第2章(3) 系统传递函数
第2章 2.3传递函数
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数
《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数
+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
第二章习题解答
第二章2-3 设系统传递函数为342)(2++=s s s G 初始条件0/)0(,1)0(=-=dt dc c 。
求单位阶跃输入r (t)=1(t)时，系统的输出响应c (t)。
【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过拉氏变换的方法求解微分方程。
系统对应的微分方程为 4()3()2()c c t c t r t ++= 在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换22(43)()(0)(0)4(0)s s C s sc c c s++---=整理后2221()(43)(43)s C s s s s s s +=-++++部分分式展开后，拉氏反变换111223242/35/25/6()[()][][](43)(43)13255326t t s c t L C s L L s s s s s s s s e e -----+==-=-+++++++=-+2-4 在图2-48中，已知G (s) 和H (s)两方框对应的微分方程分别为()2()5()4()3()6()c t c t e t b t b t c t +=+=图2-48 习题2-4系统结构框图且初始条件为零，试求传递函数C (s)/R (s)。
【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求C(s)/R(s)。
根据定义可得 5()2G s s =+，6()43H s s =+ 255()5()25(43)10075(2)56()1()()(2)(43)30411361(2)(43)C s G s s s s R s G s H s s s s s s s +++====+++++++++2-5 图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以V in (t)为输入量，V out (t)为输出量的传递函数。
(a) （b ）(c) (d)图2-49 习题2-5电路图【解】(a) 1211211,1RZ R Z C s RC s C s===+ 22112121211()1()11Z C s RC s G s R Z Z R C C s RC s C s +===+++++（b ） 21122211R Z R Z R Cs R Cs ===+ 2222111211()1R Z R Cs R G s Z R R R Cs +=-==-+ (c) 32321123232321()(1)1()1()1R R R R Cs Cs Z R Z R R Cs R R Cs R R Cs++==+==++++ 323232211132(1)()11()()1R R Cs R R Cs R Z R Cs G s Z R R R R Cs ++++=-=-=-++ (d)本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。
自动控制原理课后习题答案第二章
第 二 章2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。
对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。
证明：(a)根据复阻抗概念可得：2221212112212211212112212122111()1()111oiR u C s R R C C s R C R C R C s R u R R C C s R C R C R C C sR C s R C s+++++==+++++++即220012121122121212112222()()i i o id u du d u duR R C C R C R C R C u R R C C R C R C u dt dt dt dt++++=+++取A 、B 两点进行受力分析，可得：o 112()()()i o i o dx dx dx dx f K x x f dt dt dt dt -+-=- o 22()dx dxf K x dt dt -= 整理可得：2212111221121212211222()()o o i i o id x dx d x dx f f f K f K f K K K x f f f K f K K K x dt dt dt dt ++++=+++经比较可以看出，电网络（a ）和机械系统（b ）两者参数的相似关系为1112221211,,,K f R K f R C C2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
(1) ;)()(2t t x t x =+(２)）。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-u )tfC)+-+-f)(a )(b )(c )(d R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
第二章-3-系统传递函数的计算-非线性系统线性化
(a)原始结构图 (b) 等效结构图 图(3) 引出点后移的变换
挪动后的支路上的信号为:
R
1 G(s) R R G(s)
15
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
d. 相邻引出点之间的移动
若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改 变引出信号的性质。如图(4)所示。
图(4) 相邻引出点的移动
自动控制理论 自动控制
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第 章要点 第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 其他的数学建模实例 系统传递函数的计算 非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传 函数到状 从传递函数到状态空间模型的转换 间模 的转换
信息不变原理：变换前后信息不改变 E1＝u+H2y;
H1 (s) H 2 (s) 1 G (s) H 2 (s) 1 H 1 (s) H 2 (s)
E2＝{u(1/H2)+y}H2=u+H2y
10
系统传递函数的计算
方块图简化
u1 u2
引出点
y
引出点后移
u1
H (s)
??
