西工大2003年硕士研究生入学有限元试题A-有限元

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有限元考试试题及答案

有限元考试试题及答案

江西理工大学研究生考试试卷一、 简答题(共40分,每题10分)1. 论述单元划分应遵循的原则。

2. 说明形函数应满足的条件。

3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义,即为什么要引入等参数单元。

4. 阐述边界元法的主要优缺点。

二、 计算题(共60分,每题20分)1. 一杆件如图3所示,杆件上方固定后,在下方受垂直向下的集中力作用,已知:杆件材料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ⨯==,截面积2125.5in A =,2275.3in A =,长度in L L 1221==,集中力lbf P 100=,用有限元方法求解B 点和C 点位移。

备注:(1)1 lbf (磅力,libra force ) = 4.45 N 。

(2)杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义(10分)2. 如图2所示,有一正方形薄板,沿对角承受压力作用,厚度t=1m ,载荷20__12__—20__13__ 学年 第___一___学期 课程名称:_____有限元及数值模拟________ 考试时间:___2012___ 年__11__月___3___日考试性质(正考、补考或其它):[ 正考 ] 考试方式(开卷、闭卷):[ 开卷 ] 试卷类别(A 、B):[ A ] 共 九 大题温 馨 提 示请考生自觉遵守考试纪律,争做文明诚信的大学生。

如有违犯考试纪律,将严格按照《江西理工大学学生违纪处分规定》(试行)处理。

学院 专业 学号 姓名 题号 一二三四五六七八九十十一十二总 分得分pyA1A2L1L2图1F=20KN/m,设泊松比µ=0,材料的弹性模量为E,试求它的应力分布。

(15分)图23. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q,单元厚度为t,求单元的等效结点荷载。

图3一、简答题1. 答:1)合理安排单元网格的疏密分布2)为突出重要部位的单元二次划分3)划分单元的个数4)单元形状的合理性5)不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6)曲线边界的处理,应尽可能减小几何误差7)充分利用结构及载荷的对称性,以减少计算量2. 答:形函数应满足的三个条件:a.必须能反映单元的刚体位移,就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。

西工大-有限元试题(附答案)

西工大-有限元试题(附答案)

1、针对下图所示得3个三角形元,写出用完整多项式描述得位移模式表达式。

2、如下图所示,求下列情况得带宽:a)4结点四边形元;b)2结点线性杆元。

3、对上题图诸结点制定一种结点编号得方法,使所得带宽更小。

图左下角得四边形在两种不同编号方式下,单元得带宽分别就就是多大?4、下图所示,若单元就就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。

系统得带宽就就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。

5、设杆件1-2受轴向力作用,截面积为A,长度为L,弹性模量为E,试写出杆端力F1,F2与杆端位移之间得关系式,并求出杆件得单元刚度矩阵6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件错误!与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3得结点轴向力F1,F2,F3与结点轴向位移之间得整体刚度矩阵[K]。

7、在上题得阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F1=P,求各结点得轴向位移与各杆得轴力。

8、下图所示为平面桁架中得任一单元,为局部坐标系,x,y为总体坐标系,轴与x轴得夹角为。

(1) 求在局部坐标系中得单元刚度矩阵(2)求单元得坐标转换矩阵 [T];(3) 求在总体坐标系中得单元刚度矩阵9、如图所示一个直角三角形桁架,已知,两个直角边长度,各杆截面面积,求整体刚度矩阵[K]。

10、设上题中得桁架得支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点得位移与各杆得内力。

11、进行结点编号时,如果把所有固定端处得结点编在最后,那么在引入边界条件时就就是否会更简便些?12、针对下图所示得3结点三角形单元,同一网格得两种不同得编号方式,单元得带宽分别就就是多大?13、下图所示一个矩形单元,边长分别为2a与2b,坐标原点取在单元中心。

位移模式取为导出内部任一点位移与四个角点位移之间得关系式。

14 桁架结构如图所示,设各杆EA/L均相等,单元及结点编号如图所示,试写出各单元得单刚矩阵[k]e。

15 图所示三杆桁架,节点1、节点3处固定,节点2处受力Fx2,Fy2,所有杆件材料相同,弹性模量为E,截面积均为A,求各杆内力。

西工大硕士研究生入学有限元试题-有限元

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西北工业大学研究生入学试题考试科目:结构有限元分析基础. 题号: 464说明:所有试题一律答在答题纸上共 2 页第 1 页 1-8题为必做题,9、10两题任选一题1. (本题10分) 单元刚度矩阵和总体刚度矩阵各有什么特征?2. (本题10分) 试说明用有限元法解题的主要步骤。

3.(本题10分) 取单元结点位移{δ}e作为未知量, 分别写出单元内位移函数{u},应变列阵{ε},应力列阵{б},结点力列阵{F}e与{δ}e的关系式;写出单元刚度矩阵[k]e的积分表达式;写出结构结点位移{δ},结构结点载荷列阵{P}与整体刚度矩阵[K]的关系式。

4.(本题10分) 在平面有限单元法中,当 (1) y轴为对称轴时; (2) y轴为反对称轴时;若将此轴作为边界,试列出此轴上的位移和应力的边界条件。

5. (本题10分) 在平面三结点三角形单元中,能否选取如下的位移模式?并说明原因。

6. (本题6分)如图所示平面板单元组成的平面结构,按图中编号求结构刚度矩阵的最大半带宽。

重新编结点号是否能减小带宽?给出此编号图,并求修改编号后的半带宽。

15 16 17 18 19 20 2189101112131 2 3 4 5 6 7题号: 464共 2 页第 2 页7.(本题10分) 求二结点杆件单元在下图所示荷载作用下的等效结点荷载。

8. (本题10分) 如下图(a)表示结构某一部分的单元布置形式,其中t为四结点矩形单元,b为五结点过渡矩形单元。

试列出图(b) 中的五结点矩形单元的形函数(用自然坐标)。

9. (本题20分) 如下图所示结构,以X-Y坐标系表示的刚度矩阵为:试建立以Px1,Py1,Px2来表示的刚度矩阵10.(本题20分)求右图所示平面行架的结点位移和单元内力。

设E=2.0×105MPa,A=1.0cm2。

西工大结构有限元习题库.

