数学-8年级-第4讲-整式方程与分式方程
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
初中数学八年级上册各章知识点梳理
八年级数学上册 各章知识点汇总第十一章 三角形一、知识结构图边与三角形有关的线段 高中线角平分线三角形的内角和 多边形的内角和三角形的外角和 多边形的外角和二、知识定义三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
三、公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线。
第十二章 全等三角形一、全等三角形角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4．证明两个三角形全等的基本思路：多边形的角和：多边形的外角和为360°。
多边形内角和公式： n 边形的内角和等于（n-2）·180°角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)3．全等三角形的判定③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
初中数学复习第四讲——整式与分式
初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本局部，代数式分为整式和分式讨论。
在实数X围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。
二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包括符号〕；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
4.整式：单项式、多项式统称为整式。
5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
6.同类项：所含的字母一样，且一样的字母的指数也一样的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
合并同类项的法如此：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变〔合并同类项，法如此不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。
7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法如此和合并同类项来完成整式的加减运算。
去括号法如此：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞 号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。
〔括号前面是“+〞 号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。
〕8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
m n m+n a a =a •.〔m 、n 都是正整数〕9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mn a =a .〔m 、n 都是正整数〕10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即()nn n ab =a b .〔n 为正整数〕11.整式的乘法：〔1〕单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。
人教版-数学-八年级上册-分式方程 课标解读
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分式方程课标解读
一、课标要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对15．3分式方程一节的相关内容提出了教学要求：
1．能解可化为一元一次方程的分式方程．
2．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
3．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
二、课标解读
1．本章之前学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉．与整式方程相比，分式方程具有自身的特殊性，本节内容只探究可化为一元一次方程的分式方程的解法，在带领学生探索分式方程的解法步骤时，不仅要让学生掌握解分式方程的程序和步骤，得出解分式方程的通性通法，还应讲清形成这样的解法步骤的合理性，其中所包含的算理,并引导学生体会化归思想和程序化思想等重要数学思想．
2．根据具体的问题情境，引导学生审题、分析数量关系、有效建立等量关系从而正确列出方程，并用解分式方程的一般步骤进行求解，进而检验方程解的合理性．激发学生探索问题的欲望，引导学生理解题意，解决问题．通过探索、提炼、应用和总结，让学生体会和掌握模型思想．
3．利用分式方程模型解决相应的实际问题，除了考虑分式方程的解的存在性，还要考虑具体问题的实际意义，确定分式方程的解的合理性．
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八年级上册数学分式和分式方程
八年级上册数学分式和分式方程一、分式的概念。
1. 定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(x + 1)/(x)，(2)/(x - 1)等都是分式。
- 整式和分式的区别在于分母是否含有字母，整式的分母不含有字母，而分式的分母含有字母。
2. 分式有意义、无意义和值为零的条件。
- 分式有意义的条件：分母不为零。
例如对于分式(1)/(x - 2)，当x-2≠0，即x≠2时，分式有意义。
- 分式无意义的条件：分母为零。
如在分式(3)/(x + 1)中，当x + 1=0，即x=-1时，分式无意义。
- 分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。
对于分式(x)/(x - 3)，当x = 0且x-3≠0（即x≠3）时，分式的值为零。
二、分式的基本性质。
1. 基本性质。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
例如(2)/(3)=(2×2)/(3×2)=(4)/(6)，对于分式(x)/(x + 1)，(x)/(x + 1)=(x×2)/((x + 1)×2)=(2x)/(2x + 2)。
2. 约分和通分。
- 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。
- 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
例如将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，先找最简公分母为x(x + 1)，则(1)/(x)=(x+1)/(x(x + 1))，(1)/(x + 1)=(x)/(x(x + 1))。
三、分式的运算。
八年级数学下册 分式方程
八年级数学下册分式方程疑难分析1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．2．分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系式的代数式是分式而已．一般地，列分式方程解应用题的步骤：（1）审题，理解题意；（2）设未知数；（3）找出相等关系；（4）解这个分式方程；（5）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）写出答案．例题选讲例1 解下列方程：（1）2233x xx x++=+-；（2）5102552xx x+-=--.解：（1）原方程可变为：（x+2）(x-3)=(x+2)(x+3)x2-x-6=x2+5x+66x=-12∴x=-2检验：当x=-2时，公分母（x+3）(x-3)=-5≠0.∴原方程的解为x=-2.（2）原方程可变为：5102525xx x--=--，方程两边同乘以2x-5得：x-5-(2x-5)=0解这个整式方程得：x=0检验：把x=0代入最简公分母：2x-5=-5 ≠0. ∴x=0是原方程的根.评注：检验是解分式方程不可缺少的一步，在检验时，只需把整式方程的解代入最简公分母判定它是否为零．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？解：设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元（m>0,n>0,m≠n），购货员A两次购买饲料的平均单价为10001000100010002m n m n++=+（元／千克）．购货员B两次购买饲料的平均单价为8008002800800mnm nm n+=++（元／千克）．而222()2()mn mn m nm n m n m n--=+++＞0.∴22m n mnm n+=+．也就是说，购货员A所购饲料的平均单价高于购货员B所购饲料的平均单价，所以选用购货员B的购买方式合算．评注：此例告诉我们，学会应用数学知识去处理日常生活中的经济问题，可以帮助我们获得较好的经济收益．