几种简单形状_匀质刚体的转动惯量
实验3刚体转动惯量的测定综述
实验三刚体转动惯量的测定转动惯量是物体转动惯性的量度。
物体对某轴的转动惯量的大小，除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量的分布有关。
正确测量物体的转动惯量，在工程技术中有着十分重要的意义。
如正确测定炮弹的转动惯量，对炮弹命中率有着不可忽视的作用。
机械装置中飞轮的转动惯量大小，直接对机械的工作有较大影响。
有规则物体的转动惯量可以通过计算求得，但对几何形状复杂的刚体，计算则相当复杂，而用实验方法测定，就简便得多，三线扭摆就是通过扭转运动测量刚体转动惯量的常用装置之一。
实验目的1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法；2、学习用三线摆法测定物体的转动惯量。
3、测定二个质量相同而质量分布不同的物体的转动惯量，进行比较。
4、验证转动惯量的平行轴定理。
实验仪器介绍本实验采用新型转动惯量测定仪测定转动惯量。
该仪器采用激光光电传感器与计数计时仪相结合，测定悬盘的扭转摆动周期。
通过实验使学生掌握物体转动惯量的物理概念及实验测量方法，了解物体转动惯量与哪些因素有关。
本实验仪的计数计时仪具有记忆功能，从悬盘扭转摆动开始直到设定的次数为止，均可查阅相应次数所用的时间，特别适合实验者深入研究和分析悬盘振动中等周期振动及周期变化情况。
仪器直观性强，测量准确度高。
本仪器是传统实验采用现代化技术的典型实例，不仅保留了经典实验的内容和技能，又增加了现代测量技术和方法，可以激发学生学习兴趣，提高教学效果。
图1 新型转动惯量实验装置新型转动惯量测定仪平台、米尺、游标卡尺、计数计时仪、水平仪，样品为圆盘、圆环及圆柱体3种。
上海复旦天欣科教仪器有限公司图1 新型转动惯量测定仪结构图1.启动盘锁紧螺母2.摆线调节锁紧螺栓3.摆线调节旋钮4.启动盘5.摆线（其中一根线挡光计时）6.悬盘7.光电接收器8.接收器支架9. 悬臂 10. 悬臂锁紧螺栓11. 支杆 12. 半导体激光器 13.调节脚14. 导轨 15. 连接线 16. 计数计时仪 17. 小圆柱样品 18. 圆盘样品19. 圆环样品20.挡光标记实验原理三线摆是将一个匀质圆盘，以等长的三条细线对称地悬挂在一个水平的小圆盘下面构成的。
刚体的转动惯量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
常见刚体的转动惯量
习题答案
第一章
F (h − 3r ), M y = 3 F (r + h ), M z = − Fr . 1-3 4 4 2 2 bc ab ca a ab M ξ = −513.36 N ⋅ m . 1-4 M x = M − F ，My = M + F ，Mz = M， k1 k1 k1 2k 2 2k 2 abc 2 2 2 2 2 2 F. 其中： k1 = (ab ) + (bc ) + (ca ) ， k2 = a + b / 4 + c . 1-5 M τ = rAB b 2 + c 2
ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
附录常见几种均质物体的转动惯量和回转半径物体的转动惯量简图回转半径形状m为物体的质量m2ljlzzcc1223细直杆m2ljzlz33薄壁2jmrr圆筒zz12rjmrzz22jj圆柱xyxym221223rl3rl1212空心m22122jzrrzrr圆柱22薄壁222jzmrzr空心球33222实心球jzmrzr55171323jzmrzr1010jj圆锥体xyxy322322m4rl4rl8080232232圆环jzmrrzrr44m22122jzabzab42椭圆形m2ajyax薄板42m2bjyby42m22122jzabzab1212m22122长方体jyacxac1212m22122jy12bcy12bcm22jz12ab122zab矩形m212ja薄板y120289axm20289bjbyy12172参考书目1朱照宣周起钊殷金生编
转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆得中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12 其中m就是杆得质量,L就是杆得长度。
当回转轴过杆得端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3 其中m就是杆得质量,L就是杆得长度。
对于圆柱体当回转轴就是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2其中m就是圆柱体得质量,r就是圆柱体得半径。
对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2;当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2;R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2;当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2;R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2];R1与R2分别为其内外半径。
对于球壳当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2;当回转轴为球壳得切线时,J=﹙5/3﹚mR^2;R为球壳半径。
对于实心球体当回转轴为球体得中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2;当回转轴为球体得切线时,J=﹙7/5﹚mR^2;R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2;当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2;当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2;L为立方体边长。
只知道转动惯量得计算方式而不能使用就是没有意义得。
下面给出一些(绕定轴转动时)得刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩得关系:角加速度与合外力矩式中M为合外力矩,β为角加速度。
