§4.4 变化率与相关变化率
高等数学---隐函数
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
参数方程的导数及相关变化率问题
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
相关变化率
例.求下列曲线的渐近线
（1） y 1 ； 1 x2
解：（1）∵
lim
x
1
1 x
2
0，
∴直线
y
0
是曲线
y
1
1 x
2
的水平渐近线。
∵ lim 1 ， lim 1 ，
x 11 x 2
x11 x2
∴直线 x 1 和x 1 是曲线y 1 的垂直渐近线。 1 x2
（2） y x2 . x 1
( x)
2
(
x
a)
1 3
2
1
,x a
3
3 3 xa
易知f (x)没有驻点,只有一个不可导点 x a. 列表讨论如下:
x
a
f (x)
f (x)
无
极小值
f (a) 2 a
y a
结论:Ox源自(1)当f (a) 2 a 0即a 2时,由零点定理知:
f (x)有二个零点(如右图);
(2)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)仅有一个零点x a(如右图);
(3)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
y
Oa x y
Oa x
(1)当a 2时, (2)当a 2时, (3)当a 2时,
原方程有二个实根; 原方程仅有一个实根; 原方程没有实根.
渐近线
定义：若曲线 y f (x) 上的
y
动点 P(x, y) 沿着曲线无限
则底半径的膨胀速率如何? 解:
(1)V 1 r2h 1 r3, dV r 2 , dV 25
3
3
dr
dr r5
(2) dV r2 dr ,
相关变化率一阶高阶导数
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
相关变化率——精选推荐
2.4.3相关变化率相关变化率问题是指：在某一变化过程中变量 ,,y x ，它们都与变量t 有关，且它们之间有关系式0),,(= y x F ，知道了其中一些变量对t 的变化率，要求另外一些变量对t 的变化率。
求相关变化率的步骤：（1）建立变量 ,,y x 之间的关系式0),,(= y x F ；（2）将关系式0),,(= y x F 两边对t 求导（注意到 ,,y x 都是t 的函数），从而得各变量对t 的变化率之间的关系式；（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并求出所要求的变化率。
例1．一架直升飞机在m 500高空，以s m /50的均匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线与地面夹角θ 为。
求当3π=θ时，t 对θ的变化率。
解：以直升飞机飞过观察者头顶时算起的距离为x ， 显然x ，θ均为t 的函数，已知飞机的速度50=dt dx 米/秒，求3π=θ时的dtd θ。
θ=ctg x 500，dt d dt dx θθ-=)csc (5002， dtdx dt d θ-=θ2sin 5001， 当3π=θ时，23sin =θ，50=dt dx米/秒，代入上式得075.03-=θπ=θdtd 弧度/秒，负号表示θ随时间 t 增加而减少。
例2．某人以m 2/s 的速度通过一座桥，桥面高出水面m 20，在此人的正下方有一条小船以m 34/s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经s 5后，人与小船相分离的速度。
解：设经t 秒钟后船与人的距离为m s ，人行走距离为m x ，船航行距离为m y ， 则222220)()()(++=t y t x t s ，所建立的方程并不是s 与t 的直接函数关系， 但因为所求的是dt ds v =，且已知2=dt dx，34=dt dy ，所以可借助于相关变化率来求。
dt dy ydt dx x dt ds s222+=， ∵当5=t 时，10=x ，320=y ， ∴37020)320(10222=++=s ， ∴)/(2126370343202105s m dt ds t =⋅+⋅==. §2.5高阶导数与高阶微分2．5．1显函数高阶导数定义 若函数)(x f y =的导数)(x f y '='在x 点可导，则称)(x f y '='在x 点的导数为)(x f y =在x 点处的二阶导数，记作)(x f ''，或y ''，或22dxy d ，即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim)(0，)(''=''y y ， ])([)(''=''x f x f ，)(22dxdy dx d dx y d =。
(2.6) 第六节 变化率问题举例及相关变化率(少学时简约型)
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
方向一致的时间段，即 v( t )> 0 的情形，于是令 v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 )> 0，
dm dx
1 2x
0.50kg m.
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化 率往往能由其它变化率计算出来。
xF y
t
dy dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 .
若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
解得 t < 1 和 t > 3 .
