2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练17

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2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练7

（ii ）若 a b 6 时，满足综上， a b 2
a b 0 ，恒成立 2
故要使对 x1 0 ， x2 x1 ， g x2
ba8
f x1 成立只需 a b ab
，画出可行域可得 2
2a b 7
2．（ 1）若复数 z 与其共轭复数 z 满足 z
5 5 ， z z 2 ，则 z
z
（2）若函数 f x 解：（ 1） 2
ab 1 0
故f x
max 1 a b , 1 a b
max
b 1 a , 4a b 1 0 ，又结合 a 2 ，
b 1 a , 4a b 1 0
可以从规划视角来解题，以 a 为横坐标， b 为横坐标建系，
画出可行域
4a b 1 a2
0
如图 1 所示，
目标函数 b 1 a
b1a
2
视为可行域内的点
2
a,b 到直线 x y 1 0 的距离的
即 12
2a c
8 ac
5
a c 30
所以 a c a c cos AOC 24
解法二：同前， O , A, C, B 四点共圆
由正弦定理得 R
5
3
3
， sin ABC ， tan ABC
3
5
4
又a c
a c cos AOC
2S OAC tan
8 S OAC
3
所以当且仅当 AOC 为等腰三角形时， S OAC max S NAC 9
道底 AB 的张角最大时，采集效果最好，则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离
是
。
解：以抛物线顶点为原点建系，则抛物线方程为

2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练9

若设 C 的横坐标为 t 0 t 1 ，则点 A 的横坐标为 4 t ，所以 f x g x 在区间 5,1 上的所有实数根之和为 3 4 t t 7
感知高考刺金 166
函数模块 3．设 f x 的定义域为 D ，若 f x 满足条件：存在 a, b D ，使得 f x 在 a,b 上
的值域是 a , b ，则称 f x 为“半缩函数” ．若函数 f x 22
其中 b R ，若函数 y f x g x 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是
7 （A） ,
4
7 （B） ,
4
7 （ C） 0,
4
7 （ D） ,2
4
解：由 f x
2 x , x 2,
2
得 f (2 x)
x 2 , x 2,
2 2 x ,x 0
，
x2 ,
x0
所以 y f ( x) f (2 x)
感知高考刺金 170
三角模块 1．设函数 f x 则 m 的取值范围是
3sin x ，存在 x0 使得 f x m ．
f x0 和 x02
f x0 2 m2 成立，
解：由 f x
f x0 可知 x0 k m
，即 x0 2
mk
m,k 2
Z ，且 f x0
3
2
所以 mk m 3 m2 ，所以 1 2
2
感知高考刺金 156
（ 2015 全国文科第 16 题）已知 F 是双曲线 C : x2 y2 1的右焦点， P 是 C 左支上一点， 8
A 0,6 6 ，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为
．
解：设双曲线的左焦点为 F1 ，由双曲线定义知 PF 2a PF1

全国III卷2018年高考数学一题多解含17年高考试题2017103013

1.所以
-1
2
解法三：构造函数法：
x x2 f (x)
3, 1 2x 1, 1
3, x 2
画出 f（x）=│x+1│–│x–2│的图象和 g(x) 1 图象两图像交点的横坐标为 x 1
7
所以不等式的解集为{x | x 1}.
1
且
g 1
2
2
1
1
1. 1
1,2 0
0
4
1, 2 2 2
1
,
，可知 x 的取值范围是
01
2
4
解法二:图象变换法：
函数 y
f (x), y
1
f (x ) 在 R 上都是增函数. 2
y
f (x) 向右平移
1 2
个单位得 y
x
f
1
的图象。
2
5
观察图象， x
0 时， (x f) 1
1
fx ) 1 (
2 1
(全国 III 卷）2018 年高考数学一题多解（含 17 年高考试题）
1、【2017 年高考数学全国三卷理 11】11．已知函数 f (x) x2 2x a(ex 1 e x 1) 有唯一零
点，则 a=
1
A．
B． 1
C．
1 2
D．1
2
3
【答案】C
函数 f (x) 的零点满足 x2 2x
a ex 1 e x 1 ，
1， 0 xx
，则满足 f (x)
1 f (x ) 1
2
2x，x 0
的 x 的取值范围是_________.
1
【答案】
, 4
【解析】
4

