在极坐标系中如何求曲线的交点
直线与双曲线交点总结
直线与双曲线交点总结直线和双曲线是数学中常见的图形，它们在平面几何和解析几何中都有重要的应用。
而直线与双曲线的交点问题，也是一个常见的问题，对于理解和运用这两种图形都有着重要的意义。
在本文中，我们将总结直线与双曲线的交点问题，希望能够对读者有所帮助。
首先，我们来看直线与双曲线的交点问题。
直线与双曲线的交点可以分为两种情况，一种是直线与双曲线相切于一个交点，另一种是直线与双曲线相交于两个交点。
对于第一种情况，我们可以通过求解直线和双曲线的方程组来确定交点的坐标。
而对于第二种情况，我们可以通过求解直线和双曲线的方程组来确定交点的坐标，并且需要注意直线与双曲线的位置关系，以确定是否有两个交点。
其次，我们来讨论一些特殊情况下的直线与双曲线的交点问题。
当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线将没有交点；当直线与双曲线的渐近线重合时，直线与双曲线将有无穷多个交点；当直线垂直于双曲线的渐近线时，直线与双曲线将有两个交点。
这些特殊情况需要我们特别注意，并且在求解交点时需要进行相应的讨论。
最后，我们需要总结一些常见的解题方法和技巧。
在求解直线与双曲线的交点时，我们可以利用直线和双曲线的方程进行求解，也可以通过几何分析和图形性质进行求解。
同时，我们还可以利用参数方程和极坐标系等方法来求解直线与双曲线的交点。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并且需要注意化简计算和检查结果的合理性。
综上所述，直线与双曲线的交点问题是一个重要且常见的问题，对于理解和运用直线和双曲线都有着重要的意义。
在解决这类问题时，我们需要注意特殊情况的讨论，选择合适的方法进行求解，并且需要进行合理的化简和检查。
希望本文的总结能够对读者有所帮助，也希望读者能够在实际问题中灵活运用这些知识，解决相关的问题。
极坐标参数方程题型归纳7种
极坐标参数方程题型归纳7种标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A的极坐标为A⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A到直线l的距离为________．[立意与点拨]本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+yx，因为1cossin22=+xx，令⎩⎨⎧==ααcos2sin6yx，则有X+2y=αsin6+αcos4=()ϕα++sin166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B 两点，则|AB|＝________．【解析】直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x－y＝0，y2－x2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－22，y＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x＝22，y＝322.所以点A⎝⎛⎭⎪⎫－22，－322，B⎝⎛⎭⎪⎫22，322.所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )， 解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72.解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围．(根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。
极点与极线的调和性在高考中的应用
极点与极线的调和性在高考中的应用在高考数学中，极点与极线的调和性是一个重要的概念。
它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。
本文将从极点与极线的定义、调和性、应用等方面进行探讨，帮助考生更好地理解和掌握这一概念。
极点是指在一个函数图像上，一个点所对应的函数值。
而极线是指过这个点所作的切线与x轴的交点的横坐标。
在高考数学中，极点与极线通常指的是函数的极值点和临界点。
极点与极线的调和性是指在一定条件下，函数的极值点和临界点的位置之间存在一定的关系。
在高考数学中，通常会考察函数的单调性、最值等问题，这些问题都与极点与极线的调和性有关。
在高考数学中，最值问题是一个常见的题型。
利用极点与极线的调和性，可以将函数进行分解，从而得到函数的最小值或最大值。
例如，对于一个二次函数y=ax^2+bx+c，可以利用极点与极线的调和性求出其最小值或最大值。
不等式是高考数学中的另一个重要题型。
利用极点与极线的调和性，可以将不等式转化为函数的最值问题，从而得到不等式的解。
例如，对于一个不等式x^2+bx+c>0，可以利用极点与极线的调和性求出其解集。
方程是高考数学中的另一个重要题型。
利用极点与极线的调和性，可以将方程转化为函数的最值问题，从而得到方程的解。
例如，对于一个方程ax^2+bx+c=0，可以利用极点与极线的调和性求出其解。
极点与极线的调和性是高考数学中的一个重要概念。
它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。
考生需要熟练掌握极点与极线的定义、调和性、应用等方面，才能更好地理解和掌握这一概念。
考生还需要注意一些常见的错误和易错点，如忽视函数的定义域、不考虑函数的单调性等。
只有全面掌握这一概念，才能在高考数学中取得好成绩。
极点和极线是解析几何中的重要概念，它们对于描述和解决圆锥曲线问题具有重要的应用价值。
通过理解极点和极线的性质，我们可以更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
第15章第81讲坐标系与曲线的极坐标方程课件新人教A版课件
⊙C的极坐标方程为
ρ=8sinθ.
2点M 对应的直角坐标为0 , 4，直线?l的
直角坐标方程为 3x y 5 3 0，则圆心M
4 5 到直线l的距离d
3 9
3 5所以
2
2
直线l与e C相离.
在极坐标系中，求圆的极坐标方程，常 结合直角三角形的边角关系.本题也可以先 求圆的直角坐标方程，然后化为极坐标方程.
这类题多采用化生为熟的方法，即常将 极坐标方程化为普通方程，再进行判断.
【变式练习1】曲线 0( 0)， ( 0)
3
和 4所围成的面积．
【解析】由极角的几何意义得曲线 0，
3
( 0)在直角坐标系中分别是射线y＝0(x 0)与
射线y＝x(x 0)；由＝4得 2＝16，在直角坐标
掌握好极坐标和直角坐标的互化 公式是解本题的关键.
【变式练习3】在极坐标系中，已知圆
＝2 cos与直线3 cos 4 sin a
0相切，求实数a的值．
【解析】圆 2 cos的普通方程为x2 y2 2x，
即(x 1)2 y2 1，
直线3 cos 4 sin a 0的普通方程为3x
3 cos 1 sin 2 2，
2
2
即 3 x 1 y 2 2，即 3x y 4 2 0. 22
由点到直线的距离公式求得极点 0, 0 到该
直线的距离为2 2.
5.在极坐标系中，过点(2， )作圆 4sin的切
4
线，则切线的极坐标方程为 cos 2 .
的极坐标方程的形式，是解决有关极坐标问题的基
本保证.
