北师版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
人教版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得，2<k <3，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5f(x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f(x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625f(x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875f(x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f(x 5)≈－0.171<0 [1.718 75,1.75] x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f(x 6)≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375]求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984 f (1.375)＝－0.260 f (1.438)＝0.165f (1.406 5)＝－0.0520.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案: C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－123．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的答案： A5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6答案： C能力提升6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.x －3－2－10123 4y 60－4－6－6－40 6 答案：(7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．①函数图象通过零点时，函数值一定变号；②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．答案：②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2,f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。
2015高中数学北师大版必修一课件：《函数与方程》
2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个
任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.
3.通过简单运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒
等变形的能力.
第五页，编辑于星期五：十二点 七分。
. .固 思
导.学
“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是因
为同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在研究
. .固 思
导.学
【解析】(法一)原式=
=
( + )- -
( + )- -
= .
( + )
(- )(+ )-
不满足商数关系.
第十页，编辑于星期五：十二点 七分。
. .固 思
导.学
2
5
π
若 cos(2π-α)= ,且 α∈(- ,0),则 sin(π-α)=( B
3
2
5
A.- 3
2
B.-3
1
).
2
C.-3
D.±3
【解析】cos(2π-α)=cos α= ,
又 α∈(- ,0),
∴sin α=-
- =-
第十七页，编辑于星期五：十二点 七分。
. .固 思
导.学
[结论]不正确.从 sin α+cos α 与 sin αcos α 的值可知,sin
α 与 cos α 应为异号,而结合 α∈(0,π)与 sin α+cos α= ,可知
sin α>0,故必有 cos α<0,且|sin α|>|cos α|,故 tan α<0,且
北师版高中数学教材目录
北师大版高中教材目录第一章 集合§1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章 函数§1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念2.2 函数的表示法 2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像 4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充 2.2 指数运算的性质§3 指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数x y 2= 和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 的图像和 性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算 4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数x y 2log =的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判断方程解的存在 1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题 2.3 函数建模案例第一章 立体几何初步 §1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体§2 直观图 §3 三视图3.1 简单组合体的三视图 3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平行关系的判定 5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定 6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率 1.2 直线的方程 1.3 两条直线的位置关系 1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分别5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2 变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3模拟方法——概率的应用第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 余弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3 正弦函数的性质§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像6.2 余弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像和性质7.3 正切函数的诱导公式§8 函数)sin(ϕ+ω=xAy的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表述4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大小值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式组与平面区域 4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.3 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用2.2 最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法第一章计数原理§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分类乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 独立性检验2.2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用 2.2 最大值、最小值问题第一章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法。
函数课件-高一上学期数学北师大(2019)必修第一册
3
x
1
解：② = + 2
2
3
4
5
6
函数的概念
4、换元法： = + + +
【例12】求函数 = 2 + 4 1 − 的值域。
解：设 = 1 − ( ≥ 0),则 = 1 − 2
代入原函数得：
= 2 1 − 2 + 4
半径 r 与圆的面积 S 之间的函数关系，这里函数的定义域为R+．
= 2
函数的表示方法
(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．
(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系．
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势．
因此函数的定义域为
即 ≠ 4 或 −∞，4 ∪ 4， + ∞
解：（2） 要使得代数式有意义，必须 − 6 ≥ 0，即 ≥ 6．
因此函数的定义域为
即 ≥ 6 或 6， +∞
函数的概念
【例10】求下列函数的定义域.
（1） = 2 + 2
（2） =
R
3
−5
≠5
（3） = 6 − − 2
四、求函数解析式：
①待定系数法
【例6】设函数 = + ，已知 = −， − = ，则该一次函
数的解析式为 = − −
+ = −
− + =
= −
解得
= −
则解析式为 = − −
解：依题得
北师大版高一数学必修一《函数与方程》说课稿
北师大版高一数学必修一《函数与方程》说课稿一、前言大家好，我是XX，今天我将为大家说课北师大版高一数学必修一《函数与方程》这一单元。
本单元是高一数学必修课程中的重要内容，它是高中数学学习的基础，具有重要的理论和实践意义。
二、教材分析1. 教材总览本单元内容主要包括函数的概念与性质、函数的图像、一次函数与二次函数、函数的应用等内容。
通过本单元的学习，学生将具备较完整的函数理论基础，能够运用函数的性质和应用工具解决实际问题。
2. 教学目标本单元的教学目标主要有以下几点： - 了解函数的概念和性质，具备分析函数的能力； - 掌握一次函数和二次函数的基本概念、性质和图像； - 能够利用函数解决实际问题。
3. 教学重点和难点本单元的教学重点主要包括： - 函数的概念和性质； - 一次函数和二次函数的基本概念和性质； - 函数的应用。
教学难点主要包括： - 函数的性质的理解和应用； - 二次函数的图像和性质的分析。
三、教学过程1. 函数的概念与性质本节主要介绍函数的概念和性质。
函数是数学中一个重要的概念，通过这个概念，我们能够建立输入与输出之间的关系，帮助我们解决实际问题。
在教学过程中，我会通过一系列具体的例子和练习，引导学生理解函数的概念和性质。
2. 函数的图像本节主要介绍函数的图像。
函数的图像是函数概念的重要展示形式，通过图像我们可以更加直观地了解函数的性质和特点。
在教学过程中，我会引导学生绘制一些常见函数的图像，并进行分析和讨论。
3. 一次函数与二次函数本节主要介绍一次函数和二次函数的基本概念和性质。
一次函数和二次函数是函数中比较常见的两种类型，它们具有特定的图像和运算性质。
在教学过程中，我会通过具体的例子和练习，帮助学生理解并运用一次函数和二次函数。
4. 函数的应用本节主要介绍函数在实际问题中的应用。
函数在各个领域都有着广泛的应用，如经济学、物理学、生物学等。
在教学过程中，我会引导学生将函数应用于实际问题的解决过程，并培养学生的问题分析和解决能力。
北师大版高中数学必修1《函数概念》教学课件
求函数 y＝ x－2· x＋2的定义域. 【错解】 y＝ x－2· x＋2＝ x2－4， 由 x2－4≥0，得 x≥2 或 x≤－2， ∴函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}.
