第4课时互余两角的三角函数关系

锐角三角函数(正弦、余弦和正切)

2．同一锐角三角函数的关系：
如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角，则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号，如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角

北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》

= −+
=2 −

课堂练习
6.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至
顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼
离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
解：由已知得DC=EB=20m

∵tan∠ADC=tan45°=

∴AC=DC∙tan45°
°
（3）
+°
+

°
课堂练习
解： (1)1－2 sin30°cos30°

=1-2× ×
=1-

°
(3)
+°
=

+

+
+

=2- +
=2

°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
=3×

−+×
O
C
B
A
D
答：最高位置与最低位置的高度差约为0.34m。
随堂练习P12
8
驶向胜利
的彼岸
八仙过海,尽显才能
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,
B
扶梯的长度是多少?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
老师期望:
sin30°=
sin60°=
=
2a
2
2a
a
3a 3
1
=2
cos30°=

北师大版九学年数学下册课程教案解直角三角形

2014.12
知识技能
1.在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（1）a=19，c=19 2 （2）a=6 2， b=6 6 2.在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（1）c=20，∠A=45° （2）a=36，∠B=30°
∴梯子与地面所在的角大约是 66°
由 α 要满足 50°≤a≤75°可知，这时梯子是安全的。
2014.12
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
想
∵sinB=
b c
,b=30∴c
=
b sinB
=
30 sin25°
≈71
∵tanB=
b a
,b=30∴a =
b tanB
=
30 tan25°
≈64
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来。
2014.12
随堂练习在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（角精确到1°）（1）已知a=4，b=8 （2）已知b=10， ∠B=60° （1）已知c=20， ∠A=60°
问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的
B
墙（精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地
面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人
是否能够安全使用这个梯子？
解：如图，在Rt △ABC中，∠C=90°

特殊角的三角函数值

同角之间的三角函数的关系
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
求证: sin2 A cos2 A 1.
a b 2 证明 : sin A , cos A , a b 2 c 2 , c c 2 2 a b a 2 b2 c 2 2 2 sin A cos A 2 1. 2 c c c c 即sin 2 A cos2 A 1.
cosA=sinB.
cotA=tanB.
sin 90 cos , cos 90 0 sin ,
0

tan 90 cot ,
0

cot 90 tan ,
0

如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin30°等于多少?
则下底BC的长为 __________．
A 30° B D 60° C
【答案】10
24 4.计算： 2(2 cos 45 sin 60) 4 2 3 2 6 原式 2(2 ) 【解析】 2 2 4
6 6 2 2 2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊三角函数值及推导方式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结合三角函数灵活运用.
(2)cos30°等于多少? (3)tan30°等于多少? (4)cot30°等于多少?
45° 45° ┌ 60°
30°
┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
(5)sin45°,sin60°等于多少? (6)cos45°,cos60°等于多少?

三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文

三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•三角函数的定义•三角函数的基本性质•三角形中的边角关系•两角和与差的正弦余弦和正切公式•解直角三角形的方法•实例讲解01三角函数的定义1正弦函数23正弦函数是三角函数的一种，记作sin(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。

定义正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分。

图像正弦函数是周期函数，最小正周期为2π。

性质余弦函数是三角函数的一种，记作cos(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。

余弦函数定义余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是由一系列的水平和垂直线段组成的。

图像余弦函数是周期函数，最小正周期为2π。

性质图像正切函数的图像也称为正切曲线，它是由一系列的斜线组成的。

定义正切函数是三角函数的一种，记作tan(x)，定义域为所有不等于π/2+kπ(k∈Z)的实数，值域为所有实数。

性质正切函数是奇函数，图像关于原点对称。

正切函数02三角函数的基本性质正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即$f(x+2\pi)=f(x)$和$g(x+2\pi)=g(x)$。

