巧用导数求和三例
导数应用与数列求和
导数应用与数列求和作者：王大成来源：《神州》2011年第31期高中引入了导数概念，给出了导数的定义，讲清楚了导数的几何意义及物理意义，在应用方面也给出了一些例题，主要是解决函数单调性、最值、不等式证明等问题。
但是在数列求和方面的应用基本上还没有涉及到，因此我仅以本文来为导数的应用开辟一条新的途径。
问题一：数列（an）的通项公式an=n×2n-1（n∈N*），求数列（an）的前项和Sn.1.错位相减法：Sn=1×20+2×21+3×22+...+n×2n-1 (1)2Sn=1×21+2×22+...+（n-1）×2n-1+n×2n (2)由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n，有-Sn=1+（n-1）×2（n∈N*）2.导数法：令f（x）=x+x2+x3+…xn（x≠0，x≠1）f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（2），f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因为f（x）=［1-（n-1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2有Sn=f（2）=1+（n-1）×2n定理1：数列（an）的通项公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前项n和为Sn，则Sn=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2。
证明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），所以，f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（p），f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因為f（x）=［1-（n+1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2有Sn=f（p）=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2，证毕。
问题二：数列（cn）的通项公式cn=anbn（n∈N*），其中，an=pn+q（p，q是常数），bn=r·sn-1（rs≠0），求数列（an）前项和Tn。
例谈导数与三角函数的结合应用
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例谈导数与三角函数的结合应用
作者：虞玉华
来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期
三角函数作为初等函数的一种，与其他函数一样，学习及研究的相关内容都是一样的，也就是说，我们研究三角函数的性质都是包括函数的单调性、周期性和奇偶性等等.那么，我们运用导数来解决三角函数的问题的思路也是一样的.下面我们用几个具体的例子来归纳这类问题的解题方法.
一、三角函数的单调性
二、三角函数的周期性
三、三角函数的图象
点评根据函数判断大致的图象也是高考中常出现的题目，在判断图象的时候，我们一般是根据函数的奇偶性、周期性等相关的性质进行比对.而这些函数的性质的问题又是通过导数来求解的.因此，这个问题的实质还是函数的性质.
总之，用导数的方法来解决相关的函数问题，是一种便捷且有效的方法.导数的学习可以说是为研究函数引入了一个强大的工具，学生们在数学学习中一定要掌握好这种方法，并学会灵活用于解决函数问题，就能轻松攻克函数这个难关.。
函数的和、差、积、商的求导法则
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
机动 目录
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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结束
例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
导数在数列求和中的应用
导数在数列求和中的应用导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这个工具重新认识原中学课程中求函数的极值和判断函数的单调性的问题，并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学中的新的课题之一，纵观目前各类刊物，对导数的研究多数停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注较少，本文则从一个侧面介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法。
高中数学教材必修5有一个习题：求1+2x+3x2+…+nx(n-1)的和Sn。
编者的本意是分三种情况进行求和：①x=0；②x=1；③x≠0且x≠1。
其中第③种情况要用错位相减的方法求。
现在就用导数的方法进行求解。
因为,(xn)’=nxn-1,而且x+x2+x3+…+xn=x(1-xn)/1-x (1)对（1）式两边进行求导数运算，就有：Sn=1+2x+3x2+…+nx(n-1)=(x+x2+x3+…+xn)’=[x(1-xn)/1-x]’=1/(1-x)2[1-(n+1)xn+nxn+1]所以，用上面的方法就可以求通项为(xn+y)qn-1(x、y、q、为常数，其中q≠0且q≠1，x≠0，y≠0)的数列的前n项的和Sn。
因为,(xn+y)qn-1=xnqn-1+yqn-1；所以只需分别求数列{xnqn-1}与{yqn-1}的和，再相加就可以得Sn。
而数列{yq(n-1)}为等比数列，用公式求即可。
设数列{xnqn-1}与{yqn-1}的前n项的和分别为Tn和Dn，则Sn=Tn+Dn，其中Dn=y(1-qn)/1-q。
现在就形如{xnqn-1}的数列用导数运算的方法求其前项的n和Tn。
Tn=x(q0+2q1+3q2+4q3+…nqn-1)=x(q1+q2+q3+…qn)’=x[q(1-qn)/1-q]’=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]。
所以Sn=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]+y(1-qn)/1-q （2）下面就三个具体的数列进行求和运用。
考前归纳总结导数中的有关方程根的问题
导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解： 令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞， 当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞， 当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。
例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值 范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意； 当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<， 当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2） 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。
导数的运算法则及基本公式应用
导数的运算法则及基本公式应用1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数. x y ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xy x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆.2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系. ［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).。
导数的四则运算
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ), y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
2
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有 其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中 心. 2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
x x x
即: y (u v ) u v.