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1 约束反
力。
(3) 如果 Q2=0,Q3=P,其他条件不变,试根据问题( 2)的解答和有关力学概念直接给出节点 2、
3 的位移。
6. 图示杆 - 弹簧系统,材料弹性模量为 E。试列出其有限元平衡方程,并进行约束处理。
4
7. 如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元(
1)与( 2)组成,弹性模量 E,节点 1, 3
P
2
1
3x
24.平面桁架如图所示, E 2 106 kg/cm2 , A 1.0cm 2 。求节点位移和单元内力,并利用节点
1的
9
平衡检验计算结果。
y 2
30cm
3
P 100kg
40cm
1x
25.下图中结构分别采用( b)、( c)两种编节点号方式,分别求其刚度矩阵带宽。
9
3
4
5
6
7
6
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53
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30. 对图示平面问题,考虑到对称性,试用图形表示出其有限元模型,要求: (1)划分单元,单元数目适当; (2)给出节点编号方案; (3)标出节点载荷和位移约束。
31.根据单元刚度矩阵元素的物理意义求弹簧单元和杆单元的刚度矩阵。
32. 通过对节点位移插值建立三节点三角形单元的位移模式和形函数。
33. 用虚功原理推导出三节点三角形单元刚度方程。
2
3
4
1
1
6
1
2
( a)
( b)
( c)
26.教材 P20 练习题 1-9 中,求下列 2 种情况下节点位移、节点 1 约束反力。
( 1)节点 1 位移为 0, Q2= Q3=P ( 2)节点 1 位移为 0,Q2= Q3=0,整个杆受到沿轴线的均匀线分布力 q,方向向右。 27.根据材料力学知识和单元刚度矩阵物理意义推导出简单梁单元刚度矩阵的第三列和第四列元素。

2003考研数一真题及解析

2003考研数一真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(1)21ln(1)0lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位:cm cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个 零件,得到长度的平均值为40 (cm ),则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题:本题共6小题,每小题4分,共24分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示, 则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I:r ααα,,,21 可由向量组II:s βββ,,,21 线性表示,则( )(A) 当s r <时,向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时,向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时,向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时,向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ); ② 若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解; ③ 若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ); ④ 若秩(A )=秩(B ), 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界. 试证: (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时,).(2)(t G t F π>设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ,P A P B *1-=,求2B E +的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=,2:230l bx cy a ++=,3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望; (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ; (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ;(3) 如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【详解】方法1:求()lim ()v x u x 型极限,一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ,再回到指数上去.)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x →-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2:令21ln(1)(cos )x y x +=,有2ln cos ln ln(1)xy x =+,以下同方法1.(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意,只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可.平面042=-+z y x 的法向量:1{2,4,1}n =-;曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量:20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ,因此有00221241x y -==- 可解得,2,100==y x ,相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5),法向量为:2{2,4,1}n =-,故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑,其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ21[sin2sin22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中,从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ,因此过渡矩阵P 为:P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .根据定义,从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14. 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ,求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤.连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算.【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设,有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(. 【分析】可以用两种方法求解:(1) 已知方差12=σ,对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)X N μ,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,则1(,)XN n μ,将其标准化,由公式~(0,1)X N 得:)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+,其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-,可以直接得出答案.【详解】方法1:由题设,95.01=-α,可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=,有 1.96}0.95P <=,即{39.5140.49}0.95P μ<<=,故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.方法2:由题设,95.01=-α,22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=,16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点,极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数);0x =是导数 不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致,故必为极值点,其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负,是极大值点;第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正,是极小值点,则三个驻点中有两个极小值点,一个极大值点;对导数不存在的点:0x =.左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见0x =为极大值点.故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C).(2)【答案】()D 【详解】方法1:推理法由题设lim 1n n b →∞=,假设lim n n n b c →∞存在并记为A ,则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾,故假设不成立,lim n n n b c →∞不存在. 所以选项()D 正确.方法2:排除法取1n a n =,1n n b n-=,满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>,()A 不正确;取1n n b n-=,2n c n =-,满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=,()B 不正确;取1n a n=,2n c n =-,满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=,()C 不正确.(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++,其中00lim 0x y α→→=. 由(,)f x y 在点(0,0)连续知,(0,0)0f =.取y x =,x 充分小,0x ≠,有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>; 取y x =-,x 充分小,0x ≠,有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++<故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点,应选()A . (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组I:r ααα,,,21 可由向量组II:s βββ,,,21 线性表示,则当s r >时,向量组I 必线性相关. 或其逆否命题:若向量组I:r ααα,,,21 可由向量组II:s βββ,,,21 线性表示,且向量组I 线性无关,则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα,则21100ββα⋅+⋅=,但21,ββ线性无关,排除(A);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα,则21,αα可由1β线性表示,但1β线性无关,排除(B);⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα,1α可由21,ββ线性表示,但1α线性无关,排除(C).(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析,但①、②两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住③、④,迅速排除不正确的选项.【详解】若0AX =与0BX =同解,则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同,即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B ),命题③成立,可排除(A), (C);但反过来,若秩(A )=秩(B ),则不能推出0AX =与0BX =同解,通过举一反例证明,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ,则秩(A )=秩(B )=1,但0AX =与0BX =不同解,可见命题④不成立,排除(D). 故正确选项为(B).(6)【答案】(C).【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式.(1)2χ分布:设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布.记做2().Zn χ(2)t 分布:设1(0,1)X N ,22~()X n χ,且12,X X 相互独立,则随机变量Z =从自由度为n 的t 分布.记做()Zt n(3)F 分布:设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立,则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布,其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实,由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得,(1) 如果统计量 ()T t n ,则有2(1,)T F n ;(2) 如果统计量12(,)FF n n ,则有211(,)F n n F.由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C).先由t分布的定义知()X t n =,其中)(~),1,0(~2n V N U χ,于是 21XY ==122U n V U n V =,分母中只含有一个标准正态分布的平方,所以)1(~22χU . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n故应选(C).三【分析】圆锥体体积公式:213V r h π=⋅;旋转体的体积:(1) 连续曲线()y f x =,直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =,直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积,首先要求出切点的坐标,设切点的横坐标为0x ,则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是:).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x '=,由于该切线过原点,将(0,0)点代入切线方程,得01ln 0=-x ,从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰,得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图.切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为: 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为:dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变形、求导或积分等,转化为可利用已知幂级数展开的情形.另外,由于函数展开成的幂级数,经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后,其新的展开式收敛区间不变,但在收敛区间端点处,求导(积分)后的展开式成立与否,要另行单独处理,设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+. 如果在0x x R =+处级数收敛,并且()f x (左)连续,则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处,在0x x R =-处亦有类似的结论,不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续.【详解】本题可先求导,()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x+,可以利用我们所熟悉的函数x -11的幂级数展开: 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分,得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰,又因为04f π=(),所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处,右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑,收敛(利用莱布尼茨定理),左边函数()f x 连续,所以成立范围可扩大到21=x 处.而在12x =-处,右边级数虽然收敛,但左边函数()f x 不连续,所以成立范围只能是11(,]22x ∈-.为了求∑∞=+-012)1(n nn ,令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ,得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1:用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线,自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰. 所以 ⎰⎰⎰--+=-D x y x L ydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin所以⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称,所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰-- 方法2:化为定积分证明左边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy e x y =⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x所以dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 方法1:用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2:由(1)知,sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系,地面作为坐标原点,向下为x 轴正向,设第n 次击打后,桩被打进地下n x ,第n 次击打时,汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n .由题设,当桩被打进地下的深度为x 时,土层对桩的阻力的大小为kx ,汽锤所作的功等于克服阻力所做的功.121102x k W kxdx x ==⎰,2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰,3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰,1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =,2321W rW r W ==, 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后,桩被打进地下n x ,第n 次击打时,汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功.11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x == 等比数列求和公式由于01r <<,所以1lim n n x +→∞.七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d xdy变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d y dx 来表示(即通常所说的反函数变量变换),有dy dx =y dxdy '=11,)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原方程,得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ,特征方程为210r -=,根1,21r =±,因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根,所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+,*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * ),得:cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ,故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ,得1,121-==C C .故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->,满足题设0y '≠条件.八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简,三重积分转化为在球面坐标系中的计算;二重积分转化为在极坐标系中的计算.222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性,对()F t 求导:222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->,所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质:若在区间[,]a b 上()0f x >,则()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>,所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加.(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后,构造辅助函数,再用单调性进行证明即可. 因为 2220()2()2()tt ttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰,所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>,只需证明0t >时,0)(2)(>-t G t F π,即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tt tttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0t t ttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加,又因为(0)0g =,所以当0t >时,有()0)0g t g>=(, 从而0t >时,).(2)(t G t F π>九【分析】 法1:可先求出*1,A P -,进而确定P A P B *1-=及2B E +,再按通常方法确定其特征值和特征向量;法2:先求出A 的特征值与特征向量,再相应地确定*A 的特征值与特征向量,最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量. 【详解】方法1:经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ,所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B . 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-,故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时,解0)9(=-x A E ,得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη,其中21,k k 是不全为零的任意常数.当33=λ时,解0)3(=-x A E ,得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η,所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η,其中03≠k 为任意常数. 方法2:设A 的特征值为λ,对应的特征向量为η,即ληη=A .由于07≠=A ,所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=,于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==,.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此,2+λA为2B E +的特征值,对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ,故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时,对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η, .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η当73=λ时,对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP .因此,2B E +的三个特征值分别为9,9,3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη,其中21,k k 是不全为零的任意常数;对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η,其中3k 是不为零的任意常数.十【分析】三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法1:“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点,则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解,故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2,于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bca b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b ca c abc a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同,所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ,故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ,则从必要性的证明可知,0=A ,故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ,故秩()2A =.于是,秩(A )=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解,即三直线321,,l l l 交于一点.方法2:“必要性”设三直线交于一点),(00y x ,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解,其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =.而232323232323a b c a b cB bc a bca A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ,故.0=++c b a“充分性”:考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加,并由.0=++c b a 可知,方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==222[()]0ab a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线321,,l l l 交于一点.十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率,再按定义求数学期望即可;而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率,涉及到两次试验,是典型的用全概率公式的情形,第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组.(1) 方法1:X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333k kC C -种;样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C .所以有,X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==, k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此,由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2:本题对数学期望的计算也可用分解法:设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 则i X 的概率分布为i X 0 1P21 21.3,2,1=i 因为321X X X X ++=,所以由数学期望的线性可加性,有200321 ()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”,由于}0{=X ,}1{=X ,}2{=X ,}3{=X 构成完备事件组,因此根据全概率公式,有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题,实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.求分布函数()F X 是基本题型:求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ,可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数,直接用定义即可;是否具有无偏性,只需检验θθ=ˆE 是否成立.【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义,有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ,有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠, 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性.。

