人口指数模型(完整资料).doc
指数模型
(2)指数增长模型1.模型假设以()P t 表示时刻t 浙江省的常住人口总数。
假设时刻t 人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，则人口的相对增长率为常数，记为r 。
2.模型的建立和求解若记初始时刻t 的人口为0P ，假设人口增长率为常数r ，即单位时间内()P t 的增量等于r 乘以()P t 。
考虑t 到t+t ∆时间内人口的数量，显然有(t)()()t P t P t r P t +∆-=⋅⋅∆,令t 0∆→，得到()P t 满足微分方程(0)dPr P dt P P ⎧=⋅⎪⎨⎪=⎩ , （2） 解之得rt P P e =⋅ , （3） 又因为2005t Y =-，所以得到指数函数如下(2005)0r Y P P e -=⋅ ， （4） 现在用浙江省人口统计数据对上式的参数r ,0P 进行估计，利用简单的线性最小二乘法对式（4）取对数，则有Q rt a =+，ln Q P =，0ln a P = ， （5）用浙江省2006-2013的常住人口数据来拟合上式得到r 和a ，就能得到r 和0P 。
现在，我们利用Matlab 数学软件对已知数据建立指数函数拟合模型，通过编程（见附录3.1）得出图2。
图2 指数函数拟合模型图这种模型的拟合函数为0.015878(2005)4907.06YP e-=⋅。
（6）从图3可以看出，实际的人口总数在拟合函数的曲线上上下波动，说明拟合的函数与实际具有一定的误差，根据拟合的函数，我们求出了相对应年份的一些预测人口，并列出指数增长模型从2002到2011年的预测总人数如表3，并与实际值进行对比。
表3 指数增长模型预测的2006-2013年人口年份年末常住人口（万人）预测人口（万人）2006 4976.00 4985.60 2007 5056.00 5065.39 2008 5116.00 5146.46 2009 5176.00 5228.83 2010 5442.69 5312.51 2011 5459.30 5397.54 2012 5472.80 5483.92 2013 5493.80 5571.69附录3.1. 指数增长模型2002-2011年人口增长用(2005)r YP P e-=⋅拟合>> Time=[1:1:8];Number=[4976.00 5056.00 5116.00 5178.00 5442.69 5459.30 5472.80 5493.80];st=[2013];np=(st-2006)/1+1;Matrix=zeros(length(np),2);sNum=zeros(length(np),length(Time));for k=1:size(np,2);x=Time(1:np(k));y=log(Number(1:np(k)));A=polyfit(x,y,1);Matrix(k,:)=[A(1) exp(A(2))];sNum(k,:)=exp(polyval(A,Time))endsNum =1.0e+003 *Columns 1 through 44.9855951886811525.065386821295675 5.146455473883610 5.228821584427717 Columns 5 through 85.312505918009143 5.397529572042394 5.483913981594177 5.571680924787326 >> MatrixMatrix =1.0e+003 *0.000015877714004 4.907060460003071附录3.2 对指数增长模型的拟合作图Y =[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013];P=[4976.00 5056.00 5116.00 5178.00 5442.69 5459.30 5472.80 5493.80]; p1=4907.06*exp(0.015878*(Y-2005));P2=4907.06*exp(0.015878*(Y-2005));plot(Y,p1)grid onhold onplot(Y,P2,'o'),axis([2005,2014,4600,5600])xlabel('年份（年）'),ylabel('人口（万人）')。
(完整版)数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ，当mx x =时人口不再增长，即增长率)(=m x r ，代入（2）式得m x rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
人口模型
假定净增长率等于r(1
−
x(t) xm
)，即
净增长率随着x(t)的增加而减少，当x(t)
→
xm时，净增长
率趋于零，指数模型的方程变为
dx
x
= r(1 − )x
dt
xm
初始条件为x|t=t0 = x0。
问题1：试着解出此微分方程的理论解，并画出x(t)的图像；假设xm = 20, t0 = 1990，估
计2015年中国人口数量。根据实际人口数量，修正xm，并计算出2050年人口数量；
问题2：应用此模型。假定今年在保护区内放入野生动物20只，若被精心照料，预计野
生动物增长规律满足，在t年内，其总数为
220 x=
1 + 10(0.83)t
当保护区内野生动物达到80只时，不需要精心照料，野生动物也将会进入正常的生长状态， 即其群体增长仍然符合上述表达式中的增长规律。（1）需要精心照料的期限为多少年？ （2）在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？
其它要求： 1.封面用提供给你们的word文件； 2.论文主体包括：第一节：问题简述；第二节：解决问题；第三节：总结优缺点。最好 还要参考文献。 3.论文题目和各节的题目自己定。 4.15周时交给我。 5.需要使用MATLAB解决问题，并将命令代码等放在论文最后一部分。
1
人口模型
November 24, 2016
18世纪末，英国人口学家马尔萨斯对百余年的人口统计资料进行了研究，于1798年提出 人口指数增长模型。基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。设时
间t = t0时人口总数为x0，根据马尔萨斯假设，在时间t时，人口总数为x(t)，从t到t + ∆t时 间内，人口增长为
数学应用典型案例模型1马尔萨斯人口增长(指数增长)模型
xc e hx
C
其中 C 为任意常数，可由初始条件确定。
捕食----被捕食模型有着广泛的应用。当一个包含两个群体的系统中，只要
两个群体相互依存、相互制约，均可用捕食----被捕食模型来描述。例如，鲨鱼
与食用鱼、寄生虫与其宿主、害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等都可用该模
型来描述。下图表明了狐狸----野兔（数量）随着时间 t 所发生的周而复始的变
化，正是这种变化维持着该系统的生态平衡。
在狐狸----野兔生态系统中，生态系统的平衡点就是使 dx 0, dy 0 的点。 dt dt
即
a byx 0 c hxy 0
(3-2)
只求非零解，可知平衡点为： x c , y a 。也就是说，当野兔数量保持在 c ，
设人类生存空间及可利用资源（食物、水、空气）等环境因素所能容纳的最 大人口容量为 K（称为饱和系数）.人口数量 N（t）的增长速率不仅与现有人口 数量成正比，而且还与人口尚未实现的部分（相对最大容量 K 而言）所占比例 K N 成比例，比例系数为固有增长率 r.于是，修改后的模型为
