称为真数，n称为对数。
对数也有一些基本的运算规则：1. 对数的乘法：logₐb + logₐc = logₐ(b × c)2. 对数的除法：logₐb - logₐc = logₐ(b ÷ c)3. 对数的幂：n × logₐb = logₐ(bⁿ)4. 底数为10的常用对数，常记为lg，也叫常用对数：log₁₀b = lg b5. 底数为e的自然对数，常记为ln，也叫自然对数：logₑb = ln b三、指数和对数的关系指数和对数之间存在着密切的联系。
利用指数和对数的性质，可以将进行复杂的运算简化为简单的加减乘除运算。
下面以一个实例来说明这一点。
例题：计算log₂(8 × 16)。
解：首先，我们可以将8和16进行化简。
8=2³，16=2⁴，因此原式可以化简为：log₂(8 × 16) = log₂(2³ × 2⁴)根据指数的乘方规则，可以将指数相加，得到：log₂(2³ × 2⁴) = log₂(2⁷)接下来，根据对数的定义，我们知道log₂(2⁷)=7。
指数与对数
指数与对数一、指数指数是一种运算符号，用于表示某个数的乘方。
例如，$2^3$表示2的三次方，即$2\\times2\\times2=8$。
这里，2称为底数，3称为指数，8称为幂次或幂。
指数也可以为负数或小数，例如$2^{-2}=\\frac{1}{2^2}=0.25$，$4^{\\frac{1}{2}}=\\sqrt{4}=2$。
指数有许多重要的应用。
在数学中，指数函数是一类重要的函数，例如指数函数$y=a^x$，其中a为底数，x为指数，y为幂次。
指数函数在物理、化学、生物等领域广泛应用，例如放射性衰变、化学反应、人口增长等等。
在计算机科学和电子工程中，指数也有广泛的应用，例如二进制、科学计数法等。
指数还是一种重要的算法复杂度分析方法，例如算法复杂度为$O(n^2)$，即为指数为2的多项式算法复杂度。
二、对数对数是一种数学函数，用于表示某个数在指定底数下的幂次。
例如，以10为底数，$\\log_{10}100=2$，表示100在以10为底数的条件下的幂次为2。
换句话说，$10^2=100$。
对数还可以以其他底数表示，例如以2为底数的对数$\\log_{2}8=3$，表示8在以2为底数的条件下的幂次为3。
相当于$2^3=8$。
对数有许多实际应用。
在科学和工程中，对数经常用于表示一些值的量级或比例关系，例如地震的强度、音乐的音量等。
在计算机科学和信息理论中，对数还用于计算计算机算法的运行时间和信息的熵值。
除了常见的自然对数$\\ln$和以10为底数的对数$\\log$之外，还有许多其他底数的对数，例如$\\log_2$和$\\log_{\\frac{1}{2}}$等。
三、指数与对数的关系指数和对数之间有一种重要的对称性，即指数函数和对数函数是互逆的。
换句话说，对数函数是指数函数的反函数。
以自然对数为例，令$y=e^x$，则$x=\\ln y$，即$\\ln$是$e^x$的反函数。
这意味着，如果我们先计算$e^x$，再计算$\\ln$，则最终的结果与原始的数值相同。
指数跟对数运算
指数跟对数运算
指数和对数运算是数学中的两个重要概念，它们是互相对立的概念，但又有着密切的联系。
指数运算是指数的乘法运算，即将一个数（称为底数）连乘若干次，每次乘数都是该底数，这个次数就是指数。
例如，2的3次方等于2×2×2=8，这里的2就是底数，3就是指数。
对数运算是指数的逆运算，它是指一个数在某个底数下的指数。
例如，以10为底，100的对数是2，即10的2次方等于100。
因此，可以表示为$log_{10}100=2$，其中$log_{10}$表示以10为底的对数。
指数和对数运算是互相对立的，即指数运算是对数运算的逆运算，对数运算是指数运算的逆运算。
例如，$2^3=8$可以写成$log_2 8=3$，$log_{10}100=2$可以写成$10^2=100$。
指数和对数运算在数学中有着广泛的应用，尤其在科学和工程领域中。
例如，在物理学中，指数和对数运算可以用来描述电阻、电容、电感等电路元件的特性；在化学中，指数和对数运算可以用来描述化学反应的速率和平衡常数等；在经济学中，指数和对数运算可以用来描述经济增长率和通货膨胀率等。
总之，指数和对数运算是数学中的两个重要概念，它们在数学和其他领域中都有着广泛的应用。
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第10讲 指数与对数的运算回归教材【基础自测】1． (必修1P 63习题3．1(1)第2题改编) 3（－8）3＋4（3－2）4－3（2－3）3＝____________．1． －9＋3 【解析】 原式＝－8＋1＋3－2＝－9＋3．2．(必修1P 63习题3．1(1)第5题改编) 化简34ba（a >0，b>0）的结果是___________．2．a b 【解析】 原式=15413223332112723333[()]()a b ab a b a b ab a b a b -==． 3． (必修1P 78练习第3题改编)log 2716log 34的值为________． 3． 23 【解析】 原式＝lg 16lg 27lg 4lg 3＝lg 16·lg 3lg 27·lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23．4．(必修1P 76练习第4题改编) 已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=________(用,a b 表 示)．4．2a b a +- 【解析】51836185log ,log 45b s b =⇒=∴=181818218log 45log 5log 918log 36log189+=181818log 5log 92log 9+=-=2a ba +-． ４．(3，3) 【分析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f (3)＝3，即图象必过定点(3，3)．5． (2016·浙江高考) 已知a >b >1．