•
3.在极坐标系中，判断曲线的形状，研究曲线
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即 ，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点⎩⎨⎧==)()(tfytfxM（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆： （为参数，的几何意义为圆心角），θθsincosryyrxx+=+=θθ特殊地，当圆心是原点时，θθsincosryrx==注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+θθt1y=3sin y=cos y=t2+θθ21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆： （为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）θθsincosbyax==θθ注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：θθsincosbyyaxx+=+=Eg ：求椭圆=1上的点到M （2,0）的最小值。
203622y x +3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： （为参数，代表离心角），中心在θθtan sec b y a x ==θ（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）pt y pt x 222==直线方程与抛物线方程联立即可得到。
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
极坐标与参数方程基本题型及解题思路
极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
圆锥曲线解题技巧应用极坐标方程解题
圆锥曲线解题技巧应用极坐标方程解题在数学中，圆锥曲线是与一个双曲线、抛物线或椭圆相关的二维曲线。
解决圆锥曲线问题通常需要熟悉各种曲线的性质和方程。
其中，极坐标方程是一种经常应用的解题技巧。
本文将介绍圆锥曲线解题时应用的极坐标方程以及相关技巧和例题。
一、极坐标方程的基本概念极坐标是一种描述平面上点的坐标系，其中每个点由极径和极角确定。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中r 是点到原点的距离，θ 是点与极轴的夹角。
圆锥曲线的极坐标方程通常可以写成以下形式：1. 椭圆：r = a(1 - e*cosθ)2. 双曲线：r = a(1 + e*cosθ)3. 抛物线：r = a(1 - e*sinθ)其中 a 是焦点到准线的距离（也称为半焦距），e 是离心率。
二、极坐标方程解题技巧1. 确定曲线类型：首先通过曲线的方程判断是椭圆、双曲线还是抛物线。
根据方程中的参数，可以判断曲线的形状和特征。
2. 确定半焦距和离心率：通过方程中给出的参数，可以计算出椭圆、双曲线或抛物线的半焦距和离心率。
这些值将在后续的解题过程中提供重要的信息。
3. 根据极坐标方程绘制图形：利用计算机或手绘的方式，在极坐标系中绘制出曲线的形状。
这有助于直观地理解曲线的性质和特征，并准备后续解题的步骤。
4. 求解相关问题：根据具体的题目要求，利用极坐标方程和曲线性质进行解题。
可以通过求交点、切线、曲率等来解决各种问题。
三、应用实例例题一：求给定双曲线极坐标方程r = 2/(1 + 3cosθ) 的离心率和半焦距。
解析：根据双曲线的极坐标方程r = a(1 + e*cosθ) 可知，此题中的 a = 2，即半焦距为 2。
要求离心率 e，可以将方程转换为标准形式，得到2/(1 + 3cosθ) = a/(1 + e*cosθ)。
比较系数可知 e = 3。
例题二：给定椭圆极坐标方程 r = 4/(2 - cosθ)，求椭圆的焦距。
解析：根据椭圆的极坐标方程 r = a(1 - e*cosθ) 可知，此题中的 a = 4。
2020年高中数学选修 极坐标方程 知识点总结+经典题型汇总 学生版
极坐标方程【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴． 要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2. 点的极坐标在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 轴旋转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）（其中n 为整数）．一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标（1）同一个点：如极坐标系中点4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,26k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）都表示点4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,6π⎛⎫⎪⎝⎭、4,3π⎛⎫⎪⎝⎭、4,2π⎛⎫⎪⎝⎭，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为圆心，以ρ为半径的圆．（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-），关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，πθ-）．（4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则2212121212||2cos()PP ρρρρθθ=+--． 特例：当12θθ=，1212||||P P ρρ-=-． 要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则①极坐标化直角坐标：cos ,sin x y ρθρθ== ②直角坐标化极坐标：222,tan (0)yx y x xρθ=+=≠这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释：由222x y ρ=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)yx xθ=≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，θ角才能由tan yxθ=按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值； （2）当x=0，y ＞0时，可取2πθ=；（3）当x=0，y ＜0时，可取32πθ=．要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=称为曲线C 的极坐标方程． 在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρθ=，设点P 的一极坐标为,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标9,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可． 2. 求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略． 要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；若()()ρθρπθ=-，则图形关于射线2πθ=所在的直线对称；若()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称． 3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得2cos a ρθ=．坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为2cos a ρθ=． 也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ， 故圆的直角坐标方程为 (x －a)2+y 2=a 2，即 x 2+y 2=2ax ． 由坐标变换公式得 22cos a ρρθ=，即2cos a ρθ=． 这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程2cos a ρθ=就是圆上任意一点极坐标(,)ρθ所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程2cos a ρθ=的点都在这个圆上． （2）圆心在极点的圆如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为r ρ=（ρ∈R ）． 4．直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程．如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为α，即直线AA ＇的极坐标方程为 θα=（ρ≥0）和θπα=+（ρ≥0）．特别地，我们规定ρ为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为θα=（ρ∈R ），或θαπ=+（ρ∈R ）．（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程．如图所示，设(,)M ρθ为直线l 上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=θ，|OA|=a ，|OM|=ρ，所以有||cos ||OM OA θ=． 即cos a ρθ=，化为直角坐标方程为x=a ．