MATALB8.5基础与实践教程(第2版)第3章 高等数学运算(1)

3.1 函数与极限
本节介绍利用MATLAB对函数和函数极限进行运算与分
析的基本方法，包括： 函数的四则运算 函数的极限运算 级数（函数）的求和与收敛分析等。
3.1.1函数运算
如前所述，MATLAB对函数有符号型函数和数值型函数
两种表示形式。符号型函数可用于对未知变量函数进行
运算，数值型函数可用于对赋值变量函数进行运算(章节 1.2)。用户可直接利用MATLAB提供的如三角函数等基 本函数命令进行函数表达式的编辑和运算(章节2.2)，也 可直接调用MATLAB的内定函数和自建函数进行求解
认时为10-6；method指定积分方式：quad、quad8。
3.4.2 定积分
3 三重积分
命令格式： int(int(int(f,x1,x2),y1,y2),z1,z2) %含义同上述int() triplequad('f',x1,x2,y1,y2,z1,z2) triplequad('f',x1,x2,y1,y2,z1,z2,tol) triplequad('f',x1,x2,y1,y2,z1,z2,tol,method)
%解符号方程、方程组、超越方程 X=linsolve(A,B) %解线性方程组AX=B的解X，中A、B为符号矩阵 X=A\B %解线性方程组AX=B的解X, 求解速度快、精度高、适应性较强 %解线性方程组AX=B的解X。由于计算速度慢，一般不采
X=inv(A)*B 用。
3.2.1 线性方程(组)求解
事实上是利用了向量卷积(convpolytion)的函数命令格式： hp=conv(fp,gp)
3.1.1函数运算
3. 函数的除法运算
与乘法运算类似，对于符号函数可以利用除法运 算符进行函数的运算，对于数值多项式函数可以利用 反卷积函数命令格式进行运算：
[z,r]=deconv(gp, fp)
3.1.2极限运算
3.2 方程的求解
求解方程是数学分析的基础内容之一，也是MATLAB
ห้องสมุดไป่ตู้
符号函数运算的一个重要功能。方程求解分为一元、多
元线性方程和非线性方程的求解问题。本节结合高等数 学教程中的相关内容介绍方程求解的一般方法, 其它方法 将在线性代数中进行介绍。
3.2.1 线性方程(组)求解
命令格式：
X=solve(‘eq1’,’eq2’,...,’eqn’,val1,val2,...,valn)
其中，eq为一元线性或非线性方程的符号函数表示f=eq；x1, x2为极小值的大致区间即[x1, x2]，可通过绘图来确定。 对于求区间的极大值, 可通过求-f=‘-eq’的区间极小值点来得 到。
3.3 导数与微分
MATLAB具有很强的求导与差分运算能力，其中包括一阶求导、高阶
求导、多元求导和抽象函数求导，以及数组差分等运算。求解符号函数的 导数与微分的函数命令格式均为diff()。具体调用格式和说明见表3-2。
(章节2.3)。
3.1.1函数运算
1.函数的加减运算
例3-1 已知 试求1）h(x)=f(x)+g(x)；2）给定变量a4=8;a3=2;a1=9;a0=5;b1=6;b0=10，求
h(x)。
解：先定义符号变量及函数求符号多项式函数的和运算；再给系数变量赋 值求常系数多项式函数表达式。
2. 函数的乘法运算
积分运算函数命令对数值型(常系数)函数和符号函数的计算都适用。
3.4.2 定积分
1定积分
MATLAB提供的定积分求解的函数命令主要包括: int()、quad()、quadl()及
trapz()。它们的使用格式和说明见表3-4。
3.4.2 定积分
2 二重定积分
命令格式：
int(int(f,x1,x2),y1,y2) dblquad('f',x1,x2,y1,y2,tol,method) 其中，f可以是M函数文件名，也可以是字符串内联的确定性数组型函数； x1,x2,y1,y2指定积分的矩形区域[x1,x2]×[y1,y2]；tol指定精度要求，默
3.2.3 求函数的区间的零点（根）
命令格式 : fzero(‘eq’,x0) 或 fzero(f,x0) 在区间x0中求f=eq=0的根
其中，eq 为一元线性或非线性方程的符号函数表示f=eq,
x0=[a,b]为根的估计范围，可通过绘图来确定。
3.2.4 区间的函数极值
命令格式 : fminbnd(‘eq’,x1,x2) 或 fminbnd(f,x1,x2)
