6.5运算曲线法的应用

合集下载

求曲线解析式的六种常用方法

求曲线解析式的六种常用方法本文介绍了求解曲线解析式的六种常用方法。

这些方法能够帮助我们确定曲线的解析表达式，从而更好地理解和分析曲线的特性。

1. 利用已知点和斜率求解析式这种方法通过已知点和该点处曲线的斜率来确定曲线的解析式。

我们可以选择一个已知点，并计算其在曲线上的斜率。

然后，使用该点和斜率来建立曲线的解析式。

2. 利用已知点和切线方程求解析式这种方法利用已知点处曲线的切线方程来确定曲线的解析式。

我们可以选择一个已知点，并计算该点处切线的方程。

然后，使用该方程来建立曲线的解析式。

3. 利用已知点和法线方程求解析式类似于方法2，这种方法利用已知点处曲线的法线方程来确定曲线的解析式。

我们可以选择一个已知点，并计算该点处法线的方程。

然后，使用该方程来建立曲线的解析式。

4. 利用已知点和曲线的导数求解析式这种方法依赖于已知点处曲线的导数，通过计算导数的值来确定曲线的解析式。

我们可以选择一个已知点，并计算该点处导数的值。

然后，使用该值来构建曲线的解析式。

5. 利用已知点和曲线的微分方程求解析式这种方法利用已知点处曲线的微分方程来确定曲线的解析式。

我们可以选择一个已知点，并计算该点处微分方程的形式。

然后，使用该方程来建立曲线的解析式。

6. 利用已知点和曲线的积分方程求解析式最后一种方法是利用已知点处曲线的积分方程来确定曲线的解析式。

我们可以选择一个已知点，并计算该点处积分方程的形式。

然后，使用该方程来建立曲线的解析式。

以上这些方法是求解曲线解析式时常用的六种方法。

根据具体情况，我们可以选择其中合适的方法来确定曲线的解析式。

在应用这些方法时，我们需要注意使用正确的数学工具和技巧，以确保求解的准确性和可靠性。

希望本文提供的信息能够对您有所帮助！。

小学信息第二册《曲线工具的使用》

小学信息第二册《曲线工具的使用》教材分析：本节课选自《九年义务学校信息技术其次册》，本课以同学的动手、动脑、创新为主引导线，让同学自己学会利用画图程序，不但可以便利地画出直线，还可以画出曲线，熟悉曲线工具的图标。

利用它，可以画出带有一个或两个弯儿的光滑曲线。

本节课的一个重点是：激起同学上这一堂课（画图）的新奇感，并且要在课堂上给同学一种全新的教学模式；另一个重点是在信息技术课中真正让同学加入到课堂教学活动中，切实培育同学的动手力量、创新力量。

教学内容重点：曲线工具的敏捷运用。

教学内容难点：1、画图中各工具的敏捷运用。

2、肯定的创新思维想象力量。

设计理念：依据学校生喜爱绘画的特点，教学中，以画为主线，以画代讲，以画促学，让同学在绘画中学习操作技能。

使同学认为是在“用”电脑，不是在“学”电脑，但最终学到了电脑操作技能。

本节课采纳虚拟电脑绘画作品展，激发同学学习爱好，使同学乐于学习。

依据纲要的精神，我运用了谈话法、演示法、实践法等教学方法，激励同学全面参加，主动学习，培育创新力量和实践操作力量。

同学把握了基本的操作技能，就会产生两个飞跃：一是由“学会”变为“会学”，二是由“被动地学”变为“主动地学”。

这样，同学的主体精神被大大激发，其学习效率就会大大提高，做到事半功倍。

学无定法，贵在得法，教学本课时，我没有让同学跟着我一步一步的学某一操作，而是让同学完成一幅画，同学之间完成一幅画，通过画画去把握各种操作技能。

让同学学会自己动手解决问题，发挥同学的想象力，开启同学的发散思维力量、创新力量。

教学目标：1、巩固复习画图中各种工具的综合运用。

2、娴熟把握曲线工具的使用。

3、培育同学的动手力量、创新力量、发散思维力量。

教学过程：一、唤发同学的学习的激情：（1）运用投影仪在大屏幕上展现画图作品（2）分析作品中所使用的画图工具：指出冰箱、桌子、电视机等所使用的均为画图工具箱中已有的规章工具（三角形、矩形、圆等），然后给出水桶、鸟等请同学回答：用已有的规章工具（如直线）能否完成。

6.5运算曲线法的应用

• 习题：6-6、6-7
• THE END
g
S Ni 3Vav
SB 3Vav
短路点周期电流的有名值：短路点周期电流的有名值： I pt = ∑ I pti* S Ni + I pS* S B 3Vav 3Vav i =1
V 应取短路点处电压级的平均额定电压；注：av 应取短路点处电压级的平均额定电压；
• 例6-2试求图6-30所示系统f1点短路时 t=0.1s和f2点短路时t=0.2s的短路电流周期分量。 • 例6-3试计算图6-34所示系统在f1和f2点三相短路时，0.2s和1s的短路电流。
反映这一函数关系的一组曲线称为计算曲线。反映这一函数关系的一组曲线称为计算曲线。
I
p∗
t = 0 t = t1
x
js
合并发电机的主要依据是：合并发电机的主要依据是：与短路点电气距离相差不大，容量相差也不大的同类型发电机可以合并；远离短路点的同类型的发电机可以合并；直接接于短路点的发电机应单独考虑；网络中无限大容量电源应单独计算，因为其短路电流周期分量不衰减；
2.应用计算曲线法计算任意时刻短路电流周期分量的 2.应用计算曲线法计算任意时刻短路电流周期分量的计算步骤
(1)绘制次暂态等值网络，计算网络参数； 1)绘制次暂态等值网络，计算网络参数； 1)绘制次暂态等值网络 V 参数计算采用标幺值， ①参数计算采用标幺值，S B 、 B = Vav ；略去网络中所有对地支路、电阻元件； ②发电机电抗用 x ′′ ，略去网络中所有对地支路、电阻元件； d ③恒定电势源的内阻抗为零（无穷大电源）；恒定电势源的内阻抗为零（无穷大电源）；略去负荷； ④略去负荷； (2)进行网络变换：满足合并条件的电源合并，求出各等值发 2)进行网络变换：满足合并条件的电源合并， 2)进行网络变换电机对短路点的转移电抗电机对短路点的转移电抗 xif (i = 1,2,L, g ) ； (3)将转移电抗按各自相应等值发电机的容量进行归算， (3)将转移电抗按各自相应等值发电机的容量进行归算，求得将转移电抗按各自相应等值发电机的容量进行归算各等值发电机对短路点的计算电抗计算电抗：各等值发电机对短路点的计算电抗：

电力系统分析第7章习题答案

第七章思考题及习题答案7-1 电力系统短路的分类、危害及短路计算的目的是什么？答：短路的类型有三相短路、两相短路、单相接地短路和两相接地短路。

短路对电力系统的危害有：短路电流很大，并会电气设备使发热急剧增加，导致设备因过热而损坏；导体产生很大的电动力，有可能引起设备机械变形、扭曲甚至损坏；短路时系统电压大幅度下降，会影响电气设备的正常工作；发生不对称短路时，不平衡电流所产生的不平衡磁通会对邻近的通信系统造成干扰；短路情况严重时，会导致并列运行的发电厂失去同步，破坏系统的稳定性。

短路计算目的有：设计和选择合理的发电厂、变电所及电力系统的电气主接线；选择有足够动稳定度和热稳定度的电气设备及载流导体；合理配置各种继电保护和自动装置并正确地整定其参数；分析和计算在短路情况下电力系统的稳定问题。

7-2 无限大功率电源的含义是什么？由无限大电源供电的系统三相短路时，短路电流包括几种分量？有什么特点？答：无限大功率电源是指其容量为无限大、内阻抗为零的电源。

由无限大功率电源供电的系统三相短路时，短路电流包括周期分量和非周期分量。

其特点是在外电路发生短路时，电源电压基本上保持恒定，因此周期分量不随时间而变化。

7-3 什么叫短路冲击电流？它出现在短路后的哪一时刻？冲击系数的大小与什么有关？答：短路冲击电流是指在最严重短路情况下三相短路电流的最大瞬时值。

它出现在短路发生半个周期（0.01s ）时。

冲击系数与短路回路中电抗与电阻的相对大小有关。

7-4 什么是短路功率？在三相短路计算中，对某一短路点，短路功率的标幺值与短路电流的标幺值有何关系？答：短路功率等于短路电流有效值乘以短路处的正常工作电压（一般用平均额定电压）。

短路功率的标幺值与短路电流的标幺值相等。

7-5 什么是短路电流的最大有效值？与冲击系数有什么关系？答：短路电流的最大有效值是指短路后第一周的电流有效值。

它与冲击系数的关系为2)1(21−+=imp p imp K I I7-6 什么是电力系统三相短路的实用计算？分为几个方面的内容？答：电力系统三相短路的实用计算，主要是计算系统中含多台发电机、电源并非无限大功率电源供电时，三相短路电流周期分量的有效值。

