定积分在物理中的应用
定积分在物理中的某些应用
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解: 建立坐标系如图. 所论半圆的
方程为
(0 x R)
利用对称性 , 侧压力元素
dF 2 g x R2 x2 dx
端面所受侧压力为
F
R
0
2g
x
小R窄2 条x上2 d各x点的2压g 强R3 P g x3
2019年12月9日9时34分
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2
由于质点在细杆的中垂线上,从而水平合力为零.
垂直方向合力为: Fx
l
2
kmMa
(a 2
x
2
)
3 2
dx
l 2
l
2019年12月9日9时34分
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12
Fx
l
2
kmMa
(a 2
x
2
)
3 2
dx
l 2
l
2
l
2
kmMa
(a2
x2
3
对质点的万有引力.
y
解: 建立坐标系如图. 任取
a
[x , x dx] [ l , l ] , 22
则位于该区间上的细杆的质量为
M
dM dx .
于是它对质点
m
l
的引力的大小为
l 2
xdx
o x lx
2
dF
km dM r2
km a2 x2
M l
dx
.
2019年12月9日9时34分
窄条形所受的压力约为
O
A(0,3)
定积分物理应用公式

定积分物理应用公式定积分在物理学中有着广泛的应用,可以帮助我们计算一些重要的物理量,如质心、力矩和功等。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 质心的计算:质心是一个物体的平均分布位置,可以用定积分来计算。
对于一维情况下的质心计算,我们可以使用以下公式:质心位置x_c = (1/M) * ∫(x * dm)其中,M是物体的总质量,x是物体的位置,dm是质量元素。
通过对物体的质量进行微元的划分,然后对每个微元的位置乘以质量进行积分,就可以得到质心的位置。
2. 力矩的计算:力矩是一个物体受力时产生的转动效应,可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的力矩计算,我们可以使用以下公式:力矩M = ∫(r x F) dx其中,r是力矩臂的长度,F是作用在物体上的力,dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分,然后对每个微元的位置乘以力进行积分,再乘以力矩臂的长度,就可以得到力矩的大小。
3. 功的计算:功是一个物体在受力作用下所做的功,可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的功计算,我们可以使用以下公式:功W = ∫(F dx)其中,F是作用在物体上的力,dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分,然后对每个微元的位置乘以力进行积分,就可以得到功的大小。
以上是定积分在物理学中的一些应用。
通过定积分的计算,我们可以得到质心的位置,力矩的大小和功的大小,从而帮助我们更好地理解和分析物体的运动和受力情况。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用,而且在工程实践中也有着广泛的应用。
在实际应用中,我们可以通过测量和实验来获取所需的物理量,然后将其代入相应的定积分公式中进行计算。
这样可以帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况,从而指导我们的实际操作和应用。
定积分在物理学中有着重要的应用,可以帮助我们计算质心、力矩和功等物理量。
通过定积分的计算,我们可以更好地理解和分析物体的运动和受力情况,从而指导我们的实际操作和应用。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用,而且在工程实践中也有着广泛的应用。
定积分在物理上的应用
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定积分在物理上的应用
一、变力做功
1.某质点受到F=6x2的力的作用,从x=0处移动到x=
2.0m处,求力F做了多少功
2.半径等于r的半球形水池,期中充满了水,把池内完全抽干,至少要做多少功?
3.地球质量M,半径为R,万有引力常量G,地球表面质量为m的物体具有的重力势能多大?
4.一质量为m的机动小车,以恒定速度v在半径为R的竖直圆轨道内绕“死圈”运动,已知动摩擦因数为μ,问在小车从最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功?
二、求位移或时间
5.蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m 的A点处时,速度为v1=2cm/s。
问蚂蚁继续由A点爬到距离巢中心2m的B点需要多长时间?
三.求力
6.设有一竖直的阐门,形状是等腰梯形,尺寸如图所示,当水面齐闸门顶时,求闸门所受的水的压力
3m
7.有一密度为ρl,半径为r的半球放在盛有密度为ρ2的液体的容器底部,它与容器底部密切接触(即半球表面与容器底面间无液体),若液体深度为H,问半球体上表面所受压力是多大?