y
H (s)
1 R1C1s 1 GLOOP1 ( s ) 1 1 R1C1s 1 R1C1s
1 R2C2 s 1 GLOOP 2 ( s) 1 1 R2C2 s 1 R2C2 s
29
系统传递函数的计算
系统传递函数
例4: 推导如下图所示系统的传递函数
朱玉华自动控制原理第2章 数学模型2-3
G(s) C(s) ……① R(s)
若已知线性定常系统的微分方程为
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量。
§2.3 传 递 函 数
一、传递函数的基本概念
指导思想：在零初始条件下，通过拉氏变换，将微分 方程变为s域（复数域）内的代数方程，在s 域内研究系统 的运动规律。必要时，通过拉氏反变换转化为时域形式。
s域（复数域）内的代数方程（即数学模型），称为 传递函数。
1、传递函数的定义
在初始条件为零时，线性定常系统输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，定义为该系统的传递函数。
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
RC
dui (t) dt
G(s) RCs Td s RCs 1 Td s 1
只有当Td<<1时，才有G(s)≈Tds，实际的微分环节趋 于理想微分环节
再如:RL网络,其电路方程为
du0 (t) dt
R L
u0 (t)
dui (t) dt
G(s) Ls Td s Ls 1 Td s 1
如
G(s)
C(s) R(s)
b1s a0s2
b2 a1s
a2
S的代数方程：
(a0s2 a1s a2 )C(s) (b1s b2 )R(s)
用 d 置换s后得相应的微分方程 dt
a0
d 2c(t) dt 2
反馈控制系统的传递函数
E(s)
_ G1(s)
H(s)
G2(s)
C(s)
B(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
2．扰动信号D(s)作用
系统的典型 R(s) E(s) 闭环传递函数为： D(s) + G2(s) 结构： _ G1(s) G2(s) C(s) Фd(s)= D(s) = B(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) 设 R (s) = 0 H(s) 动态结构图 转换成: 前向通道:
E(s)
前向通道: 反馈通道:
_
H(s) G2(s) G1(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
2．扰动信号D(s)作用
R(s) E(s) C(s) + R(s)作用下误 _ G1(s) -G2(s)H(s)G2(s) 差输出的动态 E(s)= B(s) Фed(s)= D(s) 1+G (s)G H(s) 结构图: 1 2(s)H(s)
反馈通道:
D(s) G1(s) G2(s) C(s)
C(s)
H(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
三、系统的误差传递函数
1．给定信号R(s)作用
D(s) 设 D(s)=0 误差传递函数为： R(s) E(s) + _ G1(s) G2(s) E(s) 1 误差输出的动 Фer(s)= R(s) = 1+G (s)G (s)H(s) B(s) H(s) 1 2 态结构图: R(s) C(s)
R(s) = 0 误差传递函数为： D(s)
前向通道: 反馈通道:
D(s)
自动控制原理(杨叔子)第2章(3) 系统传递函数
(n m) 零点： s=-zi(i=1,2,…m)
极点： s=-zj(j=1,2,…n)7
j1
3．典型环节形式
分子、分母“末1化”，再分解因式
G(s)
s(T1s
K (1s 1) 1)(T 2s2 2Ts
1)
4．传递函数相互转换的MATLAB命令
（1）多项式形式的表达
num=[bm bm-1 … b1 b0];
0.632 0T
4T 0.98 3T
4T t
0
误差 T
4T t
（2）在阶跃输入 下，输出不能立 即达到稳态值。
例3：C
i
ui
R
例4：
uo
u
i
(t)
1 C
idt
iR
uo (t) iR
G(s) U o (s) RCs Ts U i (s) 1 RCs Ts 1
12
2．零极点增益形式
分子、分母首一化，再分解因式
系统增益 K bm / an
零极点增益形式：
G(s) K N (s) K (s z1)(s z2 )(s zm )
D(s)
(s p1)(s p2 )(s pn )
m
(s zi )
K
i1 n
(s pj)
四、典型环节
典型环节的微分方程、传递函数
1．比例环节
微分方程： xo (t) Kxi (tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ；
传递函数:G(s) K Xi ( s) K
时 间 响 应 ： K >1
K >1
K
1 0
计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数(3)
第2章 Z变换及Z传递函数
闭环Z传递函数 设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信 号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则 有如下定义： Y (z) 闭环Z传递函数： W ( z )
R(z)
W 闭环误差Z传递函数：
e
(z)
E (z) R(z)
R(z)
E(z)
G(s)
Y(z)
因此，求解y*(t)的问题就转换为求系统的 Z传递函数，这就表明Z传递函数G(z)可以表征 线性离散系统的性能。
第2章 Z变换及Z传递函数
Z传递函数与脉冲响应函数的关系
G(z) u(t)
T
u*(t) U(z)
G(s) T
y(t) y*(t) Y(z)
脉冲响应函数
设G(s)的输入为理想的脉冲信号 u t t 则输出 y t g t L G s
G1 (s) Y1(s) Y(s) U(s) T
G1 (s)
Y1(s)
Y(s) Y(z)
U(s)
T
Y(z)
G2 (s)
G2 (s) Y2(s)
Y2(s)
T
(a) 采样开关在各个环节输入端
(b) 采样开关在总输入端
第2章 Z变换及Z传递函数
根据上图可知，总的Z传递函数等于两个环 节Z传递函数之和，即
第2章 Z变换及Z传递函数
若设G(z)的一般表达式为
Y (z) G (z) U (z) b0 z z