练一练:求下列函数的导数 (1) y=5x2-4x+1 y 10 x 4 (3)y=x2-cosx (4) y=(2+x)(3-x) (5) y=(2x-1)(3x+2)
练一练:求下列函数的导数 (1) y=100 (2) y=x5 (3)y=4x2 +3x
?
51
(4)y=4x2 -3x
C
'
导数的四则运算
( 2) Sn [ Pn ( x )]
n(1 n) x n1 2( n2 1) x n n( n 1) x n1 2 . 3 (1 x )
例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题) (Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①; 函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都 是l的方程.
即:
y ( uv ) u v u v .
(轮流求导之和)
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
即:
(Cu ) C u .
小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函 数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些 公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数, 而不必从导数定义出发了.
• 例1 •
(1) y=(2+x)(3-x)
(2)y=(2x2+3)(3x-2)
课本p119 练习
• 例２ :求下列函数的导数
导数的四则运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) . (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ，特别地，[cf(x)]′＝ cf′(x).
12345
6.已知
f(x)＝1＋sincoxs
，则 x
f′π3＝__23__.
解析
因为
f′(x)＝sin
x′1＋cos x－sin x1＋cos 1＋cos x2
x′
＝cos
x1＋cos x－sin 1＋cos x2
x－sin
x＝cos
x＋cos2x＋sin2x 1＋cos x2
＝1c＋oscxo＋s x12＝1＋c1os x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′，故错误；
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
12345
4.已知 f(x)＝lnxx，则 f′(1)＝__1__.
解析
f′(x)＝ln
x′·x－ln x2
利用导数求数列的和(考试04-12)
利用导数求数列的和浙江省绍兴县柯桥中学（312030）徐学军数列的求和方法比较多，而利用导数求数列的和可谓独辟蹊径，它不仅可以求出一类常见数列的和，而且还能求出一些通常无法求出的数列和.1.利用多项式的导数.设f (x )=x ＋x 2＋x 3＋…＋x n =x x x n --+11(x ≠1). 两边取导数得f ’(x )=1＋2x ＋3x 2＋…＋n x n-1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ ①两边再取导数得f ’’(x )=2＋3·2x ＋4·3x 2＋…＋n·(n －1)x n-2 =321)1(2)1()1()1(2x x x n n n nx x n n -+-+---- ②① 式两边乘x 再求导数得 1＋22x ＋32x 2＋…＋n 2x n-1=312)1()1(1x x x n nx x n n -----++ ③例1 求和：S n =1＋224＋326＋…＋n n 22. 解 在①式中，令x =21 得 f ’(21)=1＋2·21＋3·221＋…＋n·n 21 =21)211(221)1(1-++-+n n n n =4－122-+n n . ∴S n =1＋224＋326＋…＋n n 22= f ’(21)=4－122-+n n . 以前我们需用“错位相减法”解决的这类问题，都可以用公式①求得. 例2 求和：S n =22C 22＋23C 23＋24C 24＋…＋2n C 2n .解 在②式中，令x =2得2＋3·2·2＋4·3·22＋…＋n·(n －1) ·2n-2 =321)21(2)12(2)1()12(22-+-+---⋅-n n n n n n =2n-1(n 2－3n ＋4)－2.∴S n =22C 22＋23C 23＋24C 24＋…＋2n C 2n=2[2＋3·2·2＋4·3·22＋…＋n·(n －1) ·2n-2]=2·[2n-1(n 2－3n ＋4)－2]= 2n (n 2－3n ＋4)－4.例3求和：S n =21＋2222＋3223＋…＋n n 22. 解 在③式中令x =21得 1＋222＋2223＋…＋122-n n =312)211(2121)12(211-----++n n n n =12－12264-++n n n . ∴S n =21＋2222＋3223＋…＋n n 22=21·[1＋222＋2223＋…＋122-n n ] =6－n n n 2642++. 例4求和：S n =C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n . 解 ∵(1＋x )n = 1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋C 3n x 3＋…＋C n n x n两边求导得n(1＋x )n-1= C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋nC n n xn-1. 令x =1，得S n =C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n =n·2n-1. 2．利用三角函数的导数.例5 求和：S n =cos x ＋2cos2x ＋3cos3x ＋…＋ncosn x .解 记f (x )= sin x ＋sin2x ＋sin3x ＋…＋sin nx.则f ’(x )=cos x ＋2cos2x ＋3cos3x ＋…＋ncosn x.∴只需求f (x )即可.当x ≠2k π时，2f (x )sin 2x =2sin 2x （sin x ＋sin2x ＋sin3x ＋…＋sin nx ） =(cos 2x －cos 23x )＋(cos 23x －cos 25x )＋…＋[cos 2)12(x n -－cos 2)12(x n +] = cos 2x － cos 2)12(x n +=2sin 2nx ·sin 2)1(x n +.∴sin x ＋sin2x ＋sin3x ＋…＋sin nx =2sin 2)1(sin 2sinx x n nx +⋅. 两边求导数得S n =cos x ＋2cos2x ＋3cos3x ＋…＋ncosn x =2sin 41)1cos(cos )1(2x x n n nx n -+-+(x ≠2k π). 当 x =2k π时，S n =2)1(+n n . 例6 求和：S n =sec 2x ＋22sec 22x ＋24sec 24x ＋…＋22n sec 22n x .解 ∵(2n tan2n x )’=22n sec 22n x.∴我们考虑数列{2n tan2n x }的和.记f (x )= tan x ＋2tan2x ＋22tan22x ＋…＋2n tan2n x.∵cot2α=α2tan 1=ααtan 2tan 12-=21(cot α－tan α). ∴tan α=cot α－2cot2α.∴ tan x =cot x －2cot2x2tan2x =2cot2x －22cot22x22tan22x =22cot22x －23cot23x……2n tan2n x =2n cot2n x －2n+1cot2n+1x各式相加，得∵f (x )=tan x ＋2tan2x ＋22tan22x ＋…＋2n tan2n x =cot x －2n+1cot2n+1x. 两边求导数即得S n =sec 2x ＋22sec 22x ＋24sec 24x ＋…＋22n sec 22n x=22(n+1)csc 22n+1x －csc 2x .。
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用
