利息理论第二章年金
利息理论第二章年金
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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金 延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 20
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次 付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的 值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作 为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表 示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期） ，则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数； （2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ； （3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价 值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日；
(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案
第二章 年金 部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。
保险精算《利息理论》年金练习题
中华精算师考试网ww w.1000js s .co m 第二章练习题重点练习题2102028404549576671§2.1 1如果它们前十年每年底存款1000元年利率7计算X651.72价值10,000元的新车每月底还250元月结算名利率18计算首次付款金额1489.36n 年实利率i =1/n4 | n a =X用X 和Y 表示d])(11nXX Y −− 已知| 11a =7.036计算i8.3% 证明7半年结算名利率6计算下面年金的现值共计4年减为每次100元8现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元然后共计15年910. 求证| n a&& = | n a + 1 21 + ni )1(+11. 求证| 2 | 3n n s s &&&& = 112. 从1980年6月7日开始直至1991年12月7日12中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 中华精算师考试网 w w w .1000j s s .co m 13. 现有价值相等的两种期末年金A 和B10年和第21在第11年金B 在第130年中每年Y 元20年中没有10v=1/214. 已知年金满足另外计算i7%| 11 | 7a a =| | | | 3Z Y X s a s a ++Y 和Z]1[3015 | 15v v a ++首次在下一年的4月1日半年结算名利率918. 某递延永久年金的买价为P写出递延时间的表达式δ)ln(iP ) 19. 从现在开始每年初存入1000元从第三十年底开始每年领取一定 的金额X 计算X 1000[30)1(i + 20. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A C前n 年B 和C 三人平分每年的年金如果四人的遗产份额的现值相同21. 永久期末年金有A CA 接受第一个n 年C 接受第三个n 年已知求B 与D 的份额之比30/49的贷款从第五年底开始每年还贷100元如果最后一次的还款大于100元23. 36年的期末年金每次4元两者现值相等计算n9每月底还100元K 个月后一次还6000元25. 已知求i7524−中华精算师考试网ww w.1000js s .c o m 26. 某人得到一万元人寿保险赔付20年的期末年金为每年1072元27. 某人在银行中存入一万元10年定期存款银行将收取余额的5已知5且第十年底的余额为一万元28. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清前四年半的年利率为i计算首次付款金额X 的表达式1)1(22)1( | 64 | 421−+++=−j i a i i PX 每两年付款2000元已知半年名利率为7824前5年每季度初支付400元已知年利率为1246632. 给出下面年金的现值111933. 750元的永久年金和每10年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末年金代替(| 60| 2 | 4040 | 2]1[37500a s a v s R +=计算年利率20%1元永久期初年金的现值为20计算R1.95期初每半年500元000元中华精算师考试网w w w.1000j s s .co m 37. 如果计算i1/30现在开始每四个月1元)4( i t+=11 tδ40. 已知一年内的连续年金函数为常数1使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位41. 已知=.0842. 现有金额为40,000元的基金以4同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱§2.343. 已知某永久期末年金的金额为3…另外计算该永久年金的现值66用这种表达式给出如下25年递减年金的现值然后每次减少3元半年一次800700350A = .08| 10a 325A的十年储蓄然后每年递增5计算第十年底的余额16,607第5第7第9依此类推vdi v −410048. 