例3：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15……第n次倒出水量是1n升的11n+……按照这种倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？解：倒n次水的总倒水量为111111 2233445(1)(1)n n n n++++++⨯⨯⨯-+①根据分式的减法法则：11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++反过来有111(1)1n n n n=-++②利用②可以把①改写成111111111 ()()()() 2233411n n n n+-+-+-+--+③合并③中的相反数，得111n-+，即倒n次水的总倒水量为：111n-+=1nn+（升）评注：你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出水量，当倒出水量很小时测量的难度非常大，我们能否用数学方法替代实验解决这个问题呢？可以发现，按这种方法倒水，随着倒水次数n 的不断增加，总倒水量1nn +也不断增加，然而，不论倒水次数n 有多大，总倒水量1nn +总小于1，因此容器中的1升水是倒不完的，这样，我们就用数学方法分析解决了上面的问题．基础训练一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）.（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b ab a-+ 2．要把分式方程3124x x=-化成整式方程，方程两边需要同时乘以（ ）. （A ）2x-4 (B) x (C)2(x-2) (D)2x(x-2) 3．方程21111x x =--的解是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）0 4．把分式方程11122xx x--=--的两边同时乘以（x-2），约去分母得（ ）. （A ）1-（1-x ）=1 （B ）1+(1-x)=1 （C ）1-（1-x ）=x-2 （D ）1+(1-x)=x-25．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+（C ）24024054xx +=- （D ）24024054x x -=-二、填一填6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用天； （2）改变计划时，已读了页，还剩页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程．7．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：111u v f+=.若f=6厘米v=8厘米，则物距u=厘米．8．已知22334422,33,44,112233⨯=+⨯=+⨯=+若1010a ab b⨯=+（a、b都是整数），则a+b的最小值是．9．已知14xx+=，则2421xx x=++．10．已知113x y-=，则分式2322x xy yx xy y+---的值为．11．某商店经销一种商品，由于进货价降低了6．4%，使得利润提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是%．三、做一做12．解方程（1）31144xx x--=--；（2）311(1)(2)xx x x-=--+.13．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：①1112⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④44 4455⨯=-……（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．14．阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．四、试一试15．甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个,现在要求甲生产出168个这种零件,要求乙生产出144个这种零件,他们两人谁能先完成任务呢?16．3 分式方程二、6.(1)200x；(2)5x ,200-5x；(3)20055xx-+；(4)200520015xx x-+=+7.24 8.19 9.11510.35三、12.(1)3；(2)无解 13.(1)555566⨯=-；(2)11n nn nn n⨯=-++14.梨的单价为4元/千克,苹果的单价为6元/千克.四、当乙每小时生产的零件多余48个,则乙先完成任务,如果乙每小时恰好生产48个零件,则两人同时完成任务;如果乙每小时生产的零件少于48个,则甲先完成任务.16.3 分式方程（1）一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2．教学难点：检验分式方程解的原因3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．三、教学方法启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．四、教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主．五、教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解：(1)当x=0时，右边=0，∴左边=右边，这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．(二)新课板书课题：板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程．先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3．如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．检验：把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解．（三）应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v 20100＋小时，逆流航行60千米所用的时间为v2060－小时。
初中数学《分式方程》单元教学设计以及思维导图
分式方程适用年级八年级所需时间课内共用3课时，每周3课时；课外共用1课时主题单元学习概述主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：经历分式方程概念、分式方程的解放过程，会解渴化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
过程与方法：经历“实际问题——分式方程模型——求解——检验解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。
通过列分式方程解应用题，渗透方程思想。
情感态度与价值观：在获得培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
对应课标对于分式,只要求简单的加、减、乘、除运算,并通过例子明确要求;对于分式方程,只要求解可化一元一次方程的分式方程,并且并且方程中的分式不超过两个;可化为一元二次方程的分式方程没有列入《标准》之内,这就大大降低了难度。
主题单1）什么分式方程？（2）解分式方程基本思路是什么？与整式方程有何区别与联系？元问题设计（3）曾根是在怎样产生的？产生的原因？（4）分式方程解实际应用题的步骤是什么？（5）在归纳分式方程解实际应用题的步骤应该注意哪些问题？专题划分专题一：分式方程的概念及出现增根的原因（ 1课时）专题二：熟悉解分式方程的方法及增根的原因（1 课时）专题三：用分式方程解实际问题的步骤（ 1 课时）专题分式方程一所需1课时课时专题学习目标知识目标： 1了解分式方程的意义解分式方程的基本思路和方法。
2了解出现曾根的原因3掌握验证根的方法。
能力目标：培养自主学习能力、观察能力，渗透化归、类比及归纳的思想。
情感目标：培养学生积极探究、乐于探究、仔细观察、善于归纳的良好学习习惯。
专题问题设计（1）什么是分式方程？（2）分式方程与整式方程什么区别和联系？（3）增根？如何确定根的合理性？所需教学环境和教学资源信息化资源：多媒体课件所需教学环境和教学资源多媒体课件常规资源：教材，学案，练习本学习活动设计学习活动设计活动1、问题导入（多媒体展示）问题1、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种。
北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程说课教学课件复习
3
2
= ，分式无意义
0
三个条件
1.分式无意义的条件：
分母等于零
2.分式有意义的条件：
分母不等于零
3.分式的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零
+2
−
例3．已知分式
，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.
求a＋b的值．
解： ∵ 当x＝1时，分式无意义，
∴ 1－a＝0，a＝1.
(2)解方程,求出所含字母的值.
(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母
为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去.
(4)写出答案.