可以瞧出这个式子与牛顿第二定律就是对应得。
角动量:角动量刚体得定轴转动动能:转动动能注意这只就是刚体绕定轴得转动动能,其总动能应该再加上质心动能。
只用E=(1/2)mv^2不好分析转动刚体得问题,就是因为其中不包含刚体得任何转动信息,里面得速度v只代表刚体得质心运动情况。
由这一公式,可以从能量得角度分析刚体动力学得问题。
转动惯量(Moment of Inertia)就是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止得特性)得量度,用字母I或J表示。
转动惯量的计算
说明：本文《转动惯量的计算》特地收集贡献出来供各位工程技术人员在参阅本人劣作《风机动平衡调试方法》时参考。
深圳华晶玻璃瓶有限公司工程部（动力车间）李宜斌编辑2010-10-21转动惯量的计算转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
单个质点的转动惯量：I = m× r2.质点系的转动惯量：I = Σ m i×r i2.质量连续分布的刚体的转动惯量：I = ∫m r2dm。
以上各式中的r理解为质点到转轴的距离。
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
垂直轴定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表关于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
关于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
关于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；R为其半径关于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；R为其半径关于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；R1和R2别离为其内外半径。
关于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；R为球壳半径。
关于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；R为球体半径关于立方体当回为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；L为立方体边长。
只明白转动惯量的计算方式而不能利用是没成心义的。
下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外，β为。
能够看出那个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不行分析转动刚体的问题，是因为其中不包括刚体的任何转动信息，里面的速度v只代表刚体的质心运动情形。
由这一公式，能够从能量的角度分析刚体动力学的问题。
惯量(Moment of Inertia)是绕轴转动时惯性（回转物体维持其或静止的特性）的，用字母I或J表示。
三种计算圆盘类刚体转动惯量的方法探析-力学论文-物理论文
三种计算圆盘类刚体转动惯量的方法探析-力学论文-物理论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——动力学论文第四篇：三种计算圆盘类刚体转动惯量的方法探析摘要：刚体的转动惯量是大学物理刚体力学中的重点。
研究采用了三种方法计算圆盘形状物体绕中心转动对称轴的转动惯量，即微元定义求解法、量纲分析法和等边n角形极限法。
提出了后面两种巧妙的计算方法，引导学生在解决问题的时候开阔思维，激发其学习的积极性及对科研的探索精神。
关键词：圆盘; 转动惯量; 计算方法;Three methods of calculating the moment of inertia of a diskLAN Shan-quanSchool of Physical Science and Technology,Lingnan Normal UniversityAbstract：The moment of inertia of rigid body is the focus of rigid body mechanics in university physics. In this paper,three methods are used to calculate the moment of inertia of a disk-shaped object about a central rotational axis of symmetry,namely,the method of solving the definition of micro element,the method of dimensional analysis and the method of limit of n-angle with equal sides. The last two ingenious calculation methods are put forward to guide students to broaden their thinking when solving problems,stimulate their enthusiasm for learning and explore the spirit of scientific research.1 引言转动惯量度量是刚体在力矩的作用下改变转动角速度的容易程度。
转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；R为球壳半径。
对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；L为立方体边长。
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。
下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外力矩，β为角加速度。
可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。
由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
用三线摆测物体的转动惯量.