2003考研数学一真题及解析

2003考研数学一真题及解析

2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) )1ln(1)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式,化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x , 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x , 所以 原式=.121ee=-(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=,则x F x 2-=',y F y 2-=', 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ,则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --,其与已知平面042=-+z y x 平行,因此有11422200-=-=-y x , 可解得 2,100==y x ,相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即 542=-+z y x .(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义,有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1. (4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中,从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ,因此过渡矩阵P 为:P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义,从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ,y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤,一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设,有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据)1,0(~1N n X μ-,由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设,95.01=-α,可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu本题n=16, 40=x , 因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有 95.0}96.116140{=<-μP ,即 95.0}49.40,51.39{=P ,故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ C ]【分析共4个,是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个,而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点,一个极大值点;在x=0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x=0为极大值点,故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C).(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可立即排除(A),(B); 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可;极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型,必为无穷大量,即不存在.【详解】 用举反例法,取n a n 2=,1=n b ,),2,1(21==n n c n ,则可立即排除(A),(B),(C),因此正确选项为(D).(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设,容易推知f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值,关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知,分子的极限必为零,从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时),于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时,04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ;而当y= -x 且x 充分小时,04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点,应选(A).(4)设向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,则 (A) 当s r <时,向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时,向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时,向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时,向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,则当s r >时,向量组I 必线性相关. 或其逆否命题:若向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,且向量组I 线性无关,则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法:如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα,则21100ββα⋅+⋅=,但21,ββ线性无关,排除(A);⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα,则21,αα可由1β线性表示,但1β线性无关,排除(B);⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα,1α可由21,ββ线性表示,但1α线性无关,排除(C). 故正确选项为(D).(5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题:① 若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B); ② 若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③ 若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B); ④ 若秩(A)=秩(B), 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析,但① ②两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住③ 与 ④,迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解,则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B),命题③成立,可排除(A),(C);但反过来,若秩(A)=秩(B), 则不能推出Ax=0与Bx=0同解,如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ,则秩(A)=秩(B)=1,但Ax=0与Bx=0不同解,可见命题④不成立,排除(D),故正确选项为(B).(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =,其中)(~),1,0(~2n V N U χ,再将其代入21X Y =,然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知,nV U X =,其中)(~),1,0(~2n V N U χ,于是21X Y ==122U n V U n V =,这里)1(~22χU ,根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx 的切线,该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ,则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ,从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y 212)(⎰-=π,因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变形、求导或积分等,转化为可利用已知幂级数展开的情形。

西北工业大学2003年材料科学基础硕士研究生入学考试试题

西北工业大学2003年材料科学基础硕士研究生入学考试试题

一、简答题:(共40分,每小题8分)1],试判断此位错的1、简单立方晶体中,若位错线方向为[112],b=a[10类型?若为刃型位错,试求出半原子面的晶面指数及插入方向的晶向指数。

2、根据溶质原子在点阵中的位置,举例说明固溶体相可分为几类?固溶体在材料中有何意义?3、固溶体合金非平衡凝固时,有时会形成微观偏析,有时会形成宏观偏析,原因何在?4、应变硬化在生产中有何意义?作为一种强化方法,它有什么局限性?5、一种合金能够产生析出硬化的必要条件是什么?二、计算、作图题:(共60分,每小题12分)1、绘出面心立方点阵中(110)晶面的原子平面图。

在该图中标出[111]晶向和(011)晶面(指晶面在(110)晶面上的垂直投影线)。

2、在图2—2所示浓度三角形中,确定P、R、S三点的成分。

若有2kg P 4kg R7kg S混合,求混合后该合金的成分?=2.0×10-5m2/s,Q=1.4×105J/mol。

当温度3、已知碳在γ-Fe中扩散时,D在927℃时,求其扩散系数为多少?(已知摩尔气体常数R=8.314J/mol·K)4、纯锆在553℃和627℃等温退火至完成再结晶分别需要40h和1h。

试求此材料的再结晶激活能。

(已知摩尔气体常数R=8.314J/mol·K)5、画出40钢经退火后室温下的显微组织示意图,并注明组织、放大倍数、腐蚀剂等。

三、综合分析题:(共50分,每小题25分)1、图3—1是铜-铝合金相图的近铜部分。

(1)、写出ωAl=0.08的Al-Cu合金,平衡凝固后的室温组织,并述其形成过程?(2)、若该合金在铸造条件下,将会是什么组织?(3)、若该合金中Al含量改变时(当ωAl <0.05或ωAl>0.08时),其机械性能将如何变化?2、已知位错环ABCD的柏氏矢量为b,外应力为τ和σ,如图3—2所示。