十年期年金4月1日200元10月1日400元)4(| 1)4( | 10)(1600a I a &&&& 49. 从现在开始的永久年金然后每半年一次50. 某人为其子女提供如下的大学费用共计4年)12(| 129 | 46000aa &&&&第一个K 年每年底还R第三个K中华精算师考试网ww w.1000j s s .co m 年每年底还3R给出现值表达式2| | )(k k ia a R&&20X 表示首次付款从第三年底开始的永久年金2…计算贴现率1/21首次1元4v=0.7554. 永久连续年金的年金函数为年利率i0<k <i55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为利息力为计算现值56. 给出∑nt Ia 1|)(和∑nt Da 1|)(的表达式2| 2 | )1(2;2)1(i a n n n ii nv a i n n nn +−++−+&&AB,2q ,3q ,…的递增期末年金58. 某零件的使用寿命为9年另一种产品单价增加X假定在此期间两种产品的价格均以年增4要使两种产品无差异的X 为多少]1[2| 45 | 9 | 15 | 36−a a a a59. 计算m +n 年的标准期末年金的终值前m 年年利率7后n 年年利率11.07 | m s=3460. 甲持有A 股票100股两种股票都是每股10元共计10年甲以每股2元的价格将所有的股票出售,而且的收益率将红利收入和股票出售的收入进行投资从第11年底开始每年得到红利0.80元进行投资为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同20和25三种情况计算乙的股票出售价格2.561. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动结算利息从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元中华精算师考试网w w w.1000js s .co m 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金62. 已知贷款L 经过N次利率i记每次的还款为1K 63. 已知贷款L 经过N 次利率i比较新的还款次数与N/2的大小年利率6问余额首次超过一万元33共计10年两帐户年利率均为5问66. 已知B =in s | 1+67. 已知A =in a | 2B =in a | 2A =in a| 分别对以上三 种情况给出i 的表达式且L >nL =in a | 在69. 证明i n s | 1+=i n Is i | )(+(n +1)70. 当i > 0证明71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划然后每年以4假定提薪恰好在每年的年中进行分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例再乘以工作年限如果企业和个人分别将年工资的3的养老基金49.8%7.9472. 已知永久期初年金为第二年初1+2=3元依此类推证明该年金的现值为0时刻的年金为0F中华精算师考试网ww w .1000js s .co m 金终值)(t f F dtdF t t+=δ年利率4计划分40次按季度等额偿还B希望立即收回所有借款转卖价格使C 今后几年的年收益率将达到6计算转卖价格4147A第10年底收益100元10年间每年底收益100元计算投资B 的成本505| 5a = 3.982| 15a= 8.50777. 某人有3700元的借款问78. 永久年金A 有如下的年金方式1223…K2K3K…计算K| 3 | 2aa 12114每年底支付80. 在5年中每年初存入100元计算单利率881. 实利率i 满足以下条件1 , n 的现值为A试给出| n a的表达式的帐户一旦帐户余额低于$1000计算正常提取的次数t δ = ln(1+2k)和| 4a 计算K期限20年期限10年两个年金的现值相同中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 。
利息理论——第二章2.2
1. 付款频率低于计息频率的年金
(1)
期末付年金 设k为每个付款期间内的计息频率，n为整个 付款期的计息次数，每个计息期利率为i，并 假设n、k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也 为整数。 现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情 形见以下现金流时间图：
时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款 相隔k个区间，每个区间利率为i，则 第1次付款在0时刻的现值为：(1 i) k vk (1 i)2k v2k 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)( n/ k )k v( n/ k )k
(2.2.6)
(2.2.6)式也可以直接通过(2.2.5)式得到：
an sk (1 i)
n
sn sk
另外，每次的付款额1可以看作是k期每期期末付款额为R的 区间末的年金积累值，即有 1 R sk 1 R sk
这样，在n个计息期，就有n次额度为R的付款，则与原年金 等价的所有R形成的年金现值为 Ran 。将 R 1 sk 代入上式， 则所求年金现值为 R an sk ，同样，可以求得年金积累值 R 为： sn 1 sk sn sn sk 。 也就是说，原始年金等价于一个每期付款额为 1 sk 的n
2.2.1
变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。这里将介绍变动 利率下年金的计算。 一般有两种利率变动方式： 1. 各付款期间段的利率不同，即不同时间段的利率不同，如在第 一个付款期利率为i1 ，第二个付款期利率为i2 ，…，这样，对于n 期的期末付年金，所有付款的年金现值为：