是以a和b为边长的等边三角形外接圆的半径）。 5．计算出两圆盘之间的垂直距离H，圆环的内直径和外直 径为2R1、2R2． 6．称出悬盘m和圆环质量M。 7．计算测量误差。 [数据记录与处理] 3 3 R b = r a = 3 3 两圆盘之间垂直距离 H l ( R r ) = 悬盘质量m= 圆环质量M=
2 2
悬盘 摆动50次所 需时间t（s） 1 2 3 平均 周期 T0= （S） 1 2 3 平均 T1=
悬盘加圆环
（S）
项目 次数
上圆盘悬 孔间距离a （cm） 1 2 3
悬盘悬孔 间距离b （cm）
待测圆环 外直径2R1（cm） 内直径2R2(cm)
平均
a=
b=
R1=
R2=
[思考题]： 1．用三线扭摆测定物体的转动惯量时，为什么要求悬 盘水平，且摆角要小？ 2．测圆环的转动惯量时，把圆环放在是盘的同心位置上。 若转轴放偏了，测出的结果是偏大还是偏小？为什么？
对称地连接在置于上部的一个水平小圆盘的下面，小圆盘可 以绕自身的垂直轴转动。当均匀圆盘（以下简称悬盘）水平， 三线等长时，轻轻转动上部小圆盘，由于悬线的张力作用， 悬盘即绕上下圆盘的中心连线轴00‘周期地反复扭转运动。当 悬盘离开平衡位置向某一方向转动到最大角位移时，整个悬 盘的位置也随着升高h。若取平衡位置的位能为零，则悬盘 升高h时的动能等于零，而位能为： E 1 mgh 式中m是悬盘的质量，g是重力加速度。转动的悬盘在达 到最大角位移后将向相反的方向转动，当它通过平衡位置时， 1 其位能和平衡动能为零，而转动动能为：E 2 I 式中I。为悬盘的转动惯量，ω0为悬盘通过平衡位置时 的角速度。如果略去摩擦力的影响，根据机械能守衡定律， 1 E1＝E2，即 mgh I 2 若悬盘转动角度很小，可以证明悬盘的角位移与时间的 2 关系可写成： sin( )t T 式中θ是悬盘在时刻t的位移，θ0是悬盘的最大角位移
刚体转动惯量的研究
刚体转动惯量的研究转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。
测量特定物体的转动惯量对某些研究设计工作都具有重要意义。
刚体的转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量的分布及转轴的位置有关。
如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量就相当于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即++=21J J J 对于形状简单的匀质刚体，可以用数学方法直接计算出其绕定轴转动时的转动惯量，但对形状比较复杂或非匀质刚体，一般通过实验来测量。
刚体的转动惯量可以用扭摆、三转摆、转动惯量仪等仪器进行测量。
（一）用扭摆法测定刚体的转动惯量一 实验目的1. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的设备常数（弹簧的扭转系数）K ;2. 用扭摆测量几种不同形状刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；3. 验证转动惯量的平行轴定理。
二 仪器和用具扭摆装置及其附件（塑料圆柱体等），数字式计时仪，数字式电子天平， 钢直尺，游标卡尺等。
三 实验装置及原理扭摆的结构如图4-1所示，在垂直轴1上，装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴1的上方可以安装各种待测物体。
为减少摩擦，在垂直轴和支座间装有轴承。
3为水准器，以保证轴1垂直于水平面。
将轴1上方的物体转一个角度θ，由于弹簧发生形变将产生一个恢复力矩M ，则物体将在平衡位置附近作周期性摆动。
根据虎克定律有θK M -= (4-1) 式中k 为弹簧的扭转系数。
而由转动定律有βJ M = 式中J 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，将式4-1代入上式即有 θβJK-= (4-2) 令J K /2=ω，则有θωβ2-=此方程表示扭摆运动是一种角谐振动。
方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中A 为角谐振动的角振幅, ϕ为初相位角, ω为角谐振动的圆频率。
此谐振动摆动周期为KJT πωπ22==(4-3) 由此可见,对于扭摆,只要测定某一转动惯量已知的物体(如形状规则的匀质物体,可用数学方法求得其转动惯量)的摆动周期,即可求得扭转系数K ,对其它物体,只要测出摆动周期T ,就可根据式(4-3)求得转动惯量J 。
刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
；求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。
理论力学第3节 刚体对轴转动惯量的计算
