2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练17

感知高考刺金251题

设,m k 为正整数，方程220mx kx -+=在区间()0,1内有两个不

同的根，则m k +的最小值是 ． 解：2220mx kx k mx x

-+=⇒=+

于是问题转化为直线y k =与打勾函数2

y mx x

=+

的图象的两

个交点的横坐标均在区间()0,1内，于是2k m <+

注意到2m +为整数，于是在区间()

2m +上存在整数k 的充要条件为21m +>

解得3m >+故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k +的最小值为13

感知高考刺金252题

已知21x y +=，求x 的最小值是 ．

解法一：令x m =，则22

2m y x m

-=

因此22

212m y y m

-⋅

+=，整理得220y my m m -+-= 故用判别式()

2240m m m ∆=--≥，解得45

m ≥

解法二：设cos x r θ=，sin y r θ=，条件转化为2cos sin 1r r θθ+=，即1

2cos sin r θθ

=+

所求代数式转化为cos 1

cos 2cos sin r r θθθθ

++=+的最小值

由此可有斜率角度求值域：

2cos sin 2cos 2sin 2sin 25

2cos 1cos 1cos 14

θθθθθθθθ+++--==+≤+++，

（视为单位圆上的点与()1,2-连线斜率），

则cos 14

2cos sin 5

x θθθ+≥+

也可由三角函数角度求值域：

()cos 14sin 21cos 11

2cos sin 5

m m m m θθθθθ+=⇒+-=⇒≥+

评注：这里因为遇到22x y +的结构，故三角换元设cos x r θ=，sin y r θ=。 解法三：数形结合

当0x ≥时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH +

如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21x y +=的对称点42,55Q ⎛⎫

⎪⎝⎭

到y 轴的距离为45

当0x <时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH -

而21PO O H O B PH PH >=+>+

于是1PO PH ->

感知高考刺金253题

如图，直线m 与平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱

长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是 ． 解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OB OC ⊥不变 不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。

接下来可以得到点O 到直线AD 的距离的取值范围就是球

心F 到直线AD 的距离EF 减去球的半径与球心F 到直线AD 的距离加上球的半径之间，即

2⎡⎤⎣⎦

感知高考刺金254题

★已知,a b ∈R ，对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有1ax b +≤成

立，则107107a b a b ++-的最大值是 ． 解法一：显然{}107107max 20,14a b a b a b ++-= 于是问题转化为求,a b 的最大值

当0x =时，容易得到1b ≤，由图可知直线y ax b =+在01x ≤≤上的值域为[]1,1-的子集，于是斜率a 必然在[]2,2-内，故2a ≤ 从而当2,1a b ==-时，原式取到最大值为40 解法二：绝对值不等式 因为()()01,11f b f a b =≤=+≤

故()2a a b b a b b =+-≤++≤，同解法一

练习：若对任意满足11x -≤≤的实数x ，都有

21a x b x c ++

≤成立，则a 的取值范围

是 ． 如图，易得22a -≤≤

点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。

感知高考刺金255题

已知圆22:1O x y +=为ABC ∆的外接圆，且tan 2A =，若A O x A B y A C =+

，

则x y +的最大值为 ． 解：如图，延长AO 交边BC 于点D ，设AO AD λ=

则1x y AD AO AB AC λλλ

=

=+

由,,B C D 三点共线可知

1x

y

λ

λ

+

=，从而1

1AO x y AO OD

OD

λ+==

=

++

显然当OD 取最小值，即OD BC ⊥时，x y +取得最大值，此时ABC ∆为等腰三角形，可得

x y +感知高考刺金256题

已知非零向量a 和b 互相垂直，则a b + 和2a b +

的夹角余弦值的最小值是 ．

解：()(

)

222cos 2a b a b a b a b θ++==+⋅+ 令22

,a x b y == ，

则cos θ==

==

感知高考刺金257题

已知正数,a b 满足1910a b a

b

+++=，则a b +的取值范围是 ． 解：设a b t +=，则1

910t a

b +=- 又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫

++=+++≥ ⎪⎝⎭

即()1016t t -≥，解得28t ≤≤

当且仅当13

,22

a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=

感知高考刺金258题

已知实数,0

x y >，若22x y +=，则3x y +的最小值是

． 解法一：待定系数法

1,02y x λλλ⎛⎫

+>

⎪⎝⎭

1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛

⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，解得13λ=

故1237x y +≥，当且仅当91

,77

x y ==时取得

解法二：

()

()(

)

(32321321

x y x y x y x y λλλλλ+-=+---+-

令10=，即7

6λ=

时，1237x y +≥，当且仅当91,77

x y ==时取得