第二章-导热理论基础-2

) ; qc
Ql l
2
2
2）第一类边界条件，多层圆筒壁 对于由不同材料构成的多层（比如3层）圆筒壁， 其计算类似于多层平壁，抓住导热热流量Q为常数， 即可求解。
Q t
R
t
t t w1 t w 4
( 有3层不同材料的圆筒壁 )
R
t
R ,l 1 R ,l 2 R ,l 3 ln r2 r1 ln r3 r2 ln r4 r3
r
1 d dt r 0 r dr dr
或写成
d dt r 0 dr dr t c 1 ln r c 2
其通解为
1）第一类边界条件，单层圆筒壁
r r1 r r2
t t w1 t t w2
ln( r / r1 ) ln( r2 / r1 )
可见，热传导的传热速率（热流量）在半径方向是一
个常量，改写上式为：
t w1 t w 2 Ql 1 r2 ln 2 l r1
显然，其导热热阻为：
r1 对于单位长度圆筒壁的导热热阻 Rc则为：
q
R ,l ln(
r2
) / 2 l
t w1
ln
r2 r1
t w2
ln( Rc
r2 r1
0 1 bt
则可改写其导热方程为：
d dt 0 dx dx
d dt 0 1 bt dx 0 dx
对于第一类换热边界，对上式积分求解后可得：
1 1 2 t w1 t w 2 x t t w1 t w1 t w 2 b b b
2-3
通过平壁与圆筒壁的稳态导热
1. 平壁的一维稳态导热 2. 圆管壁的一维稳态导热
本节研究内容：
回顾：
稳态导热特征： 热扩散方程：
t
0
t
2
x
2

t
2
y
2

t
2
z
2

2
qv

0
无内热源时
t
2
x
2

t
2
y
2

t z
2
0
2-3-1
通过平壁的导热
， 无内热源，一维导热
条件：平壁厚度 ，导热系数 2 d t 0 导热方程为： 2 dx 通解为： t c xc
1 2
1）平壁边界为第一类边界条件，即
t t
x0 x
t w1 tw2
代入可得：
t t w1
t w1 t w 2

x
通过平壁的热流通量（密度）q为：
q dt dx t w1 t w 2
T h
1 t a

t
2
x
2

qv

初始条件
x
t x ,0 T 0
t 0 , T 0 t h t L , t f x xL
qv
T0来自百度文库
边界条件


例2： 一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3 的水泥珍珠岩制
求解导热问题的主要途径分两步：
(1)求解导热微分方程，获得温度场；
(2)根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问 题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此方法对一 维变物性、变传热面积非常有效。
绝热
由傅立叶定律：
Q A (t )
2
t
qv 2
t t
x x
t w .1 t w .2
则最后可得其温度分布为：
2 v x t w1 t w 2 x t w1 t w 2 q t x 1 2 2 2
例1：一矩形截面长铜排，宽度w》厚度L，铜排下表面与冰浴
接触，因此开始时整个铜排的温度大致等于冰的温度T。，突 然对铜排通以电流，同时一股温度为T∞的气流吹过上表面，此 时铜排下表面继续维持T。，试列出扩散方程以及求解该铜排 温度分布的初始条件和边值条件。 分析：因W》L，导热可以认为是x方向上的一维传热 热扩散方程为：
得：
0 . 0651 0 . 000105 275
0 . 0940 W/(m k)
则：
q

( t1 t 2 )
0 . 0940 0 .1
( 500 50 ) 423
W/m
2
若是多层壁，t2、t3的温度未知： 可先假定它们的温度，从而计算出平均温度并查出导热系
其中， 1 1 1 k h1 h 2 则得
dt dx q
又根据傅里叶定律 q
tf1 tf 2
dt dx


1

1 h1 h2
1
tf2
1 h2
dt
t f1
1 h1
q

dx 温度分布微分方程式
t w1 t w2

3）多层平壁导热，第一类边界条件
B
A C E
如B、C、D的导热系数相 差不大时，把A和E相应地 划分三块，则其热阻的计 算相当于复合电路电阻的 计算。
D
等效热流路图：
A1
B
E1 E2
E3
t w1
A2
A3
C
D
tw2
1
R

t
1 R A1 R B R E 1

1 R A2 RC R E 2

1 R A3 R D R E 3
t w1
tw4
相当于多电阻串联电路
tw2 t w1
1 1
n
1
2
3
t w3
2 2
3 3
tw4

Rt

i 1
i
i
q
t
R

t
t w1 t w 4
R
t
对于n层平壁，其热流量Q为： Q q A
t w1 t w ( n 1)

i 1
n
i i A
4）多层平壁导热，第三类边界条件
分析： 这是一个三层平壁的稳态导热问题。散热损失
为：
t w1 t w 4 t w1 t w 4 Q δ3 δ1 δ2 R λ1 R λ 2 R λ 3 Aλ1 Aλ2 Aλ3