(1)、位错环的各边分别是什么类型的位错?(2)、在足够大切应力τ作用下,位错环将如何运动?(3)、在足够大的拉应力σ作用下,位错环将如何运动?。

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30. 对图示平面问题,考虑到对称性,试用图形表示出其有限元模型,要求:
(1)划分单元,单元数目适当;
(2)给出节点编号方案;
(3)标出节点载荷和位移约束。
31.根据单元刚度矩阵元素的物理意义求弹簧单元和杆单元的刚度矩阵。
32. 通过对节点位移插值建立三节点三角形单元的位移模式和形函数。
33. 用虚功原理推导出三节点三角形单元刚度方程。
47.如图所示桁架结构,各元件的E,A,L均相同,1-4杆做短了 。试求
(1)节点位移;
(2)1-4杆应力。
48.利用对称条件,处理以下结构(要求画出简化图以及给出其边界条件)。
49.如图所示杆结构,杆剖面面积为A,材料的弹性模量都为E.求2点作用载荷为P时节点的位移。
50.如图所示的自由体结构,在平衡力系作用下,用有限元分析问题时边界条件如何处理?
21.图示悬臂梁为平面应力问题,试写出边界条件。
22.如图平面问题,以单元④为例,通过实算,讨论单元点号按顺序轮换时单元刚度矩阵 及其变化规律。
23.如图所示平面三角形桁架,终点坐标为:1(0,0),2( , ),3( ,0),E、A为弹性力;
4.建立实体单元(一维杆单元、三节点三角形平面单元等)的刚度方程时,须应用作为平衡条件。
5.弹性力学几何方程反映弹性体变形时和之间的关系。
6.单元位移模式 中 称为矩阵。该方程的含义是。
7.单元某节点i的形函数Ni在该点的值为,在其它节点的值均为。一个单元所有节点形函数之和等于。
8.作用在单元上的载荷须按的原则移置到节点上,因为。
31.轴对称结构有什么特点?轴对称结构如何简化处理?
三、计算与分析
1.如图所示,根据弹簧单元的刚度方程推导出系统的平衡方程。

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18.对于平面问题简单三角形单元,为什么单元刚度矩阵是常数矩阵?
19.什么是等参变换?等参变换的基本条件是什么?哪些情况使等参变换不成立?划分等参单元时应注意哪些问题?
20.应用等参单元时,为什么要采用高斯积分?高斯积分的数目如何确定?
21.弹性力学平面问题求解时应用的三角形单元是等参单元吗?为什么?
7. 如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元(1)与(2)组成,弹性模量E,节点1,3固定,节点2受集中力P。试求解下列各问题:
(4)建立结构的有限元平衡方程。
(5)求解节点2的位移和各杆的应力。
(6)如果P=0,且所有杆上受沿x方向作用的均匀线分布力q,求未知节点位移和固定端反力。
8.平面桁架由2根相同的杆组成(E,A,L)。求:
47.如图所示桁架结构,各元件的E,A,L均相同,1-4杆做短了 。试求
(1)节点位移;
(2)1-4杆应力。
48.利用对称条件,处理以下结构(要求画出简化图以及给出其边界条件)。
49.如图所示杆结构,杆剖面面积为A,材料的弹性模量都为E.求2点作用载荷为P时节点的位移。
50.如图所示的自由体结构,在平衡力系作用下,用有限元分析问题时边界条件如何处理?
6.画出三节点三角形单元形函数的图形,并分析其在边界上的分布特点。
7.对一个给定的弹性力学问题,有那些途径可以提高有限元法求解精度?
8.按位移求解的有限元法中:(1)应用了哪些弹性力学的基本方程?(2)应力边界条件及位移边界条件是如何反映的?(3)力的平衡条件是如何满足的?(4)变形协调条件是如何满足的?
(3)支座反力。
24.平面桁架如图所示, , 。求节点位移和单元内力,并利用节点1的平衡检验计算结果。
25.下图中结构分别采用(b)、(c)两种编节点号方式,分别求其刚度矩阵带宽。

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有限元法基础及应用习题集一、填空1.有限元法是求解连续场力学和物理问题的一种方法。

用有限元法求解连续体或结构的力学问题的三个主要步骤是:①;②;③。

2.离散化就是把连续体或结构分割成若干个在处相互连接,尺寸有限的结合体来代替原来的连续结构。

3.单元分析阶段导出的单元刚度方程建立了和之间的关系。

单元刚度方程的核心是矩阵。

该矩阵具有性和性,且主对角元素。

4.建立实体单元(一维杆单元、三节点三角形平面单元等)的刚度方程时,须应用作为平衡条件。

5.弹性力学几何方程反映弹性体变形时和之间的关系。

u??????e???N?义含程的矩阵。

该中方称为6.单元位移模式N??v??是。

7.单元某节点i的形函数N在该点的值为,在其它节点的值均为。

一个单元所有节点i形函数之和等于。

8.作用在单元上的载荷须按的原则移置到节点上,因为。

9.单元刚度矩阵奇异性的力学意义是:。

???????Q?K建立了有限元离散结构中节点的和结构有限元平衡方程之间的关10.系。

该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的和之间的平衡。

11.整体刚度矩阵具有如下性质:①②③④。

12.对一定的有限元网格,整体刚度矩阵的半带宽与有关。

半带宽越小,求解时占用计算机资源。

13.为保证有限元解的收敛性,单元位移模式应满足和。

14.建立任意形状和方位平面四边形单元和空间六面体单元时,需要采用与单元位移模式中相同的用局部坐标表示的节点形函数对节点坐标进行插值以获得一种坐标变换,这种变换称为,采用等参变换的单元称为。

15.节点数越多的单元,其位移模式多项式,单元的能力越强,所以精度。

16.弹性力学几何方程反映弹性体变形时和之间的关系。

17.弹性力学边界条件包括和。

18.弹性体的虚位移是假想在弹性体上发生的满足条件的微小位移场。

弹性体的虚功原理可以概括为等于。

19.弹性力学物理方程反映弹性体变形时和之间的关系。

20.平面应力问题的典型例子是、平面应变问题的典型例子是。

西工大作业机考《有限元及程序设计》标准

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试卷总分:100 得分:96一、单选题 (共 11 道试题,共 22 分)1.下列关于高精度单元描述正确的是()。

A.等参元的位移模式和坐标变换采用不同的形函数B.矩形单元形状规则,因而使用范围较广C.6结点三角形单元、10结点三角形单元、8结点矩形单元和12结点矩形单元的单元刚度矩阵的建立过程是不一样的D.6结点三角形单元较容易模拟物体的边界形状正确答案:2.φ=cxy能解决矩形板()问题。

