解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .

（1）22221x y a b +=；（2）22

221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=

（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221

0010

000

1a A b ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =221

(,)F x y y b

=3(,)1F x y =-；（2）2210010

000

1a A b ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝

⎭

；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

-⎝⎭

；

1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020

305022A ⎛⎫ ⎪

⎪=- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭；

15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35

(,)22

F x y x =+；（5）1232

171227342

A ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-

⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭

；11(,)232F x y x y =-

-；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342

F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2

2

234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550

x y --=

（2）220x y ++=；（3）410x y +-=；（4）30x y -=；（5）2690x y --=.提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）1

5(,),(1,0)22

-；

（2⎝⎭，⎝⎭

；（3）二重点(1,0)；（4）11,26⎛⎫

⎪⎝⎭

；（5）无交点.

3. 求直线10x y --=与222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得

1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得

（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点； （2）直线1,{

x kt y k t

=+=+与二次曲线22

430x xy y y -+-=交于一点； （3）10x ky --=与二

次曲线2

2(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点；（4）1,{1x t y t

=+=+与二次曲线

222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）49

24

k >

. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1）2

2230x

xy y x y ++++=；

（2）2

2

342250x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=.

解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物

型的； （2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的； （3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.

2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线.

（1）2

2

224630x xy y x y -+--+=；（2）2

2

442210x xy y x y -++--=；（3）

2281230y x y ++-=；（4）2296620x xy y x y -+-+=.解：（1）因为

2111012I -=

=≠-，所以它为中心曲线； （2）因为212024

I -==-且

121

241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为200002

I =

=且004

026=≠，所以它为无心曲线； （4）

因为293031

I -==-且

933

312--==-，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心.

（1）225232360x xy y x y -+-+-=；（2）222526350x xy y x y ++--+=；（3）

22930258150x xy y x y -++-=.

解：（1）由510,3

302x y x y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩得中心坐标为313(,)2828-； （2）由5230,2

532022x y x y ⎧

+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩得中心坐标为(1,2)-； （3）由91540,

15

152502

x y x y -+=⎧⎪

⎨-+-=⎪⎩知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时，二次曲线2

2

6340x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.

解：（1）由330,2

302

x y b x ay ⎧

++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩知，当9a ≠时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）

当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.

5. 试证如果二次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 有

渐

进

线

，

那

么

它

的

两

个

渐

进

线

方

程

是

Φ

00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为二次

曲

线

的

中

心

.

证明：设(,)x y 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ

00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.