K
dN
hb
h
狐狸数量保持在 a 时，就能维持狐狸----野兔生态系统的平衡。 b
图 3-2
例 狐狸----野兔模型为
dx dt
0.03x
0.001xy
dy dt
0.9 y 0.002xy
(3-3)
试问：狐狸、野兔的数目各为多少时，该系统才达到平衡？
解：由 dx 0 ，得 y狐狸 0.03 3（0 只）；
模型 3 捕食——被捕食模型 所用知识：微分方程组 内容介绍：
人口指数模型
指数函数的数据拟合世界人口预测问题下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿)年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968人口有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。
这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。
试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。
根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨（就提出了自然状态下的人口增长模型：rtyey其中t表示经过的时间，0y表示t＝0时的人口数，r12表示人口的年平均增长率。
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;解：设1951~1959年的人口增长率分别为于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为由图4可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。
0.022155196..t y e t N =∈129(...)90.0221r r r r =+++÷≈129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951,r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈123456789可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184.55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为3（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 将y=130000代入由计算可得3976.38≈≈t所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数图40.022155196..t y e t N =∈function y=ys1(a,t)y=55196*exp(a*t);t=[0:9];y=[55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207]; a0=[1];[a,res]=lsqcurvefit('ys1',a0,t,y)t1=[0::9];y1=55196*exp*t1);plot(t1,y1,t,y,'*')4例1已知1790—1990年间美国每隔十年的人口记录如下：(人口单位：106)年1790 1800 1810 1820183018401850人口年1860187018801890190019101920人口7692年1930194019501960197019801990人口204用以上数据检验Malthus人口(指数)增长模型方法一(1)编写函数M文件fit1（图1）function y=fit1(a,t)y=*exp(a*(t-1790));rteyy(2)输入并运行如下命令t=1790:10:1990;y=[,,,,,,,,,,,76,92,,,,,, 204, ,];a0=; [a,res]= lsqcurvefit('fit1',a0,t,y) a = res = +0045（或t=1790:10:1990;y=[,,,,,,,,,,,76,92,,,,,, 204, ,];f=inline('*exp(a*(t-1790))','a','t'); [a,res]=lsqcurvefit(f, ,t,y)人口增长模型的图形显示ti=1790:1990; yi=*exp(a*(ti-1790)); plot(t,y,'o',ti,yi)（图1）6方法二(1)编写函数M文件fit1(图2)rteyy0 =function y=fit1(a,t)y=a(1)*exp(a(2)*(t-1790));(2)输入并运行如下命令t=1790:10:1990;y=[,,,,,,,,,,,76,92,,,,,, 204, ,];a0=[0,0]; [a,res]= lsqcurvefit('fit1',a0,t,y) a =rteyy=res =+003人口增长模型的图形显示ti=1790:1990; yi=a(1)*exp(a(2)*(ti-1790));plot(t,y,'o',ti,yi)gtext('人口指数函数') %注释(或t=1790:10:1990;y=[,,,,,,,,,,,76,92,,,,,, 204, ,];[c,d]=solve('c*exp(d*10)=','c*exp(d*20)=','c','d')f=inline('a(1)*exp(a(2)*(t-1790))','a','t');7[a,res]=lsqcurvefit(f,[,],t,y)）a=res =+00330025020015010050（图2）8（图1）（图2）9。
(完整版)毕设之人口增长模型讲解
毕业设计——人口增长模型及其应用孙建锋第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.Leslie人口增长模型5.灰色GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。
以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。
人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。
发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。
众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。
中国在世纪之交的2000年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。
为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。
人口增长模型