A.左右均布拉压B.上下均布拉压C.纯剪切D.纯弯曲正确答案:3.下列关于等参元的叙述不正确的是()。

A.精度较高B.能较好的模拟边界条件C.输入的信息量较少D.输入的信息量较多正确答案:4.薄板的边界不包括()。

A.简支边界B.固定边界C.自由边界和荷载边界D.非固定边界正确答案:5.下列属于平面应力问题的是()。

A.平板坝的平板支墩B.挡土墙C.重力水坝D.受内水压力作用的圆管正确答案:6.在应力函数上任意增减一个(),对应力分量无影响。

B.二次项C.三次项D.常数项正确答案:7.下列不属于提高单元精度的方法是()。

A.增加单元结点数目B.在单元内增设结点C.减少单元结点数目D.设等参元正确答案:8.空间问题的基本平衡微分方程有()个。

A.2B.3C.4D.5正确答案:9.φ=by2能解决矩形板()问题。

A.左右均布拉压B.上下均布拉压C.纯剪切D.纯弯曲正确答案:10.下列属于不规则单元的有()。

A.正四面体单元B.正三棱体单元C.任意四面体单元D.正六面体单元正确答案:11.空间问题的基本未知位移分量有()个。

A.2B.3C.4D.5二、多选题 (共 16 道试题,共 32 分)1.薄板小挠度弯曲理论的基本假定是()。

A.直法线假定B.法向位移假定C.中面位移假定D.板内无挤压假定2.弹性力学平面问题按应力求解具体可分为()两种。

A.逆解法B.顺解法C.半逆解法D.半顺解法3.弹性力学的边界条件有()。

西工大2003年硕士研究生入学有限元试题A-有限元

西工大2003年硕士研究生入学有限元试题A-有限元

在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征?在平面四结点单元中,位移模式能否取为: (1)287265243221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααααα+++=+++=(2)2876524321),(),(y y x y x v x y x y x u αααααααα+++=+++=试写出下列单元的位移模式,并求出其形函数矩阵[]N设图 所示三结点轴力杆件单元ijm 的位移函数为2321)(x x x u ααα++=,该位移函数是否满足收敛准则? 求出其形函数矩阵[]N 。

i EA j )(ξx在1–2 图1–2所示平面三角形桁架,结点坐标为:1(0,0),2(2l,2l ),3(l 2,0),E 、A 为弹性模量及截面积。

用有限元素法求:(1)结点位移; (2)元素内力; (3)支座反力;图1–21–5 用有限元素法对结构问题进行静力分析中,协调条件、平衡条件、以及物理关系是如何体现的?3–12 有中心椭球孔的矩形板,两个侧边受线性分布的侧压p ,如图3–12所示。

如何利用对称面条件减少求解的工作量,并画出计算模型,列出计算步骤。

(5.5)3–13 高度为h 、宽度为a 9的矩形板,2/h 高度上有3个尺寸相同的矩形孔(如图3–13所示),侧面受线性分布侧压。

如何利用其自身的几何特点减少计算工作量,并画出计算模型、列出计算步骤。

(5.6)4–1 三结点三角形元素ijm 的位移函数能否选为: (1)()()26543221,,y a x a a y x v y a x a a y x u ++=++= (2)()()2652423221,,ya xy a x a y x v y a xy a x a y x u ++=++=4–2 推导三结点平板元素在局部坐标系xoy 中的元素刚度矩阵?4–3 正方形平板,厚度为t ,边长为a ,弹性模量E ,材料泊桑比μ,载荷P ,按图4–3所示分元,求1、3点的位移?4–4 图4–4所示的矩形板1234,分成四个常应变三角形元素 (1)形成这些元素集合的刚度矩阵?图4–2图4–3(2)若1234就是一个矩形元素,形成刚度矩阵?4–5 矩形平板元素的位移函数能否取为: (1)()()287265243221,,ya xy a x a a y x v y a xy a x a a y x u +++=+++= (2)()()2876524321,,xa y a x a a y x v x a y a x a a y x u +++=+++=4–7 写出下列三角形元素各结点的面积坐标值,并利用内插方法找出元素的形状函数?(图4–7所示,各边结点等间距)4–8 求图4–8所示各元素,在分布力作用下,元素的等效结点载荷?4–9 求三结点和六结点三角形元素在自重作用下的等效结点载荷?(设比重为ν,厚度为t ,元素面积∆)4–11 证明3结点三角形单元的插值函数满足()ij i i i y x N δ=,, 及 1=++m j i N N N (2.1)图4–4图4–7 图4–84–12 图4–12所示3结点三角形单元,厚度为t ,弹性模量是E ,泊桑比0=ν。

2003年考研数学三真题及答案

2003年考研数学三真题及答案

断点. (2)【答案】A 【 解 】 可 微 函 数 f(x,y) 在 点 ( x0 , y 0 ) 取 得 极 小 值 , 根 据 取 极 值 的 必 要 条 件 知
f y′ ( x 0 , y 0 ) = 0 ,即 f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数等于零, 故应选 A.
(3) 【答案】B 【解】 若
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 ___. n i =1
二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f ′(0) 存在,则函数 g ( x) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (C) 在 x=0 处右极限不存在.
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上) (1)设 f ( x ) = ⎨
1 ⎧ λ ⎪ x cos , 若x ≠ 0, 其导函数在 x=0 处连续,则 λ 的取值范围是_. x 若 = 01 n 1 1 n 2 依概率收敛于 X EX i2 = . ∑ ∑ i 2 n i =1 n i =1
二、
选择题
(1)【答案】D 【解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点,且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=0. 于是有
lim g ( x) = lim
x →0 x →0
f ( x) f ( x) − f (0) = lim = f ′(0) 存在,故 x=0 为可去间 x → 0 x x−0

(3)【答案】 a 【解】
2

2003考研数学二真题及答案解析

2003考研数学二真题及答案解析

li= m bncn b n→∞
n
A ,这与
lim
n→∞
cn
=

矛盾,故假设不成立,

2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.
1
(1) 若 x → 0 时, (1 − ax 2 ) 4 −1 与 x sin x 是等价无穷小,则 a =
.
(2) 设函数 y = f (x) 由方程 xy + 2 ln x = y 4 所确定,则曲线 y = f (x) 在点(1,1)处的切线方
程是
.
(3) y = 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是
.
(4) 设曲线的极坐标方程为 ρ = eaθ (a > 0) ,则该曲线上相应于θ 从 0 变到 2π 的一段弧与
极轴所围成的图形的面积为
.
1 −1 1 (5) 设α 为 3 维列向量,α T 是α 的转置. 若αα T = −1 1 −1 ,则
f (x)= f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n) (0) xn + ο(xn )
2!
n!
求 y = f (x) 的麦克劳林公式中 xn 项的系数相当于先求 y = f (x) 在点 x = 0 处的 n 阶
导数值 f (n) (0) , f (n) (0) 就是麦克劳林公式中 x n 项的系数. n!
y′ = 2 x ln 2 ; y′′ = 2 x (ln 2)2 ; y(n) = 2x (ln 2)n (归纳法及求导公式)