【错因】 求函数定义域时，不能先进行变形，否则，会使定义域产生改 变，造成错误.因此，必须根据原始函数解析式来求定义域.
1.函数
(1)函数的定义 [JP2]给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A 中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定 的数f(x)与之对应，那么就把对 应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f：A →B 或y＝f(x)，x∈A .
(2)函数的定义域与值域 对于函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量， 集合A 叫做函数的定义域，
f(1－x)＝11－ ＋((11－ －xx))＝2－x x(x≠2). f(f(x))＝11－ ＋ff((xx))＝11－ ＋1111－ ＋ － ＋xxxx＝x(x≠－1).
(1)当x的取值用字母表示时，对应的函数值也用字母表示，但要注 意化简.
(2)当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算.
4.已知 f(x)＝1＋1 x，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(2)，g(2)，f(g(2))的值.
2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
1.初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，y k
(k≠0)分别叫 一次函数 ， 二次函数 ， 反比例函数 .
x
2.函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过第 一、二、四
或一、三、四 象限.
3.函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为 0 .
北师大版数学高一(北师大)必修1教案 4.1函数与方程
4.1函数与方程4.1．1利用函数性质判定方程解的存在●三维目标1．知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(2)掌握函数零点存在的方法．(3)能结合图像求解函数零点问题．2．过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系．●重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法．难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系．通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．●教学建议教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系．教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标．值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明．●教学流程通过实例分析：判断方程x2－x－6＝0解的存在性，引出本节课课题⇒抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练⇒函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过x轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解⇒导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练⇒根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3．能结合图像求解零点问题．(难点)函数的零点及判定定理给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？【提示】方程的根为－3,1.2．函数的图像与x 轴的交点是什么？ 【提示】 交点为(－3,0)，(1,0)． 3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 【提示】 相等．4．通过观察图像，在每一个与x 轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？ 【提示】 在每一点两侧函数值符号异号． 1．函数的零点(1)定义：函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)意义：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解． 2．函数零点的判定定理若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点(1)f (x )＝－2x －1；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4；(3)f (x )＝3x －9；(4)f (x )＝1－log 3x .【思路探究】 求函数y ＝f (x )的零点，即求方程f (x )＝0的根．因此令f (x )＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．【自主解答】 (1)因为方程－2x －1＝0无实数解，所以函数f (x )＝－2x －1无零点．(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点．(3)令3x －9＝0，则3x ＝9即3x ＝32，则x ＝2，所以函数f (x )＝3x －9的零点是2.(4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3.1．求函数y ＝f (x )的零点，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数解，则函数f (x )存在零点，该方程的实数解就是函数f (x )的零点，否则函数f (x )不存在零点．2．求函数y ＝f (x )的零点通常有两种办法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．(1)函数f (x )＝4x －16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】 (1)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得 x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. (2)令f (x )＝0，即x －4x ＝0，∴x ＝±2，故有两个． 【答案】 (1)x ＝2 (2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)【思路探究】 依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解． 【自主解答】 ∵f (14)＝4e －2<0，f (12)＝e －1>0， ∴零点在(14，12)上．【答案】 C1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)【解析】 ∵f (2)＝ln 2－1<0， f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)内有零点． 【答案】 B函数零点的应用当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． 【思路探究】 分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果． 【自主解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2， 则x 1·x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为(34，1)．解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： 1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． 2．结合草图考虑三个方面： (1)Δ与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系； (3)端点的函数值与零的关系． 3．写出由题意得到的不等式．4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．