1 000 6.8019 1.2155 4.2465 12 514.3(元)
利息论第二章
利息论讲义——第二章 年金
几个概念 支付期（payment period):两次年金支付之 间的间隔。 计息期(interest coversion period ):两次计 息日之间的区间 年金时期（term of annuity ):第一次支付期 的期初到最后一次支付期的期末。
利息论讲义——第二章 年金
1 i
n 1
1 i i
n
1
利息论讲义——第二章 年金
注意：实质上 an i 和 sn i 是同一项年金在不同 时刻的价值。前者为基本延付年金的现值； 后者为终值。故有：
sn i an i 1 i n a s ni ni
n
利息论讲义——第二章 年金
i2 i结束插值过程
利息论讲义——第二章
3迭代法：
年金
f i (ani k )i
f (i s ) is 1 is ' f (is )
n 1 is 1 kis is 1 1 ，2，3， s 0， n 1 1 is n 1 1 1 is
a i
1 d
n
3、
1 1 lim an i lim n n d d
利息论讲义——第二章 年金
永续年金与有限期年金的关系：
1 1 n1 n an i a i a i i i i
n
例2.6
利息论讲义——第二章 年金
例2.3.2 Ralph buys a perpetuity-due paying 500 annually. He deposits the pmts into a saving account earning interest at an effective annual rate of 10%. Ten years later, before receiving the 11th pmt, Ralph sells the perpetuity base on an effective annual interest rate of 10%. Using the proceeds from the sale plus the money in the saving account, Ralph purchases an annuity-due paying X per year for 20 years at an effective rate of 10%, calculate X.
第二章 利息理论2
1)10000(1.08)5 10000 4693.28
2)5 (10000 0.08) 4000 10000 3) R 2504.56; I 5 2504.56 10000 2522.8 a5 0.08
例. 某人以月计息的年名义利率5.58%从银行贷款30万 元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月 等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前 还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付 给银行多少钱？ （1）Ra1512 0.00465 300000
单利与复利两者关系：t 1,( 1 i ) 1 i t
t
0 t 1,( 1 i )t 1 i t
t 1,( 1 i ) 1 i t
t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；
利息问题求解原则 本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要 素知三求一的问题。 工具：现金流图
( 1 1%)
(12)
为12%，问本金翻倍需要几年？
i( 12 ) 12%时，
12 n
ln 2 2n 5.8 12 ln1.01
第二节 年金
定义:按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。 分类： 1）基本年金 等时间间隔付款； 付款频率与利息转换频率一致； 每次付款金额恒定； 2）一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般 年金
利息理论(第二版) (第2章)
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金含义的延伸
1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定； 支付期和计息期可以相同也可以不同。 3
2.1 年金的含义
2.1.3 年金的分类
1． 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以 分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingent annuity)。 2． 按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金 （Period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。 3． 按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金 (每年(季、月、…)支付一次)和连续年金。 4． 按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初 付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金） 。 5． 按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年 金和延期年金。 6． 按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年 金(Level annuity)和变额年金(Variable annuity)。