电力系统分析基础-暂态（第一章）

电力系统分析基础-暂态（第一章）North China Electric Power University电力工程系Department of Electrical Engineering胡永强电力系统故障分析的主要内容在电专业课中——电力系统故障分析三相短路电流分析与计算同步发电机突然三相短路分析电力系统三相短路的实用计算对称分量法及电力系统元件的各序参数和等值电路不对称故障的分析与计算复故障的分析与计算故障的原因、类型和危害65%d /f 第一章电力系统故障分析的基本知识二、产生的原因三、产生的危害三、措施设备选择第二节标幺值一、标幺值（标么值）定义：标幺值=有名值（欧、西、千伏、千安、兆伏安）基准值（与对应有名值的量刚相同）标幺值—没有单位的相对值参数三相与单相公式一致结果清晰易于判断结果对否简化计算无量纲，概念不清第二节标幺制二、基准值的选取1)基准值的单位与对应有名值的单位相同2)各种量的基准值之间应符合电路的基本关系YZZIU I U S BBBBBBB B133===3)五个量中任选两个，其余三个派生，一般取S B ，U B ，S B —总功率或某发、变额定功率，U B —基本级电压4)幺值相同三相功率和单相功率标相同线电压和相电压标幺值 I U S Z I U ******==第二节标幺制三、电力系统的标幺值等值电路的制定多电压等级系统仍存在归算问题，有两种求法1)归算有名值指定基本级，将其它级有名值归算到基本级?指定一套基本级下的基准值?用标幺值定义求2)归算基准值（就地归算）将基准值归算到各电压级，形成相应基值?在基本级下指定一套基准值各电压级参数除以本级下的基值给出元件的额定标幺值，须换算为统一基准值下的标幺值222***NN B B NBNNBNNBBXXXXU S S S XXX SZZUUU ==?===第二节标幺制例如：1、变压器：给定额定电压、额定功率和短路电压百分数其中短路电压百分数和电抗标幺值的关系：N s T T *(N )2N3(%)=*100%=*100%=*100%N T N I X SU X X U U 则转换为统一基准值后为：2N BT *(B )2B %=100sNU U S X U S 第二节标幺制例如：2、电抗器：给定额定电压、额定电流和电抗百分数其中电抗百分数和电抗标幺值的关系：R R *(N )3(%)=*100%=*100%N RNI X X X U 则转换为统一基准值后为：N BR *(B)B %=100R NU X I X U I 第二节标幺制四变压器联系的不同电压等级电网中各元件参数标幺值计算1 准确计算法：变压器的变比取实际变比：2 近似计算法：变压器变比取平均额定变比（电压不必归算，直接取平均额定电压，变压器和发电机参数只需按照容量归算）P9 例1-2第三节无限大容量电源供电系统三相短路过渡过程分析一、暂态过程分析无限大电源——电压的幅值和频率均为恒定（内阻=0）?短路不影响电源的U ，f （Z=0，U=C ，S=∞）?实际内阻<短路回路总阻抗10%，即无限个有限源组成R L R’L’U aR L R’L’U b RLR’L’U cd (3)三相短路是对称故障，可用一相分析短路前)t sin(U u α+ω=一阶常系数线性微分方程?如何确定A （楞次定律）()sin(I sin I A t dzm m 00φ?α?φ?α==+?∵二、产生最大短路全电流的条件使暂态分量最大（无载，一相过零）m =0=π/2，纯电感电路三、短路冲击电流i 和冲击系数k四、短路全电流最大有效值I ch Σd Z 3补充：一、计算短路电流的基本假设1、以电网的平均电压取代元件的额定电压同一电压级中各元件的额定电压可能不一样线路首端，升压变压器二次侧高出10%线路末端，降压变压器一次侧=U B 发电机高出5%简化计算——同一电压级中各元件的额定电压相同，数值上=平均电压，U pj =(1.1U B +U B )/2=1.05U B 2、高压电网只计及电抗,当R dΣ< X dΣ/3时,忽略R dΣ%15X 3U I d pj d 计算误差不超过故ΣΣ=二、各元件统一基准值电抗标幺值计算N三、具有变压器的多电压级网络标幺值等值电路的建立(近似法)为基本级2、变压器2统一基准值U UU 四、短路回路总电抗标幺值X 计算2、短路计算点和系统运行方式确定44.0154.037U XX222=××==3、绘制等值电路图任一短路点对应等值电路中，只要求表示该点短路时，短G1G24、等值电路图归并与简化3d 第三节无限大容量电源供电系统三相短路电流计算一、基本概念1.那种故障短路电流最大中性点接地：三相或单相中性点不接地：三相2.短路电流计算值I —次暂态短路电流：周期分量起始(t=0)的有效值用途：保护整定计算及校验断路器的额定断流容量I ch —短路全电流的最大有效值用途：校验电气设备的动稳定和断路器的额定断流量i ch —三相短路冲击电流用途：校验电气设备的动稳定I ∞—三相短路电流稳态有效值用途：校验电气设备和载流体的热稳定性I df 经0.2s衰减完毕,I I ∞=20I I I Idz===∞20在无限大容量,二、有名制法各元件的阻抗用变压器的近似变比归算到基本级，求出Σd dzpj d I U S 3=三、标幺值法**∑∑d d 四、例题如图所示电路发生三相短路，试分别用有名制法和标幺U pj =10.5KVU *=1()Ω=+=+=623.0289.0334.02/X X X )))第三章电力系统三相短路的实用计算由于多电源复杂系统中，不能将所有电源均视为无限大功率电源，精确计算出三相短路电流比较困难，故工程上采用一些简化计算。

