1 平面应力和平面应变

v
dy B y
P


A B
u u dy 反映任一点的位移与该点应变间的关系， y
是弹性力学的基本方程之一。
v v dy y
（2）当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。） （3）
弹性力学的平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方
程；边界条件的描述等
一
平面应力问题与平面应变问题
x
b
t
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
z
y
a
y
t a, t b —— 平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
2. 边界条件及其分类
边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 是力学计算模型建立的重要环节。 O （1）位移边界 S u 边界分类 （2）应力边界 S （3）混合边界 —— 三类边界 q x
S
P
（1）位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， u, v 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件 可表达为： 说明：
将(d)代入(c)，得：
f1 ( y ) u0 y f 2 ( x) v0 x
(d)
其中，u0、v0为积分常数。 （x、y 方向的刚体位移），代入（d）得:
df1 ( y ) df 2 ( x) 0 dy dx
u u0 y v v0 x
(10)
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 Baidu Nhomakorabea y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
(2) 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用， 沿 z 方向不变化。
(3) 应力特征
如图选取坐标系，以板的中面 为xy 平面，垂直于中面的任一直线 由于板面上不受力，有 为 z 轴。
x
b t
z
z 0 y a zx 0 2 可认为整个薄板的 zy 0 zy z t 0 各点都有： 2 由剪应力互等定理，有 zx xz 0 zy yz 0 y
—— 刚体位移表达式
讨论： （1） 当u0 0, v 0时,
则u u0 , v 0, 仅有x方向平移。
（2） 当v0 0, u0 0时,
u u0 y v v0 x
—— 刚体位移表达式 x O y r P x
则v v0 , u 0, 仅有y方向平移。
w0
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x ( x, y) —— 平面应变问题 y y ( x, y) xy yx xy ( x, y)
注： (1)平面应变问题中
水坝
z 0 但是， z 0 z ( x y )
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
—— 平面问题的应力边界条件
——几何方程
O
x
x u x y v y xy v u x y
说明：
（1）
u
P
dx A
u u dx x v v dx x
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
(2)
E x ( x v y ) 2 1 v E y ( y v x ) 2 1 v
v ( x y ) E
xy
1 yz G 1 zx G 1 xy G
—— 物理方程的另一形式
z 0
z
（2）平面应变问题的物理方程 z yz zx 0 由于平面应变问题中 由式（13）第三式，得 z v( x y )
yz
zx
xy
G
其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；v为侧向收 缩系数，又称泊松比。 E
1 yz G 1 zx G 1 xy G
2(1 v)
（13）
（1）平面应力问题的物理方程 由于平面应力问题中 z yz zx 0
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v x ) E 2(1 v) xy xy E
（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
（3）平衡方程中不含E、v，方程与材料性质无关 （钢、石料、混凝土等）； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
y
y
斜面上的应力
X N l x m yx YN m y l xy
非平面问题
平面应力问题
平面应变问题
√
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , xy
x , y , xy
u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
E

E 1 v2
E
E (1 2v) (1 v) 2
v 1 v

v 1 v
边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx X 0 x y （2） xy y Y 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0) —— 仅为 x y 的函数。 可近似为平面应变问题的例子：
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
y
Su
S S Su
u s u vs v
（17）
当u v 0时,
称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
（2）应力边界条件
给定面力分量 X , Y 边界 —— 应力边界 由前面斜面的应力分析，得
—— 平面应力问题的 物理方程
（15）
1 v2 v x ( x y) E 1 v 1 v2 v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
（16）
—— 平面应变问题的 物理方程
(1) 平面应力问题 平面应变问题 (2) 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为： 材料常数的转换为：
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
x , y , ， xy
xy —— 以两线段夹角减小为正，增大为负。
2. 刚体位移 当 x 0, y 0, xy 0时,
物体无变形，只有刚体位移。 即：
df1 ( y ) df 2 ( x) 或写成： dy dx
∵上式中，左边仅为 y 的函数， 右边仅 x 的函数，∴两边只能等 于同一常数，即
y
xy
x
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题 (1) 几何特征
一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。 —— 近似认为无限长
水坝
滚柱
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
y yx
建立边界条件：
（1）应力边界条件； （2）位移边界条件；
O 二 平面问题基本方程
P
y
x
yx A
X
x
y
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
d
dy
y
y y
xy
xy x
dx
平面问题的平衡微分方程：
（3） 当 0, v0 u0 0时,
y
u y 则 v x y y tan x x
说明：
u v x y
2 2 2
2
r
y
x
tan


r OP
—— P点沿切向绕O点转动
ω —— 绕O点转过的角度（刚性转动）
物理方程
(3) 变形特征
厚壁圆筒
设 z方向为无限长，则 x , x , u , 沿 z 方向都不变化， 仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
因为任一横截面均可视为对称面，则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题
O
P
x
x yx X 0 x y （2） xy y Y 0 x y
y
yx A
X
y
x
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
y 说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx —— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
建立：平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。
1. 各向同性弹性体的物理方程
在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料 力学中的广义虎克（Hooke）定律。
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
—— 平面应变问题的 物理方程 (1) 平面应变问题中
z 0，但 z 0
xy
1 yz G 1 zx G 1 xy G
z v( x y )
(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：
（3）两类平面问题物理方程的转换：
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v x ) E 2(1 v) xy xy E