第10讲 指数与对数的运算

第10讲 指数与对数的运算

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【基础自测】

1． (必修1P 63习题3．1(1)第2题改编) 3（－8）3＋4

（3－2）4－3（2－3）3＝____________．

1． －9＋3 【解析】 原式＝－8＋1＋3－2＝－9＋3．

2．(必修1P 63习题3．1(1)第5题改编) 化简3

4b

a

（a >0，b>0）的结果是

___________．

2．

a b 【解析】 原式=154132

233

3

2

1127

23333

[()]()a b ab a b a b ab a b a b -==． 3． (必修1P 78练习第3题改编)

log 2716

log 34

的值为________． 3． 2

3 【解析】 原式＝lg 16

lg 27lg 4lg 3

＝lg 16·lg 3lg 27·lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23

．

4．(必修1P 76练习第4题改编) 已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=________(用,a b 表 示)．

4．

2a b a +- 【解析】5

1836185log ,log 45b s b =⇒=∴=181818218log 45log 5log 918log 36

log18

9

+=

181818log 5log 92log 9

+=

-=2a b

a +-． ４．(3，3) 【分析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f (3)＝3，即图象必过定

点(3，3)．

5． (2016·浙江高考) 已知a >b >1．若log a b ＋log b a ＝5

2

，a b ＝b a ，则a ＝________，b

＝________．

5． 4，2 【解析】 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0

t

＝

52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝1

2

，∴b ＝a ， 又a b ＝b a

，∴(a )a ，即2

a a =，亦即a ＝a

2，解得a ＝4，∴b ＝2．

∴4,2a b ==．

【知识梳理】

1．指数中的相关概念

(1) n次方根

正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．

(2) 方根的性质

①当n

=a；②当n

a=

,0,

,0.

a a

a a

≥

⎧

⎨

-<

⎩

．

(3) 分数指数幂的意义

①

m

n

a

（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）；

②

m

n

a-=

1

m

n

a

a＞0，m、n都是正整数，n＞1）．

2．有理数指数幂的运算性质

设s，t∈Q，a>0，b>0，则：

(1) a s a t＝a s＋t；(2)(a s)t＝a st；(3)(ab)t＝a t b t．

3．对数的相关概念

（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N=b．

（2）常用对数和自然对数

①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；

②自然对数：以e为底N的对数，简记为：ln N．

（3）指数式与对数式的相互转化

a b=N⇔log a N=b（a＞0，a≠1，N＞0）．

4．对数的基本性质

设N＞0，a＞0，a≠1，则：

（1）log a a=1；(2)log a1=0；（3）log a a N=N；（4）a log aN=N．

5．对数运算的法则

设M＞0，N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则：

（1）log a（MN）= log a M+log a N；（2）log a M

N

= log a M－log a N；（3）log a M n= n log a M．

6．对数的换底公式

设N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则log b N=log

. log

a

a

N

b

课堂重难点突破

考点1指数幂的运算例1化简下列各式(其中各字母均为正数)．

(1)

12

2.5

53

[(0.064)]

-－

3

3

3

8－π0；

(2)

21111

3

3

2

26

5

a b

a b

-

-

-⋅⋅⋅．

【解析】 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008

---1521

()33

523343[()][()]1102⨯-⨯=--

＝52－3

2－1＝0． (2)原式＝

111133

2

2156

6

a b a b

a b

-

-

⋅111115326

236

1.a

b

a

---+-=⋅= 【点评】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

1．化简：1

13211332

1(4)()4

(0.1)()

ab a b ----⋅

⋅⋅＝________．

1． 85 【解析】 原式＝2×333

2

2

3322

210a b a b

--

⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85． 2． 求值：12131

6

32

4

(124223)27162(8)-

-+-+-⋅=________．

2． 11 【解析】 利用分数指数幂的性质直接进行计算．

原式=3

23

4

34

6

13

2

12)2(2)2()3(])311[(⋅-+-+=883311-+-+=11． 3． 已知3212

1=+-x

x ，求

3

22

32

322-+-+--x

x x x 的值．

3． 【解析】 设t x =2

1，则t x

12

1=-

，已知即t

t 1

+=3．

于是，)11()1(12

2

332

32

3-+⋅+=+

=+-

t t t t t t x x ，

而 2)1(1222442

2

-+=+

=+-t t t t x

x ， 将t t 1+

=3，平方得 9212

2

=++t t ，于是 7122=+t t ．从而，原式=

315453)17(3273)11()1(2

)1

(222222==---=--+⋅+-+t

t t t t t ．

考点2 对数的运算

例2 化简下列各式：

(1)12

lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0．01)－

1； (2)（lg2）2+lg2·lg50+lg25；