(完整)初二奥数题及答案
初二奥数竞赛试题及答案
初二奥数竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：若\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求\( a \)、\( b \)、\( c \)的值。
答案：由于\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以推断出\( a \)、\( b \)、\( c \)的值只能是1或0。
因为\( 1^2 = 1 \)，而\( 2^2 = 4 \)，所以\( a \)、\( b \)、\( c \)不能大于1。
经过尝试，我们可以发现只有当\( a = b = c = 0 \)或\( a = 1, b = 0, c = 0 \)（或其它两种排列）时，等式成立。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8，求斜边AB的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ AB^2 = 36 + 64 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} \]\[ AB = 10 \]试题三：组合问题题目：有5种不同的颜色的球，每种颜色有3个球，现在要从中选出3个球，求不同的选法总数。
答案：这是一个组合问题，我们可以使用组合公式来解决。
组合公式为：\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]其中\( n \)是总数，\( k \)是要选择的数目。
在这个问题中，\( n = 15 \)（因为有5种颜色，每种3个球），\( k = 3 \)。
所以：\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \]\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \]\[ C(15, 3) = 455 \]试题四：逻辑问题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的糖果，从1到5。
(完整版)初二奥数题及答案新人教版
初二奥数题及答案新人教版一、选择题(每小题6分，共30分)1.我们知道：太阳的温度很高，其表面温度大概有6 000℃，而太阳中心的温度更是达到了惊人的19 200 000℃，其实，对于具有一定质量的恒星来说，它的核心部分的温度总是随着年龄的增长而逐渐升高的，天文学家估算，有些恒星中心温度能够达到太阳中心温度的312.5倍，请你用科学记数法表示出这些恒星中心的温度为( )A.6.0× ℃B.6.0× ℃C.6.0× ℃D.6.1× ℃2.岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边.有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍.已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍.那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有( )A.1 072辆次、294辆次B.1 174辆次、193辆次C.973辆次、394辆次D.1 173辆次、254辆次3.期中考试过后，李老师把八年级一班60名学生的成绩实行了统计，制成了如图1所示的统计图，其中60分以下的人数和90分以上的人数一样多，而其它三个分数段(60—70，70—80，80—90)的频率分别是0.15、0.35、0.30.按学校规定成绩在80分以上(含80分)为优秀，那么这次考试中成绩优秀的学生有( )A.20人B.24人C.25人D.27人4.小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整( )A.13分钟B.14分钟C.15分钟D.16分钟5.6月份以来，猪肉价格一路上涨.为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元.若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W(元)的最小值和值分别是( )A.8 000，13 200B.9 000，10 000C.10 000，13 200D.13 200，15 400二、填空题(每小题6分，共30分)6.小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，因为匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级.7.如图2，是一玻璃盛水容器，高度为45厘米，现容器中水面高度为15厘米，如图2(1)所示，现将容器口密封并倒置此容器后，如图2(2)所示，这时水面高度为25厘米，已知，此容器最多可盛水700毫升，那么此时容器中水的体积为毫升.8.“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助;九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助.则该学校一共有名学生.9.如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm.10.你看过机器人大赛吗?在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头.如图4，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC= cm.三、解答题(本大题共60分)11.(本题10分)去年在德国举行的“世界杯”足球赛吸引了世界各国球迷的目光，不知道你对足球比赛的积分规则了解多少呢?最为常用的足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.现在知道，有一支足球队在某个赛季共需比赛16场，现已比赛了9场，输了2场，得19分.请问：。
(完整版)初二奥数题及答案
初二数学奥数1 如图，梯形ABCD中, AD// BC, DE^ EC, EF// AB交BC于点F, EF= EC,连结DF。
(1) 试说明梯形ABCD是等腰梯形；⑵若AD= 1, BC= 3, DC= 2，试判断厶DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P,使厶PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿B宀C向终点C运动，连接DM交AC于点N.(1)如图25—1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ ABN ADN ;②若/ ABC = 60 ° AM = 4，求点M至U AD的距离；(2)如图25—2,若/ ABC = 90°记点M运动所经过的路程为x ( 6<x< 12)试问：x为何值时，△ ADN为等腰三角形.W25-13、对于点O M点M沿 MO勺方向运动到O左转弯继续运动到N使OMk ON,且OML ON, 这一过程称为M点关于O点完成一次"左转弯运动”.正方形ABCD^点P, P点关于A左转弯运动到P i, P i关于B左转弯运动到F2, F2关于C左转弯运动到P3, P3关于D左转弯运动到R, R关于A左转弯运动到F5,…….(1) 请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P i的位置；(2) 连接P i A、P i B,判断△ ABP与厶ADP之间有怎样的关系？并说明理由。