巩固练习
变式训练
下列判断错误的是 (
D )
2
A.当a≠0时,分式 a有意义
3a - 6
B.当a=2时,分式 2a + 1的值为0
a-2
C.当a>2时,分式
的值为正
0;
2a 1 2 ( 1) 1
当a=-1时
，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义. 1
a .
由分母2a-1=0，得
2
所以，当
1
a 1
a
2 时，分式 2a 1 有意义.
巩固练习
变式训练
已知分式
x 1
有意义，则x应满足的
( x 1)( x 2)
（2）当x = －0.4时，
课堂检测
基础巩固题
3.下列分式中,无论x取何值,分式总有意义的是 (
1
A. 2
5x
1
B. 2
x +1
1
C. 3
人教版初中数学八年级上册 分式方程-优秀
中考复习专题 分式方程复习目标：1、了解分式方程的概念；2、掌握分式方程的解法；3、应用分式方程解决实际问题。
复习流程：一、学生展示分享知识点1、分式方程的概念___________________________的方程叫分式方程。
2、分式方程的一般方法（1）解分式方程的思想是将“分式方程”转化为_________。
（2）它的一般解法是：去分母化分式方程为整式方程；解整式方程；检验。
3、列分式方程解应用题的一般步骤二、展示分享完毕学生进行质疑、纠错和补充。
三、教师点评与强调。
四、例题解析例1、（2022广州第14题）方程的解是 例2、（2022贵州铜仁第13题）方程的解为 ． 12＝2xx －35302x x-=-例3、（2022青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480m ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160m/h ，设普通列车的平均行驶速度为m/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）A B C D学生自主完成例题，教师通过展示检查进行补充强调。
五、课时作业1、（2022内蒙古呼伦贝尔兴安盟第19题）解方程：．2、（2022广西来宾第24题）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？学生完成后分组谈论，然后黑板展示。
教师点评。
六、总结反思。
4804804160x x -=+4804804160x x -=+4804804160x x -=-4804804160x x -=-233011x x x +-=--。
初二数学下册知识点归纳
初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。
除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。
（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
（3）正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。
3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。
八年级数学上册分式知识点
八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
2022八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程1ppt教学课件鲁教版五四制
解：
x 5
69000 x 3
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加 电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。 后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠， 一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的 费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原
定是x人，那么 x 满足怎样的分式方程?
解：10 x 5 . 80 x 7
7.从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长 600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度 比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到 乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地 到乙地所需要的时间？ 解：该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的 时间为xh
(1) 1 (x 3) 1.x找找（看，否下）列方程哪; 些(是2)分式1方程 1：（ 是）
2
2x
(3)
x 3 1 x 1 2 x
（是） ; (4)
x 2
x 3
1（否
）
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项
重还hm要林2 生与态退工耕程还．草某的地面规积划比退为耕5∶面3积，共设退69耕00还0 ，林退的耕面 积为 x ，那么 x 满足怎hm样2 的分式方程？
解：设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏
9000
15000
x x 3000
6.李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物， 用80hm2耕地种植经济作物。为了增加粮食 作物的种植面积，该村计划将部分种植经济 作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作 物的种植面积与经济作物的种植面积之比为 5:7.设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植 粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
专题--整式与分式
专题--整式与分式专题--整式与分式本讲教育信息】一、教学内容：专题——整式与分式二、教学目标：1. 了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式．2. 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算．3. 会解分式方程和分式方程应用题．4. 体会数学知识之间的整体联系．三、知识要点分析：1. 分解因式分解因式的常用方法：提公因式法、运用公式法．2. 分式的运算（1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（2）分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．（3）分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的，分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据．4. 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程．（2）解这个整式方程．（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．需要注意的是，这种代入最简公分母验根的方法虽然简便，但是必须要保证解方程的各步运算准确无误，否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用．因此，我们还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看等式左边是否等于右边．知识点1：分解因式例1. 分解因式：（1）x3－2x2＋x；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．题意分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．思路分析：（1）题是三项式，先提取公因式，再考虑用完全平方公式解题．（2）题先提取公因式，再考虑用平方差公式解题．解：（1）x3－2x2＋x＝x（x2－2x＋1）＝x（x－1）2；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．＝（x－y）x2－（x－y）y2＝（x－y）（x2－y2）＝（x－y）（x＋y）（x－y）＝（x－y）2（x＋y）．解题后的思考：解决分解因式的问题时，首先考虑因式是否有公因式，如果有，先提取公因式；如果没有公因式且因式是两项式，则考虑能否用平方差公式分解因式；因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题．最后，直到每一个因式都不能再分解为止．例2．在边长为a cm的正方形木板上开出边长为b cm（b＜）的四个方形小孔，如图所示．（1）试用a、b表示出剩余部分的面积；（2）若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？题意分析：本题意在考查整式和分解因式的综合应用．思路分析：剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：（1）剩余部分的面积＝（a2－4b2）cm2．（2）当a＝14.5，b＝2.75时，（a2－4b2）＝（a＋2b）（a－2b）＝（14.5＋5.5）（14.5－5.5）＝180（cm2）．答：剩余部分的面积是180cm2．解题后的思考：观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便．小结：分解因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系．分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础．等关系的方法是相同的，所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的．小结：检验是解分式方程必不可少的步骤．注意，解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误，而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零．总结：本讲内容联系较密切，整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程，层层递进，逐级加深．应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则，并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力．【预习导学案】（暑假专题——图形的相似）1. 如何判断两个三角形相似，相似三角形有什么性质？2. 什么是相似图形，什么是位似图形？1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 4.8米B. 6.4米C. 9.6米 D. 10米2. 如图，在RtΔABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，其中的一对相似三角形是__________和__________；它们的面积比为_________．【模拟试题】（答题时间：50分钟）*4. 用简便方法计算下列各题．（1）10002－2000×993＋9932；（2）1.992－2.992．**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，则不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米／时）所用时间（时）所走的路程（千米）（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．。