2018版高三数学一轮复习(3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升)不等式选讲试题理

考点不等式选讲1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.1.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 2.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.3.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.4.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 4.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]5.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.5.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.7.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.8.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]9.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.9.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]10.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.11.(1)证明由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21212.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .12.(1)解当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}.可得,A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ,可得s -t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q -1)＋(q -1)q +…+(q -1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝-1<0.所以，s <t .。

【配套K12】北京卷2018年高考数学一题多解含17年高考试题

(北京卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）1、【2017年高考数学北京理1】若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则A B =（）.A.}12|{-<<-x xB.{}–2<3x x <C.{}–1<1x x <D.{}1<3x x <【答案】A【知识点】集合的交运算【试题分析】本题考查考生的运算能力．属于基础题．解析三（特殊值法）从选择支入手，令0=x ，得B A B A ⋂∉∉∈0,0,0则排除B 和C. 再令23-=x ，得：B A B A ⋂∈-∈-∈-23,23,23则，排除D ，故选A. 2、【2017年高考数学北京文11】已知0x …，0y …，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________．【答案】]1,21[ 【知识点】直线与圆的综合，不等式的范围问题【试题分析】本题考查数形结合思想，转化与化归思想的应用，考查考生的运算求解能力．属于中档题．【解析】解析一：由已知得：122)1(,,12222222+-=-+=++-=x x x x y x y x x y 得代入，时，取得最小值，当时，取得最大值或，当2121110]1,0[,21)21(22===∈+-=x x x x x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析二：为与两坐标轴的交点分别设直线1=+y x ),0,1(),1,0(B A 上一点，为线段点AB y x P ),(，到原点的距离为则22111002222=+-+≥+=y x PO P ,1=≤AO PO 又，所以12222≤+≤y x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析三：,220,022y x y x xy y x +≤+≤>>时，由基本不等式得：当,1,20,0222=++≤+>>y x y x y x y x 根据条件）（时，可得：当；得：2122≥+y x .0,时，结果显然成立有一个为当y x .1)(20,022222=+=++≤+≥≥y x xy y x y x y x 时，另一方面，当].1,21[22的取值范围是所以y x + 解法四：θθ22cos ,sin ==y x 则由已知条件得：设，].1,21[2sin 21-1cos sin 2)cos (sin cos sin 2222224422∈=-+=+=+θθθθθθθy x ].1,21[22的取值范围是所以y x +].1,21[],1,22[],1,22[)4sin(2∈∈∈+r r 所以：即：πθ].1,21[22的取值范围是所以y x + 3、【2017年高考数学北京理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为___________.【答案】1【知识点】点与圆的位置关系，圆的极坐标方程【试题分析】本题主要考查圆的极坐标方程，点与圆的位置关系，意在考查化归与转化、运算求解能力．属于中档题．【解析】解析一：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.1),2,1(,1)2()1(22==-+-r y x 半径圆心为即：,12)20()11(),0,1(22>=-+-=d P P 到圆心的距离点的直角坐标为点.112min =-=-=r d AP P 点在圆外，所以所以：.1的最小值为所以AP解析三：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.31,1)2(.1),2,1(,1)2()1(222≤≤≤-==-+-y y r y x 即：可得：半径圆心为即：].3,1[34)2(1)1(),31)(,(2222∈-=+--=+-=≤≤y y y y x AP y y x A 则：设.1的最小值为所以AP4、【2017年高考数学北京理15】在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.【答案】36)2(1433)1(【知识点】正弦定理，余弦定理【试题分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．考查考生的运算求解能力与解决问题的能力.属于基础题．【解析】 (1),73,60a c A ABC =︒=∆中，因为在 .14332373sin sin =⨯==a A c C 由正弦定理得：（2）解析一：.3,7==c a 所以因为A bc c b a cos 2222-+=由余弦定理 ,721323222=⨯⨯-+b b 得： ).(58舍或解得：-==b b.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以解析二：当7a =时，3c =，sin C 3=14＜c a 13cos 14C ∴. △ABC 中sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A Csin cos cos sin ⨯⨯=A C +A C131=+142⨯⨯=.367343721sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC 的面积所以解析三：如图所示： .点，垂足为作过点G AC BG B ⊥.23233==AG BG ，解得：,21322=-=∆BG BC CG BCG Rt 中，在 .8=+==CG AG AC b 即：.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以。