⑶以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A P两点的坐标为(0, 4)、( I, I), 请你推断：P4、P2009、P20I0三点的坐标.P图I(1)如图1,当Rt △ ABC 向下平移到 Rt △ AB 1C 1的位置时，请你在网格中画出 Rt △ ABC 关于直线QN 成轴对称的图形； (2)如图2,在Rt △ ABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与x 的函数关系式，并说明当 x 分别取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？(3) 在Rt △ ABC 向右平移的过程中，请你说明当x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最 大值和最值分别是多少？为什么？4、如图1和2,在20X 20的等距网 格(每格的宽和高均是1个单位长) 中，Rt △ ABC 从点A 与点M 重合的位 置开始，以每秒1个单位长的速度先 向下平移，当 BC 边与网的底部重合 时，继续同样的速度向右平移，当 点C 与点P 重合时，Rt △ ABC 停止 移动•设运动时间为 x 秒，△ QAC 勺 面积为y . -r ・l-■卜!._■- 4 ■---■i-Tr-J-T--〒*■討■・--4J-1.J_.~-5、如图①，△ ABC中，AB=AC , / B、/ C的平分线交于0点，过0点作EF// BC交AB、AC 于E、F.(1) 图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.⑵如图②，若AB M AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们•在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？⑶如图③，若△ ABC中/ B的平分线B0与三角形外角平分线CO交于O,过0点作0E // BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由。
奥数初二试题及答案
奥数初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若一个数的平方等于它本身，那么这个数是（）。
A. 0B. 1C. 0或1D. 以上都不是答案：C2. 已知等差数列的首项为3，公差为2，那么第10项的值是多少？A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A3. 一个两位数，十位数字比个位数字大3，且这个数等于其数字之和的6倍，这个两位数是（）。
A. 42B. 51C. 63D. 72答案：B4. 一个正整数，除以3余1，除以5余2，除以7余3，那么这个正整数最小是（）。
A. 31B. 53C. 73D. 93答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 一个等腰三角形的两边长分别为5和10，那么这个等腰三角形的周长是________。
答案：206. 一个数列，前三项依次为1，2，4，从第四项开始，每一项都是前三项的和，那么这个数列的第10项是________。
答案：5117. 一个圆的半径为2，那么这个圆的面积是________。
答案：4π8. 一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，那么这个长方体的体积是________。
答案：60三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知一个二次函数的图像经过点（1，0）和（-1，0），且顶点的横坐标为1，求这个二次函数的解析式。
答案：设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，根据题意，我们有：a-b+c=0（因为函数经过点（1，0））a+b+c=0（因为函数经过点（-1，0））顶点的横坐标为1，即-b/2a=1，解得b=-2a将b=-2a代入前两个方程，得到a=1/2，b=-1，c=1/2所以二次函数的解析式为y=1/2x^2-x+1/2。
10. 一个工厂有A、B、C三个车间，A车间的工人数是B车间的2倍，C车间的工人数是A车间的3倍。
如果从A车间调10人到B车间，从C车间调20人到A车间，那么三个车间的工人数相等。
求原来各车间的工人数。
答案：设B车间原有x人，则A车间原有2x人，C车间原有6x人。
初二年级奥数试题及答案
初二年级奥数试题及答案导读：本文初二年级奥数试题及答案，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
一、填空题(每题3分,共24分)1.比较大小:_____,-π______-3.1416.2.已知点A与B关于y轴对称,则=_______,=______.3.当时,函数与函数的函数值相等,则=____.4.在列频率分布表时,得到一组数据中某一个数据的频数是12,频率是0.2,那么这个数据组*有________个数据.5.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=6,则AB边上的中线为______.6.若,则=___.7.已知一次函数的图像上有两个点P,Q,则k_____0.8.在△ABC与△A'B'C'中,AB=A'B',BC=B'C',应补充条件__________,则有△ABC≌△A'B'C'.二、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,△ABC≌△BAD,A、C的对应点分别是B、D,若AB=9,BC=12,AC=7,则BD=()A.7B.9C.12D.无法确定2.的算术平方根是()A.16B.4C.±4D.±163.在坐标轴上与点M(3,-4)距离等于5的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,则AB与AC的关系是()A.AB是AC的两倍B.AC是AB的两倍C.AB等于ACD.AB是AC的三倍5.若实数满足,则的取值范围是()A.1B.2C.3D.46.若一次函数的图像与y轴的交点在轴的上方,则的取值范围是()A.1B.2C.3D.47.已知一组数据含有三个不同的数12,17,25,它们的频率分别是,则这组数据的平均数是()A.19B.16.5C.18.4D.228.函数y=2x-1的图像不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.旋转改变图形的()A.位置B.形状C.大小D.面积10.点(-1,3)不在直线()上.A.1B.2C.3D.4三、解答题(每小题6分,共24分)1.计算.2.实数a、b、c在数轴上的对应点.3.一次函数表示的直线经过点A(1,2),B,试判断点P(2,5)是否在直线AB上.4.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AB=,BC=,求AC及△ABC的面积.四、应用题(12分)某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内原有60元,2个月后盒内有100元.(1)求盒内钱数y(元)与存钱月数x的函数关系.(2)按上述方法,该同学几个月能够存300元.答案一、1. 2.-3,-2 3.11 4.60 5.6 6.± 7.二、A B C A B D B B A B三、1.-5 2.-a 3.点P在直线AB上4.AC=16,△ABC的面积为32(1+)四、(1)y=20x+60 (2)按上述方法,该同学12个月能够存300元。
初二奥数题及答案
F E A D C B 初二数学奥数1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。
(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD ＝1，BC ＝3，DC ＝2，试判断△DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． P DCBA O NM图1 图24、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
初二组奥数试题及答案
初二组奥数试题及答案
1. 题目：一个数列的前三项是1, 2, 4，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求数列的第10项。
答案：数列的第10项是144。