设函数f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． 【解】 ∵f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点， ∴f (－2)·f (1)≤0，即(a ＋1)(4a ＋1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥0，4a ＋1≤0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤0，4a ＋1≥0，∴－1≤a ≤－14.因此，实数a 的取值范围是[－1，－14].1．2 利用二分法求方程的近似解●三维目标1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系． (2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解． (3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力． 2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想． (2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想． 3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣． (2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解．难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解．本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的．突破难点的关键：明确要求，分散难点．具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件.●教学建议教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程．教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来．值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．●教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维⇒利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法．⇒通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练⇒师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤⇒用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练⇒利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)课标解读1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)二分法【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．【提示】能．1．二分法对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)二分法的理解下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【思路探究】解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3．f(a)·f(b)<0.则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．【答案】 C用二分法求方程的近似解－【思路探究】先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．【自主解答】令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0.1－0.933 032 99110.50.9第2次0.1－0.933 032 9910.550.057 342 5610.45第3次0.325－0.286 415 0250.550.057 342 5610.225第4次0.437 5－0.097 435 0150.550.057 342 5610.1125第5次0.493 75－0.016 669 3240.550.057 342 5610.056 25一区间的任意一个数作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x ＋1＝0的近似解．用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)【解】记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次1－1 1.50.8750.5第2次 1.25－0.296 875 1.50.8750.25第3次 1.25－0.296 875 1.3750.224 609 3750.125第4次 1.312 5－0.051 513 671 1.3750.224 609 3750.062 5以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．二分法的实际应用长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．图4－1－1(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．【自主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0<x<7.5}；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x ＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0－150119 1第2次0.5－521190.5 第3次0.75－13.311190.25第4次0.75－13.310.875 3.620.125第5次0.812 5－4.650.875 3.620.062 5取这一区间内的任意一个数作为方程的一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm 或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间[500,1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格。
北师大版高中高一数学必修1《函数与方程》说课稿
北师大版高中高一数学必修1《函数与方程》说课稿一、教材内容概述《函数与方程》是北师大版高中高一数学必修1教材中的一部分。
本章主要介绍了函数与方程的相关概念、性质和解法。
通过学习本章内容，学生将掌握函数的定义与性质，能够应用函数解决实际问题，并能够熟练解一元一次方程和一元二次方程。
二、教学目标1.掌握函数的定义与性质，包括定义域、值域、奇偶性等概念；2.学会绘制函数的图像，理解函数的概念和特点；3.能够应用函数解决实际问题，如函数的增减性和极值问题等；4.掌握一元一次方程和一元二次方程的解法，能够灵活运用于各类问题。
三、教学重难点1.函数的定义与性质，特别是对于奇偶函数的判断；2.函数的图像绘制方法，掌握如何根据函数的特点确定形状；3.解一元一次方程和一元二次方程的方法，培养学生的解题思维和灵活运用能力。
四、教学过程本章分为四个部分，按照以下步骤进行教学：第一节函数的概念与性质1.引入函数的概念，通过对函数的实例进行分析，让学生理解函数的含义和作用。
2.讲解函数的定义，并引导学生去寻找其他函数的例子。
3.针对函数的性质，重点讲解定义域、值域、奇偶性等概念，给出相关的例题进行练习。
第二节函数的图像1.通过绘制函数的图像，让学生直观地理解函数的变化规律和特点。
2.先从简单的线性函数图像开始，逐渐引入更复杂的函数图像。
3.讲解函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，让学生掌握如何通过变换来绘制函数的图像。
第三节函数的应用1.引入函数在实际问题中的应用，如利润函数、速度函数等。
2.通过具体的例题，让学生学会如何利用函数解决实际问题。
3.强调函数的增减性及极值问题的求解方法，培养学生的问题解决能力。
第四节方程的解法1.介绍一元一次方程和一元二次方程的定义和基本解法。
2.分别讲解一元一次方程和一元二次方程的解方过程，并通过例题进行练习。
3.引导学生将方程解法应用于实际问题，提高解题的技巧和应用能力。
五、教学方法1.导入法：通过引入实际问题或生活场景，激发学生对函数和方程的兴趣。