天津卷2018年高考数学一题多解含17年高考试题2017103018

(天津卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）（7）设函数f(x)2sin(x )，x R ，其中0，||.若(5)2，()0，且f f88 f(x)的最小正周期大于2，则（A）2，3（B）2，123（C）1，123（D）241，324【答案】A52k182【解析】法一：由题意11k842，其中k k Z，所以1,2(k 2k)，2133又T，所以01，所以2212，2k ，由得，故1312121选A．11531k T,k N 法二：由题意8844,则32T 2,kN4k 1，因此8k2可得. 1,k N,则f，从而(5)2233812法三：（排除法）当x，不合时， 2 55，满足题意， 2 5 11 8 3 8 12 2 3 8 12 2 1 5 11题意，B 选项错误；，不合题意，C 选项错误； 3 824 4 1 57，满足题意；当11时， 2 11x，满足题意；3 8 24 28 3 812 1 11 7 18，不合题意，D 选项错误.本题选择 A 选项. 3 8 24 24（9）已知 aR ，i 为虚数单位，若i a 2 i为实数，则 a 的值为 . 【答案】2【解析】法一：aia i i a a i a a( )(2 ) (2 1) ( 2) 2 1 22 i (2 i )(2 i ) 5 5 5i 为实数，则a 20,a25.1法二：设k R，则 ai k 2 i2k ki ，则 a 2k ,k1，因此 a2 .2 i法三：R，则ii1 a，因此 a2 .aia2 i2 i 2 i 法四：a i R 2 i，则a i a i = 2 i 2 i，则 a i2 i =2i a i，则2a1a 2i 2a1 a 2i ，则 a2 （ 11）在极坐标系中，直线 4 cos() 1 06 与圆2 s in 的公共点的个数为___________. 【答案】23sin 21,064 ，因此该方程有两组解，从而有两个交点.法三：直线为 2 3x2y10 ，圆为 x 2(y1)21 ，则过0, 12且与圆相切的直线的12 5 斜率为9512 5 ，结合 3，从而有两个交点.5（13）在△ABC中，∠A 60，AB 3，AC 2.若BD 2DC，AEAC ABR，且AD AE4，则的值为___________.()【答案】3 11法二：以A为原点，AB的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，则A0，0，B3，0，C 1，3.由BD2DC得523D,33，由2AEAC ABR 得E 3，3.则( )5 2 3113AD AE, 3 3 5 4 =，，则3 3 311.法三：1 2 AD AB AC3 3，因此AD AE 2 AB2 AC33，AD AEABAC4 2 3322AD AEAD AE22AD AE4AD AEAD AE164结合，因此，即128 48 22AB ACAB AC 1693 33，即1284 89 43 16 9 33 3，3 = 11.即（19）（本小题满分14分）设椭圆x y22的左焦点为F，右顶点为A，离心率为1221(0)a ba b2.已知A是抛物线y px p 的焦点，F到抛物线的准线l的距离为122(0)2.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为62，求直线AP的方程.【答案】（1）24y2x 1，y24x.（2）3x 6y 30，或3x 6y30.3【解析】法一：（Ⅰ）解：设F的坐标为(c,0).依题意，1c，a2得a 1，c 1，p 2，于是2223b ac .24p2，1a a c ，解23所以，椭圆的方程为24y2x 1，抛物线的方程为 y 24x .3所以，直线 AP 的方程为3x 6y 3 0 ，或3x 6y3 0.法二：（Ⅰ）解：设 F 的坐标为 (c ,0).依题意，1c， a 2c ， p 2 ，于是22 23 1ba c. 24p 2 ， 1aa c ，解得 a 1，2所以，椭圆的方程为24y2x 1，抛物线的方程为 y 24x .3（II ）根据条件设直线 AP 的方程为 y k x 1,k0 .联立24y2x 13与yk x ，1消去 y 得3 4k x 8k x 4k30 ，解得22 22x 1, x4k3 24k 23，因此有4k3 6k 224k36k.结合 P 的位置，有 P 1,2k，从而Q 1, 2k .B ,4k34k3224238k8k 12k设点 Dd ,0由BDQ 三点共线， BQ / /QD ,即, / / d 1,2k4k3 4k322，即d4k 6 24k62，因此 AD 1d12 4k 62.又△APD 的面积为 6 2 ，则 112k 6 AD 2k2 4k 6226 6，解得k，因此直线 AP 的方程为yx 1 . 22法三：（Ⅰ）解：设 F 的坐标为 (c ,0).依题意，1 c， a 2c ， p 2 ，于是22 23 1ba c. 24p 2 ， 1aa c ，解得 a 1，2所以，椭圆的方程为24y2x 1，抛物线的方程为 y 24x .3（ II ）设点 P1, p , p 0 ，则 Q 1, p，由△APD 的面积为 62 ，则16AD p，则226AD1 d，其中 Dd ,0.pp易知直线AP的方程为1y x ，联立224y2x 13与py x ，消去y得123p2x22p2x p23 0，解得x 1,xp2p233，因此有p33p22p33pB,p3p322.2p p6p23232p p6p结合BDQ三点共线，BQ//QD,即,//d 1,pp3p322，即dp2p266，从而612p6p26，解得p 6，因此直线AP的方程为y x1.25。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编_第七章_不等式_有解析

