等差数列的概念与简单表示

2．2 等差数列

第1课时等差数列的概念与简单表示

1．理解等差数列的概念．(难点)

2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)

3．掌握等差数列的判定方法．(重点)

[基础·初探]

教材整理1等差数列的含义

阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．

1．等差数列的概念

(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．

2．等差中项

(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()

(2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．()

(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()

(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()

(5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.()

【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．

(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.

(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列．

(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．

(5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，

x2的等差中项为A＝x1＋x2

2＝－3.故该说法正确．

【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√

教材整理2等差数列的通项公式

阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．

1．等差数列的通项公式

以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d.

2．从函数角度认识等差数列{a n}

若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．

1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________.

【解析】∵a1＝4，d＝－2，

∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.

【答案】6－2n

2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________．

【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，

可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.

【答案】 46

[小组合作型]

n n p ，q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？ (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．

【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明a n ＋1－a n 为一个常数即可． 【自主解答】 (1)欲使{a n }是等差数列，

则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，

所以只有2p ＝0，

即p ＝0时，数列{a n }是等差数列． (2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， 所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .

而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数， 所以{a n ＋1－a n }是等差数列．

等差数列的判定方法有以下三种：

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． [再练一题]

1．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1

a n －2.

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

【解】 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1

a n －2

＝

1⎝ ⎛

⎭⎪⎫4－4a n －2－1

a n －2 ＝a n 2(a n －2)－1

a n －2

＝

a n －22(a n －2)

＝1

2.

又b 1＝1a 1－2

＝1

2，

∴数列{b n }是首项为12，公差为1

2的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝1

2n . ∵b n ＝1

a n －2，

∴a n ＝1b n

＋2＝2

n ＋2.

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2

n ＋2，

n 1n N *，p ，q 为常数)，

且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．

【精彩点拨】 将x 1，x 4，x 5用p ，q 表示出来，由x 1，x 4，x 5成等差数列，即2x 4＝x 1＋x 5列出关于p ，q 的方程组求解．

【自主解答】 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，② 由①②得q ＝1，p ＝1.