反比例函数和正比例函数的问题
反比例函数重点题型
反比例函数重点题型1、反比例函数的图像和面积之间的关系； 问题1：反比例函数4y x=经过点A （1，4），过点A 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为M 、N ，则矩形AMON 的面积为 ，三角形AOM 的面积为 ，三角形AON 的面积为 ．问题2：反比例函数ky x=经过点A （a ，b ），过点A 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为M 、N ，则矩形AMON 的面积为 ，三角形AOM 的面积为 ，三角形AON 的面积为 ．根据以上规律，完成以下两题：1．如图，P 是反比例函数图像上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是______． 2．反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为 ．第1题图 第2题图1、如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AB 垂直于x 轴，若AOB S ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为________________.2、在△AOB 中，AB =OB ，点B 在双曲线上，点A 的坐标为（2，0），ABO S ∆=4，求点B 所在双曲线的函数解析式。
3、如图，已知点A ，B 在双曲线)0(>=x xky 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，求k 的值．4、两个反比例函数=k y x 和1=y x 在第一象限内的图象如图所示，点P 在=ky x 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1=y x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1=y x的图象于点B ，当点P 在=ky x的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．2、反比例函数解析式和正比例函数解析式之间的关系；1、已知函数21y y y +=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，当1=x 时，1-=y ，当3=x 时，5=y ．（1）求y 关于x 的函数的解析式；（2）求当3-=x 时的函数值．2、已知12y y y =+，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当12x =时5y =，当1x =时1y =-，求y 与x 之间的函数关系式．3、已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与1x +成正比例；并且当3x =-时，19y =；当1x =-时2y =，求y 与x 的函数关系式.4、若0<ab ，则正比例函数=y ax 与反比例函数=by x在同一坐标系中的大致图象可能是（）xxxx3、反比例函数图像坐标和三角形之间的关系主要围绕着两种图形，一周为等腰直角三角形，一种为等边三角形，围绕这两种图形展开的反比例函数的考察是重点1、如图，等腰直角△POA的直角顶点P 在反比例函数xy4=)0(>x的图像上，A点在x 轴正半轴上，则A点的坐标为2、如图，11POA∆、212P A A∆都是等腰直角三角形，点1P、2P在函数4yx=(0x>)的图像上，斜边1OA、12A A、都在x轴上，则点2P的坐标为3、如图，P是反比例函数kyx=(0)k>在第一象限图像上的一点，点A的坐标为（2, 0）．（1）当点P的横坐标逐渐增大时，POA∆的面积将如何变化？（2）若POA∆为等边三角形，求此反比例函数的解析式．A2A1P2P1O xyAOPyx4、如图，P 1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A 1 的坐标为(2，0)．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积将逐渐_______（填“增加”、“减小”） （2）若△P 1O A 1与△P 2A 1 A 2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．5、如图，正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数xky =的图像上，已知正方形OAPB 的面积为9． (1) 求k 的值和直线OP 的解析式； （2）求正方形ADFE 的边长．6、如图，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，4），四边形OABC 为矩形，反比例函数=ky x的图像过AB 的中点D ，且和BC 相交于点E ，F 为第一象限的点，AF =12，CF =13． （1）求反比例函数=ky x和直线OE 的函数解析式； （2）求四边形OAFC 的面积．第25题图FED CB AyxOFOA DP EB点C 在y 轴上，反比例函数的图像过BC 边上点M ，与AB 边交于点N ，且BM=3CM ．求此反比例函数的解析式及点N 的坐标．过1P 分别作x 轴、y 轴的垂线11PQ 、11P R ，垂足分别1Q 、1R ；过2P 分别作x 轴、y 轴的垂线22P Q 、22P R ，垂足分别为2Q 、2R ，求矩形111OQ PR 和222OQP R 的周长比较它们的大小．4、反比例函数压轴题题型及考察1：如图，已知直线经过点P （，），点P 关于轴的对称点P ′ 在反比例函数（）的图像上． （1）求的值；（2）直接写出点P ′ 的坐标； （3）求反比例函数的解析式．2、如图，点P 是一个反比例函数与正比例函数2y x =-的图象的交点，PQ 垂直于x 轴，垂足Q 的坐标为(2，0)． (1) 求这个反比例函数的解析式．(2) 如果点M 在这个反比例函数的图象上,且△MPQ 的面积为6，求点M 的坐标．x y 2-=2-a y xky =0≠k a OQ xPyxyO x y 2-=PP 'xk y = 113、已知双曲线上两点A （2，4），C （4，2），且AB ⊥OB ，CD ⊥OD ， 求（1）双曲线的函数解析式；（2）△OAB 的面积；（3）△OAC 的面积。
浅析正比例函数和反比例函数图像的交点问题
浅析正比例函数和反比例函数图像的交点问题〔摘要〕函数作为一种数学工具，在整个中学阶段的学习中有着举足轻重的作用。
初中阶段是函数学习的初级阶段。
对于初中生而言，两个函数图像的交点问题是一个难点，也是一个常考的知识点。
它可以出现在各种题型中，如选择题、填空题、解答题中，而且，它几乎可以和初中所有的代数学知识综合在一起考查。
因此，熟练掌握函数图像交点的规律是很有必要的。
〔关键词〕函数正比例函数反比例函数函数作为一种数学工具，在整个中学阶段的学习中有着举足轻重的作用。
初中阶段是函数学习的初级阶段。
对于初中生而言，两个函数图像的交点问题是一个难点，也是一个常考的知识点。
它可以出现在各种题型中，如选择题、填空题、解答题中，而且，它几乎可以和初中所有的代数学知识综合在一起考查。
因此，熟练掌握函数图像交点的规律是很有必要的。
为此，笔者结合自己的学习体会和几年的教学体验，对正比例函数和反比例函数图像的交点问题做一点总结和分析。
很显然，正比例函数和反比例函数图像的交点有两种情况：一是有两个交点，一是没有交点。
对于无交点的情况，在此不再赘述。
通过分析和总结，对于两个交点的问题形成一个结论。
命题：如果正比例函数y=k1x和反比例函数y=■的图像有两个交点，那么这两个交点关于原点对称。
验证1：如图，正比例函数y=2x和反比例函数y=■的图像交于A、B两点，则A、B关于原点对称。
分析：根据函数图像交点的求解方法，可得2x=■解得x=±1当x=1时，y=2；当x=-1时，y=-2所以A(1,2)、B(-1,-2)，发现A、B关于原点对称。
验证2：如图，正比例函数y=-3x和反比例函数y=-■的图像交于A、B两点，则A、B关于原点对称。
分析：根据函数图像交点的求解方法，可得－３x=-■解得x=±2当x=2时，y=-6；当x=-2时，y=6所以A(-2,6)、B(2,-6)，发现A、B关于原点对称。
证明：如图，设正比例函数为y=k1x，反比例函数为y=■，两图像交点为A、B。
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
正比例函数和反比例函数复习一、二、三
y =5，求当 x =5 时 y 的值。
3、如图所示，在反比例函数图像上有一的点 A，AB⊥X 轴，三角形 AOB 的 面积为 10，求反比例函数的解析式.