第七章不等式第一节不等式的性质与不等式的解法题型75 不等式的性质——暂无题型76 比较数（式）的大小1.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-.2.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b<+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<解析由题意知1a >，01b <<，所以12a b<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论.题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法题型78 分式不等式的解法——暂无第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79 二元一次不等式组表示的平面区域题型80 求解目标函数的取值范围或最值1.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为（）.A.23 B.1 C.32D.3解析变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.32.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（）. A.1 B. 3 C.5 D.9解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.3.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大，由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.4.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9解析目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(35.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．解析由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．6.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（）.A. 0B. 2C.5D.6解析由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5x 27.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞ 解析如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81 求解目标函数中参数的取值范围——暂无题型82 简单线性规划问题的实际运用第三节基本不等式及其应用题型83 利用基本不等式求函数的最值1.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30． 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…，解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型84 利用基本不等式证明不等式——暂无a。

2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练15

感知高考刺金281题（2012杭州一模）设对任意实数0x >，0y >．若不等式(2)x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为．解法一：1a x≥=+t =，则()2112tg t t +=+ 令1t m +=，则()()2211423128412124t m g t t m m m+===≤==++-+- 故a解法二：待定系数法1111222k x x x kx y x y k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与题中所给不等式(2)x a x y ≤+相比对，待定系数可得11:1:222k k⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得k =()2x x y +⎝⎭故a感知高考刺金282题已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，()10F P PM λλ=> ，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭， 20PN F N = ．若22PF = ，则ON = ．解：由22PF PMPN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭知PN 是2MPF ∠的角平分线又20PN F N =，故延长2F N 交PM 于K ，则的角平分线又是高线，故2PF K ∆是等腰三角形，22PK PF ==因为22PF = ，故110PF = ，故112F K =注意到N 还是2F K 的中点，所以ON 是12F F K ∆的中位线，所以1162ON F K ==感知高考刺金283题设12a =，121n n a a +=+，21,*1nn n a b n a +=-∈-N ，则2015b = ．解：这种特殊的递推关系，一旦没有思路，先做几项找找规律就是最好的办法。

算出123262,,,35a a a === ，1233,7,15,b b b ===找规律发现234123321,721,1521,b b b ==-==-==- 所以严格证明时就能想到办法，去证211n n n a b a ++=-是等比数列 111221221111212211n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++--++===+++--，故12n n b +=，得21n n b =-，2015201521b =-点评：一般数列题中不常见的特殊递推关系或这为了应景而求有2015这样大数据出现时，题目往往有规律，例如周期数列或者能观察猜测出数列通项。

