整数规划和01规划

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（最新）线性整数01规划linprog

一、Matlab在线性规划中的应用Linear Programing, 又叫线性最优化(Linear Optimization)1、(1)线性规划首先要有一个目标函数(2)要有一组控制变量(或叫决策变量),且目标函数必须是控制变量的线性组合（即只能是一个线性方程）.(3)需要一组约束条件(等式、不等式约束，特别注意这些变量是否大于0或变量的可能的取值范围) (要尽可能挖掘出所有的条件) （4）线性规划的目标是控制变量在满足约束条件下使目标函数达到最大或最小值。

1、线性规划问题即线性方程求最小值----有一个万能函数fmincon（当目标函数为多元一次方程时，它的最小值可以用此求，但有个万能的命令的fmincon）---且不能带常数项2、线性规划的函数为linprog此函数只能（只能线性方程（每项最多只有一次的多项式），n元-----------(即n元一次方程)完全可以用(因fmincon可以用来求任意方程的最小值)（任意方程，任意n元----任意条件）完全可以用代替（即可以不学linprog）两个函数都只能求最小值，（条件都只能是<=）（什么都是“小”）如要求最大值，两个函数都必须前后两次取反(1)使用格式为:x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,l,u)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,l,u,x0)（参数个数为：3/5/7/8, 少了X0或让其置于末尾）不要编程序，用向量f来表示目标方程（同线性代数中的线性方程）(2)左边还可为:[x,fval]=……[x,fval,exitflag]=……[x,fval,exitflag,output]=……[x,fval,exitflag,output,lambda]=其中lambda表示拉格朗日乘子的内容所以最好是用三个返回结果，最后要根据exitflag判断结果的有效性(用法与fmincon把函数换成了系数向量(不要编程)(2)x0不要或置于末尾---因为没有额外编写程序)(3)x0为初始向量,一般不要使用f为目标函数的系数向量A*x<=b 构成了线性不等式条件Aeq*x=beq 构成了线性等式条件l<=x<=u 构成了上下限(4)注意:A:如要求最大值,则必须对目标函数取反,转化为先求出最小值,最后再将函数值取反即为所求的最大值.B:不等式约束条件是<=,如果为>=,则必须两边乘以-1,C:如前面的某些项没有使用,必须用空矩阵[ ]d:有3、5、7个等参数线性方程中不能有常数项，如有，先不要考虑，最后在结果上再加（或减）去该常数。

运筹学-0-1规划指派问题PPT课件

在0-1规划问题中，遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因突变、交叉和选择等过程来寻找最优解。算法从一个初始种群出发，通过不断迭代进化，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分配一项任务，且每个任务只能由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$；否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$：最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点，即没有已知的多项式时间算法来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。

01整数规划课程设计

0 1整数规划课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解整数规划的基本概念，掌握0-1整数规划的特点及适用场景；2. 学会构建0-1整数规划的数学模型，并能用相关数学语言进行表达；3. 了解0-1整数规划问题的求解方法，掌握其基本原理。

技能目标：1. 能够运用0-1整数规划解决实际问题，独立设计并优化解决方案；2. 学会使用计算工具（如Excel、Lingo等）求解0-1整数规划问题；3. 能够对0-1整数规划问题进行有效分析，提出改进措施。

情感态度价值观目标：1. 培养学生面对实际问题时，运用数学知识解决问题的积极态度和自信心；2. 增强学生的团队协作意识，培养沟通与表达的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高解决问题的综合素质。

课程性质：本课程为数学学科的一门应用型课程，旨在帮助学生掌握0-1整数规划的基本知识，培养解决实际问题的能力。

学生特点：针对高中年级学生，具备一定的数学基础，对实际问题具有较强的探究欲望。

教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，提高学生的参与度和积极性。

在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。

二、教学内容1. 教学大纲：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景；b. 0-1整数规划数学模型的构建；c. 0-1整数规划求解方法及原理；d. 实际问题中的应用案例分析。

