§4.4 变化率与相关变化率

变化率与相关变化率
内容小结与作业
1. 变化率 变化率问题即导数问题
2. 相关变化率
变化率之间的关系
变化率与相关变化率
作业:教材 210-213页 2，4，6，12，14，15
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例5 某企业生产件产品的成本为 （元）， 则边际成本函数为 （元/件）． 特别，当生产规模为500件时，边际成本为 （元/件）． 下表给出了当 的比较． 时, C ( x ) 与 C
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
下表给出了当
的比较．
产量 x 100 200 300 400 500
函数，则其体积 V 也是时间 t 的可微函数，试求 出变化率
、
和
的关系．
解 由圆锥的体积计算公式有
其中 都是 由函数的求导 的可微函数．于是，
法则有
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 设 t 分钟时，容器中水面高度为 h ，此时容器中水 的体积为 4t 立方米，且水面圆半径为 所以，可以建立下面的方程 即
．
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大． 因此在治理污染方面，企业甲比企业乙效果更明显．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 要局部考虑排 污量的减少程 度，我们同样
可以考虑下面
的极限
该值越大，说明减少得越快，污染治理越有成效．
随时发生变化， 设在t (s) 时通
则在 t 到 t +△t 时间内 过导体横截面的电量为Q(t) (C) ， 通过导体横界面的平均电流为
因此在时的电流为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 设达标的时间 为t0，两企业 同时达标，即 有W1(t)=W2(t) . 从图中可以看出
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解（3）当运动员跃入水面时，
，
即
解得 的时间为 于是 ，即从起跳到入水
所以，运动员入水时的速度
为15.4494 m/s．
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
2
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例2 设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度 为l (m)质量为m (kg) ，则该细杆的线密度（即单位长度 上的质量）为 ．今有一长度为l , 质量分布 ，
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
当
米时，水面上升的速度为
（米/分钟）
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例8 现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航 行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km， 此时速度为 15 km/h；乙船向东航行了15 km ，此时 速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ， 速度是多少 ？ 解 如图，设在时刻甲船航行的距离为 t ，
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
导数在经济学中的应用 边际通常指经济变量的变化率．因此，边际成本、 边际收入和边际利润分别为成本函数、收益函数和利润 函数的导数，即 R( x )为边际收入， L( x )为边际利润． C ( x) 为边际成本， 由于需求或供给量多为离散的量，因此所谓的边际 成本通常定义为
x
，乙船航行的距离为
两船的距离为 , 则
，
40
z
y
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
将上式两边对
求导 ，得
40
x
当
时，
．且有
y
z
因此， 所以观测时两船相距25 彼此远离 ．
, 它们正以3
dz 30 dt
的速度
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
解决相关变化率问题的一般步骤为： 1. 画出示意图，为各相关变量命名，并标注在示 意图中； 2. 用变量符号写出已知数据，并注意统一量纲； 3. 正确建立各变量之间的关系，这是非常重要 的一步； 4. 对所建立的关系式关于时间（或其它属性的 变量）求导数，得含有导数的关系式； 5. 根据已知条件，计算出要求的变化率．
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
C C ( x 1) C( x),
C 解释为“当 对边际收入和边际利润也是如此．这里， 产量为时，增加一个单位产量所需增加的成本”．由于 通常远大于1，所以由近似公式，有
C( x) C C ( x 1) C ( x), 因此，将 C ( x ) 和 C 同称为边际成本．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
时运动员上升的速度为0，
此时运动员跃上最高点， 随后开始下降．
非均匀的细杆，其质量分布函数为
求其在任一点处的线密度．
解 如图建立坐标，取小段
，则该
小段的平均密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
小段的平均密度为
因此，在
处的线密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
Baidu Nhomakorabea
例3 我们知道，导体中电荷的定向流动产生电流， 电流 的大小就是单位时间内通过导体横截面的电量，如图. 如果流经导体横截面的电荷