八年级数学分式方程的解法
4 3 7 xy
整式方程
2) 1 3 x2 x
(4) x(x 1) 1 x
(3)
3
x
x（6）2x 2
x 1 5
10
（5）x 1 2 x
2x 1 3x 1 x
分式方程
风怒吼， 【变天】ｂｉàｎ∥ｔｉāｎ动①天气发生变化，唐宋时极盛。 【砭骨】ｂｉāｎɡǔ动刺入骨髓，【别】（彆）ｂｉè〈方〉动改变别人坚持的意见或习 性（多用于“别不过”）：我想不依他，【辩才】ｂｉàｎｃáｉ名辩论的才能：在法庭上， 。想个办法，③跳动：脉～。 敬请～。②花椰菜的通称。③〈方
2、解分式方程的一般步骤：
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整 式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的 值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解 不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
1 作业：习题16.3:
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个 后的,根所.得 所的 以根 我是 们·整 解·式 分·方 式·程 方的 程根时,一而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
小组讨论、相互交流，大家畅 所欲言，表达自己的收获。
一化二解三检验
1、解分式方程的思路是：
分式方程 去分母
整式方程
16.3.1分式方程的解法（１）
解:
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳规则进行运算。
通分的方法是将各个分式的分母化为相同的多项式，然后将分子进行相应的乘法运算，最后再按同分母分式的加减法规则进行运算。
最后的计算结果必须化为最简分式或整式。
分式是数学中的重要概念之一，它表示了两个整式的比值，其中分母中含有字母的被称为分式，而分母中没有字母的则被称为整式。
分式的约分是指将分子和分母的公因式约去，化为最简分式或整式。
化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
分式方程是指分母中含有未知数的方程，将其变形为整式方程时需要注意增根的情况。
分式的乘除法规则和同分母分式加减法规则都需要注意化为最简分式或整式的要求。
2x+1与2x+1的分母相同，则最简公分母为__________。
2.分式3x+2x-1的倒数为__________。
3.分式2x+1x-3的平方为__________。
4.分式2x+3x-1与分式x-42x-1的和为__________。
5.若分式a+bc与分式a-bc互为倒数，则a²-b²的值为__________。
6.若分式2x-1x-2的值等于分式3x+2x+1的值，则x的值为__________。
7.分式2x+1x-3与分式x-12x+5的差为__________。
8.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为__________。
9.若分式a+b2的值等于分式a-b3的值，则a:b的比值为__________。
10.分式2x-1x+2的平方根为__________。
二、选择题（每小题3分，共15分）1.下列关于分式的说法中，正确的是（）A。
分式的分子和分母都是整式B。
分式的分母不能为0C。
分式的分子和分母都是单项式D。
分式的分子和分母都是多项式2.若分式a2b的值等于分式c3d的值，则（）A。
ad=3bcB。
ac=2bdC。
ab=3cdD。
ad=2bc3.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为（）A。
八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法
一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x −++=；（3）()()3210x y −−=； （4）42=0x x−；（5）21323x x −=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +−=+；（8）2(3)8(3)a x a −=≠．【难度】★【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例2】 当k ________时，方程2(3)60k x kx −−+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠．【解析】令二次项系数不为0，即30k −≠，解得：3k ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0． 【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．例题解析【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3−，且有一个根是1−的一元二次方程． 【难度】★【答案】2340x x −−=等．【解析】一次项为3x −，二次项系数任意定，再把1x =−代入用常数项配凑． 【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx −++=有一个根是1x =−，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．【解析】将1x =−代入的：(21)350m m −−+=，解得：4m =． 【总结】本题考查了方程的解得概念．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +−=−+是一元二次方程．【难度】★★★ 【答案】0或－1． 【解析】 整理得：212(3)20mmx x m x +−+−−=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x −+−−=， 由21210m m ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1m =−；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x −+−−=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =−或．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +−+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是? （2）方程为一元一次方程，a 的取值是? 【难度】★★【答案】（1）1a =−； （2）0a =． 【解析】（1）令21210a a ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1a =−；（2）令211150a a ⎧+=⎨−+≠⎩，解得：0a =．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★ 【答案】a b 、异号．【解析】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程， 当a b 、异号时，原方程有实数根； 综上：当a b 、异号时，原方程有实数根． 【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c −+=，220a b c −+=，试求方程的解．【难度】★★【答案】1222x x =−=−，．【解析】由2(2)(2)0a b c −+−+=，2(2)(2)0a b c +−+=，得：原方程的解为：1222x x =−=−，【总结】本题考查了方程的解得概念．【例10】 已知方程2510mx nx −+=和2340mx nx +−=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★【答案】2132n =．【解析】把2x =代入得： 202104640m n m n −+=⎧⎨+−=⎩，②×5－①得：32210n −=解得：2132n =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=−．【解析】设这个公共根是m ，则2200m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，将两个方程相减得：()()0a b m b a −+−=， 解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=−． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【例12】 若a 是方程220x x −−=的一个根，则代数式2a a −的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】由已知，得：220a a −−=， 移项，得：22a a −=．【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +−+−=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【解析】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨−=⎩；2321a b a b +=⎧⎨−=⎩；2320a b a b +=⎧⎨−=⎩；1322a b a b +=⎧⎨−=⎩；0322a b a b +=⎧⎨−=⎩；解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【例14】 已知a 是方程220000x x −−=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示． 【难度】★★★ 【答案】2a +．【解析】由已知，得：220000a a −−=，两边同时除以a ，得：200010a a −−=，20001a a∴=+． 2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+． 【总结】本题考查了方程的根的概念．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x −=的根是____________； （2） 方程280x x −=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k −=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★【答案】（1）1231x x ==−，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x k a x k a =+=−+，． 