n m
b1 z
m 1
bm
a1 z
n 1
an
不失一般性，假定其中的系统m≥0，n≥0， 其余系数为任意给定值，则
第2章 系统的数学模型及传递函数
u(t)
R-L-C无源电路网络
L
R
di(t) d 2q(t) u(t) L dt L dt2
ui(t)
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
ui
(t)
Ri (t )
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
L
R
i(t) C uo(t)
R-L-C无源电路网络
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。
• 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的， 可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次 的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则 此微分方程是非线性的。（P11）
• 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下， 可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的 动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能 够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。
5. 系统传递函数只表示系统输入量与输出量的数学关系(描述系统 的外部特性)，而没有表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内 部特性)。在现代控制理论中，可采用状态空间描述法来对系统的动 态特性进行描述。
34
y(t) k c m f(t)
••
•
m y(t) c y(t) ky(t) f (t)
输出 b
输出
输出
0
输入
0
输入
0
输入
a 饱和（放大器）
死区（电机）
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。
B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统， 有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1
系统传递函数
坐标变换不改变系统的能控性和能观性。
若系统完全能控，则系统可变换成能控标准型。 若系统完全能观，则系统可变换成能观标准型。
一、单输入系统
Ax bu x
能控标准型 ： n-1 条件： rank [b , Ab , , A b ] rankM n
1
由传递函数W(s)可以直接写出能控标准I型的 A c1 , b c13, Cc1
例： 将
1 2 0 2 3 1 1 x 1 u x 0 2 0 1 y 0 0 1x
变换成能控标准I型。
2 解： M [ b, Ab, A 2 b] 1 1
* T W ( s ) [ W ( s )] ∵ 互为对偶系统: 02 c1 坐标变换不改变系统的传递函数。 ∴ 与能控标准I型一样，由能观标准Ⅱ型可以直接 得到系统的传递函数： b n 1s n 1 b1s b 0 W(s) n 12 s a n 1s n 1 a 1s a 0
* c2 * c2
a0 0 0 a1 1 0 a2 O 0 0 1 an 1 0 0 0
T T T T T T
1 0 bc*2 0 0
n 1
C C * T [C * b *，C * A * b *， ，C * A *
0
1
11
T (T )
1 02
* T C1
1 a ([A * n 1b* b* ] n 1 a0
a n 1
0 )T 1
1
《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数
《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数线性系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的系统。
线性系统的传递函数是描述系统输入输出之间关系的一种数学表示方法。
在线性系统中，传递函数是一个复变函数，通常表示为H(s)，其中s是复变数，表示Laplace变换域中的复频率。
传递函数可以通过对系统的微分方程进行Laplace变换得到。
传递函数的形式可以根据系统的特点进行表示。
例如，对于一个惯性系统，其传递函数可以表示为H(s)=k/(Ts+1)，其中k是系统的增益，T是系统的时间常数。
传递函数的分子表示系统的输出与输入之间的增益关系，分母表示系统的动态响应特性。
通过传递函数，我们可以分析系统的频率响应特性。
频率响应可以通过将复变数s替换为jω，其中j是虚数单位，ω是真实频率。
通过计算传递函数在不同频率下的幅频特性和相频特性，我们可以了解系统对不同频率的输入信号的响应情况。
另外，传递函数还可以用于系统的稳定性分析。
对于一个线性时不变系统，如果其传递函数的分母没有极点位于劣半平面，即实部为负的复数域中，那么系统是稳定的。
通过分析传递函数的极点位置，我们可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，我们可以利用传递函数进行系统的设计和控制。
例如，对于给定的控制要求，我们可以通过选择合适的传递函数参数，来设计满足要求的控制器。
控制器的设计过程可以通过将传递函数相乘或串联、并联等操作来实现。
总结起来，线性系统的传递函数是描述系统输入输出关系的一种数学表示方法。
通过传递函数，我们可以分析系统的频率响应和稳定性，并进行系统的设计和控制。
掌握传递函数的理论和应用，对于理解和应用自动控制原理具有重要意义。
以上是关于《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数的1200字以上的介绍。
希望对读者理解和学习该章节内容有所帮助。
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
自动控制理论第二章传递函数_图文
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
控制工程基础第2章答案.
