函数零点存在性定理基础题

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函数零点判断定理专题含答案

函数零点判断定理专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 方程e x+8x−8=0的根所在的区间为( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)2. 函数f(x)=e x+x3−9的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3. 函数f(x)=log3x+x3−9的零点所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4. 函数f(x)=2x +ln1x的零点所在的大致区间为( )A.(1, 2)B.(2, 3)C.(3, 4)D.(1, 2)与(2, 3)5. 函数f(x)=x−log527的零点所在的区间为()A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(3,4)6. 函数f(x)=e x+2x−5的零点所在的区间是( )A.(3, 4)B.(2, 3)C.(0, 1)D.(1, 2)7. 在下列区间中函数f(x)=2x−4+3x的零点所在的区间为( )A.(12,1) B.(0,12) C.(1,32) D.(1, 2)8. 函数f(x)=e x+2x−5的零点所在的区间是（）A.(3, 4)B.(2, 3)C.(0, 1)D.(1, 2)9. 函数f(x)=ln x−2x的零点所在的大致区间为( )A.(1, 2)B.(2, 3)C.(e, 3)D.(e, +∞)10. 已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)11. 若函数f (x )=2x +x −4的零点所在区间为(k,k +1)(k ∈Z )，则k 的值是（）A.1B.2C.3D.412. 已知函数f (x )=ln (√1+x 2−x)，若不相等的正实数a ，b 满足f (a )+f (b −52)=0，且a ，b 恰为函数g (x )=|ln x|−k 的两个零点，则k =（）A.52B.ln3C.1D.ln213. 函数f(x)＝e x +x −3在区间(0, 1)内零点有________个．14. 若函数f(x)=2−x −x +3的零点为x 0，满足x 0∈(k, k +1)且k ∈Z ，则k =________．15. 函数f(x)={x 2−2|x|+12，x ≤0，|lg x|−1,x >0，的零点个数为________.16. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4,x ≥λ,x 2−4x +3,x <λ．当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．17. 已知函数y =f(x)是R 上的连续可导函数，且xf′(x)+f(x)>0，则函数g(x)=xf(x)+1(x >0)的零点个数为________.18. 若函数f (x )=(x 2+ax +2a )e x 在区间(−2,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.19. 若函数f(x)=2ln x +x 2+a −2在上(1, e)有零点，则实数a 的取值范围为________．20. 已知函数f(x)={|lg (−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0若关于x 的函数y =f 2(x)−bf(x)+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．21. 已知函数f(x)=ax 2−x −a −ln x .(1)若f(x)在其定义域上单调递减，求a 的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0，1)恰有一个零点.22. 已知函数（）且.（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.23. 已知函数f(x)＝ax2+2x+1(a∈R)有唯一零点．（1）求a的值；（2）当x∈[−2, 2]时，求函数f(x)的值域．,a∈R．24. （2019上海卷）已知f(x)=ax+1x+1当a=1时，求不等式f(x)+1<f(x+1)的解集；若f(x)在x∈[1,2]时有零点，求a的取值范围．25. 设函数f k(x)=2x+(k−1)⋅2−x(x∈R,k∈Z)．（1）设不等式f0(x)+mf1(x)≥4在x∈[0, 1]上恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数g(x)＝λf0(x)−f2(2x)在x∈[1, +∞)上有零点，求实数λ的取值范围．26.x2−ax，其中e为自然对数的底数.已知函数f(x)=xe x−a2(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)=ex在x∈(0，+∞)上有唯一解，求实数a的取值范围.27. 已知函数f(x)=ax2−4x+2．(1)若f(x)的值域为[0,+∞)，求a的值．(2)若a≤1，是否存在实数a，使函数y=f(x)−log2x8在[1,2]内有且只有一个零点．若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．28. 已知函数f(x)=ln(x+m)−xe−x．(1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y=0平行，求m的值；(2)在(1)的条件下，证明：当x>0时，f(x)>0；(3)当m>1时，求f(x)的零点个数．29. 已知函数f(x)=ae x(a∈R).(1)若直线y=x−1与曲线y=f(x)相切，求a的值；(2)当a=1时，求证：当x>0时，f(x)>x ln x+x2+1恒成立．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，e2≈7.39）30. 已知f(x)=(x3−ax+1)ln x．(1)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为x1，x2，x3且x1<x2<x3，当x1+x3>2时，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析函数零点判断定理专题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：令函数f(x)=e x+8x−8，则方程e x+8x−8=0的根即为函数f(x)的零点，再由f(0)=1−8=−7<0，f(1)=e>0，可得函数f(x)在(0,1)上有零点.故选C.2.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】根据零点存在性定理，由f(x)=e x+x3−9为增函数，带入相关数值判断即可得解．【解答】解：由e x为增函数，x3为增函数，故f(x)=e x+x3−9为增函数，由f(1)=e−8<0，f(2)=e2−1>0，根据零点存在性定理可得∃x0∈(1,2)使得f(x0)=0.故选B．3.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】首先根据函数解析式得到函数单调性，再通过计算得到f(2)<0，f(3)>0，由零点存在定理即可求解.【解答】解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且函数在(0, +∞)上单调递增，∵f(2)=log32−1<0，f(3)=1+27−9=19>0,∴由函数的零点存在定理可知，f(x)在区间(2,3)存在唯一零点. 故选C.4.B【考点】函数零点的判定定理【解析】显然该函数在定义域内是减函数，所以至多有一个零点，故排除D，然后利用零点存在性定理判断即可．【解答】解：f(1)=2>0；f(2)=1+ln12=1−ln2>0；f(3)=23+ln13=ln(13×√e23)，因为(13×√e23)3=e227<1，故f(3)<0．故f(2)⋅f(3)<0，故零点所在的大致区间为(2, 3)．故选B．5.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】解：因为2<log527<3，所以f(x)的零点所在的区间为(2,3)．故选A .6.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】由零点存在性定理即可得出选项．【解答】解：由函数f(x)=e x+2x−5为连续函数，且f(1)=e+2−5=e−3<0，f(2)=e2+4−5=e2−1>0，所以零点所在的区间为(1,2).故选D.7.【答案】A【考点】函数零点的判定定理由已知函数解析式求得f(12)<0，f(1)>0，结合函数零点存在定理得答案．【解答】解：函数f(x)=2x −4+3x ，∵ f(12)=2×12−4+312=−3+√3<0，f(1)=2×1−4+3=1>0，满足f(12)f(1)<0．∴ 函数f(x)=2x −4+3x 的零点所在的区间为(12,1)．故选A ．8.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】由零点存在性定理即可得出选项．【解答】解：由函数f (x )=e x +2x −5为连续函数，且f (1)=e +2−5=e −3<0，f (2)=e 2+4−5=e 2−1>0，所以零点所在的区间为(1,2).故选D .9.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵ f ′(x)=1x +2x 2，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ f(2)=ln 2−1<0，f(3)=ln 3−23>0， ∴ f(2)⋅f(3)<0，则函数f(x)在区间(2, 3)内存在零点.故选B .10.【答案】B函数零点的判定定理【解析】由a>1可得函数f(x)的单调性，然后由已知判断f(−1)、f(0)的符号，最后由函数零点存在性定理得答案．【解答】解：∵a>1，∴函数f(x)=a x+x−b为增函数，又∵0<b<1，∴f(−1)=1−1−b<0，f(0)=1−b>0，a∴函数f(x)=a x+x−b在(−1, 0)内有零点.故选B．11.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】易知函数f(x)=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，从而利用零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f(x)=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，且f(1)=2+1−4<0，f(2)=22+2−4>0，故f(1)f(2)<0故函数f(x)=2x+x−4的零点在区间(1,2)上，故k=1.