2. 题目：一个正方形的边长增加10%，它的面积增加了多少百分比？
答案：面积增加了21%。
3. 题目：一个班级有40名学生，其中30%是女生。
如果班级中有5名学生转学，那么女生的比例变为多少？
答案：女生的比例变为33.33%。
4. 题目：一个数的平方减去它的一半等于36。
求这个数。
答案：这个数是12。
5. 题目：一个长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm。
求这个长方体的体积。
答案：这个长方体的体积是480立方厘米。
6. 题目：一个圆的直径是14cm，求这个圆的面积。
答案：这个圆的面积是153.94平方厘米。
7. 题目：一个数的3倍加上它的一半等于45。
求这个数。
答案：这个数是15。
8. 题目：一个数的5倍减去它的2倍等于18。
求这个数。
答案：这个数是6。
9. 题目：一个数的4倍加上它的3倍等于72。
求这个数。
答案：这个数是12。
10. 题目：一个班级有50名学生，其中20%是男生。
如果班级中有10名学生转学，那么男生的比例变为多少？
答案：男生的比例变为24%。
初二奥数试题及答案
初二奥数试题及答案一、选择题1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0 或 1答案：D2. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是：A. 29B. 32C. 35D. 383. 一个二次方程的根是x1和x2，如果x1 + x2 = 5，x1 * x2 = 6，那么这个二次方程是：A. x^2 - 5x + 6 = 0B. x^2 + 5x + 6 = 0C. x^2 - 5x - 6 = 0D. x^2 + 5x - 6 = 0答案：A4. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不是三角形5. 一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C二、填空题6. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是______。
答案：0 或 1 或 -17. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么第5项是______。
答案：328. 一个多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，如果P(1) = 0，P(-1) = 0，那么a + b + c + d = ______。
答案：09. 如果一个三角形的内角和为180度，其中一个角是60度，另外两个角的和是______。
答案：120度10. 一个圆的直径是10，那么这个圆的周长是______。
答案：10π三、解答题11. 已知一个等差数列的首项是1，公差是2，求这个数列的前10项的和。
解答：等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中a_1是首项，a_n是第n项。
首项a_1 = 1，公差d = 2，所以第10项a_10 = a_1 + (n-1)d = 1 + (10-1)*2 = 19。
将这些值代入公式，得到S_10 = 10/2 * (1 + 19) = 5 * 20 = 100。
八年级奥数测试题及答案
八年级奥数测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方根是3，那么这个数是多少？A. 9B. 6C. 3D. 12答案：A3. 计算：(2x - 3)(2x + 3) 的结果是？A. 4x^2 - 9B. 4x^2 + 9C. 9 - 4x^2D. 9 + 4x^2答案：A4. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是多少？A. 23B. 32C. 35D. 40答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的立方根是2，则这个数是______。
答案：82. 如果一个数的相反数是-5，则这个数是______。
答案：53. 一个数的绝对值是5，则这个数可以是______或______。
答案：5，-54. 一个数的平方是25，则这个数可以是______或______。
答案：5，-5三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求第n项的通项公式。
答案：第n项的通项公式为 a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1。
2. 计算：(3x^2 + 2x - 1)(2x^2 - 3x + 1) 的值。
答案：6x^4 - 13x^3 + 11x^2 - 2x + 1。
3. 已知一个等比数列的前三项分别是2，4，8，求第n项的通项公式。
答案：第n项的通项公式为 a_n = 2 * 2^(n - 1) = 2^n。
4. 计算：(2x - 1)^3 的值。
答案：8x^3 - 12x^2 + 6x - 1。
5. 已知一个数列的前三项分别是1，2，3，且每一项都是前一项的两倍加1，求第n项的通项公式。
答案：第n项的通项公式为 a_n = 2^(n+1) - 1。
6. 计算：(a + b)^2 的值。
答案：a^2 + 2ab + b^2。
初二奥数答案
参考答案与试题解析1．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AC上的一点，且满足ED=EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【解答】解：∵AB=AC，ED=EA，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∠ADE=36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=36°=∠A，∴∠CDB=72°，DB=DA，即△ABD是等腰三角形，∴∠C=∠CDB，∴BC=BD，即△BCD是等腰三角形，∵DF∥BC，∴∠AFD=∠ADF=∠C=72°，∠BDF=∠DBC=∠DBF=36°，∴AF=AD，即△ADF是等腰三角形，BF=DF，即△BDF是等腰三角形，∵∠FED=∠A+∠ADE=72°=∠AFD，∴BE=BD，即△BDE是等腰三角形，∵∠FED=∠EFD=72°，∴DF=DE，即△DEF是等腰三角形，故图中等腰三角形有8个，故选：C．2．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°3x+5x+10x=180解得x=10则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°∴∠BCN=180°﹣100°=80°又△MNC≌△ABC∴∠ACB=∠MCN=100°∴∠BCM=∠NCM﹣∠BCN=100°﹣80°=20°∴∠BCM：∠BCN=20°：80°=1：4故选：D．3．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．【解答】解：①如图1，连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PB，∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；本题正确的结论有：①③④故选：A．4．如图所示，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是B（填序号）【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．故答案是：B．5．从镜子中看到的这个号码，实际上是81938．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的数与83918成轴对称，所以它的实际号码是81938．故答案为：81938【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．