高中数学抛物线的一个重要模型(模型解题法)
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学作为一门重要的学科，其内容的难度也相对较高。
抛物线作为高中数学中的一个常见知识点，其涉及到的解题方法与技巧也非常重要。
在本文中，我将借助我的学习经验，向大家浅谈关于探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。
一、基本概念在探讨解题方法与技巧之前，首先我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一种在平面上呈现出u形的曲线。
其方程通常为y = ax² + bx + c。
抛物线有两个基本特性：首先，抛物线是对称的，它的对称轴是垂直于x轴的线，其公式为x = -b/2a。
其次，抛物线的最高点叫做顶点，其y坐标为y = c - b²/4a。
二、解题方法1. 求解抛物线的相关参数在解题的过程中，如果我们要求解抛物线的方程，我们需要知道其中的相关参数。
在抛物线方程y = ax² + bx + c中，参数a、b、c分别代表什么意思？我们可以这样理解：参数a代表抛物线的开口方向和开口的大小，参数b代表抛物线的上下平移位置，参数c代表抛物线的左右平移位置。
2. 求解抛物线与其他曲线的交点在解题的过程中，我们还需要求解抛物线与其他曲线（如直线、另一条抛物线等）的交点。
这时我们需要用到解方程的方法。
以求解抛物线和直线的交点为例，我们先将抛物线和直线的方程联立起来，然后将抛物线的方程中的x用直线的方程表示，我们最后就能够解出x的值。
将x的值代入其中一个方程就可以求出y的值。
3. 求解离散数据的抛物线方程在实际生活中，我们有时候需要通过一组离散的数据来求解抛物线的方程。
这时候我们需要用到最小二乘法。
最小二乘法是一种通用的解决线性回归问题的办法，将数据点投影到一个平滑的函数上，通过求解该函数的系数，最终得到最优的函数曲线。
三、解题技巧1. 确定坐标系在解题的过程中，我们应该确定好坐标系的选择，通常可以根据题目的要求来选择合适的坐标系。
如果我们要求解抛物线上的某一个点，可以选择原点为顶点，则求解过程更容易进行。
高中数学学习中的抛物线与双曲线方程求解方法
高中数学学习中的抛物线与双曲线方程求解方法在高中数学学习中，抛物线与双曲线是重要的二次函数的图像形式。
学生们需要掌握求解抛物线和双曲线方程的方法，以便能够准确地描述并解决与这些图形相关的问题。
本文将介绍高中数学学习中抛物线与双曲线方程求解的方法。
首先，我们来讨论抛物线的方程求解。
一般来说，抛物线的方程通常是二次函数的形式：y = ax² + bx + c。
在求解抛物线方程时，我们通常要考虑以下几种情况：一种情况是已知抛物线上的三个点，我们需要确定抛物线的方程。
对于已知三个点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），我们可以建立三个方程：(1) y₁ = ax₁² + bx₁ + c(2) y₂ = ax₂² + bx₂ + c(3) y₃ = ax₃² + bx₃ + c通过解这个方程组，我们可以找到抛物线的方程。
另一种常见情况是已知抛物线的顶点和一点，需要确定抛物线的方程。
对于已知顶点（h，k）和一点（x₁，y₁），我们可以通过将这两个点代入抛物线的一般方程，得到下面的方程：(1) y₁ = a(x₁ - h)² + k通过解这个方程，我们可以得到抛物线的方程。
在实际问题中，我们常常需要求解与抛物线相关的问题。
例如，给定一个抛物线，我们需要找到它的焦点和准线。
对于抛物线方程 y = ax² + bx + c，我们可以通过求解以下方程得到焦点（p，q）和准线的方程：(1) p = -b / (2a)(2) q = c - (b² - 1) / (4a)通过求解这两个方程，我们可以找到焦点和准线的方程。
接下来，我们转到双曲线的方程求解。
与抛物线类似，双曲线的方程也是二次函数的形式：y = a/x。
在求解双曲线方程时，我们同样需要考虑不同的情况。
一种情况是已知双曲线上的两个点，我们需要确定双曲线的方程。
对于已知两个点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），我们可以建立以下方程：(1) y₁ = a/x₁(2) y₂ = a/x₂通过解这个方程组，我们可以找到双曲线的方程。
专题——抛物线定值问题
专题——抛物线定值问题引言抛物线定值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在一个给定的抛物线上确定一个点的坐标。
这个问题可以应用于很多实际情景，比如物体的抛射运动、抛物线型轨道的设计等。
本文将讨论抛物线定值问题的基本原理和解决方法。
基本原理抛物线的基本方程为 `y = ax^2 + bx + c`，其中a、b、c是抛物线的参数。
给定一个点的坐标(x0, y0)，我们可以通过解方程组来确定抛物线的参数。
解决方法方法一：代入法在抛物线方程中将已知点的坐标代入，然后解方程组，得到抛物线的参数。
例如，已知点(-2, 1)在抛物线上，代入方程 `y = ax^2 + bx + c`，我们得到以下方程组：-2^2 * a + (-2) * b + c = 1解方程组可以得到抛物线的参数。
方法二：坐标法我们可以通过已知点的坐标绘制抛物线，并确定抛物线与坐标轴的交点。
通过交点的坐标，可以得到抛物线的参数。
例如，对于一个抛物线，如果已知三个不共线的点在抛物线上，我们可以通过求解这三个点的交点坐标来确定抛物线的参数。
应用案例抛物线定值问题可以应用于很多实际情景。
以下是一些应用案例：1. 物体的抛射运动：通过已知的时间和位置点坐标，可以确定抛物线的参数，进而预测物体的运动轨迹。
2. 抛物线型轨道设计：在某些工程领域，比如建筑和交通规划，需要设计抛物线型轨道。
通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数，以满足特定工程要求。
3. 图形设计：抛物线形状常常被用于图形设计中，通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数来绘制想要的图案或图形。
结论抛物线定值问题涉及到确定抛物线上一个点的坐标。
通过代入法或坐标法，我们可以解决这个问题。
这个问题在物理学、工程学以及图形设计中有广泛的应用。
理解和掌握抛物线定值问题的解决方法有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题。
抛物线顶点坐标求解常见方法总结
抛物线顶点坐标求解常见方法总结一、背景介绍抛物线是一个常见的数学模型，它具有顶点，该顶点表示抛物线的最高或最低点。
求解抛物线的顶点坐标是解题过程中的关键步骤之一。
本文总结了常见的抛物线顶点坐标求解方法。
二、常见方法1. 平方配方法：对于标准形式的抛物线方程y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以使用平方配方法求解顶点坐标。