若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________．5． 4，2 【解析】 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ， 又a b ＝b a，∴(a )a ，即2a a =，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2．∴4,2a b ==．【知识梳理】1．指数中的相关概念(1) n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．(2) 方根的性质①当n=a；②当na=,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩．(3) 分数指数幂的意义①mna（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）；②mna-=1mnaa＞0，m、n都是正整数，n＞1）．2．有理数指数幂的运算性质设s，t∈Q，a>0，b>0，则：(1) a s a t＝a s＋t；(2)(a s)t＝a st；(3)(ab)t＝a t b t．3．对数的相关概念（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N=b．（2）常用对数和自然对数①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；②自然对数：以e为底N的对数，简记为：ln N．（3）指数式与对数式的相互转化a b=N⇔log a N=b（a＞0，a≠1，N＞0）．4．对数的基本性质设N＞0，a＞0，a≠1，则：（1）log a a=1；(2)log a1=0；（3）log a a N=N；（4）a log aN=N．5．对数运算的法则设M＞0，N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则：（1）log a（MN）= log a M+log a N；（2）log a MN= log a M－log a N；（3）log a M n= n log a M．6．对数的换底公式设N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则log b N=log. logaaNb课堂重难点突破考点1指数幂的运算例1化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)21111332265a ba b---⋅⋅⋅．【解析】 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0． (2)原式＝111133221566a b a ba b--⋅1111153262361.aba---+-=⋅= 【点评】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．1．化简：1132113321(4)()4(0.1)()ab a b ----⋅⋅⋅＝________．1． 85 【解析】 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85． 2． 求值：121316324(124223)27162(8)--+-+-⋅=________．2． 11 【解析】 利用分数指数幂的性质直接进行计算．原式=323434613212)2(2)2()3(])311[(⋅-+-+=883311-+-+=11． 3． 已知32121=+-xx ，求32232322-+-+--xx x x 的值．3． 【解析】 设t x =21，则t x121=-，已知即tt 1+=3．于是，)11()1(122332323-+⋅+=+=+-t t t t t t x x ，而 2)1(12224422-+=+=+-t t t t xx ， 将t t 1+=3，平方得 92122=++t t ，于是 7122=+t t ．从而，原式=315453)17(3273)11()1(2)1(222222==---=--+⋅+-+tt t t t t ．考点2 对数的运算例2 化简下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0．01)－1； (2)（lg2）2+lg2·lg50+lg25；(3) 2log 32－log 3329+log 38－5log 53． (4) (log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258) ．【解析】 (1)原式＝lg 112122[25210(10)]--⨯⨯⨯＝lg(5×2×1210×102)＝lg 7210＝72．(2) 原式=（lg2）2+（1+lg5）lg2+lg52=（lg2+lg5+1）lg2+2lg5=（1+1）lg2+2lg5=2（lg2+lg5）=2．（3） 原式=2log 32－5log 32+2+3log 32－3=－1．(4) 【解析】底数不同，怎么办？使用换底公式化为同底后再作思考． 解法１ 原式=)125log 8log 25log 4log 2)(log 8log 5log 4log 25log 5(log 55555222232++++=)5log 32log 35log 22log 22)(log 2log 35log 2log 25log 25log 3(5555522222++++=2log 35log )3113(52⋅++=2log 2log 5log 13555⋅⋅=13． 解法2 原式=)125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg )(8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg (++++ =)5lg 32lg 325lg 22lg 25lg 2lg )(2lg 35lg 3lg 25lg 22lg 5lg 3(++++=13)5lg 2lg 3)(2lg 5lg 313(=⋅⋅． 