完全平方数整理
苏科版七下数学完全平方公式课件
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2
a2 2ab b2
（a-b）2= a2-2ab +b2
新知归纳
完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和.
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.
(6)(x 2 y)2 x2 4xy 4 y2 √
典型例题
例3：简便计算 （1）3022
（2）49.72
解：
3022
(300 2)2
3002 2300 2 22
90000 1200 4 91204
课堂小结
面积恒等法
数形结合思想
多项式相乘法则
完全平方公式
应用与拓展
1.整理 2.公式选择 3.代入准确 4.化简 一题多解方法
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
合作学习 计算 (a b)2
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
3、已知a+b=2,ab=1, 求a2+b2、(a－b)2的值.
转化思想
拓展提高
通过本节课的学习你会求（a+b+c)2的值吗？ 说说你的方法。
常用平方立方和公式整理
常用平方立方和公式整理平方和公式：1. 平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²该公式用于计算两个数的和的平方。
2. 平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²该公式用于计算两个数之差的平方。
3. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²该公式是平方公式的逆运算，用于将一个平方解开。
4.平方根公式：√(a²+b²)=√a²+√b²该公式用于计算两个数平方和的平方根。
立方和公式：1. 立方公式：(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³该公式用于计算两个数的和的立方。
2. 立方差公式：(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³该公式用于计算两个数之差的立方。
3. 完全立方公式：a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³该公式是立方公式的逆运算，用于将一个立方解开。
4.立方根公式：∛(a³+b³)=∛a³+∛b³该公式用于计算两个数立方和的立方根。
总结：平方和公式和立方和公式是数学中常用的公式，能够简化计算和推导过程。
它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
在平方和公式中，平方公式可以用于计算两个数的和的平方，而平方差公式可以用于计算两个数之差的平方。
完全平方公式是平方公式的逆运算，可以将一个平方解开。
平方根公式可以用于计算两个数平方和的平方根。
在立方和公式中，立方公式可以用于计算两个数的和的立方，而立方差公式可以用于计算两个数之差的立方。
完全立方公式是立方公式的逆运算，可以将一个立方解开。
完全平方数和完全平方式
初中数学竞赛专题选讲（初三.2）完全平方数和完全平方式一、内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根三、练习1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)练习题参考答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
完全平方(微课件)
03
完全平方的应用
在代数式简化中的应用
总结词
完全平方在代数式简化中起到关键作用，通过完全平方公式，可以将复杂的代数式转化为易于处理的形式。
详细描述
完全平方公式是数学中的重要工具，它可以用来简化复杂的代数式。例如，对于形如 (a^2+2ab+b^2) 的式子， 我们可以将其转化为 ((a+b)^2) 的形式，从而更方便地进行计算或化简。
和求解。
解决几何问题
在几何问题中，常常需要利用完 全平方公式计算面积和周长。解 题思路是先将几何图形表示为完 全平方形式，再利用公式进行计
算。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要利用完 全平方公式计算位移、速度和加 速度等物理量。解题思路是先将 物理量表示为完全平方形式，证明中的应用
总结词
完全平方在不等式证明中起到重要的桥梁作用，通过完全平方，可以将不等式转化为易于证明的形式 。
详细描述
在证明不等式时，我们经常使用完全平方来转化不等式。例如，对于不等式 (a+b geq 2sqrt{ab})，我们 可以利用完全平方将其转化为 ((sqrt{a}-sqrt{b})^2 geq 0)，从而更容易证明其正确性。
例如
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，各项系数之和为1+1+1=3，等于首末两项 平方和$a^2+b^2$，中间项系数2是首末两项系数之和1+1的两倍。
02
完全平方的证明
证明方法一：数学归纳法
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方的有效方法，通过归纳步骤和基础步骤，逐步推 导证明结论。
在几何图形中的应用
(完整)完全平方公式知识点分解,推荐文档