一、 人口增长模型： 1. 问题下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相从图中我们可以看到人口数在1982—1998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）1.假设：人口增长率r 是常数.2.建立模型：记时刻t=0时人口数为0X ,时刻t 的人口为X （t ）,由于量大，X （t ）可以视为连续、可微函数，t 到t+t ∆时间段人口的增量为：)()()(t rX tt X t t X =∆-∆+于是X （t ）满足微分方程：)1()0(0⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==X X rX dt dx3.模型求解：解得微分方程（1）得： X （t ）=0X )(0t t r e- （2）表明：t ∞−→−时，t X )0.(>∞−→−r . 4.模型的参数估计要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1通过Matlab 拟合： 程序：x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 19971998]';X=[ones(17,1),x]Y=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); %回归分析b,bint,stats%输出这些值rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,'r')，%预测及作图运行结果：b =1.0e+006 *-2.84470.0015bint =1.0e+006 *-2.9381 -2.75130.0014 0.0015stats =1.0e+005 *0.0000 0.0455 0 1.9800图1各数据点及回归方程的图形 即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。
人口指数增长模型和Logistic模型学习资料
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据1860 1870 1880 1890 1900 1910 指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e y x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。
人口指数增长模型
《数学模型》实验报告实验名称：如何预报人口的增长成绩：____________实验日期：2009年4月22日实验报告日期：2009年4月26日人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到”地球在变小"，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义•本节介绍几个经典的人口模型•3.3.1模型I:人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus,1766--1834）1）模型假设时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r.以P（t）表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P（t）足够大，可以视做连续函数处理，且P（t）关于t连续可微.2）模型建立及求解据模型假设，在t到时间内人口数的增长量为5两端除以，得到5即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比令，就可以写出下面的微分方程：5如果设时刻的人口数为，则满足初值问题：（1）下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得5两端积分，并结合初值条件得显然，当时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）.如下图3-2所示.3）模型检验19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战.注意到，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬,不合常理，应该予以修正•图3-24）模型讨论为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄，性别，大小等）对人口增长的影响.假定是连续可微的•这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的,可认为是近似成立的•人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生.不难看出，这些假设是苛刻的，不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口.3.3.2模型II:阻滞增长模型（Logistic）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在一一或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远.在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源，环境条件等因素）.随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降.许多国家的实际情况都是如此.定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的.1）模型假设地球上的资源有限，不妨设为1;而一个人的正常生存需要占用资源（这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为）;在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源成正比；比例系数表示人口的固有增长率；设人口数P（t）足够大，可以视做连续变量处理，且P（t）关于t连续可微.2）模型建立及求解由模型假设，可将人口数的净增长率视为人口数P（t）的函数，由于资源对人口增长的限制，应是P（t）的减函数，特别是当P（t）达到极限承载人口数时，应有净增长率，当人口数P（t）超过时，应当发生负增长.基于如上想法，可令用代替指数增长模型中的导出如下微分方程模型：⑵这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic 模型）.其图形如图3-3所示.图3-33）模型检验从图3-3可以看出，人口总数具有如下规律:当人口数的初始值时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当，它们皆趋于极限值.4）模型讨论阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测,而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线. 但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程一一这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种.还有比指数增长模型，阻滞增长模型更好的人口预测方法吗[FS:PAGE]事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑•、实验目的预报人口的增长变化规律，作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。