（3）过点,2A a π⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为(,)M ρθ，连接OM ， 则有|OA|=a ，|OM|=ρ，2AOM πθ∠=-，在直角三角形AOM 中，我们有||cos ||2OM OA πθ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭． ∴cos 2a πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即sin a ρθ=，化为直角坐标方程为y=a ． 【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．【总结升华】本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：【变式1】下列各点中与2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭不表示极坐标中同一个点的是（ ）． A ．112,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．132,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．232,6π⎛⎫-⎪⎝⎭【变式2】 设点2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定0ρ>，πθπ-<≤）．【变式3】．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
坐标系_两线相交_动点_最小值__概述说明以及解释
坐标系两线相交动点最小值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将重点讨论与坐标系、两线相交、动点以及最小值相关的问题。
坐标系是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们描述和解决各种几何问题。
而在现实生活中，不同物体的运动轨迹往往会相互交叉，因此了解两线相交的原理和方法也是十分必要的。
动点和最小值则与路径规划和优化有关，在不同场景下寻找最优解能够提高效率或满足特定条件。
1.2 文章结构为了更好地阐述这些内容，本文将分为五个部分进行详细说明。
首先，在引言部分我们将给出整篇文章的概览以及目录结构。
随后，在坐标系部分，我们将介绍坐标系的定义、特点以及常见类型，并探讨坐标系之间的转换方法。
接下来，我们将深入研究两线相交问题，包括直线方程与解法、曲线与直线相交问题以及多个曲线相交问题。
在动点与最小值问题部分，我们将从动点和路径分析入手，然后介绍寻找最小值的方法和理论基础，并给出一些实际应用案例的解析。
最后，在结论与总结部分，我们将回顾研究结果，并进行对本文主题重要性的思考与展望。
1.3 目的通过本文的阐述和讨论，我们旨在帮助读者全面了解坐标系的概念和用途，提供解决两线相交问题的方法和技巧，以及探索动点与最小值问题的应用场景和解决方案。
同时，我们也希望能够引起读者对于这些数学概念和问题背后原理的兴趣，并展示它们在实际生活中的重要性和广泛应用。
通过深入研究和理解这些内容，读者可以更好地应对相关问题并具备一定的解决能力。
2. 坐标系2.1 定义和特点在坐标系中，我们可以用数值来表示平面上的点的位置。
它由两条互相垂直的直线（通常称为x轴和y轴）组成，并且这两条直线的交点被定义为原点（0,0）。
坐标系具有以下特点：- 可以用一对实数表示平面上的点的位置；- 平面上的每个点都有唯一的坐标；- 通过坐标系，我们可以进行几何图形的绘制、运动和变换。
2.2 常见坐标系类型在数学和物理中，常见的坐标系类型包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程1.直角坐标系与极坐标系可以互相转换。
在两个坐标系中取相同的长度单位，将直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴。
对于任意点M，其直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)，其中ρ表示点M到原点的距离，θ表示点M与极轴的夹角。
它们之间的关系是ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x（当x≠0时）。
2.直线的极坐标方程为ρsin(θ-α)=d，其中d为直线到极点的距离，α为极轴到直线的角度。
对于特殊位置的直线，如过极点的直线、过点M(a,0)且垂直于极轴的直线、过点M(b,π/2)且平行于极轴的直线，它们的极坐标方程分别为θ=α、ρcosθ=a、ρsinθ=b。
3.圆的极坐标方程为2ρ²-2ρr cos(θ-θ0)+r²=0，其中M(ρ,θ)为圆心，r为半径，θ0为极轴与圆心连线的角度。
对于特殊位置的圆，如圆心位于极点且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=r；圆心位于M(r,0)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2rcosθ；圆心位于M(r,π/2)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2r sinθ。
4.直线的参数方程为x=x0+t cosα，y=y0+t sinα，其中M(x0,y0)为直线上的一点，α为直线倾斜角，t为参数。
5.圆的参数方程为x=x0+r cosθ，y=y0+r sinθ，其中M(x0,y0)为圆心，r为半径，θ为参数，0≤θ≤2π。
6.椭圆的参数方程为x=a cosθ，y=b sinθ，其中a、b为长轴和短轴的长度；抛物线的参数方程为x=2pt²，y=2pt，其中p 为焦距的一半。
1.给定曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，在以极点为原点、x 轴正半轴为极轴的直角坐标系中，其参数方程为x=2cos(t)，y=2sin(t)。
2.给定曲线C的参数方程为x=t²，y=t，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，其极坐标方程为ρ=tan(θ)。
极坐标及极坐标方程
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。
他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。
此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。
瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。
J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。
在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。
有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。
通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。
国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。
由此看来，极坐标已应用到各个领域。
1.1 极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫点M 的极径，θ叫点M 的极角，有序数对()ρθ，就叫点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ()ρθ，．若点M 在极点，则其极坐标为ρ=0，θ可以取任意值。
图1-1 图1-2如图1-2，此时点M 的极坐标可以有两种表示方法： (1)ρ＞0，M ()ρπθ+， (2)ρ＞0，M ()ρθ-，同理，()()ρθρπθ-+，与，也是同一个点的坐标。
又由于一个角加2n π()n Z ∈后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。
备战2022届高考三轮解答题系列之极坐标与参数方程题型解法篇（3）（解析版）
备战2022届高考三轮解答题系列 --------极坐标与参数方程（2）题型解法篇（3）圆锥曲线的参数方程的应用题型一、圆的参数方程的应用【罗师导航】圆的参数方程可理解成动点坐标【例1-1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22sin 44πρρθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求AB 的值；(2)若点P 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求PAB △面积的最大值. 【答案】133913【解析】（1）242sin 44πρρθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭可化为：24sin 4cos 4ρρθρθ=+-，将cos sinx y代入，得曲线C 的直角坐标方程为：224440x x y y -+-+=.将直线l 的参数方程为11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入化简可得：230t t --=，设点A ，B 所对应的参数方程分别为1t ，2t ，满足0∆>，由12121,3,t t t t +=⎧⎨⋅=-⎩由直线参数的几何意义得，()2121212t 414313AB t t t t t =-=+-=+⨯=(2)将直线l 3230x y -+ ， 设()22cos ,22sin P θθ++，得点P 到直线AB 的距离为：()()322cos 22sin 23323cos 2sin d θθθθ+-++-+-34sin 334d πθ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭由（1）知13AB =d 取最大值时，1343913132PAB S +=△，所以PAB △3913【能力达标检测】【1-1】 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线l 的参数方程为{x =5−√32t y =−√3+12t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=4cos (θ−π3)．