平面直角坐标系基础篇
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中用于描述平面上点位置的一个重要工具。
它由两条相互垂直的数轴构成，一条称为x轴，另一条称为y轴。
1. 坐标轴的定义在平面直角坐标系中，x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
它们的交点称为原点，用O表示。
原点是坐标系的起点，也是所有点的参照点。
2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点的位置可以通过x轴和y轴上的数值来确定。
以原点为起点，沿着x轴向右方向为正，沿着y轴向上方向为正。
因此，一个点的坐标可以表示为(x, y)。
3. 坐标的正负在坐标系中，x轴上的点有正负之分。
原点的左侧为负方向，右侧为正方向。
而y轴上的点也有正负之分。
原点的下方为负方向，上方为正方向。
因此，坐标系中的点可以落在四个象限中。
4. 象限的定义根据数轴的正负，平面直角坐标系可以分为四个象限。
第一象限位于x轴和y轴的正方向，所有坐标为正。
第二象限位于x轴的负方向，y轴的正方向，x轴坐标为负，y轴坐标为正。
第三象限位于x轴和y轴的负方向，x轴和y轴的坐标都为负。
第四象限位于x轴的正方向，y轴的负方向，x轴坐标为正，y轴坐标为负。
5. 轴线和刻度为了更容易读取和绘制点的坐标，通常会在坐标轴上加上轴线和刻度。
轴线是延伸到整个平面的直线，它们可以帮助我们更准确地读取点的坐标。
刻度是用来标记轴线上点的位置的小线段，通常以相等距离分布。
6. 点的距离和坐标变换在平面直角坐标系中，可以利用点的坐标求得两点之间的距离。
两点间的距离可以通过勾股定理来计算，即d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
此外，平面直角坐标系还可以进行坐标变换，包括平移、旋转、缩放等操作。
7. 坐标系的应用平面直角坐标系广泛应用于几何学、物理学、经济学等领域。
它可以帮助我们更直观地理解和描述空间中的点和图形关系。
在几何学中，坐标系可以用来表示平面上的线段、多边形、圆等几何图形。
在物理学中，坐标系可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
平面直角坐标系(基础)知识讲解
平面直角坐标系（基础）知识讲解【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．举一反三：【变式】某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示________．【答案】3:00时该地气温是零下7℃．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既在x轴的上方，又在y轴的左边，且距离x轴，y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为( ).A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)【答案】D.3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．【答案与解析】解：因为点A的坐标是(4，3)，所以先在x轴上找到坐标是4的点M，再在y轴上找到坐标是3的点N．然后由点M作x轴的垂线，由点N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点A，同理可描出点B、C、D．所以，点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示．【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4.（2014春•夏津县校级期中）根据要求解答下列问题：设M（a，b）为平面直角坐标系中的点．（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？（2）当ab＞0时，点M位于第几象限？（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于何处？【思路点拨】（1）利用第四象限点的坐标性质得出答案；（2）利用第二、四象限点的坐标性质得出答案；（3）利用第三、四象限和纵轴点的坐标性质得出答案．【答案与解析】解：∵M（a，b）为平面直角坐标系中的点．（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第四象限；（2）当ab＞0时，即a，b同号，故点M位于第一、三象限；（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于第三、四象限和纵轴的负半轴．【总结升华】本题考查点的坐标的确定，正确掌握各象限对应坐标的符号是解题关键．举一反三：【变式1】（2015•威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1，b＞2．由不等式的性质，得﹣a＞1，b+1＞3，点B（﹣a，b+1）在第一象限，故选：A．【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习3 】【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,-b)在第象限；（2）点P2（-a ,b)在第象限；（3）点P3（-a ,-b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.5.已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝-3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习4（5）】【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.。
平面直角坐标系的13个知识点
平面直角坐标系的13个核心知识点哎，说起平面直角坐标系，那可是数学里头相当重要的一个板块儿。
咱们今天就来摆一摆它的13个核心知识点。
首先呢，平面直角坐标系就是由两条互相垂直的数轴组成，水平方向的叫x轴，垂直方向的叫y轴，它们交在一块儿的那个点叫原点。
然后啊，平面上的每个点都可以用一对有序实数来表示，比如(x,y)，x就是横坐标，y就是纵坐标。
再说说象限，根据点的坐标的正负，平面被分成了四个部分，叫象限。
第一象限的点坐标都是正数，第二象限的x坐标为负，y坐标为正，第三象限的点坐标都是负数，第四象限的x坐标为正，y坐标为负。
还有啊，关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标，都是有规律的。
比如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变相反数。
另外，平面直角坐标系里头还可以搞平移、缩放这些变换。
平移的时候，点的坐标会跟着变，比如向右平移，横坐标就变大，向左平移，横坐标就变小。
缩放的时候，比如横坐标变为原来的k倍，那图形就跟着放大或缩小了。
再来说说直线、圆这些图形，它们都可以用方程来表示。
比如直线y=2x+3，圆的方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。
最后啊，还有中点公式、斜率公式、距离公式这些工具，它们可以用来求线段的中点、直线的斜率和两点间的距离。
总之啊，平面直角坐标系的知识点虽然多，但只要掌握了规律，学起来也就不那么难了。
2020年上海中考数学·一轮复习 第14讲 平面直角坐标系
第14讲 平面直角坐标系[基础篇]一、平面直角坐标系在直角坐标平面xOy 上，任意一点P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N 点M 在x 轴上对应的实数a ，叫做点P 的横坐标；点N 在y 轴上对应的实数b 叫做点P 的纵坐标，点P 的坐标记作(,)a b 。
二、象限x、y 轴将直角坐标平面划分为四部分：第一象限内的点(,),0,x y x y >>0；第二象限内的点(,),0,x y x y <>0；第三象限内的点(,),0,x y x y <<0；第四象限内的点(,),0,x y x y ><0。
三、点沿坐标轴方向的平移四、特殊位置点的特殊坐标五、点关于坐标轴、原点的对称变换在直角坐标平面内，与点(,)M x y 关于x 轴对称点的坐标为(,)x y -；与点(,)M x y 关于y 轴对称点的坐标为(,)x y -；与点(,)M x y 关于原定对称点的坐标为(,)x y --． 六、点的简单旋转变换点(,)P x y 绕原点O 按逆时针方向旋转90︒到达点Q ，则Q '(,)y x -．七、坐标轴上两点间的距离设A 、B 的直线坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y 、，分别过A 、B 引x 轴的垂线，垂足分别满足12(,0)(,0)A B M x M x 、；引y 轴的垂线，垂足分别为12(0,)(0,)A B N y N y 、，则：2121,A B A B M M x x N N y y ||=|-|||=|-|．八、中点坐标设A 、B 的直角坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，(,)M x y 是A 、B 的中点，则122x x x +=，122y y y +=． 九、平面直角坐标系中的等腰三角形问题利用两腰相等进行求解。
十、平面直角坐标系中三角形面积的求法1、当三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可借助坐标轴或平行于坐标轴的直线上的某一条线段作为三角形的边，第三点到这条边的距离作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解。
平面直角坐标系的知识点
平面直角坐标系的知识点
1. 嘿，你知道吗，平面直角坐标系里的坐标轴可重要啦！就像我们走路的方向标一样。
