等差数列的概念与简单表示

合集下载

等差数列的认识及公式运用

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；和：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识例题精讲【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

等差数列的定义与通项公式

小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
二、等差数列的判定：
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
（2）等差数列通项公式： an=a1 +(n-1)d
作业：
1、已知数列an ，满足
a
1
2, a n 1
（1）数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列？说明理由。
（2）求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
课堂小结：
（1）等差数列定义：
a
d 或 d （n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项公式
复习：
1、等差数列的概念：
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式： d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。

小学一年级数学题简单的数列和等差数列

小学一年级数学题简单的数列和等差数列数列是数学中的重要概念，对于小学一年级的学生来说，最简单的数列就是等差数列。

本文将介绍什么是数列，什么是等差数列，并讲解如何求解等差数列的和。

通过本文的学习，学生可以更好地理解数列和等差数列的概念，并能够解决简单的等差数列题目。

一、数列的概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。

在数列中，每一个数字称为数列的项，用字母a、b、c等表示。

数列通常用大括号{}表示，其中的项用逗号分隔。

例如，{1, 2, 3, 4, 5}是一个数列，其中的每一项分别为1、2、3、4、5。

二、等差数列的概念等差数列是指一个数列中，任意两个相邻项之间的差都相等的数列。

这个公差可以是正数、负数或零。

用字母d表示等差数列的公差，其定义为：每个项与它前面的项之差都等于d。

例如，{2, 4, 6, 8, 10}是一个等差数列，公差为2，因为任意两个相邻项之间的差都是2。

三、求等差数列的和在解决等差数列题目时，我们经常需要求等差数列的和。

对于一个等差数列，其和的求解公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示等差数列的和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的末项，n表示等差数列的项数。

例如，求解等差数列{2, 4, 6, 8, 10}的和。

首先确定各项的值，a1 = 2, an = 10，项数n = 5。

代入求和公式，Sn = (2 + 10) * 5 / 2 = 60。

因此，等差数列{2, 4, 6, 8, 10}的和为60。

四、实例分析为了更好地理解等差数列的求解过程，我们来看一个具体的实例。

某班级一年级的学生进行了一次数学测验，题目如下：1、3、5、7、9、……、99，这个数列中的数依次是什么？解答过程如下：这是一个等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。

根据公式an = a1 +(n-1)d，其中n表示项数，可以求得每一项的值。

当n=1时，an = 1 + (1-1) * 2 = 1；当n=2时，an = 1 + (2-1) * 2 = 3；当n=3时，an = 1 + (3-1) * 2 = 5；以此类推，当n=50时，an = 1 + (50-1) * 2 = 99。

新版数列公式总结-新版

数列公式总结一、数列的概念与简单的表示法数列前 n 项和：对于任何一个数列，它的前 n 项和Sn 与通项 an 都有这样的关系：二、等差数列1.等差数列的概念台(1)等差中项：若三数 a 、A 、b 成等差数列(2)通项公式：an =a +(n-1)d=am+(n-m)d(3).前n 项和公式：2等差数列的.常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,P,q ∈N+), 则am+an=ag+ag自n}的公差为d,则：(2)单调性：i) d >0 ⇔白，}为递增数列；ii) d <0 ⇔A,} 为递减数列；ii) d =0 台白，}为常数列；(3)若等差数列(白，)的前n项和S,,则S、Sa-S、Sm-S…是等差数列。