8.一根长为L的均匀直棒,其线密度为ρ在它的一端垂线上距直棒a处有质量为m的质点,求棒对质点一引力。
四、求转动动能
9.长为L,质量为m均质杆在水平面内以角速度ω绕通过杆端的竖直轴o转动,试求杆的动能
10一圆环质量为m,半径为R,绕它的一条直径为轴以角速度ω转动,求其动能
11.上题改为球壳,求球壳的动能
12.上题改为球体,求球的动能
五、证明正弦交流电的最大值的有效值的2倍。
定积分在物理学中的应用
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定积分在物理学中的应用积分在物理学中作为一种“全局”而非局部的方法,能够用来求解许多复杂系统的总体属性,广泛地应用于物理学中各个方面,其中最常用的就是力学。
积分在力学中的应用主要有两个方面:求解力的动力学和求解位置的力学。
其中动力学通常应用导数,如布朗-特里安力学中的机械动力学,而位置力学则通常使用积分,像是拉格朗日力学的位置力学等。
布朗-特里安力学是一种建立在冯·诺依曼结构的物理学理论。
它主要用于描述与经典力相关联的系统,通过使用细分和积分来求解系统。
简而言之,使用导数和积分,就可以求出系统的运动方程。
而根据拉格朗日力学,可以得出一个系统的动力学特性,也就是说可以得出其运动轨迹方程。
积分在电磁学中也有重要的应用。
例如,世界著名的电磁学家盖伊·法拉第曾将电磁学的所有现象描述为电磁场的密度和磁场的流量,他提出了一个统一的方程——完全电磁学方程(Maxwell's equation),它将电磁波的表现形式写作∮⃗E.dt,其中⃗E为电场的强度矢量,把这个积分写成A=∫E⃗Adt⃗。
综上所述,Maxwell's equation可以用来求出电磁波在任何情况下的分布情况。
积分在物理学中也有许多应用,例如量子力学中的对称性分析。
量子力学中常使用到对称性和对称性分析,而积分正好可以帮助我们求出量子力学模型的特殊参数的值。
此外,积分还被广泛用于统计力学中,例如统计力学方程和各种热力学量的求解等。
总之,积分在物理学中有着广泛而重要的应用,使得物理学家可以更好地理解和探索现实物理世界。
历史上有着许多杰出物理学家,如爱因斯坦和爱迪生等,他们都在物理学领域有着杰出的贡献,而积分则是其中不可或缺的工具。
定积分在物理上的简单应用
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v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二:由定积分的几何意义,直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积,即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0, 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
定积分的应用于物理学
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定积分的应用于物理学定积分是微积分中一个极为重要的概念,它可以描述一个函数在一定区间内的面积。
除了数学上的应用之外,定积分在物理学中也有广泛的应用。
一、定积分在物理学中的应用1.速度和加速度在物理学中,速度和加速度是两个基本的物理量。
对于一个以某个加速度运动的物体,我们可以通过求解其速度关于时间的定积分来得到运动过程中的位移。
而得到位移后,我们还可以对它进行求导来获得速度和加速度的函数式。
2.质量和质心质量是物理学中另外一个基本的物理量,而质心则是一个系统的重心。
对于一个由若干个质点组成的系统,我们可以将每个质点的质量加起来,然后用质心的坐标来描述整个系统。
这个质心的坐标可以用各个质点坐标的定积分来求解。
3.力和功在物理学中,力是另一个基本的物理量。
对于一个物体在某个力场中做功,我们可以通过对力在某段距离上的积分来得到。
与此同时,我们也可以通过对某个物体所受多个力的叠加效应进行积分来得到最终的合力。
二、例子:牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本法则,它表明力等于物体质量乘以物体的加速度。
具体而言,我们可以用定积分来解决一个常见的牛顿第二定律问题。
假设一个物体受到一个恒定的力F作用,那么根据牛顿第二定律,我们可以得到以下方程:F = ma其中,a是物体的加速度,m是物体的质量。
为了求解这个方程,我们需要将其改写为以下形式:a = F/m这个定理告诉我们,当一个物体受到一个力的作用时,它的加速度是与它的质量成反比例的。
因此,我们可以用定积分来求解运动过程中的位移。
假设我们知道物体的初始速度v0和它所受的力F(t)关于时间t 的函数式,我们可以求出物体在某段时间内的加速度函数a(t)。
一旦我们知道了加速度函数,我们就可以将它关于时间的定积分求解出来,得到物体在受到力的作用下所走过的位移。
这个过程可以用以下公式来描述:x(t) = v0t + ∫0t a(t)dt其中,v0是物体的初始速度,a(t)是物体在受到力的作用下的加速度函数。
高等数学中定积分在物理学领域中的应用

在物理学中,定积分是一种非常重要的数学工具,它被广泛应用于各种物理问题的建模与求解。
通过对定积分的运用,我们可以更好地理解物理现象,解释实验结果,并推导出物理定律。
本文将就高等数学中定积分在物理学领域中的应用展开探讨。
一、定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中的应用在物理学中,质心、转动惯量和力矩是常见的物理量,它们的计算与定积分有着密切的联系。
1. 质心的计算质心是一个物体或系统的平均位置,其坐标可以通过下式进行计算:在这个公式中,x 表示物体上各个微小质量元的横坐标,f(x) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
