高斯牛顿迭代
梯度下降 高斯牛顿
梯度下降和高斯牛顿是机器学习和优化领域常用的两种优化方法。
梯度下降是一种常用的一阶优化算法，可以用于求解目标函数的最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度（即指向最大增长方向的向量）并沿着梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛达到最小值。
高斯牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更快地寻找最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度和海森矩阵（即二阶导数）来更新参数，直到收敛达到最小值。
相比于梯度下降，高斯牛顿法通常更快地收敛，但要求目标函数的二阶导数可计算和海森矩阵可逆。
在实际应用中，梯度下降通常适用于目标函数的梯度容易计算的场合，而高斯牛顿法则适用于目标函数参数较少、目标函数相对平滑、并且具有较快的收敛速度的场合。
1-3及4高斯法和牛顿法.
1.4.2牛顿潮流算法的修正方程式
现代电力系统分析
在将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采 用f(x)的数学表达式以及复数电压变量采用的坐标形式的不 同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。
以下讨论用得最为广泛的f(x)采用功率方程式模型，而电 压变量则分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。
(一)极坐标形式
现代电力系统分析
上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代 的修正量
x(0) [ f (x(0) )]1 f (x(0) )
将 x(0)和相x加(0)，得到变量的第一次改进值x(1)。接着就从x(1) 出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值x(0)出发，应 用牛顿法求解的迭代格式为:
现代电力系统分析
图1-1是增广矩阵按行消元的示意图，图中表示了五阶增 广矩阵的前四行，其中1-3行已完成了消元运算且已经存放 在内存中，接着要进行的是第四行的消元运算，即消去对角 元以左的三个元素。在具体的程序中，待消行是放在一个专 用的工作数组中进行消元运算的。
这种按行消元做法的好处:
现代电力系统分析
是对于消元过程中新注入的非零元素，当采用“压缩” 存储方式时，可以方便地按序送入内存，不需要预留它们 的存放位置。
特别值得注意的是由于不必一次形成整个雅可比矩阵， 且常数项的消元运算已和矩阵的消元过程同时进行，因此 这种牛顿潮流算法求解修正方程式时，所需的矩阵存储量 只是消元运算结束时所得到的用以进行回代的上三角矩阵 而已。
现代电力系统分析
(3)分析雅可比矩阵的非对角元素的表示式可见，某个非对 角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素Yij是否为零。 因此如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵 分块，把每个2X2阶子阵；作为分块矩阵的元素，则按节点 号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样 的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。
高斯赛德尔法牛顿拉夫逊法和pq分解法关系
高斯赛德尔法牛顿拉夫逊法和pq分解法关系高斯赛德尔法、牛顿拉夫逊法和PQ分解法都是数值计算中常用的方法，它们在解线性方程组和优化问题中发挥着重要的作用。
本文将从各个方法的原理、特点以及相互之间的关系来进行探讨，从而更好地理解它们在数值计算中的应用。
首先，我们来简单介绍一下这几种方法的原理和特点。
高斯赛德尔法是一种迭代法，用于解线性方程组。
其基本思想是以一种迭代的方式不断逼近方程组的解。
具体来说，高斯赛德尔法会逐个地解方程组中的每个方程，而不是一次性地进行整体的运算。
这种逐个解方程的方式可以使得计算结果更加准确和稳定，特别是对于对角占优的方程组来说，高斯赛德尔法有着较好的收敛性。
牛顿拉夫逊法，又称牛顿法或牛顿-拉夫逊法，是一种用来解优化问题的方法。
它的基本思想是通过构造一个局部二次模型来逼近原始函数，然后求解这个二次模型的最小值，从而找到原始函数的最小值点。
牛顿拉夫逊法通常能够在少量的迭代步骤内找到较好的解，并且在问题的局部最优解附近有着很好的收敛性。
PQ分解法是一种用来解对称正定线性方程组的方法。
它的基本思想是将方程组的系数矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个是对称正定的，另一个是上（下）三角矩阵。
这样可以将原始的线性方程组转化为两个较为简单的方程组，分别进行求解，进而得到原始方程组的解。
PQ分解法通常能够在较少的计算量下得到方程组的解，因此在实际应用中有着广泛的应用。
接下来我们来谈谈这几种方法之间的关系。
首先，高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法在某种程度上可以看作是相互关联的。
在数值计算中，很多问题可以通过线性化的方式来求解。
而高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法分别代表了线性问题和非线性问题的求解方法。
高斯赛德尔法通过逐个解方程的方式来求解线性方程组，而牛顿拉夫逊法通过构造局部二次模型来逼近原始函数来求解优化问题。
可以看出，二者在求解问题时都是采取了迭代的方式，通过不断地逼近解来达到最优解。
因此在某些场景下，高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法有着一定的相似性和关联性。
高斯牛顿法求解非线性问题
高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。
如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。
高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。
高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。
具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。
若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。
对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。
高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。
将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。