顶点的x坐标为 -b/2a，将x坐标代入方程得到顶点的y坐标。
2. 完全平方公式：对于顶点坐标为(h, k)的抛物线，可以根据顶点坐标的性质使用完全平方公式求解。
抛物线方程可以表示为 y =a(x-h)^2 + k，其中a为常数。
通过观察平方项可以得到顶点的坐标。
3. 求导法：对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，可以求导得到一次函数，一次函数的斜率表示抛物线的切线斜率。
顶点的x坐标为导数为0的点，将x坐标代入方程得到顶点的y坐标。
4. 配方法：对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，可以使用配方法求解顶点坐标。
将ax^2 + bx分解为a(x^2 + b/a x)，再加上c，得到a(x^2 + b/a x + b^2/4a^2) + c - b^2/4a = a(x + b/2a)^2+ c - b^2/4a。
从中可以得到顶点的x坐标和y坐标。
三、应用场景抛物线顶点坐标的求解在数学、物理等领域具有广泛应用。
例如，在物体抛射运动的问题中，抛物线顶点坐标可以表示物体的最高点，求解可用于判断射程、飞行时间等。
在工程建模中，抛物线顶点坐标求解可以用于确定最佳曲线的设计。
四、总结本文介绍了常见的抛物线顶点坐标求解方法，包括平方配方法、完全平方公式、求导法和配方法。
这些方法可根据具体问题的形式选择合适的方法进行求解。
抛物线顶点坐标的求解在多个领域具有实际应用，可以帮助解决各种与抛物线相关的问题。
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探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学中，抛物线是一种非常重要的曲线，对于学习与应用数学都具有重要意义。
本文将对高中数学抛物线的解题方法与技巧进行详细探讨，帮助同学们更好地理解与掌握这一知识点。
一、了解抛物线的基本特征抛物线是一种平面曲线，具有对称轴、顶点、焦点等基本特征。
在解析几何中，常用的抛物线方程有三种形式。
顶点形式、一般形式与焦点形式。
不同形式的方程适用于不同的题型，因此学生需要熟练掌握它们的转换与运用。
二、求抛物线的焦点与顶点1.平移法求焦点。
通过将抛物线平移至标准位置（顶点为原点），可以简化求解焦点的过程。
平移法还可以被运用在其他抛物线的应用题中，如求凸面镜或抛物面的顶点与焦点位置等。
2.定义法求焦点。
对于给定的抛物线方程，可以利用定义法求解焦点。
定义法是以准线和焦点的定义出发，利用准线与焦点到平面上任意一点的距离和定义（如焦点到准线距离等于焦点到该点的距离）得到焦点的坐标。
3.判断抛物线的开口方向。
可以通过方程的二次项系数的符号来判断抛物线的开口方向。
当二次项系数大于零时，抛物线开口向上；当二次项系数小于零时，抛物线开口向下。
三、求抛物线与坐标轴交点通过解方程来求解抛物线与坐标轴的交点，这是很常见的题型。
有两种常用的方法。
1.因式分解法。
将抛物线的方程进行因式分解后，可以得到解析解或根的个数。
进一步，通过观察与分析，可以得出与坐标轴交点的具体坐标。
2.二次函数求根公式。
通过应用二次函数求根公式，可以得到抛物线与坐标轴交点的解析解。
需要注意的是，二次函数求根公式只适用于已经化为标准形式的抛物线。
四、求抛物线的切线与法线求抛物线的切线与法线是一类较难的题型，需要熟练掌握相关的知识与求解方法。
下面将介绍两种常见的方法。
1.切线与法线的斜率法。
通过斜率法可以求得切线与法线的斜率表达式。
具体而言，对于给定的抛物线方程，我们可以通过计算其导数来求得切线或法线的斜率表达式，然后利用该斜率表达式求解切线或法线的方程。
数学复习破解抛物线问题“五法”
破解抛物线问题“五法”安徽 李昭平1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线,解题中活用它的定义,常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程.解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=—4的距离相等"。
由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0）为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线。
显然，8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y=2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题.例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA 与OB 的数量积为（ ）A 。
43 B 。
43- C 。
3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB为抛物线的通径(如图1)。
由于焦点A )1,21(-、 B )1,21(，于是OA 。
OB=)1,21(- 。
)1,21(=41- 可知,答案B 正确。
(图1)3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下,若恪守常规,不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点,焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的解：设抛物线的方程为2y ax =(0a ≠，则有21y axy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10xa x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。
高中数学抛物线解题方法总结归纳
圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
3抛物线标准方程的四种形式：特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式： （称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－34x 或x 2=29y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线 的焦点坐标为 ；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长． 解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0) 例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是 1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，M1M A又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ） 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程.N O CBD EF A y x分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。