电力系统暂态分析（自己总结的）

电力系统暂态分析（自己总结的）电力系统暂态分析过程（复习提纲）第一篇电力系统电磁暂态过程分析（电力系统故障分析）1 第一章电力系统故障分析的基本知识1.1故障概述1.2标幺制1.2.1标幺值1.2.2基准值的选取1.2.3基准值改变时标幺值的换算1.2.4变压器联系的不同电压等级电网中各元件参数标幺值的计算一、准确计算法二、近似计算法1.3无限大功率电源供电的三相短路电流分析1.3.1暂态过程分析1.3.2短路冲击电流和短路电流有效值一、短路冲击电流二、短路电流有效值习题2 第二章同步发电机突然三相短路分析2.1同步发电机在空载情况下定子突然三相短路后的电流波形及其分析2.2同步发电机空载下三相短路后内部物理过程以及短路电流分析2.2.1短路后各绕组的此联及电流分量一、定子绕组磁链和短路电流分量1、励磁主磁通交链定子三相绕组的磁链2、短路瞬间三相绕组磁链的瞬时值3、磁链守恒原理的作用4、三相短路电流产生的磁链5、对应的i 的三相短路电流二、励磁绕组磁链和电流分量1、强制励磁电流产生的磁链2、电子三相交流电流的电枢反应3、定子直流电流的磁场对励磁绕组产生的磁链4、按照磁链守恒原理励磁回路感生的电流和磁链三、等效阻尼绕组的电流四、定子和转子回路（励磁和阻尼回路的统称）电流分量的对应关系和衰减2.2.2短路电流极基频交流分量的初始和稳态有效值一、稳态值二、初始值1、不计阻尼回路时基频交流分量初始值2、计及阻尼回路作用的初始值2.2.3 短路电流的近似表达式一、基频交流分量的近似表达式二、全电流的近似表达式2.3 同步发电机负载下三相短路交流电流初始值2.3.1 正常稳态运行时的相量图和电压平衡关系2.3.2 不计阻尼回路时的初始值'I 和暂态电动势'q|0|E 、'|0|E一、交轴方向二、直轴方向2.3.3 计及阻尼回路的''I 和次暂态电动势''|0|E一、交轴方向二、直轴方向2.4 同步发电机的基本方程2.4.1 同步发电机的基本方程和坐标转换一、发电机回路电压方程和磁链方程二、派克变换及d 、q 、0、坐标系统的发电机基本方程1、磁链方程的坐标变换2、电压平衡方程的坐标变换2.4.2 基本方程的拉氏运算形式和运算电抗一、不计阻尼绕组时基本方程的拉氏运算形式，运算电抗和暂态电抗二、计及阻尼绕组时基本方程的拉氏运算形式，运算电抗和暂态电抗2.5 应用同步发电机基本方程分析突然三相短路电流2.5.1 不计阻尼绕组时的短路电流一、忽略所有绕组的电阻以分析d i 、q i 各电流分量的初始值二、dq i 的稳态值三、计及电阻后的dq i 各分量的衰减1、d i 直流分量的衰减时间常数2、dq i 中基频交流分量的衰减时间常数3、计及各分量衰减的dq i四、定子三相短路电流五、交轴暂态电动势2.5.2 计及阻尼绕组时的短路电流一、dq i 各分量的初始值二、dq i 的稳态直流三、计及电阻后的dq i 各分量的衰减1、d i 直流分量的衰减2、q i 直流分量的衰减3、dq i 中基频交流分量的衰减时间常数四、定子三相短路电流五、次暂态电动势1、交轴次暂态电动势''Eq 2、直轴次暂态电动势''Ed2.6自动调节励磁装置对短路电流的影响3 第三章电力系统三相短路电流的实用计算3.1短路电流交流分量初始值计算3.1.1计算的条件和近似3.1.2简单系统''I计算3.1.3复杂系统计算3.2计算机计算复杂系统短路电流交流分量初始值的原理3.2.1等值网络3.2.2用节点阻抗矩阵的计算方法3.2.3用节点导纳矩阵的计算方法一、应用节点导纳矩阵计算短路电流的原理二、三角分解法求导纳型节点方程3.2.4短路点在线路上任意处的计算公式3.3其他时刻短路电流交流分量有效值的计算3.3.1运算曲线法一、方法的基本原理二、运算曲线的制定三、应用运算曲线计算的步骤四、合并电源简化计算五、转移阻抗3.3.2应用计算系数计算一、无限大功率电源二、发电机和异步电动机4 第四章对称分量法及电力系统元件的各序参数和等值电路4.1对称分量法4.2对称分量法在不对称故障分析中的应用4.3同步发电机的负序和零序电抗4.3.1同步电机不对称短路时的高次谐波电流4.3.2同步发电机的负序电抗4.3.3同步发电机的零序电抗4.4异步电动机的负序和零序电抗4.5变压器的零序电抗和等值电路4.5.1双绕组变压器一、YNd接线变压器二、YNy接线变压器三、YNyn接线变压器4.5.2三绕组变压器4.5.3自耦变压器4.6输电线路的零序阻抗和电纳4.6.1输电线路的零序阻抗一、单根导线——大地回路的自阻抗二、双回路架空输电线路的零序阻抗三、架空地线的影响四、电缆线路的零序阻抗4.6.2架空线路的零序电容（电纳）一、分析导线电容的基本公式二、单回线路的零序电容三、同杆双回路的零序电容4.7零序网络的构成5 第五章不对称故障的分析计算5.1各种不对称短路时故障处的短路电流和电压5.1.1单相接地短路[(1)f]5.1.2两相短路[(2)f]5.1.3两相接地短路[(11)f，]5.1.4正序增广网络的应用一、正序增广网络二、应用运算曲线求故障处正序短路电流5.2非故障处电流、电压的计算5.2.1计算各序网中任意处各序电流、电压5.2.2对称分量经变压器后的相位变化5.3非全相运行的分析计算5.3.1三序网络及其电压方程5.3.2一相断线5.3.3两相断线5.4计算机计算程序原理框图第二篇电力系统机电暂态过程分析（电力系统的稳定性）6 第六章电力系统稳定性问题概述和各元件机电特征6.1概述6.2同步发电机组的机电特性6.2.1同步发电机组转子运动方程6.2.2发电机的电磁转矩和功率一、简单系统中发电机的功率二、隐极同步发电机的功-角特性三、凸极式发电机的功-角特性四、发电机功率的一般近似表达式6.2.3电动势变化过程的方程式6.3自动调节励磁系统的作用原理和数学模型6.3.1主励磁系统一、直流励磁机励磁二、交流励磁机励磁三、他励直流励磁机的方程和框图6.3.2自动调节励磁装置及其框图6.3.3自动调节励磁系统的简化模型6.4负荷特性6.4.1恒定阻抗（导纳）6.4.2异步电动机的机电特性——变化阻抗一、异步电动机转子运动方程二、异步电动机转差率的变化——等值阻抗的变化6.5柔性输电装置特性6.5.1静止无功补偿器（SVC）一、晶闸管控制的电抗器二、晶闸管投切的电容器三、SVC的静态特性和动态模型6.5.2晶闸管控制的串联电容器（TCSC）一、基本原理二、导通阶段三、关断阶段7 第七章电力系统静态稳定7.1简单电力系统的静态稳定7.2小干扰法分析简单系统表态稳定7.2.1小干扰法分析简单系统的静态稳定一、列出系统状态变量偏移量的线性状态方程二、根据特征值判断系统的稳定性7.2.2阻尼作用对静态稳定的影响7.3自动调节励磁系统对静态稳定的影响7.3.1按电压偏差比例调节励磁一、列出系统状态方程二、稳态判据的分析三、计及T时系统的状态方程和稳定判据e7.3.2励磁调节器的改进一、电力系统稳定器及强力式调节器二、调节励磁对静态稳定影响的综述7.4多机系统的静态稳定近似分析7.5提高系统静态稳定性的措施7.5.1采用自动调节励磁装置7.5.2减小元件的电抗一、采用分裂导线二、提高线路额定电压等级三、采用串联电容补偿7.5.3改善系统的结构和采用中间补偿设备一、改善系统的结构二、采用中间补偿设备8 第八章电力系统暂态稳定8.1电力系统暂态稳定概述8.2简单系统的暂态稳定性8.2.1物理过程分析一、功率特性的变化二、系统在扰动前的运行方式和扰动后发电机转子的运动情况8.2.2等面积定则8.2.3发电机转子运动方程的求解一、一般过程二、改进欧拉法8.3发电机组自动调节系统对暂态稳定的影响8.3.1自动调节系统对暂态稳定的影响一、自动调节励磁系统的作用二、自动调节系统的作用8.3.2计及自动调节励磁系统作用时的暂态稳定分析8.4复杂电力系统的暂态稳定计算8.4.1假设发电机暂态电动势和机械功率均为常数，负荷为恒定阻抗的近似计算法一、发电机作为电压源时的计算步骤二、发电机作为电流源时的计算步骤8.4.2假设发电机交轴暂态电动势和机械功率为常数一、坐标变换二、发电机电流源与网络方程求解8.4.3等值发电机8.5提高暂态稳定性的措施8.5.1故障的快速切除和自动重合闸装置的应用8.5.2提高发电机输出的电磁功率一、对发电机实行强行励磁二、电气制动三、变压器中性点经小电阻接地8.5.3减少原动机输出的机械功率8.5.4系统失去稳定后的措施一、设置解析点二、短期异步运行和再同步的可能性。

中职数学课件6.5三角计算的应用

10m，圆心角为π3的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积．
在日常生活中，人们会遇到一些求最大面积的问题．对于这类问题，可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决．
6.5 三角计算的应用
2 2
×
3 2
+
2 2
×
1 2
=
因此，CD=BCsin75°=40
6×
6+ 4
2 =20(
3 +3)≈94.64(m) ．
6+ 4
2．
答：河宽约为94.64m.
6.5 三角计算的应用
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案．例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等知识，通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后，我们也可以利用正、余弦定理解决这些问题．
6.5 三角计算的应用
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
情境与问题（2）
在日常生活中，我们的家庭用电都是交
流电(如图) ．若交流电的电压U(单位：V)与
时间t(单位：s)之间的函数关系可用
U=220
2 sin
100πt+
π 6
来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
6.5 三角计算的应用
练习
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
1. 如图所示，有一长为 10m、倾斜角为75°的斜坡 AB ．在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为30°．问坡底延长了多少米？

求曲线方程的六种常用方法

求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。

通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。

这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。

2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。

通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。

例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。

3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。

例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。

4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。

通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。

例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。

5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。

数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。

6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。

通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。

这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。

以上是求曲线方程的六种常用方法。

根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。

第三章电力系统三相短路电流的实用计算

第三章电力系统三相短路电流的实用计算上一章讨论了一台发电机的三相短路电流，其阐发过程已经相当复杂，并且还不是完全严格的。

那么，对于包含有许多台发电机的实际电力系统，在进行短路电流的工程实际计算时，不成能也没有必要作如此复杂的阐发。

实际上工程计算时，只要求计算短路电流基频交流分量的初始值I ''即可。

1、I ''假设取 1.8M K =2.551.52M ch M ch i i I I I I ''==''==2、求I ''的方法：〔1〕手算〔2〕计算机计算〔3〕运算曲线法：不单可以求0t =时刻的I '，还可以求任意时刻t 的t I 值。

§3－1I ''的计算〔I ''－周期分量起始有效值〕一、计算I ''的条件和近似1、电源参数的取用〔1〕发电机：以101E ''和d X ''等值〔且认为d q X X ''''=，即都是隐极机〕 101101101d E U jI X ''''=+ 〔3－1〕101E ''在0t =时刻不突变。

〔2〕调相机：与发电机一样，以101E ''和d X ''等值但应注意：当调相机短路前为欠激运行时，∵101101E U ''< ∴不提供§3－2应用运算曲线法求任意时刻周期分量有效值tI由上章的阐发可知，即使是一台发电机，要计算其任意时刻的短路电流，也是较繁的。

首先必需知道各时间常数、电抗、电势参数，然后进行指数计算。

这对工程上的实用计算显然不适合的。

50年代以来，我国电力部分持久采用畴前苏联引进的一种运算曲线法来计算的。

此刻试行据我国的机组参数绘制的运算曲线，下面介绍这种曲线的制定和应用。

2019电力系统暂态分析第三章

z (2)
I fa ( 2 ) U fa ( 2 )
zabzbczaczm
zaa
zab zbb
zac
zcc
zbc
25
U a
zaa
z ab
zacIa
zs
z m
zmIa
U U b czzb caa
z bb
z cb
zzb cccIIb czzm m
汽轮机水轮机
Xd 1.9040 0.9851
X’d 0.2150 0.3025
X”d 0.1385 0.2055
Xq 1.9040 0.6423
T’d o 9.0288 5.9000
T”d o 0.1819 0.0673
T”q o 2.0125 0.1581
Ta 0.2560 0.2124
cos 0.805 0.85
用对称分量法分析电力系统的不对称故障问题：首先要列出各序的电压平衡方程，或者说必须求得各序对故障
点的等值阻抗，然后结合故障处的边界条件，即可算出故障处a相的各序分量，最后求得各相的量。
30
序电压方程和边界条件的联立求解可用复合序网（电路形式）
表示：
z (1)
I fa (1)
E a
U fa (1)
第三章电力系统三相短路的实用计算
一．交流电流初始值计算
二．应用运算曲线求任意时刻短路点的短路电流（交流分量有效值）
三．转移阻抗及其求法
四．计算机计算复杂系统短路电流交流分量初始值
的原理
1
由于使用快速保护和高速断路器后，工程计算在多数情况下，只要求计算短路电流基频交流分量（以后略去基频二字）的初始值，即次暂态电流。工程上还通用一种运算曲线来近似计算短路后任意时刻的交流电流。