将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。
基于高斯-牛顿迭代的三星时差定位融合算法
明 其 算 法 可 提 高 整 个 定 位 系 统 的 定 位 精 度 。 许 丞 梁 [5]
位可以提高定位精度并节省增加卫星数量的成本。
将 到 达 时 间 差 和 到 达 频 率 差（FDOA）、到 达 角
收稿日期：2020‒07‒26；2020‒08‒19 修回。
作 者 简 介 ： 徐 英 杰（1995-），男 ，硕 士 研 究 生 ，主 要 研 究 方 向 为 无
·技术前沿·
航天电子对抗
2020 年第 5 期
基于高斯-牛顿迭代的三星时差定位融合算法
徐英杰，郭福成
（国防科技大学电子科学学院，湖南 长沙 410000）
摘 要 ： 若 三 星 时 差（TDOA）定 位 系 统 可 多 次 接 收 到 辐 射 源 信 号 并 进 行 定 位 ，则 通 过 不
同时刻观测的多组时差和高程信息融合可能可以提高定位精度。将先验高程信息建模为三
基于高斯牛顿迭代的三星时差定位融合算法2020365????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4结束语本文提出了一种在卫星位置不确定的情况下三星基于多次观测的时差和高程信息融合定位算法并与目前工程上现有的位置合批处理方法进行了比较实验仿真证明本文提出的算法定位精度优于现有的位置合批处理方法
Key words：satellite；time-difference-of-arrival（TDOA）；location；fusion
pytorch 高斯牛顿算法-概述说明以及解释
pytorch 高斯牛顿算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯牛顿算法是一种优化算法，它结合了牛顿法和梯度下降法的优点，旨在更快地收敛到目标函数的极小值点。
在机器学习和深度学习领域中，优化算法的选择对模型的性能起着至关重要的作用。
PyTorch作为一种流行的深度学习框架，为我们提供了丰富的优化算法实现，其中也包括了高斯牛顿算法。
本文将介绍高斯牛顿算法的原理和在PyTorch中的应用，以及对其优缺点进行分析，旨在帮助读者更好地理解和应用高斯牛顿算法。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论高斯牛顿算法在PyTorch中的应用。
首先，在引言部分将介绍高斯牛顿算法的概念和目的，以及本文的写作动机。
然后在正文部分将详细介绍高斯牛顿算法的原理和PyTorch中的实际应用情况。
最后，在结论部分将对算法的优缺点进行分析，并展望其在未来的应用前景。
希望通过本文的分析和讨论，读者能更好地理解高斯牛顿算法在深度学习领域的价值和意义。
1.3 目的本文旨在介绍高斯牛顿算法在优化问题中的应用，并探讨其在PyTorch中的实现和优缺点分析。
通过深入了解高斯牛顿算法的原理和特点，读者可以更好地理解该算法在解决复杂优化问题中的作用和效果。
同时，本文还将展望高斯牛顿算法在未来的应用前景，为读者提供有益的参考和启发。
通过本文的阅读，读者将能够更好地掌握高斯牛顿算法的概念和应用，进而在实际项目中灵活运用该算法，提高优化效率和精度。
2.正文2.1 高斯牛顿算法介绍高斯牛顿算法是一种优化算法，用于求解非线性最小二乘问题。
它是基于牛顿法的一种改进方法，通过利用二阶导数信息来更快地收敛到最优点。
与传统的梯度下降方法相比，高斯牛顿算法在某些情况下可以更快地收敛并且更稳定。
在高斯牛顿算法中，每一次迭代都需要计算目标函数的梯度和海塞矩阵（即目标函数的二阶导数）。
然后利用这些信息来更新当前的参数值，使目标函数的值不断减小直至收敛于最优解。
电力系统三种潮流计算方法的比较
电力系统三种潮流计算方法的比较电力系统潮流计算是电力系统分析和运行控制中最重要的问题之一、它通过计算各节点电压和各支路电流的数值来确定电力系统各个节点和支路上的电力变量。
常见的潮流计算方法有直流潮流计算方法、高斯-赛德尔迭代法和牛顿-拉夫逊迭代法。
以下将对这三种方法进行比较。
首先，直流潮流计算方法是最简单和最快速的计算方法之一、它假设整个系统中的负载功率都是直流的，忽略了交流电力系统中的复杂性。
直流潮流计算方法非常适用于传输和配电系统，尤其是对于稳定的系统，其结果比较准确。
然而，该方法忽略了交流电力系统中的变压器的磁耦合和饱和效应，可能会导致对系统状态误判。
因此，直流潮流计算方法的适用范围有限。
其次，高斯-赛德尔迭代法是一种迭代方法，通过反复迭代计算来逼近系统的潮流分布。
该方法首先进行高斯潮流计算，然后根据计算结果更新节点电压，并再次进行计算，直到收敛为止。
高斯-赛德尔迭代法考虑了变压器的复杂性，计算结果比直流潮流计算方法更准确。
然而，该方法可能发生收敛问题，尤其是在系统变压器的串联较多或系统中存在不良条件时。
此外，该方法的计算速度较慢，尤其是对于大型电力系统而言。
最后，牛顿-拉夫逊迭代法是一种基于牛顿法的迭代方法，用于解决非线性潮流计算问题。
该方法通过线性化系统等式并迭代求解来逼近系统的潮流分布。
与高斯-赛德尔迭代法相比，牛顿-拉夫逊迭代法收敛速度更快，所需迭代次数更少。
此外，该方法可以处理系统中的不平衡和非线性元件，计算结果更准确。
然而，牛顿-拉夫逊迭代法需要建立和解算雅可比矩阵，计算量相对较大。
综上所述，电力系统潮流计算方法根据应用需求和系统特点选择合适的方法。
直流潮流计算方法适用于稳定的系统，计算简单、快速，但适用范围有限。
高斯-赛德尔迭代法适用于一般的交流电力系统，考虑了变压器复杂性，但可能存在收敛问题和计算速度较慢的缺点。
牛顿-拉夫逊迭代法适用于复杂的非线性系统，收敛速度快且计算结果准确，但需要较大的计算量。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
高斯牛顿迭代（GaussNewton）代码实现
⾼斯⽜顿迭代（GaussNewton）代码实现#include <cstdio>#include <vector>#include <iostream>#include <opencv2/core/core.hpp>using namespace std;using namespace cv;const double DELTAX = 1e-5;const int MAXCOUNT = 100;double function(const Mat &input, const Mat params){//给定函数已知x求ydouble a = params.at<double>(0,0);double b = params.at<double>(1,0);double c = params.at<double>(2,0);double x = input.at<double>(0,0);return exp( a*x*x + b*x + c );}double derivative(double(*function)(const Mat &input, const Mat params), const Mat &input, const Mat params, int n){// ⽤增加分量的⽅式求导数Mat