人口指数模型
指数函数的数据拟合世界人口预测问题下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿)有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。
这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。
试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。
根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：精彩文档精彩文档rtey y 0=其中t 表示经过的时间， 0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;解：设1951~1959年的人口增长率分别为于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951,r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈123456789可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184.55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为精彩文档由图4可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 将y=130000代入由计算可得3976.38≈≈t所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.0.022155196..t y e t N =∈129(...)90.0221r r r r =+++÷≈根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数0.022155196..t y e t N =∈function y=ys1(a,t)y=55196*exp(a*t);t=[0:9];y=[55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207]; a0=[1];[a,res]=lsqcurvefit('ys1',a0,t,y)t1=[0:0.1:9];y1=55196*exp(0.0220*t1);plot(t1,y1,t,y,'*')精彩文档例1已知1790—1990年间美国每隔十年的人口记录如下：(人口单位：106)用以上数据检验Malthus人口(指数)增长模型方法一(1)编写函数M文件fit1（图1）function y=fit1(a,t)y=3.9*exp(a*(t-1790));rteyy(2)输入并运行如下命令t=1790:10:1990;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,3 8.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,15 0.7,179.3, 204, 226.5,251.4];精彩文档a0=0.1; [a,res]=lsqcurvefit('fit1',a0,t,y)a = 0.0217 res = 1.2724e+004 （或t=1790:10:1990;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6 ,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,17 9.3, 204, 226.5,251.4];f=inline('3.9*exp(a*(t-1790))','a','t'); [a,res]=lsqcurvefit(f,0.1 ,t,y)人口增长模型的图形显示ti=1790:1990;yi=3.9*exp(a*(ti-1790));plot(t,y,'o',ti,yi)精彩文档精彩文档（图1）方法二(1)编写函数M 文件fit1(图2)rtey y 0function y=fit1(a,t) y=a(1)*exp(a(2)*(t-1790));(2)输入并运行如下命令t=1790:10:1990;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,3 8.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,15 0.7,179.3, 204, 226.5,251.4];a0=[0,0]; [a,res]=lsqcurvefit('fit1',a0,t,y)a =13.8695 0.0148rteyyres =1.8257e+003人口增长模型的图形显示ti=1790:1990; yi=a(1)*exp(a(2)*(ti-1790));plot(t,y,'o',ti,yi)gtext('人口指数函数') %注释(或t=1790:10:1990;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,13 1.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4];[c,d]=solve('c*exp(d*10)=5.3','c*exp(d*20)=7.2','c','d')f=inline('a(1)*exp(a(2)*(t-1790))','a','t');[a,res]=lsqcurvefit(f,[3.9,0.03],t,y)）a=13.8692 0.0148res =1.8257e+003精彩文档精彩文档175018001850190019502000050100150200250300（图2）（图1）（图2）精彩文档。
malthus人口模型
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为00d 1d ()m N N r N t N N t N ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，， 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ； （2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<t N ,t N d d 单减,即人口增长率tNd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α.下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p t c a +-=+-)(0e )()(α , 令+∞→t ,取极限得p t p t =+∞→)(lim这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格p 上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于t c a c a p p tp)(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,0d d <t p ,)(t p 单调下降向p 靠拢；当p p <0时, 0d d >tp ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.