安徽省淮南市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试题及答案
2021年高三第一次模拟考试 数学文 含答案
2021年高三第一次模拟考试数学文含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1）、（1，2）、（2，4）、（3，5），其回归方程为=bx+0.9，则b的值等于（）A． 1.3 B．﹣1.3 C．1.4 D．﹣1.42．函数y=f（2e x），则导数y′=（）A．2f′（2e x）B．2e x f′（x）C．2e x f′（e x）D．2e x f′（2e x）3．已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ= B．ρsinθ=2 C．ρcosθ= D．ρcosθ=24．吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．5．函数f（x）=3x﹣x3的单调递增区间是（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）及（﹣∞，﹣1] D．[﹣，]6．xx年吉安市教育局实施“支教”活动，某县级中学有3位数学教师和6位语文教师到3所乡级中学开展“支教”活动，每所乡级中学分配1位数学教师和2位语文教师，不同的分配方案有（）A．1080种B．540种C．270种D． 180种7．从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．8．设x2+x7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6+a7（x+1）7，则a6=（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣89．若关于x的方程x2+4x+|m﹣1|+2|m|=0（m∈R）有实根，则m的取值范围是（）A．m≥或m≤﹣1 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1≤m≤ D．0≤m≤10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[m，n]上的两个函数，若函数y=f（x）+g（x）在x∈[m，n]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[m，n]上是“相互函数”；若f（x）=﹣4lnx﹣5x与g（x）=x2+3x+a在区间[1，e]上是相互函数，则a的取值范围为（）A．[1，4ln2）B．[﹣e2+2e+4，4ln2）C．（4ln2，+∞）D．[1，﹣e2+2e+4]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设X，Y是两个离散型随机变量，X～B（4，），Y=2X﹣1，则离散型随机变量Y的数学期望EY=_________．12．已知函数f（x）=2lnx+x2，若f（x2﹣1）≤1，则实数x的取值范围是_________．13．式子（+）n的展开式中第4项为常数项，且常数项为T，则：sinxdx=_________．14．已知函数f（x）=，则f（x）的值域为_________．15．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①3是函数y=f（x）的极大值点；②1是函数y=f（x）的极值点；③当x＞3时，f（x）＞0恒成立；④函数y=f（x）在x=﹣2处切线的斜率小于零；⑤函数y=f（x）在区间（﹣2，3）上单调递减．则正确命题的序号是_________（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（1）点P是椭圆+=1上的动点，求点P到直线4x+3y=12的最大距离；（2）已知圆C的参数方程（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=m，且直线l与圆C相切，求实数m的值．17．（12分）吉安市农业银行的一个办理储蓄的窗口，有一些储户办理业务，假设每位储户办理业务的所需时间相互独立，且该窗口办理业务不间断，对以往该窗口储户办理业务的所需时间统计结果如下：1 2 3 4 5办理业务所需时间（分）频率0.2 0.3 0.3 0.1 0.1从第一个储户办理业务时计时，（1）求到第3分钟结束时办理了业务的储户都办完业务的概率；（2）第三个储户办理业务恰好等待4分钟开始办理业务的概率．18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+b，（a∈R，b∈R）（1）若函数f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；（2）若b=﹣4a，解关于x的不等式f（x）＞﹣8．19．（12分）某校高二（1）班举行游戏中，有甲、乙两个盒子，这两个盒子中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的8个小球，其中甲盒子中装有6个红球、2个白球，乙盒子中装有7个黄球、1个黑球，现进行摸球游戏，游戏规则：从甲盒子中摸一个红球记4分，摸出一个白球记﹣1分；从乙盒子中摸出一个黄球记6分，摸出一个黑球记﹣2分．（1）如果每次从甲盒子摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率；（2）设X（单位：分）为分别从甲、乙盒子中各摸一个球所获得的总分，求X的数学期望．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣2m）（nx+2）（m＞0，n＞0）为偶函数．（1）若k≤f（2）+6m恒成立，求k的取值范围；（2）当m=1时，若函数g（x）=（a﹣2）lnx+f（x）在区间（2，3）内不是单调函数，求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f（x）=e x（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）﹣2（e x+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；（3）若函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值为φ（t），解关于t的不等式φ（t）≤4e2．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：（1）由题意，设点P的坐标为（3cosθ，4sinθ），则点P到直线4x+3y=12的距离是d==；当sin（θ+）=﹣1时，点P到直线4x+3y=12的最大距离为；（2）圆C的标准方程是（x﹣1）2+y2=4，直线l的直角坐标方程为2x+y=m；∵直线l与圆C相切，∴=2，解得m=2±2；∴实数m的值为2±2．17．解：（1）记该事件为事件A，事件A包括①第一个储户办理业务所需时间为3分钟，②第一个储户办理业务所需时间为1分钟且第二个储户办理业务所需的时间为2分钟；③第一个储户办理业务所需时间为2分钟且第二个储户办理业务所需的时间为1分钟；④连续3个储户业务均用了1分钟，所以P（A）=0.3+2×0.2×0.3+0.23=0.428．（2）记第三个储户办理业务恰好等待4分钟开始办理业务为事件B，第三个储户业务办理等待4分钟开始办理包括①第一个储户办理业务用了2分钟，且第二个储户办理业务用了2分钟②第一个储户办理业务用了1分钟，且第二个储户办理业务用了3分钟，③第一个储户办理业务用了3分钟，且第二个储户办理业务用了1分钟，则P（B）=0.3×0.3+2×0.2×0.3=0.21．18．解：（1）函数f（x）有最小值3，∴a＞0，=3，∴b=+3，f（1）=a﹣4+b=a+﹣1，∴f（1）+2a=3a+﹣1≥2﹣1=4﹣1．即f（1）+2a的最小值为4﹣1．（2）当b=﹣4a时，不等式f（x）＞﹣8，可化为ax2﹣4x﹣4a+8＞0，①当a=0时，不等式即为﹣4x+8＞0，x＜2，②当a＞0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]＞0，当a＞1时，x＞2或x＜﹣2，当a=1时，x≠2，当0＜a＜1时，x＞﹣2或x＜2，③当a＜0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]，即﹣2＜x＜2，∴当a＜0时不等式的解集为（﹣2，2），当a=0时，不等式的解集为（﹣∞，2），当1＞a＞0时，原不等式解集为（﹣2，+∞）∪（﹣∞，2）当a=1时，原不等式解集为（x|x≠2，x∈R}，当a＞1时，原不等式解集为（2，+∞）∪（﹣∞，﹣2）19．解：（1）设连续从甲盒子中摸出的3个球中，红球有x个，则白球有3﹣x个，由题意知4x﹣（3﹣x）≥5，解得x≥，∵x∈N*，且x≤3，∴x=2或x=3，∴连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率：p==．（2）由题意知X可能取值分别为10，5，2，﹣3，∵每次摸球相互独立，∴P（X=10）==，P（X=5）==，P（X=2）==，P（X=﹣1）==，∴X的数学期望EX==．20．解：（1）由已知得：f（x）=nx2+（2﹣2mn）x﹣4m，又f（x）为偶函数，∴2﹣2mn=0，即mn=1，∴f（2）=4n﹣4m，∴f（2）+6m=4n+2m≥2=4，又k≤f（2）+6m恒成立，∴k≤[f（2）+6m]min=4，∴k的范围是（﹣∞，4]；（2）由（1）得：m=1时，n=1，∴f（x）=x2﹣4，∴g（x）=（a﹣2）lnx+x2﹣4，∴g′（x）=，①a≥2时，g′（x）＞0，则g（x）在（2，3）单调递增，②a＜2时，g′（x）=，又函数g（x）在区间（2，3）内不是单调函数，∴2＜＜3，∴﹣16＜a＜﹣6，∴a的范围是（﹣16，﹣6）．21．解：（1）∵f（x）=e x（ax+b），g（x）=x2+2bx+2∴f′（x）=e x（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，由题意它们在x=0处有相同的切线，∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，∴f（x）=2e x（x+1），g（x）=x2+4x+2．（2）由题意F（x）=2xe x+x2+2x+2，∴F′（x）=2（e x+1）（x+1），由F′（x）＞0，得x＞﹣1；由F′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减，∴F（x）极小值=F（﹣1）=1﹣＞0，∴函数F（x）的零点个数为0．（3）f′（x）=2e x（x+2），由f′（x）＞0，得x＞﹣2，由f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调调递减，∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2．①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在（t，﹣2）单调递减，（﹣2，t+1）单调递增，∴．②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴∴φ（t）=，当﹣3＜t＜﹣2时，φ（t）≤4e2，当t≥﹣2时，φ（t）=2e t（t+1），当﹣2≤t≤﹣1时，φ（t）≤4e2，当t＞﹣1时，φ（t）=2e t（t+1）是增函数，又φ（2）=6e2，∴﹣1＜t≤2，∴不等式φ（t）≤4e2的解集为（﹣3，2]．h21419 53AB 厫[8 26777 6899 梙40087 9C97 鲗21865 5569 啩32135 7D87 綇31157 79B5 禵21057 5241 剁20610 5082 傂%B。
2021届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学文科试题(解析版)参照模板
淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题(文科)一、选择题1.若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B = ( ) A. []1,2- B. (]2,3 C. [)1,2D. [)1,3【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，然后再求交集.【详解】由{}21A x x =-≤得，[1,3]A = ,(),2B x y ⎧⎫===-∞⎨⎩则[1,2)A B ⋂= 故选：C【点睛】本题考查集合求交集,属于基础题. 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为( ) A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数是( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数，数形结合可得结论． 【详解】函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数， 即方程132xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根的个数， 所以只需求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数 在同一坐标系中分别作出函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.如图所示，函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点有1个. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．5.由下表可计算出变量,x y 的线性回归方程为( )x5 4 3 2 1 y21.5110.5A. ˆ0.350.15yx =+ B. ˆ0.350.25yx =-+ C. ˆ0.350.15yx =-+ D. ˆ0.350.25yx =+ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，543212 1.5110.53, 1.255x y ++++++++====∴样本中心点为(3，1.2)代入选择支，检验可知A 满足.故答案选A ． 考点：线性回归方程.6.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A. 230x y -+= B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D 【解析】 【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 7.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为( ) A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--.