120难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′121=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x xf ′(12+x )［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属 ★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′122 (x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解：由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2123y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 歼灭难点训练一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案：B 2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25x . 答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !三、5.解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①124对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x －46.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得 S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为()0+∞，，()221f x x x'=+，则()0200213f x x x '=+=，解得01x =或13-（舍去）.故选：A.2．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程. 【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+ 故选：A3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.【解析】 【分析】求出()f x '，分析函数()f x '的奇偶性，计算出()()20142014f f +-的值，即可得解. 【详解】因为()3sin 4a x f x bx +=+，则()2cos 3f x a x bx '=+，所以，()()()()22cos 3cos 3f x a x b x a x bx f x ''-=-+-=+=，故函数()f x '为偶函数，()()()()()33sin 4sin 4f x f x a x bx a x b x ⎡⎤+-=+++-+-+⎣⎦()()33sin 4sin 48a x bx a x bx =+++--+=，所以，()()()()20142014201520158f f f f ''+-+--=. 故答案为：8.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=． 【解析】 【分析】求导函数，结合导数的几何意义、导数的四则运算法则以及直线方程知识即可求解. 【详解】∵()224321y x x x '=-+=--， ∵当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ∵斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，∵所求切线方程为33110x y +-=． 举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A 3B 3C 31+ D 31- 【答案】B【分析】求出()f x '，代值计算可得6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos 3f x x π=+，则()cos f x x '=，故3cos 662f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭. 故选：B.2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出(3)11f '=，即得解. 【详解】解：由题得()()3()234,(3)23121,(3)11f x f x f f f x'''''=-+∴=-+∴=，所以()22223ln (1)22220f x x x x f =-+∴=-=，. 故选：B3．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.【答案】14或4-【解析】 【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及()12f a '=，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得：()224,011,01x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-<<'⎪⎩. 因为()12f a '=，所以2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或4-.故答案为：14或4-4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+； 【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）211y x x '=-；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+，因此，12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 【答案】()ln 1f x x '=+ 【解析】 【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得. 【详解】()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+=+故答案为：()ln 1f x x '=+ 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．【答案】(1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-【解析】 【分析】（1）利用导数的四则运算规则可求导数. （2）利用导数的四则运算规则可求导数. （3）利用导数的四则运算规则可求导数. (1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或53【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax ，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】()()2221f x x ax a '=++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，()f x '∴不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，其图象必为∵， 由图象特征知()00f '=， 且对称轴0x a =->，1a ∴=-．故()1111133f -=--+=-．故选：B ．2．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先求得()'f x ，再去求(0)f '即可解决. 【详解】()()(21)e (21)e 2e (21)e (23)e x x x x x f x x x x x '''=+++=++=+则()0(0)203e 3f '=⨯+=故选：D3．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =；(2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.【答案】(1)22sin cos x x x x + (2)ln 313ln x x x +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(3)()2e ln 2e x⋅ 【解析】 【分析】根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. (1)解：22sin cos y x x x x '=+.(2)解：313ln 3ln 3ln 3ln x xx y x x x x ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=+=+⎭'.(3)解：()2ln 2e 2e 2e ln 2e xx x x x y =⋅⋅+⋅=⋅'.三．除法的导数 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln xx - B ．21ln xx + C ．ln 1x x+D ．ln 1x x-【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为ln ()x f x x=，所以2211ln 1ln ()=x xx x f x x x ⋅-⋅-'=，即21ln ()=x f x x -'. 故选:A. 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数211x y x -=+在这一点的切线的斜率 【详解】()()()()()223212111x x f x x x +--'==++，则()314f '=，故211x y x -=+在11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为34 故选：B 3．