电力系统短路故障的基本知识

第四页，共35页。
3.2 无限大容量电力系统及其三相短路 3.2.1 无(限du大ǎn容lù量)电分力析系统概念
无限大容量电力系统是指容量相对于用户供电系统容量大得多的电力系统，当用户供电系统发生短路时，电力系统变电所馈电(kuì diàn)母线上的电压基本不变，可将该电力系统视为无限大容量电力系统。
只有三相短路，属对称短路。
第三页，共35页。
3.1.2 短路 (duǎnlù)种类
图3-1 短路的类型 a) 三相短路 b) 两相短路
c) 单相短路 d) 单相接(xiānɡ jiē)中心点短路 e) 两相接(xiānɡ jiē)地短路 f) 两相短路接地
选择、检验电气设备，以三相短路计算(jì suàn)为主。校验继电器保护装置用两相或单相短路电流。
在供配电系统的设计和运行中，不仅要考虑正常运行的情况，而且要考
虑短路。短路电流计算结果可作为选择电气设备及供配电设计的依据。
短路电流的计算方法有：
第八页，共35页。
3.3.1 短路(duǎnlù)电流计算方法
故障电流计算
对称的短路电流计算
无限大容量系统有限容量系统
标幺制法短路功率法实用运算曲线法有名单位制计算法
2．短路电流非周期分量
非周期分量的初始绝对值为：inp 0 = I km = 2 I ''
(3-7)
3．短路全电流
短路全电流为周期分量与非周期分量之和；ik= i p+ i np
(3-8)
4．短路冲击电流
短路电流瞬时达到的最值称为短路冲击电流瞬时值，用表示。短路冲击电流有效
值是短路后第一个周期(zhōuqī)的短路电流的有效值，用表示。

第6章+电力系统三相短路故障分析

电力系统的故障复杂故障
又称横向故障
简单故障
电力系统短路故障
又称纵向故障
属不对称故障
电力系统断相故障
6.1 电力系统故障原因及分类
2002年我国220kV电网输电线路故障统计表
故障类型三相短路两相短路两相接地单相接地其它故障故障次数 17 故障百分 1.14% 比 28 1.88% 91 6.12% 1319 88.7% 32 2.16%
U E k (0) I k (Z Z f ) (Z Z f )
若直接接地短路 Z f 0 ，则： Z U E Ik k (0) Z
6.3.1.确定系统各元件的次暂态参数，作出系统的等值电路
• 计算起始次暂态电流时， • 电力系统中所有静止元件（如电力线路和变压器）的参数都与其稳态参数相同， • 但旋转电机（如发电机、电动机和同期调相机）的次暂态参数不同于其稳态参数。
表6-3 短路分析时元件的近似模型
元件模型发电机（调相机）负荷综合负荷（大型电动机）变压器，线路等与稳态模型相同，近似计算时可忽略电阻。
/s
0.001 0.001 0.001
t=0.0025s短路 45 t=0.005s短路 90
-0.221 -0.445
6.2.3 短路冲击电流
• 短路电流可能出现的最大瞬时值称为冲击电流，用iimp表示。 0 ， • 电路原来处于空载，即 i0 0 则 I m
并假设短路后回路的感抗远大于电阻，则有阻抗角 90o ，且短路时合闸角 0
三相短路故障虽然很少发生，但情况比较严重，且三相短路时电力系统仍是三相对称的，称为对称故障，本章分析三相短路故障。

17三相短路电流的实用计算(二)(新)

S
115kv
线路：L＝80km L X0=0.4Ω/km
T1,T2:63MVA，Uk%=10.5 T3:63MVA， Uk（1－2）%=10.5 Uk（3－1）%=18.5 Uk（2－3）%=6.5
T1
T2
T3
10.5kv
G1
G2
G3
G4
求短路点0.2s，2s时的短路电流。
37kv
10.5kv
G1、G2水轮机，50MW， Xd’’=0.163,Cosφ=0.85 G3、G4水轮机，25MW， Xd’’=0.176,Cosφ=0.8
sB
/ cos
1 0.176 2
100 25 / 0.8
0.282
x2
1 uk % sB 2 100 SN
1 0.105 100
2
63
0.083
8 0.222
7 0.242
4 0.179
9 0.397
11 0.616
10 0.565
9 0.397
求各等值电源到短路点的转移电抗
0.222 0.179 x10 0.222 0.179 0.242 0.565
S
115 kv
L
T1
G 1
T2 T3
10.5
G kv
G
2
3
10.5
kv
G
4
37k 2
v
0.083
1 0.139
7 0.242
4 0.179
6 0.115
5 0
3 0.282
x1
1 2
xd
'' 1
pN1
sB
/ cos
1 0.163 100

变电站主变压器与所用变的选择

目录1 绪论 (2)2 变电站主变压器及所用变的选择 (4)2.1 主变压器的选择 (4)2.1.1 主变压器台数的选择 (4)2.1.2 主变压器容量的选择 (5)2.1.3主变相数及接线组别的选择 (5)2.1.4结论 (6)3 电气主接线的设计 (6)3.1主接线的设计原则和要求 (6)3.2本所主接线的设计 (7)3.2.1 设计步骤 (7)3.2.2 初步方案设计 (7)3.2.3．本变电所主接线方案的确定 (8)3.2.4选择结果 (9)4 短路电流的计算 (10)4.1短路电流 (10)4.1.1短路电流计算的目的 (10)4.1.2短路电流计算的一般规定 (10)5 母线的选择与校验 (15)5.1母线的选择 (15)5.2母线热稳定校验 (16)5.3母线动稳定性 (16)6 断路器的选择与校验 (17)6.1初选断路器型号 (17)6.2确定短路计算点及相应短路电流 (18)6.3校验开断能力 (18)6.4校验动稳定 (18)6.5校验热稳定 (18)7 隔离开关的选择 (19)8 绝缘子的选择与校验 (19)结束语 (20)参考文献 (21)附录 (21)1绪论变电所是电力系统的重要组成部分，它直接影响整个电力系统的安全与经济运行，是联系发电厂和用户的中间环节，起着变换和分配电能的作用。

现在，我国电力工业已经进入了大机组、大电厂、大电网、超高压、自动化、信息化发展的新时期。

随着我国经济的蓬勃发展，电网的规模越来越大，电压越来越高，电网调度、安全可靠供电要求以及经济运行和管理水平都形成了一种新的格局。

利用微机实施监控取代常规的控制保护方式，实现变电所的综合自动化，进而施行无人值班，已成为各级电力部门的共识。

在我国城乡电网改造与建设中不仅中低压变电所采用了自动化技术实现无人值班,而且在110kV及以上的超高压变电站建设中也大量采用自动化新技术,从而大大提高了电网建设的现代化水平,增强了输配电和电网调度的可能性,降低了电站建设的总造价,这已经成为不争的事实,也是目前变电所建设的主要模式。

电力系统三相短路实用算法

3 电力系统三相短路的实用计算①起始次暂态电流I"(短路电流基频交流分量的初始值)、冲击电流（短路电流最大瞬时值）、短路电流最大有效值、短路容量；（用于效验断路器开断电流、继电保护整定、电气设备动稳定效验）；②采用运算曲线法近似计算电网三相短路暂态过程中，任一时刻短路电流（交流分量的有效值）3.1交流电流初始值的计算一、计算近似假设（各个元件次暂态参数的获取）1）发电机①电抗：用x d"；②电动势：用E"(近似认为短路前后瞬间保持不变)相量表示：E0"=U0+jI0x d"标量表示：E0"≈U0+jI0x d"sinφ|0|其中：I|0|=P|0|−jQ|0|U0③近似计算中可取E"=1.05~1.08④不计负荷影响时（短路前空载），E"=1，且同相位。

⑤当电源远离短路点，可将发电机看作恒定电压源，取其额定电压U N。

2）线路、变压器① 并联支路：忽略线路对地电容、变压器励磁回路； ② 高压输电线路：仅考虑线路电抗，忽略电阻； ③低压输电线路或电缆：近似用阻抗模值z = 2+x 2 ④变压器变比：不考虑实际变比，用平均电压比。

3) 一般负荷①不考虑负荷（即短路前空载）：基于负荷电流远小于短路电流。

②考虑负荷：恒定阻抗负荷：z i =U i|0|2P i|0|−jQ i|0|综合负荷：E "=0.8，x "=0.35远离短路点的负荷：略去不计或x "=0.354) 短路点附近的大型异步（同步）电动机负荷：①正常运行时，异步电动机的转差率很小（2%~5%），可作同步机看待。

则根据短路瞬间磁链守恒原理，可用与转子绕组总磁链成正比的E "、x "(为启动电抗)表示。

如短路瞬间的机端电压小于E "，则考虑到送短路电流，当作发电机看待。

E "、x "的确定：x "=1I st =14～7=0.14～0.25，近似x "≅0.2E 0 "≈U 0 −jI 0 x "sin φ|0|，近似E 0 "≅0.9（I "≅0.45）②如短路瞬间的机端电压大于E "，当作综合负荷看待。