params1 = params.clone();Mat params2 = params.clone();params1.at<double>(n,0) -= DELTAX;params2.at<double>(n,0) += DELTAX;double y1 = function(input, params1);double y2 = function(input, params2);double deri = (y2 - y1) / (2*DELTAX);return deri;}void gaussNewton(double(*function)(const Mat &input, const Mat ms), const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat params){int num_estimates = inputs.rows;int num_params = params.rows;Mat r(num_estimates, 1, CV_64F); // 残差Mat Jf(num_estimates, num_params, CV_64F); // 雅克⽐矩阵Mat input(1, 1, CV_64F);double lsumR = 0;for(int i = 0; i < MAXCOUNT; i++){double sumR = 0;for(int j = 0; j < num_estimates; j++){input.at<double>(0,0) = inputs.at<double>(j,0);r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - function(input, params);// 计算残差矩阵sumR += fabs(r.at<double>(j,0)); // 残差累加for(int k = 0; k < num_params; k++){Jf.at<double>(j,k) = derivative(function, input, params, k); // 根据新参数重新计算雅克⽐矩阵}}sumR /= num_estimates; //均残差if(fabs(sumR - lsumR) < 1e-8) //均残差⾜够⼩达到收敛{break;}Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;// ((Jf.t()*Jf)) 近似⿊塞矩阵params += delta;lsumR = sumR;}}int main(){// F = exp ( a*x*x + b*x + c )int num_params = 3;Mat params(num_params, 1, CV_64F);//abc参数的实际值params.at<double>(0,0) = 1.0; //aparams.at<double>(1,0) = 2.0; //bparams.at<double>(2,0) = 1.0; //ccout<<"real("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; int N = 100;double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器Mat estimate_x(N, 1, CV_64F);Mat estimate_y(N, 1, CV_64F);for ( int i = 0; i < N; i++ ){double x = i/100.0;estimate_x.at<double>(i,0) = x;Mat paramX(1, 1, CV_64F);paramX.at<double>(0,0) = x;estimate_y.at<double>(i,0) = function(paramX, params) + rng.gaussian ( w_sigma );}//abc参数的初值params.at<double>(0,0) = 0; //aparams.at<double>(1,0) = 0; //bparams.at<double>(2,0) = 0; //ccout<<"init("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; gaussNewton(function, estimate_x, estimate_y, params);cout<<"result("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; return0;}# Project: GaussNewtonDemo## All rights reserved.cmake_minimum_required( VERSION 2.6 )cmake_policy( SET CMP0004 OLD )### initialize project ###########################################################################################SET(CMAKE_BUILD_TYPE "Debug")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_DEBUG "$ENV{CXXFLAGS} -O0 -Wall -g2 -ggdb")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_RELEASE "$ENV{CXXFLAGS} -O3 -Wall")project(GaussNewtonDemo)find_package(Eigen3 REQUIRED)find_package(OpenCV REQUIRED)set(CMAKE_INSTALL_PREFIX /usr)set(BUILD_SHARED_LIBS on)set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -fPIC -O0")include_directories(${EIGEN3_INCLUDE_DIR}${OpenCV_INCLUDE_DIR})add_definitions( "-DPREFIX=\"${CMAKE_INSTALL_PREFIX}\"" )### global default options #######################################################################################set(SOURCESmain.cpp)add_executable(GaussNewtonDemo ${SOURCES}) TARGET_LINK_LIBRARIES( GaussNewtonDemo ${OpenCV_LIBS} )。
python高斯-牛顿迭代法 -回复