y A B O x
4、 如图所示的双曲线是函数 y= 3）是图象上一点。 （1）求这个函数解析式
k (k 0) 在第一象限内的图像，A（4， x
0
C
A E x B D F y C
5
3、如图，已知：在△ABC 中，∠C= 90
, B 30 , AC 6 ,点 D、E、F 分别在边 BC、AC、AB 上（点 E、
F 与△ABC 顶点不重合） ，AD 平分∠CAB,EF⊥AD,垂足为 H. (3 分)（1）求证：AE=AF; （3 分） （2）设 CE=x,BF=y,求 y 与 x 的函数解析式，并写出定义域； （4 分） （3）当△DEF，是直角三角形时，求出 BF 的长.
A F E
B
D
C
课后练习 1．解方程： x
2
6 x 18 0
2．解方程：
(3 x ) 2 x 2 9
3．解不等式： 2 x
10 > 5 x 2
6
4．已知正比例函数的图像经过点（ 2 ，8） ，经过图像上一点 A 作 求： （1）点 A 坐标（2） AOB 的面积。
3． 已知在 y=
8 x
(x>0)反比例函数的图象上有不重合的两点 A、
B，且 A 点的纵坐标是 2，B 点的横坐标为 2，且 AB⊥OB，CD⊥OD， 求（1）双曲线的函数解析式； （2）△OAB 的面积； （3）△OAC 的面积。
4、 上海磁悬浮列车在一次运行中速度 V（千米/小时）关于时间 t（分钟）的函数图像如图，回答下列问 题。 （1） （2） （3） （4） 列车共运行了_______分钟 列车开动后，第 3 分钟的速度是__________千米/小时。 列车的速度从 0 千米/小时加速到 300 千米/小时，共用了_________分钟。 列车从___________分钟开始减速。
反比例函数与正比例函数的关系
反比例函数与正比例函数的关系反比例函数与正比例函数是数学中常见的函数关系。
它们描述了两个变量之间的关系，其中一个变量的变化与另一个变量的变化成反比例或正比例关系。
反比例函数是指两个变量之间的关系满足一个变量的变化与另一个变量的变化成反比例关系。
具体而言，当一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小；反之亦然。
反比例函数可以用以下形式来表示：y = k/x，其中k是一个常数，x和y分别表示两个变量的值。
正比例函数是指两个变量之间的关系满足一个变量的变化与另一个变量的变化成正比例关系。
具体而言，当一个变量的值增大时，另一个变量的值也相应地增大；反之亦然。
正比例函数可以用以下形式来表示：y = kx，其中k是一个常数，x和y分别表示两个变量的值。
反比例函数和正比例函数在数学上有很多应用。
下面将分别介绍它们的特点及应用。
反比例函数的特点是当一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
这意味着两个变量之间存在一个倒数关系。
例如，在物理学中，牛顿第二定律描述了物体的加速度与施加在物体上的力成反比例关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于施加在物体上的力除以物体的质量。
因此，当施加在物体上的力增大时，物体的加速度减小；反之亦然。
这个关系可以用反比例函数来表示。
正比例函数的特点是一个变量的值的增大与另一个变量的值的增大成正比。
这意味着两个变量之间存在一个比例关系。
例如，在经济学中，供给与需求之间的关系可以用正比例函数来描述。
根据供需理论，当市场上某种商品的需求增加时，供给也会增加；反之亦然。
这个关系可以用正比例函数来表示。
反比例函数和正比例函数在实际问题中有广泛的应用。
它们可以用来描述物理、经济、生物等各个领域中的变量关系。
例如，在物理学中，反比例函数可以用来描述电阻与电流之间的关系，即欧姆定律。
根据欧姆定律，电流等于电压除以电阻。
因此，当电阻增大时，电流减小；反之亦然。
在经济学中，正比例函数可以用来描述生产成本与产量之间的关系。
正比例的性质和反比例的性质
02
05
探究正比例和反比例在物理学、经济学等 领域的应用。
思考如何利用正、反比例的性质解决复杂 问题。
03
06
尝试利用正、反比例的性质解决一些实际 问题，如分配问题、速度问题等。
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THANKS
重点知识点总结
性质
正比例关系中，两个量的比值是一个常数。
定义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量 就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
性质
反比例关系中，两个量的乘积是一个常数。
解题技巧和方法回顾
判断正比例关系 观察两种量是否同时变化。
4 生物学中的种群增长模型
在某些生态系统中，种群的增长率与其种群密度之间可 能存在反比例关系，即种群密度越高，增长率越低。
04
正反比例在生活中的应用
生活中常见的正比例关系
路程、速度和时间的关系
01
当速度一定时，路程和时间成正比例，即路程越长，
所需时间也越长。
工作总量、工作效率和工作时间的关系
02 当工作效率一定时，工作总量和工作时间成正比例，
正比例的性质和反比例的 性质
汇报人：XXX 2024-01-27
目录
• 正比例与反比例概念及性质 • 正比例图像与性质分析 • 反比例图像与性质分析 • 正反比例在生活中的应用 • 总结与回顾
01
正比例与反比例概念及性质
正比例定义及性质
定义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也 随着变化，如果这两种量中相对应的两个数 的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量 ，它们的关系叫做正比例关系。
速度与时间的关系
总结为k的几何意义⑶若反比例函数与正比例函数y=kx
个反比例函数的解析式为 y 4 x
．
y
点评：将△ABO通过“等 积变换”同底等高变为 △ABP.