北师大版高中数学必修一目录
必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。
数学必修一北师大版 4.1 函数方程教案
数学必修一北师大版 4.1 函数方程教案一、创设情境、引出问题：1.渗透数学文化：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。
如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…2.问题提出:（1）对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？（2）方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？（3）我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？3.问题探究： 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0322=+-x x ；（3）062ln =-+x x二、 层层推进，组织探究：1. 创设情境：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y○3方程0322=+-x x 与函数122+-=x xy2.师生互动：师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？3.组织探究：老师给出函数零点的定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．思考函数零点的概念，写出上述问题中三个函数的零点？并填下表 函数322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数的零点方程的根4.师生共同观察、分析得出对函数零点的几点认识：（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．（3）函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：○1（代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5.互动讨论：是不是所有的二次函数都有零点？师：仅提出问题，不须做任何提示；引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况。
(教师用书)高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在配套课件 北师大版必修1
)
B．(2,3) D．(e,3)
∵f(2)＝ln 2－1<0，
2 f(3)＝ln 3－ >0， 3 ∴f(2)· f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)内有零点．
【答案】 C
1 ． 确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数 零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的 符号是否相反． 2 ．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断 零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．
2 函数 f(x)＝ln x－ 的零点所在的大致区间是( x A．(1,2) C．(3,4)
§ 1
函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间 的关系． (2)掌握函数零点存在的方法． (3)能结合图像求解函数零点问题．
2．过程与方法 通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函 数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判 断方法． 3．情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义 和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中 不同内容之间的内在联系．
●重点难点 重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系． 通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的 存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次 函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方 程与相应的函数的情形．
它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内 在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与 方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立 函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系， 逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．
高中数学函数与方程 知识探讨 北师大版 必修1
函数与方程 知识探讨本节包含利用函数性质判断方程解的存在和利用二分法求方程的近似解两部分内容．这是方程理论中的两个问题．代数方程理论有下列几个主要问题：（1）根式解问题；（2）根的分布及近似计算；（3）根的存在问题；（4）根的性质的研究．根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来．但是五次以上的代数方程和许多超越方程（如课本第132页例2）并不存在根式解或一般的公式．很多方程问题往往要回答根的存在性问题，某些问题虽然不要求得到精确的解，但往往要求得到满足一定条件的近似解．本节是在前面学习函数的基础上，以函数为工具，利用方程与函数的关系来判定和求解方程的近似解．1．关于利用函数性质判定方程解的存在性问题，教材首先提出问题，通过实例分析（例1），抽象概括出函数的零点概念，并给出了零点个数与方程的实数解的关系．这就是说，方程f （x ）＝0的解是否存在等价于函数f （x ）的零点是否存在，也就等价于f （x ）的图象与x 轴是否有公共点的问题．课本中“若f （a ）·f （b ）＜0，则在区间（a ，b ）内，方程f （x ）＝0至少有一个实数解”的结论是建立在连续函数基础上的，特别需要指出的是，连续函数的概念不要给学生介绍，让学生通过实例直观了解什么是连续曲线就可以了．要让学生知道，初等函数的图象在其定义域内的区间上都是连续曲线．使学生理解方程与函数之间的内在联系是学好本部分内容的关键．例1是一个二次代数方程在（－∞，＋∞）内解的存在性问题，例2是一个超越方程在区间［－1，0］内解的存在性问题．例3首先需将一个方程转化构造出一个函数，再进行证明，难点是区间端点的选取以及对“f （a ）·f （b ）＜0”的本质理解“在区间（a ，b ）内有曲线穿过x 轴”．2．关于利用二分法求方程的近似解问题，课本采用了二分法．二分法的优点是思想方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根．二分法的一般过程是：假设f （x ）在［a ，b ］上连续，且f （a ）·f （b ）＜0．（不妨设f （a ）＜0，f （b ）＞0）取区间［a ，b ］的中点2b a ＋，若02＝＋b a f ，则f （x ）＝0的根是2b a ＋＝ε； 若02＞＋b a f ，则令a 1＝a ，21b a b ＋＝；若02＜＋b a f ，则令21b a a ＋＝，b 1＝b ． 于是形成新区间［a 1，b 1］，它包含f （x ）＝0的根ε．（图（3）和图（4））图（3） 图（4）再取［a 1，b 1］的中点211b a ＋，若0211＝＋b a f ，则211b a ＋＝ε．若0211＞＋b a f ，则令a 2＝a 1，2112b a b ＋＝；若0222＜＋b a f ，则令2112b a a ＋＝，b 2＝b 1．于是又形成新区间［a 2，b 2］，其长度等于22a b －，它包含方程f （x ）＝0的根ε．……，若允许误差k －＝10ε，则按这个过程作出区间［a 1，b 1］，［a 2，b 2］，…，［a n ，b n ］，]2lg )lg([a b k n －＋＝（［x ］表示x 的整数部分），于是2n n b a ＋＝ε是方程f （x ）＝0的近似根，误差不超过k n a b －＋－－102|*|1≤≤εε． 3．建议讲解本节内容时，适当补充相关史料，但对实根的近似计算不必介绍更多的方法．有些方法今后还会学到．