比如说，在地图上找一个地方，不就是靠着横纵的坐标嘛。
那在坐标系里，x 轴和 y 轴就是这样的关键呢！想想看，要是没有它们，那点不就乱跑啦！
2. 哇塞，原点可是平面直角坐标系的核心啊！它就像是一个中心点，所有的点都围绕着它呢。
比如说，你和朋友们玩游戏，要找个中间位置集合，原点不就是那个集合点嘛！没有原点，不就乱套了呀！
3. 嘿，在平面直角坐标系里，象限可有意思了！它们就像不同的区域，每个区域都有自己的特点。
好比说，游乐场有不同的游乐设施区域，坐标系的象限也是这样呢。
第一象限里的点都很“积极向上”呢！
4. 哎呀呀，点在平面直角坐标系里的位置可神奇了！就像每个人都有自己的家一样。
比如说，你知道你家在小区的哪里，在坐标系里我们也能准确说出点在哪里呀。
这多有趣呀！
5. 哇哦，平面直角坐标系还能用来画图形呢！这简直像变魔术一样。
比如画个三角形，通过确定几个点的位置，就能画出一个形状来啦。
是不是超级神奇啊！
6. 哈哈，平面直角坐标系的作用可大了去了！无论是在数学里还是在生活中，都能看到它的影子呢。
就像我们每天都要走路一样自然又重要。
以后遇到和位置、图形有关的问题，可别忘了它哟！
我的观点结论：平面直角坐标系真的是非常非常重要和有趣的东西呀，一定要好好掌握它哦！。
平面直角坐标系的知识点分析
平面直角坐标系的知识点分析
平面直角坐标系的知识点分析
一、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系：(1)在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。
(2)建立了直角坐标系的平面叫坐标平面.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示.
说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。
2.点的坐标：
对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对(a，b)叫做P的坐标。
3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
常见考法
(1)由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置;(2)求某些特殊点的坐标。
误区提醒
(1)求点的坐标时，容易将横、纵坐标弄反，还容易忽略坐标符号;(2)思考问题不周，容易出现漏解。
(如点P到x轴的距离为1，这里点P的纵坐标应当是，而不是1)。
【典型例题】(2010江苏常州)点p(1,2)关于x轴的对称点p1的坐标是，点p(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是。
【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填(1,-2),(-1,-2)。
初中数学平面直角坐标系基础
平面直角坐标系基础一、平面直角坐标系1．有序实数对有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，． 注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征1．各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，； 点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，； 点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，； 点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数； 点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数； 点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，．3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =；点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，．三、用坐标表示地理位置1． 直角坐标系法先确定原点，然后画出x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．2． 方位角法从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．四、中点坐标公式已知坐标系中两点()()1122A a b B a b ，，，.则A 、B 的中点C 坐标为121222a a b b ++⎛⎫⎪⎝⎭，设点()C x y ，,则12a x a x -=-即()2a b ，12x a a x -=-,所以122a a x +=.同理求出122b by +=例题精讲一、 点的位置的确定1、 平面直角坐标系【例1】 电影票上“6排3号”,记作()6,3,则8排6号记作_________ 【答案】（8,6）【例2】 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AC =，3AB =，若点A 在坐标原点，点B 在x 轴上．（1）在平面直角坐标系中画出三角形ABC ；（2）求点B ，C 的坐标．【答案】（1）如图，则11AB C △，21AB C △，22AB C △，12AB C △为所求．（2）11AB C △：()13,0B ，()10,2C ；21AB C △：()23,0B -，()10,2C ；22AB C △：()23,0B -，()20,2C -；12AB C △：()13,0B ，()20,2C -【例3】 在平面直角坐标系内，已知点(122)A k k --，在第三象限，且k 为整数，求k 的值．【答案】∵点(122)A k k --，在第三象限，∴120k -<，20k -<，解得：122k <<，又∵k 为整数，1k =【例4】 某市有A B C D 、、、四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图6所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．【答案】平安大道所在的直线所在的直线为x 轴，过D 点垂直于平安大道所在的直线为y 轴建立直角坐标系，(10,4)A 、(6,4)B -、(2,2.5)C -、(03)D -，【例5】 王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y 轴．只知道游乐园D 的坐标为(22)-，，你能帮她求出其他各景点的坐标？【答案】00F （，），()()()04322133A B C E ---，，，，（，），，【例6】如图表示赵明同学家所在社区的主要服务办公网点．点O表示赵明同学家，点A 表示存车处，点B表示副食店．点C表示健身中心，点D表示商场，点E表示医院，点F表示邮电局，点H 表示银行，点L表示派出所，点G表示幼儿园．(1)请以赵明同学家为坐标原点，建立平面直角坐标系，并用坐标分别表示社区的主要服务网点的位置．(图中的1个单位表示50m)(2)利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是①建立______选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的____________；②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．【答案】(1)A(－150，50)，B(150，200)，C(－250，300)，D(450，－400)，E(500，－100)，F(350，400)，G(－100，－300)，H(300，－250)，L(－150，－500)．(2)略．【例7】温州一位老人制作的仿真郑和宝船尺寸如图，已知在某一直角坐标系中点A坐标为（9，0），请你直接在图中画出该坐标系，并写出其余5点的坐标．【答案】解：坐标系如图所示：各点的坐标为：(52)F-，，，(52)C-，，(90)B，，(52)D-，，(52)E--2、极坐标【例8】 如图，根据指令（S,A ）(说明：S 0，单位：厘米；0oA 180O )，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，若机器人站在M 处. （1）给机器人下了一个指令（2，60O ），机器人移到了B 点，请你画出机器人从M 到B 的运动路径；（2）若机器人从M 运动到了C 点，20O CMA ∠=,则给机器人下了一个什么指令.【答案】(1)略 （2）（3，20o -）二、 点的坐标特征【例9】 （1）已知点()23P x x +，在x 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．（2）已知点()23P x x +，在y 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________． （3）已知点()23P x x +，在坐标轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．【答案】（1）3x =-，()5-3Q ，（2）0x =，()23Q ，（3）Q 点坐标为()53-，或()23，【例10】 给出下列四个命题，其中真命题的个数为( )．①.坐标平面内的点可以用有序数对来表示；②.若a ＞0，b 不大于0，则P (－a ，b )在第三象限内； ③.x 轴上的点，其纵坐标都为0；④.当m ≠0时，点P (m 2，－m )在第四象限内． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【例11】 点P 2b ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第二象限，点Q ()2a b ，在第（ ）象限A 一B 二C 三D 四 【答案】D【例12】 如图是传说中的一个藏宝岛图,藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图,现今的寻宝人没有原来的地图,但知道在该图上有两次大石头()()2182A B ，，，,而藏宝地的坐标是（6,6）,试设法在地图上找到藏宝地点．