B A(m,n)
PO
x
(2)如图③，A、B是函数
y
4 x
的图象上关于原点O对称的任意 两点，AC∥y轴，BC ∥ x轴，
⊿ABC的面积为S，则（ C ）
A．S=4 B．4<S<8 C．S=8 D．S>8
D．4
A
y6 x
↑y
∴双曲线的解析式为： y 6 x
由性质1可知，S△OBC= 3
∴ S△AOC =S△AOB - 3 = 12-3
=9
C B
D（-3，2）
O →x
2.反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点A(1，8 ) 和B (4，2)， x
求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积.
(1)过P作x轴的垂线 , 垂足为 A,则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m|Fra bibliotek|n
|
1 2
|
k
|
以上两条性质 在课本内没有 提及，但在这 几年的中考中 都有出现。
y
P(m,n)
oA
x
y P(m,n)
oA
x
如图：点A在双曲线 y k 上，AB⊥x轴于B， x
且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k= -4
1、会推导反比例函数与三角形、矩形面积
学 关系的性质；灵活运用性质解决与面积有关 的问题。
习 2、引导学生自主探索，合作研讨，培养观 目 察、分析、归纳问题的能力，体会数形结合
2015-10反比例函数经典题归纳
反比例函数经典题归纳一、 反比例函数的比较大小问题1、 反比例函数y ＝kx 中，x,y,k 三个量中（知二求一）-----比较大小例1：若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．2、 反比例函数y ＝kx中，x,y,k 三个量中（知一）-----比较大小（1）若点在反比例函数的图象上，则比较m 与n 的大小。
（2）反比例函数2y x-=的图象上有两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若x 1＜x 2，请你比较y 1与y 2 的大小。
（3）已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )． A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 1二、反比例函数与直线相交问题类型一：反比例函数与正比例函数相交问题直线y=mx 与双曲线y ＝kx 相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2）（1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长． （3）根据图象直接写出当mx ＞kx 时，x 的取值范围；总结:类型二：反比例函数与一次函数相交问题例1：已知：如图，反比例函数y 1＝kx 的图象与一次函数y 2=x +b 的图象交于点A （1，4）、点B （﹣4，n ）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB 的面积； （3）直接写出y 1＞y 2，y 1＜y 2，y 1=y 2时自变量x 的取值范围．1、 交点坐标重要性：2、 求曲原三角形面积：3、 比较大小：变式：例2：如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．:（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．总结：1、2、3、例3：如图,在平面直角坐标系中,直线y=x－2与y轴相交于点A,与反比例函数kyx在第一象限内的图象相交于点B（m,2）.⑴求反比例函数的关系式;⑵将直线y=x－2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.三、交点问题探究1、函数y=的图像与直线y=2x没有交点，k的取值范围？变式：一次函数y=kx+1的图像与反比例函数y=的图像没有公共点，则k 的取值范围2、y=与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则的值变式：2yx与y=x+1图象交点坐标为（a,b）,则的值3、如果一个正比例函数的图像与反比例函数7y x=的图像交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，那么2121()()x x y y --的值为_____________变式1：如果一个正比例函数的图像与反比例函数7y x=的图像交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，那么-3x 1y 2+5x 2y 1的值为_____________变式2：M （1，a ）是一次函数y =3x ＋2与反比例函数ky x=图象的公共点，若将一次函数y =3x ＋2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为 .变式3：在平面直角坐标系xOy 中,一次函数10y x =-的图像与函数()60y x x=>的图像相交于点A,B,设点A 的坐标为（1x ,1y ）,那么长为1x ,宽为1y 的矩形的面积为 ,周长为 .4、如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y=x 上，点A 的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y=与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围为（ ）A ． 1＜k ＜9B ． 2≤k≤34C ． 1≤k≤16D ． 4≤k ＜16变式1：如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线6+-=x y 于A 、B 两点，若反比例函数xky =（0>x ）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．92≤≤kB ．82≤≤kC ．52≤≤kD ．85≤≤kxyO ABCDE 变式2：矩形ABCO 如图放置，点A,C 在坐标轴上，点B 在第一象限，一次函数y=kx-3的图象过点B ，分别交x 轴、y 轴于点E 、D ，已知C （0，3）且S △BCD =12。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数1. 引言正比例函数和反比例函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的定义、特点以及实际应用，以便读者更好地理解和应用这两种函数。
2. 正比例函数2.1 定义正比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值也相应地增大（或减小）的函数。
在数学符号中，正比例函数可以用y = kx表示，其中k为比例常数。
2.2 特点正比例函数的特点有：- 图像呈现直线；- 图像通过原点，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量亦增大，且变化的速率相同。
2.3 实际应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 物理学中的速度和时间的关系，当物体匀速运动时，其速度与时间成正比；- 经济学中的成本和产量的关系，当生产规模扩大时，成本和产量之间存在正比例关系；- 地理学中的距离和时间的关系，当行驶速度恒定时，两地距离和到达时间成正比。
3. 反比例函数3.1 定义反比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值相应地减小（或增大）的函数。
在数学符号中，反比例函数可以用y = k/x表示，其中k为比例常数。
3.2 特点反比例函数的特点有：- 图像呈现曲线，通常为双曲线；- 图像与两个坐标轴都有渐进线，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量减小，且变化的速率不同。
3.3 实际应用反比例函数在实际问题中也有广泛的应用，例如：- 物理学中的电阻和电流的关系，当电路中的电压不变时，电阻和电流成反比例关系；- 经济学中的价格和需求的关系，当商品价格上涨时，需求量下降，价格和需求成反比例关系；- 化学学中的稀释度和浓度的关系，当添加溶剂时，溶液的浓度与稀释度成反比例。
4. 比较与应用示例正比例函数和反比例函数的区别在于图像的形状和变化的速率不同。
正比例函数的变化速率相同，图像为直线，而反比例函数的变化速率不同，图像为曲线。
反比例函数经典大题(有详细答案)