• 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，
而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t < 1 和 t > 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1< t < 3 时，质点沿数轴反向运动。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
高等数学高阶导数及相关变化率
5 ( x 2)1 1 ( x 1)1
例4 计算下列函数的n阶导数：
(1) y
x2 sin 3x(2) y
sin6
x
cos6
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
.
解
d2x dy2
d dy
( dx ) dy
d dy
1 y
d ( 1 ) dx dx y dy
1 ( y)2
d dx
( y)
1 y
y ( y)2
1 y
(
y y)3
2)间接法 ★ 高阶导数的运算法则
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
解 (1)(e x )(n) e x 一般：(ax )(n) ax (ln a)n
(2) y (sinx) cos x sin(x )
2
y cos(x ) sin(x ) sin(x 2 )
2
22
2
y cos(x 2 ) sin(x 3 )
2
2
y(n) (sinx)(n) sin(x n )
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk)v(k) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
莱布尼兹公式
k0
隐函数求导
一、隐函数的导数
第二章
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
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一、隐函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为 隐函数.
y f ( x) 形式的函数称为 显函数 .
F ( x, y) 0
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若 可确定 y 与 x 间的函数关系, y (t ) 称此函数为由此 参数方程所确定的函数 .
例如
x 2 得 , 此参数方程确定的函数 y t ( ) , 2 2 x 即 y y( x ) . 4 问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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三、相关变化率：
解法: 通过建立两个变量之间的关系, 就将它们的 变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率.
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思考与练习
1. 设 y (sin x)
tan x
x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数求导法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用1. 引言相关变化率问题是数学中一个重要而复杂的概念，涉及到微积分和函数的导数。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的相关变化率问题，比如物体的速度、加速度、成本的边际变化等等。
掌握相关变化率问题的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将从基础概念入手，逐步展开相关变化率问题的求解方法及应用。
2. 相关变化率问题的基本概念相关变化率问题涉及到两个变量之间的关系，通常表现为一个变量随着另一个变量的变化而变化。
一个物体的位移随着时间的变化而变化，这就涉及到了速度的概念。
相关变化率的求解方法是通过求取两个变量的导数来得到它们之间的关系。
在数学中，相关变化率通常通过函数的导数来呈现，这需要我们熟练掌握导数的求解方法。
3. 相关变化率问题的求解方法相关变化率问题的求解方法主要涉及到求取函数的导数。
对于给定的函数，我们首先需要求取它关于自变量的导数，然后根据具体问题中的变量关系，进一步求取相关变化率。
常见的求导方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等等，我们需要根据具体的函数形式和问题需求，灵活运用这些求导法则。
另外，对于一些复杂的函数，我们还需要运用链式法则、乘积法则、商法则等高阶导数的求法则来求取相关变化率。
4. 相关变化率问题的应用相关变化率问题的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生物、工程等各个领域。
在物理学中，我们可以用相关变化率来求取物体的速度、加速度、力的功率等等，进而解决各种运动问题。