通过对质心的计算,我们可以更好地理解物体的分布特性,分析物体的运动规律。
2. 转动惯量的计算转动惯量描述了物体对旋转的惯性大小,它可以通过下式进行计算:在这个公式中,r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离,f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
转动惯量的计算在研究物体的旋转运动、平衡问题以及惯性驱动等方面具有重要意义。
3. 力矩的计算力矩是描述物体受到旋转影响的力的大小,它可以通过下式进行计算:在这个公式中,r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离,f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度,F 表示施加在物体上的力。
力矩的计算在分析物体的平衡条件、弹性形变以及稳定性等方面有着重要的应用。
通过以上介绍,我们可以看到定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中具有重要的应用价值,它为我们理解物体的运动特性提供了重要的数学工具。
二、定积分在牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的应用牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的一些重要公式也与定积分有着密切的联系。
1. 牛顿第二定律的应用牛顿第二定律描述了物体受到外力作用时的加速度大小与所受合外力成正比的关系,可以通过下式进行表达:在这个公式中,F 表示物体所受的合外力,m 表示物体的质量,a 表示物体的加速度。
通过定积分,我们可以更好地理解力的作用及其引起的加速度变化。
定积分在物理上的应用举例
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浅谈定积分的意义
纯粹几何图形而言,定积分的意义是由曲线、x轴,区间起点的垂直线x=a、
区间终点的垂直线x=b,所围成的面积。
也可以广义而言,定积分的几何意义就是“抽象的面积”。例如:如果横 轴是体积,纵轴是压强,“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功; 如果横轴是时间,纵轴是电流,“抽象面积”的意义是电源对外放出的电 量、、、、、、 定积分是一种重要的数学思想,如今定积分思想广泛应用于物理、医学、 经济学、化工等领域,具有极大的应用价值。
上述公式计算,而是应用定积分思想,采用元素法来计算。
例.有一长度为L,密度为ρ的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m
的质点M,计算该棒对质点M的引力。
解:建立坐标系
取y为积分变量,y∈[这一区间对应
y+dy],
的棒上小段可近似看成质点,
质量为ρdy,小段与质点的距 离为
定积分在物理上的应用举例
目录
1.用定积分求解平均功率问题 2.用定积分求解引力问题
一、平均功率问题
二、引力问题
质量分别为M、m的质点,相距r,两者间引力: 大小:
F K
Mm
方向:沿两质点的连线
r
2
如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该
点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能用
THANK YOU
r
a
2
y
2
细杆对质点的引力:
dF k mρdy
a
2
y
2
水平方向的分力:
dFx dF cos( π - ) -dF cos a amρdy
a
定积分在物理上的应用

连线方向.
如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么,由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的,且各点对该质点的引力方向也是变化的, 就不能用此公式计算.
例 3 有一长度为 l 、线密度为 r 的均匀细棒,
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M ,计算该棒对质点 M 的引力.
解
建立坐标系如图
(k 是常数),当这个单位正电荷在电场中从
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时,计算电场力F 对
它所作的功.
解 取r 为积分变量,
q
•o
a•
1
•r•
•
r
•
•
dr
•b
r
r [a,b],
取任一小区间[r, r dr], 功元素
dw
kq r2
dr,
所如求果功要为考w虑将ab单krq2位dr电荷k移q到 1r无ba穷远kq处 a1
o
x
x dx
x
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
端面上所受的压力
P
R
0
2x
R2 x2dx
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2 x2
3
R 0
2
3
R3.
例 2 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板
垂直地浸人水中,斜边朝下,长直角边与水面 平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边 长,求薄板所受的侧压力.
压力
由 物 理 学 知 道 , 在 水 深 为h 处 的 压 强 为
p h,这里 是水的比重.如果有一面积为A
的平板水平地放置在水深为h 处,那么,平板一 侧所受的水压力为P p A.