反比例函数1. 如图，函数b x k y +=11的图象与函数xk y 22=（0>x ）的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A 点坐标为（2，1），C 点坐标为（0，3）．（1）求函数1y 的表达式和B 点的坐标；（2）观察图象，比较当0>x 时，1y 与2y 的大小.2、如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.3、若反比例函数x ky =与一次函数42-=x y 的图象都经过点A （a ,2） (1)求反比例函数x ky =的解析式；(2) 当反比例函数xky =的值大于一次函数42-=x y 的值时，求自变量x 的取值范围．ABOCxyO Mx A(第5题)4、如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y= （k>0）的图象经过点A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为 .（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数y= 的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；5、如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）。
⑴求点D 的坐标；⑵求经过点C 的反比例函数解析式.6、如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数my x=（x>0）的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，12OC CA =。
（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？xkxk B O A21xyA O PBC D7、已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42my x-=（x>0）图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 的坐标是（2，－4），且13BC AB =，求m 的值和一次函数的解析式； （3）写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？8、如图，正比例函数11y k x =与反比例函数22k y x=相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO =4。
正比例函数和反比例函数的区别(附图)
正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数 (自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。
反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数与正比例函数的区别与联系
反比例函数与正比例函数的区别与联系反比例函数与正比例函数是数学中常见的函数形式。
它们在现实生活中也有广泛的应用，如商业、工程、社会等各个领域。
本文将详细讨论反比例函数与正比例函数的区别与联系。
一、反比例函数的定义与特点反比例函数是指一个函数，其值与自变量的倒数成反比例关系，即y=k/x（k为常数）。
其中，x不等于0，y也不等于0。
反比例函数的定义域为x不等于0，值域为y不等于0。
反比例函数的图像呈现出一种双曲线的形态，有两个分支。
与反比例函数相关的一些特点是：1. 零点：反比例函数没有零点，因为它的定义域中没有0。
2. 渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别是x=0和y=0。
3. 不对称性：反比例函数充满不对称性，因为当自变量增大时，因变量会减少，反之亦然。
二、正比例函数的定义与特点正比例函数是指一个函数，其值与自变量成正比例关系，即y=kx （k为常数）。
其中，x和y均不能为0。
正比例函数的定义域和值域都为全体实数。
正比例函数的图像呈现出一种直线的形态。
与正比例函数相关的一些特点是：1. 零点：正比例函数的零点为0，因为当x等于0时，y也等于0。
2. 斜率：正比例函数的斜率为常数k，斜率越大，则函数图像越陡峭。
3. 对称性：正比例函数呈现出一种对称性，因为当自变量增大时，因变量也会增大，反之亦然。
三、反比例函数与正比例函数的区别1. 定义与形式反比例函数和正比例函数的定义和形式非常不同。
反比例函数的值与自变量的倒数成反比例关系，而正比例函数的值与自变量成正比例关系。
2. 零点与极点反比例函数没有零点，因为它的定义域不包括0。
而正比例函数的零点为0，因为当自变量等于0时，函数的取值也为0。
而反比例函数有两个极点，一个是x=0，另一个是y=0。
极点是指函数的值越来越接近无穷，当x或y趋近于0时。
3. 图像形态和性质反比例函数的图像呈现双曲线的形态，而正比例函数的图像呈现直线的形态。
正比例函数具有对称性，反比例函数则不具备。
反比例函数与正比例函数解题应用
反比例函数与正比例函数交点的特点及其解题应用反比例函数与正比例函数交点问题是数学学习中的一个重要知识点，也是中考的重要考点，下面就和同学们一起，谈谈这个话题.一、反比例函数与正比例函数交点的四个中心点1、交点坐标的表示方法：设正比例函数y=mx（m＞0）与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于两点，则mx=kx,所以x=,所以y=,），（，-.2、交点位置的分布当函数的比例系数都是正数时，图像的交点分布在第一、三象限；当函数的比例系数都是负数时，图像的交点分布在第二、四象限；当函数的比例系数一正一负时，两个函数的图像没有交点.3、交点坐标的特点：正比函数与反比例函数的两个交点关于原点对称.4、交点线段的最小值：两交点线段的最小值为k，与正比例函数的比例系数无关.二、反比例函数与正比例函数交点的四个中心点的解题应用1、反比例函数与正比例函数图像交点位置的分布例1正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6x的图象的交点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第一、三象限分析：正比例函数y=kx的图像分布分k＜0和k＞0两种情形，当k＞0时，图像分布在第一、三象限；当 k＜0时，图像分布在第二、四象限；反比例函数y=6x的图像分布分k＜0和k＞0两种情形，当k＞0时，图像分布在第一、三象限；当 k＜0时，图像分布在第二、四象限；因此当函数的比例系数都是正数时，图像的交点分布在第一、三象限；当函数的比例系数都是负数时，图像的交点分布在第二、四象限；当函数的比例系数一正一负时，两个函数的图像没有交点.解：因为正比例函数y=6x的比例系数为6，是一个正数；反比例函数y=6x的比例系数为6，是一个正数，所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6x的图象的交点位于第一、三象限，所以选D.点评：熟记反比例函数与正比例函数交点的分布规律是解题的关键.2、 已知正比例函数的解析式和一个交点的纵坐标，探求另一交点的坐标例2已知正比例函数y=- 4x 与反比例函数y=k x的图象交于A 、B 两点，若点A 的坐标为（x ，4），则点B 的坐标为 ．分析：正比例函数与反比例函数的交点坐标可以通过联立解方程组的方式求得，并且两个交点的坐标是关于原点对称的，熟记这些能帮助我们很好的解决问题.解：因为正比例函数y=﹣4x 与反比例函数y=k x的图象交于A 、B 两点，点A 的坐标为（x ，4），所以4=﹣4x ，解得：x=﹣1，所以点A 的坐标为（-1，4），因为点B 与点A 关于原点对称，所以点B 的坐标为（1，-4）.点评：根据交点坐标同时满足两个函数的解析式，求得点A 的坐标是解题的基础，熟记交点关于原点对称是解题的关键.3、已知反比例函数的解析式，两个交点的字母式坐标，探求有坐标构成代数式的值 例3如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .分析：抓住交点坐标关于原点的对称的性质，变形统一到角码相同的坐标上来，问题就顺利得解.解：因为A ，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y x B y x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x4、已知反比例函数的解析式和一个交点的纵坐标，探求正比例函数的解析式例4如图1，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=2x的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值；（2）求正比例函数y=kx 的解析式；（3）试判断点B （2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．