故选A．12.【答案】D【考点】函数的零点函数零点的判定定理【解析】=0，再由a，b恰为函数g(x)=|ln x|−k的两个由函数奇偶性及单调性可得a+b−52零点，可得|ln a|=|ln b|，求解即可.【解答】解：由f(x)=ln(√1+x2−x)，可得f(x)+f(−x)=0，且f(x)在R上为减函数，)=0，又正实数a，b满足f(a)+f(b−52=0，因为a，b恰为函数g(x)=|ln x|−k的两个零点．所以a+b−52所以g (a )=|ln a|−k =0，g (b )=|ln b|−k =0．则|ln a|=|ln b|即ln a =ln b （舍去），或ln a =−ln b ，故ab =1，可得a =2，b =12或b =2，a =12，故k =ln 2．故选D ．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）13.【答案】1【考点】函数零点的判定定理【解析】利用函数的单调性，结合零点判断定理，推出结果即可．【解答】函数f(x)＝e x +x −3在区间(0, 1)内是连续增函数，f(0)＝1+0−3＝−2<o ，f(1)＝e +1−3＝e −2>0，f(0)f(1)<0，所以函数f(x)＝e x +x −3在区间(0, 1)内零点有1个．故答案为：1．14.【答案】3【考点】函数零点的判定定理【解析】根据题意，分析可得f(x)为减函数，进而计算f(3)、f(4)的值，分析可得f(3)f(4)<0，由函数零点判定定理可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2−x −x +3，分析可得f(x)为减函数.又f(3)=2−3−3+3=18>0，f(4)=2−4−4+3=−1516<0，所以f(3)f(4)<0，则函数f(x)的零点在(3, 4)上，则k =3.故答案为：3.15.【答案】4【考点】函数零点的判定定理【解析】由题意得：f(x)−g(x)>0在[1, e]上有解，分离参数，求最值，即可求出实数a 的范围．【解答】解：方程|lg x|=1，(x >0)有两个根10，110；方程x 2−2|x|+12=0 (x ≤0)⇒x 2+2x +12=0 (x ≤0) ⇒x =−2±√22<0，故有4个根.故答案为：4.16.【答案】(1,4),(1,3]∪(4,+∞)【考点】函数零点的判定定理函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】当λ=2时，由f (x )<0得{x −4<0x ≥2’或{x 2−4x +3<0x <2,’解得2≤x <4或1<x <2，所以f (x )<0的解集为(1,4)．由x −4=0得x =4，由x 2−4x +3=0得x =1或x =3，因为函数f(x )恰有2个零点，所以{4>λ1<λ3≥λ，或{4<λ1<λ3<λ，解得1<λ≤3或λ>4．本题考查分段函数的性质．求解分段函数问题，要根据自变量的值分别讨论函数在每一段上的性质．17.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】根据函数与方程的关系，得到xf(x)=−1(x >0)，构造函数ℎ(x)=xf(x)，求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围进行求解即可．【解答】解：由g(x)=xf(x)+1=0，得xf(x)=−1(x >0)，设ℎ(x)=xf(x)，则ℎ′(x)=f(x)+xf′(x)，∵ xf′(x)+f(x)>0，∴ ℎ′(x)>0，即函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增.∵ ℎ(0)=0⋅f(0)=0，∴ 当x >0时，ℎ(x)>ℎ(0)=0，∴ ℎ(x)=−1无解，∴ 函数g(x)=xf(x)+1(x >0)的零点个数为0个.故答案为：0.18.【答案】(−34,0]【考点】利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】先求导，由题意得到则f′(x)=[x2+(a+2)x+3a]e x=0在(−2,1)上仅有一个解，设g(x)=x2+(a+2)x+3a，利用零点存在定理进行求解即可.【解答】解：∵函数f(x)=(x2+ax+2a)e x，∴f′(x)=[x2+(a+2)x+3a]e x.要使函数f(x)=(x2+ax+2a)e x在(−2,1)上仅有一个极值点，则f′(x)=[x2+(a+2)x+3a]e x=0在(−2,1)上仅有一个变号零点，即x2+(a+2)x+3a=0在(−2,1)上仅有一个变号零点.设g(x)=x2+(a+2)x+3a，则g(−2)g(1)<0，即a(4a+3)<0，解得−34<a<0.当a=0，f′(x)=(x2+2x)e x=0在(−2,1)上仅有一个解，满足题意，综上所述：−34<a≤0.故答案为：(−34,0].19.【答案】(−e2, 1)【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数的单调性，结合零点判断定理，列出不等式组，求解即可．【解答】函数f(x)=2ln x+x2+a−2在(1, e)上是增函数，所以函数f(x)=2ln x+x2+a−2在(1, e)上有零点，可得(1+a−2)(2+e2+a−2)<0，解得：−e2<a<1，则实数a的取值范围为：(−e2, 1)．20.【答案】(2, 17 4 ]【考点】函数零点的判定定理【解析】作函数f(x)={|lg (−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0 的图象，从而可得方程x 2−bx +1=0有2个不同的正解，且在(0, 4]上，从而解得．【解答】作函数f(x)={|lg (−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0 的图象如右图，∵ 关于x 的函数y =f 2(x)−bf(x)+1有8个不同的零点， ∴ 方程x 2−bx +1=0有2个不同的正解，且在(0, 4]上； ∴ { 1>0b2>0△=b 2−4>016−4b +1≥0 ，解得，20时，2ax 2−x −1≤0恒成立，解得a ≤0，即a 的取值范围为(−∞，0]. (2)证明：当a ≤0时，由于f(x)在区间(0，+∞)单调递减，且f(1)=−1<0， f (1e )=a e 2−1e −a +1 =(1−1e )[1−a (1+1e)]>0，所以f(x)在区间(0，1)恰有一个零点；当a >0时，由于f ′(x)=2ax 2−x−1x,且方程2ax 2−x −1=0在区间(0，+∞)有唯一的实根x 0，从而f(x)在区间(0，x 0)单调递减，在区间(x 0，+∞)单调递增，注意到f(1)=−1<0，所以f(x)区间(0，1)的零点个数不超过1个. ①当0<a ≤1时，由于f (1e 2)=ae 4−1e 2−a +2>2−a −1e 2>0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点； ②当a >1时，由于f (1e 2a )=ae 4a −1e 2a −a +2a >a −1e 2a >0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点. 综上，f(x)在区间(0，1)恰有一个零点. 【考点】简单复合函数的导数函数零点的判定定理函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由于f(x)的定义域为(0，+∞)，且f ′(x)=2ax 2−x−1x，所以如果f(x)单调递减，则当x >0时，2ax 2−x −1≤0恒成立，解得a ≤0，即a 的取值范围为(−∞，0]. (2)证明：当a ≤0时，由于f(x)在区间(0，+∞)单调递减，且f(1)=−1<0， f (1e )=a e 2−1e −a +1 =(1−1e )[1−a (1+1e)]>0，所以f(x)在区间(0，1)恰有一个零点；当a >0时，由于f ′(x)=2ax 2−x−1x,且方程2ax 2−x −1=0在区间(0，+∞)有唯一的实根x 0，从而f(x)在区间(0，x 0)单调递减，在区间(x 0，+∞)单调递增，注意到f(1)=−1<0，所以f(x)区间(0，1)的零点个数不超过1个.①当0<a≤1时，由于f(1e2)=ae4−1e2−a+2>2−a−1e2>0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点；②当a>1时，由于f(1e2a )=ae4a−1e2a−a+2a>a−1e2a>0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点.综上，f(x)在区间(0，1)恰有一个零点.22.【答案】（1）2；（2）k<1.【考点】函数的零点函数零点的判定定理由函数零点求参数取值范围问题【解析】（1）代入f(0)=0，解得α的值；（2）化简函数g(x)得2x−1+k，再根据指数函数图像确定实数k的取值范围．【解答】（1）对于函数f(x)=1−42a x+a (a>0,a≠1)，由f(0)=1−42+3=0求得a=2，故f(x)=1−42⋅2x+2=1−22x+1（2）若函数g(x)=(2x+1)⋅(x)+k=2x+1−2+k=2x−1+k有零点，则函数y=2x的图象和直线y=1−k有交点，∴1−k>0，求得k<123.【答案】当a＝0时，f(x)＝2x+1，符合题意；当a≠0时，要使f(x)＝ax2+2x+1有唯一零点，∴△＝4−4a＝0，∴a＝1．综合可得a＝0或a＝1；当a＝0时，f(x)＝2x+1(a∈R)，x∈[−2, 2]时，−3≤2x+1≤5，∴值域为[−3, 5]；当a≠0时，∵f(x)＝ax2+2x+1(a∈R)有唯一零点，∴△＝4−4a＝0，∴a＝1，∴ f(x)＝ax 2+2x +1＝x 2+2x +1＝(x +1)2， ∴ x ∈[−2, 2]时，0≤f(x)≤9，即值域为[0, 9]．故当a ＝0时，值域为[−3, 5]．当a ≠0时，值域为[0, 9]．【考点】函数零点的判定定理二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）讨论当a ＝0时f(x)＝2x +1＝0符合，当a ≠0时，△＝0；（2）当a ＝0时求出值域，当a ≠0时求出值域即可．【解答】当a ＝0时，f(x)＝2x +1，符合题意；当a ≠0时，要使f(x)＝ax 2+2x +1有唯一零点， ∴ △＝4−4a ＝0， ∴ a ＝1．综合可得a ＝0或a ＝1；当a ＝0时，f(x)＝2x +1(a ∈R)，x ∈[−2, 2]时，−3≤2x +1≤5， ∴ 值域为[−3, 5]；当a ≠0时，∵ f(x)＝ax 2+2x +1(a ∈R)有唯一零点， ∴ △＝4−4a ＝0， ∴ a ＝1，∴ f(x)＝ax 2+2x +1＝x 2+2x +1＝(x +1)2， ∴ x ∈[−2, 2]时，0≤f(x)≤9，即值域为[0, 9]．故当a ＝0时，值域为[−3, 5]．当a ≠0时，值域为[0, 9]． 24.【答案】{x|−2<x <−1} [−12,−16] 【考点】分式不等式的解法利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】当a =1时，f (x )=x +1x+1，则f (x +1)=x +1+1x+2．