python高斯-牛顿迭代法-回复题目：Python高斯牛顿迭代法解析- 优化非线性问题摘要：高斯牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程组的优化算法。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的原理和使用Python实现的步骤。
我们将以一个简单的实例来说明算法的应用，并解释其背后的数学原理。
最后，我们将讨论高斯牛顿迭代法的优势和局限性。
引言：高斯牛顿迭代法是一种被广泛使用的数值优化算法，用于解决非线性问题。
不同于求解线性方程组的高斯消元法，高斯牛顿迭代法专门用于求解非线性问题。
它的应用领域涵盖了各个科学和工程领域，如计量经济学、计算机视觉和机器学习。
本文将详细介绍高斯牛顿迭代法的原理和实现步骤。
我们将以一个简单的实例来演示算法的工作原理，并对其数学背后的原理进行解析。
一、高斯牛顿迭代法原理高斯牛顿迭代法的目标是通过迭代的方式逼近方程组的根。
为了便于理解，我们以一个简单的二次曲线拟合问题为例。
假设我们有一组观测数据点(xi，yi)，我们希望通过一个二次曲线y = a * x^2 + b * x + c来拟合这些数据。
我们的目标是找到最佳的参数a、b 和c，使得拟合曲线与观测数据点的差异最小。
为了达到这个目标，我们可以定义一个误差函数E(a，b，c)来衡量拟合曲线和观测数据点之间的差异。
常见的误差函数有平方和误差函数，即E(a，b，c) = Σ(yi - (a * xi^2 + b * xi + c))^2。
我们的目标是最小化误差函数，即找到使得E(a，b，c)最小的a、b和c。
高斯牛顿迭代法通过迭代的方式逼近最佳参数。
二、高斯牛顿迭代法步骤1. 初始化参数：初始化a、b和c的初始值。
2. 计算雅可比矩阵：雅可比矩阵是误差函数对参数的偏导数矩阵。
对于二次曲线拟合问题，雅可比矩阵J可以表示为：J = [∂E/∂a, ∂E/∂b, ∂E/∂c]3. 计算梯度向量：梯度向量是误差函数在当前参数值处的梯度，即导数。
梯度向量g可以表示为：g = [∂E/∂a, ∂E/∂b, ∂E/∂c]4. 计算海森矩阵：海森矩阵是误差函数对参数的二阶偏导数矩阵。
高斯—牛顿迭代法
高斯牛顿法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。
高斯—牛顿法的一般步骤为：(1)初始值的选择。
其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。
设非线性回归模型为：i=1,2,…,n (3-68)其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设：，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得(3-69)将(3-69)式代入(3-68)式，则移项：令：则：i=1,2，…，n用矩阵形式表示，上式则为：(3-70)其中：(3)估计修正因子。
用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B，则：(3-71)设g为第一次迭代值，则：(4)精确度的检验。
设残差平方和为：，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。
(5)重复迭代。
重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子：第(S+1)次迭代值：四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表企业编号单位产品成本（元）月产量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121601511141288591757666606160101620253136404551566065(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。
根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。
即：则上述指数模型变为：对分别求反对数，得，带入原模型，得回归模型：高斯—牛顿迭代法初始回归模型：残差平方和：（2）泰勒级数展开式。
高斯法和牛顿法
缺点： 本算法的主要缺点是收敛速度很慢。 病态条件系统，计算往往会发生收敛困难 节点间相位角差很大的重负荷系统； 包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电 容等)的系统； 具有较长的辐射形线路的系统； 长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长 度比值又很大的系统。
此外，平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。 目前高斯一塞德尔法已很少使用
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数 方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变 成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称 的逐次线性化过程。
y
y f (x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y(k)
x(k )
o
x x (k 2) (k 1)
x(k)
x
PV节点 PQ节点
P1 H11
Q1
J11
QP22 Hn1
N 11 L11 N 21 L21 N p1
N n1
H12 J12 H 22 J 22 H p2
of Power Flow Pr-oblems．AIEE Trans，1956，75，III：398~404
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高斯牛顿迭代
四、非线性回归法（Method of nonlinear regression ）在药物动力学中，血药浓度与时间的关系常常不是直线而是曲线，符合指数函数或抛物线等，如一室模型静脉注射即属指数函数kt e C C -=0，通常转化为对数形式0l o g 303.2l o g C kt C +=，以log C 对t 进行线性回归求出k 值。
但此法不尽合理，因这是log C 与t 之间最小二乘，而不是C 与t 之间最小二乘。
故提出非线性回归法，此法所得结果更为准确，但其计算复杂，工作量大，必须采用电子计算机才能完成运算。
非线性回归一般采用高斯-牛顿（Gauss-Newton ）迭代法。
迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。
一般非线性参数的确定，通常采用逐次逼近的方法，即逐次“线性化”的方法。
设某药在体内的模型中待定参数a 1，a 2，a 3，…，a m ，求得隔室中药时关系的函数式为：C = f (t ，a 1，a 2，a 3，…，a m )其中t 是单个变量，t = ( t 1，t 2，t 3，…，t n )，今有n 组实验观测值（t k ，C k ）k = 1，2，…n ，在最小二乘意义下确定m 个参数a 1，a 2，a 3，…，a m 。
