三角换元(高二)(最新整理)

三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2⁡θ+cos2⁡θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．

x=,y=tanθ,cos θ

2其中θ∈[0,π2)，则

|x|−|y|=

−tan θ=,cos θ2cos θsin θ-2表示点(0,2)与单位圆+=1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，2x 2y 如下图：

因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求

代数式的最小值为3．

例2　设 x,y 为实数，若−xy+=1，求x+2y 的取值范围．2x 2y 分析　联想到⁡+=1，考虑将题中−xy+=1变形，然θsin 2θcos 22x 2y 后用三角换元进行求解．

解　题中等式可化为

+=1,22y -x ）（2y 4

3进行三角换元，令

x=

+cos θ,y=,2y sin θ32其中θ∈[0,2π)，解得

x=sinθ+cosθ,y=,,31sin θ3

2所以

x+2y=

sinθ+cosθ=sin(θ+φ),35328

其中sinφ=,cosφ=．142114

75因此，x+2y 的取值范围为[−,]．32123212总结

(1)常用于三角换元的三角恒等式有

sin θ+cos θ=1,

−tan α=1,22αcos 122(2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．

(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；

由(x −3)+(4−x)=1，可令

22

=cos ⁡θ,x -4其中θ∈[0,]，此时题中函数化为2

πf(θ)=sinθ+cosθ,

3其中θ∈[0,]，结合辅助角公式，得2

πf(θ)=2sin(θ+),3

π其中 θ∈[0,]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．2

π