西工大《有限元及程序设计》试题题库

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有限元及程序设计1.重力水坝属于弹性力学平面应力问题。

答案:错误2.有限元的单元局部编码,应按逆时针规律编排。

答案:正确3.三结点三角形单元是常应力单元,但不是常应变单元。

答案:错误4.解平面应力和平面应变问题采用的应力矩阵相同。

答案:正确5.挡土墙受土压力属于弹性力学平面应变问题。

答案:正确6.应力函数线性项可解决矩形板拉伸问题。

答案:错误7.解平面应力和平面应变采用的单元刚度矩阵不相同。

答案:正确8.三角形单元是常应力单元,但不是常应变单元。

答案:错误9.位移模式的选取必须遵循几何近似和物理近似两条原则。

答案:错误10.有限元离散结构时,在应力变化较大的区域应采用较密网格。

答案:正确11.如果均采用三角形单元,则平面应力问题和平面应变问题单元刚度矩阵相同。

答案:错误12.剪力墙墙体受自重作用属于平面应变问题,天然气管道属于平面应力问题。

答案:错误13.受自重作用的门属于平面应力问题,挡土墙受土压力属于平面应变问题。

答案:正确14.弹性力学问题的求解方法有()。

A.按应变求解B.按应力求解C.按体力求解D.按位移求解答案:B|D15.弹性力学平面问题包括()两种。

A.平面物理问题B.平面几何问题C.平面应力问题D.平面应变问题答案:C|D16.总体刚度矩阵的形成方法有()。

A.结点平衡法B.直接刚度法C.间接刚度法D.位移法答案:A|B17.离散化过程应遵循()的原则。

A.位移近似B.几何近似C.物理近似D.形状近似答案:B|C18.用有限元法处理实际问题主要分为()三部分。

A.离散化B.单元分析C.局部分析D.整体分析答案:A|B|D19.弹性力学平面问题按应力求解具体可分为()两种。

A.逆解法B.顺解法C.半逆解法D.半顺解法答案:A|C20.弹性力学的基本方程包括()。

A.平衡方程B.应力方程C.几何方程D.物理方程答案:A|C|D21.边界内应力的处理最常用的方法有()。

A.结点法B.绕结点平均法C.二单元平均法D.应力平均法答案:B|C22.边界条件的处理方法有()。

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9.如图所示三杆钢桁架,节点 1、节点 3 处固定,节点 2 处受力 Fx2 , Fy2 ,所有杆件材料相同,弹性
模量为 E,截面积均为 A,求各杆受力。
y
3
2L
1
3
45 1
5
Fx 2
x
2 Fy2
10.如图所示 2 杆结构,每根杆的弹性模量均为 E,横截面积均为 A。建立坐标系和节点系统如图所示,
这种变换称为

采用等参变换的单元称为

15. 节点数越多的单元, 其位移模式多项式
,单元
的能力越强,
所以精度

16. 弹性力学几何方程反映弹性体变形时
17. 弹性力学边界条件包括

18. 弹性体的虚位移是假想在弹性体上发生的满足

之间的关系。

条件的微小位移场。 弹性体的虚功原理可
以概括为
等于

19. 弹性力学物理方程反映弹性体变形时
形函数之和等于

8. 作 用 在 单 元 上 的 载 荷 须 按


9. 单


度矩

是:
。 ,在其它节点的值均为
。一个单元所有节点
的 原则移 置到节点 上,因




力学



10. 结构有限元平衡方程 K
Q 建立了有限元离散结构中节点的

之间的关
系。该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的

之间的平衡。
之间的关系。单元刚度方
程的核心是
矩阵。该矩阵具有
性和
性,且主对角元素

2003西北工业大学研究生材料科学基础专业考试试题

2003西北工业大学研究生材料科学基础专业考试试题

一、简答题:(共40分,每小题8分)1、简单立方晶体中,若位错线方向为[112],b=a[101],试判断此位错的类型?若为刃型位错,试求出半原子面的晶面指数及插入方向的晶向指数。

2、根据溶质原子在点阵中的位置,举例说明固溶体相可分为几类?固溶体在材料中有何意义?3、固溶体合金非平衡凝固时,有时会形成微观偏析,有时会形成宏观偏析,原因何在?4、应变硬化在生产中有何意义?作为一种强化方法,它有什么局限性?5、一种合金能够产生析出硬化的必要条件是什么?二、计算、作图题:(共60分,每小题12分)1、绘出面心立方点阵中(110)晶面的原子平面图。

在该图中标出[111]晶向和(011)晶面(指晶面在(110)晶面上的垂直投影线)。

2、在图2—2所示浓度三角形中,确定P、R、S三点的成分。

若有2kg P 4kg R7kg S混合,求混合后该合金的成分?3、已知碳在γ-Fe中扩散时,D=2.0×10-5m2/s,Q=1.4×105J/mol。

当温度在927℃时,求其扩散系数为多少?(已知摩尔气体常数R=8.314J/mol·K)4、纯锆在553℃和627℃等温退火至完成再结晶分别需要40h和1h。

试求此材料的再结晶激活能。

(已知摩尔气体常数R=8.314J/mol·K)5、画出40钢经退火后室温下的显微组织示意图,并注明组织、放大倍数、腐蚀剂等。

三、综合分析题:(共50分,每小题25分)1、图3—1是铜-铝合金相图的近铜部分。

(1)、写出ωAl=0.08的Al-Cu合金,平衡凝固后的室温组织,并述其形成过程?(2)、若该合金在铸造条件下,将会是什么组织?(3)、若该合金中Al含量改变时(当ωAl <0.05或ωAl>0.08时),其机械性能将如何变化?2、已知位错环ABCD 的柏氏矢量为b ,外应力为τ和σ,如图3—2所示。

(1)、位错环的各边分别是什么类型的位错? (2)、在足够大切应力τ作用下,位错环将如何运动? (3)、在足够大的拉应力σ作用下,位错环将如何运动?一、简答题:(共40分,每小题8分)1、请简述间隙固溶体、间隙相、间隙化合物的异同点?2、请简述影响扩散的主要因素有哪些。