下面介绍一般解法。
1．先给a i (i = 1,2,…m )一个初始值，记为)0(ia ，并记初值与真值之差i ∆（未知），这时有i i i a a ∆+=)0(若知i ∆则可求a i ，在)0(i a 附近作Taylor 级数展开并略去i ∆的二次以上各项得f (t k ，a 1，a 2，…，a m )m m k k k k a f a f a f f ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂+≈02201100 式中),,,,()0()0(2)0(10m k k a a a t f f =)0()0(1121),,,(m m k i m ikoa a a a t t a a a a t f a f ===∂∂=∂∂ 当)0(i a 给定时，0k f ，i koa f ∂∂均可由t 算得。
数值分析中的牛顿迭代法
数值分析中的牛顿迭代法在现代科学技术领域中，数值计算是一项不可忽视的内容。
牛顿迭代法是数值计算中的一种重要方法，被广泛应用于数学、物理、化学、航空航天等领域。
下面就让我们来了解一下什么是牛顿迭代法，以及它的原理、特点和应用。
1. 概述牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程组的数值计算方法。
它的基本思想是：从已知函数的一个近似解出发，借助函数的切线逼近函数的零点，直到达到指定的精度要求为止。
牛顿迭代法的应用非常广泛，如求解函数的根、优化问题、最小二乘拟合、时间依赖问题等。
2. 原理假设$f(x)$是一个在$x0$处有连续二阶导数的函数。
如果要找到它在$x0$处的零点，那么牛顿迭代法的基本公式为：$$ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中，$n$表示迭代的次数，$x_{n+1}$表示迭代后的值，$x_n$表示当前的值，$f(x_n)$表示函数在$x_n$点的值，$f'(x_n)$表示函数在$x_n$点的导数。
公式的物理意义是：先用当前的$x$值求出函数值$f(x)$，然后用当前的$x$值求出函数的导数$f'(x)$，接着用$f(x)$和$f'(x)$计算出一个斜率，最后用当前的$x$值减去这个斜率，得到一个新的近似解$x_{n+1}$。
迭代过程如下：（1）选取初始值$x_0$；（2）计算出第一个近似值$x_1$，即$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$；（3）计算出第二个近似值$x_2$，即$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$；（4）依此类推，直到$f(x_n)$的值小到满足预设的精度为止。
3. 特点牛顿迭代法具有以下几个特点：（1）收敛速度快。
迭代公式是二阶收敛的，收敛速度远远超出了线性迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
（2）精度高。
根据牛顿迭代法的收敛次数和精度估计定理，只要初值足够接近所求的跟，牛顿迭代法就能收敛，并且有二阶精度。
高斯法和牛顿法
Newton法
FDLF法
计及非线性法
最优乘子法 最优潮流法 含直流或FACTS元件的 潮流
该法特点：原理简单、内存需求较少、算法收敛性差 参考文献： Tinney W F，Hart C E．Power Flow Solution by 1974 年， FDLF 法 1 、1978 年，保留非线性的快速潮流算法 Newton’s Method ．IEEE Trans on Power Apparatus and Systems， 最优潮流法 2 、1963 年，基于阻抗矩阵的的算法 Nov 1967 ，PAS-86 ： 1449～ 参考文献： Stott B， Alsac O1460 ．Fast Decoupled Load Flow．IEEE 参考文献：Iwamoto S ， Tamura Y． A Fast Load Method Brown H E，etal．Power Flow Solution byFlow Impedance Trans on Power Apparatus and Systems ， May/June 1974 ， Matrix 1 、 1962 年，最优潮流数学模型 Retaining Nonlinearity ．IEEE Trans ．PAS． 1978 ．97 （ 5）： Iterativ method ．IEEE Trans on Power Apparatus and Systems ， 1963 ， PAS-93 （ 3 ）： 859 ～ 869 参考文献： J Carpentier ． Contribution a l’etude du Dispatching 含直流和 FACTS元件的潮流计算 1586 ～1599 PAS-82 ：1~10 1971 年和 1981 Economique ． Bull年，最优乘子法潮流 ．Soc．Fr．Elec．1962．88（10）： 特点：收敛性好、内存占用量大大增加（限制解题规模） 1577 ～1581 1 、 1976 年，交直流潮流计算 2 、 1982 年，包括二阶项的快速潮流算法 参考文献： Sasson A M，etal．Improved Newton’s Load Flow 参考文献：Braunagel D A，Kraft L A，Whysong J L．Inclusion Through a Minimization Technique．IEEE Trans．PAS．1971． 2 、 1968 年，最优潮流的简化梯度法 of DC Converter and TransmisstionEquations Directly in a Newton 参考文献： Rao～ P S Nagendra ，Rao K S Prakasa ，Nanda J． 90 （ 5 ）： 1974 1981 参考文献： Dommel H W． ，PAS Tinney W F． ．95 Optimal Power Flow Power Flow ． IEEE Trans ． 1976 （ 1 ）： 76 ～ 88 An Exact Fast Load Flow Method Including Second Order Terms Solutions．IEEE Trans．PAS．1968．87（10）：1866～1876 in Rectangular Coordinates ．IEEE Trans ．PAS ．1982 ． 参考文献： Iwamoto S，Tamura Y． A Load Flow Calculation 2 、 1992 年，含 Facts 元件的潮流计算 101 （9）： ～3268 Power Systems．IEEE Trans．PAS． Method for 3261 ill-conditioned 3 、1984年，最优潮流计算的牛顿算法 参考文献： G N Taranto，L M V G Pinto，M V F Pereira．Repres1981 ．100（ 4）： 1736 ～ 1743 参考文献： Sun D IDevices ，etal ． Optimal Flow by Newton Entation of FACTS in Power Power Flow Economic Dispatch． Approach ． IEEE Trans． PAS． 1984 ． 103 （ ）： 2864 ～2880 IEEE Trans ． On Power System ， 1992 ， 7（ 110 ）： 572 ～576
