反比例函数和正比例函数的问题

S△AOB=S△AOM+S △BOM =4+2
y
A
M
O
x
B
=6
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
(3)点P是x轴上一点，且满足 △PAB的面积是9，求点P的坐标。
y
A
M
O
x
B
3．利用交点确定取值范围
（4）并利用图像指出，当x为何值时有y1＞y2； 当x为何值时有y1＜y2
y
A
M
O
x
B
4如.利图，用反交比点例函确数定y1不 m等x（式m≠的0）解的集图和象与方一程次的函解数
若有交点,则k1和k2同号; 即k1k2>0.且两个交点 关于原点成中心对称. 若没有交点,则k1和k2异
号;即k1k2<0.
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
探究二 反比例函数与一次函数的交点问题
1．利用交点求函数解Biblioteka Baidu式
例3、如图,已知一次函数y1=kx+b的图 象与反比例函数y2=-8/x的图象交于A、 B两点, 且点A的横坐标和点B的纵坐标
y2=x+2的图象交于点M，N，已点M的坐标为M（1，3），
点N的纵坐标为－1，回答下列问题：
（1）m= 3 ，点N
X=-3
的坐标为 N（-3，-1）
X=0yX=1
（2）直接写出不等式
m x+2＞ x 的解集
解：-3＜X＜0 或X ＞1
∟ ∟
M（1，3） -3＜X＜0
X ＞1
o
x
N（-3，-1）
m
探究一：反比例函数与一次函数图象的共存问题: 的例图1像.在大同致一如坐下标,则系中k1,函、数k2y、bk各x1 应和满y=足k2什x么+b条 件 ?说明理由.
y
K1_＞__0
y
K1_＜__0
o
x K2_＞__0
o
x K2_＜__0
b_＞___0
(1)
b __＜__0
(2)
的变图式像:在大同致一如坐下标,则系k中1,、函k数2、y bk各x1 应和满y=足k什2x么+b条 件 ?说明理由.
o
x
（N -3，-1）
比一比:如图,已知反比例函数
y1

k x
(k≠0)的
图象与一次函数y2=-x + b相交于点P(1,4),
Q(4,m)．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
y1

4 x
y2 x 5
比一比:如图,已知反比例函数
y1

k x
(k≠0)的
图象与一次函数y2=-x + b相交于点P(1,4),
复习引入：
在同一平面直角坐标系中,若一次函数 y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点
M的坐标为 (2,1) . y
y=-x+3 y=3x-5
M
o
x
初中数学 八年级(下册)
11.2 反比例函数的图像与性质（3） 反比例函数与一次函数的交点问题
探究一 反比例函数与正比例函数的交点问题
例1.如图,正比例函数y=k1x与反比例函数
A (2，4)
C(4，2) E
O DF x
问题2
(1)延长CO、AO交图像
的另一分支于点E、B，
连结AF、BF，四边形
8
y 6
AEBC是什么特殊四边
A (2,4)
形?
4
-5
E
2
O
D
-2
-4
B
C
5
(2)在C点的运动过程中， 猜想是否存在着四边形
10
AEBC是其他特殊平行四 边形?
（3）点C是该反比例函 6
y
K1_＞__0
y
K1_＜__0
o
x K2_＜__0
o
x K2_＞__0
b__＞__0
(1)
b _＜___0
(2)
2.函数y=ax-a 与 y a (a 0) 在同一
x
直角坐标系中的图象可能是 D :
y
y
y
y
ox
o
x
ox
ox
A
B
C
D
3.一次函数
与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象的大致位置是图
中的（ C）
， ，
4.正比例函数y=2kx与反比例函数y=
k
1 x
在同一坐标系中的图像不可能是（ C ）
5.已知反比例函数y

k x
(k

0) 当x＜0时，图
象位于第三象限，则一次函数y=kx-k的图
象不经过第 二 象限.
y
o
x
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
都是-2,求:(1)一次函数的解析式; y
解：由题意得：A(-2,4),B(4,-2),
A
又因点A,B在y1=kx+b的图象上 所以４＝－２k+b,-2=4k+b 解得K=-1,b=2,即y=-x+2
M
O
x
B
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
2．利用交点求图形面积 (2)求△AOB的面积.
由（１），A(-2,4),B(4,-2) 直线AB:y=-x+2,则点M(2,0)
D
(1 ,E4)
(4 ,1)
C
(3)求△OPQ的面积y .
P (1,4)
Q (4 ,1) E
0C D
x
问题1 如图,过A作AD⊥x轴于D,连结OA,C是
图像第一象限内的一个动点。
y
拓 展
A (2，4)
延
C
伸
E
O DF x
（2）在图中你能找出面积相等的部分吗？
拓展延伸
（3）如图,过A作AD⊥x轴于D,连结OA, y 若C点坐标为（4，2），则SΔACO =＿＿＿
变式1：直接写出不等式 x+2 解： X＜-3 或0＜ X ＜ 1
x ＜0的解集
变式2：试比较y1、y2的大小 解：
X=-3
X=0yX=1
① 当-3＜X＜0 或X ＞1时 ,y1＜y2 -3＜X＜0 M（1，3）
②当X＜-3 或0＜X＜1时 ,y1＞y2
X ＞1
∟ ∟
③当X=-3 或X =1时 ,y1=y2
y k2 的图象相交于A、B两点,其中点 x
A的坐标为(2，4)
(1)分别写出这两个函数的表达式；y
(2)你能求出点B的坐标吗？ 你是怎样求的？
o
A
x
B
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
（3）写出反比例函数值大于正比例函 数值的x的范围
y
A o
x
B
正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x有交 点,则k1和k2应满足什么条件?
数图像第一象限上的一
个动点,若连结BC恰好
4
经过点D，求此时点C的
2
坐标；
O
-10
-5
E
-2
B
-4
-6
-8
A C
D
5
• 收获： “三二一”
数形结合思想
三种数学思想：
转化思想
分类讨论思想
两种解题方法：
面积不宜求的图形
特殊图形
（等积变形）
动点问题抓不变关系、不变量
一个学习建议： 经常思考一题多变、一题多法
Q(4,m)．
k
(2)直接写出不等式-x +b ≥ 的解集；
x
x 0或1 x 4
比一比:如图,已知反比例函数
y1

k x
(k≠0)的
图象与一次函数y2=-x + b相交于点P(1,4),
Q(4,m)．
(3)求△OPQ的面积.
(1 ,4) (4 ,1)
E F(5,0)y=-x+5
(3)求△OPQ的面积。