实验二十四气垫导轨实验中系统误差的分析与补正(精)

实验二十四 气垫导轨实验中系统误差的分析与补正 实验目的
学习分析发现并对系统误差进行修正的方法。

实验器材
气垫导轨、滑块，条形及U 型挡光片，光电门，数字毫秒计或多用数字测定仪，垫块若干，米尺，游标卡尺及固定游标卡尺的支座（游标卡尺设有游标的微动螺丝）。

实验原理
实验中，由于系统误差的存在，必然影响测量结果的精确性，特别是当随机误差较小时，系统误差就成为影响测量精确度的主要因素。

历史上，一些物理常量精确度的提高，往往得益于系统误差的发现和补正。

因此，制订实验方案时， 如何发现和消除系统误差就特别重要。

但系统误差的处理不像随机误差那样有完整的理论和方法，需要根据具体情况采取不同的处理方法。

在某种意义上说，有赖于实验者的实验素质，实际经验的积累和巧妙的实验技巧。

本实验通过对存在于气垫导轨实验中的系统误差的分析处理实例，学习分析发现并对系统误差进行修正的方法。

气垫导轨是目前力学实验中一种较精密的仪器，在气垫导轨实验中，由于气垫对滑块产生的漂浮作用，避免了容易引起实验误差的滑动摩擦力的影响；另一方面，在计时上又采用了光电计时的方法，使时间测量达到很高的精度。

照例，气垫实验理应得到更高的精确度。

但事实上，如果实验方法不合理，或者没有对实验过程中的系统误差作适当的补正，则这些系统误差也将在气垫导轨这种灵敏的仪器上反映出来，造成实验结果不理想。

因此，深入分析气垫导轨实验中系统误差的来源和修正的方法成为气垫导轨实验中十分重要的问题。

下面分别讨论气垫导轨实验中常见的几种系统误差及修正方法。

1、粘性内摩擦阻力所引起的系统误差
滑块在导轨上运动时，虽然没有滑动摩擦阻力，但要受到粘性内摩擦阻力的作用，从而对滑块的运动产生一定的影响，造成附加的速度损失。

可以证明，当滑块的速度不是很大时，单纯在粘性内摩擦阻力作用下，其相应的速度损失△u 为
△u = -s m
b （24-1） 式中，b 为粘性阻尼常量，可按实验A-5提供的方法测量，m 为滑块的质量，s 为滑块运动所经过的距离。

在一般的气垫导轨实验中，粘性内摩擦力所引起的速度损失造成的系统误差对结果的影响和具体实验参数的选择有关，举例说明如下：
设导轨的阻尼常量b=3.0g/s ，滑块的质量m=235.0g ，则当滑块运动的距离分别为10.0cm 和100.0cm 时，速度损失分别为
s = 10.0cm , △u =0
.2350.100.3⨯ cm/s = 0.13cm/s s = 100.0cm , △u =
0.2350.1000.3⨯ cm/s = 1.3cm/s 又如果滑块的实测速度为u=10.0cm/s 时，在以上两个不同距离时速度损失所占的百分比分别为1.3%和13%，后者就非修正不可。

另外，在实验安排中，如使滑块速度增大到50.0cm/s ，则相应的百分比降为0.26%和2.6%。

从本实例可知，在实验中为了避免和减少粘性速度损失所引起的系统误差，在不增加其他误差的前提下，适当缩短距离和选用较大的速度是有利的。

例如，在水平导轨上进行碰撞实验时，应尽可能缩短滑块自碰撞点到测速点之间的距离，并适当选用较大的碰撞速度。

如果碰撞点到测速点的距离较大，则应加以修正。

图24-1
在倾斜导轨测重力加速度的实验中，对粘性内摩擦力所引起的系统误差修正就更复杂些。

如图24-1所示，滑块的运动方程为
ma = mgsinθ－bu ( 24-2）
当存在粘性内摩擦力作用时，实测滑块经过光电门K 1及K 2的速度为u 1及u 2′（u 2′中同时包含有速度损失及因滑块从K 1运动到K 2所用的时间t′12的变化所带来的影响）， t′12为有粘性内摩擦力的情况下，滑块从K 1到K 2的时间，它要比无阻尼力时长。

