高中数学必修五《简单的线性规划问题》优秀教学设计

§3.3.2 简单的线性规划问题（第一课时）

【学习目标】

1. 复习掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域；

2. 了解线性规划的意义以及线性的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解的概念；

3. 了解线性规划问题的图解法，掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。

【重点和难点】

重点、难点：掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。

【课堂教学】

（一）复习：二元一次不等式（组）与平面区域

1. 满足二元一次不等式（组）的解()y x ,可以看成直角坐标平面内点的坐标。于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。

2. 平面区域：二元一次不等式表示平面区域的判定方法是：以线定界（包括边界，画实线；不包括边界，画虚线），以点定域（以0>++C By Ax 为例）：（1）画边界：即画出直线0=++C By Ax 。

（2）定区域：在直线0=++C By Ax 的一侧取一个特殊点()00,y x 作为测试点代入式子C By Ax ++，由C By Ax ++00的符号判定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，当

0≠C ，

常选取()0,0作为测试点；当0=C ，常选取()0,1或()1,0作为测试点。（3）求交集（公共部分）：二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域的公共部分。

【温故而知新】

1. 在平面直角坐标系中，若点()t A ,2-在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是___________。

2. 点()2,1与点()4,3-在直线0=++a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是____________。

3. 画出不等式（组）⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并求其面积。

（二）简单的线性规划问题

1. 线性规划问题中的基本概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解。

2. 线性目标函数C By Ax z ++=（B A ,不全为0）中，当0≠B 时，B C z x B A y -+-

=，看成斜率为B A -，在y 轴上的截距为B

C z -的直线，其位置随z 的变化而变化，形成一组平行直线。则把求z 的最大值和最小值的转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值和最小值。 因此，只需先作出直线x B A y -=，再将这条直线平行移动，看截距B

C z -何时取最大值和最小值，找到最优解。一般情况下，最优解在可行域的顶点处取得，然后将最优解代入目标函数，求出目标函数的最值。

【例】已知关于y x ,的二元一次不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≥+≤-≤+02142x y x y x ，求函数y x z -=3的最大值和最小值。

变式：设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩

⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，求y x z 3-=的最小值和最大值。

【方法总结】求线性目标函数最值的步骤：

（1）作图：画出约束条件（不等式组）所表示的平面区域，同时画出目标函数所表示的任意一条直线l ；

（2）平移：将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；

（3）求值：联立相应直线的方程组，求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值。