2. 教学内容安排与进度：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景（1课时）；- 介绍0-1整数规划的定义、特点；- 分析0-1整数规划在实际问题中的应用。

b. 0-1整数规划数学模型的构建（2课时）；- 学习如何用数学语言表达0-1整数规划问题；- 掌握构建0-1整数规划数学模型的方法。

c. 0-1整数规划求解方法及原理（2课时）；- 介绍求解0-1整数规划问题的主要方法；- 分析各种求解方法的原理及优缺点。

d. 实际问题中的应用案例分析（2课时）；- 分析典型实际问题，运用0-1整数规划求解；- 学生动手实践，培养解决实际问题的能力。

excelmodule3整数规划01规划的应用

2.互斥决策变量--至多只建1个仓库， x3+x4<=1（互斥决策变量的和<=1）
3.相依决策变量--建厂才建仓库， x1>=x3，x2>=x4
4.决策变量 xi = 0,1 (i = 1,2,3,4)
Chap 15-8
例4 连锁店选址
某连锁店计划在城区的东南西北部建店。有10个位置可供参考。每个位置的预计投资额和利润如表。并有如下条件：
Cost ($/hour) Location 1 Location 2 Location 3 Location 4 Location 5
Machine 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
16
12
14
15
Machine 2
15
--
13
20
16
Machine 3
4
7
10
6
7Chap 15-23
指派（分配）问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例，在指派问题模型中，每一个产地的提供量和每一个目的地的需求量均为1，即n=m, ai=bi=1 。
Chap 15-18
指派问题一般模型
1.一般模型：
设c 0 : 第i个人完成第j项任务的效率 ij
（时间成本等）
引入x ij
1
0
第i个人完成第j项任务否则
模型：
min
(
P
)
s.t
.
nn
f
cij
x ij
i 1 j1
n
x ij
1,
j
1,, n 每项任务一人
i 1
n
x ij
1,
i
1,, n
每人一项任务

整数规划与01规划

. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0，不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大（例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然，对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作。以 * 表示问题的最优目标函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1

01型整数规划模型

01型整数规划模型§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为⾮负整数值的⼀类线性规划，在实际问题的应⽤中，整数规划模型对应着⼤量的⽣产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平⾯解法（这⾥不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。

在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的⼀类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着⼤量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举⼀些模型范例，以说明这个事实。

0—1型整数规划的的数学模型为：⽬标函数 n n x c x c x c z Min Max +++=ΛΛ2211)( 约束条件为：==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ这⾥，0 | 1表⽰0或1。

2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法⼀般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21ΛΛ的每⼀个0或1值，均⽐较其⽬标函数值的⼤⼩，以从中求出最优解。

这种⽅法⼀般适⽤于决策变量个数n 较⼩的情况，当n 较⼤时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便⽤计算机进⾏穷举来求最优解，也⼏乎是不可能的。

隐枚举法是增加了过滤条件的⼀类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使⽤。

此时，就只能⽤穷举法了。

3. 应⽤实例例1 ⼯程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项⼯程可以考虑上马，每项⼯程的期望收益和年度费⽤（千元）如下表所⽰：假定每⼀项已选定的⼯程要在三年内完成，是确定应该上马哪些⼯程，⽅能使该部门可能的期望收益最⼤。