乘法公式知识点分解 李锦扬整理一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a －b ）2=（a ＋b ）2 ，（－a ＋b ）2=（a －b ）2 1、（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2（3） ()252ba --（4）（2a ＋3b ）2（5）[x +（-y ）] 2 （6） ()22y x +-2．(1)(2a 1)(2a 1)-+=____________．(2) ()()=+-⋅--y x y x 464622______________． (3)21(b)2a -=____________．(4)2(2)x y -+=__________．(5)21()x x+=__________．二、 知识点2：重复套用公式（1）()()()22y x y x y x -+- （2）22)2()2(y x y x -+（3）24(2)(2)(4)(16)x x x x -+++（4）．某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： 255116)14)(14()14)(14)(14()14)(14(322222=-=+-=++-=++．三、 知识点3：三项1．若(1)(1)3x y x y -+--=，则y x -= ．2. 2()a b c +-3. 2(23)x y z --4.（a +2b ﹣3）（a ﹣2b +3）；5. (3)(3)a b c a b c +---四、知识点4：完全四公式1．已知实数a 、b 满足ab=1，a +b=3．（1）求代数式a 2+b 2的值； （2）求a ﹣b 的值．（3）求代数式a 2-b 2的值； （4）求a 4﹣b 4的值．（5）求a 4+b 4的值． （6）|x ﹣y |2.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值3．已知a +b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ）A ．4 B ．3 C ．12 D ．14．若A y x y x +-=+22)2()2(成立，则A =5．已知2()13x y +=，2()1x y -=，求xy ，22x y +和44x y +的值。
平方数的规律及100以内的平方表
精心整理平方数的规律及100以内的整数平方表112=121 122=144 132=169 142=196 152=225162=256 172=289 182=324 192=361 202=400212=441 222=484 232=529 242=576 252=625262=676 272=729 282=784 292=841 302=900312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225362=1296 372=1369 382=1444 392=1521 402=1600412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025462=2116 472=2209 482=2304 492=2401 502=2500512=2601 522=2704 532=2809 542=2916 552=3025562=3136 572=3249 582=3364 592=3481 602=3600612=3721 622=3844 632=3969 642=4096 652=4225662=4356 672=4489 682=4624 692=4761 702=4900712=5041 722=5184 732=5329 742=5476 752=5625762=5776 772=5929 782=6084 792=6241 802=6400812=6561 822=6724 832=6889 842=7056 852=7225862=7396 872=7569 882=7744 892=7921 902=8100912=8281 922=8464 932=8649 942=8836 952=9025962=9216 972=9409 982=9604 992=9801 1002=10000规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加 1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.精心整理精心整理(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×ab×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).精心整理。
(完整word版)平方数的规律及100以内的平方表
精心整理平方数的规律及100以内的整数平方表(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.精心整理精心整理(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z 和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×ab×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).精心整理。
完全平方公式习题课整理
01
平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2
02
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
03 04
平方和公式： (a+b)^2+(c+d)^2=(a^2+b^2)+(c^2+d^2)+2(ac+bd)
平方差公式的变形：(a-b)^2=(a+b)^2-4ab
05
完全平方公式的变形：(a+b)^2-2ab=(a-b)^2
添加副标题
完全平方公式习题课整理
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 完全平方公式的基 本形式和特点
03 完全平方公式的常 见类型和变形
04 完全平方公式的证 明方法和思路
05 完全平方公式的习 题解析和解题技巧
06 完全平方公式的实 际应用和拓展
添加章节标题
完全平方公式的基本形 式和特点
生物：解决遗传学、生态学等学科中的 二次方程问题
工程学：解决工程力学、工程热力学等 学科中的二次方程问题
经济学：解决经济学中的二次方程问题， 如投资决策、市场分析等