此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.8.在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅的值为( ) A. 26 B. 13C.523D. 10【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出.【详解】()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅如图,设,AB AC 的中点分别为,E F ,则,OE AB OF AC ⊥⊥,||||cos ||||428AO AB AB AO OAB AB AE ⋅=⋅∠=⋅=⨯= ||||cos ||||6318AO AC AC AO OAC AC AF ⋅=⋅∠=⋅=⨯=所以18810AO BC ⋅=-= 故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题． 9.已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦( )A. 2019B. 2018C. 1009D. 1008【答案】D 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，可得1(1)20n n f a a +'=-=，数列{}n a 为等比数列，可得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可得n b ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．【详解】由21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)20n n f a a +'=-=，即12n n a a +=所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列, 则12n na .由1222log log 21n n n b a n ++===+120182018112018(1)(2)12n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以122320182019201820182018b b b b b b ++⋅⋅⋅+ 1223201820191111112018[]b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1201911111009=20182018=1009220201010b b ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1223201820192018201820181009[1009]10081010b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：D【点睛】本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A .2500cm 3πB.2625cm 9πC.2625cm 36πD.215625cm 162π【答案】B 【解析】 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R 即可求出球的表面积．【详解】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得222(3)4R R =-+，解得：25=6R ． ∴球的表面积为2225625=4=4=369S R πππ⨯ ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．11.已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为( )8 B. )41-8+ D. )22【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m -=， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭B. 11,1ee e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C. 11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D. 1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-, 则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=-- 由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x x x x x=→--所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x →所以()g x的大致图像如下:方程lnlnx xax x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1eae e⎛⎫∈-⎪-⎝⎭故选：C【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二．填空题13.若实数x，y满足0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值.【详解】由0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如下目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+. z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.即求直线2y x z =-+在y 轴上的截距的最大值. 由可行域的图像，可知目标函数过点(1,1)B 时截距最大. 所以z 的最大值为：2113z =⨯+= 故答案为：3【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题. 14.已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______． 433- 【解析】 【分析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2cos 1s 653in 6ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭341552=-+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题. 15.已知函数()lnexf x e x =-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ，b 均为正实数)，则ab 的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出,a b 的关系，可得出答案. 【详解】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----. 22018201920192019e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20182201710091010[][[]201920192019201920192019e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10092=⨯()10092a b =+ 所以4a b +=，且a ，b 均为正实数.则242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab 当且仅当2a b == 时取等号. 故答案为：4.16.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，则弦长AB =______．【答案】258【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案． 【详解】抛物线焦点坐标为1(,0)2F ， 设点1122(,),(,)A x y A x y 设直线l 方程为12x my =+， 由抛物线的定义有111||22p AF x x =+=+，221||22p BF x x =+=+ 由4AF BF =，得1211422x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1214(1)my my +=+. 所以有12(4)3(1)m y y -=，又由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得：2210y my --=，所以122y y m +=，121(2)y y ⋅=-由(1),(2)联立解得：2916m =. 又1212||||||12AB AF BF x x my my =+=++=++212925()22222168m y y m =++=+=⨯+=故答案为：258【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．三．解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】(Ⅰ)60C =︒；(Ⅱ)S = 【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =，可得答案.|(Ⅱ)由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】(Ⅰ)∵3cos sin a C c A =，由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =， 又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan 3C = ∵0180C <<︒，∴60C =︒．(Ⅱ)根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =． ∴ABC ∆的面积153sin 6022S CA CB =⋅︒=． 【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18.高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；(Ⅲ)为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(Ⅰ)0.030a =；(Ⅱ)37P =；(Ⅲ)表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数a .(Ⅱ)由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.(Ⅲ)先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算2K ，与给出的表格比较得出答案. 【详解】(Ⅰ)由题意()100.010.01520.0250.0051a ⨯+⨯+++=解得0.030a =.(Ⅱ)由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()13,A C ； ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()23,A C ； ()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ；()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ；()31,B C ，()32,B C ，()33,B C ；()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ；共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， ∴所求的概率为123287P ==. (Ⅲ)2×2列联表如下：由上表及公式可知()2220050406050 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.02＜2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题.19.如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥．(Ⅰ)求证：PE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)设F ，G 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13G BCF V -= 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据原图中的垂直关系，得到翻折后BE PE ⊥，PE BC ⊥，从而可证明. (Ⅱ)由F ，G 分别为PD ，PB 的中点111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，从而可求解体积.【详解】(Ⅰ)由题意可知BCDE 为正方形，∴BC BE ⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥ 又PE BC ⊥，且PB BE B =，∴BC ⊥平面PBE ，∵PE PB ⊂，E ，BC PE ⊥又BCBE B =，∴PE ⊥平面BCDE .(Ⅱ)∵G 为PB 的中点，∴PGF BGF S S ∆∆=，∴12C PGF C BGF C PBF V V V ---== 又F 为PD 的中点，∴PBF BDF S S ∆∆=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---== ∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----==== 又1142P BCDP BCDE V V --=，∴11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． (Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22198x y ；(2)存在，0m ≤<或0m <≤【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.(Ⅱ)AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】(1)由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y .