6．如图，△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC上一点，CE⊥BC，连接AD、DE，若CE=BD，则∠ADE=45°．【分析】如图连接AE．由△ABD≌△ACE，推出AD=AE，∠BAD=∠CAE，可得∠BAC=∠DAE=90°，推出△ADE是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接AE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵EC⊥CB，∴∠ECB=90°，∠ACE=45°，∴∠B=∠ACE，∵AB=AC，BD=CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE=45°．7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，已知∠AOB是任意一个角，在边OA，OB上分别截取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点P作射线OP，则OP是∠AOB的平分线，其理由是SSS．【分析】由作图过程可得MO=NO，NP=MP，再加上公共边PO=PO可利用SSS 定理判定△MOP≌△NOP．【解答】解：∵在边OA，OB上分别截取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，∴OM=ON，NP=MP，∵在△ONP和△OMP中，∴△MOP≌△NOP（SSS），∴∠BOP=∠AOP，故答案为：SSS8．△ABC中，∠A=62°，O是边AB和边BC的垂直平分线的交点，那么∠BCO= 28°．【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：连接OA、OB，∵∠A=62°，∴∠ABC+∠ACB=118°，∵O是AB，BC垂直平分线的交点，∴OA=OB，OA=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=50°，∴∠OBC+∠OCB=118°﹣62°=56°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=28°，故答案为：28°．9．如图AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，AE=AC，AD是△ABC的角平分线，则△BED的周长为7cm．【分析】根据全等三角形的判定得出△AED与△ADC全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED与△ADC中，∴△AED≌△ADC（SAS），∴DE=DC，∵AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，∴△BED的周长=BE+DE+BD=AB﹣AE+DC+BD=AB﹣AC+BC=6﹣4+5=7cm，故答案为：7cm．10．在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=135°．【分析】根据图形判断出∠1、∠3是全等直角三角形的两个互余的锐角，∠2为等腰直角三角形的锐角，然后求解即可．【解答】解：如图，在△ABC和△EGA中，，∴△ABC≌△EGA（SAS），∴∠3=∠BAC，在Rt△ABC中，∠BAC+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，由图可知，△ABD是等腰直角三角形，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故答案为：135．11．如图a是长方形纸带，∠BFE=15°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是135°．【分析】根据长方形纸条的特征﹣﹣﹣对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2=∠EFG，继而求出∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得∠CFE 的度数．【解答】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，∴EH∥GF，∴∠1=∠EFG，根据翻折不变性得∠1=∠2，∴∠2=∠EFG，又∵∠DEF=15°，∴∠2=∠EFG=15°，∠FGD=15°+15°=30°．在梯形FCDG中，∠GFC=180°﹣30°=150°，根据翻折不变性，∠CFE=∠GFC﹣∠GFE=150°﹣15°=135°．故答案为：135°．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若DC=6，AB=12，则△ABD的面积是36．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，DC=6，∴DE=DC=6，∵AB=12，=AB•DE=×12×6=36．∴S△ABD故答案为：36．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．13．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=26°，∠2=32°，点B，D，E三点在一条直线上，则∠3=58°．【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出∠2=∠ABD，再由外角得出∠3=∠1+∠2，从而得出答案．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠2，∵∠3=∠1+∠ABD，∴∠3=∠1+∠2，∵∠1=26°，∠2=32°，∴∠3=26°+32°=58°，故答案为58°．14．如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠B=α（填“＞”“﹦”或“＜”）．【分析】利用SAS得到三角形BDF与三角形CED全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD=∠CDE，利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于α的关系式，即可表示出∠B．【解答】解：在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠EDF=180°﹣∠CDE﹣∠BDF=180°﹣∠BFD﹣∠BDF=∠B=α．故答案为：=．15．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则此等腰三角形的顶角为40°或140°．【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【解答】解：当为锐角时，如图∵∠ADE=50°，∠AED=90°，∴∠A=40°当为钝角时，如图∠ADE=50°，∠DAE=40°，∴顶角∠BAC=180°﹣40°=140°，故答案为40°或140°．16．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=70°．【分析】先判断出△ACD≌△BCE，再判断出△ACM≌△BCN即可得到CH平分∠AHE，即可得出结论．【解答】解：如图，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∴CH平分∠AHE；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°﹣40°=140°，∴∠CHE=∠AHE=×140°=70°，故答案为：70°．17．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若：∠1=130°，则∠α的度数为100°．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠1，∠ACB=∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α=∠2，从而得解．