三、混合溶液的数学模型 例 4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解 设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0⨯,t 时刻容器内溶液的质量浓度为tt x )23(100)(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为t tt x d 2)23(100)(-+,这样即可列出方程t txt x d 1002d 03.0d +-=,即txt x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为d 20.03d 100(0)10x x t tx ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为24)100(109)100(01.0)(t t t x +⨯++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为34)100(10901.0100)()(t t t x t p +⨯+=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即t V C t V C x d d d 2211-=,其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，tV V V xC )(2102-+=于是,有混合溶液的数学模型11220d d (0)xC V C V tx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． 该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.四、振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律. 解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为txhd d -,h 为阻尼系数；（5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得)(d d d d 22x f kx t xh tx m +--= , ①这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为0d d 22=+kx txm ,令2ω=mk,方程变为 0d d 222=+x tx ω,特征方程为 022=+ωλ, 特征根为ωλi 2,1±=,通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,或将其写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22212222112221图4()t t A ωϕωϕcos sin sin cos +=，)sin(ϕω+=t A 其中 2221C C A +=,22212sin CC C +=ϕ,22211cos CC C +=ϕ.这就是说,无阻尼自由振动的振幅2221C C A +=,频率mk=ω均为常数. 2.有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为0d d d d 22=++kx t xh tx m ,令2ω=m k ,δ2=mh,方程变为 0d d 2d d 222=++x t xtx ωδ, 特征方程为0222=++ωδλλ,特征根 222,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为ttC C x )(2)(12222eeωδδωδδ-+--+-+=(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为tt C C x δ-+=e)(21这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.图5 图6(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为)sin C sinC (e 222221t t x t δωδωδ-+-=-将其简化为)sin(e 22ϕδωδ+-=-t A x t其中,cos ,sin ,22211222122221C C C C C C C C A ++=+=ϕϕ振幅A tδ-e 随时间t 的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见图7.3.无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为pt m kx t xm sin d d 22=+,pt x tx sin d d 222=+ω, 根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：（1）当ω≠p 时,其通解为 图7t C t C pt px ωωωcos sin sin 12122++-=, 此时,特解的振幅221p -ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当ω=p 时,其通解为t C t C pt t px ωωcos sin cos 2121++-=, 此时,特解的振幅t p21随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.4.阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设ωδ<,方程①变为pt x t xtx sin d d 2d d 222=++ωδ ,特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为pt B pt A x cos sin *+=,其中22222224)(p p p A δωω+--=,222224)(2pp pB δωδ+--=, 还可将其化为*22222221[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p pδδ=---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,pt px cos 21*δ-=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.。
人口模型文档
人口模型简介人口模型是一种用来预测和分析人口增长、减少和结构变化的数学模型。
通过使用不同的参数和假设，人口模型可以帮助我们理解人口趋势以及可能的变化，从而对社会和经济发展做出合理的预测。
常见的人口模型单因素模型单因素模型是最简单的人口模型之一，它假设人口增长仅受到一个因素的影响。
常见的单因素模型包括指数模型和线性模型。
指数模型指数模型假设人口在某一时间段内按照指数增长，即人口数以固定比例递增。
这种模型常用于分析快速增长的人口。