求1cos xy x=-的导数．【答案】()21cos sin 1cos x x xy x --'=-【解析】 【分析】利用函数商的导数公式可求给定函数的导数. 【详解】 ()()221cos sin 1cos sin 1cos 1cos x x xx x xy x x --⨯--'==--1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求出()2cos sin x x xf x x -'=，根据导数的定义即可得到结论．【详解】 由题设，()2cos sin x x xf x x -'=，所以()2cos sin 1f ππππππ-'==-，函数在x ＝π处的瞬时变化率为1π-，故选：A ．2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．【答案】12 【解析】 【分析】求出()f x '，然后解方程()()000f x f x '+=可求得0x 的值. 【详解】()xe f x x =，则()()21x e x f x x -'=，其中0x ≠， 由()()()0000210x x x e e f x f x x x -'+=+=，可得00110x x -+=，解得012x =. 故答案为：12.2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________. 【答案】516【解析】根据导数的四则运算对函数()()2()f x h xg x +=进行求导，再代入5x =，即可求出()5h '的值. 【详解】解：由题意知()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()()2()f x h xg x +=， ()()()()()()22f x g x f x g x h x g x ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()25552555f g f g h g ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()23452155416h ⨯-+⨯'∴==. 故答案为：516.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x=；(2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u =．【答案】(1)()2cos sin x xxg '=-(2)()22tan tan tan x x x xf x x --'= (3)()22ln ln u u uW u u -'=【解析】 【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. (1)()22sin 0cos co s n s i g x x xx x'=--=.(2)()2222222sin sin cos tan tan tan tan cos cos tan tan tan x x x x x x x x x x x x x f x x x x'⎛⎫+--⨯ ⎪--⎝⎭'===. (3)()22212ln 2ln ln ln u u u u u u u W u uu-⨯-'==.巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】()2234xx '+=，A 错误；π1sin 062''⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，C 错误， (2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'，D 正确.故选：D2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ） A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入e x =即可求解. 【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∵()()12e f x f x ''=+，∵()()1e 2e e f f ''=+，解得：()1e ef '=-. 故选：C.3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 2【答案】C 【解析】 【分析】求出13s t'=+即得解.【详解】解：由题意得13s t'=+，故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=14m /s .故选：C 4．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令()()g x f x '=，根据导函数的奇偶性可排除AD ，再根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的符号可排除C ，即可得解. 【详解】解：2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，则()1sin 2f x x x '=-， 令()()1sin 2g x f x x x '==-， ()()1sin 2g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故排除AD ，又106122g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.故选：B.5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线e x y a =+相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由ln 1y x =+求导得：1y x'=，则曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y =x ，设直线y =x 与曲线e x y a =+相切的切点为(,e )t t a +，由e x y a =+求导得e x y '=，于是得e 1e t t a t ⎧=⎨+=⎩，解得01t a =⎧⎨=-⎩，所以1a =-， 故选：C6．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120- C ．60 D ．60-【答案】B 【解析】 【分析】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，可得出()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦，进而可求得结果.【详解】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，则()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦）， 所以()()()()()()0012345120x y g ===-⨯-⨯-⨯-⨯-=-'． 故选：B. 二、多选题 7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-=【答案】AD 【解析】 【分析】求导，可得()'f x 解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】 易得()()1cos sin 2x f x x =+'， 所以()()sin f x f x x '+=，()()cos f x f x x '-=， 故选：AD.8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x =【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】由题意，可知若函数()y f x =具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A ，1e e x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足条件；对于B ，(cos 1)sin x x '+=-，满足条件；对于C ，34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件； 对于D ，()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.【答案】5 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值.【详解】因为()sin tan cos xf x x x x x =+=+，则()()()22sin cos sin cos 111cos cos x x x x f x x x''-⋅'=+=+， 因此，21153cos 3f ππ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：5. 