【点评】 对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如： (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1． 若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________． 1． 433 【解析】∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a＋2－a＝log 3log 322-+＝3＋3log 2＝3＋33＝433． 2． 化简：2(lg 2)2＋lg 2·lg 52(lg 2)lg21-+________．2． 1 【解析】 原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 52(lg 21)-＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg2＝12lg 2＋1－12lg 2＝1． 3． 计算（log 32+log 92）·（log 43+log 83）=________． 3．54 【解析】原式=lg2lg3lg3lg3lg3lg9lg4lg8⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg 2lg 2lg32lg3⎛⎫+ ⎪⎝⎭·lg3lg32lg 23lg 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3lg 25lg 352lg 36lg 24=．4．求值：g 3329＋log 38－3log 55=________．4． －1 【解析】 原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3＝log 3(22×32×2－5×23)－3＝log 332－3＝2－3＝－1．考点３ 指数式与对数式的互化例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，且3a =4b =6c ，求证：212a b c+= ； (2) 若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．【解析】(1)设3a =4b =6c =k ，则k >1．由对数定义得a =log 3k ，b =log 4k ，c =log 6k ，则2a +1b =3421log log k k+=2 log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36．又2c =62log k =2log k 6=log k 36，∴2a +1b =2c． (2) 由a =log 603，b ＝log 605，得1－b ＝1－log 605＝log 6012， 于是1－a －b ＝1－log 603－log 605＝log 604，则有6060log 411log 12a b b --=-＝log 124，所以12(1)12a bb ---＝121log 4212＝12log 212＝2．【点评】这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注： 1．根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．2． 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．1． 已知3a =5b =c ，且112a b+=，求c 的值． 【解析】由指数与对数的转化关系将a 、b 都用c 来表示，可使问题获解．由3a =c ，得log 3c=a ，∴log c 3=1a． 同理可得1b =log c 5．∴由1a +1b=2，得log c 3+log c 5=2，即log c 15=2，∴c 2=15．∵c >0，∴c 152． 若2x =3y =5z ，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为_______． 2． 3y <2x <5z 【解析】令2x =3y =5z =t ，则t >1，x =lg lg 2t ，y =lg lg 3t ，z =lg lg 5t，∴2x －3y =2lg lg 2t －3lg lg 2t =lg (lg 9lg8)lg 2lg 3t ->0，∴2x >3y ． 同理可得：2x －5z <0，∴2x <5z ．∴3y <2x <5z ．考点４ 指数式与对数式的综合问题例４ 已知不等式2(12log x )2+9(12log x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数22()log log 28x x f x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值．【解析】∵2（12log x ）2+9（12log x ）+9≤0，∴（212log x +3）（12log x +3）≤0．∴－3≤12log x ≤32-，即12log 312-⎛⎫⎪⎝⎭≤12log x ≤12log 3212-⎛⎫⎪⎝⎭． ∴3212-⎛⎫ ⎪⎝⎭≤x ≤312-⎛⎫⎪⎝⎭，∴22≤x ≤8． ∴ M ={x |22≤x ≤8}． f （x ）=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1， ∵22≤x ≤8，∴32≤log 2x ≤3． ∴当log 2x =2，即x =4时，f (x )min =－1；当log 2x =3m ，即x =8时，f (x )max =0．