(1)求直线l 的倾斜角和圆C 的直角坐标方程； (2)若点P(x, y)在圆C 上，求x +√3y 的取值范围．【解析】(1)由直线l 的参数方程为{x =5−√32t y =−√3+12t（t 为参数），可得直线l 的直角坐标方程为y +√3=−√33(x −5)，即x +√3y −2=0，则直线l 过(5, −√3)，且倾斜角为5π6.由ρ=4cos (θ−π3)，可得ρ=2cos θ+2√3sin θ，两边同时乘以ρ，得ρ2=2ρcos θ+2√3ρsin θ，即(x −1)2+(y −√3)2=4.(2)由(1)可得，圆的参数方程为{x =1+2cos θ，y =√3+2sin θ，则x +√3y =2√3sin θ+2cos θ+4=4sin (θ+π6)+4，又−1≤sin (θ+π6)≤1，所以0≤x +√3y ≤8，即x +√3y ∈[0,8]．【1-2】以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin (θ+π4)．（1）在直角坐标系xOy 中，求曲线C 的参数方程；（2）在直角坐标系xOy 中，已知A(−1,0)，B(0,1)，P 为曲线C 上任意一点，求AP →⋅BP →的取值范围． 【答案】解：（1）已知ρ2=2√2ρsin (θ+π4)=2ρsin θ+2ρcos θ， 由{x =ρcos θy =ρsin θ，得x 2+y 2=2y +2x ，即(x −1)2+(y −1)2=2，所以参数方程为{x =1+√2cos αy =1+√2sin α，（α为参数）．（2）AP →⋅BP →=4+3√2cos α+√2sin α=4+2√5sin (α+φ)，其中tan φ=3， 所以AP →⋅BP →的取值范围是[4−2√5,4+2√5]．题型二、椭圆的参数方程的应用【罗师导航】椭圆的参数方程可理解成动点坐标【例2-1】（点到线的距离）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 212+y 24=1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ−π4)=a (a >0). (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线l 1交直线l 于点A ，且直线l 1与直线l 的夹角为45∘，若|PA|的最大值为6，求a 的值．【解析】(1)由√2ρcos (θ−π4)=a ，得√2ρ(cos θcos π4+sin θsin π4)=a ，∴ρcos θ+ρsin θ=a ， ∵x =ρcos θ，y =ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y =a ，即x +y −a =0．(2)依题意可知曲线C 的参数方程为：{x =2√3cos α,y =2sin α（α为参数），设P(2√3cos α,2sin α)，则点P 到直线l 的距离为：d =|2√3cos α+2sin α−a|√2=|4(√32cos α+12sin α)−a|√2=|4sin (α+π3)−a|√2．∵a >0，∴当sin (α+π3)=−1时，d max =√2．依题意得|PA |=√2d ，∴|PA |的最大值为√2d max =6，即√2×√2=6．∵a >0，∴解得a =2．【例2-2】（普通方程坐标表达式）已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1{23x t y t=+= (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换{ 12x xy y='='后得到曲线C '，设(),M x y 为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.【答案】（1）224x y +=，直线L 3320x y -= （2）1.312M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或312M ⎛-- ⎝⎭， 解析：（1）2ρ=，故圆C 的方程为224x y+=.直线l 的参数方程为1{23x t y t=+=， ∴直线l 方程3320x y --=.（2）由{ 12x xy y='='和224x y +=得C '：2214x y +=.设点M 为2{ x cos y sin θθ==，则223232cos 23x xy y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以当31M ⎛ ⎝⎭，或31M ⎛- ⎝⎭时，原式的最小值为1.【能力达标检测】【2-1】在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为102x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+． （1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 的夹角为60︒的直线，交l 于点N ，求MN 的最小值． 【答案】（1）210x y +-=0，2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（2215【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t ，可得直线l 的普通方程为210x y +-=0．将222p x y =+，cos x ρθ=代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程为229436x y +=，即22149x y +=故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（2）设()2cos ,3sin M ϕϕ，则M 到l 的距离55d ==，其中tan 43r =．如图，过点M 作MP l ⊥于点P ，则d MP =，则在Rt MNP △中，3sin602||dMN ︒==．当()sin 1r ϕ+=时，d 5故MN 5215=【2-2】在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为2cos (3x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 4ρθρθ+=. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与坐标轴交于,A B 两点，点P 在椭圆C 上运动，求PAB △面积的最大值.【答案】(1)22143x y +=；24x y +=.(2)8.【解析】曲线C 的参数方程为2cos (3x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)， 消去参数，可得曲线C 普通方程为22143x y +=，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 4ρθρθ+=，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，可得直线l 的直角坐标方程为24x y +=.(2)由直线l 的方程为24x y +=，当0x =时，2y =；当0y =时，4x =，即(0,2),(4,0)A B ,所以222(4)25AB =+-=(2cos 3)P αα，利用点P 到直线l 的距离为222cos 23sin 44cos()4512d αααθ+---==+当cos()1αθ-=-时，max 5d =所以PAB △面积的最大值为max 11258225PABS AB d =⨯⋅=⨯=.【2-3】已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=364cos 2θ+9sin 2θ，（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； （2）若P(x, y)是曲线C 上的一个动点，求3x +4y 的最大值． 解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2=364cos 2θ+9sin 2θ，x 29+y 24=1；（2）设P(3cos θ, 2sin θ)，则3x +4y =9cos θ+8sin θ=√145sin (θ+φ) 当sin (θ+φ)=1时，3x +4y 的最大值为√145【2-4】已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【答案】（1）2；（2）16.试题解析:（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()22,0-，则22m =-l 的参数方程2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ⋅==.（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的动点()23,2sin P θθ，则以P 为顶点的内接矩形周长为()4232sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16. 【2-5】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为213sin ρθ=+.（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若()00,B x y 为曲线2C 上的任意一点，求00232x y --的最小值.