三、等比数列1.等比数列的概念(3).前n 项和公式：2.等比数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N+), 则am an=ap 码(2)单调性：a₁>0,q>1 或a<0,0<q<1={an} 为递增数列；a₁>0,0<q<1 或a<0,q>1={a}为递减数列；q =1={an}为常数列；q<0={an}为摆动数列；(3)若等比数列(a,)的前n项和S₁,则S、S₂-S₁、S-S…是等比数列.四、非等差、等比数列前n项和公式的求法(1)错位相减法(2)裂项相消法常见的拆项公式有：①②(3){分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组(4)倒序相加法一、等差数列公式及其变形题型分析：1. 设S 是等差数列{an}的前n 项和，若,则A. B C. D.2. 在等差数列{an}中，若a10o3+a1004+a1os+a106=18, 则该数列的前2008项的和为( ).A. 18072B.3012C. 9036D.120483. 已知等差数列{an}中，az+ag=16,a4=1, 则a12的值是( ).A.15B. 30C. 31D. 644. 在等差数列{an}中，3(a₂+a₆)+2(a₅+ao+as)=24, 则此数列前 13项之和为()A. 26B.13C.52D. 1565. 等差数列{an}中，ai+az+ag=-24,a18+ ag+a2o=78,则此数列前20项和等于( ).A. 160B.180C.200D.220二、等比数列公式及其变形题型分析：1. 已知{an}是等比数列，a2=2, , 则a ia₂+aza₃+ …+ anan+1=( ).A.16(1-4"B. 16( 1 — 2C. D.2. 已知等比数列{an}的前10项和为32,前20项和为56,则它的前30项和为3.在等比数列{an}中，若a₁+a₂+a₃=8,a₄+as+a₆=-4, 则a₁3+a₁4+a₁5=该数列的前15项的和S15=4.等比数列a,中，a₂=9,as=243,则(a,}的前4项和为()A.81B.120C.168D.1925. √②+1与√②-1,两数的等比中项是( )A.1B.-1C.±1D.6. 已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么是此数列的第( ) 项A.2B. 4C. 6D. 87.在等比数列{a,}中，若a₃=3,ag=75,则a₁三、数列求和及正负项的解题思路1. 两个等差数列则2求和：(a-1)+(a²-2)+ …+(a”-n),(a≠0)3.求和：1+2x+3x²+…+nx′14.已知数列{an}的通项公式an=-2n+11,如果b₁=an(n∈N)求数列6,}的前n项和。

等差数列的概念与性质

等差数列的概念与性质在数学的广阔天地中，等差数列就像是一座稳固而有序的建筑，有着其独特的结构和规律。

让我们一同走进等差数列的世界，去揭开它神秘的面纱，深入理解其概念与性质。

首先，什么是等差数列呢？简单来说，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母“d”表示。

比如说，数列 2，4，6，8，10 就是一个等差数列，因为每一项与前一项的差都是 2，这里的公差 d 就是 2。

再比如数列 10，7，4，1，－2 也是等差数列，公差 d 为－3 。

那么，等差数列有哪些重要的性质呢？其一，若等差数列的首项为\（a_1\），公差为\（d\），则其通项公式为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）。

这个公式就像是一把钥匙，能够让我们轻松地求出等差数列中的任意一项。

比如说，对于数列 3，5，7，9首项\（a_1 ＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第 10 项\（a_{10} ＝ 3 ＋（10 1)×2 ＝ 21\）。

其二，在等差数列中，若\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）为正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。

这一性质在解决很多与等差数列求和相关的问题时非常有用。

例如，在等差数列 1，3，5，7，9 中，因为\（1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3\），所以\（a_1 ＋ a_5 ＝ a_3 ＋ a_3\），即\（1 ＋ 9 ＝ 3 ＋ 7 ＝ 10\）。

其三，等差数列的前\（n\）项和公式有两个。

一个是\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼），另一个是\（S_n ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）。

前一个公式在已知首项和末项时使用较为方便，后一个公式在已知首项和公差时更加适用。

比如说，要求等差数列 2，4，6，8，10 的前 5 项和。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结等差数列是一种形式简单、规律明显的数列，研究等差数列有利于培养学生发现数学问题、观察数学规律、提高问题解决能力的能力。