定积分在物理上的应用-文档资料

例 4 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点
物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方,那么电场对它的作用力的大小为
端 面 上 所 受 的 压 力
2 2 P 2 x R x dx 0 R
2 2 2 2 R x d ( R x ) 0 R
2 2 2 3 2 3 R x R . 3 3 0
R
例 2 将直角边各为 a 及 2 a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中,斜边朝下,长直角边与水面 平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边 长,求薄板所受的侧压力.
连 线 方 向 .
m 由 物 理 学 知 道 , 质 量 分 别 为 距 为 1, m 2相
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 , 那 么 , 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 , 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 , 就 不 能 用 此 公 式 计 算 .
1
功元素 dw [ r , r dr ] 取 任 一 小 区 间 ,
b
b
kq dr, 2 r
kq 1 1 1 kq 所求功为 w a 2 dr kq . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w a
kq 1 kq dr kq . 2 a r r a
解 在端面建立坐标系如图
数学分析10.5定积分在物理中的某些应用
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第十章 定积分的应用 5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1:如图所示为一管道的圆形闸门(半径为3米). 问水平面齐及直径时,闸门所受到的水的静压力为多大? 解:圆的方程记为:x 2+y 2=9.由相同深度的静压强等于水的比重(v)与深度(x)的乘积,当△x 很小时,闸门上从深度x 到x+△x 的狭条△A 所受的静压力为: △P ≈dP=2vx 2x 9-dx. 闸门上所受的总压力为: P=⎰-302x 9vx 2dx=18v.二、引力例2:一根长为l 的均匀细杆,质量为M ,在其中垂线上相距细杆为a 处有一质量为m 的质点。
试求细杆对质点的万有引力。
解:如图,细杆位于x 轴上的[-2l ,2l ], 质点位于y 轴上的点a.任取[x, x+△x]⊂[-2l ,2l ],当△x 很小时, 把这一小段细杆看作一质点, 其质量为dM=lMdx. 于是它对质点m 的引力为: dF=2r kmdM =l Mx a km 22⋅+dx. 又dF x =dFsin θ, dF y =dFcos θ, 且F x =⎰-22x dF ll =0;F y =⎰-22y dF l l =-2θcos M x a km 2022⎰⋅⋅+l l dx=-2⎰+2022 )x a (kmMa 23ll dx=-a 4a 2kmMa 22l +.例3:设有一半径为r 的圆弧形导线,均匀带电,电荷密度为δ,在圆心正上方距圆弧所在平面为a 的地方有一电量为q 的点电荷. 试求圆弧形导线与点电荷之间作用力(引力或斥力)的大小.解:把中心角为d φ的一小段导线圆弧看作一点电荷,其电量为dQ=δrd φ. 它对点电荷q 的作用力为: dF=2ρkqdQ =22r a kqr δ+d φ. dF z =dFcos θ=dF ·22r a a +=23)r a (akqr δ22+d φ. ∴它们之间的作用力为:F z =⎰π20z dF =⎰+π202223)r a (akqr δd φ=23)r a (πakqrδ222+.三、功与平均功率例4:一圆锥形水池,池口直径30米,深10米,池中盛满了水。
定积分在物理中的应用

km a2 x2
M l
dx.
由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不
能直接对 dF 积分,为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴
两个方向上, 得
dFx dF sin , dFy dF cos .
由 cos a
得垂直方向总合力为
a2 x2
Fy
l
2 l
dFy
2
2
l 2
kmMa
所作功的微分为
I
2 0
R
sin2
t
dt
.
一个周期所作功为
W
I
2 0
R
T sin2 t dt,
0
于是,平均功率为:
P W I02R T sin2 t dt
T 2 0
I
2 0
R
2 sin2
s ds
I
2 0
R
2
(1 cos 2s)ds
2 0
4 0
1 2
I02 R.
例4 一圆锥形水池, 池
口直径 30 米, 深 10米,
O
池中盛满了水. 试求将
全部池水抽出池外需作
10
x
的功?
解 如图建立直角坐标系.