1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6％之下，每年初分期还款 7596元； 2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年； 3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元 租金，其中7596元还银行，每年可获利 8000－7596＝404（元）。
50000 8000 8000 0 1 2 7596 7596 50000 3 4 5 6
8000 7 7596 8
12
2.2 年金的现值
2.2.3 期末付永续年金的现值
• 永续年金（perpetuity）及其现值的概念
第二章 利息理论
现值和贴现率
在单利下，
现值和贴现率
将应在未来某时期支付的 金额提前到现在支付，则 支付额中应扣除一部分金 额，这个扣除额叫贴现额。 相当于资金投资在期初的 预付利息。
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间
以年度衡量时，成为实际贴现率。
d表示一年的贴现率:
d
A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i A(1) a(1) 1 i 1 i
定义：
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度
影响利息大小的三要素：
（一）总额函数
总额函数是t时资金累积额（本利和），
以 A(t) 表示。
其中，I(t)=A(t)-A(0)。 I(t)表示t时利息。
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
期首付年金现值
an 1 2 3 n1
1 n = 1 1 n = d
期末付年金现值
an 2 3 n
(1 n ) = 1
1 n = i
m m
等价公式
一般公式
a (t ) e
0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a 1 (n) exp{n }
例4
确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
利息理论2
s
n i
—— 表示标准期末年金的所有年金金
”。
s
n i
(1 i ) n 1 (1 i ) n 2 (1 i ) 1
(1 i ) n 1 i
基本公式：
n (1 i ) 1 isn 1）
即：0 时刻一个货币单位在n 时刻的价值
= (0,n]上每次(利息)收入i的现金流终值( i s ) n
通过对现金流进行变化如何直接计算利用标准递增年金现值公式可以对一般变化年金现值进行计算标准递增年金的终值用表示即将标准递增期末年金理解为一组固定年金的组合由流程示意图可以推知结论成立递减年金decreasingannuitydaia现值用表示终值用表示可以将递减年金理解为一组固定年金的组合注意比较递增和递减两种方式一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和流程图为t1qpn1q固定年金只是所有表达式分母中的i都要换成d变化的期末永久年金现值公式为q取正数变化的期初永久年金现值公式为rainbowimmediate流程图为22n1年金的现值为pausedrainbowimmediate流程图为2n年金的现值为由现金流转换可以直观求解比例变化年金年金的金额是比例变化的
每次偿还的金额。
解：半年实利率为5%，等价的季度实利率为j
j 1.05 4 1 0.024695
2
记每次的偿还额为R，则有
Ra20 j 300000
由此可得
R=300000/15.6342=19188.70
几种典型情形的具体讨论
1）付款周期大于利息换算期
假定：付款周期（年金周期）是利率周期的整数倍 定义记号： k ——每个付款周期内的利息换算次数 n ——年金的付款总次数× k i ——每个利息换算期内的实利率(名利率/换算次 数)
保险精算之利息理论第二章
解：10万元每年产生的利息是7000元。
B所占的份额： 7000a10| 7000(7.0236) 49165 （元）
C所占的份额： 7000(a20| a10| ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 （元）
1 D所占的份额： 7000(a| a20 ) 7000( 10.5940) 0.07 25842 （元）
m
2.14永续年金
定义：付款没有限制，永远持续的年金。
期末付现值记为a|， v v 1 2 则a|＝v v ＝ ＝ 1 v iv i
1 vn 1 lim an| lim n n i i
1 经济意义：在利率为i时，首期期初投资为 ，且 i 1 不收回本金，则每期期末可获得数额为i ＝1的 i 利息，一直持续下去。
方法一：V 10 S5 1 i
4
方法二：V 10 s5| 1 i
因为 s5| S5 1 i
1
3
所以，两式相等。
方法三：假设在时刻7～10各有一单位付款，则这几 个付款在时刻10的年金积累值为S4 ，包括这几个付款 及已知的5个付款在时刻10时的年金积累值为S9 ，因此 V 10 S9 S4
1 2 n (v v v ) v (1 i )an
(2) sn| (1 i ) sn|
sn (1 i ) (1 i )n
(1 i )[1 (1 i )n1 ]
(1 i ) sn
(3) an| 1 an1|
根据年金折现法及年金加减法计算出同一时刻 年金现值是相等的。 va5| a6| a1|
新利息理论教案第2章
第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
利息理论课后习题答案