分析：（1）将A（m，2）点代入反比例函数y=2x，即可求得m的值；（2）将A点坐标代入正比例函数y=kx，即可求得正比例函数的解析式；（3）将x=2代入（2）中所求的正比例函数的解析式，求出对应的y值，然后y值与3比较，如果y=3，那么点B（2，3）是否在正比例函数图象上；否则不在．解：（1）因为反比例函数y=2x的图象过点A（m，2），所以2=2m，解得m=1；（2）因为正比例函数y=kx的图象过点A（1，2），所以2=k×1，解得k=2，所以正比例函数解析式为y=2x；（3）点B（2，3）不在正比例函数图象上，理由如下：将x=2代入y=2x，得y=2×2=4≠3，所以点B（2，3）不在正比例函数y=2x的图象上．点评：利用反比例函数的解析式求出交点的坐标是解题的基础，横坐标相同，比较给定的纵坐标值与代入解析式所得函数值是否相同，是判定点是否在函数图像上的常用方法，要灵活应用.5、已知反比例函数与正比例函数的一个交点的坐标，探求两个函数的解析式例5已知正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象有一个公共点A（1，2）．（1）求这两个函数的表达式；（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．分析：（1）分别把A点坐标代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出a与b的值，从而确定两函数解析式；（2）先画出y=2x和y=2x的图象，根据对称性得到两函数的另一个交点B与点A关于原点对称，则B点坐标为（﹣1，﹣2），然后观察图象得到当﹣1＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即正比例函数值大于反比例函数值．解：（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2，所以正比例函数解析式为y=2x；把A（1，2）代入y=得b=1×2=2，所以反比例函数解析式为y=2 x；（2）如图，当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．点评：解题时，要注意把握：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式；交点的原点对称性；掌握一种解题方法---待定系数法；理解一种数学思想—数形结合的思想.6、已知正比例函数的解析式，图形揭示一个交点的横坐标，探求反比例函数的解析式例6如图2，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=- x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点．①根据图象求k的值；②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P 所有可能的坐标．分析：①利用正比函数的解析式和点A 的横坐标，求出点A 的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可；②解答时，要分以A 为直角顶点，以B 为直角顶点，以P 为直角顶点，三种情形求解． 解：①把x=﹣1代入y=﹣x 得：y=1，即A 的坐标是（﹣1，1），因为反比例函数y=k x 经过A 点，所以k=﹣1×1=﹣1；②点P 的所有可能的坐标是（0，（0），（0，2），（0，﹣2）．点评：解答时，充分发挥了数形结合思想和分类讨论思想的作用，希望同学们要熟记这些重要的数学思想．7、已知图形揭示一个交点的坐标，探求自变量的取值范围例7如图3，正比例函数1y 与反比例函数2y 相交于点E （﹣1，2），若1y ＞2y ＞0，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．分析：根据两函数的交点坐标，结合图象即可求出x 的范围，再在数轴上表示出来，即可得出选项．解：因为正比例函数y 1与反比例函数y 2相交于点E （﹣1，2），所以根据图象可知当1y ＞2y ＞0时x 的取值范围是x ＜﹣1，所以在数轴上表示为：，所以选A ．点评：利用数形结合的思想，以交点的横坐标为标准，求出符合条件的x 的范围是解题的关键．8、已知正比例函数的解析式，根据三角形的面积，探求反比例函数的k 值例8如图4，点P 是正比例函数y=x 与反比例函数y=k x在第一象限内的交点，PA⊥OP 交x 轴于点A ，△POA 的面积为2，则k 的值是 ．分析：过P 作PB⊥OA 于B ，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA 为等腰直角三角形，所以OB=AB ，于是三角形POB 的面积=12三角形POA 的面积=12×2=1，然后根据反比例函数y=k x（k≠0）系数k 的几何意义即可得到k 的值． 解：过P 作PB⊥OA 于B ，因为正比例函数的解析式为y=x ，所以∠POA=45°，因为PA⊥OP，所以△POA为等腰直角三角形，所以OB=AB，所以三角形POB的面积=12三角形POA的面积=12×2=1，所以12k=1，所以k=2．点评：系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．等腰直角三角形的性质也是解题必不或缺的重要条件．9、已知正比例函数和反比例函数的解析式，探求四边形的面积例9如图5，函数y=﹣x与函数y= -4x的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．解：因为过函数y= -4x的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，所以S△AOC=S△ODB=|k|=2，因为OC=OD，AC=BD，所以S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，所以四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．所以选D．点评：反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点,同学们要熟练掌握．10、已知正比例函数的解析式，图形揭示一个交点的横坐标，探求反比例函数的解析式例10如图6，直线y=2x与双曲线y=2x在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）A. (1,0)B. (1,0)或(-1,0)C. (2,0)或(0,-2)D. (-2,1)或(2,-1)分析：联立直线与反比例解析式，求出交点A 的坐标，将△ABO 绕点O 旋转90°，得到△A ′B ′O ，利用图形及A 的坐标即可得到点A ′的坐标．解：联立直线与反比例解析式得22y x y x ì=ïïïíï=ïïî，消去y 得到：2x =1，解得：x=1或x=﹣1， 所以y=2或﹣2，所以A （1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示， 可得A ′B ′=A ′′B ′′=AB=2，OB ′=OB ′′=OB=1，根据图形得：点A ′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．所以选D ．点评：利用坐标与图形变化﹣旋转，作出相应的图形是解本题的关键．11、已知正比例函数的解析式，图形揭示一个交点的横坐标，探求反比例函数的解析式 例11 如图7，直线y=x+a －2与双曲线y=x 4交于A ，B 两点，则当线段AB 的长度取最小值时，a 的值为（ ）．A ．0 B ．1 C ．2 D ．5分析： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A 、B 、O 三点共线时，才会有线段AB 的长度最小即OA OB AB +=，（当直线AB 的表达式中的比例系数不为1时，也有同样的结论）.解： 把原点（0，0）代入2y x a =+-中，得2a =，所以选C.点评：只有直线经过原点时，交点线段的长度才会有最小值.。
正比例函数和反比例函数分析