【点评】 这是一道关于指数式与对数式的综合问题，注意到条件屯结论之间的联系，运用换元法，记2log x t =，将条件转化为关于t 的二次不等式，先求出t 的范围，再由2log x t =求妯x 的范围，即可得出集合M ；而结合则可转化为关于t 的二次函数，则可运用二次函数的图象和性质，求出最值．整个解题过程，体现的是化归与转化的思想．设x ＞1，y ＞1，且2log x y －2log y x +3=0，求T =x 2－4y 2的最小值．【解析】令t =log x y ，∵ x ＞1，y ＞1，∴ t ＞0．由2log x y －2log y x +3=0，得2t －2t+3=0，∴ 2t 2+3t －2=0，即(2t －1)(t +2)=0，∵ t ＞0，∴ t =12，即 log x y =12，∴ y =12x ，∴ T =x 2－4y 2=x 2－4x =(x －2)2－4，∵ x ＞1，∴当x =2时，T mi n =－4．解决学生弱项[弱项清单]1．对n 次根式的性质理解不到位或用错有理数指数幂的运算法则而导致解题出错； 2．忽略对数的真数必须大于0、底数必须大于0且不等于1的限制条件导致错误； 3．对对数的运算法则掌握不到位，用错运算法则导致变形不等价而产生解题错误． [诊断与改进]1．给出下列命题：① 3232()a a =； ② 若a R ∈，则20(1)1a a -+=； ③43x y =+； ④ 若1216,327x y ==，则7x y +=． 其中，正确的是________（填序号）． 【错解】由幂的乘方法则，得3322322()a aa ⨯==，∴①正确；对②，当210a a -+=时，0的次幂无意义，故②不正确； ③显然不成立；对④，由1216,327x y ==，得4322,334,31x y x y x y -==⇒==-⇒+=，故④也不正确．综上，正确的是①．【诊断】判断各个命题的真假，需要对每一个命题作出判断，上述解法，在对①进行判断时，由于对幂的乘方法则的理解不到位，忽略了对a 的取值为负数时的讨论，得出了错误的答案；而②中，当a R ∈时，恒有210a a -+>，故正确．【正解】∵333322232223,0()(||)||||,0a a a a a a a a ⨯⎧≥⎪====⎨-<⎪⎩，故①不正确；对②，由于当a R ∈时，恒有210a a -+>，故20(1)1a a -+=总成立，正确； ③显然不成立；对④，由1216,327x y ==，得4322,334,31x y x y x y -==⇒==-⇒+=，故④也不正确．综上，正确的是②．2．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy 的值为________．【错解】 ∵lg lg 2lg(2)x y x y +=-，即2lg()lg(2)xy x y =-，∴222222(2)44540()540x xxy x y xy x xy y x xy y y y=-⇒=-+⇒-+=⇒-+=，解得1x y =，或4x y =，即xy的值为1或4．【诊断】上述解法中，由lg lg 2lg(2)x y x y +=-，变形得到2(2)xy x y =-时，忽略了真数必须大于0的要求，扩大了自变量的取值范围，使得变形不等价，又忘记了检验，导致了解题的错误．【正解1】∵lg lg 2lg(2)x y x y +=-，即2lg()lg(2)xy x y =-，∴222222(2)44540()540x xxy x y xy x xy y x xy y y y=-⇒=-+⇒-+=⇒-+=，解得1x y =，或4xy=．检验：当1x y =时，x y =，20x y y -=-<（∵0y >）不合题意，而4xy =显然符合题意．故得xy的值为4．【正解2】∵lg lg 2lg(2)x y x y +=-，∴0020x y x y >⎧⎪>⎨⎪->⎩． ①并且22lg()lg(2)(2)xy x y xy x y =-⇔=-，整理得22540x xy y -+=，即()(4)0x y x y --= x y ⇒=，或4x y =．当x y =时，20x y y -=-<，不满足①，舍去；当4x y =时，220x y y -=>符合题意．∴xy的值为4． 3．计算：22259log (1log (153+= ________．【错解】由对数的运算性质，得22222225953log (1log (1log (1log (15353+=+53log (1log (153(1(12=+=++=．【诊断】上述解法在运用对数的运算性质时，忽略了对真数的取值范围的要求，将225log (15变形成5log (15是错误的，因为log log n n a a M M =成立的前提条件是0,0,1M a a >>≠．【正解】22222222222595353log (1log (1log 1)log (1log (1log (1535353+=+=+53log 1)log (1531)(1=+=++=．课堂训练 1．化简44⋅的结果是________．1． a 4 【解析】原式＝441111111136949499224636336()().a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭2．(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________． 2． 27 【解析】∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27．3．已知函数f （x ）=a log 2x －b log 3x +2．若142009f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则f (2 009)的值为___________． 3． 0 【解析】 由12009f ⎛⎫⎪⎝⎭=a log 212009－b log 312009 +2=－a log 22009+b log 32 009+2=4，可得a log 2 2009－b log 3 2009=－2，所以f (2009)=a log 2 2009－b log 3 2009+2=－2+2=0．