对学有余力的学生可指导其上网查阅一些其他简单方法，如：秦九韶法（亦称和纳法）、迭代法以及0.618法等．0.618法0．618法也称黄金分割法，它是批次不限定，每批做一个试验的最优方法．试验点的选取可以用下公式计算：第一个试验点：；其余试验：． 注意，这里是指中间已经做过的试验点，而不是中点． 课本第138页问题3给出了一个函数：f （x ）＝|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |＋|x －e |＋|x －f |．怎样求出这个函数的最小值呢？下面给出一个此类问题的一般的结论．函数∑n i i ax x f 1||)(＝－＝（a 1＜a 2＜…＜a n ）有最小值：（1）当n 为奇数时，最小值为)(21＋n a f ；（2）当n 为偶数时，最小值为)(2n a f 或)(21＋n a f ．如果a i ＝a j （i ，j ＝1，2，…n ，i ≠j ），问题将转化为∑ni i i a x px f 1||)(＝－＝（p i 为正整数，i ＝1，2，…，n ）型函数的最值问题．当p i （i ＝1，2，…，n ）为正实数的一般情况时有以下结果：定理：设∑n i i p S 1＝＝，函数∑n i i i a x p x f 1||)(＝－＝（a 1＜a 2＜…＜a n ，p 1，p 2，…，p n 为正实数）有最小值：（1）s p 211＞时，最小值为f （a 1）；（2）当p 1＋p 2＋…＋P i －1≤s 21且p 1＋P 2＋…p i ＞s 21（i ＝1，…，n ）时，最小值为f （a i ）．函数f （x ）的图象如下图所示：p 1＋p 2＋…＋p i －1＜s 21且p 1＋p 2＋…＋p i －1＝s 21时，p 1＋p 2＋…＋p i ＞s 21时，从图象容易看出，方程f （x ）＝m 的解只可能有无解、一解、两解，无数个解四种情况且一解与无数解的情况均在m 等于f （x ）的最小值时得到．【例】（车站选址问题）下图是一个工厂区的地图，若干个工厂分布在公路两侧，由一些小路与公路相连，由小路经各路口的工厂数目分别为p 1，p 2，…，p n ，现要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好．问：这个车站设在什么地方最好？分析：问题可抽象为求一点x ，使函数 n i i i a x px f 1||)(＝－＝有最小值．其中a 1，a 2，…，a n 是各路口的位置坐标．很明显，最佳位置的选定仅与p 1，p 2，…，p n 的大小及顺序有关．而与a 1，a 2，…a n 无关．由本文所给定理容易求解车站最佳位置．代数方程（algebraic equation ）代数方程指多项式方程，其一般形式为a n x n ＋a n －1xn －1＋…＋a 1x ＋a 0＝0，是代数学中最基本的研究对象之一．在20世纪以前，解方程一直是代数学的一个中心问题．二次方程的求解问题历史久远．在巴比伦泥板中（公元前18世纪）就载有二次方程的问题．古希腊人也解出了某些二次方程．中国古代数学家赵爽（公元3世纪）在求解一个有关面积的问题时，相当于给出二次方程－x 2＋kx ＝A 的一个根)4(212A k k x －－＝．7世纪印度数学家婆罗摩笈多给出方程x 2＋px －q ＝0的一个求根的公式)4(212p p p x －＋＝． 一元二次方程的一般解法是9世纪阿拉伯数学家花拉子米建立的．对三次方程自古以来也有很多研究．在巴比伦泥板中，就有相当于三次方程的问题．阿基米德也曾讨论过方程x 3＋a ＝cx 2的几何解法．11世纪波斯数学家奥马·海亚姆创立了用圆锥曲线解三次方程的几何方法，他的工作可以看作是代数与几何相结合的最早尝试．但是三次、四次方程的一般解法（即给出求根公式），直到15世纪末也还没有被发现．意大利数学家帕乔利在1494年出版的著作中还说：“x 3＋mx ＝n ，x 3＋n ＝mx （m ，n 为正数）现在之不可解，正像化圆为方问题一样．”但到16世纪上半叶，三次方程的一般解法就由意大利数学家费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺等得到．三次方程的求根公式最早出现在卡尔达诺的《大术》（1545）之中；四次方程的求根公式由卡尔达诺的学生费拉里首先得到，也记载于卡尔达诺的《大术》中．在16世纪末到17世纪上半叶，数学家们还探讨如何判定方程的正根、负根和复根的个数．卡尔达诺曾指出一个实系数方程的复根是成对出现的，牛顿在他的《广义算术》中证明了这一事实．笛卡儿在他的《几何学》中给出了正负号法则（通称笛卡儿法则），即多项式方程f （x ）＝0的正根的最多数目等于系数变号的次数，而负根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数．但笛卡儿本人没有给出证明，这个法则是18世纪的几个数学家证明的．牛顿在《广义算术》中给出确定正负根数目上限的另一法则，并由此推出至少能有多少个复数根．研究代数方程的根与系数之间的关系，也是这一时期代数学的重要课题．卡尔达诺发现方程所有根的和等于x n－1的系数取负值，每两个根的乘积之和等于x n－2的系数，等等．韦达和牛顿也都在他们的著作中分别叙述了方程的根与系数之间的关系，现在称这个结果为韦达定理．这些工作在18世纪发展为关于根的对称函数的研究．另一个重要课题是今天所谓的因子定理．笛卡儿在他的《几何学》中指出：f（x）能为（x－a）整除，当且仅当a是f（x）＝0的一个根．由此及其他结果，笛卡儿建立了求多项式方程有理根的现代方法．他通过简单的代换，把方程的首项系数化为1，并使所有系数都变为整数，这时他判断，原方程的各有理根必定是新方程常数项的整数因子．牛顿还发现了方程的根与其判别式之间的关系，他在《广义算术》中还给出了确定方程根的上界的一些定理．此外，数学归纳法也在18世纪末开始明确地用于代数学中．18世纪以后，数学家们的注意力开始转向寻求五次以上方程的根式解．经过两个多世纪的努力，在欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等人工作的基础上，19世纪上半叶，阿贝尔和伽罗瓦几乎同时证明了五次以上的方程不能用公式求解．他们的工作开创了用群论的方法来研究代数方程的解的理论，为抽象代数学的建立开辟了道路（见置换群和伽罗瓦理论）．代数方程理论的另一个问题是“一个方程能有多少个根”．中世纪阿拉伯和印度的数学家们都已认识到二次方程有两个根．到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺引入了复数根，并认识到一个三次方程有3个根，一个四次方程有4个根，等等．荷兰数学家吉拉尔在1629年曾推测并断言：任意一个n次方程，如果把复根算在内并且是重根算作k个根的话，那么它就有n个根，这就是代数基本定理．这个定理在18世纪被许多著名的数学家认识到并试图证明之，直到1799年高斯才给出第一个实质性的证明．对代数方程理论的研究，使数学家们引进了在近世代数中具有头等重要意义的新概念，这些新概念很快被发展成为广泛应用的代数理论．规律总结函数是一条纽带，它把中学数学各个分支的知识紧密地联系在一起．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系．一个函数若有表达式，那么这个表达式就可以看成一个方程．一个一元方程，把它的两边分别看成一个函数时，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标．同学们在学习过程中，应注重沟通函数与方程二者之间的联系，初步感受数学的整体性，提高解决问题的能力．本节主要是函数在求方程近似解中的一个应用．为了求出方程f（x）＝0解的近似值，首先必须判定方程f（x）＝0的实数解的存在性，这就要用到函数的一些性质．一经判定方程存在实数解，就能够用二分法求方程解的近似值，只要增加二分的次数，即可求出满足一定精度要求的解．用二分法选定初始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过实验确定端点．用二分法求方程解的近似值的基本步骤是：（1）选定初始区间（a，b），并着手实施二分；（2）取有根区间（a，b）的中点x0作为近似根；（3）确定二分后新的有根区间（a1，b1），再取其中点x1作为近似根，…，如此反复二分下去，得到一系列有根区间（a，b），（a1，b1），（a2，b2），…，（a k，b k），…和近似根序列x0，x1，x2，…，x k，…直到满足精度要求为止；（4）检查近似根是否满足精度要求．。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 1 函数与方程》
方程的根与函数的零点一、设计理念按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的开展，形成良好的思想品质。
〞数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要表达知识的认识和开展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识根底和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。