高中数学抛物线的一个重要模型模型解题法 2
DO yAF BClx【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。
过抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的端点,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 于D C 、，构成直角梯形ABCD （图1）.这个图形是抛物线 问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许 多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助 我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时， 它又体现了解析几何的重要思想方法。
在图1中， 有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪 些重要结论呢?【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。
例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，即 2FE CE DE =⋅.例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目）例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为2sin pθ. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NF AF BF =⋅.例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点图1分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值；【模型解析】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。
抛物线中的焦点定值问题的四种模型
抛物线中的焦点定值问题的四种模型抛物线是数学中的一种曲线形状，在很多领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的问题是抛物线中焦点定值问题，即给定一条抛物线，如何确定其焦点的位置。
本文将介绍四种模型来解决这个问题。
第一种模型：几何构造法基于几何构造法，我们可以通过以下步骤确定抛物线的焦点位置：1. 绘制抛物线，并标记出其中一个焦点（我们称之为A）和对称轴上的一点B。
2. 以点B为基准，作出与抛物线相切的直线。
3. 以A为焦点，过点B作出一条与该直线平行的直线。
4. 该条平行直线与抛物线的交点C即为其焦点位置。
这种方法简单直观，适用于已知抛物线形状，且能够精确绘制的情况。
第二种模型：焦点定位关系法基于焦点A与顶点O、焦距f之间的定位关系，我们可以通过以下公式来计算焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
2. 根据焦点与顶点的距离关系，有f = 1/(4a)。
3. 综合焦点的定位与顶点的坐标关系，可以得到焦点的坐标为(x, y)，其中x = -b/(2a)，y = c - b^2/(4a)。
这种方法适用于已知抛物线方程的情况，通过求解方程中的参数即可确定焦点的位置。
第三种模型：导数法基于导数法，我们可以通过求解抛物线函数的导数来确定焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
2. 求解方程的导数，即y' = 2ax + b。
3. 将导数的值置为0，解方程2ax + b = 0，得到x = -b/(2a)。
4. 将x的值代入原始方程，可得到焦点的坐标为(x, y)，其中y = ax^2 + bx + c。
这种方法适用于已知抛物线方程且方程可导的情况，通过求解导数的根即可确定焦点的位置。
第四种模型：离心率法基于离心率法，我们可以通过抛物线的离心率来确定焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
2. 计算离心率e，公式为e = √(1 + 1/4a^2)。
抛物线角度问题解题方法
抛物线角度问题解题方法抛物线角度问题解题方法抛物线是一种常见的曲线形状，在数学、物理、工程等领域广泛应用。
抛物线角度问题是指在给定初速度和高度的情况下，如何确定发射角度，使得物体能够落在目标位置。
本文将详细介绍抛物线角度问题的解题方法，包括理论推导和实际应用。
一、理论推导1.基本公式在平面直角坐标系中，抛物线的一般式为：y=ax^2+bx+c其中a、b、c为常数，x、y为变量。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
根据牛顿第二定律和运动学公式，可以得到以下基本公式：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2其中v0为初速度大小，θ为发射角度（与水平面夹角），g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），t为时间。
利用以上两个公式可以求出任意时刻物体的位置坐标。
2.最优解法对于给定的初速度v0和目标位置(x,y)，求出最优发射角度θ，使得物体能够落在目标位置。
根据以上公式，可以列出关于θ的方程组：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2由于t=2ysinθ/g，将t代入上式得：x=v0cosθ*2ysinθ/gy=v0sinθ*2ysinθ/g-1/2g(2ysinθ/g)^2化简可得：x=2v0^2sinθcosθ/g*yy=(v0sinθ)^2/2g将y代入第一个式子中，得到：x=2v0^2sin^2θ/g*(v0sinθ)^2/2g化简可得：tan(2θ)=4yx/v0^2因此，最优发射角度为：θ=1/2tan^-1(4yx/v0^2)二、实际应用以上理论推导是基于理想情况的假设，实际应用中还需要考虑一些因素。