对式（24-2）作变换并积分：
ds m
b dt sin g du 122
1t 0s 0u u ⎰⎰⎰''-=θ (24-3)
s m b t s i n g u u 1212-'=-'θ (24-4)
u m b s i n g t u u 1212-='-'θ (24-5) 上式中，12
12t u u '-' 为有粘性内摩擦后，测得的加速度用a′表示，gsinθ为没有粘性内摩擦时，理论加速度值、即重力加速度沿斜面方向的分加速度，用a 表示，最后一项的量纲为加速度的量纲，可看作粘性内摩察力所引起的附加加速度，用阻a 表示，而u 为滑块从K 1到K 2的平均速度，12
t s u '= 。

因此，在倾斜导轨测量重力加速度的实验中，考虑到粘性内摩擦力的影响后，对实测加速度a′应作如下的修正，即
理a =a ′+m
u b （24-6） 2、测量中用平均速度代替瞬时速度所引起的系统误差。

如果不考虑粘性内摩擦阻力的影响，用下式
AB
A B t u u a -= （24-7） 测滑块沿斜面下滑的加速度。

公式（24-7）中，B u 、A u 均是瞬时速度，而t AB 则是相应于该两瞬时的时间间隔。

但在气垫导轨实验中，所测的B u 和A u 均是某段时间间隔内的平均速度，因而代入公式（24-7）计算加速度时，就存在系统误差。

我们用图24-2来说明问题，设以滑块开始运动作为计时起点，则t A 和t B 分别表示置于滑块上中间开槽的挡光片的前沿到达光电门的时间，而△t A 和△t B 分别表示宽度为△s 的挡光片经过光电门A 和B 时挡光的时间。

由公式u A = 及u B = 所计算的速度是滑块在t A 到t A +△t A 及t B 到t B +△t B 时间内的平均速度，不能看作A 点和B 点的瞬时速度。

考虑到匀加速运动的性质，，A u 和B u 应分别是2t t A A ∆+及2t t B B ∆+时刻的瞬时速度，而该两瞬时相应
的时间间隔为
2t 2t t 2t t 2t t B A AB A A B B ∆∆∆∆+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+, 因而式（24-7）应修正为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=
B B B A AB t 1t 12t 2t t s a ∆∆∆∆∆
(24-8)
图24－2
3、条形挡光片引入计时中的系统误差
留给学生去探索（比较两种挡光片的测量值；慢慢移动挡光片，观察计时器的动作）。

实验步骤
1、 将气轨调成水平是气轨实验的基本操作，由于气轨本身均有一定的弯曲，因此将整个气轨调成水平是不可能的。

所谓“调平”是指将气轨上的某两点调到同一水平线上，一般是将二光电门所在处调平。

动态法调平是较好的方法，它是从观测滑块通过光电门的时间去判断，设想应如何判断是否调平？ 要注意滑块总要受到粘性阻力的作用。

2、在调平导轨上测粘性阻尼常量b ，自己拟订方案。

3、用倾斜气轨测重力加速度时，实验之初导轨未调平将引入系统误差，设计一可防止此项系统误差的测量方案。

4、在倾斜气轨上测滑块加速a 和导轨的倾角θ，按前述对a 进行补正后求g 及不确定度ug ，和当地重力加速度公认值g0进行比较，评价此实验结果。

5、条形挡光片引入计时中的系统误差的分析
气轨实验中使用的挡光片，如图24－3有
图24－3
条形的和U字形的两种。

取△s较小的（约1cm）两种挡光片，在倾斜气轨上，测量在同
一条件下某一点的速度，会发现二挡光片的测量值有明显差异。

可用游标卡尺慢慢推动滑块，观察测量二挡光片从开始计时到终止计时的移动距离的差异，进行分析。