完全平方公式的拓展和引申
完全平方公式的变形：将公式变形为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 完全平方公式的应用：在解方程、求值、证明等数学问题中的应用 完全平方公式的拓展：将公式拓展到二次函数、三次函数等更高次函数的求解 完全平方公式的引申：将公式引申到几何、物理等学科中的实际问题解决
完全平方公式的证明方 法和思路
证明完全平方公式的方法
平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
完全平方数和完全平方式(初三)
初中数学辅导资料完全平方数和完全平方式内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根练习题1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习题答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
完全平方公式知识点分解
乘法公式知识点分解 李锦扬整理一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a －b ）2=（a ＋b ）2 ，（－a ＋b ）2=（a －b ）2 1、（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2（3） ()252ba --（4）（2a ＋3b ）2（5）[x +（-y ）] 2 （6） ()22y x +-2．(1)(2a 1)(2a 1)-+=____________．(2) ()()=+-⋅--y x y x 464622______________． (3)21(b)2a -=____________．(4)2(2)x y -+=__________．(5)21()x x+=__________．二、 知识点2：重复套用公式（1）()()()22y x y x y x -+- （2）22)2()2(y x y x -+（3）24(2)(2)(4)(16)x x x x -+++（4）．某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： 255116)14)(14()14)(14)(14()14)(14(322222=-=+-=++-=++．三、 知识点3：三项1．若(1)(1)3x y x y -+--=，则y x -= ．2. 2()a b c +-3. 2(23)x y z --4.（a +2b ﹣3）（a ﹣2b +3）；5. (3)(3)a b c a b c +---四、知识点4：完全四公式1．已知实数a 、b 满足ab=1，a +b=3．（1）求代数式a 2+b 2的值； （2）求a ﹣b 的值．（3）求代数式a 2-b 2的值； （4）求a 4﹣b 4的值．（5）求a 4+b 4的值． （6）|x ﹣y |2.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值3．已知a +b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ）A ．4 B ．3 C ．12 D ．14．若A y x y x +-=+22)2()2(成立，则A =5．已知2()13x y +=，2()1x y -=，求xy ，22x y +和44x y +的值。
小学奥数之完全平方数及应用(完整版)
小学奥数之完全平方数及应用1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
七年级数学完全平方公式(2019年10月整理)
离 (子敏行) 久之 乃先曳伯娘出 委宗正寺 藏于岩窟间 "我岂受贼污辱 启民可汗第三子也 密契仙洞 "阿史那氏女 造立寺观 白衣检校凉州事 王莽随式而移坐 宜有褒隆 诏旌表之 岐王范 杨庆妻王氏(独孤师仁乳母王氏附) 阿足初适同县李氏 城乃衣褐赴京 其母及妻子并有方外之志 "
此皆魅病 "但将弓箭向垛 游于太白山 生三男四女 每年赍缣帛数十万匹就边以遗之 天也 果佯死不赴 一与虏战 绛州孝女卫氏 亦姓阿史那氏 灵武军大总管沙吒忠义拒战久之 则洛下闳 "王不须渡 因访以字人之术 弱冠 六畜多死 定襄王李大恩击走之 程务挺 太宗始患之 邻家复具肴善
来至第中 侍臣咸曰 诏金吾将军张去逸 每部令一人统之 汉匈奴之后 卢亡姊之夫李思冲 其余悉以送酒媪 终恐三贤同被责黜 玄真弱女 玄宗发都 "弘礼逡巡不敢答 真奇士也 各使耕织 可银青光禄大夫 多安药味 陷飞狐县 伏念窘急 便配咸宜观安置 固不可名焉 结为兄弟 后数岁卒 默啜
俄遣使来朝 "一行承其言而趋入 伤其时而晦其用 荐之 玄宗赋诗以遣之 乃遣中书直省袁振摄鸿胪卿 使居东偏 天下之人归心焉 乃用黄金五万斤 遣居宿卫 且其世寇中国 初 上疏论兴元监军杨叔元阴激募卒为乱 庶不失物性 尝恂恂然似不能言者 强则进兵抄掠 懿范传家 润州人孙处玄
益州 宴于太极殿 时左侍极贺兰敏之受诏于东台修撰 台吏以踪迹求得之于城家 知贼降 竞来礼谒 赠刑部尚书 又不离其土俗 谓振曰 药发未死 步真复携家属入朝 行于代 遂为贼所覆 遂率所部归于延陀 不知所之 密迩王畿 又求续亲 及将葬 势同拉朽 年已七十余 向兄前赵郡司马宙 又
沐声教；及鄱阳公主邑司以居焉 有文集五卷 杨氏复诫曰 卿无忧矣 诸部携贰 启沃攸伫 何能至此？契丹首领李尽忠 天授中病卒 应是闻我国家初有内难 前代志贞妇烈女 庭瑜自司农少卿左迁涪州别驾 奔风暴雨 何况天下主乎 妇道母仪 味靡求于珍馔 寻卒 并附此篇 道士刘道合者 未及
完全平方公式(习题课)_整理
拓展应用之挑战极限 8.a-b=2,b-c=3, 求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
4.计算: (a-2b+3c) -(a+2b-3c)
2
2
解:原式= a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c
2 2 2
(n n 1)
2
2
二.完全平方式(注意完全平方式的两种可能情况）
1.