指数模型的数学表达式为：$$ P_t = P_0 \\cdot e^{rt} $$其中，P P表示时间为P时的人口数；P0表示初始人口数；P表示增长速率；P是自然对数的底数。
线性模型线性模型假设人口增长以固定速率线性增长。
这种模型适用于人口增长相对较为平稳的情况。
线性模型的数学表达式为：P P=P0+PP其中，P P表示时间为P时的人口数；P0表示初始人口数；P表示增长速率。
多因素模型多因素模型考虑了更多的因素对人口增长的影响，因此比单因素模型更加精确。
常见的多因素模型包括S型曲线模型和Logistic模型。
S型曲线模型S型曲线模型假设人口增长先加速，后趋于稳定。
这种模型通常用于描述一个区域或国家的整体人口趋势。
S型曲线模型的数学表达式为：$$ P_t = \\frac{K}{1 + Ae^{-rt}} $$其中，P P表示时间为P时的人口数；P表示人口的极限容量；P表示曲线的斜率；P表示增长速率；P是自然对数的底数。
Logistic模型Logistic模型是一种常用的人口增长模型，它考虑了出生率、死亡率和迁移率等多种因素的综合影响。
这种模型能够更准确地描述真实情况。
Logistic模型的数学表达式为：$$ P_t = \\frac{K}{1 + Ae^{-rt}} $$其中，P P表示时间为P时的人口数；P表示人口的极限容量；P表示曲线的斜率；P表示增长速率；P是自然对数的底数。
人口模型
一、微分方程模型1.人口模型一、指数增长模型 （Malthus ）1.模型假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。
()x t :t 时刻的人口数 r :人口增长率2.模型建立 0(0)dx rx dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩3.模型求解 0()r t x t x e =4.模型分析0r >⇒()x t →+∞ 人口将按指数规律无限增长！ 0r =⇒0()x t x ≡ 人口将始终保持不变！ 0r <⇒()0x t → 人口将按指数规律减少直至绝灭。
M a l t h u s 模型预测的优点是短期预报比较准确，但是不适合中长期预报，原因是预报时假设人口增长率 r 为常数。
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
二、阻滞增长模型 (Logistic)1.模型假设假设人口增长率 r (x )是人口 x (t ) 的减函数 ：()1m x r x r x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中: x m 为自然资源条件所能容纳的最大人口数量r 为固有增长率2.模型建立01(0)m d x x rx dt x x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩ 3.模型求解：0()11mrt m x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭4.模型分析（定性分析）0m x x >⇒()m x t x ↓→ 人口将递减并趋向于x m ，0m x x =⇒()m x t x ≡ 人口将始终保持x m 不变 ，00m x x <<⇒()mx t x ↑→ 人口将递增并趋向于x m ， 无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！阻滞增长模型预测对中期预报比较准确，理论上很好，但是实用性也不强，原因在于预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 x m 为定值。
实际上这两个参数（特别是 x m ）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
数学建模人口模型
中国人口增长预测模型班级：071221姓名：***学号：********摘要以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。
13亿是一个忧虑的数字。
13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。
平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。
当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。
（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。
（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。
人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。
在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。
对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。
政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。
我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。
长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。
随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。
人口模型
世界人口增长概况年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 常用的计算公式今年人口 x 0, 年增长率 r k 年后人口kk r x x )1(0+=指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x (t ) ~时刻t 的人口t r t x t x t t x ∆=-∆+)()()( 0)0(,x x rx dt dx == rt e x t x 0)(=t r e x t x )()(0=t r x )1(0+≈随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据人口增长率r 不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic 模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设)0,()(>-=s r sx r x r r ~固有增长率(x 很小时)x m ~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mx x r x r -=r 是x 的减函数mx r s =)(=m x rrx dtdx=)1()(mx x rx x x r dt dx -==dx /dtxx m x m /2x m x t x x x e mmrt()()=+--110txx (t )~S 形曲线, x 增加先快后慢x 0x m /2阻滞增长模型(Logistic 模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r 或r, x