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述反向高斯牛顿法是一种优化算法，常用于解决非线性最小二乘问题。
它是对经典的高斯牛顿法的改进和扩展，通过使用矩阵的逆来代替原方法中的线性近似，从而提高了算法的鲁棒性和收敛速度。
在实际问题中，往往需要通过最小化非线性函数的平方差来获得最佳拟合结果。
而高斯牛顿法则是一种常用的优化方法，通过线性近似来求解该最小化问题。
然而，当函数的非线性程度比较高时，高斯牛顿法的线性近似效果就会受到限制，导致收敛速度较慢甚至无法收敛。
反向高斯牛顿法通过使用矩阵的逆来替代高斯牛顿法中的线性近似，在一定程度上缓解了上述问题。
具体而言，该方法在每一步迭代中，通过计算目标函数的海森矩阵的逆矩阵来近似非线性函数的梯度，从而更新参数。
相比于高斯牛顿法，反向高斯牛顿法不再受限于线性近似的效果，能够更好地适应函数的非线性特性。
反向高斯牛顿法在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在计算机视觉中，它常被用于图像拼接、摄像头标定等问题的求解。
在机器学习领域，反向高斯牛顿法可以用于训练神经网络模型的参数。
此外，该方法还可以应用于地球物理勘探、信号处理等其他相关领域。
总之，反向高斯牛顿法通过改进传统的高斯牛顿法，提高了非线性最小二乘问题的求解效率和鲁棒性。
它在多个领域中都被广泛应用，并且在未来的研究中可能会有更多的发展和应用。
在接下来的章节中，我们将进一步探讨反向高斯牛顿法的原理和应用，并总结其优势，并展望未来的研究方向。
1.2 文章结构文章结构是写作过程中非常重要的一部分，它能够为读者提供一个清晰明了的框架，帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
本文以反向高斯牛顿法为主题，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
首先，我们会对反向高斯牛顿法进行简要的概述，介绍它的基本原理和应用领域。
接着，会详细描述本文的结构，包括各个部分的内容和组织方式。
最后，明确本文的目的，即通过对反向高斯牛顿法的探究，总结其优势并展望未来的研究方向。
解关于参数的方程组方法总结
解关于参数的方程组方法总结在物理、数学、工程等领域中，求解参数的方程组是一项非常重要的任务。
参数方程组是指方程组中存在未知参数的情况，这使得求解变得更加困难。
为了解决这个问题，人们提出了一些有效的方法来求解参数方程组。
本文将对几种常见的参数方程组求解方法进行总结。
第一种方法是使用最小二乘法。
最小二乘法是一种常见的线性回归方法，常用于拟合数据、求解参数等方面。
在解参数方程组时，可以将参数看作未知数，然后将方程组转化成形如$Ax=b$的线性方程组，其中A为系数矩阵，x为未知参数向量，b为常数向量。
由于方程组中存在未知参数，因此无法直接求解，这时可以使用最小二乘法求解。
最小二乘法可以通过求解$||Ax-b||^{2}$的最小值来得到未知参数的最优解。
第二种方法是牛顿法。
牛顿法是一种常用的优化方法，常用于求解非线性问题。
在解参数方程组时，可以将方程组看作非线性方程组。
然后可以通过牛顿法迭代求解未知参数的最优解。
牛顿法的迭代公式如下：$x_{k+1}=x_{k}-[J(x_{k})]^{-1}f(x_{k})$其中，$J(x_{k})$为$f(x)$的雅可比矩阵，$f(x)$为方程组的函数表达式。
牛顿法可以通过迭代求解，不断逼近未知参数的最优解。
第三种方法是使用高斯-牛顿法。
高斯-牛顿法是一种常用的非线性最小二乘法，常用于解决非线性参数拟合问题。
在解参数方程组时，可以将方程组看作非线性方程组，然后使用高斯-牛顿法进行迭代求解。
高斯-牛顿法可以通过迭代求解，不断逼近未知参数的最优解。
第四种方法是使用拟牛顿法。
拟牛顿法是一种非线性优化方法，常用于解决无约束优化问题。
在解参数方程组时，可以将方程组看作非线性方程组，然后使用拟牛顿法进行迭代求解。
拟牛顿法可以通过近似牛顿方程，不断逼近未知参数的最优解。
总之，求解参数方程组是物理、数学、工程等领域中常见的任务。
本文介绍了几种常见的参数方程组求解方法，包括最小二乘法、牛顿法、高斯-牛顿法和拟牛顿法。
opencv 高斯牛顿法
opencv 高斯牛顿法【实用版】目录1.OpenCV 简介2.高斯牛顿法原理3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用4.高斯牛顿法的优缺点5.总结正文1.OpenCV 简介OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它包含了大量的图像处理和计算机视觉方面的算法。
OpenCV 的目的是为人工智能、机器视觉、图像处理等领域的研究人员和开发者提供一个通用且高效的平台。
它支持多种编程语言，如 C++、Python 等，使得开发者可以方便地在不同的操作系统上进行开发和测试。
2.高斯牛顿法原理高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于求解非线性最小二乘问题的优化算法。
它的基本思想是通过对数据点进行加权最小二乘拟合，以求得参数的最优值。
在图像处理领域，高斯牛顿法常用于求解图像的参数，例如相机的内部参数和外部参数等。
3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用在 OpenCV 库中，高斯牛顿法被广泛应用于以下领域：（1）相机标定：相机标定是计算机视觉领域的一个重要环节，其目的是通过拍摄包含已知几何形状的场景，求解相机的内部参数（如焦距、光心坐标等）和外部参数（如旋转和平移矩阵）。
OpenCV 提供了一系列的函数来实现相机标定，其中就包括了使用高斯牛顿法的函数。
（2）图像拟合：在图像处理中，常常需要对图像进行参数化的拟合，以求得图像中的关键点或者纹理等信息。
OpenCV 中提供了基于高斯牛顿法的图像拟合函数，可以对图像中的特征点进行精确的拟合。
（3）优化问题求解：OpenCV 中还提供了一些基于高斯牛顿法的优化问题求解函数，如求解线性或非线性最小二乘问题等。
4.高斯牛顿法的优缺点高斯牛顿法具有以下优缺点：（1）优点：高斯牛顿法是一种迭代法，其迭代公式具有较好的数值稳定性，可以快速地收敛到最小二乘解。
同时，高斯牛顿法具有一定的鲁棒性，对于存在噪声的数据点也能获得较好的拟合效果。
高斯法和牛顿法
FDLF法
计及非线性法
最优乘子法 最优潮流法 含直流或FACTS元件的 潮流