不等式f (x )+1<f (x +1)可化为x +1+1x+1<x +1+1x+2，即1x+1<1x+2，即1x+1−1x+2<0，即1(x+1)(x+2)<0，所以−2<x <−1．所以不等式f (x )+1<f (x +1)的解集为{x|−2<x <−1}．因为f (x )在区间[1,2]时有零点，所以关于x 的方程ax +1x+1=0在区间[1,2]上有实数解，所以a =−1x (x+1)，x ∈[1,2]．令g (x )=−1x (x+1)．易得g (x )=−1x (x+1)在[1,2]上单调递增，所以g (x )∈[−12,−16]．所以a 的取值范围是[−12,−16]．25.【答案】∵ f 0(x)+mf 1(x)≥4， ∴ 2x −2−x +m ⋅2x ≥4，即m ≥4−2x +2−x2x=(12x )2+42x −1，令t =12x ，ℎ(t)＝t 2+4t −1， ∵ x ∈[0, 1]，∴ t ∈[12, 1]，∴ 当t ＝1时ℎ(t)取得最大值4． ∴ m ≥4．g(x)＝λf 0(x)−f 2(2x)＝λ(2x −2−x )−(22x +2−2x )，令g(x)＝0可得λ=22x +2−2x 2x −2−x=2x −2−x +22x −2−x，令p(x)＝2x −2−x ，显然p(x)为增函数，故p(x)在[1, +∞)上的值域为[32, +∞)．由对勾函数单调性可知当p(x)=32时，λ取得最小值32+43=176．∴ λ的取值范围是：[176,+∞)．【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题函数零点的判定定理【解析】（1）分离参数得：m ≥(12x )2+42x −1，利用换元法t =12x ，求出函数ℎ(t)＝t 2+4t −1的最大值即可得出m 的取值范围；（2）令g(x)＝0可得λ＝2x −2−x +22x −2−x，令p(x)＝2x −2−x ，得出p(x)的值域，再根据对勾函数的性质求出λ＝2x −2−x +22x −2−x 的值域，从而得出λ的范围．【解答】∵ f 0(x)+mf 1(x)≥4， ∴ 2x−2−x+m ⋅2x≥4，即m ≥4−2x +2−x2x=(12x )2+42x −1，令t =12x，ℎ(t)＝t 2+4t −1，∵ x ∈[0, 1]，∴ t ∈[12, 1]，∴ 当t ＝1时ℎ(t)取得最大值4． ∴ m ≥4．g(x)＝λf 0(x)−f 2(2x)＝λ(2x −2−x )−(22x +2−2x )，令g(x)＝0可得λ=22x +2−2x 2x −2−x=2x −2−x +22x −2−x，令p(x)＝2x −2−x ，显然p(x)为增函数，故p(x)在[1, +∞)上的值域为[32, +∞)．由对勾函数单调性可知当p(x)=32时，λ取得最小值32+43=176．∴ λ的取值范围是：[176,+∞)．26. 【答案】解：(1)a =1时，f(x)=xe x −12x 2−x ，所以f′(x)=(x +1)e x −x −1=(x +1)(e x −1). 当f′(x)>0时，{x +1>0，e x −1>0或{x +1<0，e x −1<0解得x <−1或x >0；当f′(x)<0时，{x +1>0，e x −1<0或{x +1<0，e x −1>0解得−1<x <0.所以，f(x)在(−∞，−1)，(0，+∞)上单调递增，在(−1，0)上单调递减.(2)因为x ∈(0，+∞)，所以f(x)=ex ⇒g(x)=e x −a2x −a −e =0. g ′(x)=e x −a2，①a ≤2时，因为x >0，所以e x >1，则由a2≤1可知g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)单调递增. 因为g(2)=e 2−2a −e ≥e 2−4−e >0，所以g(0)=1−a −e <0⇒a >1−e ，所以1−e<a≤2；②a>2时，g′(x)>0⇒e x>a2⇒x>ln(a2)，g′(x)<0⇒e x<a2⇒0<x<ln(a2)，所以g(x)在(0，ln(a2))单调递减，在(ln(a2)，+∞)单调递增.因为g(0)=1−a−e<0，所以g(ln(a2))<0，且x→+∞时，g(x)→+∞，所以x>0时，存在唯一x0∈(ln(a2)，+∞)，使得g(x0)=0，满足题意.综上可知a>1−e.【考点】由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)a=1时，f(x)=xe x−12x2−x，所以f′(x)=(x+1)e x−x−1=(x+1)(e x−1).当f′(x)>0时，{x+1>0，e x−1>0或{x+1<0，e x−1<0解得x<−1或x>0；当f′(x)<0时，{x+1>0，e x−1<0或{x+1<0，e x−1>0解得−1<x<0.所以，f(x)在(−∞，−1)，(0，+∞)上单调递增，在(−1，0)上单调递减.(2)因为x∈(0，+∞)，所以f(x)=ex⇒g(x)=e x−a2x−a−e=0.g′(x)=e x−a2，①a≤2时，因为x>0，所以e x>1，则由a2≤1可知g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)单调递增.因为g(2)=e2−2a−e≥e2−4−e>0，所以g(0)=1−a−e<0⇒a>1−e，所以1−e<a≤2；②a>2时，g′(x)>0⇒e x>a2⇒x>ln(a2)，g′(x)<0⇒e x <a2⇒0<x <ln (a2)，所以g(x)在(0，ln (a2))单调递减，在(ln (a2)，+∞)单调递增. 因为g(0)=1−a −e <0，所以g(ln (a2))<0，且x →+∞时，g(x)→+∞，所以x >0时，存在唯一x 0∈(ln (a2)，+∞)，使得g(x 0)=0，满足题意. 综上可知a >1−e . 27.【答案】解：(1)当a =0时，f (x )=−4x +2，值域为R ，不符合题意，当a ≠0,∵ f (x )的值域为[0,+∞)，则Δ=16−8a =0 ，解得a =2，综上，实数a 的值为2．(2)∵ a ≤1，函数y =f (x )−log 2x 8=ax 2−4x +5−log 2x ，令g (x )=ax 2−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，则可转化为，函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点， ①当a =0时，g (x )=−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，根据单调性可判断． ∵ g (1)=1>ℎ(1)=0，g (2)=−3<ℎ(2)=1，∴ 函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点． ②当a ≤0时，抛物线g (x )的开口向下，对称轴x =2a <0<1， ∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减， ℎ(x )=log 2x 在区间[1,2]单调递增， ∴ {g (1)≥ℎ(1)，g (2)≤ℎ(2)，即{a +1≥0，4a −3≤1，解得−1≤a ≤1，由a ≤0，可知−1≤a <0．③当0<a ≤1时，抛物线g (x )的开口向上，对称轴x =2a ≥2， ∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减， ℎ(x )=log 2x 在区间[1,2]单调递增，∴ {g (1)≥ℎ(1)，g (2)≤ℎ(2)，即{a +1≥0，4a −3≤1，解得−1≤a ≤1，由0<a ≤1 ∴ 0<a ≤1．综上所述，实数a 的取值范围[−1,1]. 【考点】函数的零点函数的值域及其求法函数零点的判定定理【解析】无无【解答】解：(1)当a =0时，f (x )=−4x +2，值域为R ，不符合题意，当a ≠0,∵ f (x )的值域为[0,+∞)，则Δ=16−8a =0 ，解得a =2，综上，实数a 的值为2．(2)∵ a ≤1，函数y =f (x )−log 2x8=ax 2−4x +5−log 2x ，令g (x )=ax 2−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，则可转化为，函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点， ①当a =0时，g (x )=−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，根据单调性可判断． ∵ g (1)=1>ℎ(1)=0，g (2)=−3<ℎ(2)=1，∴ 函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点． ②当a ≤0时，抛物线g (x )的开口向下，对称轴x =2a<0<1，∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减， ℎ(x )=log 2x 在区间[1,2]单调递增， ∴ {g (1)≥ℎ(1)，g (2)≤ℎ(2)，即{a +1≥0，4a −3≤1，解得−1≤a ≤1，由a ≤0，可知−1≤a <0．③当0<a ≤1时，抛物线g (x )的开口向上，对称轴x =2a ≥2， ∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减，ℎ(x)=log2x在区间[1,2]单调递增，∴{g(1)≥ℎ(1)，g(2)≤ℎ(2)，即{a+1≥0，4a−3≤1，解得−1≤a≤1，由0<a≤1∴ 0<a≤1．综上所述，实数a的取值范围[−1,1].28.【答案】(1)解：因为f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y=0平行，所以f′(1)=12，因为f′(x)=1x+m+(x−1)e−x，所以f′(1)=11+m =12，解得m=1．(2)证明：由(1)得当m=1时，f′(x)=1x+1+(x−1)e−x=e x+x2−1(x+1)e x.当x>0时，令ℎ(x)=e x+x2−1，显然ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f(0)=0，所以f(x)>0在(0,+∞)上恒成立．(3)解：由(2)可知当m>1且x>0时，f(x)>ln(x+1)−xe−x>0，即f(x)在[0,+∞)上没有零点，当x∈(−m,0)时，f′(x)=1x+m +(x−1)e−x=e x+x2+(m−1)x−m(x+m)e x，令g(x)=e x+x2+(m−1)x−m，x∈(−m,0)，则g′(x)=e x+2x+m−1单调递增，且g′(−m)=e−m−2m+m−1=e−m−m−1<0，g′(0)=m>0，所以g′(x)在(−m,0)上存在唯一零点，记为x0，且当x∈(−m,x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0,0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(−m,x0)上单调递减，在(x0,0)上单调递增．