人教版初三(上)数学讲：正多边形与圆(教师版)

正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。

参考答案：1.（1）三个角平分线(2) 三边中垂线2. 三个顶点的距离, 三角形三边3.(1) 互补(2) 对边之和相等1. 利用三角形的内心求角度【例1】（2014湖北宜昌一模）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．【答案】A练习1.如图，I是△ABC内心，则∠BIC与∠A的关系是（ D ）A. ∠BIC=2∠AB. ∠BIC=180°－∠AC. ∠BIC=D.∠BIC=【答案】B练习2.（2014湖北恩施一模）如图，圆O是△ABC的内切圆，与三角形三边分别切于D、E、F，知∠B=50°，∠C=60°，则∠EDF= 。

【答案】55°2. 三角形外接圆问题【例2】正三角形的外接圆半径是R，则它的边长是（）A.0.5RB. RC. RD. R【解析】正三角形的外接圆边长是半径的3倍，圆心与三角形两个顶点的连线是一个顶角为120°的等腰三角形，可证倍数关系，带入即可。

【答案】B练习3. 若三角形的三边长分别为1，1和，则外接圆的半径为____________。

【答案】练习4. 等边三角形的边长为4cm，它的外接圆的面积为____________。

【答案】3.内切、外接、外切问题的综合【例3】正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A. B. C. D.。

【解析】圆的内接正方形，内心外心重合，可求∠BOC的度数，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠BPC是∠BOC的一半即可。

【答案】A练习5．同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是（）A. 2：1B. 1：2C.D.【答案】C练习6.△ABC中设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，⑴若∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．⑵若∠A=a，则∠BIC=________，∠BOC=________．【答案】（1）130°，160°（2）90°+，2a4.内切圆综合题【例4】已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC 的面积S．【解析】连接圆心和切点，把三角形分成三个小三角形，而且有现成的底和高就可以求出每个小三角形的面积，加起来可得大三角形的面积。

【答案】解：设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．∵S△AOB=AB•OD=AB•r，同理，S△OBC=BC•r，S△OAC=AC•r．∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即S=AB•r+BC•r+AC•r，则S=（a+b+c）•r．练习7．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．【答案】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠BOC=105°，∴∠OBC+∠OCB=180°-105°=75°，∴∠ABC+∠ACB=2×75°=150°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=30°，∵∠C=90°，AB=20cm，∴BC=AB=10cm，AC=10cm练习8．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．【答案】解：如图；(1)在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根据勾股定理AB=AC2+BC2=15cm；四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；则CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（12+9-15）=3．(2)当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）．则⊙O的半径r为：（a+b-c）．5. 正多边形和圆【例5】正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A. 33B. 233C. 23D. 223【解析】正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

△ABF 是含120°角的等腰三角形，以△ABF为研究对象即可求。

【答案】解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1F EA G DB C又∵∠FAG＝60°∴=∠==AFFGFAGsin132233故选B练习9.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.【解析】外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证. 圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。

【答案】证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图∵ OM⊥AB,ON⊥BC,……,∴ S△OAB=OM·AB＝R·AB,S△OBC=ON·BC＝R·BC……,∴正多边形ABCD……面积为S=R(AB+BC+……)=R·P.练习10．如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.【解析】如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。

【答案】解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切⊙O的内接正三角形的一条边长,过O点作OE⊥CD于E,分别连结OA、OB、OC、OD.∴ OC=R,AB=a6,BC=a6,∠BOC=30°,CD=a3,CE=a3,OE=r3,∠COE=60°,∵ S6=6·S△OAB,∴ S6=6×a6·OC=6,∵ OC=BC·cot30°,∴ OC=a6,∴ 6×a6·a6=6,∴ a6=2,∴OC=,∵ OE=OC·cos60°,∴ OE=,∵ CE=OC·sin60°,∴ CE=,∴ CD=2CE=3,∴S3=3×CD·OE,∴S3=3××3×=.练习11. 正三角形的边心距、半径和高的比是（）A. 1∶2∶3B. 123∶∶ C. 123∶∶ D. 123∶∶【答案】解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高O设OD r =，则AO ＝2r ，AD ＝3r∴OD ∶AO ∶AD ＝r ∶2r ∶3r ＝1∶2∶3 故选A【例6】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ）A. S S S 346>>B. S S S 643>>C. S S S 634>>D. S S S 463>>【解析】设它们的周长为l ，则正三角形的边长是a l 313=，正四边形的边长为a l 414=，正六边形的边长为a l 616=∴=︒=⨯⨯=S a l l 332221260121932336sinS a l S a l l44226622211661260612136323372===⨯︒=⨯⨯⨯=sin∴>>S S S 643【答案】B练习12. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ，求证：（1）ME AB =；（2）ME BE BM 2=·【答案】证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则AB ⋂=⨯︒=︒1536072∴∠BEA ＝36° EC ⋂=⨯︒=︒25360144 ∴∠=⨯︒=︒∴∠=︒-︒-︒=︒=∠∴==EAC EMA EAMME AE AB1214472180367272（2）BC AB CAB BEA ⋂=⋂∴∠=∠，又∵公共角∠ABM ＝∠EBA ∴△ABM ∽△EBA∴=∴=AB BE BMABAB BE BM2·练习13. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。