(2)直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=012m -≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是012m -≤<或012m <≤. 【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21.设函数()ln xa e f xb x e=-，且()11f =(其中e 是自然对数底数)．(Ⅰ)若1b =，求()f x 的单调区间； (Ⅱ)若0b e ≤≤，求证：()0f x >． 【答案】(Ⅰ)增区间为1,，减区间为0,1；(Ⅱ)见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)当1b =时()11x xe f x x--'=，令()11x t x xe -=-，对()t x 求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到()f x 的单调区间.(Ⅱ)对()f x 求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可. 【详解】(Ⅰ)由()11f =可得，1a =，又1b =，∴()1ln x f x e x -=-，()11x xe f x x--'=，0x >，令()11x t x xe-=-，()()11x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在0,单调增函数，又()10t =.∴当()0,1x ∈时，()0t x <，()‘0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0t x >；()‘0f x >，∴()f x 的单调增区间为1,，减区间为0,1(Ⅱ)当0b =时，()0f x >，符合题意. 方法(一)当0b e <≤时，()11x x b xe bf x e x x---'=-=令()1x h x xeb -=-，又()00h b =-<，()220h e b =->∴()h x 在()0,2∃唯一的零点，设为0x ，有010x x eb -=且()00,x x ∈，()00f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()00f x '>，()f x 单调递增 ∴()()0100min ln x f x f x eb x -==-∵010x x eb -=，∴01x be x -=，两边取对数， 001ln ln x b x -=-∴()()000ln 1bf x b b x x =-+-00ln 2ln ln b bx b b b b b b b b b b x ⎛⎫=+--≥--=- ⎪⎝⎭(当且仅当01x =时到等号) 设()ln m b b b b =-，∴()ln m b b =-，当()0,1b ∈时，()0m b '>，当(]1,b e ∈时，()0m b '<； 又()0m e =，且，0b >，趋向0时，()0m e >； ∴当0b e <≤，()0m b ≥，当且仅当b e =时取等号由(1)可知，当1b =时，01x =，故当b e =时，01x ≠，()()00f x m b >≥，∴()00f x > 综上，当0b e ≤≤时，()0f x > 方法(二)当0b e <≤时，(i )当01x <≤时ln 0x ≤，ln 0b x ≤，()1ln 0x f x e b x -=->显然成立；(ii )当1x ≥时，构造函数()ln 1F x x x =-+()110F x x'=-≤，()F x 在[)1,+∞为减函数，∴()()10F x F ≤=，∴0ln 1x x <≤- ∴()()0ln 11b x b x e x <≤-≤-，∴()0ln 1b x e x <<- ∴()()11ln 1x x f x eb x e e x --=->--又由ln 1x x ≤-，可得21x e x -≥-，进而()()110x f x e e x -=--≥综上：当0b e ≤≤时，()0f x >【点睛】本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.四．选考题22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求1C ，2C 的极坐标方程； (2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==，所以MN =12. 试题解析：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ==所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点：坐标系与参数方程.【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】 试题分析：(1)解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：(1)当a ＝－3时，f(x)＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|(4－x)－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【此处有视频，请去附件查看】百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2021年高三上学期第一次模拟考试文数试题 含解析
2021年高三上学期第一次模拟考试文数试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是 ( )A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：∵，，，∴，∴.考点：集合的子集关系.2.若，其中，是虚数单位，则等于（）A．0 B．2 C． D．5【答案】D考点：复数的运算.3.已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：①若；②若；③若，其中正确命题的个数是 ( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】试题分析：由于一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；由于一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；因为则或，所以③错误；综上可知：②正确.考点：线面关系.4.阅读右面的程序框图，若输出的，则输入的的值可能为（）A． B． C． D．【答案】C考点：程序框图.5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（）【答案】C考点：简单空间图形的三视图.6.函数的图象的大致形状是 ( )【答案】B【解析】试题分析：∵，所以利用指数函数的图象得到B选项.考点：函数图象.7.下列说法错误．．的是 ( )A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”B．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C．若命题：，则；D．“”是“”的充分不必要条件；【答案】D考点：否命题、命题的否定、充分必要条件、命题的真假.8.若数列满足，（且），则等于（）A．－1 B． C．1 D．2【答案】D【解析】试题分析：∵，（且），∴，，，，，…，∴，∴.考点：递推公式.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：设AB的中点为D，有，∴，∴，由点到直线的距离公式得，解得.考点：直线与圆相交问题、平面向量的基本定理及其意义.10.已知,则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 试题分析：∵cos cos()cos cos cos sin sin 333x x x x x πππ+-=++. 考点：两角和与差的余弦公式.11.关于函数，看下面四个结论： ①是奇函数；②当时，恒成立；③的最大值是；④的最小值是．其中正确结论的个数为：（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A考点：函数奇偶性的判断、函数的最值及其几何意义、函数恒成立问题.12.已知函数的定义域为R ，且满足，为的导函数，又知 的图象如图所示，若两个正数满足，，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A考点：导数的图象、线性规划.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知双曲线的离心率为2，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________．【答案】考点：双曲线的渐近线方程.14.记集合(){}()221,1,,0x yA x y x yB x y xy⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为M,N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为_________．【答案】【解析】试题分析：圆的面积，三角形面积为，∴.考点：几何概型.15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【答案】【解析】试题分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，，该正三棱锥的体积：.考点：正三棱锥的体积.16.已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。
安徽省淮南市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
安徽省淮南市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C 【解析】 【分析】由题可推断出ABC V 和BCD V 都是直角三角形，设球心为O ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则需满足h OD =，结合几何关系和图形即可求解 【详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB OC ==，故ABC V 是直角三角形，设,AB x AC y ==，则有22242x y xy +=≥，又12ABC S xy ∆=，所以142ABC S xy ∆=≤，当且仅当22x y ==时，ABC S ∆取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高2h OD ==，此时11842333ABC D ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=，故选：C 【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题2．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B【解析】 【分析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．maxa c -=r r B ．maxa c +=r rC ．min 2a c-=r r D ．min2a c+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+r r ，则a c -r r 转化为圆()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max33371222a c ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-r r，22min 33731222a c ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝-⎭r r ， ()222a c x y +=++r ra c +r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+r r 22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ r r 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题. 4．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( ) A ．5 B ．3-C ．4D ．991【答案】B 【解析】由331log 1log n n a a ++=，可得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，所以2462222981919a a a a a a a ++=++==，则2991a =， 则3135712221333log ()log (327243)log 33a a a a a a ++=++==-，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.6．已知平面向量a br r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.7．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+【答案】B 【解析】 【分析】连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】解：连接CD 、OD ，C Q ，D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=所以四边形AODC 为棱形，1cos 1212AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g g∴()11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g2122AC AB AB =+u u u r u u u r u u u r g ．2121242=⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.8．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 9．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②． 由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 10．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，2=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．11．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.12． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 【详解】∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022年高三第一次模拟考试 文科数学 含答案