在经济学中，相关变化率可以被用来求取成本的边际变化率、收益的边际变化率，帮助企业制定最优的生产和经营策略。
在生物学和工程学中，相关变化率可以帮助我们理解各种生物体的生长规律，以及设计各种工程结构和装置。
5. 个人观点和总结相关变化率问题是微积分中一个非常有意义和应用价值的内容，掌握相关变化率的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
通过学习和熟练运用相关变化率的求解方法，我们可以更好地理解和应用微积分知识，解决我们在生活和工作中遇到的各种问题。
§4.4法拉第电磁感应定律
§4.4法拉第电磁感应定律李洋一、教材分析前面几节的内容是从感应电流的角度来认识电磁感应现象的。
本节是从感应电流进一步深入到感应电动势来理解的，即研究“决定感应电动势大小的因素”。
教科书在这个问题的处理上并没有通过实验探究，而是一陈述事实的方式，引入法拉第电磁感应定律，即教科书用“在法拉第、纽曼、韦伯等人工作的基础上，人们认识到：。
感应电动势。
成正比”的表述给出了电磁感应定律。
教科书之所以这样处理，是力图通过这一物理规律的教学，充分体现人类认识事物的一种真实图景。
也就是说，物理学中多数定律的得出，并不一定是直接归纳的结果，而是在分析了很多间接的实验事实后被“悟”出来的，并且定律的正确性往往也是有他的推论的正确性来验证的。
因此，本节教学不要求通过实验探究来建立规律。
二、学情分析通过前面几节的学习，学生已经知道：当闭合线圈里的磁通量发生变化的时候，线圈里就会产生感应电流；再结合到电路的相关知识，学生不难理解：既然在闭合回路里产生了电流，那就一定存在着电源，也就不难理解会产生感应电动势了，但对影响感应电动势大小的因素缺乏直观的认识，可能在理解上会存在一定的困难。
另外公式：tn E ∆∆Φ=和BLv E =的推导过程学生可能不能够独立完成，故需加强指导。
三、教学策略1、本节教学的设计的总体思路：首先，建立感应电动势概念；其次，通过对实验的定性分析，探索感应电动势的大小跟那些因素有关；随后，得出感应电动势大小的一般表达式tn E ∆∆Φ=；最后，再利用发来第电磁感应定律对“导线切割磁感线时的感应电动势”和“反电动势”这两种特殊情况进行分析。
2、本节教学的重点是法拉第电磁感应定律，为突出重点教师应重点强调，同时教师应该带领学生推导法拉第电磁感应定律的数学表达式tn E ∆∆Φ=等。
3、难点是磁通量的变化及磁通量的变化率的理解，为突破难点，教师可以通过以下方法来实现：（1）、利用上一节的演示实验演示磁通量的变化及磁通量的变化的快慢，以此加强学生的直观印象。
高等数学A1教学PPT课件1：20-第20讲 相关变化率、曲率
d y 2 x d x ,
dt
dt
故在 x 200时, 圆板面积的增加率为
d y 2 200 0.01 4 (cm/ 秒).
dt
例2 向一个上顶的直径为8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为4 m3/分, 求当水深5 米时水表面上
升的速度 ?
( b cot )
a
(a cos )
b a2
1
sin 3
故
k
y
(1
y2
)
3 2
(a2 sin 2
ab
b
2
cos
2
)
3 2
令
d k 3ab(a2 b2 )sin cos
d
(a2
s in 2
b2
cos2
5
)2
0,
得驻点 0 , , , 3 ,
2
2
因为 a b , 故在各象限中 d k 的符号依次为
(1 y2 )3 y2
(1)
又 DM 位于曲线在点 M 处的法线上 , 其斜率为
k法
y0 x0
曲线在点 M 处切线的斜率为 y , 从而 , 有
y x0 y0
(2)
由 (1) , (2) 两式消去 x0 , 得
画画图 更清楚
(
y0
)2
(1 y2 y2
)2
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以
曲率中心的坐标
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线方程为 y f (x) , f (x) 存在且
f (x0 ) 0 , 则曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率
中心 D(, ) 的坐标为
24几种类型函数的求导方法
y2yeyey(xy)2
y(2y2y2) x2(y1)3
.
二. 对数求导法
观察函数 y((xx31))2(3x14x), yxsixn.
问题: 如何求上述函数的导数 ? 方法: 先取对数, 然后再求导 ----对数求导法 适用范围: 多个函数相乘相除的形 式，
可, 导
则
dy(t) dx (t)
,
d2 y dx2
d
dy ( )
dx dx
d dx
((tt))
d dt
((tt))
dt dx
(t)(t) 2( t)(t)(t)
1 (
t
)
即d d2y 2x(t)( t) 3( t)(t)(t).
亦 (u v 即 ) u vlu n v vv 1 u u
(把u看常 ,对 数 v求)导 (把v看常 ,对 数 u求)导
例6 设 yxsixn (x0)求 , y.
解 两边取对数， ln ysixn ln x
上式两边关x于 求导（，注意y： 是x的函数）
1 y
y
例8 求由方x程 yaacsion33stt 表示的函数的二 .