【答案】⑴任取1个单位长度（如1厘米），以1个单位长为直角边作直角DEF∆,使6DE=个单位，EF=个单位；⑵连结AB，以F为圆心，AB长为半径，在射线FD上截取FG=AB；⑶过点G作GH⊥FE，垂足为点H；⑷分别以A、B为圆心，GH，FH的长为半径画弧，在AB的下侧得到点C．⑸延长BC至点P，使CP=BC．⑹过P作OX⊥BP，则OX就是X轴所在直线．⑺如图，在射线PO上截取PO=4PB，则O就是坐标原点；⑻过点O作直线OY⊥OX⑼以BC的长为单位长度，射线AC的方向为X 轴正方向，射线CB的方向为y轴正方向,建立直角坐标系，即可找到（6,6）的藏宝地点．FHGED【例13】已知()32A-，、()32B--，、()32C-，为长方形的三个顶点，⑴建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A、B、C三点；⑵能根据这三个点的坐标描出第四个顶点D，并写出它的坐标吗？⑶描点后并进一步判断点A、B、C、D分别在哪一象限？⑷观察A、B两点，它们的坐标有何特点，位置有何特点？B与C呢？A与C呢？⑸直线AB、直线BC有何特征，你能用符号语言表达直线AB、直线BC上任一点的坐标吗？⑹求出线段AB、BC的长度，并求出长方形ABCD的面积．【答案】⑴略⑵()32D，⑶A：第二象限；B：第三象限；C：第四象限；D：第一象限⑷A、B坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x轴对称．B、C坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于y轴对称．A、C坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．⑸直线AB y∥轴，直线BC x∥轴，直线AB上任一点可表示为()3y-，，直线BC上任一点可表示为()2x-，⑹4AB=，6BC=，24ABCDS=长方形．【例14】长方形ABCD，长6宽4，建立适当的直角坐标系，使其中B点的坐标（-3，-2），并利用这个直角坐标系表示其余顶点的坐标．【答案】因为(32)B --，，且6BC =，BC x ∥轴，所以(32)C -，，同理(32)D ，，(32)A -，．【例15】 x 取不同的值时，点(11)P x x -+，的位置不同，讨论当点P 在不同象限或不同坐标轴上时，x 的取值范围；并说明点P 不可能在哪一个象限．【答案】(1)当1x =-时，点P 在x 轴的负半轴上；(2)当1x =时，点P 在y 轴的正半轴上； (3)当1x >时，点P 在第一象限； (4)当－1＜x ＜1时，点P 在第二象限； (5)当x ＜－1时，点P 在第三象限； (6)点P 不可能在第四象限【例16】 试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的位置关系．(1)在图1中，过A (－2，3)、B (4，3)两点作直线AB ，则直线AB 上的任意一点P (a ，b )的横坐标可以取______，纵坐标是______．直线AB 与y 轴______，垂足的坐标是______；直线AB 与x 轴______，AB 与x 轴的距离是______.图1(2)在图1中，过A (－2，3)、C (－2，－3)两点作直线AC ，则直线AC 上的任意一点Q (c ，d )的横坐标是______，纵坐标可以是______．直线AC 与x 轴______，垂足的坐标是______；直线AC 与y 轴______，AC 与y 轴的距离是______． (3)在图2中，过原点O 和点E (4，4)两点作直线OE ，我们发现，直线OE 上的任意一点P (x ，y )的横坐标与纵坐标______，并且直线OE ______∠xOy ．图2【答案】(1)任意实数，3；垂直，(0，3)，平行，3．(2)－2，任意实数；垂直，(－2，0)，平行，2． (3)相等，平分．三、 坐标与距离【例17】 已知点()1,34m m --到x 轴、y 轴的距离相等，则该点坐标为 ． 【答案】11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭．【例18】 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．CPBD O A xy【解析】 此题难度稍大，充分考查学生对图的阅读能力、分情况讨论能力及空间想像能力．可以发现当ODP △ 为腰长是5的等腰三角形时，有3种情况：第一种，5OD OP ==，第二种，锐角三角形5OD PD ==，第三种，钝角三角形5OD PD ==，可分别求得P 的坐标为(34)，，(24)，或(84)，．【答案】(34)，，(24)，或(84)，[备注：如果是人教版的学生，没有学习勾股定理，此题可不讲]【例19】 在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【答案】50×6÷40＝7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【例20】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点(12)，，则“炮”位-，，“象”位于(32)-于点( )．A.(13)-，-， D.(22)-， C.(12)， B.(21)【答案】B【例21】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()，，，如=-f m n m nm n，，规定以下两种变换①()()，，，如(21)(21)，，．=--g=--，，；②()()g m n m n(21)(21)f=-按照以上变换有：4g f-，等于（），，，，那么[(32)]=-=-f g f-[(34)](3)(34)A.(32)---， D.(32)，-， C.(32)， B.(32)【答案】A【点评】本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．【例22】有一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B 、D ；不在小区内的违章建筑有A 、E 、C四、关于中点坐标【例23】 如图，已知长方形ABCD 的边长3AB =，6BC =，求A 、B 两点的中点坐标及A 、D 两点的中点坐标．yxD CBA【答案】略【例24】 已知点(23)A ，，点C 为点A 与点B 的中点，(3.55)C ，，求点B 的坐标. 【答案】（5,7）课后作业1. 直角梯形ABCD 在直角坐标系中的位置如图，若5AD =，A 点坐标为(27)-，，则D 点坐标是（ ）y xODC BAA.(22)，B.(212)，C.(37)，D.(77)，【答案】C2. 点(1)P m m --，在第三象限，则m 的取值范围是______． 【答案】01m <<3. 在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点()P a b ，规定以下三种变换：（1）()()f a b a b =-，，，如(13)(13)f =-，，；（2）()()g a b b a =，，，如(13)(31)g =，，；（3）()()h a b a b =--，，，如(13)(13)h =--，，．按以上变换规律，求{[(53)]}g f h -，的值．【答案】（3，5）．4. 第二象限内的点()P x y ，满足9x =，24y =，则点P 的坐标是_________【答案】∵点()P x y ，在第二象限，∴0x <，0y >，又∵9x =，24y =，∴9x =-，2y =∴点P 的坐标是(92)-，．。
中考数学总复习专题05 平面直角坐标系知识要点及考点典型题型和解题思路
专题05 平面直角坐标系【知识要点】知识点一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
知识点二点的坐标的有关性质（考点）性质一各象限内点的坐标的符号特征象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负性质二坐标轴上的点的坐标特征1.x轴上的点，纵坐标等于0；2.y轴上的点，横坐标等于0；3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +XXX性质六 平面直角坐标系内平移变化性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；小结：坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴Y 轴原平行X 轴平行Y 轴第一第二第三第四第一、第二、XyP2P mm -nOXy P3Pnm -nOn -XyP1Pnn -mO【考查题型】考查题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A ．小李现在位置为第1排第2列B ．小张现在位置为第3排第2列C ．小王现在位置为第2排第2列D ．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可． 【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A 选项错误； B. 小张现在位置为第3排第2列，故B 选项正确； C. 小王现在位置为第2排第3列，故C 选项错误； D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D 选项错误． 故选：B ．变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（ ）点象限 象限 象限 象限 三象限 四象限 (x,0)(0,y)(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0(m,m) (m,-m)A ．