2021年高三第一次模拟考试 文科数学 含答案xx.03本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}lg 0,2,M x x N x x M N =>=≤⋂=则A. B. C. D.2.在复平面内，复数所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题中，真命题是A. B.C.函数的图象的一条对称轴是D.4.设a,b 是平面内两条不同的直线，l 是平面外的一条直线，则“”是“”的A.充分条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要条件5.函数的大致图象是6.已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为A. B.C. D.7.已知等比数列的公比为正数，且，则的值为A.3B.C.D.8.设的最小值是A.2B.C.4D.89.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是A.8B.C.16D.10. 已知实数，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为A. B. C. D.11.实数满足如果目标函数的最小值为，则实数m的值为A.5B.6C.7D.812.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确．．的是A.满足的点P必为BC的中点B.满足的点P有且只有一个C.的最大值为3D.的最小值不存在第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.抛物线的准线方程为____________.14.已知为第二象限角，则的值为__________.15.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分布五组：第一组，第二组，……，第五组.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于________________.16.记…时，观察下列，，观察上述等式，由的结果推测_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若向量()()1cos ,sin ,cos ,sin ,.2m B C n C B m n =-=--⋅=且 （I ）求角A 的大小；（II ）若的面积，求的值.18.（本小题满分12分）海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.（I ）求三个社团分别抽取了多少同学；（II ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，且F 是CD 的中点.（I ）求证：AF//平面BCE ；（II ）求证：平面.20.（本小题满分12分）若数列：对于，都有（常数），则称数列是公差为d 的准等差数列.如数列：若是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.（I ）求证：为准等差数列；（II ）求证：的通项公式及前20项和21.（本小题满分13分）已知长方形EFCD，以EF的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（I）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（II）在（I）的条件下，过点F做直线与椭圆交于不同的两点A、B，设，点T坐标为的取值范围.22.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（III）若，使成立，求实数a的取值范围.xx届高三模拟考试文科数学参考答案及评分标准xx.03 说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，均应参照本标准相应评分。
2021年高三上学期第一次模拟考试数学文试卷 含答案
2021年高三上学期第一次模拟考试数学文试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数=2+i，=3-i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）A．0 B．C．1 D．22．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件3．若平面向量与的夹角等于，，，则与的夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．4．抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．某连队身高符合中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～21岁的士兵有15人，22岁～25岁的士兵有20人，26岁～29岁的士兵有10人，若该连队有9个参加阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在26岁～29岁的士兵参加国庆阅兵的人数为( )A．5 B．4 C．3 D．26．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A． B． C． D．7．已知直线经过点，当截圆所得弦长最长时，直线的方程为（）A．B．C．D．8．已知A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形9．已知等差数列满足，则有（）A、B、C、D、10．直线的倾斜角等于（）A．B．C．D．11．点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.圆或线段D.线段12．已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则如果，，那么的取值范围为（）A．B． C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设则。
2021年高三高考模拟统一考试(一)数学(文)试题 含答案
UAB2021年高三高考模拟统一考试（一）数学（文）试题 含答案数 学 (文史类) 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2－i2＋i＝( )A ． 35－45IB ． 35＋45iC ．1－45iD ．1＋35i 2．已知全集U=R ,集合A={x| 0<x<9, x ∈R}和B={x| -4<x<4, x ∈Z} 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 3．是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )A ．－45B ．－1225C ．2425D ．－24255．右图是一个算法框图，则输出的k 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．97. 已知圆C ：的圆心为抛物线 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ．D ．8．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（ ）A ． B.C ． D.10．已知函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．11.设F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若点M 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. 2 D..12．若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．设在的边上,, 若 (为实数),则的值为__________.14．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为__________.15．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC 的距离为 , 则球O 的表面积为_________. 16.中,,则的最小值为__________.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求使成立的所有的值.18.(本小题满分12分)已知四棱锥底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1， E ．F 分别是线段AB ，BC 的中点，（Ⅰ）在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；．（Ⅱ）若PB 与平面所成的角为，求三棱锥D--EFG 的体积．19．(本小题满分12分)为预防H 7N 9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定xx 个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效7790c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33．（I ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？ （II ）已知b≥465，c ≥30，求通过测试的概率．20（本小题满分12分）已知函数f （x ）=，x ∈[1，3]， （I ）求f （x ）的最大值与最小值；（II ）若f （x ）＜4﹣a t 于任意的x ∈[1，3]，t ∈[0，2]恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为A ，以为圆心为半径的圆恰好经过点A 且与直线相切（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过右焦点作斜率为K 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。
2021年高三第一次模拟考试数学文试卷 含答案
2021年高三第一次模拟考试数学文试卷含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）~（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( A )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设为实数，若复数，则（ C ）A. B. C. D.3．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则的值是 ( D )A ．B ．C ．D ．4．如右图，若执行该程序，输出结果为48，则输入值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．已知函数和，曲线有交点且在交点处有相同的切线，则a= （ B ） A ． B ． C ． D ． 6.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体表面积为（ C ） A ．14 B ． C ． D ．167.已知函数)2,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期是且满足，则 ( C)A ．在上单调递增B ．在上单调递减C ．在上单调递减D ．在上单调递增8.. 已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P 的坐标满足不等式的概率为（ D ）A ．B ．C ．D ．9..已知直线与圆交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，若，则实数k=B A ．1B ．C ．D ． 210.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（ B ） A ． B ． C ． D ．11．已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若（O 为坐标原点），则|AB|= ( A) A ． B ． C ． D ．412、已知函数有两个极值点，且，则（ D ） A ． B ． C ． D ．正视俯视侧视第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求只选择一题做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，…，第十组，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 3714．在直角梯形中，，，，，梯形所在平面内一点满足，则 -115．设函数是奇函数，则使的的取值范围是（-1，0）16．已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，，若四面体P - ABC的体积为，则该球的体积为______．三、解答题(本大题共6个小题，共70分.要求解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列中，，且点在函数的图象上,数列是各项都为正数的等比数列，且.（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，记数列的前n项和为,求的值.（Ⅱ）,01299100(1234100)(2222)T =-+-+-++++++[]01299(12)(34)99100)(2222)=-++-+++-++++++（ ……12分18. (本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为，，，，．⑴求图3中的值；⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果；⑶从质量指标值分布在、的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．⑴依题意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）输出的……8分（列式、结果各1分）⑶记质量指标在的4件产品为，，，，质量指标在的1件产品为，则从5件产品中任取2件产品的结果为：，，，，，，，，，，共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：，，，共4种∴……11分答：从质量指标……，……的概率为……12分19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，是的中点，且，．求证：平面；求证：平面平面；当三棱锥的体积等于时，求的长．20．（本小题满分12分）已知椭圆：（）过点（2,0），且椭圆C的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.求直线是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。