【答案】（1）1C ：2320x y --=，2C ：2214x y +=；（22. 【详解】（1）消去参数t 得1C ：2320x y --=，因为213sin ρθ=+，所以22413sin ρθ=+.所以2223sin =4ρρθ+.所以2C ：2214x y +=.（3）设()2cos ,sin B θθ，则0022322cos sin 32x y θθ=----=22324πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）当且仅当24k πθπ=-（k Z ∈）时，002322x y --= 【2-6】已知曲线C 1的方程为x 210+y 26=1，曲线C 2的参数方程为{x =12t,y =−8−√32t,(t 为参数)． 求C 1的参数方程和C 2的普通方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值． 解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =√10cos θ,y =√6sin θ,(θ为参数).由曲线C 2的参数方程为{x =12t,y =−8−√32t,(t 为参数)，得−√3x =y +8，即曲线C 2的普通方程为√3x +y +8=0．(2)设P(√10cos θ,√6sin θ)，点P 到直线C 2的距离为d ，则|PQ|的最小值即为d 的最小值， 因为d =|√30cos θ+√6sin θ+8|2=|3sin (θ+φ)+4|，其中tan φ=√5，当sin (θ+φ)=−1时，d 的最小值为1，所以|PQ|的最小值为1．【2-7】在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为2x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是1ρ=.（1）求直线l 与圆C 的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换2x xy y=⎧⎨=''⎩得到曲线C '，设(),M x y 为曲线C '上一点，求224x xy y ++的最大值，并求相应点M 的坐标.【答案】（1）1；（2）5，222⎛⎝或2,22⎛- ⎝. 【详解】（1）直线l 的参数方程2x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程是20x y --=，圆C 的极坐标方程1ρ=化为直角坐标方程是221x y +=；∵圆心()0,0到直线l 的距离为()22002111d --==+-，等于圆的半径r ，∴直线l 与圆C 的公共点的个数是1；（2）圆C 的参数方程是cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，()02θπ≤<；∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，()02θπ≤<；∴222244cos cos 2sin 4sin 4sin 2x xy y θθθθθ++=+⋅+=+；当4πθ=或54πθ=时，224x xy y ++取得最大值5，此时M 的坐标为222⎛ ⎝或222⎛- ⎝. 【2-8】平面直角坐标系中, 已知曲线221:1C x y +=,将曲线1C 上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来23, 得到曲线2C . （1）试写出曲线2C 参数方程；（2）在曲线2C 上求点P ,使得点P 到直线:50l x y +-=的距离最大, 并求距离最大值.【答案】（1）2(3x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）.（2）max 510d =P 点的坐标为2535⎛ ⎝⎭. 试题解析：（1）曲线1C 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）, 由'2'3x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得'2'3x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,2C ∴的参数方程为2(3x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. （2）由（1） 得点()2cos ,3sin Pθθ,点P 到直线l 的距离()max 2cos 3sin 455cos 45255510tan 2232d d θθθϕϕ+---==,此时P 点的坐标为2535⎛ ⎝⎭.题型三、双曲线的参数方程的应用【罗师导航】双曲线的参数方程可理解成动点坐标【例3-1】曲线C ：{x =12(t +1t )，y =12(t −1t ) （t 为参数且t ∈R ），直线l 的极坐标方程为tan θ=2(ρ∈R ). (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的最小值．解：(1)由x =12(t +1t )，y =12(t −1t )，两边平方作差得：x 2−y 2=1； 由tan θ=yx ，且tan θ=2，得y =2x ．所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1，直线l 的直角坐标方程为y =2x ． (2)设P (12(t +1t ),12(t −1t ))，由点到直线的距离公式可知：d(P,l)=|t+1t −12(t−1t)|√5=|12t+32t|√5≥√3√5=√155，当且仅当t =±√3，取等号,所以P 到直线l 距离的最小值为√155.【能力达标检测】【3-1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程e e ,e e ,t t t t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），在以原点О为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3sin 5cos 26ρθθ-=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值．【答案】(1)224(2)x y x -=≥；53260x y -+=34【解析】(1)由e e ,e e ,t t t t x y --⎧=+⎨=-⎩得222222e e 2,e e 2,t t t tx y --⎧=++⎨=+-⎩消去参数t 得224x y -=， 又e e 2t t x -=+≥，所以曲线C 的普通方程为224(2)x y x -=≥． 由(3sin 5cos )26ρθθ-=得5cos 3sin 260ρθρθ-+=， 所以直线l 的直角坐标方程为53260x y -+=．(2)设点P 的坐标为(e e ,e e )t t t t --+-，则点P 到直线l 的距离为2222e 8e 2634343453t tt t t t t t d ----⋅+==+当2e 8e t t -=，即e 2t =，ln 2t =，可以取到上述“=”，此时点P 为53,22⎛⎫⎪⎝⎭．所以曲线C 上的点到直线l 34【3-2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+t,y =1+2t （t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cos θ,y =√3tan θ（θ为参数，且θ∈(π2,3π2)).(1)求曲线C 1和C 2的普通方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，求|AB|的最小值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为{x =3+t,y =1+2t （t 为参数），消去参数t ，得2x −y −5=0.所以曲线C 1的方程为2x −y −5=0.因为曲线C 2的参数方程为{x =√3cos θ,y =√3tan θ（θ为参数，且θ∈(π2,3π2)),则由x =√3cos θ，得cos θ=√3x，代入y =√3tan θ得，sin θ=yx .消去参数θ，得x 2−y 2=3.因为θ∈(π2,3π2)，所以x <0,所以曲线C 2的方程为x 2−y 2=3(x <0).(2)因为点A ，B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，设直线2x −y +b =0与曲线C 2相切，由{2x −y +b =0,x 2−y 2=3消去y 得3x 2+4bx +b 2+3=0，所以Δ=(4b )2−4×3×(b 2+3)=0，解得b =±3.因为x <0，所以b =3.因为直线2x −y −5=0与2x −y +3=0间的距离为：d =√22+(−1)2=8√55.所以AB 的最小值8√55.题型四、抛物线的参数方程的应用【罗师导航】抛物线的参数方程可化为斜率【例4-1】在平面真角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos a ρθθ=+．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，直线OM 和ON 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k +的值． 【答案】（1）sin cos 2a ρθρθ+=，20ax y +-=；（2）1解：（1）由222x t y t ⎧=⎨=⎩，（t 为参数），消去参数t ，得22y x =，即1C 的普通方程为22y x =，由2sin cos a ρθθ=+，得()sin cos 2a ρθθ+=，即sin cos 2a ρθρθ+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得20ax y +-=，即2C 的直角坐标方程为20ax y +-=．