2018高考一轮江苏数学文练习第4章第17课课时分层训

课时分层训练(十七)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________． (2，＋∞) [因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．]2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图17-3所示，则下列叙述正确的是________．图17-3①f (b )＞f (c )＞f (d )； ②f (b )＞f (a )＞f (e )； ③f (c )＞f (b )＞f (a )； ④f (c )＞f (e )＞f (d )．③ [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，因此③正确．]3．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件. 【导学号：62172096】充分不必要 [f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．]4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 [∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x ＞2时，g ′(x )＞0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52.]5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．单调递增 [在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．]6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ [f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎨⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.]7．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．(－1，＋∞) [由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1.]8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________. 【导学号：62172097】⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ [∵f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )max ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .由29＋2a >0，得a >－19. ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.]9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．(0,1)∪(2,3) [∵f ′(x )＝－x ＋4－3x ，令f ′(x )＝0可得x 1＝1，x 2＝3. 由于f (x )在[t ，t ＋1]上不单调， ∴1∈[t ，t ＋1]或3∈[t ，t ＋1] 即0<t <1或2<t <3.]10．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞) [f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0 在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1.]二、解答题 11．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间. 【导学号：62172098】 [解] (1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x ＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 12．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．c ＜a ＜b [依题意得，当x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1＜0＜12＜1，因此有f (－1)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＜a ＜b .]2．(2017·盐城质检(二))设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．(－2,0)∪(2，＋∞) [令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎨⎧ x ＞0，g (x )＞0或⎩⎨⎧x ＜0，g (x )＜0，解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]3．设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解](1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞)，此时f′(x)＝2(x＋1)2，可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2(x＋1)2＝ax2＋(2a＋2)x＋ax(x＋1)2.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12(x－1)2x(x＋1)2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a<0时，Δ>0，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－(a＋1)＋2a＋1a，x2＝－(a＋1)－2a＋1a.由于x1＝a＋1－2a＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 4．(2017·如皋市高三调研一)已知函数f (x )＝bx －bx ＋2a ln x (x ∈R )． (1)若a ＝1时，函数f (x )在其定义域上不是单调函数，求实数b 的取值范围； (2)若b ＝1时，且当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 1)x 2－f (x 2)x 1(x 1－x 2)>0恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)a ＝1时，f (x )＝bx －b x ＋2ln x ，f ′(x )＝b ＋b x 2＋2x ＝bx 2＋2x ＋bx 2.①当b ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在定义域上单调递增，不符合题意； ②当b <0时，Δ＝4－4b 2>0，即－1<b <0，满足题意．所以－1<b <0.(2)当b ＝1时，f (x )＝x －1x ＋2a ln x .∵∀x 1，x 2∈(0，＋∞)时，不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 1)x 2－f (x 2)x 1(x 1－x 2)>0恒成立，∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)时，不等式x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1x 2(x 1－x 2)>0恒成立．令h (x )＝xf (x )＝x 2－1＋2ax ln x ，∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(h (x 1)－h (x 2))(x 1－x 2)>0恒成立，∴h (x )在(0，＋∞)单调递增．∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，h ′(x )＝2x ＋2a ln x ＋2a ≥0恒成立．令m (x )＝2x ＋2a ln x ＋2a ，则m ′(x )＝2＋2a x ＝2x ＋2ax . ①当2a ＝0时，m ′(x )＝2>0, m (x )＝2x >0恒成立；②当2a >0时，m ′(x )＝2＋2a x >0，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1e a ＋1a ＋2＝2e a ＋1a ＋2－2a 2－2－2a <0，所以a >0不符合题意．③当2a <0时，m ′(x )＝0时，x ＝－a . 结合m ′(x )，m (x )随x 的变化情况：∴m (x min 综上，－1≤a ≤0.。

(山东卷)高考数学一题多解(含17高考试题)

(山东卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18 【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【答案】D 【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211ab b a ≥+=即ab≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>122,aa b b+=+>==222211log (a b)log (a )log 2a .log 21,a a又+<+2222log (a b)log 2(),a b 当a=b =1时等号成立.<<a b012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-=,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ，所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数.所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<a b 012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a 所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。