2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =I （ ）A ．[]1,2-B ．(]2,3C ．[)1,2D ．[)1,3【答案】C【解析】先求出集合,A B ，然后再求交集. 【详解】由{}21A x x =-≤得，[1,3]A = ,(),2B x y ⎧⎫===-∞⎨⎩则[1,2)A B ⋂= 故选：C 【点睛】本题考查集合求交集,属于基础题. 2．已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3．已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论． 【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==.所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数，数形结合可得结论． 【详解】函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数， 即方程132xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根的个数， 所以只需求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数 在同一坐标系中分别作出函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.如图所示，函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点有1个. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．5．由下表可计算出变量,x y 的线性回归方程为（ ）x54 3 2 1 y21.5110.5A ．ˆ0.350.15y x =+B ．ˆ0.350.25yx =-+ C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 【答案】A【解析】试题分析：由题意，543212 1.5110.53, 1.255x y ++++++++====∴样本中心点为（3，1.2）代入选择支，检验可知A 满足.故答案选A ． 【考点】线性回归方程.6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A ．230x y -+=B ．230x y +-=C ．230x y --=D ．230x y --=【答案】D【解析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程． 【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1) 201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 7．函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案. 【详解】 因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--. 此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C 【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.8．在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．26B ．13C ．523D ．10【答案】D【解析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出. 【详解】()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r如图,设,AB AC 的中点分别为,E F ,则,OE AB OF AC ⊥⊥,||||cos ||||428AO AB AB AO OAB AB AE ⋅=⋅∠=⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ||||6318AO AC AC AO OAC AC AF ⋅=⋅∠=⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以18810AO BC ⋅=-=u u u r u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题．9．已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．2019 B ．2018 C ．1009 D ．1008【答案】D【解析】求得()f x 的导数，可得1(1)20n n f a a +'=-=，数列{}n a 为等比数列，可得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可得n b ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值． 【详解】由21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)20n n f a a +'=-=，即12n n a a +=所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列,则12n n a -=.由1222log log 21n n n b a n ++===+120182018112018(1)(2)12n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以122320182019201820182018b b b b b b ++⋅⋅⋅+ 1223201820191111112018[]b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1201911111009=20182018=1009220201010b b ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1223201820192018201820181009[1009]10081010b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：D 【点睛】本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 10．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（ ）A ．2500cm 3πB ．2625cm 9πC ．2625cm 36πD ．215625cm 162π【答案】B【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R 即可求出球的表面积． 【详解】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得222(3)4R R =-+，解得：25=6R ． ∴球的表面积为2225625=4=4=369S R πππ⨯ ． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．11．已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ）A ．83+ B ．)41C ．83+ D ．)22【答案】A【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF V 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=2(4)81628m ++=+=+故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12．若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭ B ．11,1e e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C ．11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D ．1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-,则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln)(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=-- 由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x xx x x=→-- 所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x → 所以()g x 的大致图像如下:方程ln ln x xa x x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1ea e e ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二、填空题13．若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为______．【答案】3【解析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值. 【详解】由0,20,20,x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如下目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+. z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.即求直线2y x z =-+在y 轴上的截距的最大值. 由可行域的图像，可知目标函数过点(1,1)B 时截距最大. 所以z 的最大值为：2113z =⨯+= 故答案为：3 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题. 14．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______． 433-【解析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 653πα⎛⎫+==-⎪⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-=-⨯+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题. 15．已知函数()lnexf x e x=-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（a ，b 均为正实数），则ab 的最大值为______． 【答案】4【解析】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出,a b 的关系，可得出答案. 【详解】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----. 22018201920192019e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20182201710091010[][[]201920192019201920192019e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10092=⨯()10092a b =+ 所以4a b +=，且a ，b 均为正实数.则242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab 当且仅当2a b == 时取等号. 故答案为：4.16．设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，则弦长AB =______．【答案】258【解析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案． 【详解】抛物线焦点坐标为1(,0)2F ， 设点1122(,),(,)A x y A x y 设直线l 方程为12x my =+， 由抛物线的定义有111||22p AF x x =+=+，221||22p BF x x =+=+ 由4AF BF =，得1211422x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1214(1)my my +=+. 所以有12(4)3(1)m y y -=L L ，又由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得：2210y my --=，所以122y y m +=，121(2)y y ⋅=-L L 由(1),(2)联立解得：2916m =. 又1212||||||12AB AF BF x x my my =+=++=++212925()22222168m y y m =++=+=⨯+= 故答案为：258【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）60C =︒；（Ⅱ）2S =【解析】（Ⅰcos sin sin A C C A =，可得答案.| （Ⅱ）由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】（Ⅰ）cos sin C c A =cos sin sin A C C A =，又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan C =∵0180C <<︒，∴60C =︒．（Ⅱ）根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =．∴ABC ∆的面积1sin 602S CA CB =⋅︒=【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率； （Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表： 经常使用 偶尔使用或不用 合计 男性 50 100 女性 40 合计200完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（Ⅰ）0.030a =；（Ⅱ）37P =；（Ⅲ）表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数a .（Ⅱ）由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.（Ⅲ）先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算2K ，与给出的表格比较得出答案. 【详解】（Ⅰ）由题意()100.010.01520.0250.0051a ⨯+⨯+++=解得0.030a =. （Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()13,A C ； ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()23,A C ； ()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ；()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ；()31,B C ，()32,B C ，()33,B C ；()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ；共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， ∴所求的概率为123287P ==. （Ⅲ）2×2列联表如下：由上表及公式可知()2220050406050 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.02＜2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题. 19．如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥．（Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，G 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13G BCF V -=【解析】（Ⅰ）根据原图中的垂直关系，得到翻折后BE PE ⊥，PE BC ⊥，从而可证明.（Ⅱ）由F ，G 分别为PD ，PB 的中点111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，从而可求解体积.【详解】（Ⅰ）由题意可知BCDE 为正方形，∴BC BE ⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥ 又PE BC ⊥，且PB BE B =I ，∴BC ⊥平面PBE ，∵PE PB ⊂，E ，BC PE ⊥ 又BC BE B =I ，∴PE ⊥平面BCDE .（Ⅱ）∵G 为PB 的中点，∴PGF BGF S S ∆∆=，∴12C PGF C BGF C PBF V V V ---== 又F 为PD 的中点，∴PBF BDF S S ∆∆=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---== ∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----==== 又1142P BCD P BCDE V V --=，∴11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22198x y +=；（2）存在，012m -≤<或012m <≤【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.（Ⅱ）AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】（1）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y +=.（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=， 故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=012m -≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是0m ≤<或0m <≤【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21．设函数()ln xa e f xb x e=-，且()11f =（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0b e ≤≤，求证：()0f x >． 【答案】（Ⅰ）增区间为()1,+?，减区间为()0,1；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）当1b =时()11x xe f x x--'=，令()11x t x xe -=-，对()t x 求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到()f x 的单调区间.（Ⅱ）对()f x 求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可. 【详解】（Ⅰ）由()11f =可得，1a =，又1b =，∴()1ln x f x ex -=-，()11x xe f x x--'=，0x >，令()11x t x xe-=-，()()11x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在()0,+?单调增函数，又()10t =.∴当()0,1x ∈时，()0t x <，()‘0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0t x >；()‘0f x >，∴()f x 的单调增区间为()1,+?，减区间为()0,1（Ⅱ）当0b =时，()0f x >，符合题意. 方法（一）当0b e <≤时，()11x x b xe bf x e x x---'=-=令()1x h x xeb -=-，又()00h b =-<，()220h e b =->∴()h x 在()0,2∃唯一的零点，设为0x ，有010x x eb -=且()00,x x ∈，()00f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()00f x '>，()f x 单调递增∴()()0100min ln x f x f x eb x -==-∵010x x eb -=，∴01x be x -=，两边取对数，001ln ln x b x -=-∴()()000ln 1bf x b b x x =-+- 00ln 2ln ln b bx b b b b b b b b b b x ⎛⎫=+--≥--=- ⎪⎝⎭（当且仅当01x =时到等号） 设()ln m b b b b =-，∴()ln m b b =-，当()0,1b ∈时，()0m b '>，当(]1,b e ∈时，()0m b '<； 又()0m e =，且，0b >，趋向0时，()0m e >； ∴当0b e <≤，()0m b ≥，当且仅当b e =时取等号由（1）可知，当1b =时，01x =，故当b e =时，01x ≠，()()00f x m b >≥，∴()00f x > 综上，当0b e ≤≤时，()0f x > 方法（二）当0b e <≤时，（i ）当01x <≤时ln 0x ≤，ln 0b x ≤，()1ln 0x f x e b x -=->显然成立；（ii ）当1x ≥时，构造函数()ln 1F x x x =-+()110F x x'=-≤，()F x 在[)1,+∞为减函数，∴()()10F x F ≤=，∴0ln 1x x <≤- ∴()()0ln 11b x b x e x <≤-≤-，∴()0ln 1b x e x <<- ∴()()11ln 1x x f x eb x e e x --=->--又由ln 1x x ≤-，可得21x e x -≥-，进而()()110x f x e e x -=--≥综上：当0b e ≤≤时，()0f x > 【点睛】本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=得1222,2ρρ==， 所以2MN =，进而求得面积为12.试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得23240ρρ-+=得1222,2ρρ==， 所以2MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为1121sin 4522⨯⨯⨯=o 【考点】坐标系与参数方程.23． 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数第 21 页共 21 页。
安徽省淮南市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
安徽省淮南市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】 对命题p ：可知()2140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 2．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222xx x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x x x x ---=⨯.故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C 【解析】 【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.【详解】在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题. 4．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足． 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 5．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅u u u r u u u u r的取值范围为（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,9 C ．[]1,8 D ．[]1,9【答案】A 【解析】 【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u u u u r u u u u r u v u u u r u u u v u ，结合12AO O B +u u u u v u u u u v的范围即可求解【详解】 如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r 2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+u u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v 其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=u u u u v u u u u v ，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦u u u r u u u u r .故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题6．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A 2 B ．6C 3D 6【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =， 可得6c e a ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b -=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =u u u r u u u r ，且23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r ，则双曲线E 的离心率为（ ）A B ．52C D ．5【答案】D 【解析】 【分析】过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r 可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos2AOB∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =u u u r u u u r 可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.2333cos 100OA OB AOB c ⋅=⋅∠=-u u u r u u u r ，1cos 25AOB ∴∠=-.1cos 23cos225AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP=u u u r u u u r Q ，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=o ，625c PF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=，由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225ca =， 因此，该双曲线的离心率为5ce a==.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9．2(1ii+=- )A ．132i+ B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】()()()()22122313131112222i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A ．2B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决. 【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得2e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,3⎛ ⎝⎦D ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年安徽省淮南市张集中学高三数学文模拟试题含解析