二、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了根本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力根底之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解〞和后续的学习垫底根底。
因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要。
三、学情分析本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比拟系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的根底，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
四、教学目标〔一〕三维目标：1 知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。
北师版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
北师版高中数学：函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
2013-2014学年高中数学 4.1 函数与方程名师考点精讲 北师大版必修1
〔同步课堂〕2013-2014学年高中数学 4.1 函数与方程名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．(2)函数零点的判定定理：假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，那么在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间〞是一个两端函数值异号的区间；“M〞的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N〞的含义：方程解满足要求的精确度．[小问题·大思维]1．函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f (x )＝0的x 的取值．2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x 轴交点的横坐标三者之间有何关系？ 提示：等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x 轴有几个交点．3．如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是一条连续的曲线，并且有f (a )f (b )＜0，那么在(a ，b )上零点的个数是多少？什么情况下在(a ，b )上有且只有一个零点？假设f (a )f (b )＞0，在区间(a ，b )上就没有零点吗？提示：假设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，当f (a )·f (b )＜0时在(a ，b )上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a ，b )是f (x )的单调区间时只有一个零点；当f (a )·f (b )＞0时也不一定没有零点．[研一题][例1] (1)函数f (x )＝4x－16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)(4)函数f (x )＝2x －3x 2.问方程f (x )＝0在区间[－1，0]内有没有实数解？为什么？ [自主解答] (1)令4x－16＝0，那么4x＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. (2)令f (x )＝0，而x －4x＝0，∴x ＝±2，故有两个．(3)由f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，知函数f (x )的零点在区间(0，1)内． (4)∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，又∵函数f (x )＝2x－3x 2的图像是连续曲线， ∴f (x )在区间[－1，0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1，0]内有实数解． [答案] (1)2 (2)C (3)C[悟一法](1)求函数f (x )的零点的方法：令f (x )＝0，解方程f (x )＝0即可． (2)判断函数零点的个数：常用的方法有①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． ②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像，其交点的横坐标是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f (x )＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．[通一类]1．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A ．[0，18] B ．[18，14]C ．[14，12]D ．[12，1]解析：f (14)·f (12)＝(π4＋log 214)(π2＋log 212)＝(π4－2)(π2－1)＜0.答案：C2．试判断方程x 3＝2x在区间[1，2]内是否有实数解． 解：设函数f (x )＝x 3－2x， 那么f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－4＝4＞0，∴f (1)·f (2)＜0.又函数f (x )＝x 3－2x的图像是连续曲线，∴函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1，2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x在区间[1，2]内至少有一个实数解．[研一题][例2] 当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0，1)上，另一个根在(1，2)上？[自主解答] (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a ＞0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， 因为方程的根分别在区间(0，1)，(1，2)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 〔0〕＞0，f 〔1〕＜0，f 〔2〕＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a －2＋1＜0，4a －4＋1＞0，解得34＜a ＜1.(3)当a ＜0时，设方程的两根为x 1，x 2， 那么x 1·x 2＝1a＜0，x 1，x 2一正一负，不符合题意．综上，当34＜a ＜1时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0，1)上，另一个根在(1，2)上．假设将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，那么a 的取值如何？ 解：设f (x )＝ax 2－2x ＋1， 由得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，f 〔1〕＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f 〔1〕＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －2＋1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a －2＋1＞0. 解得：0＜a ＜1.[悟一法]解决该类问题，有两种常用途径： (1)利用零点的判定定理构建不等式求解．(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．[通一类]3．函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1，1)上有零点，某某数m 的取值X 围． 解：法一：①当函数f (x )＝x 2－x －m ＝(x －12)2－m －14，其对称轴x ＝12∈(－1，1)，故函数在区间(－1，1)上只有1个零点时，Δ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f 〔－1〕·f 〔1〕＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f 〔1〕＝0.