【解答】解：∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠BAE=∠1=130°，∠ACB=∠E，∴∠2=360°﹣∠1﹣∠BAE=360°﹣130°﹣130°=100°，∴∠DFE=180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC=180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE=∠AFC（对顶角相等），∴180°﹣∠α﹣∠E=180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α=∠2=100°．故答案为：100°．18．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE 沿直线DE翻折，使点B落在B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G．若∠ADF=80°，则∠DEG的度数为70．【分析】由折叠的性质得到∠BDE=∠B′DE，根据∠ADF的度数，利用平角定义求出∠BDE的度数，再由等边三角形的性质得到∠B的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠BED的度数，进而解答即可．【解答】解：由折叠的性质得到∠BDE=∠B′DE，∵∠ADF=80°，∠ADF+∠BDE+∠B′DE=180°，∴∠BDE=∠B′DE=50°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，则∠BED=180°﹣（50°+60°）=70°．∴∠DEG=70°，故答案为：70°19．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形BFDE=9，则AB的长为6．【分析】连接BD，根据的等腰直角三角形的性质证明△BED≌△CFD就可以得出△BED的面积=△CFD的面积，利用面积关系解答即可．【解答】解：连接BD．∵D是AC中点，∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，∴∠EDB=∠CDF，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴△BED的面积=△CFD的面积，∵S=△BED的面积+△BDF的面积=△CFD的面积+△BDF的面积=△四边形BFDEABC的面积=9，∴△ABC的面积=18，∴AB=6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中连接BD是解题的关键．20．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边（3）．形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为（1）（2）【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，=S△PNF，∴S△PEM=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，∴S四边形PMON∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，故答案为：（1）（2）（3）【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．已知，如图△ABC中，AB=6，AC=4，则中线AD的取值范围是1＜AD ＜5．【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，解答此题的关键是运用“中线倍长法”．22．在△ABC中，∠B=36°，若过点A的直线能把三角形划分成两个等腰三角形，那么△ABC最大的内角是72°，90°，108°，126°．【分析】分为以下情况：①当最大角是72°时，如图∠A=36°，AD=BD=BC；②当最大角是90°时，如图∠B=36°，AD=AC，CD=BD；③当最大角是108°时，如图∠B=36°，BD=AB，AD=DC；④当最大角是132°时，如图∠ABC=36°，AD=BD，CD=BC，⑤当最大角是∠A=126°，∠B=36°，AD=AB=CD．【解答】解：当36度的角是所在的小等腰三角形的底角时：①另一个三角形的腰是36°角所在三角形的腰时：∠A=36°，AD=BD=BC，则最大角是72°；，2）另一个三角形的腰是36°角所在三角形的底边时：有两种情况：①∠B=36°，AD=AC，CD=BD，当最大角是90°；②当最大角是108°时，如图∠B=36°，BD=AB，AD=DC，当最大角是∠A=126°，∠B=36°，AD=AB=CD（如图），故答案为：72°，90°，108°，126°．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，能找出所有的情况是解此题的关键，题型较好，能锻炼学生的能力．三．解答题（共5小题）23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据余角的性质即可得到∠5=∠C；由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．（2）根据∠5=∠C=30°，AM⊥BC，可得∠ABD=60°，∠CAM=60°，进而得到∠ADB=∠3+∠C=60°，∠BAD=60°，依据∠ABD=∠BDA=∠BAD，可得△ABD是等边三角形．【解答】解：（1）BE垂直平分AD，理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠5=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠5=∠C；∵AD平分∠MAC，∴∠3=∠4，∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，∴∠BAD=∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠1=∠2，∴BE垂直平分AD．（2）△ABD是等边三角形．理由：∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，∴∠ABD=60°，∵∠BAC=90°，∴∠CAM=60°，∵AD平分∠CAM，∴∠4=∠CAM=30°，∴∠ADB=∠3+∠C=60°，∴∠BAD=60°，∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，∴△ABD是等边三角形．24．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°﹣18°=57°，于是得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°，∴∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°；（2）∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，∴∠E=75°﹣18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，∴，（2）﹣（1）得α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．25．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点P为边BC上的一点，BC=3BP，且∠PAB=15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP=∠CAH．