m•利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）1860 1870 1880 ……1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 ……179.3 204.0 226.5 251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic 模型)r =0.2557, x m =392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(m x x rx x x x x -+=∆+=实际为281.4 (百万)5.274)2000(=x 模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic 模型)r =0.2490, x m =434.0x (2010)=306.0截至2007年，滨州市的人口总数已达374.48万人，其中男性189.04万人，女性185.44万人，男女比例约为102︰100。
人口指数增长模型
次多项式，然后用画图函数
plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算
结果之间的图形，看结果如何。
利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下：
t=linspace(0,11,12);
x=
[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];
年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口 38.6 502. 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
三、实验环境
MATLAB6.5
四、实验步骤
为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将
x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得
lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,
所以可得y= rt+a。
根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一
人类文明发展到今天,人们越来越意识到地球资源的有限性,我们感受 到"地球在变小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为当前 世界上被最普遍关注的问题之一,当然人口增长规律的发现以及人口增 长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义.本 节介绍几个经典的人口模型. 3.3.1模型I:人口指数增长模型(马尔萨斯Malthus,1766--1834) 1) 模型假设 时刻t人口增长的速率,即单位时间人口的增长量,与当时人口数成正比, 即人口增长率为常数r. 以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数,设人口数P(t)足够大,可以 视做连续函数处理,且P(t)关于t连续可微. 2) 模型建立及求解 据模型假设,在t到时间内人口数的增长量为 , 两端除以,得到 , 即,单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比. 令,就可以写出下面的微分方程: , 如果设时刻的人口数为,则满足初值问题: (1) 下面进行求解,重新整理模型方程(1)的第一个表达式,可得 , 两端积分,并结合初值条件得 . 显然,当时,此时人口数随时间指数地增长,故模型称为指数增长模型(或 Malthus模型).如下图3-2所示. 3) 模型检验 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后 的许多国家,模型遇到了很大的挑战. 注意到,而我们的地球是有限的,故指数增长模型(Malthus模型)对未来
人口增长模型
dx
dt
r(1
x xm
)x
0
x(0) x0
(5.5)
称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克
（Logistic）人口增长模型.
用可分离变量方程的解法可得其解
为
x(t)
xm
1( xm 1)ert
x0
（5.6）
4.模型解的再分析与检验 对（5.6）式求二阶导数可得
dd22xt r2(1xxm)1(2xm x)x （5.7） 由此，分析人口总数x(t)的变化规 律:
dt
xm
x(t)是单调增加的.
又由（5.7）式知，当
x
xm 2
时，d 2 x
dt 2
0;
当 x x m 时， d 2 x 0 ，
2
dt 2
即 x x m 是 x(t) 图形的拐点.
2
人口变化率函数 dx 在 x x m 处取
dt
2
到最大值.
（3）xm要根据人口统计资料以及自 然环境等因素来确定，因而当条件 改变时， xm也将随之改变.
人口增长模型
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
小结 利用平衡原理建立了人口增长模型 按照五步建模法全过程展现了数学
建模的基本步骤
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
称为固有增长率. 显然，对任意的x>0,r(x)<r.
人口预测模型(经典)
中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。
考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。
最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。
例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。
根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
人口模型
r2
f (t ) (t ) h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr.
r1
r2
r1
(4)
从上面可以看出, (t )的直接含义是 t时刻平均每个育龄女性 单位 时间内的生育数 , 也可以理解为平均每个 女性一生的总和生育数 或生育胎次.h(r , t )是年龄为 r为女性的生育加权因子 , 称生育模式.
F (0, t ) 0, F (rm , t ) N (t ).
定义人口密度函数为 p( r , t ) F lim F ( r r , t ) F ( r , t ) .
r
r 0
r
F (r dr, t ) F (r , t ) p(r , t )dr
(2)
( s ) ds p0 ( r t ) e , 0t r p(r , t ) ( s ) ds , tr f (t r )e
r r t r 0
(3)
r
p0 ( r t )e
r t
( s ) ds
r
解释
f (t r )e人口指数 Nhomakorabea通俗的一些人口数据更容易被接受,它们能 够反映人口的一些基本特征.我们来看看.