0-1型整数线性规划模型理论

0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。

MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题

MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。

如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。

但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。

最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。

但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。

一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。

我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。

为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。

我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。

求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。

打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。

线性规划模型

研究模型中常数数据变动时解的变化。
（1）模型中常数数据不精确
（2）模型中常数数据可能发生变化
价值变动
min z cx s.t. Ax b x0
11/43
资源总量变动
敏感性分析
max z 60d 30t 20c 8d + 6t + c <=48 4d + 2t + 1.5c <= 20 d + 1.5t + 0.5c <=8 t <= 5
mn
满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合称为可行域，满足最优目标的解称为最优解决策变量为整数时，称为整数线性规划
决策变量取0或1时，称为0-1线性规划
7/43
线性规划问题的解
线性规划问题的可行域是一个凸多边形；
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的
顶点处达到。
单纯形法:
约束条件右端变化一个单位时目标函数变化量，只对紧约决策变量改变一个单位时目标函数的改变量，只有非基变量有值束有值
12/43
敏感性分析
Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 60.00000 0.0 8.000000 30.00000 60.00000 0.0 20.00000 2.500000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 48.00000 INFINITY 2.000000 20.00000 1.333333 8.000000 8.000000 1.000000 3.000000 5.000000 INFINITY 2.000000

整数规划PPT课件

混合整数规划
总结词
混合整数规划是同时包含连续变量和整数变量的规划问题。
详细描述
混合整数规划问题在数学上表示为在一定的约束条件下，求一组连续变量和整数变量的函数的最优解。这类问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流优化、金融投资等。求解混合整数规划问题需要同时考虑连续变量和整数变量的特性，通常需要使用特殊的算法进行求解。
通过不断分割解空间并确定可行解的范围，逐步逼近最优解。
割平面法
通过添加割平面方程来不断缩小解空间，直到找到最优解。
迭代优化法
通过迭代优化算法不断逼近最优解，适用于大规模整数规划问题。
02 整数规划问题建模
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件都是线性函数，且决策变量都是整数。
装箱问题
总结词
装箱问题是一个经典的整数规划问题，旨在确定如何将一组物品装入有限容量的容器中，以最小化装载成本。
详细描述
装箱问题需要考虑物品的尺寸、重量、价值等多个因素，通过整数规划的方法，可以确定最佳的装箱方案，包括每个容器的装载物品和数量等，从而实现装载成本最小化。
THANKS FOR WATCHING
遗传算法
要点一
总结词
一种基于生物进化原理的优化算法
要点二
详细描述
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择、交叉和变异等操作来逼近最优解。在整数规划问题中，遗传算法将决策变量编码为染色体，通过不断进化染色体群体来寻找满足整数约束的解。遗传算法具有全局搜索能力强、能够处理多约束和离散变量等优点，因此在整数规划问题中得到了广泛应用。
整数规划ppt课件
contents

运筹学课件第四节0-1型整数规划

运筹学课件第四节0-1型整数规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能存在其他类型的约束，如数量约束、时间约束等，这些约束条件都对决策变量的取值范围进行了限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常是离散的，只能取0或1两个值。这些决策变量代表了不同的策略或选择。
最优解最优解是指在所有可行解中使目标函数达到最优值的决策变量的取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成本较高。
MATLAB求解工具

0-1整数规划

0-1整数规划0-1整数规划1.什么是0-1整数规划？0-1 整数规划是⼀种特殊形式的整数规划，这时的决策变量x i 只取两个值0或1，⼀般的解法为隐枚举法。

2.什么时候采⽤0-1整数规划法？正如计算机只懂得0,1两个数，1代表是，0代表否。

同样的，在0-1整数规划中的0和1并不是真真意义上的数，⽽是⼀个衡量事件是否发⽣的标准。

⼀般来说，我们在从多个事物中选出其中⼀部分，在⼀定的条件下求解最优情况时可以采⽤0-1整数规划法。

⼀、0-1整数规划的求解例1 求解下列0-1规划问题1231231231223123max 3252 2 (1)4 4 (2).. 3 (3) 4 6 (4),,01Z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤??++≤??+≤??+≤??=?或解：对于0-1 规划问题，由于每个变量只取0，1两个值，⼀般会⽤穷举法来解，由上表可知，问题的最优解为X*=( x1 =1x2=0x3=1 ) 但此法太繁琐，⼯作量相当⼤。