该法特点：原理简单、内存需求较少、算法收敛性差 by 参考文献：Tinney W F，Hart C E．Power Flow Solution 1974年，FDLF法 1、1978年，保留非线性的快速潮流算法 Systems， Newton’s Method．IEEE Trans on Power Apparatus and 最优潮流法 2、1963年，基于阻抗矩阵的的算法 Nov 1967，PAS-86：1449～1460 Decoupled Load Flow．IEEE 参考文献：Stott B，Alsac O．Fast 参考文献：IwamotoE，etal．Power FlowFast Load Flow Method 参考文献：Brown H S，Tamura Y．A Solution by Impedance Matrix Trans on Power Apparatus and Systems，May/June 1974， 1、1962年，最优潮流数学模型 Apparatus and Systems，1963， Retaining Nonlinearity．IEEE Trans．PAS．1978．97（5）： Iterativ method．IEEE Trans on Power PAS-93（3）：859～869 参考文献：J Carpentier．Contribution a l’etude du Dispatching 含直流和FACTS元件的潮流计算 1586～1599 PAS-82：1~10 1971年和1981年，最优乘子法潮流 Economique．Bull．Soc．Fr．Elec．1962．88（10）： 特点：收敛性好、内存占用量大大增加（限制解题规模） 1577～1581 1、1976年，交直流潮流计算 2、1982年，包括二阶项的快速潮流算法 Flow 参考文献：Sasson A M，etal．Improved Newton’s Load 参考文献：Braunagel D A，Kraft L A，Whysong J L．Inclusion Through a Minimization Technique．IEEE Trans．PAS．1971． 2、1968年，最优潮流的简化梯度法 of DC Converter P S Nagendra，Rao K S Prakasa，Nanda Newton 参考文献：Rao and TransmisstionEquations Directly in a J． 90（5）：1974～1981 W，Tinney W F．Optimal Power Flow 参考文献：Dommel H Power Flow．IEEE Flow Method Including Second Order Terms An Exact Fast Load Trans．PAS．1976．95（1）：76～88 Solutions．IEEE Trans．PAS．1968．87（10）：1866～1876 in Rectangular Coordinates．IEEE Trans．PAS．1982． 参考文献：Iwamoto S，Tamura Y．A Load Flow Calculation 2、1992年，含Facts元件的潮流计算 101（9）：3261～3268 Power Systems．IEEE Trans．PAS． Method for ill-conditioned 3、1984年，最优潮流计算的牛顿算法 参考文献：G N Taranto，L M V G Pinto，M V F Pereira．Repres1981．100（4）：1736～1743 参考文献：Sun D I，etal．Optimal PowerEconomic Dispatch． Entation of FACTS Devices in Power Flow Flow by Newton Approach．IEEEPower System，1992，7（1）：572～576 IEEE Trans．On Trans．PAS．1984．103（10）：2864～2880
高斯—牛顿迭代法
高斯—牛顿迭代法高斯-牛顿迭代法是一种算法，可以有效地求解多元函数的最大值、最小值及极小值，是近期公认的一种高效的求解一元函数和多元函数极值问题的重要方法。
一、历史沿革高斯-牛顿迭代法发源于17th世纪，贝叶斯（1668年-1732年）提出，他曾研究高斯、牛顿和拉格朗日的算法，并综合整理它们的优点，最终形成了高斯-牛顿迭代法。
贝叶斯的研究为下一代数学家们提供了有用的洞见，例如拉格朗日（1646年-1716年）。
他发现了拉格朗日比较法，一种有效求解定积分的方法，并最终将其与贝叶斯的努力结合在一起，形成了高斯-牛顿迭代法。
二、原理及计算方式高斯-牛顿迭代法的基本原理是通过求解一元和多元函数的导数来求极大值、极小值、或极小值。
所以，本算法的步骤主要有以下三步：1.函数的倒数2. 使用迭代法求解函数的极大值、极小值3.据函数的极大值、极小值，推导原函数而计算过程也相当简单，用一个函数表示如下：迭代公式：X[n+1] = X[n] - f（X[n]）/ f’（X[n]）其中，X[n]为初始的不定极小值，f（X[n]）是函数f的结果，f’（X[n]）表示函数f的导函数的结果。
三、应用场景高斯-牛顿迭代法由于其精确、快速，应用非常广泛，可以用来求解函数、线性代数、拟合数据等领域中的数学问题，例如：1.于图像优化中对参数的优化；2.于拟合数据，比如经验散点回归；3.于求解机器学习中的最优解，包括求解最小二乘法、支持向量机、神经网络等；4.于求解调和级数的极限；5.于解决经济、物理、化学、生物学等领域的最优解；6.于求解线性代数中的矩阵最小二乘问题；7.于最优化控制、优化调度、智能计算等场景中的函数优化问题。
四、优点高斯-牛顿迭代法在求极值时具有许多优势：1.算快速、效率高：运用高斯-牛顿迭代法求解极值时，由于采用了迭代法，运算速度快，比其他算法更为高效。
2.算结果精确：由于使用的是高斯-牛顿迭代法，可以接近极限，从而使计算结果更加精确。
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2 2 2 x 2 2 x1 x x1 y 2 2 y1 y y1 d1 数学模型 2 2 2 x 2 2 x 2 x x 2 y 2 2 y2 y y2 d 2 2 2 2 2 x 2 x 3 x x 3 y 2 2 y3 y y3 d 3
PDOP a11 a22 a33
HDOP a11 a22
VDOP a33
时间DOP
TDOP a44
《GPS卫星导航定位原理与方法》, 刘基余
y 40 ( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2
g11 g 21
g12
g22 g32
y 10 ( x 50)2 ( y 10)2 y 50 ( x 100)2 ( y 50)2
g31
x 100 ( x 100) ( y 50)
矩阵表示
x 2 x1 x x 1 3
y2 y1 x b1 y3 y1 y b2
例1 已知三个接法定位
xk 10 50 100
yk 40 10 50
d 33.5 40 60
方程组局部线化