（6，3）B ．（6，4）C ．（7，4）D ．（8，4）【答案】C【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话： 小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了” 小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…” 根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( ) A ．先向北直走700米，再向西走100米 B ．先向北直走100米，再向西走700米 C ．先向北直走300米，再向西走400米 D ．先向北直走400米，再向西走300米 【答案】A【分析】根据对话画出图形即可得出答案．【详解】解：如图所示：从邮局出发走到小军家应：向北直走700米，再向西直走100米．故选：A ．考查题型二 求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：∵O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，∴OD ＝6，∵四边形OBCD 是正方形，∴OB ⊥BC ，OB =BC =6 ∴C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（ ） A ．()4,5- B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-【答案】D【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可. 【详解】设点M 的坐标为（x ，y ）， ∵点M 到x 轴的距离为4， ∴4y =， ∴4y =±，∵点M 到y 轴的距离为5， ∴5x =， ∴5x =±，∵点M 在第四象限内， ∴x=5，y=-4，即点M 的坐标为（5，-4） 故选：D.变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为()4,0，点C 的坐标为()4,4，点D 在y 轴上，则点B 的坐标为（ ）A ．(4,2)B ．(2,8)C ．(8,4)D ．(8,2)【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D 的坐标（0，2），进而得出点B 的坐标即可． 【详解】连接AC ，BD ，AC 、BD 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，OA ＝4，AC ＝4， ∴ED ＝OA ＝EB ＝4，AC ＝2EA ＝4， ∴BD ＝8，OD ＝EA ＝2 ∴点B 坐标为（8，2）， 故选：D ．变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（ ） A ．()4,0 B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-【答案】A【分析】根据点P 在x 轴上，即y=0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标． 【详解】解：∵点2,24()P m m +-在x 轴上， ∴240m -=，∴2m=；∴2224m+=+=，∴点P为：（4，0）；故选：A．变式2-4．（2021·广西一模）点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3．﹣1）D．（1，3）【答案】A【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，1），故选：A．考查题型三点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律.典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2021÷4＝504…3，A2021在x 轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【详解】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2021÷4＝504 (3)∴A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2021的横坐标为﹣（2021﹣3）×12＝﹣1008．∴A 2021的坐标为（﹣1008，0）． 故选A ．变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+， 则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()600,0C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1200,0【答案】B【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上，由点A ，B 的坐标利用勾股定理可求出AB 的长，进而可得出点C 2的横坐标，同理可得出点C 4，C 6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上．∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3，∴，∴点C 2的横坐标为4+5+3=12=2×6， 同理，可得出：点C 4的横坐标为4×6，点C 6的横坐标为6×6，…， ∴点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)， ∴点C 100的横坐标为100×6=600， ∴点C 100的坐标为(600，0)． 故选：B ．考查题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以．．是（ ） A ．1 B ．32-C ．43D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断． 【详解】解：∵点(,2)A a 是第二象限内的点， ∴0a <，四个选项中符合题意的数是32-， 故选：B变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．【详解】∵x 2＋2＞0，∴点P （x 2＋2，−3）所在的象限是第四象限．故选：D ．变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据点(,)A a b -在第三象限，可得0a <，0b -<，进而判定出点B 横纵坐标的正负，即可解决．【详解】解：∵点(,)A a b -在第三象限，∴0a <，0b -<，∴0b >，∴0ab ->，∴点B 在第一象限，故选：A ．变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b -【答案】B 【分析】根据0,0a b ab +>>，得出0,0a b >>，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．【详解】∵0,0a b ab +>>∴0,0a b >>选项Ａ：(),a b 在第一象限选项Ｂ：(),a b -在第二象限选项Ｃ：(),a b --在第三象限选项Ｄ：(),a b -在第四象限小手盖住的点位于第二象限故选：B考查题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)【答案】B【解析】由点P(a−4,a)在y 轴上，得a−4=0，解得a=4，P 的坐标为(0,4)，故选B.2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（）A ．（0，﹣4）B ．（4，0）C ．（0，﹣2）D ．（2，0）【答案】D【详解】解：∵点P （m+3，m+1）在x 轴上，∴y ＝0，∴m+1＝0，解得：m ＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：D ．3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)-【答案】A【详解】 解：点224P m m +（，﹣）在x 轴上，240m ∴﹣＝，解得：2m ＝，24m ∴+＝，则点P 的坐标是：()4,0．故选：A ．4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）【答案】A【详解】解：∵点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，∴2m ﹣4＝0，解得：m ＝2，∴m+2＝4，则点P 的坐标是：（4，0）．故选：A ．5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，则m ＝() A ．﹣1 B ．﹣3 C ．﹣2 D ．0【答案】A【详解】由P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，得m +1＝0．解得：m ＝﹣1，故选：A ．2.象限角的平分线上的点的坐标1.已知点A（-3+a，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________【答案】-2【详解】∵点A在第二象限角平分线上∴它的横纵坐标互为相反数则-3+a+2a+9=0解得a=-22．（2018·广西中考模拟）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)【答案】C【解析】已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．5【答案】B【详解】解：∵AB∥y轴，∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，可得：a -2=1，a=3故选：B．