3.4 积分及其应用
积分是微分的逆运算。对复杂的积分运算不仅运算量大、
技巧性强，而且需要借助积分表和一些积分法则，如换元法、
分步积分法等。MATLAB为积分运算提供了功能强大而简洁 的运算工具，包括符号函数积分和数值积分两类，可进行不
定积分、定积分、重积分等运算。本节介绍常用积分函数命令的
使用格式和方法。
所需的运算时间要长近8倍或者X=A\B的运行效率提高近8 倍。
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3.2.2 非线性方程求解
命令格式: X=fsolve(functoin name,x0,options) 其中，functoin name: 非线性方程组的函数名； x0: 初始值向量或矩阵； options: 设置命令函数fsolve求解过程的参数选项，通常设为 optimset(‘fsolve’)。
3.4.1 不定积分
不定积分的基本命令格式及说明见表3-3。
3.4.2 定积分
由于定积分运算是有限区间分段累积和的极限结果，在理论上可以 得到定积分的精确解即解析解。但在实际应用中，有时只能通过有
限项的累加来得到一个可接受的近似解，称为数值解。目前数值解
的方法很多，但在同样条件下，不同数值解方法之间会出现精度上 的差异，因此选择合适的数值积分方法很重要。MATLAB所提供的定
1. 函数参数的极限 2. 函数的极限 3. 多元函数的极限
注意：在极限不存时, MATLAB可能给出非数NaN或者无结果的结构 原式, 但有时也不能就此说明极限是否不存在, 应进一步观察其左 右极限情况。如, 设F1=x^n·lnx，在x→0时，F1是0·∞型的未定式， 若使用洛必达法则，可等价为G1=-x^n /n，在x→0时有G1=0，即。 但用MATLAB直接运算，则不会得到上述结果。
例3-20,3-21： 说明：命令solve()和linsolve()是一种符号型函数的求解运算， 所以给出的结果是符号解的数组结构的形式解。因此例321的两种方法所得结果是有区别的，即方法1给出的是符号 解的形式解，方法2给出的是解析解。实际上方法2是线性
代数的求解方法。另外，还可以看出X=inv(A)*B比X=A\B
其中，f可以是M函数文件名，也可以是字符串内联的确定性数组型函数； x1,x2,y1,y2,z1,z2
指定矩形积分区间[x1,x2]×[y1,y2]×[z1,z2]；tol指定精度要求，默认时为 10-6；method指定数值积分方式：quad、quad8。
3.4.3 曲线与曲面积分
1.曲线积分
2.曲面积分
3.1.3 级数的求和
级数可分为常数项级数和函数项级数。
MATLAB所提供的级数求和的函数命令的运算中已将收敛性问题考 虑其中，可以由求解结果看到级数的收敛情况，所以级数的收敛性是和 极限的概念联系在一起的。MATLAB提供了无穷级数求和的函数命令, 其格式为：
symsum(f,v,a,b)
其中，f为级数的通项表达式；v是求和变量；a, b为求和的下限和上限值， 缺省时a=0，b=v-1。 对于有限项级数的求和，也可利用命令sum()及数组点运算格式来实 现求和。
第3章 高等数学运算（1）
3.1函数与极限 3.1.1函数运算 3.1.2极限运算
3.3导数与微分
3.3.1导数运算
3.3.2导数的应用 3.4积分及其应用 3.4.1不定积分 3.4.2定积分 3.4.3曲线与曲面积分
3.1.3级数的求和
3.2方程的求解 3.2.1线性方程(组)求解 3.2.2非线性方程求解 3.2.3求函数的区间的零点（根） 3.2.4区间的函数极值
3.3.1 导数运算
1 一般求导运算;
2 高阶求导; 3 多元函数的偏导;
4 多元复合函数求导
5 抽象函数求导 6 符号函数求导 7 隐函数的导数
1 泰勒公式
3.3.2 导数的应用
把函数用幂级数的形式展开成有限项和的近似公式是导数在泰勒公式中的 一个应用。MATLAB的泰勒级数展开的函数命令格式为： r=taylor(f) r=taylor(f,n,v) r=taylor(f,n,v,a) 其中，f为待展开函数；n为展开的项数，缺省时为n=6；v为指定f中的变量, 对单 变量可缺省, 对多个变量, 缺省时是指x；a为展开点，缺省时为0，即麦克劳林展 开。 2 函数的单调性、极值、凹凸、拐点、及变化趋势分析