第21课 正比例函数和反比例函数二、【考点整合举例】正比例函数的概念．用待定系数法求函数解析式的方法．如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．如图1，正比例函数图像经过点A ，该函数解析式是 ． 1、如果正比例函数的图像经过点（－2，5），那么这个函数的解析式为 ．2、如果反比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．反比例函数)0(>=k xky 的性质及数形结合的能力 在直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k xky 的图像上的一点分别作x,y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形的面积是12，那么该函数解析式是 .1、已知y 与x-1成正比例，且图像经过（2，-3）求y 与x 之间的函数解析式 ___。
2、下列函数中，y 随着x 的增大而减少的是 （ ）（A ） x y 4= （B ）x y 4-= （C ）xy 4=（D ）x y 4-=反比例函数图像的性质及从图上获取信息的能力。
（多选题）在函数y=xk（k>0）的图像上有三点),(111y x A 、),(222y x A 、),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）（A ）310y y << （B ）130y y << （C ）312y y y << （D ）213y y y <<图1（多选题）若点（－1，y 1），（－2，y 2），（2，y 3）在反比例函数y=－x1的图像上，则下列结论中错误的是 （ ）（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >> 例1．反比例函数y ＝xk 的图像经过点P （m ，n ），其中m 、n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，求点P 的坐标．例2. 如图，正比例函数y ＝kx （k ＞0）与反比例函数y ＝x1的图像相交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，连结BC ，设△ABC 的面积为S ，求S .(1) 反比例函数x2y =，当x=－2时，y 的值为 （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 (2) 如图，A 、C 是函数y ＝x1的图像上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则 （ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＜S 2（C ）S 1＝S 2（D ）S 1和S 2的大小关系不能确定(3) 在同一直角坐标系中，函数y =3x 与y =－x1的图像大致是 （ ）（A ）（B ）（C ）（D ）(4) 已知正比例函数y ＝（2m －1）x 的图像上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜21（B ）m ＞21 （C ）m ＜2 （D ）m ＞02、填充题：(1) 已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数解析式是________． (2) 一个反比例函数在第二象限的图像如图所示，点A 是图像上任意一点，AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，那么这个反比例函数的解析式是y ＝___________． (3) 已知反比例函数y ＝（m －1）23m x -的图像在第二、四象限，则m 的值为_________．(4) 点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x1的图像上若a ＜0，则b ____c （填“＞”或“＜”或“＝”）．1、选择题：（1）已知反比例函数y ＝xm21-的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜0（B ）m ＞0（C ）m ＜21 （D ）m ＞21 （2）若点（3，4）是反比例函数y ＝kx图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ） （A ）（2，6）（B ）（2，－6） （C ）（4，－3） （D ）（3，－4）（3）在同一直角坐标系中，正比例函数y =x 与反比例函数y =－x1的图像大致是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2、填充题：(1) 已知函数y ＝kx 的图像经过（2，－6），则函数y ＝xk的解析式可确定为____________． (2) 点A （1，m ）在函数y =2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是______________． (3) 设有反比例函数y ＝xk 1，（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为其图像上的两点，若x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是________．3、解答题：(1) 正比例函数y=kx 的图像与反正比例函数y=x 21的图像交于A （21，m ），正比例函数y=kx 的图像与反比例函数y=x'k 的图像相交于点B （n,4），求k 和k ’． (2) 已知正比例函数y =kx 与反比例函数y =x3的图像都过A （m ，1）点．求：①正比例函数的解析式；②正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标． (3) 已知正比例函数y ＝4x ，反比例函数y ＝xk ． ①求：k 为何值时，这两个函数的图像有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图像没有交点？②这两个函数的图像能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．考点一：y ＝2x ；y ＝3x .变式演练：1.y ＝5x 2－；2.y ＝8x.考点二：y ＝12x.变式演练：1.y=-3x+3；2.B.考点三：A 、C . 变式演练：B 、C 、D.（二）综合例题：例1：P 点的坐标为（－2，－2） 例2： S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ＝1．【双基热身反馈】 1. 选择题：（1） B ；（2）C ；（3）D ；（4）A2、填充题：（1）y ＝2x ＋2；（2）y ＝6x.；（3）－2；（4）＜【复习巩固自测】 1、选择题：（1）C ；（2）A ；（3）D2、填充题：（1）y ＝3x－.；（2）（－1，2）；（3）k ＜－13、解答题：（1）解：∵A(21,m)在y=x 21图像上，∴得m=1， A(21,1)．∵A 又在y=kx 图像上，∴得k=2．∵B （n ，4）在y=2x 图像上，∴4=2·n ，n=2，∴B(2,4)．而B 点又是y=x'k 的图像上，∴4=2'k ，k ’=8．（2）①y ＝1x 3；.②（－3，－1）（3）①解：把y ＝4x 代入y ＝x k ，得 4x 2－k ＝0, ∴ x 2＝4k ；由已知，k ≠0，且（ⅰ）当k ＞0时，有x ＝2k 或x ＝－2k； 所以，两函数图像有两个交点（2k ，2k ）和（2k，－2k ）； （ⅱ）当k ＜0时，4k＜0，x 的值不存在，所以两函数图像没有交点； ②若两个图像只有一个交点，只需方程x 2＝4k 有唯一解，即仅当k ＝0时两个图像只有一个交点．但由已知函数y ＝xk可知，应有k ≠0，所以两个图像只有一个交点是不可能存在的．。
2020中考数学精选例题解析：正比例函数与反比例函数
参考答案
一、选择题：CCCAC 二、填空题：
1、－2；2、（1，1）或（－1，－1）；3、 k 2 ， 2 5 ；4、（ 1 ， 2 ） 2
5、（－1，2） 三、解答题：
1、 y 2 2 2 ；2、（1） y 1 x 2 5 ；（2） 5 9 2 ；
（4）当点 P 在曲线 y 1 上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角 2x
中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。
解析：（1）点 E（ a ，1 a ），点 F（1 b ， b ）
（2） S EOF S矩形MONP S EMO S FNO S EPF
＝ ab 1 a(1 a) 1 b(1 b) 1 (a b 1)2
根，则 k ＝
，点 A 到原点的距离是
。
5
4、已知直线 y (m 2n)x 与双曲线 y 3n m 相交于点（ 1 ，2），那么它们的另一
x
2
个交点为
。
5、如图，Rt△AOB 的顶点 A 是一次函数 y x m 3的图像与反比例函数 y m x
的图像在第二象限的交点，且 SABO 1，则 A 点坐标是
的解析式是
。
2、已知点 P（1， a ）在反比例函数 y k （ k ≠0）的图像上，其中 a m2 2m 3 x