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
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c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 G( s ) c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2 1 对比：R1 c1 R2 c2 C1 k1
1 C2 k2
三、传递函数的表达形式
1．多项式分式形式 X o ( s ) bm s m b1s b0 G( s) X i ( s ) an s n a1s a0 2．零极点增益形式 分子、分母首一化，再分解因式
0
特点： （1）一般不能单独存 在； （2）反映输入的变化 趋势； （3）增加系统阻尼； （4）强化噪声。
iC du i (t ) dt
du i (t ) uo (t ) Ri RC dt U o ( s) G( s) RCs U i ( s)
4．惯性环节 微分方程： Tx o (t ) xo (t ) xi (t )
2
特征量——
时间常数： T
固有振荡频率： n 1T
阻尼比：
0 1 : 欠阻尼（振荡） 1： 临界阻尼 1 : 过阻尼
时间响应：
单位阶跃响应 欠阻尼 1 过阻尼 临界阻尼 t 0
例10：
特点： （1）0<ξ<1,输出存在 振荡，ξ越小，振荡越 剧烈 ； （2）ξ>1，输出无振荡， 由两一阶惯性环节组成。
例：求传递函数
k2 c1 k1
c2
xi
xo
k2
A
c2 c1
B
xi
xo
x2
k1
二、相似性原理 相似系统： 能用形式相同的数学模型来描述的两个系统； 相似量： 在微分方程或在传递函数中占有相同 位置的物理量。
ui (i2 i1 )R1 uo
1 (i2 i1 ) R1 i1dt C1 1 uo i2 R2 i2 dt C2
（3）一切物理系统都有n≥m 3．传递函数的物理意义 传递函数是系统单位脉冲响应的象函数
xi (t ) (t ) ， X i (s) 1
X o ( s) G( s) X i ( s) G( s)
1 1
xo (t ) L1 [ X o ( s)] L1[G( s)] w(t ) G( s ) L[ w(t )]
实例：齿轮传动副 比例运算放大器
X o ( s) z1 G( s) K X i ( s) z2
ui(t) R1 ∑
xo(t) z2
uo(t)
R2 R2 u o (t ) u i (t ) G ( s ) K R1 R1
1 微分方程： xo (t ) xi (t )dt T X o ( s) 1 传递函数：
§2.2 系统的传递函数
一、传递函数
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
K bm / a n 系统增益 零极点增益形式：
N ( s) ( s z1 )( s z2 )( s zm ) G( s ) K K D( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
K
( s zi ) (s p j )
j 1 i 1 n
m
( n m)
零点： s=-zi(i=1,2,…m) 极点： s=-zj(j=1,2,…n)
3．典型环节形式 分子、分母“末1化”，再分解因式
G( s) K (1s 1) s(T1s 1)(T 2 s 2 2Ts 1)
4．传递函数相互转换的MATLAB命令 （1）多项式形式的表达 num=[bm bm-1 … b1 b0]; den=[an an-1 … a1 a0]; g=tf(num,den) （2）零极点形式的表达 Z=[z1;z2];P=[p1;p2+j*p3; p2-j*p3];K=k; d=zpk(Z,P,K) （3）多项式与零极点形式的转换 [Z,P,K]=tf2zp(num,den) [num,den]=zp2tf(Z,P,K)
(t)
t
0 t
6．振荡环节
2 T x o (t ) 2Tx o (t ) xo (t ) xi (t ) 微分方程：
x o (t ) 2n x o (t ) n xo (t ) n xi (t )
2 2
传递函数：
n 1 G ( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