解
dy dx
y t x t
3asin2 tcost
3aco2st(sint) tatn
d2 y dx2
d dy ()
dx dx
d (tant) dx
d tant
dt
dt dx
sec 2 t (a cos 3 t )
参数方程所表示函数的求导法参数方程所表示函数的求导法由复合函数与反函数的求导法则有dxdtdtdydxdydxdycossindxdydxdydxdydxdxdtsincoscossindxdydxsincosdxdydxdt14四四相关变化率相关变化率相关变化率问题
相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用赵红杰;李杨;柏继云【摘要】相关变化率问题是高等数学导数部分的一个内容.它广泛地存在于现实生活中.但目前的高等数学教材中,对这部分内容阐述得比较少,只是列举一两个例子,学生不能很好地了解相关变化率问题的应用,甚至对其求解方法感到困惑,因此极大影响了学生的学习兴趣和质量.该文旨在通过展示相关变化率问题的一些实际应用,重点介绍其求解方法,引导学生学会用数学的思维方式观察、分析、解决实际问题,以提高学生学习兴趣、学习质量.【期刊名称】《安徽农业科学》【年(卷),期】2013(041)019【总页数】3页(P8088-8089,8210)【关键词】高等数学;导数;相关变化率;教学方法【作者】赵红杰;李杨;柏继云【作者单位】东北农业大学,黑龙江哈尔滨150030;东北农业大学,黑龙江哈尔滨150030;东北农业大学,黑龙江哈尔滨150030【正文语种】中文【中图分类】S11现实生活中普遍存在着相关变化率问题。
了解它的应用，掌握相关变化率问题的解题方法，不仅可以拓宽学生的知识面，而且可以使学生理论联系实际，学以致用［1］。
所谓的相关变化率问题是这样定义的:设x=x(t)和y=y(t)都是可导函数，而变量x 与y之间存在某种关系，从而变化率dx/dt与dy/dt间也存在一定关系。
这2个相互依赖的变化率被称为相关变化率。
相关变化率问题就是研究这2个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率［2］。
以一个例子来说明相关变化率问题，再具体举例说明求解方法。
假定我们正在对一个球形气球充气，气球的体积和半径都随时间增加。
若气球在某个时刻t的体积为V，半径为r，则利用链式法则求导数，得到相关变化率方程为: 实际上，直接测量体积增加的速率(气球充气的速率)比测量半径增加的速率更加容易。
所以，如果知道气球在给定时刻的半径(r)和体积增加的速率(dV/dt)，那么就能够通过上面的方程求解dr/dt，得到半径在那个时刻增加的速率。
求导法则(二)
第二章
求导法则（二）
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
若由方程 函数为隐函数 . 由
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定隐函数
将隐函数化成显函数，叫隐函数的显化。
可确定 y 是 x 的函数 ,
谁是自变量谁是因变量根据题目要求确定。
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例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y uv, 其中u u(x),v v(x),可用对数
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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由方程
也可确定 x 是 y 的函数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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数学变化率
数学变化率
公式：ROC=(今天的收盘价-N日前的收盘价)/N。
大多数的书籍上把ROC叫做变动速度指标、变动率指标或变化速率指标。
从英文原文直译应该是变化率。
ROC是显示一定时间间隔的两头的股价的相对差价。
ROC上升，则股价比数天前的股价有所上升。
ROC走平，则当前股价涨幅仅仅同数天前一样。
ROC向下，则股价已经比数天数的涨幅小了。
ROC就是这样显示当前股价趋势的加速和减速状态的。
计算变化率、平均变化率、变动率、相关变化率、瞬时变化率简介：
1、计算变化率：导数定义为，当自变量的增量趋近于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。
2、平均变化率：平均变化率，是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
3、变动率（Rate of change,ROC)经典指标ROC ROC是由当天的股价与一定的天数之前的某一天股价比较，其变动速度的大小，来反映股票市场变动的快慢程度。
大多数的书籍上把ROC叫做变动速度指标、变动率指标或变化速率指标。
4、相关变化率：设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率dx/dt与dy/dt间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
5、瞬时变化率，数学名词，如果当△x→0时，△y/△x有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）。
4几类特殊形势函数的导数
当t =
π
所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2
时, x = a ( − 1), y = a. 2 2 π
π
即 y = x + a (2 − ) 2
π
例2 不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角α
发射炮弹, 其运动方程为 x = v0t cos α , y = v t sin α − 1 gt 2 , 0 2 求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向 ; (2)炮弹在时刻 t0的速度大小 . 炮弹在时刻t
四、相关变化率
设 x = x(t )及 y = y (t )都是可导函数, 而变量 x与 y之间存在某种关系y = f ( x), 从而它们的变化率 dx dy dy dx 与 之间也存在一定关系: = f ′( x) , dt dt dt dt 这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
第四节
几类特殊形式函数的导数
一、隐函数求导法 二、对数求导法 三、参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率
一、隐函数的求导法
x − y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1; e
2 2 xy
+ x− y =0⇒ y =?