1.空气阻力和风速在空气中运动的物体会受到空气阻力的影响，这会使其轨迹偏离预期。
此外，风速和方向也会对轨迹产生影响。
因此，在实际应用中需要考虑这些因素，并进行修正。
一种常见的修正方法是使用数值模拟软件进行计算。
这些软件可以模拟物体在不同条件下的运动轨迹，并提供准确的发射角度。
抛物线方程解法
抛物线方程解法抛物线是一种常见的曲线形式，它在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。
抛物线方程是描述抛物线形状的数学表达式，通常采用二次方程的形式。
在本文中，我们将介绍如何通过抛物线方程来解决相关问题。
抛物线方程的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，x 和 y 分别表示坐标轴上的点的横坐标和纵坐标。
我们可以通过已知的条件，如焦点、顶点和对称轴等，来确定抛物线方程的具体形式。
让我们来看一个简单的例子，以帮助理解抛物线方程的解法。
假设我们已知一个抛物线的焦点为 (1,2)，并且过顶点 (0,0)。
我们的目标是找到抛物线的方程。
根据抛物线的定义，我们知道焦点到顶点的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
因此，我们可以使用焦点和顶点的信息来确定常数 a 的值。
在这个例子中，焦点到顶点的距离是 2，因此 a = 1/2a。
由此得到抛物线方程的一部分： y = 1/2ax^2 + bx + c。
接下来，我们可以使用顶点的信息来确定常数 b 和 c 的值。
由于顶点 (0,0) 在抛物线上，我们可以将其代入抛物线方程中，得到 c = 0。
此时，抛物线方程变为 y = 1/2ax^2 + bx。
现在，我们还需要确定常数 b 的值。
由于我们已知焦点 (1,2) 在抛物线上，我们可以将其代入抛物线方程中，得到 2 = 1/2a + b。
根据这个方程，我们可以求解出常数 b 的值。
通过以上步骤，我们成功地找到了抛物线方程的解法。
最终的抛物线方程为 y = 1/2x^2 + 3/2x。
除了上述例子中的解法，我们还可以通过其他已知条件来确定抛物线方程。
例如，如果我们已知抛物线的对称轴是 x = 1，我们可以利用这个信息来推导出抛物线方程。
对称轴是抛物线的镜像轴，因此对称轴上的点到焦点的距离等于对称轴上的点到抛物线上任意一点的距离。
通过将对称轴上的点 (1,y) 代入抛物线方程，并根据已知条件求解常数 a 和 c 的值，可以得到抛物线方程。
高考数学复习重难点三种抛物线解题方法(核心考点讲与练)
重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一:定义法求焦半径一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数a ，p ，抛物线()24y a px -=的焦点为1F ，抛物线24y x =-的焦点为2F ，线段12F F 与两个抛物线的交点分别为P ，Q ．若123F F =，1PQ =，则22a p +的值为（）A ．6B ．254C ．7D ．2742．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，以AB 为直径的圆过点F ，则MNAB的最大值为（）A ．12B C ．2D ．13．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点且斜率为的直线l 与抛物线C 交于A ，B （A 在B 的上方）两点，若AF BF λ=，则λ的值为（）A BC ．2D4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（）A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-二、多选题5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线24y x =，焦点为F ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则下列选项正确的是（）A ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切B ．若线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为1C ．若OA OB ⊥，则弦长AB 最小值为8D ．当直线l 过焦点F 且斜率为2时，AB ，AF ，BF 成等差数列6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A （a ，0），M （3，-2），点P 在抛物线24y x =上，则（）A ．当1a =时，PA 最小值为1B ．当3a =时，PA 的最小值为3C ．当1a =时，PA PM +的最小值为4D ．当3a =时，PA PM -的最大值为27．（2022·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =-B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB = ，则直线AB 的方程为14y x =±+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为168．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与抛物线C ：()220y px p =>相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．2k =-C ．MF AB ⊥D ．25FA FB =9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交该抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点T （-1，0），则下列结论正确的是（）A ．124y y =-B ．111AF BF+=C ．若三角形TAB 的面积为S ，则S 的最小值为D ．若线段AT 中点为Q ，且2AT BQ =，则4AF BF -=三、解答题10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C 10x +=，点D 的坐标()1,0，点P 的坐标()1,2.(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标：(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA ，PB 与y 轴分别交于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P .