2．（2018·天津中考模拟）如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）A．横坐标相等B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等【答案】A【解析】试题解析：∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等.故选A.3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（）A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B．（4，2）或（﹣4，2）C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）【答案】A【详解】∵A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴B的纵坐标y＝﹣2，∵“B到y轴的距离等于4”，∴B的横坐标为4或﹣4．所以点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选A．4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣1，1）C．（5，1）或（﹣1，1）D．（2，4）或（2，﹣2）【答案】C【详解】∵AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1）∴点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M（﹣1，3），N（﹣3，3），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（）A．相交，相交B．平行，平行C．垂直，平行D．平行，垂直【答案】D【详解】由题可知，M、N两点的纵坐标相等，所以直线MN与x轴平行，与y轴垂直相交.故选:D.4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣5【答案】A【解析】∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．2．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4- 【答案】C【解析】由题意，得x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣3，4）B ．（ 3，﹣4）C ．（﹣4，3）D ．（ 4，﹣3） 【答案】C【详解】由点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，得|y|=3，|x|=4．由P 是第二象限的点，得x=-4，y=3．即点P 的坐标是（-4，3），故选C ．4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P (－3，4)到x 轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．5.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】A【解析】已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)【答案】A【详解】∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1)【答案】D【解析】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）【答案】C【解析】因为4-0=4，10-6=4，所以由点A到点A1的平移是向右平移4个单位，再向上平移4个单位，则点B的对应点1B的坐标为（1，1）故选C.5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5) C．(1,-3) D．(-5,5)【答案】B【详解】将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标(1,5).故选B.6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【答案】A【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．2．（2021·山东中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a>【答案】C【详解】依题意得P点在第三象限，∴，解得：a ＜﹣1．故选C ．3．（2014·广西中考真题）已知点A （a ，2013）与点B （2014，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】关于x 轴对称的两个点的特点是，x 相同即横坐标，y 相反即纵坐标相反，故a=2014，b=-2013，故a+b=1 4．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 【答案】B【解析】∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∴点P 在第四象限。
平面直角坐标系复习(知识点)
位置与坐标一、知识要点回顾(一)基础知识知识点1.生活中位置确定的方法① 行列定位法：用，表示位置；② 极坐标定位法（方向定位法）：用，表示位置；③ 经纬网定位法：用，表示位置；④ 区域定位法：用，表示位置；知识点2．有序数对：有序数对是指______的两个数组成的数对，它的表示形式是（a,b ）.注意：（1）a 与b 要用逗号分开，以示它们是两个独立有序的数，又要用括号“包装”起来，表示它们是一个整体；（2）若a≠b 则(a,b)与(b,a)表示两个不同的有序数对；（3）在直角坐标系中，有序数对（a,b ）表示点的坐标，a,b 依次表示横坐标、纵坐标.知识点3．平面直角坐标系的意义：在平面内，两条具有公共原点、并且的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做______或_______，向______方向为正方向，竖直的数轴叫做______或_______，向______方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的______，平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个象限，这两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第______象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第______、______、______象限，坐标轴不属于任何象限；注意：（1）组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.（2）两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，为了实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同. 知识点4根据坐标描点（1）在平面直角坐标系内描点的方法：① 先在横轴上找到点的横坐标对应的点，过该点作横轴的；② 再在纵轴上找到点的纵坐标对应的点，过该点作纵轴的；③ 两垂线的交点就是所要描出的点。
（2）在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与之对应；反过来，对于任意一个有序实数对，在平面内都有的一点与它对应。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是指利用两个垂直的数轴（x轴和y轴）来确定平面上的点位置的一种坐标系统。
它是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的几何图形和解决各种问题。
在平面直角坐标系中，点的位置由两个数值（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
一、坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
坐标轴的交点称为原点，记作O。
x轴向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
y轴向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
x轴和y轴的单位长度可以任意选择，常用的单位长度是1。
二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以用一个有序数对（x，y）表示。
x表示点在x轴上的位置，可以是正数、负数或零。
y表示点在y轴上的位置，也可以是正数、负数或零。
由于存在四个象限，具体的位置表示可能是不同的。
三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，如下所示：第一象限：x轴和y轴的正半轴构成，x和y均为正数。
第二象限：x轴的负半轴和y轴的正半轴构成，x为负数，y为正数。
第三象限：x轴和y轴的负半轴构成，x和y均为负数。
第四象限：x轴的正半轴和y轴的负半轴构成，x为正数，y为负数。
四、坐标变换在平面直角坐标系中，可以进行坐标变换来描述图形的移动、旋转和缩放等操作。
常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。
平移：平移是将图形沿着x轴或y轴方向进行移动。
平移图形的x坐标和y坐标分别加上相应的平移量。
旋转：旋转是将图形绕着原点或其他点旋转一定角度。
旋转图形可以利用旋转矩阵进行计算。
缩放：缩放是将图形在x轴和y轴方向上进行拉伸或压缩。