在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个关键知识点。

一、等差数列的概念等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等的数列。

这个差值被称为等差数列的公差。

二、等差数列各项的计算公式等差数列的计算公式是指通过已知条件计算等差数列中的某一项的表达式。

对于等差数列来说，知道首项a1、公差d和项数n，就可以根据计算公式求出第n项的值。

三、等差数列的通项公式通项公式是指能够表示等差数列中第n项的公式。

对于等差数列来说，通项公式可以根据已知条件（首项a1和公差d）推导而来。

通项公式的一般形式为an=a1+(n-1)d。

四、等差数列首项、末项和项数的关系等差数列的首项、末项和项数之间存在一定的关系。

首项a1、末项an和项数n之间的关系可以用通项公式和求和公式来表示。

五、等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中的所有项相加的结果。

对于等差数列的和，我们可以通过求和公式来计算，也可以通过找出等差数列的首项、末项和项数之间的关系来计算。

六、等差数列的应用等差数列在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，在数学中，等差数列可以用来求解一元二次方程、计算抛物线的顶点坐标等；在物理学中，等差数列可以用来描述物体的运动轨迹等。

七、等差数列的性质等差数列具有一些特殊的性质，包括：1.等差数列中任意三项的和是一定的；2.等差数列中相等的差值对应相同的差分；3.等差数列的和等于首项和末项的平均值乘以项数。

八、等差数列的应用题等差数列的应用题是指将等差数列的概念、公式和性质应用到实际问题中解决相关的数学问题。

这类题目可以帮助学生将抽象的数学知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。

综上所述，等差数列是一种基础、重要的数学概念，它有着丰富的性质和广泛的应用。

在学习等差数列的过程中，我们需要掌握等差数列的概念、公式和性质，并能够应用这些知识解决相关的数学问题。

等差数列及其前n项和(讲义及答案)

n n mn k k +m k +2m等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1）列表法（2）图象法（3）公式法①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1）递增数列（2）递减数列（3）常数列（4）摆动数列二、等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1）等差中项（2）等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．2. 等差数列的性质（1）通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *) ．（2）若{a }是等差数列，且k +l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ，则a k +a l = a m + a n ．（3）若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4）若{a n }是等差数列，则{λa n + c }也是等差数列．1n n n（5）若{a }，{b }是等差数列，则{p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 nnnn差数列．三、等差数列的前 n 项和1. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1）已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．1 n n2（2）已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2. 等差数列各项和的性质= na 1 + n (n -1) d ．2（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2）两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系为 a n b n = S2n -1 ． T 2n -1（3）数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4）等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最大值．2n +1 n n n -1n +1 n n n -1精讲精练1. 下面六个结论中：①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，…，n } ．其中正确的是（）A ．①②④⑥ C ．①③④⑤B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （）A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A. a = a + n ，n ∈ N *B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2C. a = a + n -1，n ∈ N * D. a = a + n -1，n ∈ N *4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差是（）A ．1B ．2C ．3D ．435. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（）A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 516.在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（） A ．6 或 7B ．7 或 8C ．5 或 6D ．8 或 97.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （）A ．49B ．42C ．35D ．2448.已知一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 12．5，则它的首项与公差分别是（） A ．0．5，0．5B ．0．5，1C ．0．5，2D ．1，0．59.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 12 ， S 6 = 42 ，则 a 10 + a 11 + a 12 =（）A ．156B ．102C ．66D ．4810. 设数列{a n } ，{b n } 都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7 ， a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．5n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2， 2a 2 = a 2 2n -1 (n ∈ N * ，n ≥ 2) ，则通项公式a n = ．12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ，若 S n = 2n + 3 ，则 a 9 = ．T n 3n -1 b 9回顾与思考6+ a【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A9．C 10．35 1112．37507。