1.人口总数N(t):
2.平均年龄R(t):
R (t ) rp (r , t )dr / N (t )
0
rm
3.平均寿命S(t): 它表示时刻t出生的人不论活到什么时候, 死亡率都按时刻t的μ(r,t)计算,于是 t
f (t ) b(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr,再将b(r , t )定义 为 b(r , t ) (t )h(r , t ),
人口指数增长模型
的控制人口增长提供依据，为设计型实验。 二、实验内容
根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数 增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记 t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0, 解出x(t)=x0*exp(rt)。
三、实验环境
MATLAB6.5
四、实验步骤
为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将
x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得
lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,
所以可得y= rt+a。
根据所提供的x,1）拟合一
《数学模型》 实验报告
实验名称：如何预报人口的增长 成绩：___________ 实 验 日 期 ： 2009 年 4 月 22 日 实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日
人类文明发展到今天,人们越来越意识到地球资源的有限性,我们感受 到"地球在变小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为当前 世界上被最普遍关注的问题之一,当然人口增长规律的发现以及人口增 长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义.本 节介绍几个经典的人口模型. 3.3.1模型I:人口指数增长模型(马尔萨斯Malthus,1766--1834) 1) 模型假设 时刻t人口增长的速率,即单位时间人口的增长量,与当时人口数成正比, 即人口增长率为常数r. 以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数,设人口数P(t)足够大,可以 视做连续函数处理,且P(t)关于t连续可微. 2) 模型建立及求解 据模型假设,在t到时间内人口数的增长量为 , 两端除以,得到 , 即,单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比. 令,就可以写出下面的微分方程: , 如果设时刻的人口数为,则满足初值问题: (1) 下面进行求解,重新整理模型方程(1)的第一个表达式,可得 , 两端积分,并结合初值条件得 . 显然,当时,此时人口数随时间指数地增长,故模型称为指数增长模型(或 Malthus模型).如下图3-2所示. 3) 模型检验 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后 的许多国家,模型遇到了很大的挑战. 注意到,而我们的地球是有限的,故指数增长模型(Malthus模型)对未来
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指数函数的数据拟合
世界人口预测问题
下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿)
有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。
这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。
试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。
根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
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rt
e
y y 0=
其中t 表示经过的时间， 0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
(1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为
于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为
129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951,
r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈1
2
34
5
678
9
可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184.
55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为
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由图4可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 将y=130000代入
由计算可得3976.38≈≈t
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
0.022155196..
t y e t N =∈129(...)90.0221
r r r r =+++÷≈根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数
图4
0.022155196..
t y e t N =∈
function y=ys1(a,t)
y=55196*exp(a*t);
t=[0:9];
y=[55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207]; a0=[1];
[a,res]=lsqcurvefit('ys1',a0,t,y)
t1=[0:0.1:9];
y1=55196*exp(0.0220*t1);
plot(t1,y1,t,y,'*')
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例1已知1790—1990年间美国每隔十年的人口记录如下：(人口单位：106)
用以上数据检验Malthus人口(指数)增长模型
方法一
(1)编写函数M文件fit1（图1）
function y=fit1(a,t)
y=3.9*exp(a*(t-1790));
rt
e
y
y
(2)输入并运行如下命令
t=1790:10:1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,5 0.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179. 3, 204, 226.5,251.4];
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a0=0.1; [a,res]= lsqcurvefit('fit1',a0,t,y) a = 0.0217 res = 1.2724e+004
（或t=1790:10:1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2, 62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4];
f=inline('3.9*exp(a*(t-1790))','a','t');
[a,res]=lsqcurvefit(f,0.1 ,t,y)
人口增长模型的图形显示
ti=1790:1990; yi=3.9*exp(a*(ti-1790)); plot(t,y,'o',ti,yi)
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（图1）
方法二
(1)编写函数M 文件fit1(图2)
rt
e
y y 0
function y=fit1(a,t)
y=a(1)*exp(a(2)*(t-1790));
(2)输入并运行如下命令
t=1790:10:1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,5
0.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179. 3, 204, 226.5,251.4];
a0=[0,0]; [a,res]= lsqcurvefit('fit1',a0,t,y) a =13.8695 0.0148
rt
y
e
y
res =1.8257e+003
人口增长模型的图形显示
ti=1790:1990; yi=a(1)*exp(a(2)*(ti-1790));
plot(t,y,'o',ti,yi)
gtext('人口指数函数') %注释
(或t=1790:10:1990;
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7 ,179.3, 204, 226.5,251.4];
[c,d]=solve('c*exp(d*10)=5.3','c*exp(d*20)=7.2','c','d')
f=inline('a(1)*exp(a(2)*(t-1790))','a','t');
[a,res]=lsqcurvefit(f,[3.9,0.03],t,y)）
a=
13.8692 0.0148
res =
1.8257e+003
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300
250
200
150
100
50
（图2）
300
250
200
150
100
50
（图1）（图2）
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