2021年安徽省淮南市张集中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若与在区间1，2上都是减函数，则的取值范围是（）A． (0，1) B． (0，1C． (-1,0）∪(0，1) D． (-1，0) ∪(0，1参考答案：B2. 若如图1所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是（A） 3 （B） 4 （C） 5 （D）6参考答案：B3. 根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4. 已知函数，则的值为A. B.0 C.1 D.2参考答案：D5. 描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小时）如下：原料时间工序上漆A．43小时B．46小时C．47小时D．49小时参考答案：B6. 若复数满足（为虚数单位），则z的虚部为A. B.2 C.1 D.参考答案：D略7. 已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．4参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，可得f（3）=2，结合f（x）为奇函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，（1，4）点与（3，2）点关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（3）=2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣3）=﹣2，故选：B．8. 已知全集集合则A. B.C. D.或参考答案：A，故=，选A. 也可通过选取特殊元素代入检验，使用排除法得解.9. 已知命题p:,且a>0,有,命题q:,,则下列判断正确的是A．p是假命题 B．q是真命题C．是真命题 D．是真命题参考答案：C略10. 已知集合（其中为虚数单位），，，则复数为A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过的直线与圆C：(x-1)2+y2=4 交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为．参考答案：2x－4y+3=012. 已知的三边长分别为，其面积为S，则的内切圆的半径．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．请用类比推理方法猜测对空间四面体ABCD 存在类似结论为．参考答案：四面体ABCD 的各表面面积分别为，其体积为V ，则四面体ABCD 的内切球半径．13. 已知若f (x )＝2，则x ＝________.参考答案：－1或14. 复数的共轭复数为．参考答案：15. 设，若，则．参考答案：16. 己知直线x+ y+m=0与圆x2+ y2 =2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是。
2022-2023学年安徽省淮南市高三上学期一模数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年安徽省淮南市高三上学期一模数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 在复平面内，，对应的点分别为，则对应的点为.( )A. B. C. D.3. 为迎接北京2022年冬奥会，小王选择以跑步的方式响应社区开展的“喜迎冬奥爱上运动”如图健身活动.依据小王2021年1月至2021年11月期间每月跑步的里程单位：十公里数据，整理并绘制的折线图如图根据该折线图，下列结论正确的是.( )A. 月跑步里程逐月增加B. 月跑步里程的极差小于15C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大4. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2023项的和为.( )A. 2023B. 2024C. 2696D. 26975. 在中，，，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，，若，则直线AP经过的.( )A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心6. 近年来，淮南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多.某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上窑森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件甲和乙选择的景点不同，则( )A. B. C. D.7. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B，点M在C的准线上，若为等边三角形，则( )A. B. 6 C. D. 168. 若，，，则实数a，b，c的大小关系为.( )A. B. C. D.9. 已知函数，则.( )A. 的值域为B. 直线是曲线的一条切线C. 图象的对称中心为D. 方程有三个实数根10. 在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为等边三角形，，，，则.( )A. 平面平面ABCDB. 直线AB与PC所成的角的余弦值为C. 直线PC与平面ABCD所成的角的正弦值为D. 该四棱锥外接球的表面积为11. 已知函数图象过点，且存在，，当时，，则.( )A. 的周期为B. 图象的一条对称轴方程为C. 在区间上单调递减D. 在区间上有且仅有4个极大值点12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交C的右支于点A，B，若，则.( )A. B. C的渐近线方程为C. D. 与面积之比为13. 若角的始边是x轴非负半轴，终边落在直线上，则__________.14. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB 的方程为__________的面积为__________.15. 设直线与曲线，分别交于A，B两点，则的最小值为__________.16. 在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段，，的中点，点M在正方形内含边界，记过E，F，G的平面为，若，则BM的取值范围是__________.17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：求角A的大小;求BC边中线AD长的最小值.条件①条件②18. 2022年10月31日15时37分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了3 D打印的薄壁蒙皮点阵结构打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，3 D打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台3D打印设备打印出品的零件内径单位：服从正态分布若该台3D打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件.度量其内径分别为单位：，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么?参考数据：，，，19. 已知数列满足，求数列的通项公式;记，数列的前2n项和为，证明：20.在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，求证：若，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.21. 已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为求C的方程;若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线BF上，求n的值及面积的最大值.22. 已知有两个不同的零点，求实数a的取值范围;若，且恒成立，求实数的范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查交集运算，属于基础题．化简集合A，B，即可求出结果．【解答】解：因为，，所以故选2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，以及复数的除法运算，属于较易题.由已知可得复数，，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：复数，在平面内对应的点分别为，，，，，则对应的点为故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查折线图，属于较易题．对折线图数据分析处理，逐一检验选项即可得解．【解答】解：对于A，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A错误；对于B，月跑步里程的极差为，故B不正确；对于C，月跑步里程数对应的月份从小到大排列为2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；对于D，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程波动性更小，变化比较平稳，所以1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故D错误．故选4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查数列的周期性，以及并项法求和，属于较易题．先由题设写出斐波那契数列的一些项，进而写出新数列的一些项，再由数列的项的规律求得结果即可．【解答】解：由题意得，，，，，，，，，，，，，，，故，，，，，，，，，，，，，，故数列的周期为6，则数列的前2023项和为故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的加减与数乘混合运算，以及向量在平面几何中的应用，属于较易题.由题意判断四边形ADPE是菱形，直线AP为角A的内角平分线即可得.【解答】解：在中，，，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，，，，四边形ADPE是菱形，直线AP为角A的内角平分线，故直线AP经过的内心.故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查条件概率的概念与计算，属于较易题.根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【解答】解：事件M发生的个数种，事件M、N同时发生的个数，故故选7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线中的弦长问题，以及两点间距离公式，属于较易题.由题意得直线AB的方程为，与抛物线方程联立得A、B坐标，再利用两点间距离公式可得的值.【解答】解：，准线方程为，F点坐标为，不妨设点A在第一象限，由抛物线定义和为等边三角形，得，，则AM垂直于准线，即轴，直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为，联立直线和抛物线方程得，解得，或，点坐标为，B点坐标为故选8.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对互化，以及利用导数比较大小，属于较难题.由指对互化得，令，，则，，再利用导数研究函数的单调性进行求解，即可得.【解答】解：，，，，，即，令，，则，，，令，，则，函数在上单调递增，，，又，，函数在上单调递增，，，，故故选9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查求函数的值域，方程的根的个数，函数的对称性，以及求曲线上一点的切线方程，属于中档题.利用基本不等式求函数的值域判断A；利用导数的几何意义判断B；利用平移变换与对勾函数的对称性判断C；根据函数的值域并结合对勾函数图象判断【解答】解：对于A，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，故的值域为，故A错误；对于B，函数，，当时，解得，当时，，函数在处的切线方程为，当时，，函数在处的切线方程为，故B正确；对于C，由对勾函数的对称性知，函数的对称中心为，函数的图象是函数的图象向右平移1个单位可得，函数图象的对称中心为，故C错误；对于D，方程，解得或，的值域为，结合函数的图象，当时有2个实数根，当时有一个实数根，方程有三个实数根，故D正确.故选10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查面面垂直的判定，异面直线所成角，直线与平面所成的角，以及球的表面积，属于中档题.根据面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角可判断B；根据直线与平面所成的角可判断C；求出外接球的半径，根据球的表面积公式判断【解答】解：对于A，，，底面ABCD为矩形，侧面PAB为等边三角形，，，，，故，，，AB，平面PAB，平面PAB，又平面ABCD，平面平面ABCD，故A正确；对于B，，直线AB与PC所成的角，即直线CD与PC所成的角或其补角，，又，平面PAB，平面PAB，又平面PAB，，，，故直线AB与PC所成的角的余弦值为，故B正确；对于C，取AB的中点H，连接PH，CH，侧面PAB为等边三角形，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角为，，，直线PC与平面ABCD所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，设AC、BD的交点为M，设O为四棱锥外接球的球心，设半径为r，连接MH，OD，OP，平面ABCD，，底面ABCD为矩形，，，，，，过O作，平面ABCD，平面ABCD，，四边形OMHN是矩形，，，，，，解得，故四棱锥外接球的表面积为，故D正确.故选11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查判断正弦型函数的单调性，正弦型函数的周期性，求正弦型函数的对称轴，以及函数极值点的概念，属于中档题.先根据，求得，再根据当时，，求得，可得，由此结合各选项逐项判断即可.