【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC=∠APD=60°，即可得到∠BPD=180°﹣120°=60°；（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形，进而得到∠DBP=90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA=∠CBA=45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP=150°，即可得到∠C=∠ADP=75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH=15°，即可得出∠BAP=∠CAH．【解答】解：（1）∵∠PAB=15°，∠ABC=45°，∴∠APC=15°+45°=60°，∵点C关于直线PA的对称点为D，∴PD=PC，AD=AC，∴△ADP≌△ACP，∴∠APC=∠APD=60°，∴∠BPD=180°﹣120°=60°；（2）直线BD，AH平行．理由：∵BC=3BP，∴BP=PC=PD，如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形，∴∠BEP=60°，∴∠BDE=∠BEP=30°，∴∠DBP=90°，即BD⊥BC．又∵△APC的PC边上的高为AH，∴AH⊥BC，∴BD∥AH；（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．∵∠APC=∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，∴AH=AF．∵∠CBD=90°，∠ABC=45°，∴∠GBA=∠CBA=45°，即点A在∠GBC的平分线上，∴AG=AE，∴AG=AF，∴点A在∠GDP的平分线上．又∵∠BDP=30°，∴∠GDP=150°，∴∠ADP=×150°=75°，∴∠C=∠ADP=75°，∴Rt△ACH中，∠CAH=15°，∴∠BAP=∠CAH．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．26．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．【分析】（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．【解答】（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．∵∠ACB=60°，∴△DCF为等边三角形．∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．∴∠3=∠5．∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，∴∠1=∠2．在△ADF和△EDC中，，∴△ADF≌△EDC（AAS）．∴CE=AF．∴CD+CE=CF+AF=CA．（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；证明：在CA延长线上取CF=CD，连接DF．∵△ABC为等边三角形，∴∠ACD=60°，∵CF=CD，∴△FCD为等边三角形．∵∠1+∠2=60°，∵∠ADE=∠2+∠3=60°，∴∠1=∠3．在△DFA和△DCE中，∴△DFA≌△DCE（ASA）．∴AF=CE．∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．27．如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．【解答】解：（1）AD=BE．理由如下：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，∵CP=CQ，∴PQ=2PN，∵△ABC是等边三角形，AM是中线，∴CM⊥AD，CM=BC=×8=4，∴CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），∵CP=CQ=5，∴PN===3，∴PQ=2PN=2×3=6；（3）PQ的长为定值6．∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，∴对应边AD、BE上的高线对应相等，∴CN=CM=4是定值，∴PQ的长是定值．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点C到PQ的距离等于CM是解题的关键．。
初二奥数题及答案
初二数学奥数及答案班级 姓名 学号1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。
(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD ＝1，BC ＝3，DC DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .①求证：△ABN ≌△ADN ；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C 与点P 重合时，Rt △ABC 停止移动.设运动时间为x 秒，△QAC 的面积为y .（1）如图1，当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B 1C 1的位置时，请你在网格中画出Rt △A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出y 与x 的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？P D C BANM 图1 图25、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC 于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE ∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
初二奥数试卷及答案
初二奥数题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ）（A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b c x a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a <b , －1<n <m , 若1a mb M m +=+，1a nb N n+=+， 则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M >N (B)M =N (C)M <N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm 7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32(D)43≤a ＜32 9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）（A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时 10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+的结果是＿＿＿12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
初二数学奥数试题及答案
初二数学奥数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 5D. 92. 如果一个数的平方根是正数，那么这个数是：A. 负数B. 零C. 正数D. 无法确定3. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的立方根是它本身，这个数可能是：A. -1B. 0C. 1D. 所有选项都正确5. 如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________。
7. 一个数的相反数是它本身，这个数是________。
8. 一个数的平方是它本身，这个数可能是________。