证明；直线AB 的斜率为定值，并求出此值.11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与()22:21M x y +-= 上点的距离的最大值为114．(1)求p ；(2)当01p <≤时，设B ，D ，E 是抛物线C 上的三个点，若直线BD ，BE 均与M 相切，求证：直线DE 与M 相切．题型二：定义转换法求距离的最值问题一、单选题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点(3,3)M -，点P 为拋物线2:4C x y =上一动点，P 到x 轴的距离为d ，则||d PM +的最小值为（）A ．4B ．5C1D2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则9AF BF-的最小值为（）A ．1B ．32C ．52D ．63．（2022·河北张家口·三模）已知点P 是抛物线24y x =上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为N ，动点M 满足||||PM PN +最小值为3，则点M 的轨迹长度为（）A ．163πB ．8πC ．163π+D ．8π+4．（2022·全国·模拟预测）已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，点F 为抛物线的焦点，点()3,2A ，设点Q 为以点P 为圆心，PF 为半径的圆上的动点，QA 的最大值为Q d ，当点P 在抛物线上运动时，则Q d 的最小值为（）A ．B C ．4D ．55．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M 是抛物线212x y =上一点，F 为其焦点，()3,6C ，则MF MC +的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．76．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是()A ．QA QB⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112||||AF BF +=D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52二、多选题7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF的最小值为1B ．QF C ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +19．（2022·福建福州·三模）已知抛物线()220y px p =>的准线为l ，点M 在抛物线上，以M 为圆心的圆与l 相切于点N ，点()5,0A 与抛物线的焦点F 不重合，且MN MA =，120NMA ∠=︒，则（）A ．圆M 的半径是4B ．圆M 与直线1y =-相切C ．抛物线上的点P 到点A 的距离的最小值为4D ．抛物线上的点P 到点A ，F 的距离之和的最小值为4三、填空题10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px=MA ，若2MA AF=，则AF =___________.四、解答题11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，经过拋物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线1l 与2C 交于,P Q 两点，2C 在点P 处的切线2l 交1C 于,A B 两点，如图.(1)当直线PF 垂直x 轴时，2PF =，求2C 的准线方程；(2)若三角形ABQ 的重心G 在x 轴上，且2a b <，求PF QF的取值范围.题型三：定义法求焦点弦一、单选题1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若A 、B 两点横坐标的等差中项为2，则||AB =）A ．8B ．6C ．D ．42．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则AB DE +的最小值为（）A ．24B ．20C ．16D ．12二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线24y x =，过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，以下结论正确的有（）A ．AB 没有最大值也没有最小值B ．122AB x x =++C ．124y y =-D ．111FA FB+=4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）抛物线2:2C y px =的焦点F 恰好是圆()2211x y -+=的圆心，过点F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于不同的A ，B 两点，则AB =______．6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于A ，B 两点，与C 的准线交于点P ，若3AP BP =，则l 的斜率为______．四、解答题7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B 两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.8．（2022·全国·模拟预测）直线l ：kx －y －k ＝0过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ．(1)若AF ，BF ，AB 成等差数列，求实数k 的值；(2)试判断在x 轴上存在多少个点()(),00T t t >，总在以AB 为直径的圆上．高考一轮复习专项。
抛物线型问题
抛物线型问题一、背景抛物线型问题是在数学和物理学中常见的问题，它涉及到抛物线的几何特性和运动物体的轨迹。
在解决这类问题时，我们需要运用数学模型和物理原理，以理解抛物线的性质和运动规律。
二、抛物线的定义与性质抛物线是一种二次曲线，它的方程可以表示为y = ax^2 + bx + c。
对于给定的方程，当b=c=0时，曲线就是一条通过原点的直线，当a=0时，曲线就是一个点。
而当a、b、c不全为0时，我们得到一个抛物线。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是关于其对称轴对称的。
2. 抛物线的顶点是其对称轴与曲线的交点。
3. 抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
4. 抛物线的宽度（也称为焦距）由系数b和c决定。