O
J O J大 圆O J小 圆O
J大 圆O
1 2
mR 2
1 2
R 4
J小圆O
J小圆O1
r 2
a2
1 2
r 2
r2
r 2
a2
J O J大 圆O J小 圆O
J大 圆O
1 2
R 4
O1
a
J小 圆O
1 2
r 2
r2
r 2
a2
O
1 r 2 (r 2 2a2 )
刚体对过质心的轴 z
的与转z 动轴惯平行量的为另J z外，一对
轴z的转动惯量为
J
，
z
两轴间的距离为 d 。 x
z
z
ri
ri mi
o
d
x
C
yi yixi
y xi y
J z miri2 mi (xi2 yi2 )
J z miri2 mi (xi2 yi2 )
平轴O的转动惯量。
解：摆对水平轴 O 的转动惯量等于杆 1 和圆盘 2 对 轴O的转动惯量之和，即
JO J1O J 2O
J1O
J1C
m1 (l
/
2)2
1 3
m1l
2
J 2O J 2C m2 (l R)2
O l C1
1 2
m2l 2
m2 (l
R)2
JO
1 3
m1l 2
1 2
a
z
刚体的转动惯量的讨论方法
刚体的转动惯量的讨论⽅法刚体的转动惯量的讨论⽅法摘要：刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，应⽤于刚体各种运动的动⼒学计算中。
⼀般研究均匀刚体和不规则刚体的转动惯量。
本⽂将从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算⽅法以及对刚体的转动惯量错误计算的分析。
从⽽使⼈们在学习刚体的转动惯量时能开阔思维，学会寻求创新途径去巧解各类刚体的转动惯量。
关键词：刚体的转动惯量，均匀刚体，不规则刚体，错误计算的分析引⾔转动惯量是刚体定轴转动中的⼀个重要概念,在表征刚体转动的定理、定中都离不开此概念。
体是指⼤⼩和形状保持不变的物体，⽽转动惯量则是刚体转动时惯量⼤⼩的⼀个量度，是表征刚体特性的⼀个物理量。
刚体转动惯量与刚体的⼤⼩、形状、质量、质量分布及转轴位置有关系。
测量刚体的转动惯量对许多研究、设计⼯作都具有重要意义。
⼀．刚体的转动惯量定义刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表⽰刚体的某个质点的质量，ri表⽰该质点到转轴的垂直距离。
求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，⽽同刚体绕轴的转动状态（如⾓速度的⼤⼩）⽆关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或⾮均质刚体的转动惯量，⼀般⽤实验法测定。
转动惯量应⽤于刚体各种运动的动⼒学计算中。
描述刚体绕互相平⾏诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平⾏轴定理：刚体对⼀轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平⾏并通过质⼼之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平⽅的乘积。
由于和式的第⼆项恒⼤于零，因此刚体绕过质量中⼼之轴的转动惯量是绕该束平⾏轴诸转动惯量中的最⼩者。
⼆．转动惯量概念的导出及其物理意义我们⾸先看看刚体绕⼀固定轴转动的特点,如果把刚体看成是质点的集合体,当刚体以⾓速度w匀速转动时,则刚体上的每⼀个质点在做绕定轴为中⼼的、不同半径的园周运动,各质点具有相同的⾓速度w。
转动惯量
mi (x2 y2 ) 2( mi y)d ( mi )d 2
上式右端第一项就是 Jz′ ，第三项是(∑mi)d 2，
至于第二项，根据质心C坐标公式
yC
mi yi mi
2d (
mi y) 2d (
m) i
yC
在实际应用中，常令轴 z′通过质心C，
图7
d
A
C
O' O
z
y′
x
y
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
下面举例说明一些简单形状匀质刚体的转动惯量的积分计算方法。
例题1 已知匀质细长直杆的质量是m，长度是l（如图4），求它 对于过质心C且与杆相垂直的轴 z 的转动惯量。
解：在杆沿轴线x上任一小段dx，其质
量 m dx，对轴z的转动惯量元素是 l
dJ z
x2
m l
dx
匀质细长直杆对轴z的转动惯量是
2、理解刚体的平移轴定理推导，以及平移轴定理的应用。
3、了解刚体对任意轴的转动惯量、惯性积和惯性主轴。
重点：转动惯量的计算 难点：转轴公式 学时安排：2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
转动惯量的概念 回转半径 转动惯量的一般表达式 极转动惯量
§1 转动惯量的概念
1.转动惯量的概念
刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量，衡量