第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。
第二章利息理论
= 10 ，类似前一题查表知 8 < n + k < 9 ，即 n = 8 最后一次规则还款时间下一期 9，加多一个零头 f ，使得 1000 s8 × 1.04 + f = 10000 解得： f = 417.20
即 sn + k
2.1.7 年金的未知利率问题 方法：类似上一章，利用条件列出价值方程，然后求解，这里通常 可转化为求解方程： an i = k 或 sn i = k 其中 n, k 已知但 i 未知。 对方程 an i
15
f ( x0 ) ，从而得迭代公式： f ′( x0 ) f ( xs ) xs +1 = xs − f ′( xs ) 在这里可令： f (i ) = an i − k = 0 ，通过计算即可得上述迭代公式 x = x0 −
二 同理对方程 sn i 迭代公式：
= k ，我们可利用上面介绍的 Newto‐Raphson 法得
第二章 年金 1.1 年金的标准型 年金的定义：就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。 2.1.1 期末付年金 an 或 an i ：为每个期末支付 1 元，共 n 期的现值，即
an = v + v +
2
v(1 − v n ) (1 − v n ) （具体计算可查 +v = = 1− v i
5
4
10000 = 2504.56 a8 0.08 5 年共还款： 2504.56 × 5 = 12522.80 其中利息为：12522.80 − 10000 = 2522.80
R=
2.1.2 期初付年金 an 或 an i ：为每个期初支付 1 元，共 n 期的现值，即
2 n
8
[经济学]2利息理论——年金
![[经济学]2利息理论——年金](https://img.taocdn.com/s3/m/2a03e7ed2cc58bd63186bd96.png)
an 1 an 1 S n S n 1 1
12
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付 ( m) a 年金现值，以 n 表示，
1 1 1/ m 1 2 / m a m m m 1 1 n 1/ m m 1 1 n ( m ) d
3
确定年金是年金的一种形式。确定年金与人的生死不 发生关系。确定年金的支付总期间事前确定，纯粹 以预定利息率作为累积基础。 确定年金有多种分类，通常情况下的分类有： 年金给付于每期开始时支付的期初付年金以及每期 完了时支付的期末付年金； 年金的给付在签约后即刻开始的即时年金以及经过 一段时间后才开始的延付年金； 年金的给付限于一定期间的有限期年金以及年金的 给付无限期延续的无限期年金等。 4
n
23
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为，
( Da)｜ n
n a｜ n i
上述定期递减年金在期首付时，为
) ( Da n ｜
n(1 i) a n ｜ i
变额年金的终值是 现有这样的一种递减确定年金，第一年年末给付额 为100元，第二年年末给付额为99元，以后每年年末给 付额较上年给付额递减1，直至给付额为10元为止。试 写出这一年金的现值符号表达式?
n
1 = i
n
7
期首付年金终值
sn an (1 i)
n
n
(1 i) 1 d
8
期末付年金终值
s n a n (1 i )
1 n (1 i ) i
n
n
(1 i ) 1 i
利息理论第二章课后答案
1、 证明：()nmm n i vv a a -=-;证明：11()()m nnmm n i i i i v v v v a a ---=-=-2、化简：n t t nnas as--解：()()()()()()()111111111111111tn tnttn t t n n n nnni iiii vi i i a s asv i i n ------+=+=+=----+++++++3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解：()()()2222221122111211n n n n nn v a x xi v x y i x y ixi yi i d i x x x y v yi v a y i ⎧-==⎪⎧-=--⎪⎪⇒⇒-=-⇒=⇒==⎨⎨++---=⎪⎪⎩==⎪⎩4、设,mn x ya s ∙∙== 证明：1m nvx yiy a++=+；证明：()()()()()()111111111111m m m m n nnn v i a x v xivxiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-⎧-+⎪==⇒=----+⎪∴==⎨++-⎪==⇒=-⎪⎩5、证明：2322......1......nnnnn nsss sss+-=;证明：()()()()()()()()()()232322222211111111111111111111n n nn n nn n n nnn n nnns s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+-=+-+-+-+-⎡⎤+-+⎣⎦=+++=+-6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与 b 相等，知道=0.5，计算k解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v =0.5 解答得k=18007 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。
2.1利息基本理论(保险精算课程讲义)