U o ( s) 1 U i (s) LCs 2 L s 1 R
7．延迟环节
微 分 方 程 ： x o (t ) x i (t )
X i ( s)e s 传递函数：G( s) e s X i ( s)
( L [ f (t )] F ( s)e s )
例 4：
U o ( s) RCs Ts G( s) U i (s) 1 RCs Ts 1
5．一阶超前环节 （一阶微分环节）
i (t ) xi (t ) xo (t ) 微分方程： Tx
传递函数： G( s) Ts 1 时间响应：
单位阶跃响应 1 0
单位斜坡响应 t
特点：输出滞后于输入，但不失真。
G( s)
2．积分环节
Xi ( s)
1 Ts
Xo ( s)
时间响应：
X i ( s)
Ts
T >1
单位脉冲响应 T 1 T` > 1 1 0 图 2.6.7 t
单位阶跃响应
特点： （1）输出累加； （2）输出滞后； （3）记忆功能。
t
例 8：
0
积分 环节的时间响应
ui (t ) du o (t ) C R dt
k2 ( xi xo ) c2 ( x i x o ) c1 ( x o x 2 ) k1 x2 k2 ( X i ( s) X o ( s)) c2 s( X i ( s) X o ( s)) c1s( X o ( s ) X 2 ( s )) k1 X 2 ( s ) c1sX o ( s ) X 2 ( s) c1s k1 X o ( s) (c1s k1 )(c2 s k2 ) G( s ) X i ( s ) (c1s k1 )(c2 s k2 ) c1k1s c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2
例:
dxo (t ) T xo (t ) kxi (t ) dt
L: TsX o ( s ) X o ( s) kX i ( s )
(Ts 1) X o ( s ) kX i ( s )
X o ( s) k G( s) X i ( s) Ts 1
2.讨论 (1)传递函数的分母是系统特征多项式，分子 反映系统与外界的关系。 G(s) Xi (s) X (2) X o (s) G(s) X i (s) o( s) 时域函数 xo (t ) L [ X o (s)] L [G(s) X i (s)]
传递函数： G ( s )
时间响应： 例 3：
ui i R
1 0.632 0 T
1 Ts 1
0.98 4T t 4T 3T 0 误差 T
4T t
特点： （1）存在储能元 件和耗能元件； （2）在阶跃输入 下，输出不能立 即达到稳态值。
C uo
1 ui (t ) idt iR C u o (t ) iR
k2 c1 k1 c2 xi
i2 i1
C1 R1
i2
xo
ui
C2 R2
uo
先做L变换，再消去I1(s)、I2(s)
U o ( s) ( R1C1s 1) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1) R1C2 s
常用机电相似系统：力—电压相似系统, 力—电流相似系统
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) RCs
3．微分环节
i ( t ) 微分方程： xo (t ) Tx
Xi ( s)
Ts
Xo ( s)
X o ( s) Ts 传递函数：G( s) X i ( s)
时间响应： 例 5：
(t) >1 1 0
t
>1 t
(n m) 作拉氏变换（在零初始条件下） n m (an s a1s a0 ) X o ( s) (bm s b1s b0 ) X i ( s) (n m) 1.定义：
m b s b1s b0 (n m) L[ xo (t )] X o ( s) m G( s) n a s a1s a0 L[ xi (t )] X i ( s) n
diL (t ) ui (t ) L uo (t ) dt 1 uo (t ) RiR (t ) iC (t ) dt C
iL (t ) iR (t ) iC (t )
LCuo (t ) L uo (t ) uo (t ) ui (t ) R
G( s)
四、典型环节
典型环节的微分方程、传递函数
微分方程：xo (t ) Kxi (t ) ；
传递函数: G( s) K
Xi ( s ) K
1．比例环节
Xo( s )
时间响应： K
1 0
K >1 t 0
K >1 t