y
r
ρ
O
x
J z
r 0
2m r2
3d
m 2r 2
4
r 0
1 mr 2 2
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
Jx
J
y
1 2
Jz
1 4
m
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
常见均匀刚体转动惯量的计算
常见均匀刚体转动惯量的计算作者：杨小云来源：《科技资讯》2018年第29期摘要：转动惯量是刚体力学中的一个重要物理量，在许多大学物理教材中，对一些常见均匀刚体的转动惯量只给出了结论，没有给出计算过程。
本文根据转动惯量的定义计算出一些常见的几何形状简单、质量连续且均匀分布的刚体绕定轴转动的转动惯量，得出了刚体的转动惯量与一些因素有关。
期望这些内容能对大学物理教学和学生的深入理解提供帮助。
关键词：均匀刚体转动惯量转轴中图分类号：P159.3 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）10（b）-0184-02转动惯量是刚体力学中一个较为重要的物理量，它描述了刚体在转动中惯性的大小。
它和物体做平动时的质量m地位相当，其定义式可由刚体的转动动能和动量矩推导出来[1]。
几何形状简单、质量连续且均匀分布的刚体对转轴的转动惯量的定义为。
常见的均匀刚体有圆柱、圆环、圆盘、细棒、球体等，教科书虽给出部分均匀刚体转动惯量，但没给出计算过程，本文将根据转动惯量的定义计算出这些常见均匀刚体的转动惯量。
1 空心圆柱体转动惯量的计算如图1所示为质量m的空心圆柱体，在半径r（R1因空心圆柱体是均匀的，ρ为恒量，因此，又因为圆柱体的质量为，所以可得：。
当R1=R2时，得薄壁圆筒（如图2）对通过中心的几何轴z轴的转动惯量为I=mR2。
当R1=0时，得实心圆柱体（如图3）对通过中心的几何轴z轴的转动惯量为。
根据实心圆柱体的转动惯量的结论，将实心球在与z轴垂直的方向上切成半径为r，厚度为dz的薄片，实心球密度为ρ，则该薄片质量为，实心球的质量为。
根据几何关系，即可知可知实心球对通过球体直径z轴的转动惯量为[4]：根据实心球的转动惯量的结论，设空心球的内径为R1，外径为R2。
同密度的实心球，若以R1为半径，则质量为M1；若以R2为半径，则质量为M2，由m2-m1=m公式（3）中若R1=R2时，得球壳对通过球心的z轴的转动惯量为：2 环形圆盘转动惯量的计算如图4所示质量为m的环形，在半径r（R1由于环形圆盘是均匀的，σ为恒量，因此；将环形圆盘的质量代入（5）可得环形圆盘对z轴的转动惯量为：当R1=0时，得圆盘对通过中心且与盘面垂直的z轴的转动惯量为。
刚体转动惯量测量数据表（可编辑）
刚体转动惯量的测量转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量、质量对轴的分布以及转轴位置有关。
如果刚体形状规则，质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。
但对于几何形状不规则和质量分布不均匀的刚体，只能用实验的方法来测量。
测量转动惯量的方法有很多种，如三线摆法、单悬扭摆法、双悬扭摆法、螺旋弹簧式扭摆法等，本实验介绍了利用螺旋弹簧式扭摆法来测量刚体的转动惯量。
一、实验目的1．观察扭摆振动现象。
2．用扭摆法测量不同形状刚体的转动惯量。
二、实验原理螺旋弹簧式扭摆如图6.1所示，在垂直轴上装有螺旋弹簧，用以产生恢复力矩。
在轴的上方可以装上各种待测刚体。
将刚体在水平面内转过某一角度θ后，在弹簧的恢复力矩的作用下，刚体就开始绕垂直转轴作往返扭转运动。
根据胡克定律，弹簧产生的恢复力矩M 与所转过的角位移θ成正比：θK M −= （1）式中，K 为弹簧的扭转系数，负号表示恢复力矩M 的方向与角位移θ的方向相反。
又根据转动定律，则有22dt d JJ M θβ== （2）其中，J 为刚体的转动惯量，β为角加速度。
联立式(1)、(2)可得：022=+θθJ Kdtd 令ω2=K /J ，上式变为：0222=+θωθdtd （3） 方程(3)表明扭摆运动具有角简谐振动的特征：角加速度与角位移成正比，而方向相反。
其通解为：)cos(0ϕωθθ+=t 式中，θ0为谐振动的角振幅，ϕ为初相位，ω为角速度。
扭摆的振动周期为：KJ T πωπ22==或 K J T 224π=（4） 上式表明，扭摆周期T 的平方与转动惯量J 成正比。
若单独测出扭摆周期，因扭摆系数K 是未知量，所以还不能由式(4)计算出转动惯量，为此，一般采用比较法求出K 。
实验中用一个几何形状规则的圆柱体，它的转动惯量J 1可以根据其质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到。
设金属载物圆盘的转动惯量为J 0，转动的周期为T 0，若将圆柱体置于金属载物盘上，测出它的摆动周期T 1，则KJ T 0224π= KJ J T 012214+=π （5） 由式(5)可以确定K ，J 0。