（2）由222x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），得()10y x x t =≠，则1t 的几何意义是抛物线22y x =上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知0a ≠，将222x t y t⎧=⎨=⎩，（t 为参数）代入20ax y +-=，得210at t +-=．由0a ≠，且140a ∆=+>得14a >-，且0a ≠．设M ，N 对应的参数分别为1t 、2t ，则121t t a +=-，121t t a =-，所以12121212111t t k k t t t t ++=+==． 【能力达标检测】【4-1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos m ρθθ=+.（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求11OQOP k k +的值. 【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为214x y =；2C 的直角坐标方程20x mx +-=；（Ⅱ）18. 【详解】（1）由24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t ，得214x y =，即1C 的普通方程为214x y =.由2sin cos m ρθθ=+，得sin cos 2m ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得20my x +-=，即2C 的直角坐标方程20my x +-=.（2）由24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），可得4y t x =（0x ≠），故4t 的几何意义是抛物线214x y =上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由题意知，当0m =时，2:2C x =，则1C 与2C 只有一个交点()216,不符合题意，故0m ≠.把24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）代入20x my +-=，得2420mt t +-=，设此方程的两根分别为1t ，2t ， 由韦达定理可得，1214t t m +=-，1212t t m=-，所以12121211111141444842OP OQ t t m k k t t t t m -++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.【4-2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u =⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=． 【答案】（1）直线l 320x y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【分析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u=⎧⎨=⎩代入直线l 320x y a -+=，得2320u u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得13sin cos 2a ρθρθ⋅-=，则直线l 320x y a -+=；曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩320x y a -+=，得2320u u a -=．由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>； 设方程2320u u a -=的两根分别为1u ，2u ，则123u u += 而yu x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =， 所以12123k k u u +=+=l 的斜率为3k =12k k k +=．。
极坐标及极坐标方程
[解析] ρ＝2sinθ 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，ρcosθ
＝－1 的直角坐标方程为 x＝－1，联立方程，得
x2＋y2－2y＝0， x＝－1，
解得xy＝＝1－，1，
即两曲线的交点为(－1，1)，
又 0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为( 2，34π)．
[答案] ( 2，34π)
自主探究：
在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2cosθ，曲线 C2：θ＝π4， 若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为________．
[解析] 曲线 C1 与 C2 均经过极点，因此极点是它们的一
ρ＝2cosθ， ρ＝ 2，
个公共点．由θ＝π4，
得θ＝π4， 即曲线 C1 与 C2 的
ρ＝2rcosθ； ρ＝2rsinθ.
(7)若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
课前预练
1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的
点的极坐标为( )
A．(3，23π)
BB．(3，π3)
C．(3，43π)
D．(3，56π)
课前预练
3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是( ) A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线
B
C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆
讨论总结：极坐标方程ρcosθ＝a表示 什 么？极坐标方程ρsinθ＝a 呢？
课前预练
4.设曲线的极坐标方程为ρ＝2asinθ(a>0)，则 它表示的曲线是( )
1 1 cos2 1 sin2 . 2 16 2 4 2
(2)由(1)得
1 OM
极坐标系下两曲线交点坐标的求解分析
2姨
3
cos兹袁令籽=0得兹=
仔 2
袁即兹有解袁因
此极点 0袁
仔 2
在C3上. 由此得出极点
渊0袁0冤是C2与C3的一个交点袁所以C2与C3
交点的直角坐标为渊0袁0冤袁 姨 3 袁 3 . 22
渊2冤略. 例2：（2013课标1文理23）已知曲线
杜龙安渊1973-冤袁本科学历袁中学高级教师袁主要从事高中数学教育教学研究尧解题研究尧命题研究袁曾获南粤优秀教师尧汕 头市优秀教师尧汕头市教学改革先进个人尧汕头市普通高考教学优秀个人尧汕头市资源贡献奖等荣誉.
87 2019 年 6 月（下旬）<
> 解法集锦
所 以 C2 与 C3 交 点 的 直 角 坐 标 为
极坐标系下袁由于极点坐标渊籽袁兹冤具 有特殊性袁即籽=0袁兹具有不确定性渊兹沂 R冤袁而联立方程组是寻求同时满足两个 方程的未知数（籽与兹）的值. 因此在极坐 标系下根据两曲线的极坐标方程直接 联立方程组袁通过解方程组得到两曲线 交点坐标的过程中极易出现失根情况 发生袁失根的情形主要为当极点是两曲 线的一个交点时. 所以在极坐标系下袁 根据两曲线的极坐标方程直接联立方 程组通过解方程组求出籽与兹的值后袁需 要检验极点是否都在两曲线上袁即分别 对两个极坐标方程进行检验袁 当令籽=0 时看兹是否有解袁若兹有解（兹不一定是0） 则说明极点在该曲线上袁否则说明极点 不在该曲线上.
渊0袁0冤和 姨 3 袁 3 援 22
籽=2sin兹袁 解法二院 联立
消籽得
籽=2 姨 3 cos兹袁
tan兹=姨 3 袁
所以兹=
仔 3
袁所以籽=2sin兹= 姨
极坐标系中关于曲线r=r(θ)的研究
极坐标系中关于曲线r=r(θ)的研究极坐标系是一种可以用于表达函数曲线和比较其特性的坐标系。
极坐标（也称为极径/极半径坐标）于反映几何图形中的曲线和曲面有着至关重要的作用，特别是对于函数分析和复杂几何实体来说。
这种坐标系统利用定义在极轴/圆弧上的一个角度（称为极角）和一个距离（称为极半径）给出点在极轴上的位置。
因此，极坐标可以用来描述从极点到给定点的曲线的形状。
在极坐标系中，曲线的函数表示形式如下：r= r(θ)，其中r表示极半径，θ表示极角（或极几何角）。
极径r给出了曲线上每个点距离极点的距离，而极角给出了以极点作为原点起算的曲线上每个点的角度。
极径和极角都可以定义为常数，以描述某一特定的曲线，也可以定义为变量，以描述实际应用中的各种复杂曲线。
因此，研究由极坐标系中的曲线r=r(θ)主要涉及三个方面：一是极坐标系中曲线r=r(θ)的几何性质，二是曲线r=r(θ)的数学特征，三是曲线r=r(θ)在实际应用中的重要性和使用。
首先，极坐标系中曲线r=r(θ)的几何性质是研究的重点。
几何性质包括曲线上的点的位置，曲线与极轴上的交点，曲线的拐角等。
这些信息有助于我们了解曲线的性质，并且可以帮助我们更清楚地描述曲线。
其次，极坐标系中曲线r=r(θ)的数学特征也是一个重要的研究领域。
这些特征可以帮助我们更清楚地把握曲线的特性，比如曲线的斜率、焦点、有无相点等，从而更好地使用曲线。
最后，极坐标系中曲线r=r(θ)的实际应用也是重要的研究方向，这方面包括了曲线在几何图形、函数解析和复杂几何实体中的应用，也包括曲线在电子系统，机械系统，量子力学等方面的应用。
总而言之，研究极坐标系中曲线r=r(θ)，不仅能够帮助我们更深入地理解极坐标系中的曲线，还能帮助我们利用极坐标系中这些曲线在实际应用中的优越性。
在极坐标系中如何求曲线的交点
14
数 学 通 讯 1998 年第 12 期
在极坐标系中如何求曲线的交点
冯海容
(浙江黄岩中学 317400)
在直角坐标系中求两条曲线的交点, 是通过联
时, F 1 (Θ, Η) = 0, F 2 (Θ, Η) = 0 两者都有解, 极点是两 曲线的交点, 否则两者只要有一个无解, 极点就不是
两曲线的交点. 然后再求出方程组①的解.