2003考研数四真题及解析

2003考研数四真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1)极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→=. (2)dx ex x x⎰--+11)(=.(3)设0a >,,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面,则I (4)设,A (A (5)设n A =其中(6)(1)曲线(A)(C)(2)(A)(C)(3)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是()(A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.(B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(4)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B .已知矩阵A 相似于B ,则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于() (A)2.(B)3.(C)4.(D)5.(5)对于任意二事件A 和B ()(A)若φ≠AB ,则,A B 一定独立.(B)若φ≠AB ,则,A B 有可能独立. (C)若φ=AB ,则,A B 一定独立.(D)若φ=AB ,则,A B 一定不独立. (6)设随机变量X 和Y 都服从正态分布,且它们不相关,则()(A)X 与Y 一定独立.(B)(X ,Y )服从二维正态分布. (C)X 与Y 未必独立.(D)X +Y 服从一维正态分布. 三、(本题满分8分)设).1,1[,111)(∈-+=x x f 试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,1[上连续.四、(设f 求22x g +∂∂五、(六、(设a 七、(设y C 为M 在x ()f x 的表达式.八、(试求(1) t 时的商品剩余量,并确定k 的值;(2) 在时间段[0,]T 上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)设有向量组(I):T )2,0,1(1=α,T )3,1,1(2=α,T a )2,1,1(3+-=α和向量组(II):Ta )3,2,1(1+=β,T a )6,1,2(2+=β,.)4,1,2(3T a +=β试问:当a 为何值时,向量组(I)与(II)等价?当a 为何值时,向量组(I)与(II)不等价?十、(本题满分13分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆,向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量,λ是α对应的特征值,其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵.试求,a b 和λ的值. 十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()F X 是X 的分布函数.求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)称作事件(1) (2) (1)【详解】形式:方法2:ln(1)x +(2)【详解】102x xde -=-⎰112[]xx xe e dx --=--⎰=)21(21--e . (3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面,但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时,被积函数才不为零,则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x x a dx dy +⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】应先化简,从2AB A B =+中确定1)(--E A .⇒E E B E A 2)2)((=--⇒E E B E A =-⋅-)2(21)(,所以1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎤⎢⎢⎡010100. (5)【详解】由题设,有于是有-(6)【详解】cov(,)212XY X Y ρ==⨯=.所以222()()[()]()()E X Y D X Y E X Y D X Y EX EY +=+++=+++ 方法2:由数学期望的线性可加性()()()E aX bY aE X bE Y +=+得:再利用()()()(,)E XY Cov X Y E X E Y =+⋅,得由方差定义的公式,有22()()[()]D X E X E X =-202,=-=同理()2D Y =, 再由相关系数的定义XY ρ=得,cov(,)XY X Y ρ=二、选择题 (1)【答案】()D【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑:先考虑是否有水平渐近线:lim (),()x f x c c →±∞=为常数,y c =为曲线的一条水平渐近线;若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线:()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-,y kx b =+为曲线的一条斜渐近线;【详解】2.x 2201lim u u u u →3.故曲线y =(2)由于故应选()A . (3)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微,知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零.从而有 选项()A 正确. (4)【答案】(C)【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算,秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和.【详解】因为矩阵A 相似于B ,又1B P AP -=,所以()111222P A E P P AP P EP B E ----=-=-,于是,矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似.同理有所以,矩阵A E -与矩阵B E -相似.又因为相似矩阵有相同的秩,而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---,秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--, 所以有(5)当P ≠∅.可见,当A AB 若,(D)也不(6)①若X Y 与②若③若(,)X Y 服从二维正态分布,则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关.【详解】只有当(,)X Y 服从二维正态分布时,X Y 与不相关⇔X Y 与独立,本题仅仅已知X Y 与服从正态分布,因此,由它们不相关推不出X Y 与一定独立,排除(A);若X Y 与都服从正态分布且相互独立,则(,)X Y 服从二维正态分布,但题设并不知道,X Y 是否独立,可排除(B);同样要求X Y 与相互独立时,才能推出X Y +服从一维正态分布,可排除(D).故正确选项为(C).三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续,只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→,然后定义(1)f 为此极限值即可.令1u x =-,则当1x -→时,0u +→,所以定义π1)1(=f ,从而有11lim ()(1)x f x f π-→==,()f x 在1x =处连续.又()f x 在)1,21[上连续,所以()f x 在]1,21[上连续. 四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则,得 从而所以22g x ∂∂五记A 0⎰=因此=A 六0,得唯一驻点求(t 当e e 时,l n l n a <e11-=为七【分析】梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到,曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算,再由题设,梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ,可得一含有变限积分的等式,两边求导数,可转化为一阶线性微分方程,然后用通解公式计算即可. 【详解】由题意得1[1()]2OCMA S x f x =+,1()CBM x S f t dt =⎰ 所以316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x .两边关于x 求导2111[1()]()()222f x xf x f x x '++-=,即21()()2().f x xf x f x x '++-= 化简,当0≠x 时,得211()()x f x f x x x -'-=,即211.dy x y dx x x--⋅= 利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解公式 所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程,其通解为y曲线过点八再T (2)dt t y )(表示(函数⎰=T dt t y T y 0)(1=2-20011()()()22TT A A A T A t dt At t T T T T T T T -=-=-⎰牛莱公式=.2A 因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示;而两个向量组不等价,只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可.而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题,这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断.一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示,只需用初等行变换化增广矩阵(1321,,βααα)为阶梯形讨论,而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示,则可结合起来对矩阵(321321,,,,βββααα)同时作初等行变换化阶梯形,然后类似地进行讨论即可.【详解】矩阵(321321,,,,βββααα)作初等行变换,有),,,,(321321βββααα =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a(第一行乘以-1加到第三行,第二行乘以-1加到第三行)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a .(1)方程组11+x x α量组(I)(2)1β不能由21,,ααα(1)3等价,即向量组(2)可见2),,(321=αααr ≠1231(,,,)r αααβ=3,因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解,故向量1β不能由321,,ααα线性表示.即向量组(I)与(II)不等价.【评注2】向量组(I)与(II)等价,相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组,问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组,这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论.十【分析】题设已知特征向量,应想到利用定义:λαα=*A .又与伴随矩阵*A 相关的问题,应利用EA AA =*进行化简.【详解】矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α,由于矩阵A 可逆,故*A 可逆.于是0≠λ,0≠A ,且λαα=*A .两边同时左乘矩阵A ,得αλαA AA =*⇒αλαAA =,即⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎥⎥⎤⎢⎢⎡11121112b A b λ, 由式(1)因此根据(1)所以,当【评注】见到*A ,十一设G )1,0[∈y ,有十二【分析】A 和B 独立的充要条件是{}{}{}P AB P A P B =⋅,由此可以直接证明问题(1);对于问题(2),应先构造随机变量,不难看出与事件A 和A 联系的应是随机变量 随机变量X 和Y 的相关系数为XY E XY E X E Y ρ-==,需将P AB P A P B ρ-=转化为用随机变量表示.显然,若有(){}E XY P AB =,(){}(){},E X P A E Y P B ====即可,这只需定义【详解】(1)由题给ρ的定义,可见0=ρ当且仅当{}{}{}0P AB P A P B ==,而这恰好是二事件A 和B 独立的定义,即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件.(2)考虑随机变量X 和Y :由条件知,X 和Y 都服从01-分布:01⎛⎫01⎛⎫易见(E 1ρ≤。

西工大结构有限元习题库.

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2
3
4
1
1
6
1
2
( a)
( b)
( c)
26.教材 P20 练习题 1-9 中,求下列 2 种情况下节点位移、节点 1 约束反力。
( 1)节点 1 位移为 0, Q2= Q3=P ( 2)节点 1 位移为 0,Q2= Q3=0,整个杆受到沿轴线的均匀线分布力 q,方向向右。 27.根据材料力学知识和单元刚度矩阵物理意义推导出简单梁单元刚度矩阵的第三列和第四列元素。
形函数之和等于

8. 作 用 在 单 元 上 的 载 荷 须 按


9. 单


度矩

是:
。 ,在其它节点的值均为
。一个单元所有节点
的 原则移 置到节点 上,因




力学



10. 结构有限元平衡方程 K
Q 建立了有限元离散结构中节点的

之间的关
系。该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的

之间的平衡。
件是如何反映的?( 3)力的平衡条件是如何满足的?( 4)变形协调条件是如何满足的?
9.有限元的收敛条件是什么?证明三节点三角形单元满足收敛条件。
10.平面应力三角形单元和空间轴对称三角形单元分别代表物理空间中什么样的物体?
11. 试述所学各类单元节点数、节点位移分量、单元自由度数目。
12. 位移函数应满足哪些要求?写出梁单元的位移函数。
11. 整体刚度矩阵具有如下性质: ①




