解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C ===A B ． 5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)

7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =

A ==

B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---

8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222

cos 2a c b ac

+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角）

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若222a b c +=，则90C =o ；

②若222a b c +>，则90C

③若222a b c +<，则90C >o ．

12、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

【三角形中的常见结论】

（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

2cos 2sin C B A =+,2

sin 2cos C B A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>

若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>

（大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

（5）三角形中最大角大于等于ο60，最小角小于等于ο60

(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是ο60=B .

(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列.

二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π

=+B A .

例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状

. 1.已知△ABC 中，30A =

o ，105C =o ，8

b =，则等于 （ ）

A 4

B 2. △AB

C 中，45B =o ，60C =o ，1c =，则最短边的边长等于 （ ）

A 3

B 2

C 12

D 2

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )

A 90°

B 120°

C 135°

D 150°

4. △ABC 中，cos cos cos a b

c

A B C ==，则△ABC 一定是 （ ）

A 直角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

5. △ABC 中，60B =o ，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )

A 有 一个解

B 有两个解

C 无解

D 不能确定

7. △ABC 中，8b =

，c =

ABC S =V A ∠等于 （ ）

A 30o

B 60o

C 30o 或150o

D 60o 或120o

8.△ABC 中，若60A =o

，a =sin sin sin a b c

A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 12

2

9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 1

3 B 12 C 3

4 D 0

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）

A 锐角三角形

B 直角三角形

C 钝角三角形

D 由增加的长度决定

11.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。

12.在△ABC

中，已知b =150c =，30B =o ，则边长a = 。

13.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

14.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60o ，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。

15在△ABC 中，已知边c=10, 又知cos 4

cos 3A

b

B a ==，求边a 、b 的长。