整数规划和01规划

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例5一个旅行者要到某地作两周的带包旅行,装背包时,他发 现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他打 算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又能使 使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值(这里用打分数 的办法表示价值)如下表所示,问旅行者应该选取哪些物件为 好？
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例2 今有一台机器将一周生产的两种型号的冷饮杯 存储在150立方米的储藏室 里,并同时进行出售.已知 这台机器能在6小时内生产一百箱Ⅰ号杯,5小时内生 产一百箱Ⅱ号杯,生产以百箱为单位计算,预计每周 生产60小时.如果Ⅰ号杯每百箱占体积10立方米,每 百箱可获利润500元,每周售出数量不会超过800箱 ;Ⅱ号杯每百箱占体积20立方米, 每百箱可获利润 450元,每周售出数量不受限制.为保证总收益为最大, 每周应安排生产Ⅰ、Ⅱ号杯各多少百箱？
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解: 设每周生产Ⅰ、Ⅱ号杯各 x1, x2百箱,则有如下
数学模型
max z 500x1 450x2
6x1 5x2 60 10x1 20x2 150 x1 8 x1, x2 0且为整数
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·完全枚举法
X2≤3
X2≥4
V1 X1=3,X2=3,Z2=39 V2 X1=1.8,X2=4,Z1=41
X1≤1
X1≥2
V3 X1=1,X2=4.44, Z4=40.56
V4 不可行
X2≤4
X2≥5
V5 X1=1,X2=4,Z5=37 V6 X1=0,X2=5,Z6=40
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·0-1整数规划
1.什么是0-1整数规划？
0-1 整数规划是一种特殊形式的整数规划， 这时的决策变量xi 只取两个值0或1，一般的解 法为隐枚举法。
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2.什么时候采用0-1整数规划法？
正如计算机只懂得0,1两个数，1代表是，0代 表否。同样的，在0-1整数规划中的0和1并不是 真真意义上的数，而是一个衡量事件是否发生 的标准。一般来说，我们在从多个事物中选出 其中一部分，在一定的条件下求解最优情况时 可以采用0-1整数规划法。
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解：建立模型为
max Z=6x1 7x2 3x3 9x4
s.t.
2x1 3x2 x3 4x4 5
xi
0,1i
1, 2,3, 4
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由上表可知，问题的最优解为 X*=( x1 =1 x2=0 x3=1 ) 但此法 太繁琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加 入一定的条件，就能较快的求得最优解： 找到x1 =0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必讨论， 如下表。
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例1 集装箱运货问题：
已知甲乙两种货物的装运和获利情况如下表所示，问：甲乙两 货物各托运多少箱，可使获得利润最大？
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解：设 x1, x2 为甲乙两货物各托运箱数
max z 20x1 10x2
52xx11
4x2 5x2
24 13
x1,
x2
0且为整数
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(1) 原线性规划有最优解，当自变量限制为 整数后，其整数规划解出现下述情况：
a原线性规划最优解全是整数，则整数规 划最优解与线性规划最优解一致。
b原线性规划最优解不全是整数，则整数 规划最优解小于原线性规划最优解（max） 或整数规划最优解大于原线性规划最优解 （min）。
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例4 用分支定界法求以下整数规划
max z 5x1 8x2
5x1x1x92
x2
6
45
xx
,
x2
0且为整数
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x2
x1
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开始
V0 X1=2.25,X2=3.75;Z0=41.25
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整数规划的分类
变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
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·整数规划模型的建立 ·整数规划模型的求解
·完全枚举法 ·分支定界法 ·割平面法
·0-1数规划模整型
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整数规划是什么?
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规 划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数 线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适 用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一 切整数规划。
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故按整数规划约束条 件，其可行解肯定在线性 规划问题的可行域内且为 整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限 集，求如得图（所2示，。2）（3，1）点为最大值，。
在求解整数规划问题时，可将集合内的整数点一一找 出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
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·分支定界法
对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的 所有可行解空间恰当地进行系 统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行 解空间反复地分割为越来越小的子 集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目 标下界（对于最小值问题），这称 为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集 目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集 可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思 路。
例3：设整数规划问题如下
max z x1 x2
146xx1 193xx22
51 1
x1
,
x2
0且为整数
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现求整数解（最优 解）：如用“舍入取整法” 可得到4个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显 然，它们都不可能是整数 规划的最优解。