正切函数的周期是π，即$h(x+π)=h(x)$。

周期性1 2 3正弦函数的振幅是1，即$f(x) \in [-1,1]$。

余弦函数的振幅也是1，即$g(x) \in [-1,1]$。

正切函数的振幅需要特别注意，它的振幅不是1，而是没有限制的，即$h(x) \in \mathbf{R}$。

正弦函数和余弦函数的相位可以用正负号来表示，例如$f(x)=sin\omega x$和$g(x)=cos\omega x$，其中$\omega >0$。

正切函数的相位需要特别注意，它没有固定的相位，也就是说$h(x)$中不存在相位的概念。

正弦函数和余弦函数的初相都是一个常数，例如$f(0)=A$和$g(0)=B$。

正切函数的初相需要特别注意，它没有固定的初相，也就是说$h(x)$中不存在初相的概念。

直角三角形的边角关系

(2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB. (3)AC=4,cosA=0.8,求BC.
A
C
13.在梯形ABCD中 ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
┌ BE
┌ FD
求:sinB,cosB,tanB,cotB.
小结拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
1 根据下列条件求∠θ的大小: (1)tanθ=2.988 8;(2)sinθ=0.395 7; (3)cosθ=0.785 0;(4)tanθ=0.897 2.
怎么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P159
洞察力与内秀
按键的顺序
SinA=0.9816 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 =
CosA=0.8607 2ndf cos 0 . 8 6 0 7 =
tanA=0.1890 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 =
tanA=56.78 2ndf tan 5 6 . 7 8 =
tan 键的第二
显示结果
小结拓展
1.锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA=
A的对边斜边
cosA=
A的邻边斜边
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
30°、45°、60°角的三角函数值
例1 计算：（1）sin30°+ cos45°；
（21） 3 cos 30

三角函数公式之间关系

两角和与差的三角函数公式sin(α±β)=sinαcosβ± cosαsinβ诱导公式二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α三角函数的降幂公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα半角的正弦、余弦和正切公式万能公式三角函数的积化和差公式三角函数的和差化积公式化asinx±bcosx为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）正弦定理余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC三角函数公式：三倍角公式：θθθ3sin 4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。

②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： oo45tan 90sin cot tan tan sec cos sin 12222===-=+=αααααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

浙教版九年级下《有关三角函数的计算》

Sin160 Cos420 tan850 sin720 38′25″ sin cos tan sin °′″ 1 4 8 7 2 按键的顺序 °′″ 6 2 5 2 °′″ °′″ 显示结果 = = = 0.275635355 0.743144825 11.4300523 0.954450312
3 8 °′″ 5 °′″ =
例1。如图1-13，在Rt△ABC中， ∠C =90 ° 。已知AB=12cm， ∠ A=35 ° ，求的周长和面积（周长精确到0。1cm，面积保留3个是效数字）.
C
A
A
B
随堂练习
1 用计算器求下列各式的值: (1)sin560,(2) sin15049′, (3)cos200,(4)tan290, (5)tan44059′59″, (6)sin150+cos610+tan760.
2.会使用计算器进行由已知锐角求三角函数值的计算，并解决简单的实际问题。
重点和难点：
1.本节教学的重点是用计算器求已知锐角的三角函数值。 2. 本节开头的引例把问题归结为已知直角三角形的锐角度数、邻边长，求对边，需要较强的空间想象能力和分析问题的能力，是本节教学的难点。
课后反思
对于本节一开始提出的问题,利用 0 科学计算器可以求得: BC=ABsin16 ≈200×0.2756≈55.12.
当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=420,由此你能计算什么?
老师提示:用计算器求三角函数值时, 结果一般有10个数位.本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位.
B
450
300
A
0 300 45 ┌ B 4cmC D