【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x −=± (8)0x x −=① 12x −= ②12x −=− ①0x = ②80x −=∴1231x x ==−，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥． 直接开平方：x a k −=±① x a k −= ②x a k −=−∴12x k a x k a =+=−+，．【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12−C ．1D ．1−【难度】★ 【答案】D【解析】将x n =代入方程得：20n mn n ++=，即：(1)0n m n ++= ∵0n ≠， ∴10m n ++=， ∴1m n +=−， 故选择D ．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例17】 方程：2331()()()0442x x x −+−−=的较小的根是（） A ．34B ．34−C ．12D ．58【难度】★ 【答案】D【解析】提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=，整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x −=；（2）(3)(3)9x x +−=． 【难度】★【答案】（1）123030x x ==2）123232x x ==−． 【解析】（1）2325x = （2）299x −=2310x =218x = 30x = 32x =± ∴123030x x =； ∴123232x x ==−． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）2350x x =； （2）7(3)39x x x −=−． 【难度】★【答案】（1）1250x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(35)0x x = （2）7(3)3(3)x x x −=− ①0x = ②350x 7(3)3(3)0x x x −−−= ∴1250x x =， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x −+=；（2）22(2)(12)x =+． 【难度】★★ 【答案】（1）1218x x ==；（2）121122x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x −= 2(12)x ±108x −= ①212x += ②2(12)x +=− ∴1218x x ==； ∴121122x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=；（2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(41)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【例22】 解关于x 的方程：224329x =．【难度】★★ 【答案】13(32)x −=，23(32)x −=． 【解析】直接开平方：2(32)3x =±① 2(32)3x = ②2(32)3x =−解得：13(32)x −=，23(32)x −=． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b −+−=； （2）22222()4()0a b x abx a b −−−−= （3）222210m x mx x mx −+−+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =−；（2）当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =． 【解析】（1）22220x ax a b −+−=， [()][()]0x a b x a b −+−−=， ∴1x a b =+，2x a b =−；（2）①当220a b −≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b −−−−= [()()][()()]0a b x a b a b x a b −−+++−= ∴1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； ②当220a b −=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =；③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解； （3）整理得：22()(12)10m m x m x −+−+=① 当20m m −≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程1(1)1mx m x−−−[1][(1)1]0mx m x −−−= ∴11x m=，211x m =−；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =−； ③当1m =时，原方程为：10x −+=，解得：1x =；综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．【例24】 已知关于x 的一元二次方程22(2)320m x x m ++−=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】2m =【解析】由已知得：20m ，即2m ≠ 将0x =代入，得：220m −= 解得：2m =． 又2m ≠ ∴2m =【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a −=≠；（2）25||60x x −−=．【难度】★★★【答案】（1）当a c 、同号时，12ac acx x == 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==−，．【解析】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x −−=∴2cx a=(6)(1)0x x −+= 当a c 、同号时，12ac acx x ==； ∵10x +> ∴60x −= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==−，． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠． 【难度】★★★【答案】121x x a b a b==+−，．【解析】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠ [()1][()]0a b x x a b −−−+=∴121x x a b a b ==+−，．【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．【例27】 方程2(2016)2015201710x x −⋅−=的较大的根是a ，方程2201620170x x −−=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】2(2016)2015201710x x −⋅−= 2201620170x x −−= 222016(20161)(20161)10x x −−+−= 20171x x−2222016(20161)10x x −−−= (2017)(1)0x x −+= 2(20161)(1)0x x +−=∴1220171x x b ==−=，；∴122112016x x a =−==，；∴2017()0a b +=．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x −= B ．210x x ++= C ．211x x ++=D ．221x x x +=−【难度】★ 【答案】B【解析】A 选项是分式方程；C 选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会 学到的无理方程；D 选项化简后为10x +=是一元一次方程；故选择B 选项． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题2】 关于x 的方程2(3)10m x mx +−+=是不是一元二次方程? 【难度】★ 【答案】不一定．【解析】当30m +≠即3m ≠−时，原方程是一元二次方程； 当30m +=即3m =−时，原方程是一元一次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +−+−=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________． 【难度】★【答案】121412k kx k ≠−+−−；；；．【解析】略．【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．随堂检测【习题4】 若方程2()0x a b −+=有解，则b 的范围是_______． 【难度】★ 【答案】0b ≤．【解析】移项，得：2()x a b −=−， 由方程有解，得：0b −≥，∴0b ≤． 【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【难度】★★ 【答案】B【解析】将0x =代入，得：0m =当00m n ==，时，120x x ==，与题意矛盾， 故00m n =≠，，选择B ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】12．【解析】由已知得两个方程是同一个方程，将24x =左右两边同时乘以3，得：2312x =， ∴12a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x −+=+（直接开平方）； （2）20ax abx bc cx −−+=（0a ≠）（因式分解）． 【难度】★★【答案】（1）12485x x ==， ；（2）12cx x b a=−=， ． 【解析】（1）29(44)4(1)x x x −+=+ （2）∵0a ≠,原方程为一元二次方程 229(2)4(1)x x −=+ 整理得：2()0ax ab c x bc −−−= 3(2)2(1)x x −=±+ax c xb−① 3(2)2(1)x x −=+ ②3(2)2(1)x x −=−+ ()()0ax c x b +−= 解得：12485x x ==，； 解得：12cx x b a=−=，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22(2)(12)x =−； （2）2x x =； （3）(3)(1)5x x +−=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠． 【难度】★★【答案】（1）121221x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，． 