（ m 为实数），则这个函数的图像在第
象限。
3、如图，正比例函数 y kx （ k ＞0）与反比例函数 y 3 的图像交于 A、C 两点，AB x
⊥ x 轴于 B，CD⊥ x 轴于 D，则 S四边形ABCD ＝
④如果
P1（
x1
，
y1
正比例反比例的相同点和不同点
正比例反比例的相同点和不同点
正比例和反比例是初中数学中常见的概念。
虽然它们是截然不同的两种关系，但它们也有一些相同点和不同点。
相同点：
1. 都是一种函数关系。
正比例和反比例都可以写成函数形式，其中正比例函数是y=kx，反比例函数是y=k/x，其中k是常数。
2. 都可以用比例式表示。
正比例和反比例都可以用比例式表示，其中正比例式是y/x=k，反比例式是yx=k。
3. 都可以画出直线图像。
正比例和反比例的函数图像都是直线，其中正比例函数的图像是一条通过原点的直线，而反比例函数的图像是一条不通过原点的直线。
不同点：
1. 关系不同。
正比例是两个变量之间的直接关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也随之增加；而反比例是两个变量之间的间接关系，即随着一个变量的增加，另一个变量反而会减小。
2. 函数形式不同。
正比例和反比例的函数形式不同，其中正比例是y=kx，反比例是y=k/x，其中k是常数。
3. 比例式不同。
正比例和反比例的比例式也不同，其中正比例式是
y/x=k，反比例式是yx=k。
4. 直线图像不同。
正比例和反比例的直线图像也不同，其中正比例函数的图像是一条通过原点的直线，而反比例函数的图像是一条不通过原点的直线。
正比例和反比例是两种截然不同的函数关系，虽然它们有一些相同点，但更多的是不同点。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来判断是应该使用哪种函数形式来描述变量之间的关系。
正比例反比例函数性质
04
正反比例函数在生活中的 应用实例
正比例关系在生活中的应用举例
01 02
速度、时间和距离之间的关系
在匀速直线运动中，速度是恒定的，因此时间和距离成正比。例如，如 果一辆汽车以恒定速度行驶，那么它行驶的时间越长，行驶的距离就越 远。
工资和工作时间的关系
在计时工资制中，工资通常与工作时间成正比。例如，如果一名工人每 小时的工资是固定的，那么他工作的时间越长，获得的工资就越高。
指数函数与对数函数
形如 y = a^x（a > 0, a ≠ 1）和 y = log_a(x)（a > 0, a ≠ 1）的函 数。具有独特的增减性、图像特征以及在实际问题中的应用。
THANKS
求解正比例函数相关数学问题方法技巧
01
确定比例系数
根据题目条件，确定正比例函 数的比例系数k，通常利用已知
的一组对应值来求解。
02
利用图象求解
画出正比例函数的图象，利用 图象的直观性来求解相关问题 ，如求交点、判断函数值大小
等。
03
利用函数性质
利用正比例函数的性质，如增 减性、对称性等，来求解相关
综合运用正反比例关系解决问题
农业生产中的施肥问 题
农业生产中需要合理施肥以保证作物 生长。施肥量与作物产量之间通常存 在正比关系，即施肥量增加，作物产 量也相应增加。然而，过量施肥会导 致土壤污染和作物生长受阻。因此， 需要综合运用正比和反比关系来确定 最佳施肥量。
城市规划中的交通拥 堵问题
城市规划中需要解决交通拥堵问题。 一方面可以通过增加道路容量来提高 交通流量（正比关系），另一方面也 可以通过提高公共交通使用率来减少 私家车出行（反比关系）。综合运用 这两种方法可以有效缓解城市交通拥 堵问题。
正比例的性质和反比例的性质分析
正比例的性质和反比例的性质正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。
正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对应的两个数值的比。
例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。
如下表：从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2 : 4=0.5 ;路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120：240=0.5。
这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。
从逆向看’时间上外时与3小时的比为5^ 3=1^;路程上印卜时所行的千狀数与3小时所行千米数的比为颈；180 = 1|,这两个比的比值相搴具备了正比例的性质。
反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。
例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。
如下表：从顺向看』台数上侦台与300台的比^100* 300 = L耳所对应天数比的反比为4； 12 = L两个比的比值相等”具备了反比例的性质°从逆向看：台数上400台与200台的比为400：200=2;其对应天数比的反比为6 : 3=2。
两个比的比值相等，具备了反比例的性质。
在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。
_]不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。
因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。
“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。
在两个比中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为反比。
正比例函数与反比例函数的交点规律
正比例函数与反比例函数的交点规律一、引言正比例函数与反比例函数是初中数学中的重要概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在探究正比例函数与反比例函数的交点规律，为初学者提供更深入的理解。
二、正比例函数与反比例函数的定义1. 正比例函数正比例函数是指两个量之间的关系是成正比例的，即当一个量增加时，另一个量也随之增加，并且它们之间存在一个固定的比值。
其一般形式为y=kx（其中k为常数，称为比例系数）。
2. 反比例函数反比例函数是指两个量之间的关系是成反比例的，即当一个量增加时，另一个量会随之减少，并且它们之间存在一个固定的积值。
其一般形式为y=k/x（其中k为常数，称为比例系数）。
三、交点规律1. 两个正比例函数相交当两个正比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据两个正比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1x=k2x，解得x=k1/k2。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
2. 两个反比例函数相交当两个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据两个反比例函数的一般形式y1=k1/x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1/x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
3. 一个正比例函数和一个反比例函数相交当一个正比例函数和一个反比例函数相交时，它们会在第一象限内相交。
根据正比例函数和反比例函数的一般形式y1=k1x和y2=k2/x，在第一象限内它们会有一个共同点(x,y)，使得y1=y2。
因此有k1x=k2/x，解得x=sqrt(k1/k2)。
将x代入任意一个函数的一般形式中即可求出y。
四、实际应用正比例函数与反比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
例如：1. 正比例函数：工人的工资与工作时间成正比；购买某种商品的数量与花费金额成正比等。
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y
A
M
O
x
B
=6
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
(3)点P是x轴上一点，且满足 △PAB的面积是9，求点P的坐标。
y
A
M
O
x
B
3．利用交点确定取值范围
（4）并利用图像指出，当x为何值时有y1＞y2； 当x为何值时有y1＜y2
y
A
M
O
x
B
4如.利图，用反交比点例函确数定y1不 m等x（式m≠的0）解的集图和象与方一程次的函解数
D
(1 ,E4)
(4 ,1)
C
(3)求△OPQ的面积y .