20192018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A ．112B ．114C ．115D ．1181．【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有210C 45=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为314515=，故选C ．2．（2018全国新课标Ⅲ理）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（）A ．10B ．20C ．40D ．802.答案：C 解答：25103552()()2rrr r r r C x C x x--=⋅⋅，当2r =时，1034r -=，此时系数22552240r r C C == .故选C.二、填空1. （2018上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为。

（结果用数值表示）2．（2018浙江）二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 14.答案：7解答：通项1813181()()2rrr r T C x x --+=843381()2r r r C x -=.84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187()7242C ⨯⋅=⨯=.3．（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)3.答案：1260解答：224121353435337205401260C C A C C C A +=+=.4（2018天津理）在5(x 的展开式中，2x 的系数为 .4．【答案】52【解析】结合二项式定理的通项公式有：35521551C2C r r r r r r r T xx--+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得2r =，则2x 的系数为2251151024C 2⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．5．（2018全国新课标Ⅰ理）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）5.答案：16解答：恰有1位女生，有122412C C =种；恰有2位女生，有21244C C =种，∴不同的选法共有12416+=种.三、解答题高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b fb a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．(2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b+=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =或1212||||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式 (1)11mm n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11mm nn n C C m--=; (4)∑=nr r nC=n2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158．分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有。

2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练22

感知高考刺金371题若正数,a b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值为．解法一：分母复杂时采取换元。

令22,2a m b n -=-=，则问题变为已知3m n +=，求222m nm n--+的最小值。

22123123123212232332332m n m n n m m n m n m n m n --+⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当n =，即14a =，12b =时取得等号。

解法二：齐次化()()11242222222222421a b a b a b b aa b a b a a b b a b a b a b+=+=+=+--+-+-++++ 记b k a =，视为线段()210,0a b a b +=>>上的点与坐标原点连线的斜率()0,bk a=∈+∞ ()222221112344322242108121087474121082108k k k y k k k k k kk k k k k k k k ++=+=+=++++++++-++==-++++ 设744k t +=>，()()2224911281670484944210877494911111442541442254tty t t t t t t t t t t=-=--++-+⋅--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-≥=++++反思：这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的。

感知高考刺金372题在ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为．解：由11sin 22ABC S ab C c c ∆==⋅得2sin ab C c =则2222222222cos AC BC AB AC BC AB b a c c ab CBC AC BC AC BC AC ab ab+++++++===⋅⋅2sin 2cos 2sin 2cos 4ab C ab C C C C ab π+⎛⎫==+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4C π=时，取得等号。

广东省江门市2018高三数学一轮复习专项检测试题17

2018高考数学一轮复习统计专题检测试题及答案01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于两个变量,y x 进行回归分析时，分别选择了4个模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1，相关指数2R 为0.89B ．模型2，相关指数2R 为0.98 C ．模型3，相关指数2R 为0.09D ．模型4，相关指数2R 为0.50 【答案】B2．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的为( )A ．模型①的相关指数为976.0B ．模型②的相关指数为776.0C ．模型③的相关指数为076.0D ．模型④的相关指数为351.0【答案】A3．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样。

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ③在回归直线方程122.0ˆ+=x y中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0.2单位④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④以上命题中，正确的是( )【答案】B4．如图是某学生的8次地理单元考试成绩的茎叶图，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．83和85B ．83和84C ．82和84D ．85和85【答案】A 5．设1122(,),(,),x y x y ··· ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是( )x yA．直线l过点(,)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【答案】A6．某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第171—175题(含答案解析)