三、解决抛物线型问题的策略解决抛物线型问题需要综合考虑数学和物理学的知识。
以下是一些常用的策略：1. 建立数学模型：首先需要将实际问题转化为数学问题，通过设立方程来描述抛物线的几何特性和运动规律。
2. 分析方程：对建立的方程进行分析，找出关键的参数和关系，如顶点、开口方向、焦距等。
3. 运用物理原理：根据问题的具体情况，运用物理原理来分析物体的运动轨迹和规律。
4. 求解方程：通过求解方程，找出未知数或未知量，从而找到物体的运动轨迹或抛物线的性质。
5. 检验与验证：最后需要对结果进行检验和验证，以确保答案的正确性和准确性。
四、应用实例1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c。
通过求解这个方程，我们可以找到抛物线的顶点、开口方向和焦距等性质。
2. 运动物体的轨迹：当一个物体在力的作用下沿着抛物线运动时，我们需要运用物理原理来分析它的运动轨迹和规律。
例如，一个物体在一个恒力的作用下沿着斜抛运动轨迹向上运动，这个轨迹就是一个抛物线。
我们可以通过建立物理模型和数学方程来求解这个问题的未知量，如物体的初速度和运动时间等。
3. 光的反射和折射：在光学中，抛物线型问题也经常出现。
抛物线焦点弦二级结论分比模型
抛物线焦点弦二级结论分比模型一、概述抛物线是数学中常见的一种曲线，它具有许多特殊的性质和规律。
其中，抛物线焦点弦二级结论分比模型是描述抛物线特征的重要模型之一。
本文将着重探讨抛物线焦点弦二级结论分比模型的相关内容，包括定义、公式推导、应用等方面。
二、抛物线基础知识1. 抛物线的定义抛物线是平面上的一条曲线，它是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。
数学上，抛物线可以用一般式方程表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
2. 抛物线焦点和直径定义抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的准线的距离相等的点。
直径是垂直于准线且过焦点的直线段。
三、抛物线焦点弦二级结论分比模型1. 定理表述设抛物线的焦点为F，抛物线上一点为P，直径的中点为M，过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，则有PF:PH=2:1。
2. 证明过程（1）假设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，直径的中点M为（0，c-a/4），焦点F为（0，c+1/4a）。
（2）过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，可得PH的坐标为（x,ax^2+bx+c）。
（3）根据两点距离公式可得PF:PH的比值为2:1。
3. 应用举例抛物线焦点弦二级结论分比模型在几何问题中有着重要的应用。
在确定抛物线上的一点到焦点和直径的垂线的比例时，可以利用该定理简化问题的求解过程。
该定理也可以拓展到工程实践中，用于设计抛物线相关形状的构造。
四、结论抛物线焦点弦二级结论分比模型是抛物线性质的重要定理之一，它描述了抛物线焦点和直径上一点之间的比例关系。
通过本文的介绍，读者对该模型的定义、证明过程和应用有了更深入的了解。
相信随着对抛物线性质的不断研究，抛物线焦点弦二级结论分比模型的应用将会更加广泛和深入。
抛物线是数学中重要的曲线之一，它在许多领域都具有重要的应用价值。
抛物线焦点弦二级结论分比模型作为抛物线性质的重要定理之一，不仅具有理论意义，更在实际问题中发挥着重要作用。
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧【摘要】抛物线作为高中数学中重要的几何图形之一，其解题方法与技巧至关重要。
本文首先介绍了抛物线的基本概念和重要性，引出了对其解题方法的探讨。
在详细介绍了抛物线的标准方程、性质，以及与直角坐标系的关系，还重点讲解了利用抛物线的对称性和焦点性质解题的方法。
通过实例的讲解，读者更容易掌握抛物线的解题技巧。
在结论部分总结了抛物线的解题方法与技巧，强调了对抛物线知识的掌握对高中数学学习的重要性。
本文旨在帮助读者更深入地理解抛物线，提高解题效率，为高中数学学习提供有力的支持。
【关键词】抛物线、高中数学、解题方法、技巧、标准方程、焦点、对称性、实例、知识重要性1. 引言1.1 介绍抛物线的基本概念抛物线是平面解析几何学中的一种二次曲线，其形状像一个开口朝下或朝上的弧线。
抛物线的定义可以通过几何或代数的方式进行描述。
在几何意义上，抛物线是平面上到定点距离相等的点的轨迹，这个定点被称为焦点，而至定直线距离相等的点的轨迹被称为准线。
在代数意义上，抛物线可以用标准的二次方程表示，一般形式为y=ax^2+bx+c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线在数学中有着重要的地位和广泛的应用。
在几何学中，抛物线是一种常见的曲线，出现在许多几何问题中。
在物理学中，抛物线是描述自由落体运动的基本曲线。
在工程学和建筑领域中，抛物线的曲线形状也被广泛应用，比如拱形结构和天桥设计等。
对抛物线的理解和掌握对于理解数学和应用数学都具有重要意义。
在高中数学学习中，抛物线是一个重要的章节，掌握抛物线的基本概念和解题方法是非常重要的。
接下来我们将探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧，希望能够帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
1.2 重要性和应用背景抛物线作为数学中重要的几何曲线之一，在高中数学中占据着重要的地位。
它不仅仅是一种几何形状，更是一种具有丰富数学内涵和实际应用的数学工具。
在现代科学和工程领域，抛物线被广泛运用于各种实际问题的建模和解决。
高中数学抛物线解题技巧
高中数学抛物线解题技巧抛物线是高中数学中一个重要的概念，也是解题中经常出现的题型。
掌握抛物线的解题技巧，对于高中数学的学习非常重要。
本文将介绍一些常见的抛物线解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。
一、求抛物线的顶点坐标抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的最重要的特征之一。
求抛物线的顶点坐标可以通过平移变换的方法来实现。
具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。
2. 利用平移变换的性质，将方程中的x项系数消去，即将方程化为形如y = a(x - h)^2 + k的形式。
3. 通过比较系数，求出顶点坐标为(h, k)。
例如，给定抛物线y = 2x^2 + 4x + 1，我们可以按照上述步骤求出其顶点坐标：1. 将方程表示为标准形式：y = 2x^2 + 4x + 1。