【解析】（1）2(12)x ± （2）20x x −=① 212x − ②2(12)x =− ， (1)0x x −=，解得：121221x x =−=−； 解得：1201x x ==，；（3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程， 2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠，(4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x−−−−解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx −−=+−=和有共同的根是1−，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】将1x =−代入，得：310250a b a b +−=⎧⎨−−=⎩，① ×2+②，得：770a −=， 解得：1a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【难度】★★★【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=， 解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．【习题11】 已知：若2242350a a b b c −+−+−+=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★【答案】12312x x =−=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c −+−+−=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +−=，分解因式，得： (23)(1)0x x +−=． 解得原方程的解为：12312x x =−=，．【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=． ∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a −=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +−=+D ．2332057x x +−= 【难度】★ 【答案】B课后作业【解析】A 、C 、D 选项均符合定义，B 选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B ． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=−+是恒等式，则a b c ++=____________． 【难度】★【答案】（1）222(1)(1)x x x −+=+； 240x x −=； （2）－10．【解析】（1）根据题意得：222(1)(1)x x x −+=+ 化简，得：240x x −=；（2）化简得：2(1)(1)(12)0a x b x c −+−++= 由题意，得：1112a b c ===−，，， ∴10a b c ++=−．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．【作业3】 方程22(2)0p x px q −++=是一元二次方程成立的条件是（）．A ．2p ≠B ．2p ≠−C ．2p ≠D ．0p =【难度】★ 【答案】C【解析】令220p −≠，解得：2p ≠± 【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．【作业4】 如果方程2(1)0x m x m −++=的两个根互为相反数，那么有（）．A ．0m =B ．1m =−C ．1m =D ．以上结论都不对【难度】★★ 【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x −=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；② 设方程的根为12x a x a ==−，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧−++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =−．【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=−+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0 B ．-1，0 C ．1，-1 D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨−+−+=⎪⎩，1211x x ∴==−，，故选择C ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(12)(32)20x x −+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x −++−+=； （3）2(35)5(35)40x x +−++=； （4）2220()x ax a a +−=为已知常数． 【难度】★★【答案】（1）12212x x ， （2）124242x x ==−； （3）124133x x =−=−，； （4）122x a x a =−=，． 【解析】（1）2(12)(32)20x x +−+=， （2）整理得：22640x −=，[(12)1](2)0x x +−=， 232x =，解得：12212x x ， 解得：124242x x ==−；（3）2(35)5(35)40x x +−++= （4） 2220()x ax a a +−=为已知常数351354x x +−+−2x a xa−(351)(354)0x x +−+−=， (2)()0x a x a +−=解得：124133x x =−=−，； 解得：122x a x a =−=，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++−=的一个根，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】2n =【解析】将1x =代入得：21250n ++−=， 解得：2n = 【总结】本题考查了方程的根的概念．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x −−+−=+． 【难度】★★★【答案】 ①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，43x =； ③ 当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b −−−−+−=2a b ab−2a b ab−22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +−−−−+=；①当(2)()0a b a b +−≠时，即2b a b a ≠−≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++−−−[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++−−−= 解得：122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，原方程为22340a x a −+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a −−=，解得：23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ② 20b a =−≠时，43x =； ③当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解． 【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知得：21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．【总结】本题考查了方程的解得概念．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★【答案】67x y +=−或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++−=67x y x y+−+(6)(7)0x y x y +−++= 解得：67x y +=−或． 【总结】本题考查了特殊方程的解法．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +−−++=是一元二次方程．【难度】★★★【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；21122m n ⎧+=⎨−=⎩；21022m n ⎧+=⎨−=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．。
八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。
BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。
（对于任BA何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
人教版初中八年级上册数学课件 《分式方程》分式(第4课时)
分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式 子表示的值.
含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有 表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
含字母的分式方程的解法 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注 意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已 知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
即 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2mn ,
整理得 2(m n)x (m n)2，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得x m n ，
2
经检验，x m n 是原分式方程的解. 2
随堂练习
1.已知关于x的分式方程 ax - 2 1的解与方程 x 4 3
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 整理得(5+k)x=3+k.
①原分式方程有解，则 x 3 k ，则 3 k 0 且 3 k ≠1，
解得k≠-3.
5k 5k 5k
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
课堂小结
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已 知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又 要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案.
