《实数和二次根式》知识点汇总

《实数和二次根式》知识点

1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a

2=，则x叫做a的平方根。

2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。

3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。

5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。

注：（1）非负数才有算术平方根

（2）非负数的算术平方根仍为非负数

6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a

7.立方根：

（1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a

3=，则x叫做a的立方根。

（2）立方根的表示：a3

（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。

（4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

8.平方根和立方根的区别

（1）被开方数的取值范围不同

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。

9.实数：有理数和无理数统称为实数。

实数与数轴上的点一一对应。

分类：

实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。

11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。

注：（1）含有二次根号

“”

（2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数

（3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00()

12.二次根式的基本性质：

()()a a a 20=≥

非负数a 可以写成一个数的平方的形式a a a =≥()()20

13.二次根式的性质：

a a a a a a 2

00==≥-<⎧⎨⎩||()() 注：（1）在应用性质时，注意规范书写格式，绝对值这一步要写，然后再根据绝对值符号内的式子进行进一步化简。

（2）在应用性质时，若给出条件，则在给出的条件下进行化简，若未给出条件，则需分类讨论。

14.注意a 2与()a 2的区别与联系

（1）平方符号位置不同

（2）意义不同：()a 2表示a 的算术平方根的平方；a 2表示a 的平方的

算术平方根

（3）取值范围不同：在()a 2中a ≥0，在a 2中，a 是全体实数

（4）运算结果不同：()()a a a 20=≥，a a 2=||

（5）a 2与()a 2都是非负数，当a ≥0时，a a 22=()

15.积的算术平方根：ab a b =⋅（a b ≥≥00，）

商的算术平方根：a b a b =（a b ≥>00，）

16.二次根式乘法：a b ab ⋅=（a b ≥≥00，）

二次根式除法：a b a b =（a b ≥>00，）

分母有理化：a

b

a b

b

ab

b

=

⋅

=

()2（a b

≥>

00

，）

17.最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件：

（1）被开方数不含有能开得尽方的因数或因式

（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式

我们把这个二次根式叫最简二次根式。

注：一般地，二次根式运算的结果应化为最简二次根式。

18.同类二次根式：一般地，几个二次根式分别化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，就把这几个二次根式叫同类二次根式。

19.进行二次根式加减法的一般步骤：

（1）将每个二次根式化为最简二次根式

（2）找出其中的同类二次根式

（3）合并同类二次根式

合并同类二次根式：与合并同类项类似

20.代入求值

（1）先化简二次根式，再代入求值

（2）注意“整体代换”的思想

21.二次根式的混合运算：明确二次根式的运算顺序，与实数的运算顺序一样，先乘方开方再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，实数中的运算律、运算法则及所有的公式在二次根式中依然适用。《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：

春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。《春雨的色彩》意境优美，散文诗中绵绵的春雨，屋檐下叽叽喳喳的小鸟，万紫千红的大地，给人以美的陶冶和享受，与此同时启发幼儿通过简洁优美的语言以及相应的情景对话练习感受春天的勃勃生机。激发幼儿热爱大自然的情感，启发幼儿

观察、发现自然界的变化，感知春的意韵，并尝试运用多种方法把春雨的色彩表现出来，以此来表达自己的情感体验。

二、幼儿情况分析：

中班下学期的幼儿探究、分析、观察能力有了一定的发展，并且孩子们充满了好奇心和强烈的探究欲，能主动地去探究周围和环境的变化，并且能根据变化运用自己的表达方式将感知到的变化加以表现。同时这个时期的幼儿的语言表达能力及审美能力有一定的发展，孩子们在平时的活动中也积累了许多有关绘画方面的经验在活动展示出来。

三、活动目标：

教育活动的目标是教育活动的起点和归宿，对教育活动起着主导作用，我根据中班幼儿的实际情况制定了一下活动目标：

1、情感态度目标：引导幼儿感受散文诗的意境美。

2、能力目标：发展幼儿的审美能力和想象力。

3、认知目标：帮助幼儿在理解散文的基础上感受春天的生机，知道春雨对万物生长的作用。

四、活动的重点和难点：

重点是：引导幼儿份角色朗诵小动物的对话，感受散文诗的优美，进而丰富词汇、发展幼儿的观察能力、思维和语言表达能力。

难点是：学习词语“淋、滴、洒、落”、学习春雨的对话、诗句“亲爱的小鸟们，你们说得都对，但都没说全面，我本身是无色的，但我能给春天的大地带来万紫千红”。

五、活动准备：

1、经验准备：课前学会朗诵诗《春天》，并组织幼儿春游，根据天气情况实地观察春雨，让幼儿感受了解春天的有关知识经验。

2、物质准备：小动物头饰、教学课件、幼儿绘画用纸笔

六、教法：陶行知先生曾经说：“解放儿童的双手，让他们去做去干”所以在本次活动中，我力求对幼儿充分放手，对大限度的激发幼儿的学习兴趣，让他们自己去探究、去发现、去感受，我主要采取了以下教学法：

1、谈话法：在活动得导入环节我运用与幼儿进行有关春天主题的谈话，帮助幼儿积累整理自己积累的有关春天的知识经验。

2、演示法：在活动中我通过多媒体课件向幼儿展示春天的勃勃生机，《春雨的色彩》散文诗的情景，也是通过课件中轻柔的配乐诗朗诵体现出来的。现代教学辅助手段的运用进一步强化了他的作用，使幼儿对春天、春雨更加了解和熟悉。

3、情景演示法：将幼儿置身于《春雨的色彩》散文情景中，通过角色表演，强化幼儿对春雨的色彩的感受。

此外我还适时采用了交流讨论法、激励法、审美熏陶法和动静交替法加以整合，使幼儿从多方面获得探索过程的愉悦。

七、学法：

1、多种感官参与法：《新纲要》中明确指出：幼儿能用多种感官动手动脑、探究问题，用适当的方式表达交流探索的过程和结果，本次活动中，幼儿通过观察发现自然界的变化，感知春天的意韵，并尝试引导幼儿运用多种方法把春雨的色彩表现出来，以此来表达自己的情感体验。

2、体验法：心理学指出：凡是人们积极参与体验过的活动，人的记忆效果就会明显提高。在活动中，让幼儿自己进行角色表演，说出小动物们之间的对话，一定会留下深刻的印象，同伴之间合作表演的快乐，也将成为他们永远的回忆。