等差数列的计算公式

等差数列的计算公式等差数列是数学中一个很重要的概念。

在学习数学的过程中，我们不可避免的要经常接触到等差数列相关的问题。

而想要正确的解决这些问题，我们首先要了解等差数列的计算公式。

一、等差数列的定义及性质等差数列是指数列中任何两个相邻的项之间的差相等。

这个相等的差值被称为数列的公差。

例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个公差为2的等差数列。

等差数列常常具有一些简单的性质。

其中最重要的是，对于任意的等差数列，数列中的任意一项，都可以用数列的第一项和公差来表示。

这个性质在等差数列中的计算中经常会用到。

另外，对于一个有限的等差数列，我们可以通过将数列的第一项和最后一项相加，然后乘以项数的一半来计算数列的总和。

这个公式在等差数列求和中被广泛地应用。

二、求等差数列的公式由于等差数列具有一定的性质，因此我们可以根据这些性质来得到等差数列的计算公式。

下面我们分别介绍等差数列的通项公式、前n项和公式和通项公式与前n项和公式的推导方法。

1. 通项公式的求法对于一个等差数列而言，我们可以用数列的第一项a1和公差d来表示数列中任意一项的值。

如果我们知道了数列中第n项的值an，那么我们可以根据公差和项数之间的关系来计算出数列的第一项。

具体来说，我们有：an = a1 + (n - 1)d根据这个公式，我们可以将a1表示为：a1 = an - (n - 1)d这样，我们就得到了等差数列的通项公式：an = a1 + (n - 1)d2. 前n项和公式的求法对于一个有限的等差数列，我们可以根据数列的第一项a1、公差d和项数n来计算数列的前n项和Sn。

具体的计算公式如下：Sn = ((a1 + an) × n) ÷ 2根据等差数列的通项公式，我们可以将这个公式改写为Sn = [n(a1 + an)] ÷ 2将等差数列的通项公式代入其中，我们得到了另一种计算等差数列前n项和的公式：Sn = [n(2a1 + (n - 1)d)] ÷ 2三、通项公式和前n项和公式的推导在学习等差数列的计算公式时，我们不仅要知道这些公式的形式，还需要了解它们的推导方法。

等差数列的概念

等差数列的概念等差数列是数学中常见的一种数列，它的概念以及相关性质在数学领域中有着重要的地位。

本文将对等差数列进行详细的介绍和讨论。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。

也就是说，如果一个数列满足每一项与其后一项之间的差值都为同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

常数d称为等差数列的公差，用字母d表示。

例如：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...这个数列中相邻两项之间的差值都是2，所以它是一个公差为2的等差数列。

二、等差数列的通项公式等差数列可以用一个通项公式来表示，通项公式可以根据等差数列的首项和公差来确定。

通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1是第一项，d是公差。

通过这个公式，我们可以直接求出等差数列的任意一项。

三、等差数列的性质1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1是第一项，an是第n项，n为项数。

这个公式可以用来计算等差数列的前n项和，方便进行数值计算。

2. 等差数列的性质（1）等差数列的项数奇偶性对于一个等差数列，如果首项、公差和末项已知，我们可以根据等差数列的性质来判断该数列的项数是奇数还是偶数。

- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an > a1，项数n为奇数；如果公差d为负数，则an < a1，项数n为偶数。

- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an < a1，项数n为偶数；如果公差d为负数，则an > a1，项数n为奇数。

（2）等差数列的中项对于一个项数为奇数的等差数列，我们可以根据等差数列的性质求出它的中项。

中项可以通过以下公式计算：中项 = (首项 + 末项) / 2四、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用。