缩放图形可以将图形的每个点的x坐标和y坐标分别乘以缩放因子。
五、应用领域平面直角坐标系被广泛应用于各个学科和领域中。
在几何学中，平面直角坐标系被用于描述图形的性质和计算图形的面积、周长等。
在物理学中，平面直角坐标系用于描述物体的运动轨迹和力的作用方向等。
在经济学和社会科学中，平面直角坐标系被用于建立数学模型和分析数据等。
平面直角坐标系的13个知识点
平面直角坐标系的13个知识点
平面直角坐标系的13个知识点包括平面直角坐标系的定义、直角坐标系中点的坐标、象限、对称点、点的符号等等。
（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。
（5）关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（横同纵反）
（6）关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
（横反纵同）
（7）关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。
（横纵皆反）
（8）第一象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)大于0
（9）第二象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)大于0。
（10）第三象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)小于0。
（11）第四象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)小于0。
（12）x轴上的点，纵坐标都为0。
（13）y轴上的点，横坐标都为0。
平面直角坐标系
平面直角坐标系什么是平面直角坐标系平面直角坐标系是一个二维的坐标系，由两条相互垂直的坐标轴所组成。
通常用来描述平面内的几何现象，常见于数学、物理、工程等领域。
坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴构成，称为X轴和Y轴。
X轴是水平方向的，与纵向的Y轴垂直。
它们通过坐标原点O相交，坐标原点是坐标系中最靠近两条轴交叉点的点。
轴上的点表示轴向的数值，点的位置与它所表示的数值有直接的对应关系，因此点与数值可以互相转换。
坐标系中的点在平面直角坐标系中，每个点的位置可以用它在X轴和Y轴上的坐标表示。
设点P的坐标为(x,y)，表示点P在X轴上的坐标为x，在Y轴上的坐标为y。
P点在坐标系上的位置就是以O点为起点，延水平方向向右移动x个单位，再延竖直方向向上移动y个单位到达的点。
坐标系上的距离坐标系中的两个点之间的距离可以用勾股定理计算。
设两个点的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离为$d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2- y_1)^2}$。
因此，坐标系中任意两个点都可以通过它们的坐标计算出它们之间的距离。
坐标系中的几何形状平面直角坐标系中可以用一些基本的几何形状来描述平面内的几何现象，例如：点一个点可以表示为一个坐标值(x, y)。
直线一条直线可以用斜率和截距表示。
斜率表示直线在坐标系中的倾斜程度，截距表示直线与Y轴的交点位置。
圆一个圆可以表示为圆心坐标和半径大小。
圆心坐标表示圆心在坐标系中的位置，半径表示圆的大小。
矩形一个矩形可以表示为两个对角点的坐标值。
一个对角点表示矩形的左上角或右下角，另一个对角点表示矩形的右上角或左下角。
坐标系中的变换在平面直角坐标系中，可以进行一些坐标变换来描述几何形状的变化。
例如：平移平移是指将一个几何形状沿着水平和竖直方向上移动一定的距离。
对于一个点(x,y)，进行平移变换时可以表示为(x + a, y + b)，其中a和b表示在水平和竖直方向上移动的距离。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系，又称直角坐标系或笛卡尔坐标系，是在数学和物理学中常用的坐标系统之一。
它以两条相互垂直的数轴（通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴）作为基准，用来确定平面上的点的位置。
这个坐标系的引入，使得我们可以方便地表示、计算和研究平面上各个点的位置和关系。
一、坐标轴平面直角坐标系中的坐标轴通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴。
在坐标轴上，我们选取一个点作为原点（O），两条轴相交于原点，原点的位置被定义为坐标轴的交点。
二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对 (x, y) 来表示。
其中，x 表示与 x 轴的水平距离，称为横坐标；y 表示与 y 轴的垂直距离，称为纵坐标。
三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在第一象限中，x 和 y 的值都为正；在第二象限中，x 的值为负，y 的值为正；在第三象限中，x 和 y 的值都为负；在第四象限中，x 的值为正，y 的值为负。
在坐标系中，我们可以通过坐标的正负值和象限来确定点所在的位置。
例如，点 (3, 4) 位于第一象限，点 (-2, 3)位于第二象限，点 (-5, -1) 位于第三象限，点 (4, -2) 位于第四象限。
四、距离和斜率在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标来计算点之间的距离和直线的斜率。
1. 距离公式：设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 斜率公式：设直线上两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，直线的斜率可以使用以下公式计算：k = (y2-y1) / (x2-x1)根据以上公式，我们可以根据给定的坐标计算点之间的距离，或确定直线的斜率，帮助我们解决各种几何和物理问题。
五、应用平面直角坐标系广泛应用于几何、物理、经济学等学科中。
平面直角坐标系
平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条垂直于彼此的直线所构成，其中一条被称为x 轴，另一条被称为y轴。
本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质以及在数学和几何中的应用。
一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系由两条垂直于彼此的直线组成，其中x轴和y轴相交于一个点，被称为坐标原点O。
x轴和y轴将平面分成四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
平面直角坐标系中的每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
这种表示方式被称为点的坐标。
二、平面直角坐标系的性质1. 对称性：平面直角坐标系关于坐标原点O对称，即如果点P(x, y)在坐标系中，则点P'(-x, -y)也在坐标系中。
2. 距离：平面直角坐标系中，两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 倾斜角：平面直角坐标系中，直线与坐标轴之间的夹角被称为倾斜角。
对于x轴，倾斜角为0°或180°；对于y轴，倾斜角为90°或270°。
4. 坐标轴：x轴和y轴分别垂直于彼此，且不相交。
三、平面直角坐标系的应用1. 图形绘制：平面直角坐标系可以用于绘制平面上的各种几何图形，如点、线段、直线、多边形等。
通过给定坐标，可以准确地确定图形的位置和大小。
2. 函数图像：平面直角坐标系常用于绘制函数图像。
函数图像是由平面上满足某一特定函数关系的点组成的曲线或线段。
通过在坐标系中绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和变化规律。
3. 解析几何：平面直角坐标系在解析几何中具有重要的应用。
通过使用坐标系，可以进行直线的方程、圆的方程、角的度量等相关计算。
4. 数据分析：平面直角坐标系也被广泛应用于数据分析和可视化。
平面直角坐标系的初步认识
平面直角坐标系认识初步定 义示例剖析有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．()1,2与()2,1是两个不同的有序数对.平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．-1-2-3-4-4-3-2-143214321Oy x思路导航知识互联网题型一：平面直角坐标系的基本概念点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，． 点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．象限和轴：横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =； 纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；点()31005⎛⎫⎪⎝⎭，，，都在x 轴上； 点()10102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，都在y 轴上．易错点1：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是两个不同的有序实数对． 易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点； ⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标； ⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？