2. 利用平移变换的性质，将方程化为形如y = 2(x - h)^2 + k的形式。
3. 比较系数，得到2(x - h)^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。
展开并整理得到2x^2 + 4hx -2h^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。
4. 比较常数项和一次项的系数，得到4h = 4和-2h^2 + k = 1。
5. 解方程组，得到h = 1和k = -1。
6. 因此，抛物线的顶点坐标为(1, -1)。
通过这个例子，我们可以看到，通过平移变换的方法可以快速求出抛物线的顶点坐标，这是解题中常用的一种技巧。
二、求抛物线与坐标轴的交点抛物线与坐标轴的交点也是解题中常见的问题。
我们可以通过方程的根来求解。
具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。
2. 将方程中的y置为0，得到一个二次方程ax^2 + bx + c = 0。
3. 利用求根公式或配方法，解出方程的根。
例如，给定抛物线y = x^2 - 4x + 3，我们可以按照上述步骤求出抛物线与坐标轴的交点：1. 将方程表示为标准形式：y = x^2 - 4x + 3。
高中数学抛物线的一个重要模型(模型解题法)
DO yAFBClx【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。
过抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的端点,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 于D C 、，构成直角梯形ABCD （图1）.这个图形是抛物线 问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许 多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助 我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时， 它又体现了解析几何的重要思想方法。
在图1中， 有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪 些重要结论呢?【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。
例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，即 2FE CE DE =⋅.例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为2sin pθ. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NFAF BF =⋅.例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值； FBAy图1【模型解析】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。
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【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。
过抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 构成直角梯形ABCD （图1）.些重要结论呢?【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o轴（）时，称弦AB 为通径。
例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，即 2FE CE DE =⋅.例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为2sin pθ. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NF AF BF =⋅.例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值；【模型解析】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o轴（）时，称弦AB 为通径。
例1 求通径长.解： 由于=90AB x θ⊥o轴（），)0,2(pF ， ∴ 当2p x -=时，代入)0(22>=p px y 中，得22,.B y p p y p ===-A ，故y ∴ 2AB p =.例2 求焦点弦AB 长.解法一：设),(),,(2211y x B y x A ，当90AB θ≠op 时，设直线的方程为:y=k(x-).2由22,()2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04p k k x p k x -++=， ......① ∴ 1222(1)x x p k+=+. ......② Q =AB AF BF AD BC =++，准线方程2px -=，∴ 1212()22p pAB x x x x p =+++=++. 由②知，222.pAB p k =+......③ 当90θ=o，由（一）知2AB p =. 说明：Q tan k θ=∴ 2222222211cos sin cos 1111.tan sin sin sin k θθθθθθθ++=+=+== 因此，由 ③ 得22122(1).sin pAB p k θ=+= 特别，当902,AB p θ==o时，上式为是通径长。
解法二：设),(),,(2211y x B y x A .902;AB p θ==o 时，上式为90AB θ≠o 时，设直线的方程为11()2tan p x my m k θ=+==其中.由22,2y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得2220.y pmy p --=∴ 122,y y pm += 212.y y p =- ......④ Q2221212()()AB x x y y =-+-221212()()22p pmy my y y =+--+- 2221212()()m y y y y =-+- 2212(1)()m y y =+-221212(1)[()4]m y y y y =++- ......⑤2222(1)(44)m p m p =++（由④得） 222=4(1),p m +∴ 22(1).AB p m =+Q 222221cos 1111tan sin sin m θθθθ+=+=+= ......⑥ ∴ 22=sin p AB θ. 【重要说明】（Ⅰ）关于直线方程的设定，上面用了两种形式，各有优劣。