利息基本理论 年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累 积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率 衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利 率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为 年，每次的实际结算利息率为 ，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度） 利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表 示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。 （参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m
m
d d 1 1 m
m
m
1 i m 1 1 i m m 1 d / m
(详细)刘占国《利息理论》习题解答
《利息理论》习题详解第一章 利息的基本概念1、解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-===（3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -=== 2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得(0)794.1A =15、解：3400300(1)i =+ 0.1006i ∴= 又11110.9085911 1.1006i v d i i =-=-===++ 246500()1034.7v v v ∴++=19、解：（1）430.06(3)10000(1)119564A ⨯=+= （2）1()1441(1)4d i -+=-1()14334(3)10000(1)10000(1)122854d A i -⨯∴=+=-=20、解：（1）()1(1)m m i i m +=+， 1()(1)1m m i i m ∴+=+11(6)(5)651(1),1(1)65i i i i ∴+=++=+ (5)11()530(6)161(1)5(1)11(1)6m i i i i i m i ++∴==+=+++所以m=30 （2）1()()1(1),1(1)m m m m d d d d m m-=-∴-=-，所以和（1）有类似的解答m=30。
24、解：0()t t dt a t e δ⎰=，1212000.01(12)100001000020544.332t dt tdt A e e δ⎰⎰∴===25、解：设常数实际利率为i 有41420.060.05(1)(10.1)(10.08)(1)(1)42i --+=+-+-解得 0.0749i = 33、解：27.722e δ= ln 227.72δ∴==0.025 又2(12)7.04n δ+=21.057.0449.5616n ∴== 49.56161.05log 80n ∴== 36、解：设第十年末未付金额为x ，有40.12(1)10.125514i =+-= 11(1) 1.12551v i --∴=+= 又51015101000400800400 1.12551800 1.12551 1.12551v v xv x ---=++=⨯+⨯+⨯解得x=657.8375 42、解：338104001100(3)0.8166865t dt ae e -⎰=== 44、解：0.510.3(10.25)v -=-，解得v=0.87111110.14796i v ∴=-= 51、解：46400(1)6404j ⨯+=，解得j=0.079106第二章 年金 4解：实际月利率为0.087/120.00725i ==，16000010001200.0072580037.04A a =-=7解：X 取得的存款为：11251000180.08(10.08)39169.84s -⨯⨯+= 8解：50001010s Ra =，500015.93742 6.14457R ∴⨯=⨯，解得R=12968.719解：5000100.1100.15s Ra =，解得R=15187.4814解：10.5an an i =-，111.5 1.5n v an i i -∴==，解得13n v = 17解：月利率为0.096/12=0.008，15000.008100000an ∴=，0.00866.66667an ∴=，解得n=95.6取整数n=95，又951500950.008(10.008)100000a f -++=，解得f=965.7528解：设3年的实际利率为j ，有31(1)j i +=+，又112991j =，3912301(1)129129i ∴+=+=，解得i=0.195。
利息理论——第二章2.1
1 (1 i ) n (1 i ) n 1 1 (1 i ) i
(2.1.4)
关于 an 的基本公式
1 v 公式(2.1.2) an i 也可以写为 n
n
(2.1.5) 经济意义解释：公式的左侧表示在时刻0进行投 资，投资本金为1，公式的右侧表示投资的回收 方式，即这1单位的本金每期投资一次，并在每 一期期末均产生利息i，那么n期利息的现值之和 为 ian ；到n期末，即时刻n时，将投资本金1收回， n v 并折现到时刻0的现值为 。在利率为i时，投资 额与投资回报本利和的现值是相等的。因而，公 式(2.1.5)左右两侧相等，如下图所示。
n
关于 sn 的基本公式
(1 i ) 1 公式(2.1.4) sn 也可以写为 i n
n
(2.1.6) 经济意义解释：公式左侧表示将1单位本金投资n期, 每期按复利i计算，在n期期末，投资积累值即本利 n 和为 (1 i)；公式右侧表示投资本金为1，即这1单位 的本金每期投资一次，每期期末产生利息i，而每期 所产生的利息又以利率i再投资，这样到n期期末各 积累值之和为isn ，这部分是所生利息的积累值，再 加上投资本金1，即为全部本利和，等式左右两侧分 别是一种投资的两种算法，实质上是相等的，如下 图：