因为m>1，所以g(−m)=e−m>0，g(0)=1−m<0，因为g(x0)<g(0)，所以g(x0)<0，所以g(x)在(−m,x0)上存在唯一零点x1，且在(x0,0)上恒小于零，故当x∈(−m,x1)时，g(x)>0，当x∈(x1,0)时，g(x)<0，所以f(x)在(−m,x1)上单调递增，在(x1,0)上单调递减，且f(0)=ln m>0，所以f(x)在(−m,0)上至多有一个零点，取x2=−m+e−me m∈(−m,0)，则有f(x2)<ln(x2+m)+me m=0，所以由零点存在定理可知f(x)在(−m,0)上只有一个零点，所以f(x)在(−m,+∞)上只有一个零点．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究与函数零点有关的问题函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y=0平行，所以f′(1)=12，因为f′(x)=1x+m+(x−1)e−x，所以f′(1)=11+m =12，解得m=1．(2)证明：由(1)得当m=1时，f′(x)=1x+1+(x−1)e−x=e x+x2−1(x+1)e x.当x>0时，令ℎ(x)=e x+x2−1，显然ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f(0)=0，所以f(x)>0在(0,+∞)上恒成立．(3)解：由(2)可知当m>1且x>0时，f(x)>ln(x+1)−xe−x>0，即f(x)在[0,+∞)上没有零点，当x∈(−m,0)时，f′(x)=1x+m +(x−1)e−x=e x+x2+(m−1)x−m(x+m)e x，令g (x )=e x +x 2+(m −1)x −m ，x ∈(−m,0)，则g ′(x )=e x +2x +m −1单调递增，且g ′(−m )=e −m −2m +m −1=e −m −m −1<0， g ′(0)=m >0，所以g ′(x )在(−m,0)上存在唯一零点，记为x 0，且当x ∈(−m,x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0,0)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,0)上单调递增．因为m >1，所以g (−m )=e −m >0，g (0)=1−m <0，因为g (x 0)<g (0)，所以g (x 0)<0，所以g (x )在(−m,x 0)上存在唯一零点x 1，且在(x 0,0)上恒小于零，故当x ∈(−m,x 1)时，g (x )>0，当x ∈(x 1,0)时，g (x )<0，所以f (x )在(−m,x 1)上单调递增，在(x 1,0)上单调递减，且f (0)=ln m >0，所以f (x )在(−m,0)上至多有一个零点，取x 2=−m +e −me m ∈(−m,0)，则有f (x 2)<ln (x 2+m )+me m =0，所以由零点存在定理可知f (x )在(−m,0)上只有一个零点，所以f (x )在(−m,+∞)上只有一个零点．29.【答案】(1)解：设切线与y =f (x )相切于点P (x 0,y 0)，f ′(x )=ae x ，依题意{ae x 0=1,y 0=ae x 0,y 0=x 0−1,解得x 0=2，y 0=1，a =1e 2.(2)证明：即证e x −x ln x −x 2−1>0对x >0恒成立，先证明ln x ≤x −1，设ℎ(x )=ln x −x +1，则ℎ′(x )=1−x x ，∴ y =ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴ ℎ(x )≤ℎ(1)=0，即ln x ≤x −1，当且仅当x =1时取等号， ∴ x ln x ≤x (x −1)，∴ e x −x ln x −x 2−1≥e x −2x 2+x −1，x >0，先证明当x ≥0时，e x −2x 2+x −1≥0恒成立.令k (x )=e x −2x 2+x −1(x ≥0)，则k ′(x )=e x −4x +1，令F (x )=k ′(x )，则F ′(x )=e x −4，令F ′(x )=0，解得x =2ln 2，∵ x ∈(0,2ln 2)时，F ′(x )<0，x ∈(2ln 2,+∞)时，F ′(x )>0，且k ′(2ln 2)=5−8ln 2<0，k ′(0)=2>0，k ′(2)=e 2−8+1>0，由零点存在定理，可知∃x 1∈(0,2ln 2)，∃x 2∈(2ln 2,2)，使得k ′(x 1)=k ′(x 2)=0，故0<x <x 1或x >x 2时， k ′(x )>0，k (x )在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，当x 1<x <x 2时，k ′(x )<0，k (x )在(x 1,x 2)上单调递减，由此知k (x )的最小值是k (0)=0或k (x 2)，由k ′(x 2)=0，得e x 2=4x 2−1，∴ k(x 2)=e x 2−2x 22+x 2−1=4x 2−1−2x 22+x 2−1=−(x 2−2)(2x 2−1).∵ x 2∈(2ln 2,2)，∴ k (x 2)>0，当x >0时， e x −2x 2+x −1>0恒成立，∴ 当x >0时，f (x )>x ln x +x 2+1恒成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：设切线与y =f (x )相切于点P (x 0,y 0)，f ′(x )=ae x ，依题意{ae x 0=1,y 0=ae x 0,y 0=x 0−1,解得x 0=2，y 0=1，a =1e 2.(2)证明：即证e x −x ln x −x 2−1>0对x >0恒成立，先证明ln x ≤x −1，设ℎ(x )=ln x −x +1，则ℎ′(x )=1−x x ，∴ y =ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴ ℎ(x )≤ℎ(1)=0，即ln x ≤x −1，当且仅当x =1时取等号， ∴ x ln x ≤x (x −1)，∴ e x −x ln x −x 2−1≥e x −2x 2+x −1，x >0，先证明当x ≥0时，e x −2x 2+x −1≥0恒成立.令k (x )=e x −2x 2+x −1(x ≥0)，则k ′(x )=e x −4x +1，令F (x )=k ′(x )，则F ′(x )=e x −4，令F ′(x )=0，解得x =2ln 2，∵ x ∈(0,2ln 2)时，F ′(x )<0，x ∈(2ln 2,+∞)时，F ′(x )>0，且k ′(2ln 2)=5−8ln 2<0，k ′(0)=2>0，k ′(2)=e 2−8+1>0，由零点存在定理，可知∃x 1∈(0,2ln 2)，∃x 2∈(2ln 2,2)，使得k ′(x 1)=k ′(x 2)=0，故0<x <x 1或x >x 2时， k ′(x )>0，k (x )在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，当x 1<x <x 2时，k ′(x )<0，k (x )在(x 1,x 2)上单调递减，由此知k (x )的最小值是k (0)=0或k (x 2)，由k ′(x 2)=0，得e x 2=4x 2−1，∴ k(x 2)=e x 2−2x 22+x 2−1=4x 2−1−2x 22+x 2−1=−(x 2−2)(2x 2−1).∵ x 2∈(2ln 2,2)，∴ k (x 2)>0，当x >0时， e x −2x 2+x −1>0恒成立，∴ 当x >0时，f (x )>x ln x +x 2+1恒成立． 30.【答案】解：(1)当x =1时，f (x )=0，令g (x )=x 3−ax +1．当x >1时，f (x )的零点与函数g (x )(x >0)的零点相同．当a ≤0时，g (x )>0(x >0)，所以f (x )只有一个零点，不合题意．因此a >0．又因为函数f (x )有三个不同的零点，所以g (x )(x >0)有两个均不等于1的不同零点．令g ′(x )=3x 2−a =0，解得x =√a 3（舍去负值）．所以当x ∈(0,√a 3)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数；当x ∈(√a 3,+∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．因为g (0)=1>0，g(√a)=1>0，所以当g (√a 3)<0，即a >3√232时，g (x )(x >0)有两个不同零点．又因为g (1)=0时，a =2>3√232，所以函数f (x )有三个不同的零点，实数a 的取值范围是(3√232,2)∪(2,+∞)．(2)因为x 1<x 2<x 3，x 1+x 3>2，所以1<x 3．所以g (1)=2−a <0．所以x 1<1．所以x 1，x 3是g (x )=0的两个根．又因为g (−2a )=−8a 3+2a 2+1<−8a 3+4a 2=4a 2(1−2a )<0，所以g (x )=0有一个小于0的根，不妨设为x 0．根据g (x )=0有三个根x 0，x 1，x 3可知g (x )=x 3−ax +1=(x −x 0)(x −x 1)(x −x 3)，所以x 0+x 1+x 3=0，即x 1+x 3=−x 0．因为x 1+x 3>2，所以x 0<−2．所以g (−2)=−8+2a +1>0，即a >72．显然72>2，所以a 的取值范围是(72,+∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】无无【解答】解：(1)当x =1时，f (x )=0，令g (x )=x 3−ax +1．当x >1时，f (x )的零点与函数g (x )(x >0)的零点相同．当a ≤0时，g (x )>0(x >0)，所以f (x )只有一个零点，不合题意．因此a >0．又因为函数f (x )有三个不同的零点，所以g (x )(x >0)有两个均不等于1的不同零点．令g ′(x )=3x 2−a =0，解得x =√a 3（舍去负值）．所以当x ∈(0,√a 3)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数；当x ∈(√a 3,+∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．因为g (0)=1>0，g(√a)=1>0，所以当g (√a 3)<0，即a >3√232时，g (x )(x >0)有两个不同零点．又因为g (1)=0时，a =2>3√232，所以函数f (x )有三个不同的零点，实数a 的取值范围是(3√232,2)∪(2,+∞)．(2)因为x 1<x 2<x 3，x 1+x 3>2，所以1<x 3．所以g (1)=2−a <0．所以x 1<1．所以x 1，x 3是g (x )=0的两个根．又因为g (−2a )=−8a 3+2a 2+1<−8a 3+4a 2=4a 2(1−2a )<0，所以g (x )=0有一个小于0的根，不妨设为x 0．根据g(x)=0有三个根x0，x1，x3可知g(x)=x3−ax+1=(x−x0)(x−x1)(x−x3)，所以x0+x1+x3=0，即x1+x3=−x0．因为x1+x3>2，所以x0<−2．．所以g(−2)=−8+2a+1>0，即a>72>2，显然72,+∞)．所以a的取值范围是(72。