将池中深度为 x 到 x + 的一薄层水Δ抽x到池口
15 y
x x+Δx
所作的功 W 的微元为
dW vxdV ,
而
dV
π
15
1
x 10
2
dx,
因此
于是求得
一、液体静压力
例1 如图所示为管道
的圆形闸门(半径为 3
米). 问水平面齐及直 径时,闸门所受到的水 的静压力为多大(设水
定积分的物理应用

定积分的物理应用在物理学中,定积分是一种重要的数学工具,广泛应用于各个领域。
定积分可以用于求解某一物理量在给定范围内的总量、平均值、功率等问题,为理解和解决物理问题提供了强大的数学支持。
本文将探讨定积分在物理学中的几个典型应用。
一、质点运动中的位移和路径长度在物理学中,研究质点在空间中的运动是一项基础工作。
定积分可以用来计算质点在一段时间内的位移和质点沿着某一曲线运动的路径长度。
假设质点在一维坐标轴上运动,位移是计算质点所在位置与初始位置之间的距离差。
可以用定积分来描述质点在一段时间内的位移,其计算公式为:\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]其中,v(t)表示质点运动的速度函数,t1和t2表示计算位移的时间段。
路径长度是描述质点沿着某一曲线运动的总距离。
即使质点速度在不同位置的大小和方向都不同,也可以通过定积分来计算路径长度。
计算公式如下:\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[dx(t)]^2 + [dy(t)]^2 + [dz(t)]^2} \]其中,x(t)、y(t)、z(t)分别表示质点在x轴、y轴和z轴上的位置函数。
二、力学中的功和能量在力学中,定积分可以用来计算力学系统中的功和能量。
功是描述力对物体做功的量,可以通过定积分来计算。
在一维情况下,力对物体做功的公式为:\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]其中,F(x)表示作用在物体上的力,x1和x2表示计算功的位置范围。
能量是物理系统的重要性质,也可以通过定积分来计算。
例如,在弹簧振子系统中,弹性势能可以用以下定积分表示:\[ E = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} kx^2 dx \]其中,k表示弹簧的弹性系数,x1和x2表示弹簧伸缩的位置范围。
三、流体力学中的流量和质量在流体力学中,定积分可以用来计算流体在一定时间内通过某一截面的流量和质量。
5.6定积分在物理上的应用

解
_
1
y
1 (1 x 2 )dx 2
1 (1) 1
3
例6 胰岛素平均浓度的测定
由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食,以降低
体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验
测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为
10t t 2 0 t 5 c
C(t
)
25e
k
(
60 0
5
1 (5t 2 1 t 3 ) 5 5 ek(t5) 60
60
3 0 12k
5
11.63(单位 / ml )
三、平均速度
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
故作用在活塞上的
力为 功元素为 所求功为
S
o a xx dx b x
例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
kq
1 r
b a
k
q
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 .
定积分在物理中的应用

探究:变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从 xБайду номын сангаасa移动到x=b(a<b),那么如何计算变力 y F(x)所做的功W呢? y=F(x)
f(b) f(a)
由”四步曲”能得到
W F ( x)dx
a
b
O
a
b
x
例题讲解:变力作功
例2 在弹性限度内,将一弹簧从平衡 位置拉到离平衡位置L米处,求克服弹 力所作的功.
0
10
40
60
t
(30+60) 30 1350(m) 2 不是所有的路程题都适用定积分的几何 意义求解
练习1:现学现用 一物体沿直线以v=2t+3(t 的单位:s,v的 单位:m/s)的速度运动,求物体在3s~5s 间行进的路程。
方法一:s
2
5
3
(2t 3) dt 5 3
2
(t 3t )
3 3 2 1050 ( 60 90 60) ( 402 90 40) 4 4
1350(m)
小结 :做变速直线运动的物体所经过 答:汽车 1分钟行驶了 1350m. b 的路S, s v(t )dt (v(t ) 0)
a
例题讲解:变速直线运动的路程
1
1 3 1 3 (5 2 2 ) (5 1 1 ) 3 3 8 3
练习3:能力提升
一物体在变力F(x)=5-x2作用下,沿与 F(x)成300方向作直线运动,则由x=1运 4 3 动到x=2时F(x)作的功为( (J ) ) 2 3 2 0 W (5 x ) cos30 dx F(x)
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(t2 - 4t + 3)dt =
4 =3(m).
4 即 t=4 s 时该点距离出发点3 m. 4 (2)由(1)知,t=4 s 时运动的路程为3 m.
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因为位置决定于位移,所以它是v(t)在[0,4]上的定积 分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上,哪个
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题型一 求变速直线运动的路程、位移 【例1】 有一动点P沿x轴运动,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速 度的正方向与x轴正方向一致).求
(1)P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点的路程和位移;
(2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值. [思路探索]
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解
(1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4,即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向
运动,当t>4时,P点向x轴负方向运动.
