温州大学考研真题822高等代数硕士研究生专业课考试试题(2015-2018年)
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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（15 分）判断多项式 f (x) x5 x3 4x2 3x 2 在实数域上有无重因式，若
有的话，求出重因式并指出其重数。
2、（20 分）计算下列 n 级行列式
12 2
1
5 , ABC=A+C,
求矩阵 C.
3 4 16 3 4 17
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2017 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
6、(15 分)设 f1 (x) x2 2x 2 , f2 (x) x2 1, f3 (x) 2x2 2x 3 , g1 (x) x2 x 1 ,
2345
2、(20
分)设
D=
3 4
4 5
5 2
2
3,
Aij 和 M ij 分别为 D 的(i, j)位置对应的代数余子式
5234
和余子式. 分别求 A11 A12 A13 A14 和 M12 M 22 M 32 M 42 .
2 3 4 n n1
2 2 0 0 0
3、(10 分)计算行列式: 0 3 3 0 0
价：
(1) 是正交变换；
(2) 保持向量的长度不变，即对于任意 V ， ；
(3)如果1,2,L ,n 是标准正交基，那么1,2,L ,n 也是标准正交基. 9、（15 分）设1,L ,n 为一线性无关的向量组, 为向量.证明要么向量组 1 ,L ,n 线性无关, 要么向量组1 ,L ,n 线性无关.
2、（20）计算下列 n 级行列式。
cos 1
1) 0
0
1 2 cos
1 0
0 1 2 cos 0
0 0 0 1
0 0 0 2 cosห้องสมุดไป่ตู้
1 a1 1
2) 1
1
1 1 a2
1
1
1 1 1 a3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 an
3、（20）讨论 a,b 取什么值时，下列方程有解，并求解。
1 1L 0 0L
（1） M M
0 n 1 L n 0L
11 21
M M，
01 01
2 1 0L 1 2 1L 01 2L （2） M M MO 0 0 0L 0 0 0L
00 00 00
. MM 21 12
3、（20 分） k 取何值时，线性方程组
2x1x1x23x2
x3
1 kx3
3
x1 kx2 3x3 2
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2017 年硕士研究生招生考试试题 A
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（15分）设 f (x) x5 5x4 5x3 10x2 20x 8 ，求 f (x) 的所有根(提示: 先求 f (x)
的所有有理根).
5、（15）证明：次数 0 且首项系数为 1 的多项式 f (x) 是一个不可约多项式的 方幂的充分必要条件为：对任意的多项式 g(x) 必有 ( f (x), g(x)) 1，或者对某一 正整数 m, f (x) | gm (x) 。
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2016 年硕士研究生招生考试试题 A
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（20）设 f (x) x5 x4 2x3 x2 x 2 ，求 f (x) 的有理根，并写出 f (x) 在实数
域和复数域上的标准分解式。
无解？有唯一解？有无穷多解？当有解时，求出其一切解。
4、（15 分）在 实 数 域 内 ， 用 非 退 化 线 性 替 换 化 二 次 型
f (x1, x2, x3) 4x1x2 2x1x3 2x2x3 为规范形（写出所作的非退化线性替换）. 5 、（15分）设有向量组
1 1,0, 2,1,2 2,0,1, 1,3 3,0,3,0 ; 1 1,1,0,1, 2 4,1,3,1 .
2 1 1
1 0 0
1 0 2
2 0 3 2
A
1 3
1 2
1 1
，
B
0 0
0 1
1 0
，
C
0 3
2 2
1
，
D
0
7
3
3
3
2
3
8
3
.
7、（15 分）设 A为 n 级方阵. 证明：若任意非零 n 维向量都是 A的特征向
量，则 A是数量矩阵。
8、（20分）设 是 n 维欧氏空间V 的线性变换，证明下面三个命题相互等
0 0 0 n n
4、(25 分)讨论 取什么值时, 线性方程组
( 1)x1 x2 x3 2
2 x1
x2
2x3
2
3x1 3x2 ( 1)x3 4
有唯一解、无穷多解、没有解，对有无穷多解的情形，求其一般解.
5、(15
分)设
A 1
9 2
12 3
3 10 4 , B 2
ax1x1bxx22
x2 x3
4 3
x1 2bx2 x3 4
4、（15）求由向量i (i 1, 2) 生成的子空间与由向量 j ( j 1, 2) 生成的子空间的
交的基和维数。 设
12
(1, 2,1,0), (1,1,1,1),
1 2
(2, 1,0,1), (1, 1, 3, 7).
求的所有特征值和特征向量. 8、(30分)设是数域P上线性空间V的一个线性变换, 1, 2 ,, n 是V的一组基,
2+ =2 (为恒等变换), 在1, 2 ,, n 下的矩阵为A. 证明:
(1) 秩(AE)+秩(A+2E)=n;
(2) 的特征值只能是1或2;
(3) V V1 V2 , 这里V1 是的属于特征值1的特征子空间, V2 是的属于 特征值2的特征子空间.
g2 (x) 4x2 5x 2 , 生成子空间W1 L f1 (x), f2 (x), f3 (x),W2 Lg1 (x), g2 (x) , 求
W1 W2 的一组基和维数.
7、(20 分)设为线性空间 R3 的线性变换: (x1, x2 , x3 ) (7x1 2x2 5x3 , 4x1 2x2 , 3x1 2x2 x3 ) ,
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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
令V1 L 1,2,3 ,V2 L 1, 2 . 求V1 V2 的维数和一组基.