an
于在0时刻投资本金为1，则n期期末本利和为 n n (1 i) ，而 (1 i) 1 isn ，这与每期期末投资 P的n期积累值是等价的，即 1 isn Psn ，由此 1 1 得
an
P
sn
i
an 和 sn 在几种不同利率情况下，对于n从1~50 的值在本书附录中可以查到。通常an 和sn 符号 中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉 a 及多个利率时，为避免引起混淆，可写作： n i a 和 sn i 的形式，如 a10 0.06 、 20 0.08 和 s20 0.07 等。
利息理论第二章
复习第二章一、给出标准型年金的定义。
二、n期标准期末(初）付年金的现值和积累值。
三、标准期初付年金和标准期末付年金之间的关系例1：对于同一个实际利率，有（1）在2n年内每年末付款2个单位，加上在头n年内每年末附加付款1个单位，现值为36。
（2）一项延期n年的n年期定期年金，每年末付款2元，其现值为6。
求利率。
例2：甲在银行存入20万元，计划分5年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为8％，计算每次支取的金额。
四、延付年金例：某年金共付款4次，首次付款发生时刻2，最后一次付款发生在时刻5，则该年金在0时刻的现值为（）。
在7时刻的积累值为（）。
在3时刻的年金当前值为（）。
五、永续年金例：甲为某学校设立总额为1万元的奖学基金，该基金以永续年金的方式每年末支付一次。
假设该基金采用的年实际利率为8%，则甲每年末的支付额为（）。
七、年金的非标准期问题•符号的三个含义。
八、变动利率年金例：每年末在银行存款1元，共存10年。
已知前六年的实际利率为4%，后四年每年计息四次的年名义利率为4%，则该年金的现值及积累值为？九、付款频率与计息频率不同的年金例1：某人购房贷款10,000元，每月初还款一次，分10年还清，每次还款额相等，贷款年利率为6％，计算每次还款额。
例2：某期末付年金付款如下：单数年末每次付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。
若在某时间t一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。
年利率为i，求t。
十、连续年金例：假设一共计息10次，每个计息期上的实际利率为5%，付款总额为3，且连续不断的付款，则该年金的现值和积累值为（）。
十一、基本变化年金例1：一项每年末支付一次的年金，支付额依次为900,800,……,200。
已知年实际利率为8%，求该年金的现值例2：某年金首期的付款额为10，以后每期的付款比前一期增加10，共付款20次。
假设付款方式是期末付款，且付款期等于计息期，每期的实际利率为6%，则该年金的现值为（）。
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2.1.3 任意时刻的年金值
1
1
…
…
… 1 …
1
（共 n 次付款）
an an
sn
sn
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
Page 19
1 0 1 2
1 3
1 4
1 5
1 6 7 8 9 10
a5
a5
s5
s5
图（2-7） 年金时间图
V(1)= a5 ；V(2)= a5 ； V(6)= s5 ；V(7)= s5 。
1 2
1 … 3 …
1
1
1 (付款额) n（时间）
n-2 n-1
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
an i
Page 7
sn i
2.1.1期末付年金
1 0 1
1 2
1 … 3 …
1
1
1 (付款额)
ani
sni
n-2 n-1
n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
an v v 2 1 ian v n
本金 利息流
d 1
d 2
d 3
…
…
d
d n
n-2 n-1
时间
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
Page 16
2.1.2期初付年金
显然，an 与an ; sn 与sn 之间存在一定的联系。 an =1+v+v
2
v
n 1
v v2 v
vn
an v
an (1 v)
n n
ani
sni
Page 11
2.1.1期末付年金
例2.1 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值 及其累积值。
例2.2 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利 为0.5%的情况下，每月末存入多少钱，才能达到要求。
Page 12
(2-18)
i≈2(n-k)/[n(n+1)]
Page 33
2.1.6年金的未知利率问题
对于n值较大的年金未知利率问题,可以通过级数展开的方式求解。
n 1 n 1 2 1 1 i i = (1 2 12 an n
2
)
(2-19)
1 1 1 n 1 i) = ≈ (1 k an n 2
i≈2(n-k)/[k(n+1)]
(2-20)
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2.1.6年金的未知利率问题
对于n值较大的年金未知利率问题,还可以通过迭代法求解。（精度高）
sn i =k
(1 is )n 1 kis is+1=is 1 n 1 (1 is ) [1 is (n 1)] 1
第二章 年金
深圳大学经济学院
Economics school Shenzhen university
Page 1
第一节 基本年金
Page 2
年金的定义
• 所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。