【解答】解：由题可知，即，，，，当时，，，，即，，，，则，，又，，，，，，对于A，，故A正确；对于B，令，，解得，，函数图象的对称轴为直线，，当时，解得，不合题意，故B错误；对于C，令，，解得，，令，得，故是函数的一个单调递减区间，故C正确；对于D，，，在区间上有且仅有4个极大值点，故D正确.故选12.【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及其应用，双曲线中的面积问题，向量与双曲线的综合问题，以及双曲线的渐近线，属于较难题，由题意得，可判断A；由题意得，，用双曲线的定义与几何性质可得，可判定C；由C结论及可得，可判定B；由，可计算出与面积之比，可判断【解答】解：对于A，，，，故A正确；对于C，，，设，由A得，则在中，，，，①，，②，由①②得，，则，，即，故C正确；对于B，由C可得，在中，，即，，，即，双曲线C的渐近线方程为，故B正确；对于D，由C得，，，，，故D错误.故选13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二倍角余弦公式，任意角的三角函数的定义，以及诱导公式——型，属于较易题.利用任意角的三角函数定义求得，化简得到，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系即可求解.【解答】解：角的终边落在直线上，，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的公共弦，点到直线的距离，以及直线与圆的弦长，属于中档题．两圆相减，即可求出直线AB的方程；先求圆心C到直线AB的距离，然后根据圆的几何性质求出AB的长度，再利用面积公式直接求出三角形面积.【解答】解：将两圆的方程相减得，公共弦AB所在直线的方程为；圆的标准方程为，圆心C的坐标为，半径，圆心C到直线AB的距离为，，的面积为故答案为；15.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的最值，属于中档题.构造函数，利用导数求函数的最小值即可.【解答】解：由题意得，，令，，则，令，，则在上恒成立，在上单调递增，存在唯一的使得，即，，，当时，，则，当时，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查空间几何体的截面问题，以及面面平行的判定，属于中档题.做出平面与正方体截面，证明平面平面，点M在上运动，求出范围即可.【解答】解：如图，连接GE，延长GE与DA、的延长线分别交于点K、R，连接RF，交于点H，延长RF交DC的延长线于点N，连接KN交AB，BC分别于点Q，P，连接EQ，FP，平面EQPFHG为平面与正方体的截面，点E，F，G分别是线段，，的中点，点H，Q、P分别为，AB，BC的中点，P，F分别为BC，的中点，，又，所以，，Q分别为，AB的中点，，又，所以，，、平面，平面平面，则点M在上运动，取中点O，则，，，，故BM的取值范围是故答案为17.【答案】解：选条件①，由正弦定理可得，即，，又，；选条件②，由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，，又，；由知，，的面积为，，，由平面向量可知，，，当且仅当时，等号成立，边中线AD长的最小值为【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形，向量的数量积的概念及其运算，以及由基本不等式求最值，属于中档题.选条件①由正弦定理可得，再由余弦定理得出，可得角A 的大小；选条件②由余弦定理可得，再由正弦定理可得，，所以，可得角A的大小；由知，，由的面积为，得，由平面向量可知，结合向量的数量积和基本不等式可得AD长的最小值.18.【答案】解：由题意知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，，，，，故；服从正态分布，且，内径在之外的概率为，为小概率事件，而，则根据原则，机器异常，需要进一步调试.【解析】本题考查正态分布的概率和二项分布的均值，属于中档题.由题意知，一件产品的质量指标值位于区间的概率即为，由正态分布的性质计算，再由二项分布可得结果；服从正态分布，根据原则，可得结论.19.【答案】解：，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，；证明：，数列的前2n项和，设，，由于函数在上单调递减，，又，，，，故【解析】本题考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.由题意得，再由等差数列的性质可得数列的通项公式;由，再由裂项相消求和得出数列的前2n项和，研究单调性，即可得证.20.【答案】解：证明：取AC的中点为E，连结SE，BE，，，在和中，，≌，，的中点为E，，，SE、平面SBE，平面SBE，平面SBE，；过S作平面ABC，垂足为D，连接AD，CD，，，，，SA、平面SAD，面SAD，面SAD，，同理可得，底面为等腰直角三角形，，四边形ABCD为正方形且边长为2，以D为原点，DA，DC，DS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面SAC的法向量为，则，即，取，则，，，设平面SBC的法向量为，则，即，取，则，，，设平面SAC与平面SBC的夹角为，，平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为【解析】本题主要考查线面垂直的性质和平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.先证明平面SBE，再由线面垂直的性质即可得证；建立空间直角坐标系，得出平面SAC的法向量和平面SBC的法向量，由空间向量求解即可.21.【答案】解：由题意可得，设M点坐标为，F点坐标为，，，，，，又椭圆C的离心率，，则，即，，椭圆C的方程为；设A点坐标为，B点坐标为，由得F点坐标为，由题意得，，，化简整理得，①设直线l的解析式为，联立直线与椭圆方程，化简整理可得，，，②由根与系数的关系可得，，③将，代入①，得，④再将③代入④，得，解得，直线l的解析式为，且由②可得，，即，点到直线l的距离，，令，，则，当且仅当时，即时等号成立，面积S最大值为【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆中三角形的面积，属于较难题.设M点坐标为，F点坐标为，则，由题意得，又椭圆C的离心率，得出a、c，即可得椭圆C 的方程；易得，化简整理得，设直线l的解析式为，联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系化简得，即直线l的解析式为，再得出点到直线l的距离，再计算，利用基本不等式研究其最大值即可.22.【答案】解：函数的定义域为，，当时，，则在上单调递增，不合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有两个不同的零点，，解得，又，，，，，取，，在，各有一个零点，即实数a的取值范围为；由题意得，，则，设，，，恒成立，又，，即恒成立，设，恒成立，，当时，，，在上单调递增，恒成立，注意到，符合题意，当，，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，，不满足恒成立，综上所述，【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，利用导数研究函数的零点，属于较难题.先求导，分为当时，不合题意，当时，，可得实数a的取值范围；由题意得，两式相减，合理等价转化，再构造函数，再利用导数的符号变换确定函数的单调性和最值.。
安徽省淮南市2021届新高考一诊数学试题含解析
安徽省淮南市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值.【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.2．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题． 3．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =-- D ．22y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切， 易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)yx .故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.5．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x ey a =的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围． 【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设x e y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．6．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC各顶点坐标分别为：(0,0,0),(0,0,2),,O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A．B．CD．【答案】C 【解析】 【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解. 【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒， 由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-==由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠ 其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠= ∴2521,521OO OO ''=⇒=+ 故选：C 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 7．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】()3cos3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即3x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴有且仅有12-=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，2363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题. 8．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >.故选：C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论.【详解】由题知105441551,1log 5log 22a b =>=>=>=， 551log 2log 52c =<=，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 10．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ） A ．18- B ．63-C ．18D ．63【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==， 若32AD AB =，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+（）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+ 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=． 故选C. 【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．11．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份123456789101112所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题. 12．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[2]C ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2]【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【详解】解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3x π=对称，33382k πππϕπ∴⨯-+=+，k Z ∈， 78πϕ∴=，函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 382x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()2sin 3[8f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域是[2]，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省淮南市2022届高三上学期一模文科数学试题
（2）已知 ，若存在 时使不等式 成立，求 的取值范围．
答案：（1）函数 在区间 上单调递减；
（2） .
(1)求出函数 的导数 ，判断 的符号作答.
(2)对给定不等式作等价变形，借助(1)脱去法则“f”，分离参数构造函数，再求出函数最值作答.
函数 ， ，求导得： ，
令 ， ，则 ，即函数 在区间 单调递减，
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求以 为直径的圆的极坐标方程．
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有25个，
其中满足条件 的事件 有： ， ， ， ， ， ， ， ，共有8个，
所以事件 的概率是 ．
18.如图，在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
因为不等式组 所表示的可行域存在，则 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最大，
此时 取最大值，即 ，解得 .
故选：B.
6.已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A. 为奇函数B. 为奇函数
C. 为偶函数D. 为偶函数
答案：C
由题可得 ，然后逐项判断即得.
解：对于①，当 时， （ 且 ），这部分函数的值域为R，则 的值域为R，①正确，