它不仅在数学领域中有重要作用，也在其他学科和实践中得到广泛的应用。

等差数列的概念

等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。

它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。

一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。

数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。

公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。

2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。

3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。

根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。

4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。

总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。

5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。

这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。

三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。

1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。

通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。

2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。

例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。

3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。

例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。

四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。

例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。

解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。

等差数列的认识与公式运用

公差:等差数列每两项之间固定不变的差,通常用来表示；
和:一个数列的前项的和，常用来表示．
二、等差数列的相关公式
(1）三个重要的公式
①通项公式：递增数列:末项首项 (项数 ) 公差,
递减数列：末项首项 (项数 ) 公差,
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个有用的公式： ,
②项数公式：项数（末项首项) 公差+1
由通项公式可以得到: (若 ); (若）.
找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的.
譬如:找找下面数列的项数：4、7、10、1３、、4０、4３、46 ,
分析：配组:(4、5、6)、(7、８、9）、(10、11、12)、(1３、14、15)、、(４6、47、４8)，注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到４8有项,每组3个数，所以共组,原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法.
② ,
题中的等差数列有３3项,中间一项即第17项的值是3３,而和恰等于 .
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差，若不是,则说明理由。
①６,10，14，1８，２２,…,９8；
②1，2,1,2，３，4,5,６;
③１,2,4，8,１6,32，６4；
【例 12】小马虎计算1到20０6这2０06个连续整数的平均数。在求这20０6个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2００6个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小１。小马虎求和时漏掉的数是。

等差数列的基本定义及性质(教案二)

等差数列的基本定义及性质（教案二）。

一、基本定义等差数列是指一个数列中相邻的两个数字之间的差值相等的数列。

这个差值称为公差，记为d，而数列中的第一项记为a1，第n项记为an。

简单来说，等差数列可以表示为：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, an-1+d, an其中，d为公差，a1为首项，an为末项，n为项数。

二、性质1.通项公式对于一个等差数列，我们可以得到以下的通项公式：an = a1 + (n-1)d这个公式表明了，对于等差数列中的任意一项，我们可以通过首项、公差和项数来求出。

2.求和公式对于一个等差数列，我们可以使用以下的公式来求和：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示前n项和。

3.公差的性质公差有以下的性质：① 两个相邻的项之间的差值等于公差d。

② 对于任意两个项，它们之间的差值可以表示为d × (m - n)，其中m和n分别表示这两个项的下标。

③ 如等差数列的首项和公差均为正数，那么数列中的每一项都是正数。

④ 如果等差数列的首项和公差均为负数，那么数列中的每一项都是负数。

4.项数的性质项数有以下的性质：① 对于任意一个等差数列，我们都可以通过首项、末项和公差来求出项数。

② 当n大于2时，等差数列的第n项与第n-1项之间的差值是公差。

③ 任意三个项构成的子等差数列，其公差等于原等差数列的公差。

三、应用等差数列在数学中有着广泛的应用，特别是在数列求和、数学证明、概率统计等方面。

在数列求和中，我们可以通过等差数列的求和公式来求出前n项的和。

在数学证明中，等差数列可以用来证明某些数学定理，例如等差数列的一些性质。

在概率统计中，等差数列可以被用来模拟某些随机变量的分布。

等差数列是数学中一个重要的概念，其基本定义和性质对于我们的数学学习有很大的帮助，因此，掌握等差数列的相关知识是非常必要的。

等差数列知识点总结

等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。

在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。

让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。

简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。

二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。

任意两项之差为公差的倍数。

2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。

3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。

通项公式为：an = a1 + (n-1)d。

4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。

5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。

数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。

三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。

2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。

可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。

3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。

4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。

四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。

在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。

在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。

小学三年级简单等差数列

通项公式的应用
计算等差数列中的任意一项
判断等差数列的性质
求解等差数列的和
求解等差数列的项数
04
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
公式：S_n=n/2*(2_1+(n-1)d)
定义：等差数列的求和公式是用于计算等差数列和的公式
公式解释：S_n表示等差数列的和_1表示首项d表示公差n表示项数
求和公式：Sn=(n/2)(1+n)其中Sn是前n项和1是首项n是第n项。
应用：等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用例如在计算、工程、物理等领域。
汇报人：
感谢观看
06
总结与回顾
本节课的重点与难点
重点：理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式及其推导过程。
难点：如何应用等差数列的通项公式解决实际问题理解等差数列的性质及其应用。
回顾等差数列的定义、通项公式、求和公式及应用
定义：等差数列是一种常见的数列其中任意两个相邻项的差相等。
通项公式：n=1+(n-1)d其中n是第n项1是首项d是公差。
日常生活中的楼梯：每两级台阶的高度差是固定的形成了一个等差数列。
音乐简谱中的音高：在音乐简谱中音高之间的关系是按照等差数列来排列的。
植物生长：有些植物的叶子按照等差数列的规律生长例如向日葵的花瓣。
建筑结构：有些古代建筑的结构设计中使用了等差数列的原理例如金字塔的层高。
用等差数列解决实际问题的方法