2
定义1: 定义1: 由方程 F ( x, y ) = 0所确定的函数 y = y ( x ) 称为隐函数 . y = f ( x) 形式称为显函数.
d 1 d ln f ( x ) = f ( x) 又Q ⋅ dx f ( x ) dx
d ∴ f ′( x ) = f ( x ) ⋅ ln f ( x ) dx
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，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
时运动员上升的速度为0，
此时运动员跃上最高点， 随后开始下降．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例5 某企业生产件产品的成本为 （元）， 则边际成本函数为 （元/件）． 特别，当生产规模为500件时，边际成本为 （元/件）． 下表给出了当 的比较． 时, C ( x ) 与 C
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
下表给出了当
的比较．
产量 x 100 200 300 400 500
所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大． 因此在治理污染方面，企业甲比企业乙效果更明显．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 要局部考虑排 污量的减少程 度，我们同样
可以考虑下面
的极限
该值越大，说明减少得越快，污染治理越有成效．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
导数在经济学中的应用 边际通常指经济变量的变化率．因此，边际成本、 边际收入和边际利润分别为成本函数、收益函数和利润 函数的导数，即 R( x )为边际收入， L( x )为边际利润． C ( x) 为边际成本， 由于需求或供给量多为离散的量，因此所谓的边际 成本通常定义为
当
米时，水面上升的速度为
（米/分钟）
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例8 现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航 行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km， 此时速度为 15 km/h；乙船向东航行了15 km ，此时 速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ， 速度是多少 ？ 解 如图，设在时刻甲船航行的距离为 t ，
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解（3）当运动员跃入水面时，
，
即
解得 的时间为 于是 ，即从起跳到入水
所以，运动员入水时的速度
为15.4494 m/s．
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
2
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例2 设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度 为l (m)质量为m (kg) ，则该细杆的线密度（即单位长度 上的质量）为 ．今有一长度为l , 质量分布 ，
函数，则其体积 V 也是时间 t 的可微函数，试求 出变化率
、
和
的关系．
解 由圆锥的体积计算公式有
其中 都是 由函数的求导 的可微函数．于是，
法则有
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 设 t 分钟时，容器中水面高度为 h ，此时容器中水 的体积为 4t 立方米，且水面圆半径为 所以，可以建立下面的方程 即
变化率与相关变化率
内容小结与作业
1. 变化率 变化率问题即导数问题
2. 相关变化率
变化率之间的关系
变化率与相关变化率
作业:教材 210-213页 2，4，6，12，14，15
非均匀的细杆，其质量分布函数为
求其在任一点处的线密度．
解 如图建立坐标，取小段
，则该
小段的平均密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
小段的平均密度为
因此，在
处的线密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例3 我们知道，导体中电荷的定向流动产生电流， 电流 的大小就是单位时间内通过导体横截面的电量，如图. 如果流经导体横截面的电荷
随时发生变化， 设在t (s) 时通
则在 t 到 t +△t 时间内 过导体横截面的电量为Q(t) (C) ， 通过导体横界面的平均电流为
因此在时的电流为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 设达标的时间 为t0，两企业 同时达标，即 有W1(t)=W2(t) . 从图中可以看出
C C ( x 1) C( x),
C 解释为“当 对边际收入和边际利润也是如此．这里， 产量为时，增加一个单位产量所需增加的成本”．由于 通常远大于1，所以由近似公式，有
C( x) C C ( x 1) C ( x), 因此，将 C ( x ) 和 C 同称为边际成本．
x
，乙船航行的距离为
两船的距离为 , 则
，
40
z
y
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
将上式两边对
求导 ，得
40
x
当
时，
．且有
y
z
因此， 所以观测时两船相距25 彼此远离 ．
, 它们正以3
dz 30 dt
的速度
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
解决相关变化率问题的一般步骤为： 1. 画出示意图，为各相关变量命名，并标注在示 意图中； 2. 用变量符号写出已知数据，并注意统一量纲； 3. 正确建立各变量之间的关系，这是非常重要 的一步； 4. 对所建立的关系式关于时间（或其它属性的 变量）求导数，得含有导数的关系式； 5. 根据已知条件，计算出要求的变化率．