⽽隐枚举法就是在此基础上，通过加⼊⼀定的条件，就能较快的求得最优解：找到x1 =0x2=0x3=1是⼀个可⾏解，为尽快找到最优解，可将3 x1－2 x2＋5 x3≥5作为⼀个约束，凡是⽬标函数值⼩于5的组合不必讨论，如软件进⾏求解。

⼆、0-1整数规划模型的建⽴值得注意的是在0-1整数规划模型建⽴的时候，0,1仅表⽰物件是否被选取，事件是否发⽣，⽆其他含义。

例2⼀个旅⾏者要到某地作两周的带包旅⾏,装背包时,他发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公⽄重的东西.他打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公⽄⼜能使使⽤价值最⼤.这4种东西的重量和使⽤价值(这⾥⽤打分解：建⽴模型为()12341234max Z=6x 7392345s.t. 0,11,2,3,4i x x x x x x x x i ++++++≤==??1 234思考：某公司拟在东、西、南三个区建⽴门市部,拟议中有七个点(建⽴门市部的地点)A j(j=1,2,…,7)可供选择;由于某种需要⽽规定:在东区:由A1,A2,A3中⾄多选2个点;在西区:由A4,A5中⾄少选1个点;在南区:由A6,A7中⾄少选1个点;据估计,如选A j点建⽴门市部,则需要投资a j元.⽽每年可获利润c j元,但这笔投资总额不能超过b元.问应选择哪⼏个点可使该公司的年利润为最⼤？。

线性规划整数规划0-1规划

mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种包装箱的厚度； cl j 为第 j 节车的长度（cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特殊限制（s 302.7）。

运筹学 0-1整数规划

n ∑ a ij x j < = b i + M i y i j =1 p ∑1 y i = p - q i=
三、固定成本问题
某公司制造小、大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、例4.8 某公司制造小、中、大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示：动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示：不考虑固定费用，大号容器每售出一个其利润分别为4万元万元、不考虑固定费用，小、中、大号容器每售出一个其利润分别为万元、 5万元、6万元，可使用的金属板有万元、万元可使用的金属板有500吨，劳动力有万元，万元吨劳动力有300人/月，机器有人月 100台/月，另外若生产，不管每种容器生产多少，都需要支付一笔固定台月另外若生产，不管每种容器生产多少，费用：小号为100万元，中号为万元，万元，万元。费用：小号为万元中号为150万元，大号为万元大号为200万元。问如何制定万元生产计划使获得的利润对大？生产计划使获得的利润对大？
0－1 整数规划求解方法
0－1 整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的－整数规划是一种特殊形式的整数规划，决策变量x 只取两个值0或，一般的解法为隐枚举法。决策变量 i 只取两个值或1，一般的解法为隐枚举法。例一、求解下列0－例一、求解下列－1 规划问题 max Z = 3 x 1 − 2 x 2 + 5 x 3
(1) (2)
•
工序B 只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（）工序 3只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（1）和（2）就成为）相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入0-1变量相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入变量