零点定理高等数学例题

零点定理高等数学例题零点定理是高等数学中非常重要的一条定理，该定理有着广泛的应用。

这篇文章主要介绍关于零点定理高等数学例题的一些基本知识和应用。

首先，我们来了解一下零点定理的定义。

零点定理就是如果一个连续函数f(x)在区间[a,b]上取到两个不同的符号，那么在这个区间内至少有一个零点。

接下来我们结合一些例题来加深理解。

例题一：证明函数f(x)=x^3-5x^2+3x+15在区间[1,4]内有且仅有一个零点。

解：首先，我们需要判断f(x)在区间[1,4]的取值。

我们可以使用寻找函数极值点法：f'(x)=3x^2-10x+3f'(1)=-4<0,f'(2)>0,f'(4)<0由于导数在区间[1,2]上大于0，在区间[2,4]上小于0，所以f(x)在点x=2处取得极值。

设f(2)=k，则轮换成(x,0)、(2,-k)两个点，可以得出f(x)=(x-2)(x-a)(x-b)其中a、b均在[1,4]中，即f(x)在[1,4]中至少存在三个零点，与题目不符合。

因此，我们可以得出结论：函数f(x)=x^3-5x^2+3x+15在区间[1,4]内有且仅有一个零点。

例题二：证明函数f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)在区间[0,2]和[-3,0]不存在零点。

解：由于f(x)是一个三次函数，因此存在三个零点。

我们可以用反证法来证明。

首先，我们假设f(x)在区间[0,2]存在至少一个零点，即存在一个x0∈[0,2]，使得f(x0)=0。

由于f(x)是一个连续函数，而且区间[0,2]上f(x)的取值为正负负，所以根据零点定理，在区间[0,2]上f(x)至少存在一个零点，且零点个数为奇数，矛盾！因此，f(x)在区间[0,2]不存在零点。

同理，我们可以证明f(x)在区间[-3,0]也不存在零点。

综上所述，这两道例题都依据了零点定理，通过张贴轮换和反证法的方式来证明结论的正确性。

函数零点的题型总结

函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用巩固训练2】已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞），由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。

高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（）（A ）（0，1）；（B ）（1，2）；（C ）（2，e ）；（D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

3.1.1第二课时。_函数零点的存在性定理

1 3.1.1第二课时。

函数零点的存在性定理1x )2.78 A.(－1,0) B ．2、函数f(x)＝lnx －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(e,3)3、下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎨⎧ x ＋1 x≤0x －1 x ＞0D ．y ＝⎩⎨⎧ x ＋1 x≥0x －1 x ＜04、函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定5、设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)6、函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．7、若函数f(x)＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．8、下列说法正确的有________：①对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a ，b)内一定没有零点． ②函数f(x)＝2x －x 2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a ＝1时，函数f(x)＝|x 2－2x|－a 有三个零点．9、已知集合A = {x ∈R|x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R|x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.10、设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R}，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x ∈R}，若A ∪B = A ，求实数a 的值.。

专题10函数零点(原卷版)

《函数零点》专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难. 考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（） A ．14B ．18C ．78-D ．38-练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（） A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例3-2（一个曲线一个直线）（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2022福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．例3-4（两个曲线）（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.（两个曲线）（2022·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（） A ．3 B ．72C ．4D ．92（两个曲线）【2022河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个例3-5（直接解出零点）（2022·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2022·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（） A ．404 B ．804C ．806D ．402例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24例4-2（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（）A ．20B ．24C ．28D ．36类型五、等高线的使用例5-1．（2022·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.例5-2（2022·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（）A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例5-3（2022·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①例5-4．（2022·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型六、嵌套函数零点例6-1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6-2．（2022·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.例6-3（2022·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．例6-4. 已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（） A ． (0,14) B ． (13,3) C ． (1,2) D ． (2,94)类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,3 B ．(]1,3 C ．[]1,3 D ．[)3,+∞例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数（2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数（2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2022·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （①）求()f x 的单调区间；（①）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<练、已知函数f(x)＝xe －x .(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x 1≠x 2且f(x 1)＝f(x 2)，求证：x 1＋x 2>2.练、已知函数f(x)＝xln x 的图象与直线y ＝m 交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．求证：x 1x 2<1e 2.练（2022·沙坪坝区·重庆八中）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln31,-+∞，求实数a 的取值范围．练．已知2()4ln f x x x a x =-+.已知函数()f x 有两个极值点12x x ，（12x x <），若123()20f x mx ->恒成立，试求m 的取值范围.。

专题十四函数的零点问题(1)(解析版)