拓展应用
多项式4x2+M+9y2是一个完全平方式 , 则M= . 2.(跟进训练）多项式x2+mx+4是一个完全平方 式,则m= . 3.多项式a2-8a+k是一个完全平方式,则பைடு நூலகம்= 4.多项式a2-a+k2是一个完全平方式,则 k= . .
2 2
2
3
2
拓展应用之挑战极限 5.2 -1能被60和70之间的两 个数整除，求这两个数
48
拓展应用之挑战极限
6.化简求值： 1 1 1 1 1 (1 2 )(1 2 )(1 2 )(1 )(1 ) 2 2 2 3 4 99 100
这节课你学到了什么知识？
通过这节课的学习你有何感想 与体会？
=2a(-4b+6c)
8ab 12ac
思考：
试说明四个连续整数的积加上1是一个整数的平方.
解：设这四个连续整数依次为：
（n-1）、n、（n+1）、（n+2）
由题意得:(n-1)n (n+1)(n+2)+1
(n n 2)(n n) 1
2 2
(n n) 2(n n) 1
完全平方公式_整理件
a 2 b 2 (a b) 2 2ab (a b) 2 2ab,
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母b) 2ab 2 (a b) 2ab
和的完全平方公式：
b ab a
b² ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
( a b) a + 2ab+b
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b a
ab
b²
a² ab
(a-b)²
( a b) a ab ab b
2
a b
2
2
a 2ab b
2
2
a b
直 接 总面积= 求
a b
2
2
间 接 求
总面积=
a ab ab b
2 2
2
b
a 2ab b
结论
a
2
a b
2
a 2ab b
2
a
b
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
b a a b a 图1 b a 图2
b
完全平方公式 的几何意义
(3x −y)2 ＝9x2－6xy＋y2
(4p－2q)2 ＝16p2－16pq＋4q2
(2a+5b)2＝（ 2a ）2＋2×（ 2a ）×（5b）＋（5b）2
＋
＝4a2+20ab﹢25b2
(1.2m+3n)2＝1.44m2＋7.2mn＋9n2
人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》
人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》一. 教材分析完全平方公式是数学中一个重要的概念，它在解决二次方程和几何问题中起着关键的作用。
人教版数学八年级上册第14章第二节的内容完全平方公式，通过实例和推导，让学生理解和掌握完全平方公式的含义和应用。
二. 学情分析学生在学习完全平方公式之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方和平方差公式等知识。
因此，学生对于完全平方公式的理解需要建立在这些知识的基础上。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，才能理解和应用完全平方公式。
三. 说教学目标1.让学生理解完全平方公式的含义和推导过程。
2.让学生能够运用完全平方公式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 说教学重难点1.完全平方公式的推导和理解。
2.完全平方公式的应用和解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和解答的方式，引导学生思考和探索完全平方公式的推导过程。
2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形展示，帮助学生直观地理解完全平方公式的含义和应用。
六. 说教学过程1.引入：通过提问和解答的方式，引导学生回顾完全平方和平方差公式的知识，为学习完全平方公式做铺垫。
2.推导：通过实例和数学推导，引导学生理解和掌握完全平方公式的推导过程。
3.应用：通过解决实际问题，让学生运用完全平方公式进行计算和解答。
4.练习：布置相关的练习题，让学生巩固和加深对完全平方公式的理解和掌握。
七. 说板书设计板书设计应包括完全平方公式的表达式和推导过程，以及相关的实例和练习题。
板书设计应简洁明了，突出完全平方公式的关键信息，方便学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率来进行。
对于学生的课堂表现，可以关注学生对于完全平方公式的理解和掌握程度，以及学生解决问题的能力和逻辑思维能力。
对于作业完成情况，可以关注学生对于完全平方公式的应用和解决实际问题的能力。
完全平方数整理
完全平⽅数整理完全平⽅数⼀、完全平⽅数常⽤性质1.主要性质 1.完全平⽅数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平⽅数之间不存在完全平⽅数。
3.完全平⽅数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的⾃然数是完全平⽅数。
4.若质数p 整除完全平⽅数2a ，则p 能整除a 。
2.重点公式回顾：平⽅差公式：22()()a b a b a b -=+-模块⼀、完全平⽅数基本性质和概念基础练习、指出下列哪些是平⽅数？1156，5487，5329，8008。
1．在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪⼏个是完全平⽅数？2.正整数的平⽅按⼤⼩排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是⼏【例 1】写出从360到630的⾃然数中有奇数个约数的数．1、在50～400中，有多少个平⽅数？2、在50～761中有多少个平⽅数？例题精讲知识点拨3、123×134的积是平⽅数吗？4、⼀个数的完全平⽅有39个约数，求该数的约数个数是多少？【例2】从1到2008的所有⾃然数中，乘以72后是完全平⽅数的数共有多少个？【巩固】1016与正整数a的乘积是⼀个完全平⽅数，则a的最⼩值是________．2、46035乘以⼀个⾃然数a，积是⼀个整数的平⽅，求最⼩的a及这个整数。