b aBP AOy x第四象限第三象限第二象限第一象限-1-2-3-4-4-3-2-143214321Oy x典题精练例题精讲【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那 么“炮”所在位置的坐标为 ．⑵ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，，，，，构成的ABC △是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（ ）A ．东南方向B ．东北方向C ．西南方向D ．西北方向⑷ 已知点M ()34a a +-，在y 轴上，则点M 的坐标为 ． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，， 若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）A ．()34--，B ．()34-，C ．()34-，D ．()34，【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．102m << B ．102m -<< C ．0m < D ．12m >（人大附中期中）⑵ 已知点()391M a a --，在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0（一五六中学期中）⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数，则2a b += ．（人大附中期中）⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为 ；若点P 在第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ．（四中期中）⑸ 如果点()A a b ，在第二象限，则点()221B a b -++，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑹ 设()3,a ab 在第三象限，则：①(),a b 在第 象限；② ,a a b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第 象限；③ ()3,b a b -在第 象限.【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()22P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四（四中期中） ⑶ 证明：①点()22m n ，不在第三、四象限；②点()2122m m ++，不在第四象限．定 义示例剖析平行于坐标轴的直线：与横轴平行的直线：点表示法()x m ，，x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）； 与纵轴平行的直线：点表示法()n y ，，y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）.直线4y =平行于x 轴； 直线3x =平行于y 轴．角平分线：一、三象限角平分线：点表示法()x y ，， x ，y 为任意实数，且x y =；二、四象限角平分线：点表示法()x y ，， x ，y 为任意实数，且x y =-.注：1平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；2平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．y =4x =3xy O12341234-1-2-3-4-4-3-2-1二、四象限角平分线一、三象限角平分线xy O12341234-1-2-3-4-4-3-2-1思路导航题型二：坐标平面内的特殊直线【引例】已知()P a b ，是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点P 的具体位置： ⑴ 若0ab >，则P 点在 ；⑵ 若0ab <，则P 点在 ； ⑶ 若0ab =，则P 点在 ； ⑷ 若220a b +=，则P 点在 ； ⑸ 若a b =，则P 点在 ； ⑹ 若0a b +=，则P 点在 ．【例4】 ⑴ 已知点()23P x x +，在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为 ．⑵已知点()23P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为 ．⑶ 已知点()3553A a a ++，在第二、四象限的角平分线上，求2009a a +的值．【例5】 ⑴ 点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()43，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置 关系是 ．（八十中学期中试题）⑵ 在下列四点中，与点()34-，的连线平行于y 轴的是（ ）A ．()23-，B ．()23-，C ．()32，D ．()32-， （人大附中期中试题） ⑶ 过点()35，且与x 轴平行的直线是 ，与y 轴平行的直线是 ． ⑷ 已知：点(26,3)P m m +-，试分别根据下列条件，直接写出P 点的坐标. ①点P 在y 轴上： ②点P 在x 轴上：③点P 的纵坐标比横坐标大3：④点P 在过(2,3)A -点且与x 轴平行的直线上：(2011年北京四中期中考试题)典题精练例题精讲题型三：距离d 1=b -md 2=a -nA =(a ,b )y =m x =nOyx1. 点到轴的距离点(,)P m n 到到x 轴的距离是n ，到y 轴的距离是m .2. 点到水平直线、竖直直线的距离点()a b ，到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -， 注：当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的距离为b ； 点()a b ，到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -， 注：当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ． 3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离在直线y m =上，点(,)(,)A a m B b m ,，则AB a b =-； 在直线x n =上， 点(,),(,)C n c D n d ，则CD c d =-.【引例】⑴点()34A -，到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ．⑵点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是 ．【例6】 ⑴ 点A 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，该点坐标为 ．⑵ 在平面直角坐标系中，点(),P a b 到直线2x =的距离为3，则a 的值为（ ） A ．5 B ．1- C ．5或1- D ．5-或1 （人大附中期中） ⑶ 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ）． A ．()30，B ．()30，或()30-，C ．()03，D ．()03，或()03-， （西外期中）⑷ 点()31A ，到直线1x =-的距离为 ，到直线1y =-的距离为 ． ⑸ 点()211M a a +-，到直线1y =的距离为1，求M 的坐标．⑹ 已知点(2,3),(,)P Q m n①若PQ x ∥轴，则m n ；PQ =典题精练例题精讲思路导航②若PQ y ∥轴，则m n ；PQ =【例7】 已知：实数a b ，满足()22110a a b ++++=，且以关于x y ，的方程组21ax by m ax by m +=⎧⎨-=+⎩的解为坐标的点()P x y ，在第二象限，求实数m 的取值范围．（2013首师大附中中学期中）题型一 平面直角坐标系的基本概念 巩固练习【练习1】 ⑴ 点（22a +，1a -）在第一象限，则a 的取值范围是 ．⑵ 在直角坐标系中，点()265P x x --，在第四象限，则x 的取值范围是 ．⑶ 点()2211a a --+，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【练习2】 ⑴ 已知()2230x y -++=，则()P x y ，的坐标为 ，在第 象限内．⑵ 若x ，y 满足350x y x y +=⎧⎨-+=⎩，则()A x y ，在第 象限．⑶ 如果点()11M x y --，在第二象限，那么点()11N x y --，在第 象限． ⑷ 已知点()A m n ，在第二象限，则点()B m n -，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限题型二 坐标平面内的特殊直线 巩固练习复习巩固真题赏析【练习3】 ⑴ 若点113A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限的角平分线上，则m = ．⑵ 点12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第三象限的角平分线上，则a = ；⑶ 若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是( )A ．()22，B ．()22--，C ．()22，或()22--，D ．()22-，或()22-，【练习4】 ⑴ 点A 的坐标为()31-，，点B 的坐标为()33，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是 ．⑵ 已知：()40A ，，点C 在x 轴上，且5AC =．则点C 的坐标为 ． ⑶ 已知：点A 坐标为()23-，，过A 作AB x ∥轴，则B 点纵坐标为（ ）A ．2B ．3-C ．1-D ．无法确定⑷ 线段AB 的长度为3且平行于x 轴，已知点A 坐标为()25-，，则点B 的坐标为 .题型三 点到线的距离 巩固练习【练习5】 ⑴ 点()54P -，到x 轴距离为 ，到y 轴距离为 ．⑵ 点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是（ ） A ．()43-， B ．()43-， C ．()34-， D ．()34-，（北京27中期中）⑶ 若点()P a b ，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．3个 D ．2个⑷已知点()236P a a -+，，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是 ． ⑸ 点()2,3-到直线2y =的距离为 ，到直线7x =-的距离为 .。