专题十四函数的零点问题(1)1．函数零点的定义一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在性定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提．(2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)．①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个．要分析f(x)的性质与图象，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调．②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点．如果f(x)单调，那么“一定”没有零点．③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号．受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0．3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．注：函数零点，方程的根，两图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点．(2)方程的根：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫．(3)两图象的交点：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．4．常用结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一函数零点所在区间的判定问题【方法总结】判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当函数对应方程易解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程ln x ＋x ＝0，无法直接求出根，构造函数f (x )＝ln x ＋x ，由f (1)>0，1()2f <0即可判定其零点必在(12，1)中．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．【例题选讲】[例1] (1)已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)答案 B 解析由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数在(2，3)内有零点．(2)若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间[2，16)上无零点 D ．函数f (x )在区间(1，16)内无零点答案 C 解析由题意可确定f (x )唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点． (3)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间为( )A ．(－1，0)B ．(0，12)C ．(12，1)D ．(1，32)答案 C 解析 ∵1()2f ＝12e －2<0，f (1)＝e －1>0，∴零点在(12，1)上，故选C ．(4)已知实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)答案 B 解析 ∵实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，∴a ＝log 23>1，00，f (－1)＝log 32－1－log 32＝－1<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间为(－1，0)．故选B ．(5)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(1，2)与(2，3)答案 B 解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数f (x )在(1，2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83．因为8＝22≈2.828＞e ，所以8＞e 2，即ln8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝12－ln3＜0，所以f (x )在(2，3)内存在一个零点．(6)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D 解析由f (x )＝13x －ln x (x >0)得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )>0得x >3，令f ′(x )<0得0<x <3，令f ′(x )＝0得x ＝3，所以函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0，又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，1()f e ＝13e ＋1>0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D ．【对点训练】1．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________．1．答案 (1，2) 解析据题意令f (x )＝e x －x －2，由于f (1)＝e 1－1－2＝2.72－3<0，f (2)＝e 2－4＝7.39－ 4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 2．已知自变量和函数值的对应值如下表：则方程2x ＝x 2的一个根位于区间( )A ．(0.6，1.0)B ．(1.4，1.8)C ．(1.8，2.2)D ．(2.6，3.0)2．答案 C 解析令f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，因为f (1.8)＝3.482，g (1.8)＝3.24，f (2.2)＝4.595，g (2.2)＝4.84．令 h (x )＝2x －x 2，则h (1.8)>0，h (2.2)<0．故选C ．3．若a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内． 4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)4．答案 C 解析方法一 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C ．方法二函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x 的图象与y ＝－x ＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x 与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C ． 5．在下列区间中，函数f (x )＝e －x ＋4x －3的零点所在的区间可能为( )A ．⎝⎛⎭⎫－14，0B ．⎝⎛⎭⎫0，14C ．⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34 5．答案 D 解析函数f (x )＝e －x ＋4x －3是连续函数，又因为1()2f ＝1e －1＜0，3()4f ＝14e 3＋3－3＞0，所以1()2f 3()4f ⋅＜0，故选D ．6．若x 0是方程131()2x x =的解，则x 0属于区间( )A ．⎝⎛⎭⎫23，1B ．⎝⎛⎭⎫12，23C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫0，13 6．答案 C 解析令g (x )＝1()2x ，f (x )＝13x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，11321111()()()()2222g f =<=，1311()()32g =1311()()33f >=，所以由图象关系可得13<x 0<12．7．已知实数a >1，01,00，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．8．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，其零点分别为x 1，x 2，…，x 2 017，且x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ，则关于x 的方程2x ＋x －2＝m 的根所在区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．答案 A 解析因为函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，故其零点x 1，x 2，…，x 2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ＝0．则关于x 的方程为2x ＋x －2＝0，令h (x )＝2x ＋x －2，则h (x )为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h (0)＝20＋0－2＝－1<0，h (1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x 的方程2x＋x －2＝m 的根所在区间是(0，1)．9．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)9．答案 C 解析因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．10．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)10．答案 B 解析易知f (x )＝ln x －2x 2在定义域(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0．根据零点存在性定理，可知函数f (x )＝ln x －2x 2有唯一零点，且在区间(1，2)内．11．函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，1 B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3)11．答案 C 解析易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0．∴f (2)f (e)<0，故f (x )的零点在区间(2，e)内．12．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)．当2<a <31，在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝－x ＋b 的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)时，n ＝2．考点二简单函数(方程)零点(解)的个数判断【方法总结】函数零点个数的判断方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则方程解的个数即为函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点所具有的性质．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．【例题选讲】[例2] (1)(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数是________．答案 3 解析由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B 解析法一由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e ．因此函数f (x )共有2个零点．法二函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg(1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg(1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C ．(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．答案 2 解析当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2．(5)函数f (x )＝12x －1()2x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B 解析函数f (x )＝12x －1()2x 的零点个数是方程12x －1()2x ＝0的解的个数，即方程12x ＝1()2x的解的个数，也就是函数y ＝12x 与y ＝1()2x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1．(6)函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点数的个数即函数g (x )＝|ln x |与函数h (x )＝1()3x 图象的交点个数．作出函数g (x )＝|ln x |和函数h (x )＝1()3x 的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f (x )＝3x |ln x |－1有2个零点．(7)已知函数f (x )＝1()2x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．答案 3 解析如图，作出g (x )＝1()2x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3．(8)(2015湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________．答案 2 解析函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．分别画出两函数图象，如图，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故零点个数为2．【对点训练】13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．答案 C 解析解法1 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2．故选C ．解法2 函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．014．答案 D 解析当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0． 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．515．答案 A 解析当x <0时，f (2－x )＝x 2，此时函数f (x )－g (x )＝－1－|x |＋x 2的小于零的零点为x ＝－1＋52；当0≤x ≤2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝x ，函数f (x )－g (x )＝2－|x |＋x －3＝－1无零点；当x >2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝4－x ，函数f (x )－g (x )＝(x －2)2＋4－x －3＝x 2－5x ＋5大于2的零点有一个．因此函数y ＝f (x )－g (x )共有零点2个．16．设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．116．答案 C 解析易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，∴x ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，∴x ＝1是函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上唯一零点．从而x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点．故y ＝f (x )有两个零点．17．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．317．答案 C 解析由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2．18．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．418．答案 B 解析函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数为2．19．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点19．答案 B 解析当x ∈(]0，1时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0，1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x )在[0，1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ． 20．函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__________． 20．答案 2 解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．21．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0x 2－2，x ≤0的零点个数是________．21．答案 3 解析当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．422．答案 B 解析函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B ．23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．23．答案 2 解析函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．答案 B 解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得第11页f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B ．。

函数零点的题型总结

根据函数零点个数确定参数范围的方法:(1)直接解方程f(x)=0,根据该方程的解,得出符合零点个数要求的参数值满足的不等式解得参数范围;(2)数形结合,把f(x)=0分拆为g(x)=h(x),已知的零点个数即为函数y=g(x)的图象与函数y=h(x)的图象交点的个数,据此得出参数值满足的不等式解得参数范围;(3)研究函数的单调性和极值点等,利用函数零点的存在性定理得出参数满足的不等式解得参数范围.
【题组通关】
1.已知a>1,方程 ex+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则 + +2x1x2的取值范围为( A )
(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)
(C)( ,+∞)(D)( ,1)
解析:方程 ex+x-a=0的根,即y= ex与y=a-x图象交点的横坐标,
方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标,
(A)(24,25)(B)(18,24)
(C)(21,24)(D)(18,25)
解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.
考点四函数零点的应用
【例6】 (1)已知α,β分别满足α·eα=e2,β(ln β-2)=e4,则αβ的值为( )
所以函数f(x)在区间( , )内必有零点,选B.
利用方程根的存在性定理判断函数零点所在区间的步骤:①先移项使方程右边为零,再令方程左边为函数 f(x);②求区间(a,b)两端点的函数值f(a),f(b);③若函数在该区间上连续且f(a)·f(b)<0,则方程在该区间内必有根.