f1 ( x0 , y0 ) ( x x0 ) g11 ( y y0 ) g12 0 f 2 ( x0 , y0 ) ( x x0 ) g 21 ( y y0 ) g 22 0 f ( x , y ) ( x x )g ( y y )g 0 0 31 0 32 3 0 0
a11 a 21 A (G T G ) 1 a 31 a41
a12 a 22 a 32 a42
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a44
几何DOP 位置DOP 水平DOP 垂直DOP
GDOP a11 a22 a33 a44
x x0 T T (G0 G0 ) 1 G0 F0 y y0
初值修正 高斯-牛顿迭代
x1 x0 T T (G0 G0 )1 G0 F0 y1 y0 xk 1 xk T T (Gk Gk )1 Gk Fk yk 1 yk ( k 0,1,2, )
非线性超定方程组
f1 ( x , y ) 0 f 2 ( x, y) 0 f ( x, y) 0 3
( x X )2 ( y Y )2 0 1 1 1 2 2 ( x X 2 ) ( y Y2 ) 2 0 2 2 ( x X 3 ) ( y Y3 ) 3 0
x = 40.824 y = 49.2983
比较直接法结果
x = 40.9500 y = 47.5625
( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2 33.5 s 0
修正模型:
( x 50 ) 2 ( y 10 ) 2 40 s 0 ( x 100 ) 2 ( y 50 ) 2 60 s 0
f k gk 1 x
gk 2
( x 0 , y0 )
f k y
gk 1
( x0 , y0 )
x0 X k
gk 2
( x0 X k )2 ( y0 Yk )2 y0 Yk
( x0 X k )2 ( y0 Yk )2
线性超定方程组
x x0 G0 F0 y y0
非线性超定方程组求解
——高斯-牛顿迭代法简介
平面三点定位原理 非线性超定方程组 高斯-牛顿迭代法 空间定位原理
手机位置的三点定位法
已知三个基站的位置
P1(x1, y1) P2(x2, y2) P3(x3, y3)
d1
d2 Q
d3
手机位置 Q(x, y) ？？ 已测得Q到点P1、P2以及 P3 的距离d1,d2和 d3
( x2 x1 ) x ( y2 y1 ) y b1 ( x3 x1 ) x ( y3 y1 ) y b2
2 2 2 2 2 b1 [d 2 d12 ( x1 y1 ) ( x2 y2 )]/ 2 其中， 2 2 2 2 2 2 b2 [d3 d1 ( x1 y1 ) ( x3 y3 )]/ 2
( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2 33 .5 0
非线性方程组
x 10 ( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2 x 50 ( x 50 ) 2 ( y 10 ) 2
( x 50 ) 2 ( y 10 ) 2 40 0 ( x 100 ) 2 ( y 50 ) 2 60 0
x = 40.9500 y = 47.5625
定位解算实验1: P=[10,40;50,10;100,50]; d=[33.5;40;60]; t=linspace(0,2*pi,100); xd=P(:,1); yd=P(:,2); xt=xd*ones(1,100)+d*cos(t); yt=yd*ones(1,100)+d*sin(t); figure(1),plot(xd,yd,'or',xt',yt','b') A=[P(2,:)-P(1,:);P(3,:)-P(1,:)]; R=xd.^2+yd.^2;D=d.^2; b=-0.5*[D(2)-D(1)+R(1)-R(2);D(3)-D(1)+R(1)-R(3)]; Q=A\b
2.最小二乘法解超定方程组 GX=L 其中, X = [ x 3. 计算修正量
y z b ]T
x x + x , y y + y, z z + z
4.判断 | x|+| y|+| z|≤10-8 是否成立，
若不成立则转第1步； 若成立，则结束计算。
精度因子(DOP)
局部线化:
g11 g 21 g 31
g12 g 22 g 32
1 x x0 f 1 ( x0 , y0 ) y y f ( x , y ) 1 0 2 0 0 f 3 ( x 0 , y 0 ) 1 s
2 2
初值选取:
x0 (10 50 100) / 3 y0 (40 10 50) / 3
高斯-牛顿迭代法
53.3333 41.2921 41.0806 41.0823 41.0824 41.0824 ··· ··· ·· 33.3333 49.4713 49.3049 49.2986 49.2983 49.2983 ··· ··· ··
1.构造几何方程组系数矩阵 G 和右端向量 L
计算 gj1=(Xj – x )/Dj,gj2=(Yj – y )/Dj,gj3=(Zj – z )/Dj, gj4= – 1 , Lj= Dj – j ( j =1,2,···,N) ···
D j ( X j x ) 2 (Y j y ) 2 ( Z j z ) 2
yt=yd*ones(1,100)+d*sin(t);
figure(1),plot(xd,yd,'or',xt',yt','b')
x=sum(P(:,1))/3;y=sum(P(:,2))/3; X=[x;y];Pk=X; for t=1:6 for k=1:3 Dk=X'-P(k,:);dk=norm(Dk); G(k,1:2)=Dk/dk;F(k)=dk-d(k); end G(:,3)=ones(3,1);dX=G\F'; X=X-dX(1:2,:); Pk=[Pk,X]; end s=dX(3) Pk D=P-[1;1;1]*X'; rd=sqrt(sum(D.^2,2)) d+s
g11 g 21 g 31
g12 f 1 ( x0 , y0 ) x x 0 f ( x , y ) g 22 2 0 0 y y0 f 3 ( x 0 , y 0 ) g 32
超定方程组最小二乘解
GPS接收机定位解算原理
S2 S3
几何方程组
S4
GX = L
g13 g 23 gm 3 1 1 1
S1
T
g11 g 21 G gm1
g12 g 22 gm 2
( x X )2 ( y Y )2 ( z Z )2 b 0 1 1 1 1 ( x X )2 ( y Y )2 ( z Z )2 b 0 2 2 2 2 2 2 2 ( x X m ) ( y Ym ) ( z Z m ) b m 0
全球定位系统（Global Positioning System - GPS） 是美国从本世纪70年代开始研制，历时20年，耗 资200亿美元，于1994年全面建成，具有在海、陆、 空进行全方位实时三维导航与定位能力的新一代 卫星导航与定位系统。
北斗卫星导航系统是中国自行研制 开发的区域性卫星定位与通信系统。 和美国GPS、俄罗斯GLONASS相 比，增加了通讯功能。 2011年7月27日5时44分，我国西昌卫星发射中 心“长征三号甲”运载火箭，成功将第九颗北 斗卫星送入预定转移轨道。