例 1 在极坐标系中求两曲线: Θ= Η, Η=
Π 4
(Θ
∈R ) 的交点.
解 显然极点是两曲线的交点.
Θ= Η,
又
Η+ k Π=
点是两曲线的交点.
又由 Θ= 1+ co sΗ
得
(- 1) kΘ= co s2 (Η+ k Π) (k ∈Z )
1+ co sΗ= ±co s2Η,
co sΗ= 1-
4 17 , 或 co sΗ= 0, 或 co sΗ= -
1 2
.
当 co sΗ =
1- 17 4
时,
Η=
2k Π ±
a rcco s 1-
P 的所有极坐标中必有一个极坐标 Θ2= (- 1) kΘ1, Η2 = Η1+ k Π (k ∈Z ) 满足 F 2 (Θ2, Η2) = 0, 所以非极点的 交点 P 的一个极坐标 (Θ1, Η1) 是
①
F 1 (Θ, Η) = 0 F 2 ( (- 1) k Θ, Η+
k Π) =
0 (k ∈Z ) 的解.
中必有一个极坐标 (Θ1, Η1) 为方程组
双曲线的极坐标方程表达式
双曲线的极坐标方程表达式双曲线是一种常见的曲线形状，它有着独特的数学性质和几何特征。
在数学中，我们可以用极坐标方程来表达双曲线，这种方式可以提供一种更加简洁和直观的描述方法。
本文将介绍双曲线的极坐标方程表达式，以及它的一些基本性质。
极坐标系简介在了解双曲线的极坐标方程之前，我们先来回顾一下极坐标系的基本概念。
极坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，它由一个原点O（极点）和一个与原点正交的轴（极轴）组成。
对于任意一个点P，我们可以用两个坐标值(r,θ)来表示，其中r是点P到极点O的距离（称为极径），θ是极轴与线段OP的夹角（称为极角）。
双曲线的定义双曲线是平面上的一条曲线，它的几何特征是到两个焦点的距离之差的绝对值恒定。
双曲线有两个分支，分别向着两个焦点方向延伸。
双曲线的形状和尺寸由焦点之间的距离和距离差决定。
双曲线的极坐标方程对于一条以原点O为焦点、以x轴为对称轴的双曲线，它的极坐标方程可以表示为：r = c / cos(θ)其中c是焦点之间的距离。
这个方程说明，对于给定的极角θ，与原点的距离r与焦点之间的距离c和角度θ的余弦函数成反比关系。
换句话说，对于双曲线上的任意点P，它到焦点之间的距离和与极轴的夹角的余弦成反比。
此外，双曲线还有一个渐近线，它与双曲线的距离趋向于零。
对于上述的双曲线，它的渐近线的极坐标方程可以表示为：r = ±c / sin(θ)需要注意的是，渐近线与双曲线的交点称为双曲线的顶点，它是双曲线的曲率半径最大的点。
渐近线的角度由焦点之间的距离和双曲线的形状决定。
双曲线的性质双曲线具有许多有趣的数学性质和几何特征。
以下是一些常见的双曲线性质：1.对称性：双曲线关于极轴和焦点轴对称。
2.渐近线：双曲线与它的两条渐近线的距离趋近于零。
3.焦点：双曲线有两个焦点，焦点之间的距离决定了双曲线的形状和大小。
4.极径：双曲线上的点到焦点之间的距离与极角的余弦成反比。
5.双曲线的方程：双曲线的极坐标方程为r = c / cos(θ)，其渐近线的极坐标方程为r = ±c / sin(θ)。
极坐标直线与圆交点距离公式
极坐标直线与圆交点距离公式概述在极坐标中，直线与圆相交是一个常见的几何现象。
我们可以通过一种简单的公式来计算直线与圆相交的点的距离。
本文将详细介绍这个公式的推导过程，并提供实际应用场景的示例。
极坐标极坐标是一种用距离和角度来描述点的坐标系。
在极坐标中，每个点由距离和角度两个参数确定。
距离表示点到原点的距离，角度表示点在极坐标系中的方向。
直线与圆的交点直线与圆相交的点有两种可能的情况：1.直线与圆相切于一点。
2.直线与圆相交于两个点。
我们将分别推导这两种情况下的距离公式。
相切于一点的情况在极坐标中，相切的情况表示直线与圆的交点仅有一个。
设直线与圆相切于点A，圆的极坐标表示为(r, θ)。
我们需要求解直线上的一点B，使得AB的距离最小。
我们可以通过以下步骤推导出相切于一点的情况下的距离公式：1.设直线的极坐标表示为(r’, θ’)，其中r’为点B到原点的距离，θ’为直线的方向。
2.将点A和点B的坐标转换为直角坐标系表示：A(x1, y1)，B(x2, y2)。
3.根据直线的性质，直线上任意两点的斜率相同，即直线的斜率为：m= (y2 - y1) / (x2 - x1)。
4.将点B的直角坐标表示转换为极坐标表示：B(r’, θ’)。
5.由于点B在直线上，所以AB的斜率与直线的斜率相等，即：tan(θ)= m = tan(θ’)。
6.根据三角函数的性质，两个角度的tangent值相等，即：θ = θ’。
通过上述推导，我们可以得到相切于一点的情况下的距离公式如下：d = r - r’相交于两个点的情况在极坐标中，相交于两个点的情况表示直线与圆的交点有两个。
设这两个交点为点A和点B，圆的极坐标表示为(r, θ)。
我们需要求解点A和点B到直线的距离。
我们可以通过以下步骤推导出相交于两个点的情况下的距离公式：1.设直线的极坐标表示为(r’, θ’)。
2.将直线的极坐标表示转换为直角坐标系表示：y = mx + b。
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就可象在直角坐标系中解联立方程一样简单、方便
地求出两曲线的所有交点.