4．若2lg lg lg lg [lg()]0lg lg lg lg x y x y x y x y x y ++-++=，求log 2(xy )的值． 4． 0 【解析】由2lg lg lg lg [lg()]0lg lg lg lg x y x y x y x y x y++-++=，去分母可得 (lg x +lg y )2+［lg(x －y )］2=0，∴ lg lg 0,1,lg()01,x y xy x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩∴ log 2(xy )=0．复习小结指数与对数运算是一种超越运算，其概念、性质和运算法则有广泛的应用，是研究 指数函数与对数函数的基础，是训练和考查学生运算素养的重要素材．1． 有理数指数幂运算必须按定义和运算法则进行，注意运算法则适用的前提条件，例如“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，其前提条件是“底数相同”、“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，当指数是分数时，必须注意“底数是否为正数”等等，防止解题出错．2．对分数指数幂和根式的运算，常常需要利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，或者把分数指数幂转化为根式，从而简化计算过程，因此，要正确地理解分数指数幂的意义，熟练地掌握分数指数幂和根式互化方法．3．对数的运算法则的适用条件是底数相同，对于底数不同的问题，在进行运算时，要注意运用换底公式将其化为同底的对数，在化简的过程中，要注意每一步的等价性，必须保证是恒等变形，防止由于变形的不恒等而导致解题出错．4．由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1，所以对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题需要高度关注的问题，防止因忽略对真数大于0和底数大于0且不等于1的限制而产和题差错．5．指数式和对数式的运算、变形、求值是研究函数、方程和不等式的基础，高考中常在这些知识的交汇点处命制，将这两类运算置于一些综合题中，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．对这一类综合题，指数式与对数式的互化起着至关重要的作用．【备选例题】 1．化简下列各式（2） 计算：()()20.512130.2523234350.008(50)0.320.062589--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+÷⨯÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）化简：231b--⎛÷． 1．【解析】（1）原式=212323849100027985⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦÷1462510000⎛⎫ ⎪⎝⎭=471259352⎛⎫-+÷⎪ ⎪⎝⎭=19×2=29． （2） 原式=11222132a b b a--÷2131212a b ba ---⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=12112322a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭÷21131122a b -----⎛⎫ ⎪⎝⎭=（a 76b ）÷（ab ）． 2．已知函数f （x ）=a log 2x -b log 3x +2．若142009f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则f (2 009)的值为___________． 2．0 【解析】 由12009f ⎛⎫⎪⎝⎭=a log 212009－b log 312009+2=－a log 22009+b log 32 009+2=4，可得alog 2 2009－b log 3 2009=－2，所以f (2009)=a log 2 2009－b log 3 2009+2=－2+2=0．3．已知log a x +log c x =2log b x 且x ≠1，求证：c 2=(ac )log a b．3．【解析】 ∵log a x +log log a a x c =2log log a a xb，且x ≠1⇒log a x ≠0， ∴1+1log a c =2log a b⇒ 2log a c =（log a c +1）log a b ⇒2log a c =log a （ac ）·log a b = log log 2log ()()a a b b a ac c ac ⇒=．4．已知y x y x lg lg 2lg 2+=-，求y x的值． 4． 【解析】 利用对数的性质消去对数符号，得到关于x ，y 的方程再求解．由已知得 )lg()2lg(2xy y x =-，∴xy y x =-2)2(， 即 0622=+-y xy x ，∴016)(2=+-y x y x ，∴yx=223±． 但 02>-y x 及x 、y ＞0，∴x ＞y ＞0，即y x ＞1，从而y x=223+，yx=21+．第 10 讲 指数与对数的运算班级： 姓名： 学号：[A 组 夯实基础]1．将322-化为分数指数幂的形式是______． 1．122- 【解析11113362(2)222=-=-⋅=-．2．已知3a =2，3b =51，则b a -23= ． 2． 20 【解析】 ∵3a =2，3b =51，∴2222113(3)3(3)24520135a b a b a b --=⋅=⋅=⋅=⨯=．3．(必修1P 110复习题2．2第6题改编)化简)1(log )1(n n n n ++-+= ．3． －1 【解析】+=11-====-．4．