质量惯矩(即转动惯量)的计算
桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算赵凯 李永乐（西南交通大学桥梁工程系，四川成都，610031，lele@ ）1. 概 念1.1 定义质量惯性矩（或称质量惯矩，转动惯量）是刚体动力学里的一个重要概念，与质量具有同等重要的地位。
质量惯性矩为空间中质量关于距离的二次矩。
对于离散质点系，它对空间任意一条直线z 的质量惯矩表示为：21nz i i i J m r ==∑式中，m i 是第i 个质量块质量，r i 表示第i 个质量块到直线z 的距离。
对于连续体，则需用积分表示：2z J r dm =∫1.2 几何意义由定义表达式可见，质量惯矩的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。
在国际单位制中单位为kg·m 2。
质量惯矩越大，则表示质量分布离z 轴越远。
若设想刚体的质量集中于离z 轴距离为ρz 处，令2z z Jm ρ=，则z ρ=称之为对z 轴的回转半径。
显然，它代表质量分布到z 轴距离的一种“平均”。
物体的质量惯矩等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。
1.3 物理意义理论力学中有关于刚体运动的两个重要定理，分别是动量定理： 22d ym F dt =∑动量矩定理：22()z z d J M Fdtϕ=∑这两个定理分别描述刚体曲线运动和绕定轴的转动运动规律。
动量定理表示质量为物体运动惯性的一种度量。
类似地，由动量矩定理可见，力矩大，转动角加速度大；如力矩相同，刚体质量惯矩大，则角加速度小，反之，角加速度大。
可见，质量惯性矩的大小表现了物体转动状态改变的难易程度，即：质量惯矩是转动惯性的度量。
若将转动与位移类比，力矩与力类比，则转动惯矩对应于质量。
1.4 质量惯性矩 VS 截面极惯性矩截面极惯性矩表示平面上面积区域关于距离的二次矩，表示为：2p i X Y I r dA I I ==+∫材料力学推导了悬臂梁的扭转公式，pTlGI ϕ=因此，极惯性矩是截面抗扭能力的一种度量，代表转动刚度，而质量惯性矩代表了转动惯性。
转动惯量——精选推荐
转动惯量基本简介转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、⼯程技术、航天、电⼒、机械、仪表等⼯业领域也是⼀个重要参量。
[1]电磁系仪表的指⽰系统，因线圈的转动惯量不同，可分别⽤于测量微⼩电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶⽚、飞轮、陀螺以及⼈造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是⼗分必要的。
对于质量分布均匀，外形不复杂的物体可以从它的外形尺⼨的质量分布⽤公式计算出相对于某⼀确定转轴的转动惯量。
对于⼏何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接⽤公式计算出它相对于某⼀确定转轴的转动惯量。
⽽对于外形复杂和质量分布不均匀的物体只能通过实验的⽅法来精确地测定物体的转动惯量，因⽽实验⽅法就显得更为重要。
[1]测定⽅法测定刚体转动惯量的⽅法很多，常⽤的有三线摆、扭摆、复摆等。
本实验采⽤的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是⽆⼒图像清楚、操作简便易⾏、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转⼦、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可⽤三线摆测定。
这种实验⽅法在理论和技术上有⼀定的实际意义本实验的⽬的就是要求学⽣掌握⽤三线摆测定物体转动惯量的⽅法，并验证转动惯量的平⾏轴定理。
[1]动⼒学公式上⾯给出的是转动惯量的定义和计算公式。
下⾯给出⼀些（定轴转动的）刚体动⼒学公式。
[1]转动惯量⾓加速度与合外⼒矩的关系：式中M为合外⼒矩，β为⾓加速度。
可以看出这个式⼦与⽜顿第⼆定律具有类似的形式。
⾓动量：刚体的定轴转动动能：注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质⼼平动动能。
由这⼀公式，可以从能量的⾓度分析刚体动⼒学的问题。
转动惯量转动惯量张量定义刚体绕某⼀点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是⼆阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任⼀轴的转动惯量的⼤⼩。
出于简单的⾓度考虑，这⾥仅给出绕质⼼的转动惯量张量的定义及其在⼒矩⽅程中的表达式。