答案 拓扑学基础A

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校

课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷

授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2011年 5月26日 试卷：共 3 页

一、填空题：（每空2分，共30分）

1. 数字10的连通分支的个数是 2 ，数字6的连通分支的个数是 1 。 2．数字8的割点的个数是 1 。数字4的割点的个数是 无穷 。 3． 汉字“王” 的指数为1的点的个数为 6 ，指数为2的点的个数为 无穷 ，指数为3的点的个数为 2 ，指数为4的点的个数为 1 。 4．给实数集赋予余可数拓扑，则有理数集的导集是 空集 ，闭包是有理数集。 5．设{,,}X a b c =，写出5个拓扑 平凡拓扑 ， 离散拓扑 ，

{,,{}}X a ∅ ， {,,{}}X c ∅ ， {,,{}}X b ∅ 。

二、问答题：（共30分）

1. 举例说明任意多个闭集的并未必是闭集。（5分）

答：给实数集合赋予欧氏拓扑，则每个单点集合都是闭集。设(0,1)A =，则显然A 不是闭集，但{}x A A x ∈= ，是闭集的并。 注：例子不唯一，正确即可。

2. 叙述第二可数空间的定义并给出一个不是第二可数空间的例子。（5分）

答：若拓扑空间具有一个可数拓扑基，则称它为第二可数空间。 （2分） 给实数集合赋予离散拓扑，则每个单点集都是开集，且每个单点都不是异于自身的非空集合的并，从而每个单点集都应在基中，即不存在可数的拓扑基，这说明不是第二可数空间。 （5分） 注：例子不唯一，正确即可。

3. 叙述0T 空间、1T 空间、2T 空间的定义。给出不是0T 空间的例子，以及不是2T 空间的1T 空间的例子。（10分）

答：设X 是拓扑空间，若对其中任意两点都存在其中一点的开邻域不包含另外一点，则称其为0T 空间； （2分） 若对其中任意两点都存在每一点的开邻域不包含另外一点，则称其为1T 空间；（4分） 若对其中任意两点都存在各自的开邻域使得这两个开邻域不相交，则称其为2T 空间； （6分） 不少于两点的平凡空间不是0T 空间； （8分） 给实数集赋予余有限拓扑，则它是1T 空间，不是2T 空间。 （10分） 注：例子不唯一，正确即可。

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4.简述Mobius 带与平环的区别。（5分） 答：（1）平环的边界是两条封闭曲线，而Mobius 带的边界是一条。 （2）平环是双侧的，而Mobius 带是单侧的。 （3）平环沿中线割开可将其分成两个平环，而沿Mobius 带的中线将其割开得到的还是一条带子。

（4）平环是可定向的，而Mobius 带是不可定向的。

注：（1）区别不仅此四条，正确即可。 （2）每答对一条2分，答对3条满分。

5. 谈谈你对拓扑学的思想、理论的认识。（5分）

注：无唯一标准答案。

三、证明题：（任选四个小题，每小题10分，共40分） 1. 叙述并证明连续映射的粘接引理。

答：粘接引理 设12{,,,}n A A A 是拓扑空间X 的一个有限闭覆盖，若:f X Y →在每个

i A 上的限制都连续，则f 是连续映射。 （4分）

证明：只要验证Y 的每个闭集的原像是闭集。 （6分） 设B 是Y 的闭集，记

i

A f 是f 在i A 上的限制。则

111

11()(())()i n n i i i A f B f B A f B ---==== 。 （8分）

由

i

A f 连续，1()i A f

B -是i A 中的闭集，又i A 是X 的闭集，所以1

()i

A f

B -是X 中 的闭集。所以1()f B -作为有限个闭集的并也是闭集。 （10分）

2. 证明拓扑空间是1T 空间当且仅当单点集是闭集。

证明：“⇒” 设X 是1T 空间，对于任意的p X ∈， 及任意的{}q X p ∈-，由X 是1T 空间， 存在q 的开邻域N 不包含点p 。 （2分） 所以{}N X p ⊂-，这说明{}X p -是开集，也即{}p 是闭集。 （5分）

“⇐” ,p q X ∀∈， p q ≠，则

{}X p -， {}X q -均为开集，且为满足1T 空间所要求的开邻域。 （10分）

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3. 叙述同胚映射的定义并证明紧空间到2T 空间的一一连续映射是同胚。

定义：拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。 （4分）

证明：设X 是紧空间，Y 是2T 空间，:f X Y →是一一连续映射。

A X ∀⊂，A 是闭集。由X 是紧空间，而紧空间的闭子集是紧的，从而

A 是紧的。

（6分） 因为紧空间在连续映射下的像是紧的，所以()f A 是紧的。 （7分）

又Y 是2T 空间，而2T 空间的紧子集是闭的，所以()f A 是闭的。（9分） 这说明f 是闭映射。从而是同胚。 （10分）

4. 证明紧空间的闭子集紧致。

证明：设A 是紧空间X 的闭集，设J 是一个指标集，{|}V J ααΩ=∈是A 的一

个开覆盖。 （2分） 因为A 是闭集，所以X A -是开集。 （4分） 从而()X A Ω- 是X 的开覆盖。 （6分） 因为X 是紧空间，所以任一开覆盖有有限的子覆盖。 （8分） 设子覆盖为{,,1,,}i V X A i n -= 。从而

{,1,,}i V i n = 是A 的一族有限的子覆盖。

这说明A 是紧的。 （10分）

5. 证明道路连通空间是连通的。

证明：设X 是道理连通空间，A 是X 的既开又闭的非空子集，设A X ≠。

则可取x A ∈，y X A ∈-。 （4分）

令:I X α→是连接x 与y 的道路。

则A 在α下的原像B 在I 中既开又闭。 （6分） 从而B I =。 （8分） 这说明()I A α⊂。这与:I X α→是连接x 与y 的道路矛盾。 （10分）

6. 证明连通空间在连续映射下的像是连通的。

证明：设X 是连通空间， :f X Y →是连续映射。 设B 是()f X 的既开又闭的非空子集，

则1()f B -是X 的既开又闭的非空子集。 （4分） 因为X 是连通空间，所以1()f B X -=。 （6分） 从而()B f X =。 （8分） 这说明()f X 的既开又闭的非空子集只有()f X 。 （9分） 所以()f X 是连通的。 （10分）

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