• 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列 付款。
Page 3
n n v (1 v ) 1 v vn 1 v i
经济解释
Page 8
2.1.1期末付年金
1 0 1
1 2
1 … 3 …
1
1
1 (付款额)
ani
sni
n-2 n-1
n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
sn 1 (1 i) (1 i) n 1 isn
（7）2060年1月1日。
Page 22
2.1.4 永续年金
v v 1 a v v 1 v iv i 也可通过极限方式求得：
2
1 vn 1 a = lim an lim n n i i 相应的： a =1+v v
2
1 = d
Page 23
(2-16)
Page 27
2.1.5 年金的未知时间问题
上浮支付 精确支付 扣减式付款
Page 28
2.1.5 年金的未知时间问题
例2.7 某人借款50000用于购房，并计划每年年末还款10000，知道还完， 若按利率7%计算，求该借款人还款的整数次n以及最后的还款零头。零头 的还款时间分别为：
汉英名词对照
年金 支付期 延付年金 初付年金
Annuity
Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity
永久年金
变额年金 递增年金 递减年金
Page 4
Varying annuity
Page 25
2.1.5 年金的非标准期问题
ank
•整个付款期为n+k,0<k<1.前n期个期期末付款额为1，在 时刻n+k有个零头支付。
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2.1.5 年金的非标准期问题
ank
1 v nk = i
1 v n v n v nk = i
k (1 i ) 1 nk ] = an + v [ i
2.1.1期末付年金
例2.4 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款1000元，期限为5年，计算下 面的三种还款方式中利息所占的额度。 （1）贷款的本金和利息累积值在第5年末一次还清；
（2）每年末致富贷款利息，第5年末归还本金；
（3）贷款每年年末均衡偿还。
Page 13
2.1.2期初付年金
(2-21A)
an i =k：
1 (1 is ) n kis is+1=is 1 n 1 1 (1 is ) [1 is (n 1)]
(2-21B)
Page 35
2.1.6年金的未知利率问题
对于n值较大的年金未知利率问题,还可 以通过迭代法求解。（精度高）
（1）与最后一次规则还款时间相同，即在时刻n; （2）在n~n+1中间的准确时间 （3）在最后一次规则还款的下一期，即在时刻n+1
-8 某人拟每年年末在银行存款1000元，以便在某年年末积累10000元的 存款，设年利率为4%，若需要零头存款则发生在最后一次规则存款的下一 期，计算有规则的存款次数和零头存款额。
n n 1 (1 i ) (1 i ) 1 n 1 (1 i) 1 (1 i) i
经济解释
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2.1.1期末付年金
an 与sn 之间的关系 an v v
2
1 i 1 i
n
an 1 i v v 2
Increasing annuity Decreasing annuity
年金的分类
分类1
– 基本年金 • 等时间间隔付款
• 付款频率与利息转换频率一致
• 每次付款金额恒定 – 一般年金 • 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
分类2
– 付款时刻不同：初付年金/延付年金 – 付款期限不同：有限年金/永久年金
2 n 1
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2.1.2期初付年金
1 d 0 本金支出 1
1 vn an , 故有： d dan 1 v n； 1=dan +v n (1 i ) n 1 sn ，有 d (1 i ) n =dsn 1 sn an (1 i ) n 1 1 d an sn
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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金 延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价 值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日；
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假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次 付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的 值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作 为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表 示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期） ，则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数； （2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ； （3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；