对于抛物线22(0)y px p =±>，多用2p x my =+，对于抛物线22(0)x py p =±>，多用p y=k(x-).2（Ⅱ）上面的解法体现了解决抛物线问题乃至解析几何问题的基本思想方法，要多多玩味。
其中1212AB x y =-=-的多步变形，要熟练掌握，其结果可以作为公式使用。
（Ⅲ）如果给出22(0)x py p =±>，其焦点弦长的求法类似上面的解法，但要特别的注意，θ为直线AB y 与轴的夹角。
总之，抛物线焦点弦长结论中，θ为直线AB 与抛物线对称轴的夹角。
此外，上述两种解法中，还得出了两个重要结论：12x x 与12y y 均为定值：12x x 24p =（由①得），12y y 2p =-，以及122.y y pm +=【探究】抛物线的焦点弦为AB ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有12y y 2p =- ，此命题的逆命题是否成立？为什么？ 例3 求AOB ∆的面积.解法一：直线AB 的方程为：2p x my =+，即02px my --=. Q 原点O 12AOBS AB h ∆∴=⋅=解法二：AOB S S ∆∆=112121()22OF y py y =⋅=⋅-= =（由④得）2p =22p 12sin θ=⋅（由⑥得=.2sin θ2p 例4 连,(2)CF DF CF DF ⊥，证明：图. 证明：设),(),,(2211y x B y x A ， 则21(,),(,)22p pC yD y --, 2112200.()()2222CF DF y y y y K K p p p p p --⋅=⋅=----Q212,y y p =-∴ 1,CF DF K K ⋅=- 故CF DF ⊥.图2例5 设准线l 与x 轴交于点E ，证明：FE 是CE 与DE 的比例中项， 即 2FE CE DE =⋅.容易证明，留给读者完成。
例6 如图3，直线AO 交准线于C ，证明：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 分析：只要证C D 、两点纵坐标相同。
证明：设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=.Q 211112111022,,02OA y y py px k y x y p-====- ∴ 12,p AC y x y =直线的方程为 它与准线方程2px -=联立,得 21c p C y y =-点纵坐标. 由221p y y -=得1221c y y y y y ==. 因此C D 、两点纵坐标相同，x BC //轴.例7 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴.证明：直线AC 经过原点.分析：只要证OC OA k k =.证法1：如图3，设),(),,(2211y x B y x A ， 再设直线AB 的方程为2p my x +=. Q 221p y y -=，2112y px =， ∴ ,222221111211111121212OA OC k x y y x y y x px y p py p py y y p y k =====--=-=-=∴ ,,A O C 三点共线.证法2：如图4，设AC 与EF 相交于N ，准线与x 轴交于E .图3图3Q //AD x 轴//BC .∴ ,CEN CDA V :V .ANF ACB V :V∴,ABBF ACCN ADEN ==（即AD BFEN AB=）， AB AF BCNF =（即AF BCNF AB=）. 又,,BC BF AD AF ==∴ ,EN NF =即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线经过原点O .【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指221p y y -=），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线px y 22=的焦点为F ，B A ,是抛物线上的两点.点C 在它的准线上，且x BC //轴.则C O A ,,三点共线的充要条件是B F A ,,共线。
【探究】上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线)0(22>=p px y 及图3）：①弦AB 过焦点F ；②点C 在准线上； ③x BC //轴； ④AC 过顶点O . 可组成以下四个命题：.A ①②③⇒④ （高考题） .B ①②④⇒③ （课本题） ⎭⎬⎫⇒⇒① ②③④D. ② ①③④C. 是否正确？例8 证明： 梯形中位线MN 长为2sin pθ. 图4图3xθ_ OMDN E D A CFBy2p x =-ED留给读者做。
例9 连(AN BN AN BN ⊥、图5），证明：. 证明较难，留作习题。
例10 证明：以线段AB 为直径的圆与准线相切。
由例9，这个性质是显然成立的。
例11 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NF AF BF =⋅.证明：设),(),,(2211y x B y x A ， 又设直线AB 的方程为2pmy x +=，则12(,)22y y p N +-， ∴ 1212+0+22-22--22NF y y y y pm k p p p p -===（）m =-（由④得） Q 1,AB k m= ∴ 1,NF AB k k ⋅=-此即.NF AB ⊥在Rt ANB NF V 中，为斜边上的高，故有2.NFAF BF =⋅说明：在平面几何中，有下述定理：Rt ABC V 中，斜边BC 上的高AD 是BD CD 与的比例中项。
例12 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值； 证明：（I ）设),(),,(2211y x B y x A ，则221212,,44x x y y ==由已知，(0,1),F 设直线AB 的方程为：1y kx =+，则由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=∴ .421-=x x由241x y =得x y 21='，所以过B A ,两点的切线方程分别为：,4)(21,4)(2122222111x x x x y x x x x y +-=+-=即 .421,421222211x x x y x x x y -=-= 【注：py x 22=过点(),00y x 的切线方程为：)(00y y p x x +=】由上式可得2212122().x x x x x -=-显然12,x x ≠ 故121211211, 1.22244x x x x x x x x y x ++==⋅-==- 因此，)1,2(21-+x x M . 由于抛物线准线方程为1y =-，故点M 在抛物线的准线上。