数学初一基础知识平面直角坐标系
数学初一基础知识平面直角坐标系
一、目的与要求
1.解有序数对的应意图义，了解平面上确定点的常用方法。
2.培育先生用数学的看法，激起先生的学习兴味。
3.掌握坐标变化与图形平移的关系;能应用点的平移规律将平面图形停止平移;会依据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动进程。
4.开展先生的笼统思想才干，和数形结合的看法。
5.坐标表示平移表达了平面直角坐标系在数学中的运用。
二、重点
掌握坐标变化与图形平移的关系;
有序数对及平面内确定点的方法。
三、难点
应用坐标变化与图形平移的关系处置实践效果;
应用有序数对表示平面内的点。
四、知识框架
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五、知识点、概念总结
1.有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)其中a表示横轴，b表示纵轴。
2.平面直角坐标系：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴区分置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向区分为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，竖直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
平面直角坐标系基础篇
1平面直角坐标系(1)一、知识导引1、在平面内具有公共原点并且互相垂直的两条数轴就构成了平面直角坐标系; 数轴把平面分为四个区域:：第一象限(),++、第二象限(),-+、第三象限(),--、第四象限(),+-.2、平面直角坐标系内的特殊点：①若点P 在x 轴上时必有____;②若点P 在y 轴上时必有x ____；③若点P 在原点时，必有x _____，y ________;④若点P 在第一三象限的角平分线时，必有_______,⑤若点P 在第二四象限角平分线时，必有________⑥任意两点A ()11,x y ,B ()22,x y 间的中点坐标公式：中点C ⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x3、平面直角坐标系内点的对称性：①点),(y x A 关于x 轴的对称点B ( )②点),(y x A 关于y 轴的对称点B ( )③点),(y x A 关于原点的对称点B ( )⑤点),(y x A 关于一、三象限角平分线的对称点B ( )⑥点),(y x A 关于二、四象限角平分线的对称点B ( )4. 平面内点的距离问题：①点),(y x A 到x 轴的距离为____,到y 轴的距离为____，到原点的距离__________. ②坐标系内任意两点A ()11,x y ,B ()22,x y 间距离公式：=AB ;二、典例剖析2考点一：点的坐标及符号特征【例1】在平面直角坐标系中，位于第三象限的是（ ）A 、()3,2--B 、()4,2C 、()3,2D 、()3,2-【例2】若点)2,1(-+b a A 在第二象限，则点)1,2-(+b a B 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式1】点A （1，522+-m m ）在第几象限（ ）A 、 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【变式2】如果m 是任意实数，则点P -32)m m +（，一定不在（ ） .A 第一象限.B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【例3】过点)3,2(-A 且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ,则点B 坐标为（ ）A.()2,0B.()0,2C. ()3,0-D. ()0,3-【例4】如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点()2,1-上，“相”位于点()2,3-上，则“炮”位于点（ ）A.()2,1-B.()1,2-C.()2,2-D.()2,2-变式练习：1、已知点()1,1+-a a A 在y 轴上，则a 等于_______2、已知点),0(a p 在y 轴的负半轴上，则点)1,1(2+---a a Q 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知点)25,12(-+a a A 在第一、三象限的角平分线上，点)1,72(-+m m B 在二、四象限的角平分线上，则（ ）A ．2,1-==m aB ．2,1==m aC ．2,1-=-=m aD ．2,1=-=m a3考点二：对称点的坐标特征【例1】点()2,1-P 关于x 轴对称点的坐标是 ，它关于原点的对称点坐标为 。
初中数学专业知识平面直角坐标系
初中数学专业知识：平面直角坐标系平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个局部，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，〞分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
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一、填空题
1.已知点O（0，0），B（1，2），点A在坐标轴上，且S
=2，则满足条件的点A的坐标为．
△OAB
2.已知AB∥x轴，且AB=3，若点A的坐标是（﹣1，2），则B点的坐标是．
3.已知：点A（0，5），B（0，2），在坐标轴上找点C，使△ABC的面积为5，则点C的坐标是
．
4.在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，6）与点N（x，6）之间的距离是3，则x的值是．
5.在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（5，﹣1），则第四个顶点的坐标是．
6.已知A（2，﹣6），B（2，﹣4），那么线段AB= ．
二、解答题
7.已知：点P(2m－6，m－1)．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
(1)点P在y轴上； (2)点P在x轴上； (3)点P的纵坐标比横坐标大3；(4)点P到x轴的距离为2． (5)点P在过A(2，－3)点，且与x轴平行的直线上． (6)点P到坐标轴的距离之和为10．
8.在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来：
（1）（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）；
（2）（2，1），（6，1），（6，3），（7，3），（4，6），（1，3），（2，3），（2，1）．
观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积．
9.在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各点：A（0，3）；B（1，﹣3）；C（3，﹣5）；D（﹣3，﹣5）；E（3，5）；F（5，7）；G（5，0）．
（1）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点重合．
（2）连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？
（3）顺次连接D、E、G、C、D得到四边形DEGC，求四边形DEGC的面积．
图2
三、拓展提升
10.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结PA ，PB ，使PDB PAB S S ∆∆=，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；
（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？ （4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？
11.在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD ，连AC 、BD ．
（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；
（2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标； （3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且ACO S ∆=5，求C 、D 的坐标；
（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由；。