考点34 零点定理(解析版)

考点34 零点定理一．函数的零点（1）零点的定义：对于函数y ＝f （x ），我们把使f （x ）＝0的,实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点．函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点，而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数（2）零点的几个等价关系：方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点．二．函数的零点存在性定理1.如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ⇔（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一求零点【例1】（2021·全国课时练习）函数()ln f x x x =的零点为（） A ．0或1 B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，令()ln 0f x x x ==，得1x =，零点不是点，CD 错误，故选：B.知识理解考向分析【举一反三】1．（2021·上海市西南位育中学=）函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0，即2560x x -+=，解得：2x =和3x =故答案为：2x =和3x =2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为：6或-1.考向二零点区间【例2】（2021·四川高一开学考试）函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为（） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数，所以，函数()f x 为R 上的增函数，因为()010f =-<，()11203f e =+->，则()()010f f ⋅<.因此，函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选：B. 【举一反三】1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数， ()110f =>，()260f =-<，则()()120f f ⋅<，因此，函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选：C. 2．（2021·浙江开学考试）函数()26log f x x x=-的零点所在区间是（） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】由题意，函数()26log f x x x=-，可函数()f x 为定义域上的单调递减函数，又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<，即()()340f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选：D. 3．（2021·内蒙古包头市）函数()3xf x x e =+的零点所在区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数，且()2260f e--=-+<，()1130f e --=-+<，()010f =>，()()100f f ∴-⋅<，因此，函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选：B.考向三零点的个数【例3】（2021·云南高三其他模拟）函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()0f x =，得1sin 3x =，作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示，因为511sin623π=>，所以由图可知直线13y =与图象有3个交点，从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选：B【例3-2】（202112log x =的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 【举一反三】1．（2021·云南昆明市）已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在[0,]π上的零点个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈，又[0,]x π∈，∴3x π=或56π，共2个．故选：C ． 2．（2021·云南丽江市·丽江第一高级中学）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图，由图可知，函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2．故选：C ．3（2021·江西吉安市）函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是（） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+，因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>，由零点存在定理得：函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数，故选：C 4．（2021·北京高三期末）已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()2xy f x =-的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()20xf x -=，得()2xf x =，则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选：C.1．（2021·陕西西安市·高三月考（文））函数21()12x f x x =--的零点的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-，2210x x --=，1x =1x =()0f x =的解，()f x 有两个零点．故选：B ．2．（2021·湖北开学考试）函数()lg(1)3f x x x =+--零点所在的整区间是（） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且()210f =-<，()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3，故选：C ．强化练习3．（2021·四川资阳市）方程24x x +=的根所在的区间为（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-<，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.4．（2020·全国课时练习）函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是（） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续，且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=，所以在区间[]2,3内一定有零点，故选：C5．（2021·广西河池市=）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-= ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.6．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 C【解析】令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3. 故选：C.7．（2021·北京丰台区）已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，令()0f x =，当0x ≤时，220x x -=，解得：0x =或2x =（舍去）；当0x >时，110x-=，解得：1x = 所以()0f x =有2个实数解，即函数()f x 的零点个数为2个.故选：C. 8．（2021·山西吕梁市）函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-，*a ∈N ，则a =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ，()124502=+-<f ；()338504=+->f ，所以()2(3)0⋅<f f ，可知函数零点所在区间为[]2,3，故3a =.故选：C.9．（2021·安徽高三期末（文））设函数3()sin log f x x x =-，0.5()3log xg x x =-，0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ，b ，c ，则（） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =，23()log f x x =，30.5()log f x x =，4()3xf x =，则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标，b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 的图象，如图所示．由图可知a c b >>．故选：A10．（2021·山东威海市·高三期末）若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．[)1,-+∞ D ．()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=-()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B11．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ，则0x 所在区间为（） A ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增，323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点，035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.12．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点如图，()112f -=，当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点故选：D13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（） A ．()3,4 B ．()2,eC ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<，()22ln 302f =->，且函数f （x ）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C14．（2021·兴宁市第一中学高三期末）若00cos x x =，则（） A ．0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C15．（2021·上海）已知函数1()1f x a x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________．【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下：函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点所以01a <<故答案为：01a <<16．（2021·全国=课时练习）函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时，令()0f x =，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）；当0x >时，令()0f x =，即2ln 0x -+=，解得2x e =，所以函数()f x 有两个零点. 故答案为：2.17．（2021·贵州毕节市）函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：218．（2020·云南师大附中高三月考（文））函数()ln f x x =的零点个数为__________．【答案】2【解析】令ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．故答案为：2.。

零点存在定理

并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法代数法：求出对应方程的f x =0的根几何法：画出函数的图象
练习：（1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间

类型全归纳，问题妙突破——函数零点的存在定理的应用

ʏ聂然如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图像是一条连续不断的曲线,并且f (a )㊃f (b )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ɪ(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根㊂利用函数零点存在定理,可以解决一些涉及函数与方程方面的综合应用问题㊂一㊁零点区间的判断例1 函数f (x )=l n x +e x的零点所在的区间是( )㊂A.0,1e B .1e,1C .(1,e )D .(e ,+ɕ)分析:根据题设条件,通过对应函数在各区间的端点处的取值的正负情况,结合函数零点的存在定理,即可确定零点所在的区间㊂对于一些特殊点,可以采用极限思维来综合分析与处理㊂解:因为f (1)=e >0,f1e=-1+e 1e>0,f (e )=1+e e>0,而当x ң0时,f (x )=l n x +e x<0,所以根据函数零点的存在定理可知,该函数的零点所在的区间是0,1e㊂应选A㊂本题主要考查函数零点的存在定理及其应用㊂解答这类问题的基本方法是:结合函数f (x )在各点处的函数值的正负情况,利用函数零点的存在定理f (a )㊃f (b )<0来判断零点所在的区间(a ,b )㊂二㊁零点个数的确定例2 函数f (x )=e x+3x 的零点个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3分析:因为函数y 1=e x与y 2=3x 都是R 上的单调递增函数,所以函数f (x )=e x+3x 的图像是一条连续不断的曲线㊂在此基础上,结合函数零点的存在定理即可确定零点的个数㊂解:已知函数y 1=e x与y 2=3x 都是R 上的增函数,所以函数f (x )=e x+3x 在R上单调递增㊂因为f (-1)=e -1-3<0,f (1)=e +3>0,所以f (-1)㊃f (1)<0,所以函数f (x )=e x+3x 在区间(-1,1)内存在零点,因此f (x )的零点个数是1㊂应选B㊂本题主要考查函数零点的存在定理及其应用㊂解答这类问题的基本方法是:先确定函数f (x )的图像特征(若图像是一条连续不断的曲线,则具有单调性),再利用函数零点的存在定理f (a )㊃f (b )<0来确定零点的个数㊂三㊁参数范围的确定例3 若函数f (x )=2a x 2-x -1在(0,1)内恰有一个零点,则a 的取值范围是( )㊂A.(-1,1)B .[1,+ɕ)C .(1,+ɕ)D .(2,+ɕ)分析:通过参数a 的取值情况的分类讨论,结合函数在区间(0,1)内恰有一个零点的条件,合理建立相应的不等式组求解㊂解:当a =0时,由f (x )=-x -1=0,解得x =-1,此时函数的零点是x =-1,不在区间(0,1)内㊂当a ʂ0时,函数f (x )=2a x 2-x -1在(0,1)内恰有一个零点,由Δ>0且f (0)㊃f (1)<0,可得Δ=1+8a >0,-(2a -2)<0,解得a >-18,a >1,即a >1;由Δ=0,可得a =-18,此时函数的零点是x =-2,不在区间(0,51知识结构与拓展高一数学 2023年11月1)内㊂综上可知,a >1㊂应选C㊂本题主要考查函数零点的存在定理及其应用㊂解答这类问题的基本方法是:根据参数的情况进行分类讨论,再结合函数零点的存在定理f (a )㊃f (b )<0,以及对应函数建立相应的不等式(组),最后求出参数的取值范围㊂四㊁函数值大小的判断例4 已知x 0是函数f (x )=2x+11-x的一个零点,若x 1ɪ(1,x 0),x 2ɪ(x 0,+ɕ),则( )㊂A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)<0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>0分析:根据题设条件,先确定函数g (x )=11-x 与函数h (x )=2x在区间(1,+ɕ)上的单调性,即得零点的唯一性,再结合函数零点的存在定理与函数的单调性即可判断函数值的大小关系㊂解:设函数g (x )=11-x,h (x )=2x㊂由于函数g (x )=11-x =-1x -1在(1,+ɕ)上单调递增,h (x )=2x在(1,+ɕ)上单调递增,故函数f (x )=h (x )+g (x )=2x+11-x 在(1,+ɕ)上单调递增,所以函数f (x )在(1,+ɕ)上有唯一零点x 0,即f (x 0)=0,所以在(1,x 0)上f (x 1)<0,在(x 0,+ɕ)上f (x 2)>0㊂应选B㊂本题主要考查函数零点的存在定理及其应用㊂解答这类问题的基本方法是:先确定函数f (x )的单调性(若图像是一条连续不断的曲线,则具有单调性),再利用函数零点的存在定理确定零点的唯一性,最后判断函数值的大小关系㊂五㊁综合应用问题例5 若函数f (x )的零点与函数g (x )=4x+2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x )可以是( )㊂A .f (x )=4x -1B .f (x )=l o g 3(2-x )C .f (x )=3x-1D .f (x )=2x -3分析:先确定各选项中函数f (x )的零点,结合各零点的取值情况,通过函数g (x )的正负取值来确定零点所在的区间,再借助二分法进一步缩小区间,最后得到适合题意的函数f (x )㊂解:对于A ,函数f (x )=4x -1的零点为x =14㊂对于B ,函数f (x )=l o g 3(2-x )的零点为x =1㊂对于C ,函数f (x )=3x-1的零点为x =0㊂对于D ,函数f (x )=2x -3的零点为x =32㊂由g (0)=40-2=-1<0,g12=412+2ˑ12-2=1>0,可得g (0)㊃g 12 <0㊂根据函数零点的存在定理知函数g (x )的零点在区间0,12内㊂利用二分法,取x =14,则g 14 =414+2ˑ14-2=2-32<0,所以g 12 ㊃g 14 <0㊂根据函数零点的存在定理知函数g (x )的零点在区间14,12内㊂因为函数f (x ),g (x )的零点之差的绝对值不超过0.25,所以f (x )=4x -1的零点符合条件㊂应选A ㊂解答本题的关键是利用函数零点的存在定理来确定函数零点所在的区间㊂编者的话:函数零点的存在定理是函数与方程中的重要内容,它涉及函数思想㊁方程思想㊁转化与化归思想㊁数形结合思想,以及二分法思想等㊂因此,函数零点的存在定理的应用成为高考的常考点,同学们一定要高度重视㊂作者单位:江苏省淮阴中学(责任编辑郭正华)61 知识结构与拓展高一数学 2023年11月。