5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1．会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点二倍角公式公式简记正弦sin 2α＝□12sin_αcos_αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝□22cos2α－1＝□31－2sin2αC2α正切tan 2α＝□42tan α1－tan2αT2α(1)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想；(2)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；降幂公式：sin αcos α＝12sin 2α；cos2α＝1＋cos 2α2；sin2α＝1－cos 2α2.[微练1]计算1－2sin222.5°的结果等于()A．12B．22C．33D．32答案：B[微练2]已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－24 7[微练3]已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α＝________．答案：－8 9题型一给角求值(链接教材P223练习T5)求下列各式的值．(1)sin π8cosπ8；(2)cos2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos π5cos2π5cos45πcos85π[解](1)sin π8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin 2π6＝cos(2×π6)＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π5cos45πcos85π2sinπ5＝sin2π5cos2π5cos45πcos85π2sinπ5＝sin45πcos45πcos85π4sinπ5＝sin85πcos85π8sinπ5＝sin165π16sinπ5＝－116.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan230°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin（30°－10°）sin（2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.题型二给值求值(1)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝()A．15B．55C．33D．255(2)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝()A ．725B ．15C ．－15D ．－725(3)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C ．15D ．45[解析] (1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈(0，π2)，所以2sin α＝cos α，与sin 2α＋cos 2α＝1联立，解得sin α＝55.(2)法一：因为cos (π4－α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725.法二：因为2(π4－α)＝π2－2α，所以sin 2α＝cos (π2－2α)＝2cos 2(π4－α)－1＝－725. (3)法一：由tan θ＝－13，cos 2θ＋sin 2θ＝1，得sin 2θ＝110，cos 2θ＝910，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45.法二：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－（－13）21＋（－13）2＝45. [答案] (1)B (2)D (3)D解决给值求值问题的方法(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： ①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )] ＝2cos 2(π4－x )－1＝1－2sin 2(π4－x )； ②cos 2x ＝sin(π2－2x )＝sin[2(π4－x )] ＝2sin(π4－x )cos(π4－x )．2．(1)已知sin (x ＋π6)＝m ，则cos (2x －2π3)＝( ) A ．1－2m 2 B ．2m 2－1 C ．mD ．2m －1(2)已知tan (α－π3)＝33，则tan 2α＝( ) A ．－4 3 B ．－32 C ．4 3D ．32解析：(1)B cos (2x －2π3)＝cos [2(x ＋π6)－π]＝－cos 2(x ＋π6)＝2sin 2(x ＋π6)－1 ＝2m 2－1.(2)A 已知tan (α－π3)＝tan α－tan π31＋tan αtan π3＝33，解得tan α＝－32，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.题型三化简与证明问题(1)化简：11－tan θ－11＋tan θ；(2)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．[解] (1)原式＝（1＋tan θ）－（1－tan θ）（1－tan θ）（1＋tan θ）＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．1．化简问题的解题策略(1)着手点：从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．(2)化简方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.2．证明三角恒等式的方法(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； (2)比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．3．(1)设α∈(2π，3π)，2＋2＋2cos α的化简结果为________．解析：∵α∈(2π，3π)，∴π＜α2＜3π2，π2＜α4＜3π4， ∴cos α2＜0，sin α4＞0， ∴ 2＋2＋2cos α＝ 2＋2（1＋cos α）＝ 2＋2×2cos 2α2＝2（1－cos α2）＝2×2sin 2α4＝2sin α4.答案：2sin α4(2)求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ．证明：左边＝1＋cos （2A ＋2B ）2－1－cos （2A －2B ）2＝cos （2A ＋2B ）＋cos （2A －2B ）2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A ·cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴原等式成立．1.知识网络2．特别提醒(1)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．(2)一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.课时规范训练 A 基础巩固练1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( )A ．－12 B ．12 C ．32D ．－32解析：B 原式＝cos 20°sin 20°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12×sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin(π4－x )＝35，则cos(π2－2x )的值为( ) A ．1925 B ．1625 C ．1425D ．725解析：D 因为sin(π4－x )＝35，所以cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )] ＝1－2sin 2(π4－x )＝725.3．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A ．53 B ．23 C ．13D ．59解析：A 因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，所以6cos 2α－8cos α－8＝0，所以3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－23，因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝53.故选A ．4．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－cos α2D ．－sin α2解析：C 因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 5．(多选题)下列式子的值为－32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．sin 215°－cos 215° C ．2sin 215°－1D ．1－2cos 215°解析：BCD 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，A 不正确，B 、C 、D 项所得值都是－cos 30°＝－32.6．(多选题)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1( )A．最小正周期为πB．最小正周期为π2C．是奇函数D．是偶函数解析：AC y＝2cos2(x－π4)－1＝cos 2(x－π4)＝cos(2x－π2)＝sin 2x，故T＝π，且为奇函数．故选AC．7.4tanπ81－tan2π8＝________．解析：原式＝2×2tanπ81－tan2π8＝2tan(2×π8)＝2tan π4＝2.答案：28.1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2 cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin（α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）. 因为α为第二象限角，且sin α＝154，所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14. 所以原式＝24cos α＝－ 2.B 能力进阶练10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( ) A ．32 B ．1 C ．1＋32D ．1＋ 3解析：A f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin(2x －π6)．∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.11．(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．函数f (x )的图象关于点(π2，0)对称 C ．函数f (x )是奇函数 D ．函数f (x )的最小正周期为π解析：BCD 因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x (x ≠k π2(k ∈Z ))，所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点(π2，0)对称，故选BCD ．12．若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2＋13x－49＝0的两个实根，则cos 2α等于()A．179B．±179C．－179D．173解析：A∵cos α，sin α是一元二次方程x2＋13x－49＝0的两个实根，∴cos α＋sin α＝－1 3，cos α·sin α＝－4 9.又α∈(0，π)，cos α·sin α＝－49<0，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－（cos α＋sin α）2－4cos α·sin α＝－（－13）2－4×（－49）＝－173，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(－13)×(－173)＝179.13．已知sin θ2＋cosθ2＝233，那么sinθ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cosθ2＝233，所以(sin θ2＋cosθ2)2＝43，即1＋2sin θ2cosθ2＝43，所以sin θ＝1 3，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(13)2＝79. 答案：13 7914．已知sin x 2－2cos x 2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos （5π4＋x ）sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2，所以tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2x cos （5π4＋x ）sin （π＋x ）＝cos 2x －cos （π4＋x ）（－sin x ）＝cos 2x －sin 2x （22cos x －22sin x ）sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2·cos x ＋sin x sin x＝2·1＋tan x tan x＝24.C探索创新练15．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝5－12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则m4－m22cos227°－1等于()A．4 B．5＋1 C．2 D．5－1解析：C由题意可知2sin 18°＝m＝5－1 2，所以m2＝4sin218°，则m4－m22cos227°－1＝2sin 18°4－4sin218°2cos227°－1＝2sin 18°·2cos 18°cos 54°＝2sin 36°cos 54°＝2.。