12. 对一定的有限元网格,整体刚度矩阵的半带宽与
有关。半带宽越小,求解时占用计算机

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11. 整体刚度矩阵具有如下性质: ①




12. 对一定的有限元网格,整体刚度矩阵的半带宽与
有关。半带宽越小,求解时占用计算机
资源

13. 为保证有限元解的收敛性,单元位移模式应满足


14. 建立任意形状和方位平面四边形单元和空间六面体单元时,
需要采用与单元位移模式中相同的用局
部坐标表示的节点形函数对节点坐标进行插值以获得一种坐标变换,
i 1,2,3
满足下列性质: Ni x, y
0,i j 1,i j
17.如下图( a)所示悬臂深梁,自由端有垂向均布载荷 F,梁的厚度为 t ,设材料弹性模量为 E,泊松
比 1 3,若采用( b)所示的简单网格系统,求各节点的位移。
7
4
F/2 3
1m
F
2
1
2m
1
2
F/2
( a)
( b)
18.正方形板如图所示,边长为 a,厚度为 t ,弹性模量为 E,泊松比 0.15 ,节点 1 作用集中力 F,节点 2、3、 4 被固定,若采用图示坐标系统和单元节点结构,求各节点位移和应力。
固定,节点 2 受集中力 P。试求解下列各问题:
(4) 建立结构的有限元平衡方程。
(5) 求解节点 2 的位移和各杆的应力。
(6) 如果 P=0,且所有杆上受沿 x 方向作用的均匀线分布力 q,求未知节点位移和固定端反力。
8. 平面桁架由 2 根相同的杆组成( E, A, L)。求: (1)节点 2 位移; (2)每根杆应力。
13. 空间轴对称问题的位移分量、应变分量、应力分量有哪些?
14. 简单(纯弯)梁单元的节点位移分量、单元自由度?
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在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征?
在平面四结点单元中,位移模式能否取为: (1)
2
872
65243221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααααα+++=+++=
(2)2
876524321),(),(y y x y x v x y x y x u αααααααα+++=+++=
试写出下列单元的位移模式,并求出其形函数矩阵[]N
设图 所示三结点轴力杆件单元
ijm 的位移函数为2
321)(x x x u ααα++=,该位移函数是否满足收敛准则? 求出其形函数矩阵[]N 。

i EA j )(ξx
在1–2 图1–2所示平面三角形桁架,结点坐标为:1(0,0),2(2l
,2l ),3(l 2,0),E 、A 为弹性模量及截
面积。

用有限元素法求:
(1)结点位移; (2)元素内力; (3)支座反力;
图1–2
1–5 用有限元素法对结构问题进行静力分析中,协调条件、平衡条件、以及物理关系是如何体现的?
3–12 有中心椭球孔的矩形板,两个侧边受线性分布的侧压p ,如图3–12所示。

如何利用对称面条件减少求解的工作量,并画出计算模型,列出计算步骤。

(5.5)
3–13 高度为h 、宽度为a 9的矩形板,2/h 高度上有3个尺寸相同的矩形孔
(如图3–13所示),侧面受线性分布侧压。

如何利用其自身的几何特点减少计算工作量,并画出计算模型、列出计算步骤。

(5.6)
4–1 三结点三角形元素ijm 的位移函数能否选为: (1)
()()2
6543221,,y a x a a y x v y a x a a y x u ++=++= (2)
()()2
652
423221,,y
a xy a x a y x v y a xy a x a y x u ++=++=
4–2 推导三结点平板元素在局部坐标系xoy 中的元素刚度矩阵?
4–3 正方形平板,厚度为t ,边长为a ,弹性模量E ,材料泊桑比μ,载荷P ,按图4–3所示分元,求1、3点的位移?
4–4 图4–4所示的矩形板1234,分成四个常应变三角形元素 (1)形成这些元素集合的刚度矩阵?
图4–
2
图4–3
(2)若1234就是一个矩形元素,形成刚度矩阵?
4–5 矩形平板元素的位移函数能否取为: (1)
()()2
872
65243221,,y
a xy a x a a y x v y a xy a x a a y x u +++=+++= (2)
()()2
876524321,,x
a y a x a a y x v x a y a x a a y x u +++=+++=
4–7 写出下列三角形元素各结点的面积坐标值,并利用内插方法找出元素的形状函数?(图4–7所示,各边结点等间距)
4–8 求图4–8所示各元素,在分布力作用下,元素的等效结点载荷?
4–9 求三结点和六结点三角形元素在自重作用下的等效结点载荷?(设比重为ν,厚度为t ,元素面积∆)
4–11 证明3结点三角形单元的插值函数满足
()ij i i i y x N δ=,, 及 1=++m j i N N N (2.1)
图4–
4
图4–7 图4–8
4–12 图4–12所示3结点三角形单元,厚度为t ,弹性模量是E ,泊桑比0=ν。

试求:插值函数矩阵N ,应变矩阵B ,应力矩阵S ,单元刚度矩阵e K 。

(2.2)
4–13 写出图4–13所示三角形单元的插值函数i N ,j N ,m N 以及应变矩阵B 。

(2.3)
图4–12 图4–13
4–14 图4–13中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷(x 方向),试求结点载荷向量。

4–18 验证用面积坐标给出的二次(三角形)单元的插值函数61~N N 满足1=∑i N (6~1=i )。

4–19 二维单元在y x 坐标平面内平移到不同位置,单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋转时怎样?单元旋转180°后单元刚度矩阵与原来的相同吗?单元作上述变化时,应力矩阵S 如何变化?
4–21 8结点矩形元(每边中点为结点)的位移函数可取
2
162
152
142
131211109282726254321ξη
βηξβηβξβξηβηβξββξηβηξβηβξβξηβηβξββ+++++++=+++++++=v u
试求插值函数81~N N 并证明它们满足插值函数的基本要求。

4–24 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。

(2.14)
m
m j j i i m m j j i i L y L y L y y L x L x L x x ++=++=
9. (本题20分) 如下图所示结构,以X-Y坐标系表示的刚度矩阵为:
试建立以Px1 ,Py1,Px2来表示的刚度矩阵。

1–4 图1–4所示正方形桁架,周边长a ,桁架由五条杆元素组成,弹性模量为E ,截面积为
A ,求:P 载荷作用下2、3点的位移?
1–9 图1–9所示的三结点杆元素ijm ,A 、E 为元素的截面积和材料弹性模量,元素的位移函数为:()2
210x a x a a x u ++=
试分析:(1)上述位移函数是否满足收敛准则? (2)求元素的形状函数矩阵[]N ;
(3)求元素的几何矩阵[]B ,应力矩阵[]S ; (4)元素的刚度矩阵[]e
K ;
5–1 空间直三棱体单元(图5–1),用插值方法构成单元的形状函数?(456∆在xy 面内) 提示:在xy 平面内用面积坐标内插,在z 方向按两点拉格朗日插值。

图1–
9
⎪⎪⎭⎪⎪⎬

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧2121yyx1xvvuu=P

PP5.25.25.25.20.55.283.15.45.20.1021
2图1–
4
6–3 试求图6–3所示二维过渡元的形状函数。

(1)1N ,4N ? (2)2N ,3N ,4N ?
6–4 图6–4所示为四边形单元,试计算x N ∂∂1和y N ∂∂2在自然坐标为(1/2,1/2)
的点Q 的数值(因为单元的边是直线,可用4个结点定义单元的几何形状)。

图6-4
6–9 二维4结点等参元,在x ,y 坐标系中单元各边与坐标轴x ,y 平行,边长为a ,b ,确定下列载荷情况下的结点载荷
(1)在x 正方向有一分布载荷作用在1=ξ的边上。

载荷在1-=η为0,在1=η为0q ,呈线性变化。

(2)在y 正方向上作用有均匀的体积力0b 。

图6–3。

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