(2)最大公因数、辗转相除法、整除性质_、最小公倍数

定 理 2 若 a, b 都 是 m 的 倍 数, 则 a b 也 是 m 的 倍 数. [ 证 ] a, b 是 m 的 倍 数 的 意 义 就 是 存 在 两 个 整 数 a1 , b1 , 使 得 a a1m, b b1m. 因此 a b (a1 b1 )m,
但 a1 b1 是 整 数 , 故 a b 是 m 的 倍 数.
带余数除法的内涵

它可以看作是整除的推广，也可以用带余除法 定理来定义整除性

将一个未知的整数表示为小于除数的余数，将 整数进行分类，从而可将无限问题转化为有限 问题

其他应用：辗转相除法、进制间转换算法
§2 最大公因数与辗转相除法
定义 设 a1 , a2 ,, an是 n (n 2)个整数. 若整数d 是它们之中每一个的因数, 那么 d 就叫作a1 , a2 ,, an 的一个公因数. 整数 a1 , a2 ,, an 的公因数中最大的一个叫作最大 公因数, 记作(a1 , a2 ,, an ), 若(a1 , a2 ,, an ) 1,我们说 a1 , a2 ,, an互质或互素, 若a1 , a2 ,, an中每两个整数互质， 我们就说它们两两互质.
定理1 若 a1 , a2 ,, an 是任意 n 个不全为零的 整数,则 (i) a1 , a2 ,, an与 a1 , a2 ,, an 的公因数相同； (ii) (a1 , a2 ,, an ) ( a1 , a2 ,, an )
证 设 d 是 a1 , a2 ,, an 的任一公因数.由定义 d ai , i 1,2,, n,因而d ai , i 1,2,, n,故 d 是 a1 , a2 ,, an 的一个公因数,同法可证, a1 , a2 , , an 的任一公因数都是a1 , a2 ,, an的一个公因数. 故a1 , a2 ,, an与 a1 , a2 ,, an 有相同的公因数,即 (i)获证.由(i)立得(ii).
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定 理 1 (传 递 性)若 a 是 b 的 倍 数 , b 是 c 的 倍 数, 则 a 是 c 的 倍 数, 也 就 是 b a ,c b c a. [ 证 ] b a , c b就 是 说 存 在 两 个 整 数 a1 , b1使 得 a a1b, b b1c 成 立, 因 此 a ( a1b1 ) c, 但 a1b1是 一 个 整 数, 故 c a .
因 为 每 进 行 一 次 带 余数 除法, 余 数 就 至少 减 一， 而 b 是 有 限 的, 所 以我 们 最 多进 行 b次 带 余数 除 法， 总 可 以 得 到 一 个 余数 是 零 的等 式, 即 rn +1 =0.(1) 式 所 指 的 计 算 方 法, 叫 作 辗转 相 除法. 在 西 方 常把 它 叫 做 欧 几 里 得 除 法. 它 就是 我 国 著名 的 古代 数 学 著 作 《 九 章 算 术 》 中 提出 的 “ 更 相减 损 术 ” .
设 a , b 是任意两个正整数, 由带余数除法, 我们有下面的系 列等式： a bq1 r1 ,0 r1 < b, b r1q2 r2 ,0 r2 < r1 , rn -2 rn -1qn rn ,0 rn < rn -1 , rn -1 rn qn -1 rn +1 , rn +1 =0. (1)
最大公因数与辗转相除法 整除的性质与最小公倍数
复习
定义 设 a, b是任意两个整数，其中b 0， 如果存在一个整数 q 使得 等式 a bq (1) 成立，我们就说 b 整除 a 或 a 可被 b 整除, 记作 b a , 此时我们把 b 叫作 a 的因数, 把 a 叫作 b 的倍数. 如果(1)里的整数 q 不存在,我们就说b 不能整除a 或a 不被 b 整除, 记作 b | a.
定理 3 若 a1 , a2 ,, an 都是 m 的倍数, q1 , q2 ,, qn 是任意 n 个整数, 则 q1a1 q2 a2 qn an 是 m 的倍数.
定理 4 (带余数除法 ) 若 a, b是两个整数,其中 b>0, 则存在着两个 整数 q 及 r , 使得 a bq r , 0 r b. 成立,而且 q 及 r 是惟一的. (2)
显然,若整数 a1 , a2 ,, an两两互质,则 (a1 , a2 ,, an ) 1, 反过来却不一定成立, 且若 a1 , a2 ,, an不全为零,则(a1 , a2 ,, an ) 是存在的. 例1: 2和2n 1互素; 例2: 6,10,-15是互素的,但它们任意 两个数不互素,因为(6,10)=2,(10,15)=5, (-15,6)=3.
定理2 若 b 是任一正整数,则(i) 0与 b 的公因数就是 b 的因数,反之, b 的因数也是0与 b 的公因数. (ii) (0, b) b. 证 显然0与 b 的公因数是 b的因数.由于任何非零整数 都是0的因数,故 b 的因数也就是0， b 的公因数,于是(i) 获证.其次,我们立刻知道 b 的最大公因数是 b ;而0， b的 最大公因数是 b 的最大公因数,故 (0, b) b. 推论2.1 若 b 是任一非零整数,则 (0, b) b .
定理 3 设 a , b, c 是任意三个不全为0 的整数, 且 a bq c, 其中 q 是非零整 数 , 则 a , b 与 b, c有 相 同的公因数, 因而 (a, b) (b, c). 证 设 d 是 a, b 的任一公因数, 由定义 d a , d b . 由 §1 定理 3, d 是 c a (q)b 的因数 , 因而 d 是 b, c 的一个公因数 . 于是定理的前一部分获证 . 第二部分显 然随之成立 .