30度,45度,60度角的三角函数值

A
B
c
a ┌ C
b
互余两角之间的三角函数关系 sinA=cosB tanA=cotB cosA=sinB. cotA=tanB.
B c a b
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它 A 的余角的余切(或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
c B
a
A b ┌ C
互余两角之间的三角函数关系直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.
由感性知识上升到理性知识: 在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么关系? tanA和cotB有什么关系?
a sin A , c b sin B , c b a b cos A , tan A , cot A . c b a a b a cos B , tan B , cot B . c a b
300
3
┌
独立作业
知识的升华
P13 习题1.3 1,2,3题;
祝你成功！
驶向胜利的彼岸
பைடு நூலகம்
P13 习题1.3 1,2题
独立作业
A D
1.计算; 1 (1)tan450-sin300; 2 3 0+sin450-tan300; 3 2 2 3 ┐ (2)cos60 B
36 tan
sin A a b cos A 证明 : tan A , cot A , b a c a b tan A cot A 1. b a a b 又 sin A , cos A , A b c c b a cos sA c b sin A c a cot A. tan A, sin A a a cos A b b

《三角恒等变换》三角函数PPT教学课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)

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[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2245，
sin 2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝275，
() A．2sin 15°cos 15°
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ 23；
B．cos215°－sin215°
sin215°＋cos215°＝1，故选B.]
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
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7
2．sin 15°cos 15°＝________.
1 4
[sin 15°cos 15°＝12×2sin
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1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
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[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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(2)法一：左边＝cos2θ1－csoins22θθ ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝cos2θ1－csoins22θθ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．
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1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：

直角三角形的边角关系复习教案

直角三角形的边角关系复习一、教学要求1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA 、cosA 、tgA ，表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数数值说出这个角。

2、理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识。

3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力。

二、知识回放1．锐角三角函数的概念如图，在∆ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)∠A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝(2) ∠A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝(3) ∠A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA ，即tgA ＝2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝12)倒数关系：tgA·tg(90°－A)＝13)商的关系：tgA ＝，(2)互为余角的函数之间的关系sin(90°－A)＝cosA ，cos(90°－A)＝sinA3．直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(2)锐角之间的关系：090=∠+∠B A(3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝4．一些特殊角的三角函数值5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律。

(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0≤α≤90° 则Sinα，tgα随α的增大而增大，Cosα，Ctgα随α的增大而减小。