0 . 003 2 0 .5

15 5 0 . 005 2 0 . 025

0 . 003 2 0 .5


t w1 t w 2

当然，对于一维稳态导热，由于 q=const
由 两边积分后有
q

dt dx
q dx dt
tw 2
q dx
0
t w1
dt q
t w1 t w 2

这种直接积分法特别适合于求解变截面一维稳态导热问题 如果构成平壁的材料的导热系数随温度发生变化，即
可得特解：
t t w1 t w1 t w 2
dt t w1 t w 2 1
于是得：
dr
ln ( r2 r1 ) r
通过长为l的圆筒壁表面的热传导速率可由傅里叶 定律求得：
t w1 t w 2 Ql A 2 rl 2 l r2 dr dr ln r1 dt dt
2 2
此时，通过平壁的热流为： t w1 t w 2 dt b q 0 1 t w1 t w 2 dx 2 2）平壁边界为第三类边界条件，即
dt dx dt dx h1 t f 1 t
x0
热流密度：
q
t r

( t1 t 2 )
(1 / r1 1 / r2 ) r
2
r2 r1
热流量：
Φ
4 ( t1 t 2 ) 1 / r1 1 / r2
1
t1
t2
热阻：
1 1 R r r 4 1 2
2-3-4 变截面及变导热系数问题
1 2
稳态条件下：
ql
r r1
q l q1
r r2
于是得：
ql
t f1 t f 2 1 2 r1 h1 1 2 ln r2 r1 1 2 r1 h1 k l t f 1 t f 2

t f1 t f 2 1
d 1 h1

1 2
ln
r2 r1

i 1
n
i
i
1 h2 A
A
5）通过复合平壁的导热
一般而言，因各向材料的导热系数不同，复合平壁的温度场 是二维或三维的，但当各向不同材料的导热系数相差不大时， 仍可把复合平壁的导热问题近似地作一维处理，写成
Q t
R
求解复合平壁导热问题的关键仍是确定其各种形态下的总热 阻 R
t f1
h1
tf2
h2
相当于多电阻串联电路
t f1
1 h1
1
2 2
2
1 h2
3
1 1
n
3 3
tf2
R
t

1 h1


i 1
i
i

1 h2
q
t
R


t
t f1 t f 2
R

t
对于面积为A的平壁， 其热流量Q为：
Q qA
t f1 t f 2 1 h1 A
94 . 3 W
可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W，而空气夹层的 导热热阻为0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。 如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
Q'
10 0 . 003
3333 . 3 W
是双层玻璃窗散热损失的35倍，可见采用双层玻璃窗可
以大大减少散热损失，节约能源。
2-3-2
因实际中组成复合平壁的各向材料导热系数差别较大，
其热阻值与真实热阻值可能会有较大出入，目前一般采用 修正系数加以校正。
R
real
Rt
6）具有内热源时复合平壁的导热
条件：常物性；稳态；各向同性；一维导热 热扩散方程为： 通解为： 对于第一类边界条件
d t dx
2 2

qv

0 x c1 x c 2
数值，再计算热流密度及t2、t3的值。
逐步逼近，这就是迭代法。
若计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值，
例3：一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚0.3mm，玻璃
的导热系数为1.05 W/(mK)，双层玻璃间的空气夹层厚度
为5mm，夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为
0.025W/(mK)。如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为 15℃和5℃，试求玻璃窗的散热损失，并比较玻璃与空气 夹层的导热热阻。

x0

t f1
t w1
tf2
h2 t f 2 t
x

t w2
x
这里 ，h 1 , h 2 , t f 1 , t f 2， 已知
h1
h2
对于常物性，当稳态情况下可得： t f1 t f 2 q k t f 1 t f 2 1 1 h1 h2
2 1
2 2
2 3
对于n层圆筒壁有：
ql
t w ,1 t w , n 1

i 1
n

t w ,1 t w , n 1
R l ,i

ln ri 1 ri 2 i
3）第三类边界条件，单层圆筒壁 q h1 2 r1 t f 1 t w1 l rr t w1 t w 2 ql 1 r2 ln 2 r1 q1 r r h 2 2 r2 t w 2 t f 2
t
通过圆筒壁的导热
1 t 1 r 2 r r r r t t z z q v
柱坐标下物体的热扩散方程为：
c

对于稳态、一维、无内热源情况， 上式可简化为：
作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁温度
t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。
解：材料的平均温度为：
t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃
由p318附录4查得：
{ } W/(m k) 0 .0651 0 .000105 {t } C

1
d 1 h1
4）第三类边界条件，多层圆筒壁
ql
t f1 t f 2 1 2 r1 h1
2
i 1
n
1
ln
i
ri 1 ri

1 2 r1 h1
2-3-3 通过球壁的导热
温度分布：
t t 2 (t1 t 2 ) 1 / r 1 / r2 1 / r1 1 / r2