代数系统

代数系统

一、单项选择题：

1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）

（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）

（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}

（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}

2．下列代数系统（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。（A）G为整数集合（B）G为偶数集合

（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合

3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。

（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b

（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|

4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)

（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)

5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。

（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A

（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}

（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A

（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A

6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。

（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同

（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。

（A）（B）（C）（D）

8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。

（A），Q是全体有理数集，*是普通乘法运算

（B），M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C），Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z

（D），Z是整数集，+是普通加法运算

9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。

（A ） （B ） （C ）

（D ）

10．设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G =<{1, -1, i , -i },·>是群，下列是G 的子群的是（）。 （A ）<{-i },·> （B ）<{-1},·> （C ）<{i },·>

（D ）<{1},·>

11．在代数系统中，x ∈Z 有逆元，x 的逆元和⨯运算的幺元分别是（）。 （A ）-x , 1

（B ）1/x , 0 （C ）1/x , 1

（D ）-x , 0

12．设S={1, 2, 3, 4}，下面哪个运算是S 上的运算（）。（+、-、·和mod 分别代表普通加、减、乘和取模运算） （A ）x *y =x - y

（B ）x *y =x +y

（C ）x *y =x ·y

（D ）x *y =(x ·y )(mod 5)

13．下图中是分配格的是（）。

a) b) c)

a

b

c a

b

c d

e a

b

c d

e

（A）图a （B）图b和图c

（C）图c （D）图a和图c

14．设是布尔代数，∀a, b∈B，a≤b，则下式中不成立的是（）。

（A）a⎺b =0 （B）⎺a+b=1

（C）⎺a+⎺b=⎺a （D）a+⎺b=1

15．设V=，其中·为普通乘法，对任意的x∈R+令ϕ1(x)=|x|，ϕ2(x)=4x，ϕ3(x)=x2，ϕ4(x)=1/x2，ϕ5(x)=-3x，则下面命题为真的是（）。（A）ϕ1、ϕ2和ϕ4是自同态的

（B）ϕ1、ϕ3和ϕ4是自同态的

（C）ϕ2和ϕ3是自同态的

（D）ϕ2、ϕ4和ϕ5是自同态的

16．设Z是整数集合，对于*运算，哪个代数系统是半群（）。（A）a*b=a b（B）a*b=a

（C）a*b=a+ab（D）a*b=a-b

二、填空题：

1．在代数系统中，幺元是，零元是，在Z中元素有逆元。如果x∈Z有逆元，它的逆元是。

2．在代数系统中，幺元是 ，零元是 ，在Z 中 元素有逆元。

3．设G 是有6个元素构成的循环群，a 是G 的一个生成元素，则G 有 个子群，G 的生成元是 。

4．设S ={a , b }，在S 上定义了4个运算f 1, f 2, f 3, f 4，其运算表如下：

其中满足交换律的是 ，满足幂等律的是 ，有幺元的是 ，有零元的是 。

5．设R 是实数集，定义函数f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6如下：有： f 1()=x +y +2

f 2()=x -y -1

f 3()=2xy f 4()=max{x , y } f 5()= min{x , y }

f 6()=|x -y |，则这

6个函数是R 上的二元运算的有 个，可交换的二元运算有 个，可结合的二元运算有 个，有幺元的二元运算有 个。 6．设A 是非空集合，集合代数

中，P (A )对运算⋃的幺元是 ，P (A )对运算⋂的幺元是 。

7．在代数系统中，幺元是 ，

有逆元。