建立数学模型：将实际问题转化为等差数列问题确定首项、公差和项数等关键参数。
每一项与它后一项的差也是一个常数
每一项与它前一项的差是一个常数
等差数列的表示方法

等差数列的概念

－1)d＝n2，∴an＝2n.
跟踪训练1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．解：数列{bn}是等差数列．理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝
4
44
跟踪训练1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
2.－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，由题意知，－401＝－4n－1.得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
3.通项公式：
an= a1＋(n－1)d (n∈N*) 变式：an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
4.通项公式与函数关系：等差数列的通项公式为一次型函数an=kn+b,n∈N*
2.从数列相对函数的特殊性探究：
数列相对于函数的特殊性体现在自变量取值的“有序性、离散性”，因此，可探究以下内容：（1）相邻项比较分析、递推思想等方法；（2）前n项求和问题。
3.从“理论与实际问题相结合”探究：
从现实中的同类问题入手进行“比较、分析、抽象、概括”，建立数学模型，并用数学的理论和方法解决之。
③等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列；当d＝0时，等差数列{an}为常数列；当d<0时，等差数列{an}为递减数列．
(2) 等差数列通项公式的变式：an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .

等差等比数列的简单性质

等差等比数列的简单性质高考常用的知识,也是基本知识1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列的一般形式：a1，a2，a3，，an，，简记作an 。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

数列①的通项公式是an= n（n 7，n N ），数列②的通项公式是an= （n N ）。

说明：① an 表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n 表示数列的通项公1n1,n 2k 1式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，an= ( 1)= (k Z)；1,n 2kn③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，2．等差数列1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或an 1 an d(n 1)。

2）等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0 为递减数列。

3）等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

其中Aa b2a，A，b成等差数列Aa b。

2n(a1 an)n(n 1)na1 d 22（4）等差数列的前n和的求和公式：Sn例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7 ；22 132 142 152 1（2），，，；2345（3）1111，，，。

3*44*51*22*3n2 n 1(n N )，例2．数列an 中，已知an (1)写出a10，an 1，an2；（2）3279是否是数列中的项？若是，是第几项？3高考常用的知识,也是基本知识五．思维总结1．数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集｛1，2，3，，n，｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），，f（n），。

等差数列的概念和求和公式

等差数列的概念和求和公式数学是一门重要的学科，也是我们日常生活中不可或缺的一部分。

而在数学中，等差数列是一种常见且重要的数列形式。

它的概念和求和公式对于我们理解数列的特点和计算数列的总和都具有重要的作用。

在本文中，我将为大家详细介绍等差数列的概念和求和公式，并举例说明其应用。

首先，让我们来了解等差数列的概念。

等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

这个相等的差值称为等差数列的公差，用字母d表示。

例如，数列1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。

在等差数列中，我们可以通过求出公差和首项，来确定数列中的任意一项。

这种数列的特点在于，每一项与前一项之间的差值都是相等的，这使得我们可以更方便地计算数列的总和。

接下来，让我们来探讨等差数列的求和公式。

求和公式是用来计算等差数列中所有项的总和的公式。

对于一个等差数列，我们可以通过求出首项、公差和项数，来计算数列的总和。

等差数列的求和公式如下所示：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的总和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

这个公式的推导过程较为复杂，但是我们可以通过简单的例子来理解和应用它。

假设有一个等差数列，首项为2，公差为3，项数为5。

我们可以使用求和公式来计算这个数列的总和。

根据公式，我们可以得到：Sn = (a1 + an) * n / 2= (2 + 2 + 3 * (5 - 1)) * 5 / 2= (2 + 2 + 3 * 4) * 5 / 2= (2 + 2 + 12) * 5 / 2= 16 * 5 / 2= 80 / 2= 40因此，这个等差数列的总和为40。