三角函数值

sin A cos B, sin B cos A tan A tan B 1
活动探究
观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
2
1
3
（1）sin30º 等于多少？你是怎样得到的？与同伴进行交流。（2）cos30º 等于多少？tan30º呢？
做一做
（3）60º 角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？
45
┌
600
┌
a b c
2 2
2
0
A B 90
cosA=sinB,
a sin A c
b cos A c
a tan A b
b tan B a
b cos B a sin B c c sin A cos B, tan A tan B 1
则∠C= 105°
三角函数 sina 角a
cosa
3 2 2 2
1 2
tana
3 3
30º
45º 60º
1 2
2 2
3 2
1
3
再次观察表格，你还能发现什么？
增大正弦值随着角度的增大而＿＿＿＿；
减小余弦值随着角度的增大而＿＿＿＿；
增大正切值随着角度的增大而＿＿＿＿。
三角函数 sina 角a
cosa
3 3
30º
45º 60º
1 2
2 2
3 2
1
3
计算（1） sin30°+ cos45°
解：原式＝
1 2
＋
2 2
1 ＋ 2 ＝ 2 2 2 cos 60° + sin 60 ° － tan 45° （ 2） 3 2 1 2 解：原式（）（）－ 1 2 2

初中数学九年级第4章锐角三角函数知识点清单最新最全

第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦知识点1 正弦1.正弦的定义2.特殊角的正弦值3.利用计算器求锐角的正弦值或由正弦值求锐角。

特别提醒1. sinα是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成sin·a2.正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数,如sinα,sin A, sin∠ ABC,sin∠2, sin 70°.知识点2 余弦1.余弦的定义2.特殊角的余弦值3.利用计算器求锐角的余弦值或由余弦值求锐角。

知识点3 互余两角正弦值和余弦值的关系1.同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系：sin²A+cos²A=1(平方关系)2.互余两角的正弦值和余弦值之间的关系：3.sin A=cos(90°-∠A) cos A=sin(90°-∠A)锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.4.2 正切知识点1 正切1.正切的定义2.特殊角的正切值3.利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角。

4.拓展：(1)互余两角的正切值之间的关系：tan α·tan(90°-α)=1.(2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系：tan α= sinαcosα特别提醒：1.tan a是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成tan・α.2.tan α中的α角的符号"∠"习惯上省略不写,但对于用三个大写英文字母或数字表示的角,角的符号不能省略。

3. tanα的值只与角α的大小有关,与所在直角三角形的边的长短无关.4.正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数.知识点2 锐角三角函数1.定义：从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角a都有唯一确定的比值sin α(或cos α,tan α)与它对应.当角α变化时，它的比值sin α(或cos α,tan α)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数2.特殊角的三角函数值：特别提醒并非只有在直角三角形中才有三角函数值,而是只要有角就有三角函数值.锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系,它是一个比值,无单位,这些比值只与锐角的大小有关.在锐角三角函数中,自变量是角a.4.3 解直角三角形知识点1 解直角三角形的定义一般地，在直角三角形中，除直角外,共有五个元素，即三条边和两个锐角，在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.(1)在直角三角形中、除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知识点2 直角三角形中的边角关系1.直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除∠C外的5个元素之间有如下关系：1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理)(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90(3)边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边= ac,sinB=∠B的对边斜边= bc,cosA =∠A的邻边斜边= bc, cosB =∠B的邻边斜边= ac,tanA=∠A的对边∠A的邻边= ac, tanB =∠B的对边∠B的邻边= ac,3.运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：（1）锐角之间的关系：∠A=90°-∠B，∠B=90°-∠A；（2）三边之间的关系：a=√c2−b2, b=√c2−a2,c=√a2+b2;（3）边角之间的关系：a=c·sinA ,a=c·cosB ,a=b·tanA ,b=c·sinB ,b=c·cosA ,b=a·tanB,4.4 解直角三角形的应用知识点1 解直角三角形在实际中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示.特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时,可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时,若相关的角不是直角三角形的内角,应利用平行线的性质或互余互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角,再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式,运用方程求解。