6、（15 分）设 AXB 3C D 0 ，求矩阵 X ，其中
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（15 分）判断多项式 f (x) x5 x3 4x2 3x 2 在实数域上有无重因式，若
有的话，求出重因式并指出其重数。
2、（20 分）计算下列 n 级行列式
12 2
1
5 , ABC=A+C,
求矩阵 C.
3 4 16 3 4 17
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2017 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
6、(15 分)设 f1 (x) x2 2x 2 , f2 (x) x2 1, f3 (x) 2x2 2x 3 , g1 (x) x2 x 1 ,
2345
2、(20
分)设
D=
3 4
4 5
5 2
2
3,
Aij 和 M ij 分别为 D 的(i, j)位置对应的代数余子式
5234
和余子式. 分别求 A11 A12 A13 A14 和 M12 M 22 M 32 M 42 .
2 3 4 n n1
2 2 0 0 0
3、(10 分)计算行列式: 0 3 3 0 0
价：
(1) 是正交变换；
(2) 保持向量的长度不变，即对于任意 V ， ；
(3)如果1,2,L ,n 是标准正交基，那么1,2,L ,n 也是标准正交基. 9、（15 分）设1,L ,n 为一线性无关的向量组, 为向量.证明要么向量组 1 ,L ,n 线性无关, 要么向量组1 ,L ,n 线性无关.
2、（20）计算下列 n 级行列式。
cos 1
1) 0
0
1 2 cos
1 0
0 1 2 cos 0
0 0 0 1
0 0 0 2 cosห้องสมุดไป่ตู้
1 a1 1
2) 1
1
1 1 a2
1
1
1 1 1 a3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 an
3、（20）讨论 a,b 取什么值时，下列方程有解，并求解。
1 1L 0 0L
（1） M M
0 n 1 L n 0L
11 21
M M，
01 01
2 1 0L 1 2 1L 01 2L （2） M M MO 0 0 0L 0 0 0L
00 00 00
. MM 21 12
3、（20 分） k 取何值时，线性方程组
2x1x1x23x2
x3
1 kx3
3
x1 kx2 3x3 2
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2017 年硕士研究生招生考试试题 A
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（15分）设 f (x) x5 5x4 5x3 10x2 20x 8 ，求 f (x) 的所有根(提示: 先求 f (x)
的所有有理根).
5、（15）证明：次数 0 且首项系数为 1 的多项式 f (x) 是一个不可约多项式的 方幂的充分必要条件为：对任意的多项式 g(x) 必有 ( f (x), g(x)) 1，或者对某一 正整数 m, f (x) | gm (x) 。
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2016 年硕士研究生招生考试试题 A
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（20）设 f (x) x5 x4 2x3 x2 x 2 ，求 f (x) 的有理根，并写出 f (x) 在实数
域和复数域上的标准分解式。
无解？有唯一解？有无穷多解？当有解时，求出其一切解。
4、（15 分）在 实 数 域 内 ， 用 非 退 化 线 性 替 换 化 二 次 型
f (x1, x2, x3) 4x1x2 2x1x3 2x2x3 为规范形（写出所作的非退化线性替换）. 5 、（15分）设有向量组
1 1,0, 2,1,2 2,0,1, 1,3 3,0,3,0 ; 1 1,1,0,1, 2 4,1,3,1 .
2 1 1
1 0 0
1 0 2
2 0 3 2
A
1 3
1 2
1 1
，
B
0 0
0 1
1 0
，
C
0 3
2 2
1
，
D
0
7
3
3
3
2
3
8
3
.
7、（15 分）设 A为 n 级方阵. 证明：若任意非零 n 维向量都是 A的特征向
量，则 A是数量矩阵。
8、（20分）设 是 n 维欧氏空间V 的线性变换，证明下面三个命题相互等
0 0 0 n n
4、(25 分)讨论 取什么值时, 线性方程组
( 1)x1 x2 x3 2
2 x1
x2
2x3
2
3x1 3x2 ( 1)x3 4
有唯一解、无穷多解、没有解，对有无穷多解的情形，求其一般解.
5、(15
分)设
A 1
9 2
12 3
3 10 4 , B 2
ax1x1bxx22
x2 x3
4 3
x1 2bx2 x3 4
4、（15）求由向量i (i 1, 2) 生成的子空间与由向量 j ( j 1, 2) 生成的子空间的
交的基和维数。 设
12
(1, 2,1,0), (1,1,1,1),
1 2
(2, 1,0,1), (1, 1, 3, 7).
求的所有特征值和特征向量. 8、(30分)设是数域P上线性空间V的一个线性变换, 1, 2 ,, n 是V的一组基,
2+ =2 (为恒等变换), 在1, 2 ,, n 下的矩阵为A. 证明:
(1) 秩(AE)+秩(A+2E)=n;
(2) 的特征值只能是1或2;
(3) V V1 V2 , 这里V1 是的属于特征值1的特征子空间, V2 是的属于 特征值2的特征子空间.
g2 (x) 4x2 5x 2 , 生成子空间W1 L f1 (x), f2 (x), f3 (x),W2 Lg1 (x), g2 (x) , 求
W1 W2 的一组基和维数.
7、(20 分)设为线性空间 R3 的线性变换: (x1, x2 , x3 ) (7x1 2x2 5x3 , 4x1 2x2 , 3x1 2x2 x3 ) ,
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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数
适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
令V1 L 1,2,3 ,V2 L 1, 2 . 求V1 V2 的维数和一组基.
6、（15 分）设 AXB 3C D 0 ，求矩阵 X ，其中