通过这个例子，我们可以看到求和公式的实际应用，它可以帮助我们快速计算等差数列的总和。

在实际生活中，等差数列的概念和求和公式有着广泛的应用。

例如，在金融领域中，等差数列可以用来计算投资的本金和利息。

在物理学中，等差数列可以用来描述物体的运动状态。

等差数列的性质与应用

等差数列的性质与应用等差数列是数学中重要的概念之一，它是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。

等差数列在数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。

本文将介绍等差数列的性质与应用，并探讨其在数学和现实世界中的作用。

一、等差数列的定义和性质等差数列的定义很简单，即一个数列中相邻两项之间的差是固定的常数，通常称为公差，记作d。

假设第一项为a₁，第二项为a₂，那么对于任意的正整数n，等差数列可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d等差数列的性质主要包括以下几点：1. 公差d决定了等差数列的增长或减少趋势。

如果d>0，数列递增；如果d<0，数列递减。

2. 等差数列的首项和末项的差等于n-1乘以公差d，即aₙ - a₁ = (n - 1)d。

3. 等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2，也可以用等差数列的首项a₁、公差d和项数n表示为Sn = n * (a₁ + aₙ) / 2。

4. 如果一个数列同时满足前两项差相等和后两项差相等的条件，那么这个数列一定是等差数列。

二、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，并且能够帮助我们解决许多实际问题。

以下是等差数列在数学和现实世界中的几个典型应用。

1. 数学中的等差数列应用：等差数列的性质使得它可以应用于数列求和、数列推导以及数列运算等方面。

通过对等差数列进行分析和处理，我们可以更好地理解和解决数学问题。

2. 经济学中的应用：在经济学中，等差数列可以用来描述公司的销售额、利润增长等指标的变化趋势。

通过分析等差数列的性质，可以帮助经济学家做出更准确的预测和决策。

3. 物理学中的应用：在物理学中，等差数列被广泛应用于描述初始速度、加速度和位移的关系。

通过对等差数列的运用，物理学家可以更好地理解物体的运动规律，并进行相关研究和实验。

4. 计算机科学中的应用：在计算机科学中，等差数列的性质被用于算法设计和数据处理。

等差数列及其前n项和

等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022·福州质检)在等差数列{a n}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝()A.10B.20C.25D.30答案C解析等差数列{a n}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.3.(2022·青岛一模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝92则数列{a n}的通项公式a n＝()A.nB.n＋12C.2n－1D.3n－12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3＋3d＝92，解得d＝12，∴a n＝1＋(n－1)×12＝n＋12.4.(2021·杭州二模)已知{a n}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36B.24C.16D.12答案D解析由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝12.5.(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.考点一等差数列的基本运算1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3 2 a1.又a1＝2得∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.1 4B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__________.答案3n2－2n解析法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.法二(引入参变量法)令b n＝2n－1，c m＝3m－2，b n＝c m，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).a t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即a n＝6n－5.以下同法一.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝b nb n－1，代入2S n＋1b n＝2可得，2b n－1b n＋1b n＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n＝32＋12(n－1)＝n＋22，则2S n＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3 2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n 32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质例2(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于() A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.(2)在等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10B.20C.40D.2＋log25答案B解析由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).角度3等差数列前n 项和的最值例4等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称.由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≥0，n ＋1≤0，1＋（n －1－213a 0，1＋－213a 0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2(1)(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13a7是定值，故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A.2023B.－2023C.4046D.－4046答案C解析d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(3)设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0(n∈N*)，其前n项和为S n，若数列{S n}也为等差数列，则S n＋10a2n的最大值是________.答案121解析设数列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，∴22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，把a1＝1代入求得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n（n－1）2×2＝n2，∴S n＋10a2n＝（n＋10）2（2n－1）2＝＝12（2n－1）＋2122n－12≤121.∴S n＋10a2n的最大值是121.。