第6章+电力系统三相短路故障分析

• 短路电流的最大有效值
Iimp 1.52I 1.52 6.46 9.82kA
• 短路功率。
S kt I *S B 1.175 100 117.5 MVA
总结供电的电力系统三相短路解题的步骤
例6-3
6.3 电力系统三相短路的实用计算
三实相用短计路算 1.计算起始次暂态电流 I ，用于校验断路器的断开容量和继电保护整定计算。 2.运算曲线法，用于电气设备稳定校验
例6-1
• 解：由结果可见在不同时刻短路时，合闸相角不同，且各相电流的非周期分量初值不同。
合闸相角/度 A t=0时短路 0 B -120 -75 -30 C 120 165 -150 0.954 0.954 0.954
I /kA
A 0.143
i (t ) /kA
B 0.323 0.477 0.351 C -0.466 -0.257 0.104
/s
0.001 0.001 0.001
t=0.0025s短路 45 t=0.005s短路 90
-0.221 -0.445
6.2.3 短路冲击电流
• 短路电流可能出现的最大瞬时值称为冲击电流，用iimp表示。 0 ， • 电路原来处于空载，即 i0 0 则 I m
并假设短路后回路的感抗远大于电阻，则有阻抗角 90o ，且短路时合闸角 0
6.2.2 无限大容量电源供电的三相短路电流分析
• 由图6.1可以看出三相短路后电路仍然是三相对称的，所以只研究其中一相（这里我们仍选 a相），根据基尔霍夫电压定律（KVL）：
di R1i L1 U m sin t dt
其解就是短路电流
i i i Im sint Ce

6.3运算曲线法的应用

实际电力系统由不同类型、不同容量的发电
机并联运行。要把网络简化成几个对短路点的等值电源构成的星形电路，以便对每一个支路分别实用运算曲线。
用运算曲线计算短路电流周期分量的步骤：
1.
2. 3. 4. 5.
制作次暂态等值网络网络简化计算各等值电源支路的计算电抗Xjs 查曲线求Ip* 计算短路t时刻短路点的短路电流周期分量为：
f2点短路另一方法：各电源都单独计算
X11、X13、X14进行Y－△变换
→
用单位电流法求转移阻抗
电源
电源分组后，消去电源点与短路点以外的全
部中间节点，求出各等值电源对短路点的转移电抗。
3. 计算各等值电源支路的计算电抗Xjs
计算电抗是以发电机额定值作为基准值的。
4. 查曲线求Ip*
根据给定的时间t和各等值电源支路的Xjs，查
对应发电机类型的运算曲线，得到各电源供给的短路电流周期分量标么值Ipt1* 、 Ipt2* 、…
1. 制作次暂态等值网络
忽略网络中的负荷
发电机用 X d 表示，将实际网络制成次暂态网
络计算各元件在统一基准值（SB，Uav)时的标么值
2. 网络简化
先将全网电源分组：
直接接于短路点的发电机分为一组无限大功率电源分为一组（Ip*＝1/Xjs）距短路点较远（Xjs>1)的发电机合并为一个等值
运算曲线
短路电流运算曲线是短路电流周期分量随时
间和电气距离变化的函数曲线。
运算曲线的特点
运算曲线是按汽轮发电机和水轮发电机分别
制作的。运算曲线只作到Xjs＝3.45为止当Xjs>3.45时，近似认为发电机端电压在短路过程中保持不变，即该支路相当于由无限大电源供电，短路电流周期分量的幅值不随时间变化，为Ip*＝1/Xjs。

曲面积分的应用

第六章三重积分、曲线积分与曲面积分教学目的：1、理解三重积分的概念。

2、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4、掌握计算两类曲线积分的方法。

5、熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

7、知道散度与旋度的概念，并会计算。

8、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

教学重点：1、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

2、三重积分的几何应用及物理应用。

3、两类曲线积分的计算方法；4、格林公式及其应用；5、两类曲面积分的计算方法；6、高斯公式、斯托克斯公式；7、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