2020年高考数学一轮复习专题2.9零点定理练习(含解析)

第九讲零点定理1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 3设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a >0)的两实数根，则x 1，x 2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m ，n ，p 为常数，且m <n <p )二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

函数零点的题型总结

函数零点的题型总结考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是()(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是() (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】(1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为() (A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x 2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x 2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x 2-2x-3)=0时,x 2-2x-3=kπ+π2,k∈Z,在相应的范围内,k 只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B. 解析:(2)令2xx+x-2x=0,化简得2|x|=2-x 2,画出y=2|x|,y=2-x 2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)=3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a≤0,a≥-23,使得第一段有一个零点,故a∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e .综上所述,a∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C )(A)(0,4) (B)(0,+∞) (C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)=4log ,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2018]的零点个数为( A ) (A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8.令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)考点三函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞)(B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞），由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2, 由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12), 所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14),所以1t+t∈(174,25716],故选B.解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x),所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2)(B)[3-2ln 2,2](C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1,则满足0<n≤e-1,-2<m≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n≤e-1,则h′(n)=1-21n+=11nn-+,当h′(n)>0,解得1<n≤e-1,当h′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为(A)(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)(C)(12,+∞)(D)(12,1)解析:方程12e x +x-a=0的根,即y=12e x 与y=a-x 图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x 与y=a-x 图象交点的横坐标, 而y=12e x 与y=ln 2x 的图象关于直线y=x 对称,如图所示.所以x 1+x 2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)=42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24)(D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( ) (A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4(2)(2018·四川联测促改)已知f(x)=9x -t·3x ,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β, 所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln2e β=4e β=22e e β.所以α,2e β分别是方程e x =2e x ,ln x=2e x 的根,因为点(α,2e α)与点(2eβ,4e β)关于直线y=x 对称,所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x---+=1212xx -+=-2121x x-+=-g(x), 所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t·3a +9-a -t·3-a =0有解, 即t=9933a aa a--++有解.令m=3a +3-a (m≥2),则9933a a a a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞)(B)(-∞,18](C)[18,14) (D)(0,18]解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x +2t=12x m 在R 上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x +2t=12x m 可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18]. 故选D.。

零点的存在性定理

即218-8a 0或a2 2解得a 9 或a 2
4
当函数在该区间内有两个不同零点时，
必须满足
0,0 - -2a 4, f 0 0,
2
f 4 0.即4a2 4 2 0, 0 a 4, 2 0
18 8a 0.解得 2 a 9 . 4
综上所述，a的取值范围是 a a 2 .
8
五课堂小结
13
选做题答案
1因为f a a ba c, f b b cb a f c c ac b,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a, b 和b, c 内。
14
七布置作业红对勾课时作业23
15
分别位于哪两个区间?
12
能力提升题答案
1因为该函数的图像不是连续不断的，不能使用零点存在性定理，所以选A
21 若a=0，则函数f x x 1为一次函数，
易知函数只有一个零点
2若a 0，则函数f x 为二次函数，则该方程
有两个相等的实数根，即 =1+4a 0, 得a 1 4
综上，当a 0或- 1 时，函数仅有一个零点。 4
1函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是
A.2, 1 B. 1, 0
C
C.0,1
D.1, 2
10
二能力提升题
1函数f x x 1 的零点个数是
x A.0 B.1 C.2 D.3
2若函数f x =ax2 x 1仅有一个零点，求实数
a的取值范围
11
三选做题
1若a b c,则函数f x x a x b x b x c x c x a的两个零点
零点的存一在、性课定题理导习入题课上节课学习了函数零点的概念及其判定

考点12 零点定理(练习)(解析版)

考点12：零点定理【题组一求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-；当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3-故答案为：3-2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2，则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1．【题组二零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A.2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是()A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续，又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>，故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D.3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>，∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内必有零点.故选：B .【题组三零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为.【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为.【答案】2【解析】令22e 20,2x x x e x +-==-+,画出2,2x y e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为.【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos (12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数，即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点，4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是.【解析】因为ln y x =与2y x =均在()0,+¥上为增函数，所以函数()2ln f x x x=+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点.5．函数()3f x x =-,则()f x 的零点个数为________.【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x =⇔-=令123,y x y =-=，则()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-,所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象,由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点,又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10，故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x =也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为.【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2．由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点．9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是.【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x=当0x >时有()20log f x x= 偶函数()f x 的图象关于32x =对称，()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x=∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称,又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:511．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是.【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ），由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数，当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是.【答案】7,53⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内，∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫-⎪⎝⎭.2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为.【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数，又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

高中数学例题：函数零点的存在性定理

高中数学例题：函数零点的存在性定理例．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．1(1,)e和（3，4） D ．（e ，+∞）【答案】 B【解析】从已知的区间（a ，b ）中，求()f a 和()f b ，判断是否有()()0f a f b ⋅<． ∵(1)20f =-<，(2)ln 210f =-<，∴在（1，2）内()f x 无零点，A 错；又2(3)ln 303f =->，∴(2)(3)0f f ⋅<，∴()f x 在（2，3）内有一个零点．【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a ，b]的端点值的乘积是否满足()()0f a f b ⋅<，还要看函数()f x 的图象在[a ，b]上是否是连续曲线即可．解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．利用函数零点的存在性定理判定函数的零点（或方程的实根）所在的大致区间，有时比用数形结合（即作出两函数y=ln x 与2y x=的图象，再确定两图象交点的横坐标所在的大致区间）更简捷，因此要善于灵活运用函数零点的存在性定理来分析解决问题．举一反三：【变式1】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（）A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解C ．函数f （x ）是奇函数D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A【变式2】根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的最小区间为．【答案】()1,2【解析】令()2x f x e x =--，由表格中数据知(1)f -=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7,39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由于(1)(2)0f f ⋅<，所以根所在的最小区间为（1，2）．【变式3】若方程2210ax x --=在（0，1）恰好有一解，求a 的取值范围．【答案】()1,+∞【解析】（1）当0a =时，方程为()10,1x =-∈，不满足题意舍去．（2）当0a ≠时，令2()21f x ax x =--，分情况讨论：①0180,(0,1)a x ∆=+=⎧⎨∈⎩，0182(0,1)a x ⎧=-⎪∴⎨⎪=-∉⎩ 18a ∴=-不满足题意舍去． ②180a ∆=+>，18a ∴>- 若(0)1f =-且(1)0f >即2110a -->，1a ∴>满足题意．若(0)1f =-且(1)0f =即1a =时，()0f x =的另一解是12-．综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,a ∈+∞．。

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