25.2 30度,45度,60度角的三角函数值(1)-

A
B
c
a ┌ C
sinA=cosB或cosA=sinB. tanA=cotB或cotA=tanB.
b
回顾与思考 1
互余两角之间的三角函数关系
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦 (或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切 (或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
B c a b
┌ C
回顾与思考 1
互余两角之间的三角函数关系
驶向胜利的彼岸
一般地,∠α的余角为900-∠α,即∠α和900∠α角互为余角.
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
1
1
做一做P11 4
洞察力与内秀
驶向胜利的彼岸
特殊角的三角函数值表
三角函数正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 余切cotα 锐角α
300
要能记住有多好
450
600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
1
3
3 3
这张表还可以看出许多知识之间的内在联系呢?
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少 ? (7)tan450,tan600等于多少? (8)cot450,cot600等于多少?
驶向胜利的彼岸
300
2
450
450
2 1
600
3
┌
┌

锐角三角函数内容解读

锐角三角函数内容解读作者：朱绍志来源：《初中生世界·九年级》2015年第04期锐角三角函数是初中数学的重要内容，掌握锐角三角函数的概念及性质更是学好解直角三角形的关键，因此学习时应注意掌握以下几个要点：一、锐角三角函数的定义研究锐角三角函数的定义，是将锐角放在直角三角形中，用直角三角形的边之间的比值来定义的. 即如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则温馨提示：（1）弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义，这是理解定义的基础. 如在Rt△ABC中，∠C=90°，对∠A来说，BC是对边、AC是邻边，而对∠B来说，BC是邻边、AC是对边，无论怎样，“边”一定要分清.（2）为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.（3）从定义可以看出，锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的，当角度固定不变时，无论边怎样变，三角函数的值是确定的.（4）三角函数的符号是一个整体数学符号，不能看成是sin和A相乘的关系，而是“∠A 的正弦”，同加减乘除一样，相当于一个运算符号.二、特殊角的三角函数值任意角的三角函数值都可以利用计算器求得，但对于特殊角（即30°、45°、60°）的三角函数值应当熟练掌握，这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形. 常用的记忆方法有三种：1. 列表法，就是利用课本上的表格记忆，如下图表格.2. 寻找规律法，从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆. 如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次为而余弦值正好反过来；30°、60°的正切值是互为倒数. 为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦123，余弦321，正切313”.3. 图形推导法，当记忆不准确时，如图2可在含有特殊角的直角三角形中利用定义进行推导.温馨提示：特殊角的三角函数值有两层含义：（1）由特殊角的度数可得它的三角函数值；（2）根据特殊角的三角函数值，可求得它的度数.由于∠A，∠B均为锐角，因此∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°，故选B.三、学会利用“数形结合”探究性质由锐角三角函数的定义，利用“数形结合思想”可得以下几个重要性质：1. 增减趋势：当0°如图3，在Rt△A3BC中，∠C=90°，若设∠BA3C=α，当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3B变小，而BC不变，则sinα的值增大；当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3C变小，而BC不变，则tanα的值增大；若设∠A3BC=β，当A3向A2、A1移动时，β减小，这时A3B变小，而BC不变，则cosβ的值增大.2. 根据三角函数的定义结合图形，还可以得到如下的性质，同学们可以自主探究.（1）取值范围：如果0°0.（2）比较大小：①同名锐角三角函数值的比较，如果0°cosβ，tanα②不同名但同角的锐角三角函数值的比较，如果0°cosα.（3）同角三角函数间的关系：①平方关系：sin2α+cos2α=1；②倒数关系：tan（90°-α）·tanα=1；③商式关系：tanα=.（4）互余两角的三角函数间的关系：cos（90°-α）=sinα，cosα=sin（90°-α）. （作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）。

【庆福数学】解直角三角形知识点总结

解直角三角形知识点强化记忆知识点1：正弦、余弦、正切、余切的概念（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数：取值范围全称简写锐角∠A 的正弦斜边的对边A 0＜sinA ＜1 sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 tangent tan (或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 cotangent cot (或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

知识点2：同角三角函数的关系：（1）平方关系： sin 2A+cos 2A =1（2）商数关系： tanA=A A cos sin ，cotA=A Asin cos （3）倒数关系： tanA =Acot 1，tanA · cotA=1tanA · tanB=1 cotA ·cotB=1（∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°）注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１，同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。

同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；互余两角正切值的积为1；互余两角余切值的积为1 （１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形，如：sin A ，cos A =因为∠A 为锐角，所以0＜sinA ＜1,0＜cosA ＜1 所以其中的负值舍去（２）ｓｉｎ2α是（ｓｉｎα）2的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ2α写成ｓｉｎα2，前者是α的正弦值的平方，后者表示α2的正弦值。