教学难点：1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6.1 三重积分引入6.1.1 三重积分定义一. 非均匀分布立体的质量问题设有空间立体Ω，当Ω的质量是均匀分布时，则Ω的质量M =Ω的体密度⨯Ω的体积.若Ω的质量不是均匀分布的，则不能用上式算质量M .设空间立体Ω，其质量非均匀分布，体密度(,,)x y z μ连续，求Ω的质量M . （i ）将Ω分成n 个小立体12,,n ΩΩΩ，记k v ∆表示k Ω(1,2,)k n =的体积.由于(,,)x y z μ连续，从而当k Ω很小时，在k Ω上(,,)x y z μ的变化不大，可近似看作不变；（ii ）即∀(,,)k k k k ξζη∈Ω，以(,,)k k k ξζη作为k Ω的体密度，从而k Ω的质量(,,)k k k k km v μξζη≈∆；（iii ）因此，Ω的质量1(,,)nk k k k k v M μξηζ=∆∑=；(iv) 若记δ为k Ω(1,2,)k n =的最大直径，则01lim (,,)nk k k k k M v δμξηζ→==∆∑.二. 三重积分定义抛开上述问题的具体意义，对照二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域. 如果考虑三元函数(,,)f x y z 在一空间区域Ω上的积分，就可得到下述三重积分的概念.定义6.1 设函数(,,)u f x y z =在空间有界闭区域Ω上有界．将Ω任意划分成n 个子域1v ∆，2v ∆，3v ∆，…，n v ∆，它们的体积分别记作k v ∆(1,2,)k n =．在每一个子域上任取一点(,,)k k k ξηζ，并作和数1(,,)nk k k k k v f ξηζ=∆∑．如果不论k v ∆怎样划分，点(,,)k k k ξηζ怎样选取，当n →∞而且最大的子域直径0δ→时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数(,,)u f x y z =在区域Ω上的三重积分．记作(,,)dv f x y z Ω⎰⎰⎰，即1(,,)lim (,,)nk k k k k dv v f x y z f δξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰．如果(,,)f x y z 在区域Ω上连续，那么此三重积分一定存在．对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义．6.1.2 三重积分的计算一. 直角坐标系中三重积分的计算方法在这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍．直角坐标系中三重积分的计算公式为：21(,)(,)(,,)(,,)z x y z x y D xydv f x y z dzd f x y z σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中xy D 是将闭区域Ω投影到xOy 面上所得到的平面闭区域．此公式便把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的知识即可求出．按照闭区域Ω投影的面不同，相应地可把三重积分转化为其他不同顺序的积分．例1 计算三重积分I xyzdv Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围成的闭区域.解把I 化为先对z ，再对y 和x 的三次积分．那么应把Ω投影到xOy 平面上，求出投影域xy D ，它就是平面1x y z ++=与xOy 平面的交线和x 轴及y 轴所围成的三角区域. 为了确定出对z 的积分限，在xy D 上固定点(,)x y ，通过此点作一条平行于z 的直线,它与Ω上下边界的交点的竖坐标为：z=0与z=1-x-y ，这就是对z 积分的下限与上限，于是由积分公式得：10x yD xyxyzdzd I σ--=⎰⎰⎰，其中xy D 为平面区域：0,0,1x y x y ≥≥+≤，如下图红色阴影部分所示：再把xy D 域上的二重积分化成先对y 后对x 的二次积分，得：2111000111002211002140241720(1)(1).x x yx y xyz x xyx x I xyzdzdydx dydx x y dydx x dx-------=⎰⎰⎰=⎰⎰=--⎰⎰=-⎰=二. 柱面坐标系中三重积分的计算方法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法．平面上点p 可以用极坐标(,)ρθ来确定，因此空间中的点p 可用数组(,,)z ρθ来表示．显然，空间的点p 与数组(,,)z ρθ之间的对应关系是一一对应关系，数组(,,)z ρθ称为空间点p 的柱面坐标．它与直角坐标的关系为：cos ,sin ,.x y z z ρθρθ=== 构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：ρ=常数：以z 轴为对称轴的同轴圆柱面族；θ=常数：通过z 轴的半平面族；z =常数：与z 轴垂直的平面族.因此每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点．由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标．柱面坐标系下三重积分的计算公式为：2211()(cos ,sin ))()(cos ,sin )(cos ,sin ,),(,,)R z R z dv f z dzd d f x y z θρθρθβαθρθρθρθρθρρθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中的积分限是根据,,z ρθ在区域Ω中的变化范围来确定的．这就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的三次积分公式．例2 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域.解把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域{(,)02,02}.xy D ρθρθπ=≤≤≤≤在xy D 内任取一点(,)ρθ，过此点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式24,02,02z ρρθπ≤≤≤≤≤≤来表示．于是22240022410022621126643(16)2[8].zdxdydz z d d dz d d zdzd d πρπρρθθρρθρρρπρρπΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-⎰⎰=⋅-=6.2 曲面积分6.2.1 常见曲面及方程在解析几何中，曲面或曲线都看作是点的几何轨迹. 如果曲面S 与三元方程 (,,)0F x y z = （1）之间有下述关系：（1）曲面S 上任一点的坐标都是方程（1）的一组解；（2）任一由方程（1）的解构成坐标的点都在曲面S 上，则称方程（1）为曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形. 一. 平面及其方程垂直平面的非零向量称为平面的法向量. 显然，一个平面的法向量有无穷多个，它们之间相互平行. 图6-1已知平面π上一点),,(0000z y x M 和一个法向量),,(C B A n =，建立平面π的方程.设点),,(z y x M 为平面π上一点，因为向量),,(000o z z y y x x M M ---=在平面π上，所以M M n 0⊥（图6-2）由向量垂直的充要条件得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .（2）容易验证，方程（2）是平面π的方程，它称为平面图6-2π的点法式方程.由点法式方程可以看出，任一平面方程都是三元一次方程. 反之，任一三元一次方程)0(0222≠++=+++C B A D Cz By Ax （3）的图形必为平面.事实上任取满足方程（3）的一组数),,(000z y x ，有0000=+++D Cz By Ax （4）（3）－（4），得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，这是过点),,00o z y x （且法向量为),,(C B A n =的平面方程，即任一三元一次方程的图形是一平面. 我们称方程0=+++D Cz By Ax为平面的一般（式）方程，其中 0222≠++C B A .注1: 平面方程中若缺z y x ,,中的某一项，则平面就平行或通过（0=D 时）那项所对应的坐标轴；若缺其中两项，则平面就平行或重合（0=D 时）于那两项所决定的平面. 例1 求通过点)1,1,1(A 和)1,1,2(-B ，且与z 轴平行的平面方程.解因为平面与z 轴平行，可设它的方程为0=++D By Ax ，又点)1,1,1(A 和)1,1,2(-B 在平面内，故⎩⎨⎧=+-=++020D B A D B A ，解方程组得 D B D A 3132-=-=，，代入方程有0)13132(=+--y x D ，注意到平面不通过原点，0≠D ，所以所求平面方程为013132=+--y x ，即032=-+y x .二. 曲面及其方程关于曲面及方程的讨论围绕两个基本问题：（1）已知曲面的形状，建立这个曲面的方程；（2）已知一个三元方程，研究这个方程的图形. 下面以旋转曲面为例来讨论第一个问题:一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫旋转曲面的轴，这条平面曲线叫做旋转曲面的母线.设在yOz 坐标面上有一已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z = 图6-3把这条曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为旋转轴的旋转曲面（图6-3）. 它的方程可以求得如下：设),,0(111z y M 为曲线C 上的任一点，那么有11(,)0f y z = （5）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 也绕z 轴旋转到另一点),,(z y x M ，这时1z z =保持不变，且点M 到z 轴的距离122y y x d =+=将1z z =，221y x y +±=代入（5）式，就有0),(22=+±z y x f . （6）这就是所求旋转曲面的方程.注2: 曲线C 的方程(,)0f y z =中将y 改成22x y ±+，图6-4便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程. 曲线C 绕y 轴旋转所生成的旋转曲面的方程为22(,)0f y x z ±+=.例2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角α（02πα<<）叫圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面（图6-4）的方程. 图6-5 解在yOz 坐标面上，直线L 的方程为cot z y α=，因为旋转轴为z 轴，所以只要将上列方程中的y 改成22x y ±+，便得到这圆锥面的方程22cot z x y α=±+或2222x y a z +=.其中tan a α=.下面研究第二个问题，在已知方程的条件下，怎样才能认清它所表示的曲面的形状？一般来说，由方程出发，使用描点法，往往是比较困难的. 本节将介绍一种认识方程所表示的曲面形状的新方法，称为截痕法，即用一组平行于坐标面的平面“切割”曲面，从所得的截痕的形状及其变化规律，判定由方程所表示的曲面的形状. 下面以椭球面为例进行说明：适当选取空间直角坐标系可得椭圆锥面的方程为 22222x y z a b+=.以平面z t =截此曲面，当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆22221()()x y at bt +=. 当t 变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t 从大到小变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点. 综合上述讨论，可得椭圆锥面的形状如图6-5所示，可视化作图详见Matlab.6.2.2 对面积的曲面积分一. 对面积的曲线积分的概念与性质沿曲面分布的质量当质量μ分布在某一曲面块S （设密度函数),(y x ρ在S 上连续）时，类似于本章第一节中求非均匀分布立体质量的四个步骤得到曲面块S 的质量μ就是下列和的极限：lim→=λM ∑=ni 1ρ(iiiζηξ,,)i S ∆．其中λ表示n 小块曲面的直径的最大值．在其他问题中也会遇到求这样的和的极限，如果抽去它们的具体意义，就得出对面积的曲面积分的概念．定义6.2 设曲面∑是光滑的，函数f (x , y , z )在∑上有界，把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也代表第i 小块曲面的面积)，设(i i i ζηξ,,)是i S ∆上任意取定的一点，作乘积f (i i i ζηξ,,)i S ∆(i = 1, 2, …, n )，并作和∑=ni f 1(iiiζηξ,,)i S ∆．如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f (x , y , z )在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作⎰⎰∑dS z y x f ),,(，即⎰⎰∑dS z y x f ),,(=0lim →λ∑=ni f 1(ii i ζηξ,,)i S ∆，其中f (x , y , z )叫做被积函数，∑叫做积分曲面．在这里我们指出，当f (x , y , z )在光滑曲面∑上连续时，对面积的积分是存在的．根据对面积的曲面积分的定义，面密度为连续函数ρ(x , y , z )的光滑曲面∑的质量M ，可表示为ρ(x , y , z )在∑上对面积的曲面积分M =⎰⎰∑dS z y x ),,(ρ．由对面积的曲面积分的定义可知，它具有与后节中对弧长的曲线积分类似的性质，这里不再赘述.二. 对面积的曲面积分的计算法设积分曲面∑由方程z = z (x , y )给出，∑在xOy 面上的区域为D xy (图6-6)，函数z = z (x , y )在D xy 上具有连续偏导数，被积函数f (x , y , z )在∑上连续．由对面积的曲面积分的定义，有⎰⎰∑dS z y x f ),,(=0lim→λ∑=ni f 1(i i i ζηξ,,)i S ∆． (7)设∑上第i 小块曲面i S ∆(它的面积也记作i S ∆)在xOy 面上的投影区域为xy i )(σ∆(它的面积也记作xy i )(σ∆)，则(7)式中的i S ∆可表示为二重积分：i S ∆=⎰⎰∆++xyi dxdy y x z y x z y x )(22),(),(1σ．利用二重积分的中值定理，上式又可写成i S ∆=xy i i i y i i xz z )()','()','(122σηξηξ∆++，其中(','i i ηξ)是小闭区域xy i )(σ∆上的一点．又因(i i i ζηξ,,)是∑上的一点，故i ξ= z (i i ηξ,)，图6-6xzO y),,(i i i ζηξi S ∆∑：z = z (x , y )()i i ηξ,xy i )(σ∆D xy这里(i i ηξ,)也是小闭区域xy i )(σ∆上的点，于是∑=ni f 1(iiiζηξ,,)i S ∆=∑=ni f 1[iiηξ,, z (iiηξ,)]xy i i i y i i x z z )()','()','(122σηξηξ∆++．由于函数f (x , y , z (x , y ))以及函数),(),(122y x z y x z y x ++都在闭区域D xy 上连续，当0→λ时，上式右端的极限与∑=ni f 1[iiηξ,, z (iiηξ,)]xy i i i y i i x z z )()','()','(122σηξηξ∆++的极限相等，这个极限在开始所给的条件下是存在的，它等于二重积分⎰⎰++xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f ),(),(1)],(,,[22，因此左端的极限即曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(也存在，且有⎰⎰∑dS z y x f ),,(=⎰⎰++xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f ),(),(1)],(,,[22． (8) 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的公式．