在极坐标系内, 一个点的极坐标有无数个, 特别
是极点的极坐标就更特殊, 它的极角可以取任意数
值. 设非极点的点 P 的一个极坐标为 (Θ, Η) , 则点 P
的所有极坐标为 ( (- 1) kΘ, Η+ k Π) (k ∈Z ). 如果点 P
Π 4
(k ∈Z ) ,
解得: Η= Π4 - k Π, Θ= Π4 - k Π (k ∈Z ).
所以两曲线交点是极点以及点 A
k
(
Π 4
-
k Π,
Π 4
- k Π) (k ∈Z ).
例 2 在极坐标系中求两曲线: Θ= 1+ co sΗ, Θ=
co s2Η的交点.
解 因为 1+ co sΗ= 0, co s2Η= 0 都有解, 所以极
显然, 若 Θ1, Η1 是方程组①的解, 则点 P (Θ1, Η1)
(也有可能为极点) 是两曲线 # 1, # 2 的交点.
由上述定理, 我们得到求两曲线 # 1: F 1 (Θ, Η) =
0, # 2: F 2 (Θ, Η) = 0 的交点的一般方法. 即 先判断极点是否是两曲线的交点, 即当 Θ= 0
在曲线 # : Θ= f (Η) 上, 则 P 至少有一个极坐标 ( (-
1 ) k1 Θ, Η+ k 1Π) (k1∈Z ) , 满足曲线 # : பைடு நூலகம்= f (Η) , 反过
来, 若 P 的所有极坐标中有一个极坐标 ( (- 1) k1 Θ, Η
+ k 1Π) (k 1∈Z ) , 满足曲线 # : Θ= f (Η) , 则点 P (Θ, Η) 在曲线 # 上. 利用上述结论可以解两曲线的交点.
点是两曲线的交点.
又由 Θ= 1+ co sΗ
得
(- 1) kΘ= co s2 (Η+ k Π) (k ∈Z )
1+ co sΗ= ±co s2Η,
co sΗ= 1-
4 17 , 或 co sΗ= 0, 或 co sΗ= -
1 2
.
当 co sΗ =
1- 17 4
时,
Η=
2k Π ±
a rcco s 1-
参考文献
1 张 文 忠. 关 于 极 坐 标 系 中 曲 线 的 交 点. 数 学 通 讯, 1998 (3)
时, F 1 (Θ, Η) = 0, F 2 (Θ, Η) = 0 两者都有解, 极点是两 曲线的交点, 否则两者只要有一个无解, 极点就不是
两曲线的交点. 然后再求出方程组①的解.
例 1 在极坐标系中求两曲线: Θ= Η, Η=
Π 4
(Θ
∈R ) 的交点.
解 显然极点是两曲线的交点.
Θ= Η,
又
Η+ k Π=
证 设非极点 P (Θ, Η) 是两曲线 # 1, # 2 的交点, 则 P 在曲线 # 1 上, 所以点 P 的所有极坐标中必有
一个极坐标 Θ1= (- 1) k1Θ, Η1= Η+ k 1Π (k 1∈Z ). 满足 F 1 (Θ1, Η1) = 0. 同理点 P (Θ1, Η1) 在曲线 # 2 上, 所以点
定理 设曲线 # 1: F 1 (Θ, Η) = 0 与曲线 # 2: F 2 (Θ, Η) = 0 的非极点的交点为 P , 则点 P 的所有极坐标
中必有一个极坐标 (Θ1, Η1) 为方程组
F 1 (Θ, Η) = 0 F 2 ( (- 1) k Θ, Η+
k Π) =
0 (k ∈Z ) 的解.
P 的所有极坐标中必有一个极坐标 Θ2= (- 1) kΘ1, Η2 = Η1+ k Π (k ∈Z ) 满足 F 2 (Θ2, Η2) = 0, 所以非极点的 交点 P 的一个极坐标 (Θ1, Η1) 是
①
F 1 (Θ, Η) = 0 F 2 ( (- 1) k Θ, Η+
k Π) =
0 (k ∈Z ) 的解.
17 4
(k ∈Z ) , Θ= 5-
4 17 ;
当 co sΗ= 0 时, Η= k Π+
Π 2
(k ∈Z ) , Θ=
1.
当 co sΗ= -
1 2
时,
Η=
2k
Π±
2Π 3
(k ∈Z ) , Θ=
1 2
.
所 以 两 曲 线 的 交 点 为 极 点, 点 A ( 5- 4 17 ,
a rcco s 1- 4 17 ) , 点 B ( 5- 4 17 , - a rcco s
14
数 学 通 讯 1998 年第 12 期
在极坐标系中如何求曲线的交点
冯海容
(浙江黄岩中学 317400)
在直角坐标系中求两条曲线的交点, 是通过联
立两曲线方程求解而得到. 但在极坐标系中求两曲
线交点, 直接通过解联立方程不一定能求出所有的
交点, 往往会漏解. 不过我们可以修改联立方程后,
1-
4
17 ) , 点 C (1,
Π 2
)
,
点
D
(1, -
Π 2
)
,
点
E
(
1 2
,
23Π)
,
点
F
(
1 2
,
-
23Π).
可见在极坐标系中求两曲线 # 1: F 1 (Θ, Η) = 0 与 # 2: F 2 (Θ, Η) = 0 的交点, 只要先判断极点是否为交 点, 再求出方程组①或方程组:
F 1 ( (- 1) kΘ, Η+ k Π) = 0 (k ∈Z ) F 2 (Θ, Η) = 0 的解确定出交点, 就可以解决.