感知高考刺金171三角模块3． ,C D 两点在PAB ∆的边AB 上，AC BD =，若90CPD ∠=o ，且2210PA PB +=，则AB CD +的最大值为．解：取AB 中点为O ，则()222224PA PB PO AB +=+，又12PO CD =，所以2220CD AB += 所以2221022AB CD AB CD ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以AB CD +≤【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用，它是极化恒等式的对偶式．已知a ，b 是两个向量，则(a ＋b )2=a 2＋2a b ＋b 2 ①(a －b )2=a 2－2a b ＋b 2 ②①－②得“极化恒等式”：4a ·b ＝(a ＋b )2－(a －b )2．①＋②得“平行四边形对角线性质”：2(|a |2＋| b |2)＝(a ＋b )2＋(a －b )2．平行四边形对角线性质公式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方．感知高考刺金172三角模块4．在ABC ∆中，若()sin 22sin A B B +=，则tan B 的最大值为．解法一：胆子大！()11sin sin 222B A B =+≤，故tan B ≤ 当6B A π==解法二：sin2cos cos2sin 2sin A B A B B +=所以()sin 2cos 2sin 2cos B A A B -=，所以222sin 22sin cos 2tan tan 2cos 23sin cos 3tan 1A A A A B A A A ===-++ 因为若tan 0A <，则tan 0B <，,A B 均为钝角，不可能，故tan 0A >所以22tan tan 3tan 1A B =≤+感知高考刺金173三角模块5．在ABC ∆中，2AB AC =，1ABC S ∆=，AD 是角平分线，且AD kAC =，则当BC取最小值时k = ．解：设,2AC m AB m ==，BAC α∠=，AD km =由角平分线定理得2BD AB DC AC== 所以23AC AB AD +=u u u r u u u r u u u r ，即22222224488cos 99AC AB AC AB m m AD k m α+++===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 故288cos 9k α+= 又1ABC S ∆=，所以21sin m α= 再由余弦定理得22254cos 54cos 3sin BC m m ααα-=-=≥ 当且仅当4cos 5α=时，min 3BC =，所以210k = 感知高考刺金174三角模块6．如图，已知正ABC ∆边长为a ，点P 为ABC ∆外接圆的劣弧»AB 上一点，记APB ∆与APC ∆的面积分别为12,S S ，则12S S +的最大值为．解法一：设03ABP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则ACP θ∠= 在APB ∆中，由余弦定理得2222cos AP AB PB AB PB θ=+-⋅即2222cos AP a PB a PB θ=+-⋅⋅ ①在APC ∆中，由余弦定理得2222cos AP AC PC AC PC θ=+-⋅即2222cos AP a PC a PC θ=+-⋅⋅ ②①—②得222cos 2cos 0PB PC a PB a PC θθ--⋅⋅+⋅⋅=即2cos PB PC a θ+=故()212111sin sin sin sin 2022223a S S PB AB PC AC PB PC a πθθθθθ⎛⎫+=⋅⋅+⋅⋅=+=<< ⎪⎝⎭ 所以21212S S a +≤ 解法二：设03ABP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则ACP θ∠= 在PBC ∆中，3PBC πθ∠=+，3PCB πθ∠=-，由正弦定理得23sin sin sin 333PB PC BC a πππθθ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 于是2323sin ,sin 33PB a PC a ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故2cos PB PC a θ+=2323sin sin 2cos 33PB PC a a a ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后续同解法一．解法三：如图建系，有30,A a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，13,2B a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，13,2B a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，于是圆方程为2223a x y +=直线AB 的方程为330x y a -+=，直线AC 的方程为330x y a +-=，设337cos ,sin 3326P a a ππααα⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记133cos sin 31a a a d αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+，233cos sin 31a a ad αα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=+ 故()2121212111cos 2222a S S AB d AC d a d d α+=⋅+⋅=⋅+=-故当απ=时，()212max 2a S S +=感知高考刺金175不等式模块1．已知,x y 为正实数，则44xyx y x y +++的最大值为．解：222222448334114934545x y x xy y xy xy x y x y xy x xy y x xy y +++==+≤+=++++++当且仅当2x y =时取得等号．评注：齐次化的应用。

2018届高三数学一轮复习专项检测试题：17 含解析

概率、算法及复数与推理证明0332.设随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，函数ξ++=x x x f 4)(2没有零点的概率是21，=μ ( ) A. 1 B. 4 C. 2 D. 不能确定【答案】B【解析】由ξ++=x x x f 4)(2没有零点则1640,ξ∆=-<解得4,ξ>故1(4)2P ξ>=,又正态分布是对称的，所以=4μ，选择B33.设随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为A ．5B ．3C ．35D ．37【答案】D【解析】因为ξ服从正态分布)4,3(N ，所以随机变量ξ关于直线3x =对称，因为)2()32(+>=-<a P a P ξξ，所以23,2x a x a =-=+关于3x =对称，所以23232a a -++=，即37a =，解得73a =，选D.34.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是A. 13B. 12C. 23D. 56【答案】C【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率1122244263C C P C ===，选C.35.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为错误!未找到引用源。