显然，在计算时，只要把变量z 换为z (x , y )，曲面的面积元素dS 换为dxdy y x z y x z y x ),(),(122++，再确定∑在xOy 面上的投影区域D xy ，就可以化为二重积分计算了．如果积分曲面∑由方程x = x (y , z )或y = y (x , z )给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分．例3 计算曲面积分⎰⎰∑z dS，其中∑是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2被平面z = h ，(0<h <a )截出的顶部 (图6-7)．解 ∑的方程为222y x a z --=，∑在xOy 面上的投影区域D xy 为圆形区域：x 2+ y 2≤a 2–h 2，又221y x z z ++=222yx a a --，根据公式(8)，有⎰⎰∑z dS =⎰⎰--xyD y x a adxdy 222．利用极坐标，得图6-7xO yz ha aa D xy∑z OyD xy111⎰⎰∑z dS =⎰⎰-xyD r a ardrd 22θ=⎰⎰--2202220h a r a rdr d a πθ =haa r a a h a ln 2)ln(21222022ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---．例4 计算⎰⎰∑xyzdS (⎰⎰表示在闭曲面∑上的积分)，其中∑是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z = 1所围成的四面体的的整个边界曲面(图6-8)．解整个边界曲面∑在平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z = 1上的部分依次记为∑1，∑2，∑3，∑4，于是⎰⎰∑xyzdS =⎰⎰∑1xyzdS +⎰⎰∑2xyzdS +⎰⎰∑3xyzdS +⎰⎰∑4xyzdS ．由于在∑1，∑2，∑3上，被积函数f (x , y , z ) = xyz 均为零，所以⎰⎰∑1xyzdS =⎰⎰∑2xyzdS =⎰⎰∑3xyzdS = 0．在∑4上，z = 1–x –y ，所以221y x z z ++=22)1()1(1-+-+=3．从而⎰⎰∑xyzdS =⎰⎰∑4xyzdS =⎰⎰--xyD dxdy y x xy )1(3．其中D xy 是∑4在xOy 面上的投影区域，即由直线x = 0，y = 0及x + y + z = 1所围成的闭区域，因此⎰⎰∑xyzdS =⎰⎰---xdy y x y xdx 1010)1(3=⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10103232)1(3dx y y x x x=⎰-⋅1036)1(3dx x x =⎰-+-10433)33(63dx x x x x =1203．6.2.3 对坐标的曲面积分一. 对坐标的曲面积分的概念与性质像本章第三节的线积分一样，面积分也有对坐标的面积分．在对坐标的线积分中，积分路径规定了正负方向．同样，在对坐标的曲面积分中也需给积分曲面规定正负方向．我们一般遇到的曲面都是有两侧的，如果曲面是闭合的，它就有内侧和外侧之分；如果曲面不是闭合的，就有上侧与下侧，左侧与右侧或前侧与后侧之分．在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧．我们可以通过轴面上法向量的指向来定出曲面的侧．例如，对于曲面z = z (x , y )，如果取它的法向量n 的指向朝上，则认为取定曲面的上侧，并以上侧作为正向(或叫正侧)，记作+∑，下侧作为负向(或叫负侧)，记作–∑．对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，则认为取定曲面的外侧，并以外侧作为正向(或叫正侧)，内侧作为负向(或叫负侧)．这种取定法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面．设∑是有向曲面，在∑上取一小块曲面S ∆，把S ∆投影到xOy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy i )(σ∆，假定S ∆上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦cos γ有相同的符号(即cos γ都是正的或都是负的)．我们规定S ∆在xOy 面上的投影xy S )(∆为xy S )(∆=⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆0cos 0,0cos )(,0cos )(γγσγσxyxy其中cos γ≡0也就是xy i )(σ∆= 0的情形．S ∆在xOy 面上的投影xy S )(∆实际就是S ∆在xOy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号．类似地可以定义S ∆在yOz 面及zOx 面上的投影yz S )(∆及zx S )(∆．上面我们对曲面作了一些必要的说明，在此基础上，我们通过计算流向曲面一侧的流量，来引进对坐标的曲面积分的概念．流向曲面一侧的流量设有稳定流动(流速与时间t 无关)的不可压缩的流体(设密度μ=1)流向有向曲面∑的指定侧，并设其流速v 与∑上一点位置有关，要求在单位时间内流向∑指定侧的流体的流量Φ．如图6-9所示，把有向曲面分为n 个小片i S ∆，其面积也用i S ∆(i = 1, 2, …, n )来表示，在每一小片上任取一点(i i i ζηξ,,)，则在单位时间内流过小片i S ∆的流量i ∆Φ近似等于以i i v θcos ||为高，i S ∆为底的柱体体积⋅i i v θcos ||i S ∆．其中i v 是流体流过点(i i i ζηξ,,)的流速，|i v |是它的模，i θ是流速i v 与曲面∑在点(i i i ζηξ,,)的单位法线n i 间的夹角．若令P i 、Q i 、R i 是i v 在坐标轴上的投影， cos i α、cos i β、cos i γ是n i 的方向余弦，则有xzOy∑图6-9i θ),,(i i i ζηξ i S ∆n iv ii ∆Φ≈⋅i i v θcos ||i S ∆= (⋅i v n i ) i S ∆= ( P i cos i α+ Q i cos i β+ R i cos i γ)i S ∆或者 i ∆Φ≈P i yz S )(∆+ Q i zx S )(∆+ R i xy S )(∆，这里yz i )(σ∆≈cos i αi S ∆，zx i )(σ∆≈cos i βi S ∆，xy i )(σ∆≈cos i γi S ∆分别是小片i S ∆在三个坐标平面上的投影(有正负号)．于是总流量近似地等于和∑=ni 1[ P iyz i)(σ∆+ Q izx i )(σ∆+ R i xy i )(σ∆]． (9)当n 无限增大，小片中最大的直径趋于零时，我们定义和(9)的极限为流体在单位时间内流向∑指定侧的流体的流量Φ．这样的极限还会在其他问题中遇到，抽去它们的具体意义，就得出下列对坐标的曲面积分的概念．定义6.3 设∑为光滑的有向曲面，函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在∑上连续，而以P i 、Q i 、R i 表示这三个函数在点(i i i ζηξ,,)的函数值，和(9)中的其余记号意义如上．我们定义和(9)的极限为函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在曲面∑上对坐标的曲面积分，记作⎰⎰∑dydz z y x P ),,(+ Q (x , y , z )dzdx + R (x , y , z )dxdy= 0lim→λ∑=ni 1[ P iyz i)(σ∆+ Q izx i )(σ∆+ R i xy i )(σ∆]．这里λ=|S ∆|是所有小片的直径的最大值．其中P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z ) 叫做被积函数，∑叫做积分曲面．我们指出，当P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在有向光滑曲面∑上连续时，对坐标的曲面积分是存在的．如果∑是分片光滑的有向曲面，我们规定在∑上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和．对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的一些性质. 例如： (1) 如果把∑分成∑1和∑2，则⎰⎰∑Pdydz + Q dzdx + Rdxdy=⎰⎰∑1Pdydz + Q dzdx + Rdxdy +⎰⎰∑2Pdydz + Q dzdx + Rdxdy (10)公式(10)可以推广到∑分成∑1，∑2，…，∑n 几部分的情形．(2) 设∑是有向曲面，–∑表示与∑取相反侧的有向曲面，则⎰⎰∑-Pdydz + Q dzdx + Rdxdy =–⎰⎰∑Pdydz + Q dzdx + Rdxdy (11)公式(11)表示，当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号．因此关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面所取的侧．二. 对坐标的曲面积分的计算法为简便起见，我们先考虑⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(．设积分曲面∑是由方程z = z (x , y )所给出的曲面上侧，z =在xOy 面上的投影区域为D xy ，函数z = z (x , y )在D xy 上具有一阶连续偏导数，被积函数R (x , y , z )在∑上连续．则对坐标的曲面积分的定义，有⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(=0lim →λ∑=ni R 1(ii i ζηξ,,)xy i S )(∆．因为∑取上侧，cos γ>0，所以xy i S )(∆=xy i )(σ∆．又因为(i i i ζηξ,,)是∑上的一点，故i ζ= z (i i ηξ,) ．从而有∑=ni R 1(iiiζηξ,,)xy i S )(∆=∑=ni R 1(,,iiηξ z (iiηξ,))xy i )(σ∆，令0→λ取上式两端的极限，得到⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(． (12)这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式．公式(12)表明，计算曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(时，只要把其中变量z 换为表示∑的函数z (x , y )，然后在∑的投影区域Dxy上计算二重积分就可以了．必须注意，公式(12)的曲面积分是取在曲面∑上侧的．如果曲面积分取在曲面∑下侧，这时cos γ<0，那么xy i S )(∆=–xy i )(σ∆，从而有⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(=–⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(． (13)类似地，如果∑由x = x (y , z )给出，则有⎰⎰∑dydz z y x P ),,(=±⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((． (14)等式右端的符号这样决定：如果积分曲面∑是由方程x = x (y , z )所给出的曲面前侧，即cos α>0，应取正号；反之，如果∑取后侧，即cos α<0，应取负号．类似地，如果∑由y = y (z , x )给出，则⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(=±⎰⎰zxD dzdx z x z y x P )),,(,(． (15)等式右端的符号这样决定：如果积分曲面∑是由方程y = y (z , x )所给出的曲面右侧，即cos β>0，应取正号；反之，如果∑取左侧，即cos β<0，应取负号．值得注意的是，上述讨论是在平行于坐标轴的直线交曲面∑不多于一点，即表示曲面∑的函数是单值函数．如果平行于坐标轴的直线交曲面多于一点，可以把它分为几部分，使得每一部分均满足条件，然后对每一部分应用上述公式，再把结果加起来，就得在整个曲面∑上的曲面积分的值．例5 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，曲面∑是在x ≥0，y ≥0时球面x 2 + y 2 + z 2 = 1的四分之一的外侧．解如图6-10所示，把曲面∑分为成∑1和∑2两部分， ∑1的方程为2211y x z ---=，∑2的方程为2221y x z --=．于是⎰⎰∑xyzdxdy =⎰⎰∑2xyzdxdy +⎰⎰∑1xyzdxdy．图 6-10上式右端的第一个积分的积分曲面∑2取上侧，第二个积分的积分曲面∑1取下侧，因此应用公式(12)及(13)化为二重积分，就有⎰⎰∑xyzdxdy =⎰⎰--xyD dxdy y x xy221–⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221= 2⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221，其中D xy 是∑1及∑2在xOy 面上的投影区域，就是位于第一象限内的扇形x 2 + y 2 ≤1(x ≥0，y ≥0)．利用极坐标计算这个二重积分如下：2⎰⎰--xy D dxdy y x xy 221= 2⎰⎰-xyD rdrd r r θθθ221cos sin =⎰⎰-1232012sin dr r r d πθθ=1521⋅=152．从而⎰⎰∑xyzdxdy =152．例6 计算曲面积分⎰⎰∑-dydz z x y )(+dzdx x 2+dxdy xz y)(2+，其中∑是图6-11中正立方体的外侧．解把有向曲面∑分成以下6大部分：∑1：x = a (0≤y ≤a ，0≤z ≤a )的前侧； ∑2：x = 0 (0≤y ≤a ，0≤z ≤a )的后侧；xz y1Σ1O11–1 Σ2zyO1Σ1Σ2Σ3Σ5Σ4Σ6(0, 0, a )(0, a , 0)∑3：y = a (0≤x ≤a ，0≤z ≤a )的左侧； ∑4：y = 0 (0≤x ≤a ，0≤z ≤a )的右侧； ∑5：z = a (0≤x ≤a ，0≤y ≤a )的上侧； ∑6：z = 0 (0≤x ≤a ，0≤y ≤a )的下侧．其中平面∑1和∑2在xOy 面和zOx 面上的投影等于零，平面∑3和∑4在xOy 面和yOz 面上的投影等于零，平面∑5和∑6在yOz 面和zOx 面上的投影等于零．所以由公式(14)得⎰⎰∑-dydz z x y )(=⎰⎰∑-1)(dydz z x y +⎰⎰∑-2)(dydz z x y=⎰⎰-yzD dydz z a y )(–⎰⎰-yzD dydz z y )0(=⎰⎰-a ady z a y dz 0)(+⎰⎰aa yzdy dz 0=444214141a a a =+；由公式(15)得⎰⎰∑dzdx x 2=⎰⎰∑32dzdx x +⎰⎰∑42dzdx x =⎰⎰zx D dzdx x 2–⎰⎰zxD dzdx x 2= 0．由公式(12) 及(13)得⎰⎰∑+dxdy xz y )(2=⎰⎰∑+5)(2dxdy xz y +⎰⎰∑+6)(2dxdy xz y =⎰⎰+xyD dxdy ax y )(2–⎰⎰⋅+xyD dxdy x y )0(2=⎰⎰+a adx ax y dy 020)(–⎰⎰aa dx y dy 020=23165444a a a =-．于是，最后得到⎰⎰∑-dydz z x y )(+dzdx x 2+dxdy xz y)(2+=24a + 0 +24a =4a ．例7 计算曲面积分⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy ，∑为柱面x 2 + y 2= 1被平面z = 0及z = 3所截部分的外侧．解如图6-12所示，显见，∑在xOy 平面上的投影等于零，即⎰⎰∑zdxdy = 0．