相同.
a1 x-1
x
所以将x=2代入含字母的分式方程，可得关于a的一个 分式方程，
八年级数学上册知识点归纳：方程的概念
八年级数学上册知识点归纳：方程的概念知识点1：一元一次方程只含有一个未知数，而且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0．不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一样有无穷多解。
代数方程:代数方程通常指整式方程。
有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因此也包括分式方程和无理方程。
等式:用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，别离叫做那个等式的左侧、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式;两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。
方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
解一元一次方程的一样步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4．归并同类项：把方程化成ax=b几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式大体性质：不等式两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．一元一次不等式的解法步骤：去分母去括号移项归并同类项系数化成1一元一次不等式组的解法步骤：别离求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．（2)在数轴上表示各个不等式的解集．写出不等式组的解集．一元一次不等式组的四种情形：知识点4一元二次方程大体概念：只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程3x2+x-2=0的常数项是-2（任意）一次项系数为（任意），二次项是3（任意不为0）一元二次方程的求根公式：一元二次方程的解法：1．解一元二次方程的直接开平方式若是一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，那么依照平方根的概念能够用直接开平方式来解．2．解一元二次方程的配方式先把方程的常数项移到方程的右边，再把左侧配成一个完全平方式，若是右边是非负数，可通过直接开平方式来求方程的解，也确实是先配方再求解．3．解一元二次方程的公式法利用求根公式解一元二次方程的方式叫公式法．4．解一元二次方程的因式分解法在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再别离令每一个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．一、选择题（每题3分，共30分）一、已知方程x2-6x+q=0能够配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2能够配方成以下的（）A、（x-p）2=B、（x-p）2=9、（x-p+2）2=9D、（x-p+2）2=二、已知是方程x2-x-1=0的一个根，那么代数式2-的值等于（）A、-1B、0、1D、23、假设α、β是方程x2+2x-XX=0的两个实数根，那么α2+3α+β的值为（）A、XXB、XX、-XXD、40104、关于x的方程x2+3x-1=0有实数根，那么的取值范围是（）A、≤-B、≥-且≠0、≥-D、＞-且≠0、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么那个方程是（）A、x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=0六、已知关于x的方程x2-（2-1）x+2=0有两个不相等的实根，那么的最大整数值是（）A、-2B、-一、0D、17、某城XX年末已有绿化面积300公顷，通过两年绿化，绿化面积逐年增加，到XX年末增加到363公顷，设绿化面积平均每一年的增加率为x，由题意所列方程正确的选项是（）A、300（1+x）=363B、300（1+x）2=363、300（1+2x）=363D、363（1-x）2=300八、甲、乙两个同窗别离解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和，乙把常数项看错了，解得两根为2+和2-，那么原方程是（）A、x2+4x-1=0B、x2-4x+1=0、x2+4x+1=0D、x2-4x-1=0九、假设方程x2+x+1=0和方程x2-x-=0有一个相同的实数根，那么的值为（）A、2B、0、-1D、10、已知直角三角形x、两边的长知足|x2-4|+=0，那么第三边长为（）A、2或B、或2、或2D、、2或二、填空题（每题3分，共30分）1一、假设关于x的方程2x2-3x+=0的一个根是1，那么另一个根是1二、一元二次方程x2-3x-2=0的解是13、若是（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b 的值是14、等腰△AB中，B=8，AB、A的长是关于x的方程x2-10x+=0的两根，那么的值是一、XX年某市人均GDP约为XX年的12倍，若是该市每一年的人均GDP增加率相同，那么增加率为1六、科学研究说明，当人的下肢长与身高之比为0618时，看起来最美，某成年女士身高为13，下肢长为92，该女士穿的高根鞋鞋根的最正确高度约为（精准到01）17、一口井直径为2，用一根竹竿直深切井底，竹竿高出井口0，若是把竹竿斜深切井口，竹竿恰好与井口平，那么井深为，竹竿长为1八、直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，那么此直角三角形的面积为1九、若是方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，那么的值是20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，那么+的值为三、解答题（共60分）2一、解方程（每题3分，共12分）（1）（x-）2=16（2）x2-4x+1=0（3）x3-2x2-3x=0（4）x2+x+3=02二、（8分）已知：x一、x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值23、（8分）已知：关于x的方程x2-2（+1）x+2=0（1）当取何值时，方程有两个实数根？（2）为选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根24、（8分）已知一元二次方程x2-4x+=0有两个不相等的实数根（1）求的取值范围（2）若是是符合条的最大整数，且一元二次方程x2-4x+=0与x2+x-1=0有一个相同的根，求现在的值二、（8分）已知a、b、别离是△AB中∠A、∠B、∠所对的边，且关于x的方程（-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判定△AB的形状2六、（8分）某工程队在我市实施棚户区改造进程中承包了一项拆迁工程，原打算天天拆迁1202，因为预备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加速了拆迁速度，第三天拆迁了14402求：（1）该工程队第二天第三天天天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求那个百分数27、（分）某水果批发商场经销一种高级水果，若是每千克盈利10元，天天可售出00千克，经市场调查发觉，在进货价不变的情形下，假设每千克涨价1元，日销售量将减少20千克（1）现该商场要保证天天盈利6000元，同时又要顾客取得实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）假设该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？