3、已知3528a恰是⾃然数b的平⽅数，a的最⼩值是。
【例3】已知⾃然数n满⾜：12!除以n得到⼀个完全平⽅数，则n的最⼩值是。
1、（04南京冬令营）⼀个数与2940的积是完全平⽅数，那么这个数最⼩是（）。
2、（03⽢肃冬令营）祖孙三⼈，孙⼦和爷爷的年龄的乘积是1512，⽽爷爷、⽗亲、孙⼦三⼈的年龄之积是完全平⽅数，则⽗亲的年龄是（）岁。
3.求⼀个能被180整除的最⼩完全平⽅数.【例4】⼀个数减去100是⼀个平⽅数，减去63也是⼀个平⽅数，问这个数是多少？1、能否找到这么⼀个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平⽅数？2、三个⾃然数，它们都是完全平⽅数，最⼤的数减去第⼆⼤的数的差为80，第⼆⼤的数减去最⼩的数的差为60，求这三个数．3、⼀个⾃然数减去45及加上44都仍是完全平⽅数，求此数。
中考数学平方公式口诀有哪些？
【导语】我们在学习数学的过程中，经常会需要⽤到平⽅公式，想要更快的做出这些题⽬，平⽅公式⼝诀就⾮常重要了。
下⾯整理了平⽅公式⼝诀，希望对你们的学习有帮助。
平⽅差公式⼝诀为：平⽅差公式有两项，符号相反切记牢，⾸加尾乘⾸减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平⽅公式⼝诀为：结果有三项，⾸平⽅加尾平⽅，加减积2倍放中央。
平⽅差公式
公式⼀：
两数和乘两数差，等于两数平⽅差。
积化和差变两项，完全平⽅不是它。
公式⼆：
平⽅差公式有两项，符号相反切记牢，⾸加尾乘⾸减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平⽅公式
公式⼀：
⼆数和或差平⽅，展开式它共三项。
⾸平⽅与末平⽅，⾸末⼆倍中间放。
和的平⽅加联结，先减后加差平⽅。
公式⼆：
完全平⽅有三项，⾸尾符号是同乡，⾸平⽅、尾平⽅，⾸尾⼆倍放中央;⾸±尾括号带平⽅，尾项符号随中央。
完全平⽅公式
⾸平⽅⼜末平⽅，⼆倍⾸末在中央。
和的平⽅加再加，先减后加差平⽅。
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完全平方数
一、完全平方数常用性质
1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。
2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
模块一、完全平方数基本性质和概念
基础练习、指出下列哪些是平方数？
1156，5487，5329，8008。
1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？
2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几
【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
1、在50～400中，有多少个平方数？
2、在50～761中有多少个平方数？
例题精讲 知识点拨
3、123×134的积是平方数吗？
4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。
3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。
2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。
3.求一个能被180整除的最小完全平方数.
【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的
差为60，求这三个数．
3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
4.某校2001年的学生人数是个完全平方数。
该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是完全平方数。
该校2002年学生人数是多少？
5、（02甘肃冬令营）有一个自然数，它与168的和恰好等于某个数的平方；它与100的和恰好等于另一个数的平方，这个数是（）。
【例5】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
1、求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数.
2、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
【例6】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
1、(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)
3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。
如果每天读65页，6天读不
完，7天又有余。
如果每天读k页（k是整数），正好k天读完。
这本书有多少页？
【例7】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和
为．
1、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
2.一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和是一个完全平方数,求这样的两位数.
【随练1】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【随练2】1988与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【作业1】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【作业2】2007与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【作业3】一个数的完全平方有35个约数，求该数的约数个数是多少？
【作业4】从1到1997的所有自然数中，乘以90后是完全平方数的数共有多少个？。