9. 如果a和b互为倒数，那么ab的值是________。
10. 一个数的立方是它本身，这个数可能是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，求它的体积。
12. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求第10项的值。
13. 有一个等差数列，首项是5，公差是3，求这个数列的前10项的和。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是锐角三角形。
15. 证明：如果一个数的平方比它本身大，那么这个数是正数。
五、综合题（每题20分，共20分）16. 一个圆的半径是10厘米，求它的周长和面积。
答案：一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D二、填空题6. 非负数7. 零8. 0或1或-19. 110. -1, 0, 1三、解答题11. 体积 = 长× 宽× 高= 2 × 3 × 4 = 24立方厘米12. 第10项 = 1 + 1 + 2 + ... + (1 + 1 + 2)的前7项和 = 14413. 前10项和 = (首项 + 末项) × 项数÷ 2 = (5 + 28) × 10 ÷ 2 = 175四、证明题14. 略15. 略（提示：设这个数为x，证明x^2 - x > 0）五、综合题16. 周长= 2πr = 2 × 3.14 × 10 = 62.8厘米面积= πr^2 = 3.14 × 10^2 = 314平方厘米结束语：通过以上的数学奥数试题及答案，我们可以看到数学的魅力在于逻辑推理和解决问题的能力。
第一期初二奥数测试题参考答案
【初中数学吧】初二奥数测试题【第一期】一. 选择题(15 分 )1.(3分 )多项式2x^4-5x^3+x^2+5x-3中不行能含有的因式是.（ C）A.x+1B.x-1C.x-2D,2x-3答题思路（ 1）：依据因式定理可知，当x=2 时，原式不为0，即此不含因式x-22. (3 分 )若三角形中2/a=1/b+1/c ，则∠ A . （A ）A, 必定为锐角B, 必定为直角C.必定为钝角D. 非上述答案答题思路（ 2）：由 2/a=1/b+1/c 可得 2bc=a（ b+c），即 2bc＞ a^2，因此 b^2+c^2 ＞ a^2，a 的对应角＜ 90°，可知其为锐角。
3.(3 分 )△ ABC 中，∠ BAC=60 °， AD 是∠ BAC 的角均分线， AC=AB+BD ，则∠ ABC 的度数.(A)A.80 °B.60 °C.55°D.30°BDC E A答题思路（ 3）：如图在 AB 上取一点 E 使 AE=AB ，则易证 CE=ED=DB ，因此求得∠ ACB=40 °，∠ ABC=80 °4(3 分).点 P 是矩形 ABCD 中一点，已知PA=3,PB=4,PC=5, 则 PD 为 . (A)A.3 √2B. 3√3C.3√5D. 4√3A GDE FPBH C答题思路（ 4）：如图，设 AE=a ，EB=b ，AG=c 。
GD=d ，则有 a^2+c^2=9,c^2+b^2=16.d^2+b^2=25, 可求得a^2+d^2=18. 则 PD= √18=3 √2.5. (3 分 )若 a+b=1.a^2+b^2=2, 则 a^5+b^5 为 .A.9/4B.9/2C.19/4D.19/2答题思路（ 5）：a^5+b^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-a^2b^2(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2) (a^2+b^2)-a^2b^2(a+b) 由题可得 ab=-1/2 ， a+b=1.a^2+b^2=2, 则代入后求得值为 19/4。
初二组奥数试题及答案
初二组奥数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D2. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么这个数列的第5项是：A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形答案：B4. 一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果一个数的立方等于8，那么这个数是______。
答案：26. 一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的第4项是______。
答案：1627. 如果一个多边形的内角和是900°，那么这个多边形的边数是______。
答案：78. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是______。
答案：10三、解答题（每题15分，共40分）9. 一个数列的前三项分别为1，2，3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求这个数列的第10项。
答案：解：数列的前几项为：1，2，3，6，11，20，37，68，125，230。
因此，第10项是230。
10. 一个圆的半径为10，圆心到一条直线的距离为8，求这条直线与圆的交点个数。
答案：解：由于圆心到直线的距离小于半径，所以这条直线与圆相交于两点。
四、证明题（每题20分，共20分）11. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
答案：证明：假设三角形的三边长分别为a、b、c，且a+b>c。
根据三角形的三边关系，我们还需要证明a+c>b和b+c>a。
由于a+b>c，我们可以得出a>c-b，b>c-a。
因此，a+c>b和b+c>a也成立，所以这个三角形是存在的。
初二奥数题及答案
F E A D C B 初二数学奥数1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。
(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD ＝1，BC ＝3，DC ＝2，试判断△DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． P DCBA O NM图1 图24、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
初二奥数题及答案
初二数学奥数1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF ＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)假设AD＝1，BC＝3，DC DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，假设存在，请直接写出PB的长；假设不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.〔1〕如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②假设∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；〔2〕如图25－2，假设∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x 〔6≤x≤12〕试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动〞．正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，……．〔1〕请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；〔2〕连接P1A、P1B，判断△ABP1与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且点B在第二象B A 限，A、P两点的坐标为〔，请你推断：P4、P2021、P2021三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等距网格〔每格的宽和高均是1个单位长〕中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开场，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC为x秒，△QAC的面积为y.〔1〕如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；〔2〕如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？〔3〕在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜测： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，假设AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，假设△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
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初二数学奥数1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若AD＝1，BC＝3，DC DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．PDCBANM图1图24、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
6、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE 于点F，求∠E的度数。
7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。
通过观察或测量OE,OF 的长度，你发现了什么？试说明理由。
1、解：（1）证明：∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ， ∵EF ∥AB ， ∴∠B=∠EFC ， ∴∠B=∠ECF ，∴梯形ABCD 是等腰梯形；（2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC ，EF=EC ，∴EF=21CD ， ∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD 是等腰梯形， ∴CF= 21（BC-AD ）=1， ∵DC= 2， ∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF 是等腰直角三角形；（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+22、证明：（1）①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠1=∠2． 又∵AN=AN ， ∴△ABN ≌△ADN ．②解：作MH ⊥DA 交DA 的延长线于点H ． 由AD ∥BC ，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt △AMH 中，MH=AM •sin60°=4×sin60°=23． ∴点M 到AD 的距离为2 3．∴AH=2． ∴DH=6+2=8．（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD 是正方形． ∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA ，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M 恰好与点B 重合，得x=6；（Ⅱ）若DN=DA ，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M 恰好与点C 重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD ∥BC ， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4． ∴CM=CN ． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6． 故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN 是等腰三角形。
3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（2）△ABP1≌△ADP ，且△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得． 理由如下：在△ABP1和△ADP 中，由题意：AB=AD ，AP=AP 1，∠PAD=∠P 1AB ， ∴△ABP1≌△ADP ，又∵△ABP 1和△ADP 有公共顶点A ，且∠PAP 1=90°，∴△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得； （3）点P （1，1）关于点A （0，4）左转弯运动到P 1（-3，3）， 点P 1（-3，3）关于点B （-4，4）左转弯运动到点P 2（-5，3）， 点P 2（-5，3）关于点C （-4，0）左转弯运动到点P 3（-1，1）， 点P 3（-1，1）关于点D （0，0）左转弯运动到点P 4（1，1）， 点P 4（1，1）关于点A （0，4）左转弯运动到点P 5（-3，3）， 点P 5与点P 1重合，点P 6与点P 2重合，，点P 2009的坐标为（-3，3） 点P 2010的坐标为（-5，3）．4、解：（1）如图1，△A 2B 2C 2是△A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形；（2）当△ABC 以每秒1个单位长的速度向下平移x 秒时（如图2）， 则有：MA=x ，MB=x+4，MQ=20， y=S 梯形QMBC -S △AMQ -S △ABC =214+20）（x+4）- 21×20x- 21×4×4 =2x+40（0≤x ≤16）． 由一次函数的性质可知：当x=0时，y 取得最小值，且y 最小=40，当x=16时，y 取得最大值，且y 最大=2×16+40=72； （3）解法一：当△ABC 继续以每秒1个单位长的速度向右平移时， 此时16≤x ≤32，PB=20-（x-16）=36-x ，PC=PB-4=32-x ， ∴y=S 梯形BAQP -S △CPQ -S △ABC = 21（4+20）（36-x ）-21×20×（32-x ）- 21×4×4 =-2x+104（16≤x ≤32）． 由一次函数的性质可知：当x=32时，y 取得最小值，且y 最小=-2×32+104=40；当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．解法二：在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．因此，根据轴对称的性质，只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．5、解：（1）图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，此时EF=BE-CF，6、解：在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠E=∠ADB．∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°，∴∠E=56°．7、解：OE=OF．证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，∴∠AOF=∠EOB．在△AOF和△BOE中∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，∴△AOF≌△BOE（ASA）．∴OE=OF．11。