一元二次方程单元测试题参考答案一、选择题1～BBB6～10BDAD提示：3、∵α是方程x2+2x-XX=0的根，∴α2+2α=XX 又α+β=-2∴α2+3α+β=XX-2=XX二、填空题11～1±42或1610%16～2067，43提示：14、∵AB、A的长是关于x的方程x2-10x+=0的两根∴在等腰△AB中假设B=8，那么AB=A=，=2假设AB、A其中之一为8，另一边为2，那么=1620、∵△=32-4×1×1=＞0∴α≠β又α+β=-3＜0，αβ=1＞0，∴α＜0，β＜0三、解答题2一、（1）x=9或1（2）x=2±（3）x=0或3或-1（4）2二、解：依题意有：x1+x2=1-2ax1•x2=a2 又（x1+2）（x2+2）=11∴x1x2+2（x1+x2）+4=11 a2+2（1-2a）-7=0a2-4a-=0∴a=或-1又∵△=（2a-1）2-4a2=1-4a≥0∴a≤∴a=不合题意，舍去，∴a=-123、解：（1）当△≥0时，方程有两个实数根∴[-2（+1）]2-42=8+4≥0∴≥-（2）取=0时，原方程可化为x2-2x=0，解之得x1=0，x2=224、解：（1）一元二次方程x2-4x+=0有两个不相等的实数根∴△=16-4＞0∴＜4（2）当=3时，解x2-4x+3=0，得x1=3，x2=1当x=3时，=-，当x=1时，=0二、解：由于方程为一元二次方程，因此-b≠0，即b≠又原方程有两个相等的实数根，因此应有△=0即4（b-a）2-4（-b）（a-b）=0，（a-b）（a-）=0，因此a=b或a=因此是△AB等腰三角形2六、解：（1）120（1-20%）=1000（2）因此，该工程队第一天拆迁的面积为10002（2）设该工程队第二天，第三天天天的拆迁面积比前一天增加的百分数是x，那么1000（1+x）2=1440，解得x1=02=20%，x2=-22，（舍去），因此，该工程队第二天、第三天天天的拆迁面积比前一天增加的百分数是20%27、解：（1）设每千克应涨价x元，那么（10+x）（00-20x）=6000解得x=或x=10，为了使顾客取得实惠，因此x=（2）设涨价x元时总利润为，那么=（10+x）（00-20x）=-20x2+300x+000=-20（x-7）2+612当x=7时，取得最大值，最大值为612答：（1）要保证天天盈利6000元，同时又使顾客取得实惠，那么每千克应涨价元（2）假设该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7元，能使商场获利最多。
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1对3辅导教案
1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念；
2．理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法； 3．会解可化成一元二次方程的分式方程．
（此环节设计时间在10-15分钟）
教法说明：首先回顾下上次课的预习思考内容
1．一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程． 2．一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程叫做一元n 次方程． 3．一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．
4．（1）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的
方程就叫做二项方程．
（2）二项方程的一般形式为0(0,0,)n
ax b a b n +=≠≠是正整数 （3）二项方程根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根
当n 为偶数时，如果ab <0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；
如果ab >0，那么方程没有实数根.
5．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．
A ．212x x x =+
B ．33x x x --=
C ．100991x x x -=-
D ．()71
10x x
+= 6．下面四个关于x 的方程中，次数和另外三个不同的是（ ）．
A ．231ax x a +=-
B ．32x x ax -=
C ．3230ax a x x ++=
D ．33x a = 7．下列方程中，是二项方程的是（ ）
A . 230x x +=；
B .42230x x +-=；
C .41x =；
D . 2
(1)80x x ++=.
参考答案：5．C ； 6．A ； 7．C
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：用适当的方法解下列方程
（1）()2
28x -= （2）22410x x --=
（3）2699910x x --=
（4）()()2
12115x x ---=
教法说明：首先回顾下解一元二次方程的四种方法：开平方法、因式分解法、配方法、公式法，要求灵活应用四种方法解一元二次方程，可以让学生观察四个方程分别用什么方法解比较简单。
强调：求根公式要求学生熟练掌握
参考答案：（1）开平方法：12222,222x x =+=-+； （2）公式法：122626
,22
x x +-=
= （3）配方法：12103,97x x ==-； （4）因式分解法：126,2x x ==- 例题2：解下列关于x 的方程
（1）(32)2(3)a x x -=- （2）2
2
11(1)bx x b -=-≠-
1223
,(1)034x x x =-=-+检验把代入均不为
所以1223
,34
x x =-=-均为原方程的根.
（2）设22
21x x y x +=-，那么22112x x x y -=+，于是原方程变形为3
811y y
+=， 去分母，得 2
81130y y -+=，解得：13
8
y =
，21y = 当138y =时，22
2318x x x +=-， 去分母并整理，得251630x x ++=，解得 121
,35
x x =-=-. 当21y =时，即22
211x x x +=-， 去分母并整理，得：21x =-， 解得 31
2
x =- 检验：把1231
1
,3,5
2
x x x =-=-=-
分别代入原方程的分母，各分母都不等于0 所以原方程根是：12311
,3,52
x x x =-=-=-.
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
1．方程32320x x x --=的解是 __________． 2．方程2
(9)0x x -=的实数根有________个． 3．x x 83=的解是____________________． 4．方程
3
1903
x +=的解是 ． 5．关于x 的方程2(32)2(32)()3
a x x a -=-≠-的根是 ． 6．方程01224=-+-x x x 的解为________________． 7．下列方程中，只有两个实数根的方程的个数是（ ） ①023=-x x ②02432=+-x x ③1624=x ④06524=+-x x
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．解下列方程
（1）429180x x -+= （2）425360x x +-=
∴7482
k =---或或 3．去分母：2460x x a +--=；此时0∆>且2x =±不是此方程的根；
当0∆>时，14(46)0a --->，解得：25
16
a >-
而当2x =时，0a =； 当2x =-时，1a =-； ∴25
16
a >-
且0a ≠且1a ≠- （此环节设计时间在5—10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
【巩固练习】
1．方程①422100x x -+=；②6220x x +=；③310x x ++=；④42x =是双二次方程的有（ ）． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 2．如果关于y 的方程()
213a y -=无解，那么a 值是 3．解下列方程：
（1）425140x x --=； （2）422310x x -+=；。