又因为∑：21y x -±=在yOz 平面上的投影为矩形区域，它可表示为图6-12x O yz Σ30≤z ≤3，–1≤y ≤1，所以⎰⎰∑xdydz =⎰⎰-yzD dydz y 21–⎰⎰--yzD dydz y 21=⎰⎰--1123012dy y dz=⎰-12112dy y =12arcsin 211212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-y y y=π3．由对称性，可知⎰⎰∑ydzdx =π3．那么⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy =0 +π3+ππ63=．三. 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑由方程z = z (x , y )给出，∑在xOy 面上的投影区域为D xy ，函数z = z (x , y )在D xy 上具有一阶连续偏导数， R (x , y , z )在∑上连续，如果∑取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式(12)有⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(．另一方面，因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为221cos yxx z z z ++-=α，221cos yxy zz z ++-=β2211cos yxzz ++=γ，而曲面的面积元素dS 为dS =dxdy z z y x 221++，由此可见，有⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(=⎰⎰∑dS z y x R γcos ),,(． (16)如果取下侧，则由公式(13)有⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(=–⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(，但这时2211cos yxzz ++-=γ，因此公式(16)仍然成立．类似地可推得⎰⎰∑dydz z y x P ),,(=⎰⎰∑dS z y x P αcos ),,(． (17)⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰∑dS z y x Q βcos ),,(． (18)合并(16)、(17)、(18)三式，得两类曲面积分之间有如下联系：⎰⎰∑Pdydz + Q dzdx + Rdxdy =⎰⎰∑++dS R Q P )cos cos cos (γβα． (19)其中cos α、cos β、cos γ是有向曲面∑上点(x , y , z )处的法向量的方向余弦．例8 计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面z = 0及z = 2之间的部分的下侧．解如图6-13所示，根据两类曲面积分之间的联系公式(17)，可得⎰⎰∑+dydz x z )(2 =⎰⎰∑+dS x z αcos )(2=⎰⎰∑+dxdy x z γαcos cos )(2，在曲面∑上，有221cos yx x ++=α，2211cos yx ++-=γ，故⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z)(2=[]⎰⎰∑--+dxdy z x x z ))((2．再按对坐标的曲面积分的计算法，便得⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2 =⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-xy D dxdy y x x x y x )(21)()(4122222．注意到0)(41222=+⎰⎰xyD dxdy y x x ，故 ⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xy D dxdy y x x )(21222 =⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+202222021cos rdr r r d θθπ=π8．图6-13xO yz 2ΣΣ6.2.4 曲面积分的应用一. 高斯公式高斯(Gauss)公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：定理 6.1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成, 函数),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P 、、在Ω上具有一阶连续偏导数, 则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P )(, (20) 或dS R Q P dv z R y Q xP )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂γβα, (21)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos cos cos 、、是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦，公式(20)或（21）叫做高斯公式.简要证明设Ω是一柱体, 上边界曲面为∑1: z =z 2(x , y ), 下边界曲面为∑2: z =z 1(x , y ), 侧面为柱面∑3, ∑1取下侧, ∑2取上侧; ∑3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂ΩxyD y x z y x z dz zRdxdy dv z R),(),(21⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12.另一方面, 有⎰⎰⎰⎰∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,⎰⎰⎰⎰∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R ,⎰⎰∑=30),,(dxdy z y x R ,以上三式相加, 得⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12.所以⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂dxdy z y x R dv z R ),,(. 类似地有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂dydz z y x P dv x P ),,(,⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂dzdx z y x Q dv y Q),,(,把以上三式两端分别相加, 即得高斯公式. 例9 利用高斯公式计算曲面积分xdydz z y dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑, 其中∑为柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解这里P =(y -z )x , Q =0, R =x -y ,z y xP -=∂∂, 0=∂∂y Q , 0=∂∂z R .由高斯公式, 有dydz z y dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=-=dz d d z dxdydz z y θρρθρ)sin ()(29)sin (201030πθρρρθπ-=-=⎰⎰⎰dz z d d .例10 计算曲面积分dS z y x )cos cos cos (222γβα++⎰⎰∑, 其中∑为锥面x 2+y 2=z 2介于平面z =0及z =h (h >0)之间的部分的下侧, cos α、cos β、cos γ是∑上点(x , y , z )处的法向量的方向余弦.解设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, 则∑与∑1一起构成一个闭曲面, 记它们围成的空间闭区域为Ω, 由高斯公式得dS z y x )cos cos cos (222γβα++⎰⎰∑⎰⎰⎰≤++++=22222)(2h y x h y x dz z y x dxdy ⎰⎰⎰≤++=222222h y x h y x zdz dxdy⎰⎰≤+--=222)(222h y x dxdy y x h 421h π=提示:0)(22222=+⎰⎰⎰≤++h y x h y x dz y x dxdy .而42222222211)cos cos cos (h dxdy h dS z dS z y x h y x πγβα===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑,因此4442222121)cos cos cos (h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑. 提示: 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, .例11 设函数u (x , y , z )和v (x , y , z )在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数, 证明⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dxdydz zv z u y v y u x v x u dS n v u vdxdydz u )(, 其中∑是闭区域Ω的整个边界曲面, nv ∂∂为函数v (x , y , z )沿∑的外法线方向的方向导数, 符号222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆, 称为拉普拉斯算子. 这个公式叫做格林第一公式. 证因为方向导数γβαcos cos cos zv y v x v n v ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂, 其中cos α、cos β、cos γ是∑在点(x , y , z )处的外法线向量的方向余弦. 于是曲面积分⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂+∂∂+∂∂=∂∂dS z vy v x v u dS n v u )cos cos cos (γβα⎰⎰∑∂∂+∂∂+∂∂=dS zv u y v u x v u ]cos )(cos )(cos )[(γβα.利用高斯公式, 即得⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂dxdydz zv u z y v u y x v u x dS n v u )]()()([ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=dxdydz zv z u y v y u x v x u vdxdydz u )(, 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.*二. 通量与散度高斯公式的物理意义: 将高斯公式 dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂γβα 改写成⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂+∂∂+∂∂dS v dv z R y Q x P n)(, 其中v n =v ⋅n =P cos α +Q cos β +R cos γ, n ={cos α , cos β , cos γ}是∑在点(x , y , z )处的单位法向量. 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量, 左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量. 散度:设Ω的体积为V , 由高斯公式得⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂+∂∂+∂∂dS v V dv z R y Q x P V n1)(1, 其左端表示Ω内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得 ⎰⎰∑=∂∂+∂∂+∂∂dS v V z R y Q x P n1|)(),,(ζηξ.令Ω缩向一点M (x , y , z )得⎰⎰∑→Ω=∂∂+∂∂+∂∂dS v V z R y Q x P nM 1lim . 上式左端称为v 在点M 的散度, 记为div v , 即 zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=v div .其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量. 一般地, 设某向量场由A (x , y , z )=P (x , y , z )i +Q (x , y , z )j +R (x , y , z )k给出, 其中P , Q , R 具有一阶连续偏导数, ∑是场内的一片有向曲面, n 是∑上点(x , y , z )处的单位法向量, 则dS n A ⋅∑⎰⎰叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量(或流量), 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂叫做向量场A 的散度, 记作div A , 即zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=A div .高斯公式的另一形式:dS dv ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⋅=n A A div , 或⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=dS A dv n A div ,其中∑是空间闭区域Ω的边界曲面, 而 A n =A ⋅n =P cos α+Q cos β+R cos γ 是向量A 在曲面∑的外侧法向量上的投影. 三. 斯托克斯公式斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线积分联系起来. 这个联系可陈述如下：定理6.2 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, ∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑ 的侧符合右手规则, 函数),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P 、、在曲面∑(连同边界)上具有一阶连续偏导数, 则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂∑⎰⎰⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx .上述公式叫做斯托克斯公式. 记忆方式:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz ,或 ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQ P zy x γβαcos cos cos ,其中n =(cos α , cos β , cos γ)为有向曲面∑的单位法向量. （证明从略）讨论: 如果∑是xOy 面上的一块平面闭区域, 斯托克斯公式将变成什么?例12 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx , 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解一按斯托克斯公式, 有⎰⎰⎰∑Γ++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx .。