代数系统
第九章 代数系统
11
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
12
定义9.3
都有
设∘为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S
24
25
定理9.4 设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的
幺元.对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有 yl＝yr＝y, 且y是x的唯一的逆元. 证明: yl＝yl◦e＝yl◦ (x◦yr) ＝(yl◦x)◦yr＝e◦yr＝yr. 令yl ＝ yr ＝ y,假设y’∈S是x的逆元,则有 y’＝y’◦e＝y’◦(x◦y)＝(y’◦x)◦y＝e◦y＝y. 由这个定理可知,对于可结合的二元运算来说,元素x的 逆元如果存在则是唯一的.通常把这个唯一的逆元记 作x-1 .
谁是幺元?
自然数集合上的加法运算的幺元是谁? 自然数集合上的乘法运算的幺元是谁? 在Mn(R)上,矩阵加法的幺元是谁? 在Mn(R)上,矩阵乘法的幺元是谁? 在幂集P(S)上,∪运算的幺元是谁? 在幂集P(S)上,∩运算的幺元是谁? R*是非零实数集,任意的a,bR*有a◦b=a,运算◦ 的幺元是谁?
28
(2) *运算满足交换律，因为对x,y ∈Q,
x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x *运算满足结合律，因为对x,y ∈Q,
（x*y)*z=(x+y-xy)*z=x+y+z-xy-xz-yz+xyz x*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 所以（x*y)*z= x*(y*z) *运算不满足幂等律 因为2∈Q
代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。
高等代数第一讲代数系统PPT课件
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
第一讲代数系统
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
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6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
第九章-代数系统
第九章代数系统9.1 二元运算及其性质一、二元运算与一元运算的定义1．二元运算的定义与实例定义9.1 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。
验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。
(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。
例9.1(1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0.(4) 设M n(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即则矩阵加法和乘法都是M n(R)上的二元运算。
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、为S的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级并和初级交。
(6) S为集合,S S为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算为S S上的二元运算。
2．一元运算的定义与实例定义9.2设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。
例9.2(1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。
(2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。
(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
(4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。
(5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,A S S,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。
(6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合M n(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是M n(R)上的一元运算。
二．二元与一元运算的表示1．算符可以用、*、·、、等符号表示二元或一元运算,称为算符。
对于二元运算,如果x与y运算得到z,记做x y=z；对于一元运算，x的运算结果记作x.2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是现代数学中的一个重要概念，它是由一组元素和对这些元素进行操作的规则组成的。
代数系统可以是有限的或无限的，可以是抽象的或具体的。
代数系统是数学的基础，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等等。
代数系统的基本元素是指代表抽象对象的数学对象，可以是数字、集合或其他数学结构。
代数系统中的操作规则是指对这些元素进行变换或组合的数学规则。
常见的操作规则包括加法、减法、乘法、除法等。
代数系统的主题和应用代数系统的研究涉及多个主题，包括群论、环论、域论等。
这些主题在抽象代数中具有重要的地位，它们以代数系统为研究对象，通过定义和研究不同类型的操作规则来揭示数学的一般规律。
群论是代数系统中的一个重要分支，它研究的对象是满足一定条件的代数系统。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的集合，它以群运算来定义元素之间的操作。
群论的研究广泛应用于代数几何、量子力学、密码学等领域。
与群论类似，环论和域论也研究了具有特定性质的代数系统。
环是一种具有加法和乘法运算的代数系统，它满足了加法和乘法封闭、结合律、分配律等性质。
域是一种更为广义的代数系统，它满足了环的所有条件，并且每个非零元素都有乘法逆元。
代数系统的应用十分广泛，无论是在理论研究还是实际应用中都发挥着重要作用。
在计算机科学中，代数系统被用于描述和分析算法的性质，例如代数数据类型和代数规范。
在物理学领域，代数系统被用于描述和研究物理过程，例如量子力学中的算符代数和对称性。
在经济学中，代数系统被用于建立经济模型，例如供求模型和市场分析。
代数系统的发展历程代数系统的研究可以追溯到古代埃及、古希腊和古印度等文明。
然而，现代代数系统的发展源于十九世纪的英国数学家和法国数学家，他们通过对数学的抽象和一般性考察，建立了现代研究代数系统的基础。
十九世纪的德国数学家格雷斯曼和开尔巴赫在他们的工作中提出了群的概念，并将它与几何学和代数学联系起来。
3_代数系统
例 Z, Q, R 分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶 实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；|A|2
集合 Z,Q,R 运算 普通加法+ 普通乘法 Mn(R) P(B) 矩阵加法+ 矩阵乘法 并 交 相对补 对称差 交换律 有 有 有 无 有 有 无 有 结合律 有 有 有 有 有 有 无 有 幂等律 无 无 无 无 有 有 无 无
7
2．特异元素：单位元、零元和逆元 定义 设为S上的二元运算, （1）单位元 如果存在eS，使得对任意x∈S都有 ex = xe= x ， 则称el是S中关于运算的单位元. 例 R关于数的乘法的单位元为1， R关于数的加法的单位 元为0. （2）零元 如果存在θ∈S，使得对任意x∈S都有 θx = xθ=θ ， 则称θ是S中关于运算的零元. 例 R关于数的乘法的零元为0， R关于数的加法的零元不 存在. 8
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3．有关群的术语 定义11.5 （1）若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群. 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|. （2）只含单位元的群称为平凡群. （3）若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或 阿贝尔 (Abel) 群. 实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是n阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群. n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换 群. 21
12
2. 同态与同构 代数系统可以认为是广义的数的加法-乘法系统.研究代数系 统的一种办法是进行类比: 如果两个代数系统类似，则将熟知 代数系统的规律迁移到非熟知代数系统。 如果判断类似呢？可作同态或同构检测. (1) 双射 定义 设有映射f:AB. 1) x,yA, 只要xy, 就有f(x)f(y),则称f为单射; 2) zB, 总存在xA, 使f(x)=z,则称f为满射; 3) 若f 同时是单射和满射, 则f称为双射. (2)定义：设有两个代数系统<A, >,<B,*>，设有映射f:AB 满足： f(x1x2)=f(x1) *f(x2), x1,x2A 则称f为到的一个同态映射; 若f还是双射, 则称f为同构映射.
代数系统
5-2 运算及其性质
关于逆元有下述的唯一性定理 证明：设a,b,c ∈A，且b是a的左逆元，c是b的左 逆元。 因为(b*a)*b=e*b=b 所以e=c*b=c*((b*a)*b) =(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b =(e*a)*b=a*b 因此b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和c，那么 b=b*e=b*(a*c) =（b*a)*c=e*c=c 因此，a的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质
逆元 定义 5-2.8 设设代数系统<A,*>,*是定义在A 上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的单位元 (幺元)。 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b ，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元 ，即 b*a= a*b=e，那么就称b是a的一个逆元。 很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元， 简称a与b互逆。 一个元素x的逆元记为x-1.
5-2 运算及其性质
（4）A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行 和列中的元素都与该元素相同。 （5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的 行和列依次与运算表的行和列相一致。 （6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所 在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素 都是幺元。
5-2 运算及其性质
吸收律 定义 5-2.5 设*， △是定义在A上的两个可交换 的二元运算，若x，y∈A有: x*(x△y)=x； x△(x*y)=x，称运算*和运算△满足吸收律。 例5：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元 运算，如果对于任意的x,y ∈ N ,有 x*y=max(x,y);x y=min(x,y)，验证*和的吸收律 。 解：对于任意的a,b∈N a*(ab)=max(a,min(a,b))=a a(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此*和满足吸收律。
代数系统PPT教学讲义
例:运算可看作是一个具有输入端与输出端的黑盒
子,图4.1a表示为一元运算而图4.1b则表示为二元
运算.一元运算中对应的是一个输入端与一个输出
端.
输出
输出
二元运算中则对应两个
输入端与一个输出端.
输入
输入
(a)
(b)
图4.1运算是一个黑盒子
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第4章 代数系统概论
定 义 4.2 代 数 系 统 : 非 空 集 合 S 上 的 K 个 运 算 1, 2,…,k一元或二元运算所构成的封闭系统称为代
练习
设V1=<R,+>, V2=<R,·>,其中R和R分别为实数集与非 零实数集,+ 和 ·分别表示普通加法与乘法．令 f : R→R,f x= ex 则 f 是V1到V2的单同态.
若令g: R →R,gx= ex,则g是V2到V1的 _______
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第4章 代数系统概论
对三种同态作详细的分析: 1.同构 定理4.3:代数系统A与B同构则系统中的六个性质结 合律、交换律、分配律及单位元、零元、逆元的 存在能双向保持. 2.满同态 定理4.4:代数系统A与B满同态则系统中的六个性质 结合律、交换律、分配律及单位元、零元、逆元 的存在能单向保持.
那么 3∗4 = 3, 0.5∗3 = 0.5
6
运算表
运算表：表示有穷集上的一元和二元运算
aa11 aa22 …… aann
aa11 aa11aa11 aa11aa22 …… aa11aann
aa22 aa22aa11 aa22aa22 …… aa22aann
..
……
..
……
..
……
aann aannaa11 aannaa22 …… aannaann
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是数学中的一个重要概念，它是由一组元素和一组定义在这些元素上的运算所组成的。
代数系统的研究主要涉及元素的性质以及这些运算的规则。
代数系统可以是数学中的抽象概念，也可以是实际问题的描述。
我们可以通过定义元素和运算来构建不同类型的代数系统，这些代数系统可以用于解决各种问题，包括理论物理、计算机科学、密码学等领域中的问题。
在代数系统中，元素通常用字母表示，例如，可以用字母x、y、z表示元素。
而运算则是对元素进行操作的规则，例如，可以定义加法、减法、乘法、除法等运算。
不同的代数系统可以有不同的元素集合和运算规则，因此代数系统可以分为很多不同的类型。
代数系统的一个重要特点是封闭性，即在代数系统中进行的运算结果仍然属于代数系统。
例如，在实数集上定义的加法运算，对于任意两个实数a和b，它们的和a+b仍然是一个实数。
这种封闭性使得代数系统可以进行连续的推理和计算。
代数系统的研究主要包括以下几个方面：1. 代数结构：代数结构是指代数系统中的元素和运算之间的关系。
代数结构可以包括群、环、域等概念。
群是指一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质；环是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律等性质；域是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律、单位元和逆元等性质。
2. 代数运算：代数运算是指在代数系统中对元素进行操作的规则。
常见的代数运算包括加法、减法、乘法、除法等。
这些运算可以根据不同的代数系统和问题进行定义。
例如，在复数集上定义的乘法运算，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积可以通过“交叉相乘加中间项”的方法进行计算：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 代数方程：代数方程是指将一个或多个未知数与系数之间的关系用等式表示的方程。
解代数方程就是找到满足方程的未知数的值。
代数方程的解法可以依赖于代数系统中的一些性质和定理。
代数系统
1代数系统1. 定义定义1.1 设A 是集合， 12,,,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。
根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。
由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。
2. 半群半群是最简单的代数系统，其定义如下。
定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。
带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。
例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。
3. 群定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。
例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。
4. 置换群定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。
12343241⎛⎫ ⎪⎝⎭定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。
2-阶轮换称为对换。
定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。
此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。
置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。
定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。
证明：请读者尝试完成该证明。
证毕5.环和域略。
6.格定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。
若下列四条定律成立，则称代数系统(,,)L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。
注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。
定义6.2设(,,)L∨∧是格。
（1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1)L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。
第7章 代数系统
矩阵乘法· Mn×Mn→Mn, : M· N是二元运算，载体是Mn。 减法-：I×I→I是I上的二元运算， 但不是N上的运算； 函数求逆运算：f-1 是集合B={f|f是X上的双射函数}上的 一元运算，但不是XX上的运算。 对于具有载体S的一个代数，定义在载体S上的n元运算*是 一个从Sn到S的函数,所以一个代数的载体对于定义于其上 的运算而言总是封闭的。代数常记为<S,*>.
例3.证明<N,+>和<I+, >不同构 证:反证法 设h:N I+是<N,+>到<I+, >的一个同构映射,
设p I+为质数，p>2，p=h(x),x>=2
则: p=h(x)=h(x+0)=h(x)h(0)=1p p=h(x-1+1)=h(x-1) h(1)=1p
h(x)或h(0)为1，且h(x-1)或h(1)为1，
若xA，有x*0r=0r，称0r为运算*的右零元
若xA，有0*x=x* 0 = 0 ，称0为运算*的零元 注：零元，幺元称为代数常数
例：A={a，b，c}，运算◦用下表定义：
◦
a
b
c
a
b
a
a a
b
b b
b
c a
则b是左幺元，无右幺元； a是右零元，b是右零元，无左零元;
c
运算◦既不满足结合律，也不满足交换律。
例: k=6,e=1
k=5,e=1
逆元的性质 定理3: 对于可结合运算◦ ，如果元素x有左逆元l，右逆 元r，则l=r=x－1
推论：逆元若存在，则唯一. 证：l=l◦e＝l◦(x◦ r)=(l◦ x)◦r＝e◦r＝r
glj-chapter2 代数系统
3、一元，二元运算表。 当 S 为有穷集时， 上的一元和二元运算 S 都可以用运算表给出。 例2、(1) 设 S 1, 2 ，给出 P( S ) 上的运算绝对 补集 ~ 和对称差 的运算表。 解：P( S ) , 1 , 2 , 1, 2 ，“~ ”为一元运算， “ ”为二元运算，其运算表如下：
rA 使得xA 满足l x =l, x r = r, 则l = r = , 且
就是 A 中关于运算的唯一的零元.
2、零元 ： 若 S ，对 x S ，
x x ，则称 为运算 的零元。
注：(1) 若零元存在必唯一。
的幺元，若对 x S ，存在 x1 S ，使
，则称 x 1 为 x 的逆元。 x x x x e
1 1
注：(1) 逆元是针对某个元素 x 而言的
(可能有些元素有逆元，有些没有)
(2) 若二元运算 满足结合律且 x的逆元 存在则必唯一。
3、逆元： 为 S 上的二元运算， S 为运算 设 e
幂集P(S)上的对称差运算的单位元是
幂集P(S)上的相对补运算–没有单位元，但
是有右单位元是 AP(S) 定义：AB=A – B A = A – =A
恒等函数IA是关于函数复合运算的单位元。
例10、在 R *(非零实数集)上定义运算如下：
a b a (a, b R*)
定理3 设 是A上的二元运算，, eA,
和e分别为运算的零元和幺元，如果 |A|>1, 则≠e.
证明 用反证法. 假设 = e, 则对任意
xA, 有 x= e x = x = = e, 可见S中 的所有元素都是相同的, 这与|A|>1矛盾.
离散数学 代数结构-代数系统
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对 象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数 结构。 代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。 代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值 叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组 成的系统称为一个代数系统，简称代数， 记作： < S ，f1，f2，…，fk > ． 例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
代数系统
关于子代数的术语
最大的子代数：就是V本身. 最小的子代数：V中所有代数常数构成集合B，且B对V 所有运算封闭，则B就构成了V的最小的子代数. 平凡的子代数：最大和最小子代数称为V的平凡子代数. 真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V 的真子代数.
例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然数， 则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的 平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数.
15
同态映射的定义
定义14.11 设 V1=<S1,∘ >和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x ∘ y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
16
同态映射的定义(续)
例1 V=<R*,>, 判断下面的哪些函数是V 的同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1 解 (1) 是同态, (3) 是同态, (4) 是同态, f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y) f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y) f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y)
如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，
记作 V1V2； 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2， 记作 V1V2. 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态.
离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构
0 = 0⋅ n ∈nZ,
6
三. 代数系统的积代数
定义5－ 定义 －14 其中 ∗ 和 设代数系统 V =< S1,∗> 和 1
V2 =< S2 , >
积代数是一个代数系统 都是二元运算 。V和 V2 的积代数是一个代数系统 1
其中 V ×V2 即 V1 ×V2 =< S , ⊕> ,其中 1
S = S1 × S2 ={(x1, y1)| x1 ∈S1, y1 ∈S2} 是二元运算， ⊕是二元运算，定义为对任意的 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ∈ S
1
, 2 ,⋯,
k
满足B S,则称 则称V >满足B⊂S,则称V’是
5
例1. 设 V =< Z , +,0 >, 令
nZ = {nz z ∈Z} , n 为自然数, 为自然数,
证明: nZ是 的子代数. 证明: nZ是V的子代数. 证明: 证明: 任取nZ中的两个元素 任取nZ中的两个元素nz1, nz2 (z1, z2 ∈Z), 则有
.
11
3个代数系统的积代数: 个代数系统的积代数:
例如 V
=< Z, +,0 >, 那么有
V ×V ×V =< Z × Z × Z,∗, 0,0,0 >, 并且对任意的 < x1, y1, z1 >, < x2 , y2 , z2 >∈Z × Z × Z, 有
< x1, y1, z1 >∗< x2 , y2 , z2 >=< x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 >
< Z , +, 0 >
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代数系统
一、单项选择题：
1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）
（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）
（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}
（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}
2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合
（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合
3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b
（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|
4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)
（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)
5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A
（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}
（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A
（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A
6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同
（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）
8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算
（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z
（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算
9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
（A ）<Z , +, /> （B ）<Z , /> （C ）<Z , -, />
（D ）<P (A ), ⋂>
10．设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G =<{1, -1, i , -i },·>是群，下列是G 的子群的是（）。
（A ）<{-i },·> （B ）<{-1},·> （C ）<{i },·>
（D ）<{1},·>
11．在代数系统<R , ⨯>中，x ∈Z 有逆元，x 的逆元和⨯运算的幺元分别是（）。
（A ）-x , 1
（B ）1/x , 0 （C ）1/x , 1
（D ）-x , 0
12．设S={1, 2, 3, 4}，下面哪个运算是S 上的运算（）。
（+、-、·和mod 分别代表普通加、减、乘和取模运算） （A ）x *y =x - y
（B ）x *y =x +y
（C ）x *y =x ·y
（D ）x *y =(x ·y )(mod 5)
13．下图中是分配格的是（）。
a) b) c)
a
b
c a
b
c d
e a
b
c d
e
（A）图a （B）图b和图c
（C）图c （D）图a和图c
14．设<B,·, +,⎺, 0,1>是布尔代数，∀a, b∈B，a≤b，则下式中不成立的是（）。
（A）a⎺b =0 （B）⎺a+b=1
（C）⎺a+⎺b=⎺a （D）a+⎺b=1
15．设V=<R+,·>，其中·为普通乘法，对任意的x∈R+令ϕ1(x)=|x|，ϕ2(x)=4x，ϕ3(x)=x2，ϕ4(x)=1/x2，ϕ5(x)=-3x，则下面命题为真的是（）。
（A）ϕ1、ϕ2和ϕ4是自同态的
（B）ϕ1、ϕ3和ϕ4是自同态的
（C）ϕ2和ϕ3是自同态的
（D）ϕ2、ϕ4和ϕ5是自同态的
16．设Z是整数集合，对于*运算，哪个<Z, *>代数系统是半群（）。
（A）a*b=a b（B）a*b=a
（C）a*b=a+ab（D）a*b=a-b
二、填空题：
1．在代数系统<Z, +>中，幺元是，零元是，在Z中元素有逆元。
如果x∈Z有逆元，它的逆元是。
2．在代数系统<Z , ⨯>中，幺元是 ，零元是 ，在Z 中 元素有逆元。
3．设G 是有6个元素构成的循环群，a 是G 的一个生成元素，则G 有 个子群，G 的生成元是 。
4．设S ={a , b }，在S 上定义了4个运算f 1, f 2, f 3, f 4，其运算表如下：
其中满足交换律的是 ，满足幂等律的是 ，有幺元的是 ，有零元的是 。
5．设R 是实数集，定义函数f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6如下：有： f 1(<x , y >)=x +y +2
f 2(<x , y >)=x -y -1
f 3(<x , y >)=2xy f 4(<x , y >)=max{x , y } f 5(<x , y >)= min{x , y }
f 6(<x , y >)=|x -y |，则这
6个函数是R 上的二元运算的有 个，可交换的二元运算有 个，可结合的二元运算有 个，有幺元的二元运算有 个。
6．设A 是非空集合，集合代数<P (A ), ⋃, ⋂>中，P (A )对运算⋃的幺元是 ，P (A )对运算⋂的幺元是 。
7．在代数系统<N , +>中，幺元是 ，
有逆元。
8．设S =Q ⨯Q ，其中Q 是有理数集合，在S 上定义二元运算*，∀<x , y >, <w , z >∈S ，<x , y >*<w , z >=<xw , xz +y >，则<S , *>的幺元是 ， 有逆元。
三、计算题：
1．在整数集Z 上定义二元运算*，x *y =x +y -xy ，求出幺元，并指出每个元素的逆元。
2．设集合B ={1, 2, 3, 4, 5}，令A ={1, 4, 5}∈ P (B )，求证由A 生成的子群<A ’, ⊕>是<P (B ), ⊕>的子群，其中A ’={A , ∅}，并求解方程A ⊕X ={2, 3, 4}。
四、证明题：
1．设<S , *>是一个半群，对于∀x , y ∈S ，如果有a *x =a *y ⇒x =y ，则称元素a 是左可约的。
试证明：如果a , b 是左可约的，则a *b 也是左可约的。
2．设R *=R -{0}，集合S 定义为：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=*R b a b a S ,00 证明：代数系统<S , *>是群，其中*是矩阵的乘法运算。
3．证明<Z ,Θ,⊗>是环，其中Z 是整数集，运算Θ,⊗定义如下：
a Θ
b =a +b -1， a ⊗b =a +b -ab
4．设f1和f2都是从代数<S,*>到<S’,*’>的同态，*和*’都是二元运算，且*’是可交换和可结合的。
证明函数h: S→S’，h(x)=f1(x)*’f2(x)是从<S,*>到<S’,*’>的同态。