，则该队员的每次罚球命中率为A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【答案】B【解析】设该队员的每次罚球命中率为错误!未找到引用源。

，则两次罚球中至多命中一次的概率为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

，解得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

，故选B.36.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（）A.()1P ξ=B.()1P ξ≤C.()1P ξ≥D.()2P ξ≤【答案】B【解析】()1P ξ==1457512C C C ,57512C (0)C P ξ==,所以514757551212C C C (0)(1)C C P P ξξ=+==+，选B.37. 已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于 . 【答案】0.3【解析】8.0)4(=<ξP ，则2.0)4(=>ξP ，又分布图像关于直线2=x ， 2.0)4()0(=>=<ξξP P ，则6.0)40(=<<ξP ， 3.0)20(=<<ξP38.已知错误!未找到引用源。

(江苏卷)2018年数学一题多解(含17年试题)

（江苏卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）2017年江苏卷第5题：若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=【答案】75【知识点】两角和与差的正切公式【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题。

解法一:直接法由61)4tan(=-πα，得61tan 4tan 14tan tan =+-αππα，故可知57tan =α 解析二：整体代换11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．解法三：换元法令t =-4πα，则61tan =t ，t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα2017年江苏卷第9题(5分)等比数列{a n ｝的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=，S 6=,则a 8= ．法二:654361447463a a a s s ++==-=- 847143321654===++++q a a a a a a S 3=，∴，得a 1=，则a 8==32．法三：91332165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s∴q=2∴,得a 1=,则a 8==32．2017年江苏卷第15题．（14分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2)AD ⊥AC ．法二：在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD,所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG，故AD⊥AC．法三:在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,BC⊥BD，∴FG⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，∴AD⊥平面EFG，又 FG∥BC,则EG∥AC，∴平面EFG//平面ABC ∴AD⊥平面ABC,又 AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.攀上山峰，见识险峰，你的人生中,也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷,也许就会有钢铁般的意志。

上海卷2018年高考数学一题多解含17年高考试题2017103017

(上海卷）2018年高考数学一题多解（含 17年高考试题）9.给出四个函数：① yx ，② y1，③ yx 3 ，④x1y x ；从四个函数中任选 2个，2事件 A ：“所选 2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为。

【答案】13【知识点】函数公共点问题。

【试题分析】本题考查了简单概率基本计算，本题属于中档试题。

yx联立①、④3x xx x132y x，有唯一解；1y1联立②、③x x 3 x 41，无解，不符合；xy x31y1 21，无解，不符合；x x联立②、④x1y x 231y x联立③、④x x x x 1 0，有两个解，不符合；3 2 51y x22 1P A。

6 3由上所述：基本事件总数为6种，符合事件A的有2种，故，解析二：图像法--直接法。

解析：如图所示，1由上所述：基本事件总数为426n C 种，符合事件 A 的有 ①③、 ①④ 2种，故，2 1 P A 。

63点睛：通过上述解法可以看出数形结合的解题思路清晰明朗，准确快捷。

10.已知数列an ， nN * ，若对于一切 nN * ， a 满足：2b 中的第nnna 项恒等于 nlg(b b b b )a 中的第b 项，则1 4 9 16nnlg(b b b b )1 2 3 4=。

【答案】 2【知识点】数列于对数函数运算性质。

【试题分析】本题考查了数列与对数函数基本计算，本题属于中档试题。

解析一：直接法，对数函数运算性质 1。

解析：∵2b 中的第a 中的第b 项； an ， n N * ，若对于一切 nN *，a项恒等于nnnnn1 1 ( 1) 14( 2 )9( 3 )16( 4 ) ∴ b a(b )2ba b2，bb2 ，b b 2 ，bb2 abnnn∴ 1 4 9 16 ( 1 2 3 4 )2 b b b b b b b b1 4 9 16 ( 1234 ) lg(b b b b) lg(b b b b) lg(b b b b)21 4 9 16 1234 1 2 3 42 2 lg(b b b b) lg(b b b b) lg(b b b b)1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4解析二：直接法，对数函数运算性质2。