10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 【答案】2 【解析】 【分析】 对函数2y x=求导，再利用导数的几何意义结合垂直的条件求解作答. 【详解】由函数2y x =求导得：22y x '=-，则曲线2y x =在点()2,1处的切线斜率21|2x k y ='==-， 依题意，1()12a ⋅-=-，解得2a =，所以实数2a =. 故答案为：2 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.【答案】(1)()2f x '=- (2)()46H t t '=-+ (3)()22194g x x x '=+(4)()12F u u'=(5)()223e cos x u x x'=+ (6)()211ln 2cos f x x x'=+ (7)()345ln5xG x x '=+【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （4）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （5）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （6）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （7）利用导数的运算法则可求得原函数的导数. (1)解：由已知可得()()322f x x ''=-=-. (2)解：由已知可得()()226546H t t t t ''=-+-=-+. (3)解：由已知可得()'312222111399444g x x x x x x x --⎛⎫=-=+='+ ⎪⎝⎭.(4)解：由已知可得()112211122F u u u u u -'⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭(5)解：由已知可得()22222sin 2cos 2sin 23e 3e 3e cos cos cos x x xx x x u x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (6)解：由已知可得()22222sin 1cos sin 11log cos ln 2cos ln 2cos x x x f x x x x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (7)解：由已知可得()()4535e 45ln 5x x G x x x ''=+-=+.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程． 【答案】(1)1(e)ef '=-；(e)1f =-；(2)()222e 1e e 0x y -+-=.【解析】 【分析】（1）由题可得1()2(e)f x f x ''=+，进而可得1(e)e f '=-，然后可得2()ln exf x x =-+，即得；（2）由题可求2(e )f ，2(e )f '，再利用点斜式即得. (1)∵()2(e)ln f x xf x +'=，∵1()2(e)f x f x ''=+，1(e)2(e)e f f ''=+，∵1(e)e f '=-，2()ln exf x x =-+，∵2e(e)ln e=1ef =-+-. (2) ∵2()ln e x f x x =-+，21()e f x x'=-+， ∵2222e (e )ln e 22e ef =-+=-，2221(e )e e f '=-+，∵()f x 在点2e x =处的切线方程为()()222122e e e e y x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭，即()222e 1e e 0x y -+-=.。
归类整理,直面高考——导数在三角函数中的应用举例
归类整理,直面高考——导数在三角函数中的应用举例1.三角函数基本定义和其特性三角函数是一种描述角度和角度所对应的正弦值、余弦值、正切值的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
由于三角函数的自变量为角度的角度的变化引起函数值的变化，所以它具有以下特性：（1）三角函数在同一周期内，函数运动重复，可以提出周期性和谐性定理。
（2）三角函数具有延长性，即增大自变量后，函数随之延长，函数值相应变大或变小.2.导数在三角函数中的应用（1）当两个三角函数表表达式的值相等时，其导数值相等，可用来求解直线的斜率；（2）由导数的性质可知，其导数值的符号变化比三角函数的值变化更快，可以用来分析三角函数的单调性。
（3）此外，三角函数的导数不仅可以求函数的斜率，还可以求解定义域的变化情况。
（4）三角函数的极值点也是可以用导数来解决的。
事实上，求解三角函数的极值问题可以转换为求解导数为零的方程，因此可以利用导数求解三角函数的极值。
3.三角函数在高考中的考查情况三角函数在高考中是非常重要的考点，其涉及的内容既有其特性的理解也有导数的应用。
具体内容可分为以下几个方面：（1）三角函数基本概念，包括三角函数基本定义、它们的函数关系及图象特征、函数性质及表示式；（2）导数在三角函数中的应用，包括给定角度时求相应三角函数值及其导数值、三角函数性质的分析、求相应极值及斜率等；（3）一元二次三角函数的求解**，包括一元二次三角函数曲线的S型曲线性质、给定曲线的斜率及表达式的求解等。
4.综上可供高考备考举例（1）求函数$y=\ sin{2x}$的导数。
解：由泰勒公式知，函数y=sin 2x的导数为$y'=2\cos 2x$（2）求函数$y= tan(x+\pi/4) $的极值。
解：由定义域$[\pi/4,\pi/4+\pi]$内的导数为0求得函数的极值点为$x=-\pi/4$，则函数的极值为$f(-\pi/4)=\ tan(-\pi/4+\pi/4)=-1$。
巧用导数求和三例
上 式两边对 ｘ 导得 ： 求
（ 任 编辑 责
陈景 东）
类整理 ， 所学 知识 连成 线 、 成 网 ， 助 学 生加 深理 把 串 帮 解 和 记 忆 。 过 知 识 小 结 ， 所 学 新 知 识 纳 入 学 生 已有 通 把
的 旧 知 识 体 系 中 ，使 其 成 为 知 识 记 忆 网络 中 的 组 成 部 分 。这 样 ， 方 面 可 以提 高 学 习 效 率 ， 一 方 面 也 为 今 一 另
Ｔ＝ １ｃ＋ ３ … ＋ ＋ × ＋ × … ＋２ 一１ｘ ｃ＋ ２ｃ＋ ｃ＝１ ３ ４ ５ ４＋ （ｎ ）４
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故 ｓ＝ （一 ） ２ 旦 ３ｎ １× 一
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１ 一ｘ
ｘ一１
数 列 ｛ 的 通 项 公 式 为 ４ 一 。 ａ｝ ｎ ２
１
上式两边 对ｘ 导得 ： 求
设 ｛ 的 公 比 为 ｑ 则 由 ｂ（ｚａ）ｂ得 ： ｂ｝ ， ２ ～ 。 ａ ＝
（ ４ 责 － 辑 ２编 陈景 东）
予 以总 结 ，构 建 知 识 网 络 ，使 学 生 对 正 弦 函 数 知 识 有
比 数 列 ， ａ＝ ｌ ２ ２ａ） ｂ。 且 ｌｂ， （ 一 １ ｌ ｂａ ＝
（ｘ －１＋ （ ｘ １＋ （ｘ ３ ） ‘‘ｎ ３ ２一 ） ３ ２ ）２３ ２一 ） ３３ ２－１＋ ・ （ｘ １ ＋
３２ ２ ２＋ ｘ … ＋ × ｎ （＋ ＋ ＋ ・＋ ） （＋ ｘ ３ ２＋ ｎ ２） １ ２ ３ 。‘ｎ 一
利用导数解决数列的求和问题
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利用导数解决数列的求和问题
作者：徐庆峰
来源：《教育界》2011年第11期
【摘要】本文借助数列的特点，用高数的观点研究数列的性质，结合高数中的一些思想，将高数中的知识应用于中学数学的数列问题，探讨一些数列的解法。
【关键词】求导数列
在数学分析中利用导数求数列的和是一个很常用的方法，它是建立在数项级数的相关知
识的基础上。
但这与高中的数列求和是有区别的。
在数项级数中，由于求的是无穷项数列的和，因此就有收敛域的要求，因为收敛域内，才能满足Σ与导数可交换，才能利用导数来求级数的和，但对于有限项数列的求和，我们就没有了收敛域的要求，只是借用了级数求和的
思想。
由于极限的这一知识也进入了中学教材，数项级数的求和也可以有所体现的。
下面我
们利用一些例子来介绍这一方法。
例1：利用多项式的导数
此题可以用错位相减法解，一般的，能用错位相减法解的题目都可以用这个方法解。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
疑难规律方法3：第三章 导数及其应用
1巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，他们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．1．函数和(或差)的求导法则：(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)例1求下列函数的导数：(1)f(x)＝1x＋ln x；(2)f(x)＝cos x－x－1.解(1)f′(x)＝－1x2＋1 x.(2)f′(x)＝－sin x＋12x.点评记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．2．函数积的求导法则：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)例2求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2e x；(2)f(x)＝(2x2＋3)(3x－2)．解(1)f′(x)＝(x2e x)′＝(x2)′e x＋x2(e x)′＝2x e x＋x2e x.(2)f ′(x )＝[(2x 2＋3)(3x －2)]′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3＝18x 2－8x ＋9.点评 特别要注意：[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )．同时要记住结论：若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )，由此进一步可以得到[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数商的求导法则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 例3 求下列函数的导数：(1)f (x )＝ln x x； (2)f (x )＝tan x ；(3)f (x )＝11－x ＋11＋x. 解 (1)f ′(x )＝(ln x x )′＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1－ln x x 2. (2)f ′(x )＝(tan x )′＝(sin x cos x)′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝1cos 2x. (3)因为f (x )＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x (1－x )(1＋x )＝21－x， 所以f ′(x )＝(21－x )′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. 点评 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率． 4．分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2－2x ＋3x －1；(2)y ＝x 5＋x 7＋x 9x. 分析 直接求导，或比较繁杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”． 解 (1)因为y ＝x 2－2x ＋3x －1＝x －1＋2x －1， 所以y ′＝1＋0－2×1(x －1)2＝1－2(x －1)2. (2)因为y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4， 所以y ′＝2x ＋3x 2＋4x 3.点评 本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．2 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．1．已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f ′(x )，并代入点斜式方程即可．例1 曲线f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ，知在点(1，－1)处的斜率k ＝f ′(1)＝－3.所以切线方程为y －(－1)＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B.答案 B2．已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2.所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)·(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1，或x 0＝－12. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)·(x ＋12)， 即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.点评 可以发现直线5x ＋4y －1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－12，78)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点． 3．已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(2,0)且与曲线f (x )＝1x相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝－1x 20. 所以切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)． 又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得－1x 0＝－1x 20(2－x 0)． 解得x 0＝1，y 0＝1x 0＝1，即x ＋y －2＝0. 点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．4．求两条曲线的公切线例4 已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－x 2＋4x －4，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程． 分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－x 22＋4x 2－4)．由C 1：y ＝x 2，得y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21，由C 2：y ＝－x 2＋4x －4，得y ′＝－2x ＋4，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.因为两切线重合，所以2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.3 导数在研究函数单调性中的作用1．运用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，得单调区间．例1 求函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2的单调区间． 解 由已知，得当f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0时，有x ＝0或x ＝－1.当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <0时，f ′(x )<0；当x >0时，f ′(x )>0.故f (x )的递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．例2 已知函数f (x )＝x 2＋3x －2ln x ，则函数f (x )的单调递减区间为________．分析 先求函数f (x )的定义域和导数，再结合定义域解f ′(x )<0即可．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋3－2x. 令f ′(x )<0，即2x ＋3－2x ＝2x 2＋3x －2x<0， 结合定义域知x >0，且2x 2＋3x －2<0，解得0<x <12， 即函数f (x )的单调递减区间为(0，12)． 答案 (0，12) 点评 求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个单调递增(减)区间，不要把这些区间取并集．2．证明不等式例3 求证：当x >1时，ln x >12－x 22. 分析 可构造函数f (x )＝ln x －(12－x 22)，由于f (1)＝0，故若能证明f (x )为(1，＋∞)上的增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数f ′(x )>0恒成立即可．证明 令f (x )＝ln x －(12－x 22)，则有f (1)＝0. 因为f ′(x )＝1x ＋x ＝1＋x 2x>0(x ∈(1，＋∞))， 所以函数f (x )为(1，＋∞)上的增函数，又f (1)＝0，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0恒成立，即ln x >12－x 22. 点评 证明不等式f (x )>g (x )，x ∈(a ，b )的一般方法：构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈(a ，b )，分析F (x )在区间(a ，b )上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F (x )>0在(a ，b )内恒成立即可．