0—1 型整数规划

例5 求解maxZ=3x1-2x2+5x3 解：调整x1,x2的顺序，使目标函数 x1+2x2-x3≤2 中变量的系数呈递增（不减）的顺 x1+4x2+x3≤4 序,则问题变为： maxZ=-2x2+3x1+5x3 x1+ x2 ≤3 2x2+x1-x3≤2 ① 4x2+x3≤6 4x2+x1+x3≤4 ② x1,x2,x3=0或1 x2+x1 ≤3 ③ 解约束条件目 4x2 +x3≤6 ④ 标 ① ② ③ ④ （x2，x1，x3）值 x1,x2,x3=0或1 0 √ √ √ √ （0 0 0）按二进制数码从小到大的顺序排列 5 √ √ √ √ （0 0 1）并检查各个解，先计算解的目标值，若目标值小于目前可行解最好的目（0 1 0） - - - 标值，则不必检查是否满足约束条 8 √ √ √ √ （0 1 1）（1 0 0） - - - - 件，当所有解被检查完毕，就可判（1 0 1） - - - - 断出最优解。计算结果可列表表示，见左表。（1 1 0） - - - 最终得到最优解：x1=1，x2=0，（1 1 1） - - - 6 x3=1，最优值：Z=8
x =
1 ,是 0 ,否
4.1 引入引入0—1 变量的实例 1.确定投资方案——相互排斥的计划例4 某市工商银行拟抽调a万元资金对小五金、小百货和洗涤剂三个行业给予低息贷款。由于资金有限，只能在四个小五金企业A1、A2、A3、A4 中至多选两个；在五个小百货企业A5、A6、 A7、A8 中至多选三个；在四个洗涤剂企业A9、A10、A11、A12 中至多选两个给予低息贷款。已知企业Ai得到贷款ai万元后，可获利bi万元。问工商银行应如何发放贷款，可使总利润最大？解：因为本问题只要求解决是否给企业贷款，因此可用0—1 变量描述所求方案。设 1, 给A 贷款 i xi = ,i =1,2,L,12 不给A 贷款 0, i 于是，根据题意，本问题可描述为： 12 maxZ= ∑bi xi

运筹学——0-1整数规划

(1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0’’ -2 3 1 6
1
.2
.3
Z .4 足值 no no no no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
例2
求下列问题：
Max Z=3x1+ 4x2 + 5x3 + 6x4 s.t. 2x1+ 3x2 + 4x3 + 5x4 15
0-1规划应用
华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益见下表：项目投资额(万元) 投资收益(万元) 1 210 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术原因，投资受到以下约束：在项目1、2和3中必须有一项被选中；
0-1 规划及其解法
0-1 规划在线性整数规划中具有重要地位。定理：任何整数规划都可以化成0-1规划。一般地说，可把整数x变成(k+1)个0-1变量公式为：x=y0+2y1+22y2+….2kyk 若x上界为U，则对0<x<U,要求k满足2k+1 U+1.

由于这个原因，数学界曾纷纷寻找“背包问题”解的方法，但进展缓慢。
xi=1或0
• 点击这里进入 “指派问题”的学习
解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数，可作如下变换：
令 x1 ＝1－ x1′ , x2 =1- x2′, x3= x3′, x4 =1- x4′带入原题中，但需重新调整变量编号。令 x3′ = x1′, x4′ = x2′得到下式。

整数线性规划及0-1规划

x1(x1 80) 0 x2 (x2 80) 0
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
280x1+250x2+400x3< 60000 end
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
64.000000
-
2.000000
X2
168.000000
-
“gignin3 3”表示“前3个变量为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
模型求解整数规划(Integer Programming,简记
Max z 2x1 3x2 4x3
IPIP可) 用LINDO直接求解
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数线性规划 0－ 1模型 (IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
x1,x2,, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型
其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：

运筹学01整数规划

min Z 7x2 3x1 x4 x3
x2 2x1 x4 x3 1
s.t
x2 x1 4x4 6x3 8 3x2 5x1 x4 5
x1, x2, x3, x4 0 or 1
(x 2 ,x 1 ,x 4 ,x 3 ) Z 值
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。例1：投资场所的选定——相互排斥的计划某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
注：当决策变量(x1, x2 , x3)按(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1),... 方式取值时, 为了减少计算次数, 通常将目标函数中的决策变量的顺序按其系数的大小重新排序, 以使最优解能较早出现。对最大化问题, 按从小到大的顺序排列；对极小化问题, 则相反。
例2：求解下述0-1整数规划问题
min Z 3x1 7 x2 x3 x4
2 x1 x2 x3 x4 1
s.t
x1 x2 6 x3 4 x4 8 5x1 3x2 x4 5
x1, x2 , x3 , x4 0 or 1
解：重新排序为
以例子说明上述求解方法
例1: 求解下述0-1整数规划问题
max Z 3 x1 2 x 2 5 x 3