即1＋4m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，m 〔m －2〕＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，－m ＝0.解得m ＝－14或0＜m ＜2或m ＝0.②当函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1，1)上有2个零点时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f 〔－1〕＞0，f 〔1〕＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，2－m ＞0，－m ＞0.解得－14＜m ＜0.综上所述，实数m 的取值X 围为[－14，2)．法二：函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1，1)上有零点 ⇔方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解⇔方程x 2－x ＝m 在区间(－1，1)上有解⇔函数y ＝x 2－x 与函数y ＝m 在区间(－1，1)上有交点，∵函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域为[－14，2)，∴－14≤m ＜2，∴实数m 的取值X 围为[－14，2)．[研一题][例3] 求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确到0.1)．[自主解答] 令f (x )＝lg x ＋x －3，在同一坐标系中，作出y ＝lg x 和y ＝3－x 的图像如下图，观察图像可以发现lg x ＝3－x 有唯一解x 0，x 0∈[2，3]，且f (2)＜0，f (3)＞0，利用二分法可列下表：计算次数左端点 右端点 1 2 3 2 2.5 3 3 2.5 2.75 42.5 2.6255 2.562 5 2.625由于区间(2.562 5，2.625)内的所有值假设精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.[悟一法]求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M；③写出方程的近似解．[通一类]4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11 22 1.5 23 1.5 1.754 1.625 1.755 1.687 5 1.756 1.718 75 1.757 1.718 75 1.734 375由上表可知，区间[1.718 75，1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0，2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像．由图像，知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点．1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为( )A．3，1；(－1，－4) B．－3，－1；(－1，4)C．－3，1；(1，－4) D．－3，1；(－1，－4)答案：D2．以下图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：当且仅当函数f(x)在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．答案：C3．(2012·高考)函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为y＝x 12在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝(12)x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x 12－(12)x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝12>0，所以f(x)＝x12－(12)x在定义域内有唯一零点．答案：B4．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，假设x0是[1，2]的中点，那么f (x 0)＝________．解析：由题意知f (x 0)＝f (1＋22)＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625.答案：0.6255．假设函数f (x )＝log a x －x ＋a (a ＞0，a ≠1)有两个零点，那么实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝log a x －x ＋a (a ＞0，a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像和y ＝x －a 的图像有两个交点．画出两个函数图像的草图如下图．由图像可知：当0＜a ＜1时，两函数图像只有一个交点，不符合题意；当a ＞1时，两函数图像一定有两个交点．所以实数a 的取值X 围是a ＞1. 答案：(1，＋∞)6．判断以下函数在给定的区间内是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－8x ＋16，x ∈[1，8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1，3]； (3)f (x )＝2x －3，x ∈[2，4]． 解：(1)f (1)＝9，f (8)＝16，f (1)·f (8)＞0，但是f (4)＝0且4∈[1，8]，所以函数在区间[1，8]内存在零点4；(2)由于f (1)＝log 2(1＋2)－1＝log 232＞0，f (3)＝log 2(3＋2)－3＝log 258＜0，因此f (1)·f (3)＜0，又函数f (x )在区间[1，3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1，3]内存在零点； (3)因为函数的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，所以函数y ＝f (x )的图像在区间[2，4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．函数的图像如下图，观察图像，可得函数在区间[2，4]内不存在零点．一、选择题1．以下函数有两个零点的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝2log 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 012，x ＞0x 3， x ≤0解析：易知A 只有一个零点；对于B ，方程x 2＋2x ＋3＝0无解；对于C ，令2log 2x ＝0，也无解；对于D ，y ＝0有两解x ＝2 012和x ＝0.答案：D2．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2，1] B ．[－1，0] C ．[0，1] D ．[1，2]解析：由于f (－2)＝(－2)3＋5＝－3，f (1)＝13＋5＝6， ∴f (－2)·f (1)＝－18<0，且f (x )在[－2，1]上连续，∴选A. 答案：A3．函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(3，4)解析：∵f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，那么函数f (x )的零点所在的大致区间是(1，2)．答案：B4．假设方程|ax |＝x ＋a (a ＞0)有两个解，那么a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞) B．(0，1) C ．(0，＋∞) D．解析：分三种情况，在同一坐标系中画出y ＝|ax |和y ＝x ＋a 的图像如图：结合图像可知方程|ax |＝x ＋a 有两个解时，有a ＞1. 答案：A 二、填空题5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，可知，f (2)、f (3)分别等于－1、16，又因为f (2.5)＝458＞0，显然下一个有根的区间为[2，2.5)．答案：[2，2.5)6.方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析：分别作出函数f (x )＝3－x 2与函数g (x )＝2－x的图像，如下图．∵f (0)＝3，g (0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．