3．求参数的取值范围例4 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋1.(1)若函数f (x )的单调递减区间是(0,2)，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在区间(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．解 (1)由f (x )的单调递减区间为(0,2)可知0与2是方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＝0的两根， 故有3×22－2a ×2＝0，解得a ＝3.(2)由函数f (x )在区间(0,2)内单调递减可知，f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在(0,2)内恒成立，即2a ≥3x 在区间(0,2)内恒成立．因为x ∈(0,2)，所以3x ∈(0,6)，故2a ≥6，即a ≥3.经验证a ＝3时满足题意，故a 的取值范围为[3，＋∞)．点评 若函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，则有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解.4 巧用导数求极值1．函数的极值点的判定方法设函数f (x )在x 0处连续，判别f (x 0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x 0两侧f ′(x )符号相同，则x 0不是函数f (x )的极值点；(2)如果在x 0附近的在侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；(3)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．2．极值常见题型详解(1)利用导数求函数的极值例1 求函数f (x )＝x ln x 的极值点．解 f ′(x )＝ln x ＋1，x >0.而f ′(x )>0⇔ln x ＋1>0⇔>x >1e， f ′(x )<0⇔ln x ＋1<0⇔0<x <1e， 所以f (x )在(0，1e )上是递减的，在(1e，＋∞)上是递增的． 所以x ＝1e是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在． 点评 求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．(2)含参数的极值问题例2 设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax .讨论函数f (x )的单调区间和极值．解 由已知，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x. ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是递增的，无极值；②若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a. 当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0，f (x )是递增的； 当x ∈(1a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是递减的． 所以当x ＝1a时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1. 综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为(0，＋∞)，无极值；当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1a)， 递减区间为(1a，＋∞)，极大值为－ln a －1. 点评 本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏．(3)极值问题的逆向考查例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．不存在 解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9. 经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9， 满足题意，所以a b ＝－23.故选A. 答案 A点评 本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去.5 导数中的分类讨论思想分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？1．按导数为零的根的大小来分类例1 设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R )，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值． 解 f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a 3. 当a >a 3，即a >0，x ∈(－∞，a 3)时，f ′(x )<0， x ∈(a 3，a )时，f ′(x )>0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0， 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0. 当a <a 3，即a <0，x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0， x ∈(a ，a 3)时，f ′(x )>0，x ∈(a 3，＋∞)时，f ′(x )<0， 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0. 点评 本题对f (x )求导后，得到一个二次函数，令f ′(x )＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．2．按是否为二次函数来分类例2 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ≤12)，讨论f (x )的单调性． 解 f ′(x )＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)，(1)当a ＝0时，h (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．(2)当a ≠0时，由f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1， ①当a ＝12，即x 1＝x 2时，h (x )≥0恒成立， 此时f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当0<a <12，即1a－1>1>0， x ∈(0,1)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(1，1a－1)时，h (x )<0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(1a－1，＋∞)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减； ③当a <0时，1a－1<0<1，x ∈(0,1)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)和(1a －1，＋∞)上单调递减，在(1，1a－1)上单调递增． 点评 由于f ′(x )的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a 是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a ≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．3．按最值来分类例3 设函数f (x )＝e x －e －x ，若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求实数a 的取值范围． 解 令g (x )＝f (x )－ax ，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝e x ＋e －x －a ，由于e x ＋e －x ＝e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时等号成立)， 所以当a ≤2时，g ′(x )＝e x ＋e －x －a ≥2－a ≥0，故g (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以当x ≥0时，g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥ax .当a >2时，方程g ′(x )＝0的根为x 1＝ln a －a 2－42<0，x 2＝ln a ＋a 2－42>0， 此时，若x ∈(0，x 2)，则g ′(x )<0，故g (x )在区间(0，x 2)内为减函数．所以x ∈(0，x 2)时，g (x )<g (0)＝0，即f (x )<ax ，与题设f (x )≥ax 相矛盾．综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为a ≤2.点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a 进行分类讨论．小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．6 导数计算中的易错点1．对定义理解不透例1已知函数f(x)＝3x4－2x3＋5，则limΔx→0f(1＋2Δx)－f(1)Δx＝________.错解因为f′(x)＝12x3－6x2，所以原式＝f′(1)＝6.故填6.剖析在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种增量形式，相应的Δy也应选择对应的形式，本题Δy中x的增量为2Δx，则分母也应为2Δx.正解因为f′(x)＝12x3－6x2，所以原式＝limΔx→0f(1＋2Δx)－f(1)2Δx·2＝2f′(1)＝12.故填12.答案122．对导数的几何意义理解有误例2已知曲线y＝f(x)＝x3－3x，求过点A(2,2)且与该曲线相切的切线方程．错解因为点A(2,2)在曲线y＝f(x)＝x3－3x上，且f′(x)＝3x2－3，所以f′(2)＝9.所以所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.剖析上述解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是切点处的导数，而点A(2,2)虽在曲线上，但不一定是切点，故本题应先设切点，再求斜率k.正解设切点为P(x0，x30－3x0)，又y′＝3x2－3.所以在点x0处的切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又因为切线过点A(2,2)，所以2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，即(x0－2)2(x0＋1)＝0.解得x0＝2或x0＝－1.故切线方程为9x－y－16＝0或y＝2.3．求导时混淆了常量与变量例3求下列函数的导数：(1)f(x)＝a2＋x2；(2)f(x)＝eπx.错解(1)f′(x)＝(a2＋x2)′＝2a＋2x.(2)f′(x)＝(eπx)′＝(eπ)′x＋(x)′eπ＝eπx＋eπ.剖析(1)求导是对自变量的求导，要看清表达式中的自变量．本题的自变量是x，而a是常量．(2)中误把常数eπ当作了变量．正解 (1)f ′(x )＝(a 2＋x 2)′＝2x .(2)f ′(x )＝(e πx )′＝e π(x )′＝e π.4．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”例4 已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (1，－1)作曲线f (x )的切线，求此切线方程． 错解 因为点M 在曲线上，所以M 为切点，又f ′(x )＝6x 2－3，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝6－3＝3，所以由点斜式可求得切线方程为y ＝3x －4.剖析 错解直接把M 看成是切点，对于此类问题应着重考虑点是否为切点，若已知点是切点，则错解中的方法就是正确的；否则，就要设出切点，由切点写出切线方程，再将已知点代入求得切点坐标进而得到切线方程．正确 设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，f ′(x )＝6x 2－3，所以切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，所以切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)·(x －x 0)． 又点M 在切线上，所以有－1－(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12， 故切线方程为3x －y －4＝0或3x ＋2y －1＝0.5．公式或法则记忆不准例5 已知函数f (x )＝x 2＋e x ln x ＋4x＋3，则f ′(2)等于( ) A ．(ln 2＋12)e 2＋3 B ．0 C.12e 2＋3 D ．e 2＋3错解 因为f ′(x )＝(x 2)′＋(e x )′(ln x )′＋(4x)′＋(3)′ ＝2x ＋e x ·1x －4x 2，所以f ′(2)＝12e 2＋3. 故选C.剖析 基本初等函数的求导公式和求导法则，是求较复杂函数的基础，上述函数就是四个基本函数y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x α，y ＝c 的和与积构成的，因此求导时需利用求导法则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，而不是直接求两个函数导数的乘积．正解 因为f ′(x )＝(x 2)′＋(e x ln x )′＋(4x)′＋(3)′ ＝2x ＋(e x )′·ln x ＋e x(ln x )′－4x 2＝2x ＋e x ln x ＋e x x －4x 2，所以f ′(2)＝(ln 2＋12)e 2＋3. 故选A.答案 A点评 基本初等函数的求导公式中指数与对数函数的求导公式相对较难，而在加、减、乘、除四种求导法则中一定要注意对乘、除两种法则记忆的准确性．。
导数典型例题讲解
资料一 ：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线yP (0, 0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2∴ k ＝00limlim (4)4x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,∴21St t t∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+, 即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒∴ v (t )=S ’＝00limlim(21)21t t St t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆ 即v (5)＝2×5＋1＝11.∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数yx =1处的导数。
解析：∆y1=, ∴ y x ∆∆, ∴ 0limx y x ∆→∆∆=1lim 2x ∆→=-.例5．已知函数f (x )=21sin 00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21()sin x x∆∆,y x∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0lim x yx ∆→∆∆=01lim sin x x x ∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.例6．已知函数f (x )=21(1)121(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？解析：f (1)=1, 20001[(1)1]112lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,001(11)112lim lim 2x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导． 例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,∴ y x∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0lim x y x ∆→∆∆=6x 2.例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－61( x －1)，即 6y ＋x －31＝0. 例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？解析：∵ y ’=0lim x yx ∆→∆∆=220()lim2x x x x x x∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆； (2) 000()()lim x x f x f x t x∆→∆+-∆.解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。