P (1,4)
Q (4 ,1) E
0C D
x
问题1 如图,过A作AD⊥x轴于D,连结OA,C是
图像第一象限内的一个动点。
y
拓 展
A (2，4)
延
C
伸
E
O DF x
（2）在图中你能找出面积相等的部分吗？
拓展延伸
（3）如图,过A作AD⊥x轴于D,连结OA, y 若C点坐标为（4，2），则SΔACO =＿＿＿
数图像第一象限上的一
个动点,若连结BC恰好
4
经过点D，求此时点C的
2
坐标；
O
-10
-5
E
-2
B
-4
-6
-8
A C
D
5
• 收获： “三二一”
数形结合思想
三种数学思想：
转化思想
分类讨论思想
两种解题方法：
面积不宜求的图形
特殊图形
（等积变形）
动点问题抓不变关系、不变量
一个学习建议： 经常思考一题多变、一题多法
y k2 的图象相交于A、B两点,其中点 x
A的坐标为(2，4)
(1)分别写出这两个函数的表达式；y
(2)你能求出点B的坐标吗？ 你是怎样求的？
o
A
x
B
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
（3）写出反比例函数值大于正比例函 数值的x的范围
y
A o
x
B
正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x有交 点,则k1和k2应满足什么条件?
y
K1_＞__0
y
K1_＜__0
o
x K2_＜__0
o
x K2_＞__0
b__＞__0
(1)
b _＜___0
(2)
2.函数y=ax-a 与 y a (a 0) 在同一
x
直角坐标系中的图象可能是 D :
y
y
y
y
ox
o
x
ox
ox
A
B
C
D
3.一次函数
与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象的大致位置是图
若有交点,则k1和k2同号; 即k1k2>0.且两个交点 关于原点成中心对称. 若没有交点,则k1和k2异
号;即k1k2<0.
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
探究二 反比例函数与一次函数的交点问题
1．利用交点求函数解析式
例3、如图,已知一次函数y1=kx+b的图 象与反比例函数y2=-8/x的图象交于A、 B两点, 且点A的横坐标和点B的纵坐标
变式1：直接写出不等式 x+2 解： X＜-3 或0＜ X ＜ 1
x ＜0的解集
变式2：试比较y1、y2的大小 解：
X=-3
X=0yX=1
① 当-3＜X＜0 或X ＞1时 ,y1＜y2 -3＜X＜0 M（1，3）
②当X＜-3 或0＜X＜1时 ,y1＞y2
X ＞1
∟ ∟
③当X=-3 或X =1时 ,y1=y2
y2=x+2的图象交于点M，N，已点M的坐标为M（1，3），
点N的纵坐标为－1，回答下列问题：
（1）m= 3 ，点N
X=-3
的坐标为 N（-3，-1）
X=0yX=1
（2）直接写出不等式
m x+2＞ x 的解集
解：-3＜X＜0 或X ＞1
∟ ∟
M（1，3） -3＜X＜0
X ＞1
o
x
N（-3，-1）
m
Q(4,m)．
k(2)直接写出不等式-来自 +b ≥ 的解集；x
x 0或1 x 4
比一比:如图,已知反比例函数
y1
k x
(k≠0)的
图象与一次函数y2=-x + b相交于点P(1,4),
Q(4,m)．
(3)求△OPQ的面积.
(1 ,4) (4 ,1)
E F(5,0)y=-x+5
(3)求△OPQ的面积。
探究一：反比例函数与一次函数图象的共存问题: 的例图1像.在大同致一如坐下标,则系中k1,函、数k2y、bk各x1 应和满y=足k2什x么+b条 件 ?说明理由.
y
K1_＞__0
y
K1_＜__0
o
x K2_＞__0
o
x K2_＜__0
b_＞___0
(1)
b __＜__0
(2)
的变图式像:在大同致一如坐下标,则系k中1,、函k数2、y bk各x1 应和满y=足k什2x么+b条 件 ?说明理由.
中的（ C）
， ，
4.正比例函数y=2kx与反比例函数y=
k
1 x
在同一坐标系中的图像不可能是（ C ）
5.已知反比例函数y
k x
(k
0) 当x＜0时，图
象位于第三象限，则一次函数y=kx-k的图
象不经过第 二 象限.
y
o
x
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
o
x
（N -3，-1）
比一比:如图,已知反比例函数
y1
k x
(k≠0)的
图象与一次函数y2=-x + b相交于点P(1,4),
Q(4,m)．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
y1
4 x
y2 x 5
比一比:如图,已知反比例函数
y1
k x
(k≠0)的
图象与一次函数y2=-x + b相交于点P(1,4),
复习引入：
在同一平面直角坐标系中,若一次函数 y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点
M的坐标为 (2,1) . y
y=-x+3 y=3x-5
M
o
x
初中数学 八年级(下册)
11.2 反比例函数的图像与性质（3） 反比例函数与一次函数的交点问题
探究一 反比例函数与正比例函数的交点问题
例1.如图,正比例函数y=k1x与反比例函数
都是-2,求:(1)一次函数的解析式; y
解：由题意得：A(-2,4),B(4,-2),
A
又因点A,B在y1=kx+b的图象上 所以４＝－２k+b,-2=4k+b 解得K=-1,b=2,即y=-x+2
M
O
x
B
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
2．利用交点求图形面积 (2)求△AOB的面积.
由（１），A(-2,4),B(4,-2) 直线AB:y=-x+2,则点M(2,0)
A (2，4)
C(4，2) E
O DF x
问题2
(1)延长CO、AO交图像
的另一分支于点E、B，
连结AF、BF，四边形
8
y 6
AEBC是什么特殊四边
A (2,4)
形?
4
-5
E
2
O
D
-2
-4
B
C
5
(2)在C点的运动过程中， 猜想是否存在着四边形
10
AEBC是其他特殊平行四 边形?
（3）点C是该反比例函 6