答案：27．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤1，－x ， x ＞1.那么函数y ＝f (x )－2的零点是________．解析：当x ≤1时，y ＝3x－2，令y ＝0，得x ＝log 32≤1， 当x ＞1时，y ＝－x －2，令y ＝0，得x ＝－2不合题意， 综上，零点是log 32. 答案：log 328．y ＝x (x －1)·(x ＋1)的图像如下图，今考虑f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＋0.01，那么方程式f (x )＝0①有三个实根；②当x ＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)； ③当－1＜x ＜0时，恰有一实根； ④当0＜x ＜1时，恰有一实根； ⑤当x ＞1时，恰有一实根． 正确的有________．解析：函数f (x )的图像如下图，由图像易知，当x ＜－1时，方程f (x )＝0恰有一实根；当－1＜x ＜0时，方程f (x )＝0没有实根；当0＜x ＜1时，恰有两个实根；当x ＞1时，没有实根．答案：①② 三、解答题9．判断方程x 3－x －1＝0在区间[1，1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．解：设函数f (x )＝x 3－x －1，因为f (1)＝－1＜0，f (1.5)＝0.875＞0，且函数f (x )＝x 3－x －1的图像是连续的曲线，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1，1.5]内有实数解．取区间(1，1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＜0，因为f (1.25)·f (1.5)＜0，所以x 0∈(1.25，1.5)．再取(1.25，1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22＞0，因为f (1.25)·f (1.375)＜0，所以x 0∈(1.25，1.375)．同理，可得x 0∈(1.312 5，1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．由于区间(1.312 5，1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x 3－x －1＝0在区间[1，1.5]内的一个近似解．10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)假设函数h (x )＝f (x )－ax ，x ∈[2，3]时有唯一零点，且不是重根，某某数a 的取值X 围；(3)当x ∈[－1，1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，某某数m 的取值X 围． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)h (x )＝f (x )－ax ＝x 2－(a ＋1)x ＋1，那么h (2)＝3－2a ，h (3)＝7－3a .所以h (x )＝0在区间[2，3]上有唯一零点，且不是重根，只需⎩⎪⎨⎪⎧h 〔2〕≤0，h 〔3〕≥0或⎩⎪⎨⎪⎧h 〔2〕≥0，h 〔3〕≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≤0，7－3a ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0，7－3a ≤0，解得32≤a ≤73. 经验证，知当a ＝32时，方程h (x )＝0在区间[2，3]上有唯一解x ＝2；当a ＝73时，方程h (x )＝0在区间[2，3]上有唯一解x ＝3；故a 的取值X 围是[32，73]． (3)由题意，得f (x )＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0在区间[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝32，所以g(x)在区间[－1，1]上是减少的．所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1.即m的取值X围为(－∞，－1)．。
数学北师大版高中必修1《方程与函数》说课稿
《方程与函数》说课稿一．说教材函数与方程是中学数学的重要内容．本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．二．说目标（一）认知目标：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）能力目标：培养学生自主发现、探究实践的能力．（三）情感目标：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.三.说重点、难点教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件教学难点：探究发现函数零点的存在性.四．说教法、学法“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是我进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用“启发—探究—讨论”式教学模式.五．说过程（一）创设问题情境。
问题1 求下列方程的根．（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？问题2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，图象与有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程根的情况及相应的二次函数的图象与图象与把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．（二）启发引导，形成概念1．函数零点的概念：把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．辨析练习：判断下列说法的正误．函数的零点是：⑴（-1，0），（3，0）；（）⑵ x=-1和x=3；（）⑷ -1和3．（）2．等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键．（三）初步应用例1 求函数的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）；（2）．设计意图:巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．(四) 讨论探究，揭示定理问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？探究: 观察二次函数的图象，如下图.计算和的乘积；猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有成立，那么函数在区间(a,b)上有零点．设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.1．零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 在区间(a, b)内函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x) = 0在区间(a, b)至少有一个实数解．2．概念辨析：3．说明：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，就是说上述定理不可逆．4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象．反馈练习：函数必有一个零点的区间是（）．A．(-5, -4) B．(-4,3) C．(-1, 0) D．(0,2)设计意图：过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题．引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的例题学习作好铺垫．（五）例题解析例2 判断方程有两个相异的实根，且一个大于5，一个小于2．设计意图：引导学生思考如何应用零点存在定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.(六)知识应用1．判断方程在内的实数解的存在性，并说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________． 答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.课程顾问签字： 教学主管签字：。