静不定结构

11 ——相当系统仅作用 X1 =1时，在 X1 作用点
处 沿 X1 方向的广义位移。 1F ——相当系统仅作用原载荷时，在 X1 作用
点处 沿 X1 方向的广义位移。 1 ——静不定系统在 1处 沿 X1 方向的原有广义
位移。（一般为 1 = 0 ）
双下标——第一下标表示位移发生地点，第二下标 表示引起位移的原因。
h
6
（a）切开一个链杆（二力杆），只有FN，相当 于去掉1个多余约束。
P
FN
P FN
（b）切开一个单铰，有 2个内力分量：FN，FS
相当于去掉2个多余约束。
P
P FS FN
FN FS
h
7
（c）切开一处刚性联结，有3个内力分量FN，FS，M，
相当于去掉3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多3次静不定。
（相当系统2）
m
m
X1 X1
h
12
P
P
P
3次静不定
X2 X3
X1
（相当系统1）
X1
X3
X2
（相当系统2）
P X2 X3
X1
（相当系统3）
P X1
X2 X3
（相当系统4）
h
P X1
X2 X3
（相当系统5） 13
2.求解静不定结构方法（三条件法）
（1）力法：以多余未知力为基本未知量，将 位移表示为未知力的函数，然后按位移协调条 件建立方程，从而解出多余未知力。
多余约束后得到的静定结构，称为 原结构的基本静定系。
相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力 代替被解除的多余约束，并加上原载荷， 则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力变形状态与原静不定结构 完全相同。
h
11
基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
m
（基本静定系1）
（基本静定系2）
（相当系统1）
j1
说明： （1）系数 ij 组成n阶方阵
11 12 1n
21
22
2
n
主系数 ii （i=1,2,…,n） 恒为正
副系数ij ji (i j)（位移互等定理）
n1
n2
nn
可正可负可为零
h
21
11X1 12X2 1nXn 1F 1
21X1 22X2 2nXn 2F 2
(3) 内外混合静不定
静不定次数=外静不定次数+内静不定次数
=多余约束数（内外多余约束数）
=多余未知力个数（约束力和内力）
=未知力个数-平衡方程数
h
9
例
1次静不定
4次静不定
1次静不定
0次静不定=静定
h
10
§16.2 力法求解静不定结构
1. 基本静定系和相当系统 基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本身解除
A
B
A
B
C
D
注意： 多余约束力对维持平衡是多余的，但对工程
实际并不多余，是为提高强度、刚度而加上去的。
h
5
静不定次数的判断： （1） 外静不定结构 外静不定次数=全部约束力个数-独立的平衡方程数
=多余约束力个数
（2）内静不定结构
切开截面内力分量的总数=该截面内部多余约束数 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束 使其变成静定的，则切开截面上内力分量的总数 就是内静不定次数。
工程力学（C）
（下册） ( 30)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
h
1
§16 静不定结构
§16.1 概述
静不定结构的特点：
（1）强度高，刚度大。
例如：
P
P
A
l
2
l 2
B
静定
l
M max为相应静定结构的
3 8
wmax 为相应静定结构的 1
h
33
静不定
2
（2）安全系数高 （3）结构中任意一部分构件的刚度变化会造成结 构中的内力重新分布
F
F FS M FN
FN FS
（d）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉1个多余约束（静不定次数减1)。
单铰----连接2杆, n次复铰----连接n+1杆
n次复铰=n个h 单铰
8
(e)桁架结构
杆数 S ,节点数 n , 若S=2n-3
A
B
若S>2n-3
静定桁架 静不定桁架
C
D S=6,n=4, 6-(2×4-3)=1次静不定
h
19
若为二次静不定，2个多余约束，
2个多余未知力X1，X2
11X1 12X21F 1 21X222X22F 2
(16.2)
q
A
B
C
h
q
X1
X2
20
n次静不定：
11X1 12X2 1nXn 1F 1
21X1 22X2 2nXn 2F 2
(16.3)
n1X1 n2X2 nnXn nF n
n
ijXj iF i i=1,2,…,n
(16.3)
n1X1 n2X2 nnXn nF n
n
ijXj iF i i=1,2,…,n
j1
（2）自由项 iF 可正可负可为零
（3）右端项 i
∴
X1
5 F
16 h
16
讨论：
1） X 1 即为原静不定结构B端的约束力 。
A端的3个约束力可由静力平衡方程求出。
2）X 1 求出后，原静不定系统就相当于在F及X 1
共同作用下的静定梁（相当系统）,进而可按静 定梁的方法求内力、作内力图、求应力和变形、 进行强度和刚度计算。
F
A
B 原静不定系统
F
相当系统
X1 h
17
§16.3 力法正则方程
将上例中的位移协调方程改写一下：
wB1XwBFwB
B1 （B是 X 1 作用处）
力与位移成线性关系
wBX1 1X1 ============== wBF1F
wB 1
11X1
则 11 X11F1 ---- 力法正则方程
h
18
力法正则方程 11 X11F1 （16.1)
（2）位移法：以位移为基本未知量，将多余未 知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方 程，从而通过求解未知位移来求解多余未知力。
本章重点：力法
h
14
3.力法求解简单静不定结构
F
A
B 1 静不定次数：1次
F
2 静定基和相当系统
X1
FBiblioteka Baidu
wBF 3 位移协调条件（保证相当系统
在多余约束处的位移与原静不
（4）静不定结构会产生温度应力和装配应力
温度应力
h
3
装配应力
h
4
1.静不定结构和静不定次数
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束力。 内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力。 “多余约束” ：并非维持结构的平衡所必需的约束。
AB梁中B端可动铰支座，桁架中的CB杆称为多余约
束，相应约束力或内力为“多余约束力”。
w BX 1
X1
定系统相同）
wBwBFwB1X0
h
15
4 物理条件：位移表达为力的函数
F
wBF
5Fl3
wBF 48EI 可用图乘
w BX 1
X1
法计算
wBX1
X1l3 3EI
5 物理条件代入位移协调方程，求解多余未
知力 X 1
wBwBFwB1X0
5Fl3 X1l3 0 48EI 3EI