设2a = 5b =10，则1a + 1b= ．4．1 【解析】由2a = 5b =10，得5．已知log 23=a ，3b =7，则log 4256=____________(用,a b 表示)．5．13+++a ab ab 【解析】 ∵log 23=a ，3b =7，∴331log 2,log 7b a ==．∴log 4256=)237(log )27(log 333⨯⨯⨯=2log 17log 2log 37log 3333+++=ab a b 1113++⋅+=13+++a ab ab ． 6．化简：412333223384a a ba b a -⎛-÷ ⎝⎭+0a >．6． 【解析】 原式=13311122333311133332111111153333322222a a b a a a b a a a a b b a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎝⎭÷⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511126233331113362.2a a a b a a a a a b a ⎛⎫-⨯⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭- 7．解方程： log 3(1－2·3x )＝2x ＋1．7．【解析】 原方程等价于2121103,03,1230,2211233331(),3323103xxx x x x x x x +⎧⎧<<⎪⎧<<->⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⎪⎩⎪⎪==-+-=⎩⎪⎩或舍去 ∴ x =－1．[B 组 能力提升]1．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若f (a )= 12，则a =______．1． －1【解析】当a ＞0时，log 2a =12，解得a； 当a ≤0时，2a =12，解得a =－1． 故a 的值为－1． 2． 设11251111log log 33a +=，那么3a =_______．2． 10 【解析】∵a =113311log log 25+=log 32+log 35=log 310， ∴ 3log 103310a ==．3．方程log 3(x 2－10)=1+log 3x 的解是_______．3． x =5 【解析】方程log 3(x 2－10)=1+log 3x 的解满足22100,103,x x x ⎧->⎪⎨-=⎪⎩解得x =5．4．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________．4．7 【解析】 由f (m )＋f (2n )＝3，得log 2[(m －2)(2n －2)]＝3⇒(m －2)(2n －2)＝23， 即(m －2)(n －1)＝4，由已知得m >2，n >1，由基本不等式得(m －2＋n －12)2≥4(当且仅当m －2＝n －1＝2，即m ＝4，n ＝3时等号成立)，从而m ＋n ≥7．故m ＋n 的最小值是7． 5．计算：(1)lg8lg1.2-；(2) 2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.036lg 0.122⋅+--．5．【解析】（1） 原式=31333lg33lg 2lg33lg 232222.lg1212lg 2lg312+-+-==-+-(2) 分子=lg5(3+3lg2)+3(lg2)2=3lg5+3lg2(lg5+lg2)=3；分母=(lg6+2)－lg6＋2－lg 6100＝4． ∴ 原式=34．*[C 组 思维拓展]1．已知正实数,,a b c 均不为1，满足x y z a b c ==，且1110x y z ++=，则abc 的值为________．1．1 【解析】令x y z a b c k ===，∵,,a b c 为正实数，且均不为1，∴0k >且1k ≠，∴1lg 1lg 1lg lg lg lg lg ,,lg lg lg a b cx a y b z c k x k y k z k===⇒===． ∵1110x y z ++=，∴lg lg lg 0lg a b c k++=，即lg()0abc =，∴1abc =． 2．已知1a b >>，且10log log 3a b b a +=，则log log a b b a -=________．2． 83- 【解析】∵1a b >>，∴0log 1log a b b a <<<．设log a b t =，则1log b a t =，且01t <<．∵10log log 3a b b a +=，∴1103t t +=，解得13t =，或3t =(舍去)．∴118log log 333a b b a t t -=-=-=-．3．已知,,(0,)x y z ∈+∞，且346x y z ==．(1)求证：1112z x y-=； (2)试比较3,4,6x y z 的大小．3．【解析】(1)设346x y z k ===，由,,(0,)x y z ∈+∞，得1k >． 于是，lg lg lg lg3lg 4lg6,,lg3lg 4lg6k k kx y z x y z ==⇒===． 则11lg6lg3lg6lg3lg 22lg 2lg 41lg lg lg lg 2lg 2lg 2z x k k k k k k y --=-=====． (2)∵1k >，∴lg 0k >，于是3lg 4lg lg lg 34(3lg 44lg3)(lg64lg81)0lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4k k k kx y -=-=-=-<，即34x y <． 同理4lg 6lg lg lg 46(2lg63lg 4)(lg36lg64)0lg 4lg6lg 2lg6lg 2lg6k k k ky z -=-=-=-<，即46y z <． 综上，346x y z <<．。