故t=6时,点P离开原点的路程
当t=6时,点P的位移为
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(2)依题意 (8t-2t2)dt=0, 23 2 即 4t - t =0, 3
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误区警示 忽视位移有正、负而出错 【示例】一点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s) 运动,求: (1)在 t=4 s 时的位置; (2)在 t=4 s 时运动的路程. [ 错 解 ] (1)t = 4 s 时 该 点 的 位 移 为
1 4 t3-2t2+3t 3 0
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2.定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即s=
v(t)dt.
(2)一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿
着与F相同的方向移动了s(单位:m),则力F所作的功为W=Fs; 而若是变力所做的功W,等于其力函数F(x)在位移区间[a,b]上 的定积分,即W= F(x)dx.
力,则 F(x)=kx. 依题意,使弹簧伸长 5 cm,需力 100 N,即 100=5k,所以 k =20,于是 F(x)=20x. 所以弹簧伸长到 40 cm 所做的功即计算由 x=0 到 x=15 所做 的功:W=
15 20xdx=10x2 0
=2 250(N· cm).
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【变式1】 变速直线运动的物体的速度为v(t)=1-t2,初始位置为
x0=1,求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置. 解 当0≤t≤1时,v(t)≥0,当1≤t≤2时,v(t)<0. 所以前2秒钟内所走的路程
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2 秒末所在的位置
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[规范解答] 由物理学知识易得, 压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k, 即 pV=k. k k ∵V=xS(x 指活塞与底的距离),∴p=V=xS. k k ∴作用在活塞上的力 F=p· S= · . S= xS x ∴所做的功 W=
b k b dx=k· xa =kln . ln x a
(4 分)
(8 分) (12 分)
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【题后反思】 解决变力作功注意以下两个方面: (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步. (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题.
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【变式 2】 设有一长为 25 cm 的弹簧,若加以 100 N 的力,则弹 簧伸长到 30 cm,求使弹簧伸长到 40 cm 所做的功. 解 设以 x 表示弹簧伸长的厘米数,F(x)表示加在弹簧上的
解得 t=0 或 t=6, t=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况, t=6 是所求的值.
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(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时, 将物理问题转化为数学问题是关键.
(2)路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在
区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区间, 然后分别计算,否则会出现计算失误.
1 它在前 2 秒内所走的路程为 2,2 秒末所在的位置为 x1=3.
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题型二 求变力所作的功
【例2】 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体,在等温 条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S)从 点a处推到b处,计算在移动过程中,气体压力所做的功. 力F对物体所做的功为W=F·S,求出变力F的表 达式是本题中求功的关键.
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名师点睛
1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移 的绝对值之和,从时刻t=a到时刻t=b 所经过的路程S和位移S′分别为: (1)若V(t)≥0,则S= V(t)dt,S′= V(t)dt.
(2)若V(t)≤0,则S=-
V(t)dt,S′=
V(t)dt.
(3)若在区间[a,c]上,V(t)≥0,在区间[c,b]上V(t)<0, 则s= V(t)dt- V(t)dt;S′= V(t)dt.
时间段的位移为负.
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[正解] (1)在 t=4 s 时该点的位移为
1 4 (t2-4t+3)dt=3t3-2t2+3t 0
4 =3(m).
4 即在 t=4 s 时该点距出发点3 m. (2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3), ∴在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0, 在区间[1,3]上,v(t)≤0, ∴在 t=4 s 时的路程为
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说明:做变速直线运动的物体所经过的路程s在数值上其实就是时
间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积,而变力做功实际上也是
位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积.在变力做功时,不限定 F(x)为非负数,这样求出来的定积分可能为负数.当定积分为负数 时,说明变力做负功,即克服变力做了功.
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想一想:利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 吗? 提示 路程是标量,位移是矢量,路程和位移是两个不同的概
念,(1)当v(t)≥0时,求某一时间段内的路程和位移均用
求解; (2)当v(t)<0时,求某一时间段内的位移用 一时段的路程是位移的相反数,即路程为- . 求解,这
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根据速度函数v(t)确定v(t)的符号才能转化为用定积分 求路程.
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1.7.2 定积分在物理中的应用
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【课标要求】
1.通过具体实例了解定积分在物理中的应用. 2.会求变速直线运动的路程、位移和变力作功问题. 【核心扫描】 利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所作的功.
(重点)
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自学导引 定积分在物理中的应用 作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速 变速直 线运动 度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积 分,即 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物 变力作功 体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b), 那么变力F(x)所作的功为