一元函数积分学的应用

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一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用

解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过
程中，需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.

一元函数积分学及其应用实验总结与反思

一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学是微积分的重要分支，它研究的是函数的积分、面积、弧长等概念和性质。

通过对函数的积分，我们可以得到函数的原函数，进一步求解曲线下的面积、曲线的弧长等问题，同时也可应用于物理、经济、工程等领域的实际问题中。

在进行一元函数积分学及其应用的实验过程中，我获得了以下总结和反思：
1. 实验准备要充分：在进行实验之前，我需要对相关的理论知识进行复习和准备，确保自己对一元函数积分学的基本概念和方法有清晰的理解。

同时，还需要准备好实验所需的材料和工具，确保实验可以顺利进行。

2. 实验过程要仔细：在进行实验过程中，我需要认真观察和记录实验现象，遵循实验操作规范，确保数据的准确性和可靠性。

同时，还需要注意实验环境的安全，避免实验过程中出现意外情况。

3. 实验结果要进行分析和总结：在实验结束后，我需要对实验结果进行仔细的分析和总结，找出规律和问题。

如果实验结果与理论知识不符，我需要思考可能的原因，并尝试解决问题。

同时，还可以通过实验结果对理论知识进行验证，加深对知识的理解。

4. 实验中的创新思维：在进行一元函数积分学及其应用的实验中，我也可以尝试一些创新思维，比如探索新的实验方法、设计新的实验方案等。

通过创新思维，我可以更好地理解和应用一元函数积分学的知识，提高自己的实践能力。

总的来说，一元函数积分学及其应用的实验是提高自己对知识理解和应用能力的重要途径。

通过认真准备、仔细实施和精确分析，我可以更好地掌握一元函数积分学的知识，并将其应用于实际问题中。

同时，也可以培养自己的创新思维和实践能力。

一元积分学的几何应用与重积分计算

一元积分学的几何应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积{(,),()()}[()()]baDX D x y a x b g x y f x S dxdy f x g x dx =≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;(),(),()()bay f x y g x x a x b a S f x g x dx ====>=-⎰由曲线与直线所围图型的面积为;{(,)()(),}[()()]dcDY D x y g y x f y c y d S dxdy f y g y dy =≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;(),(),()()dcx f y x g y y c y d c S f y g y dy ====>=-⎰由曲线与直线所围图型的面积为;221{(,),()()}[()()]2DD g f S d d f g d βαθρθαθβθρθρρθθθθ=≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;2、旋转体体积22{(,),0()()}[()()]bx aX D x y a x b g x y f x x V f x g x dx π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,,()()bx ay f x y g x x a x b a x V f x g x dx π=≥=≥==≥-⎰所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,)0()(),}[()()]dy cY D x y g y x f y c y d y V f y g y dy π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,()()dy cx f y x g y y c y d c y V f y g y dy π=≥=≥==≥-⎰,所围图形绕轴旋转一周的=;{(,)0,()()}2[()()]by aX D x y a x b g x y f x y V x f x g x dx π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;(),(),,02()()by ay f x y g x x a x b a y V x f x g x dx π====≥≥-⎰所围图形绕轴旋转一周生成的=;{(,)()(),0}2[()()]dx cY D x y g y x f y c y d x V y f y g y dy π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;(),(),02()()dx cx f y x g y y c y d c x V y f y g y dy π====≥≥-⎰,所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,),()()}{[()][()]}baD x y a x b k g x y f x y k V f x k g x k dx π=≤≤≤≤≤=---⎰绕旋转一周的=;22(),(),,[()][()]bay f x k y g x k x a x b a y k V f x k g x k dx π=≥=≥==≥=---⎰所围图形绕旋转一周的=;{(,),()()}2()[()()]baD x y k a x b g x y f x x k V x k f x g x dx π=≤≤≤≤≤=--⎰绕旋转一周的=;注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示,x y3、曲线的弧长:(),(),[,]t LaL x f t y g t t a b L ds ==∈=⎰⎰的弧长=;:(),[,]LL f L ds θαρθθαβθ=∈=⎰⎰的弧长=;4、旋转体的侧面积:()0,[,]2()2(bx LaL y f x x a b x S f x ds f x ππ=≥∈=⎰⎰绕轴旋转一周的侧面积=;()(){(,),0()()}2()()x y f x y g x D x y a x b g x y f x x S f x ds g x dsπ===≤≤≤≤≤+⎰⎰绕轴旋转一周的=2[((baf xg x dx π=⎰（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域D 对称于x 轴时，令D '是D 关于x 轴某一侧的部分，则有(,)'2(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)f x y D Df x y d f x y f x y y f x y d f x y f x y y σσ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩⎰⎰=⎰⎰连续若关于为偶若关于为奇上述性质可类似地应用于关于y 轴的对称性与函数关于x 的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若),(),(y x f y x f -=--，则有.0),(⎰⎰=Dd y x f σ（4）若将,x y 互换，积分域D 不变，（D 关于y x =对称）则1(,)(,)[(,)(,)]2DDDf x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换性） 2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域Ω对称于xoy 面时，令'Ω是Ω关于xoy 面某一侧的部分，则有(,,)'2(,,),(,,)(,,)(,,)0,(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z f x y z z f x y z dv f x y z f x y z y ΩΩ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰=⎰⎰⎰连续若关于为偶若关于为奇上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将,,x y z 互换，积分域Ω不变，则(,,)(,,)(,,)f x y z dv f x z y dv f y z x dv ΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （轮换性）3、记忆重积分的算法对{(,),()()}X D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤型区域， ()()(,)(,)b h x ag x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰对{(,)()(),}Y D x y g y x h y c y d =≤≤≤≤型区域，()()(,)(,)d h y cg y Df x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰对{(,),()()}D g h θρθαθβθρθ=≤≤≤≤型区域，()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )h g DD f x y d f d d d f d βθαθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰特别地，2211(cos ,sin )(cos ,sin )r r r r d f d d f d ββααθρθρθρρρρθρθρθ=⎰⎰⎰⎰对{(,,)(,),(,)(,)}x y z x y D g x y z h x y Ω=∈≤≤（疑似）柱体区域，D 为Ω在xoy 面的投影则(,)(,)(,,)(,,)h x y g x y Df x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，此为先二后一法对(,)0F y z x =⎧⎨=⎩绕z 轴（a z b ≤≤）的旋转体区域Ω，z D 为Ω在z 处的横截面区域，则(,,)(,,)zbaD f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，此为先一后二法特别地，截面面积为已知的立体体积()()b baaD x V A x dx dx dydz dv Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=对由球面与锥面所围成的区域Ω，可利用球坐标法计算：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、典型例题（一）一元积分学的几何应用例1、求由曲线23x y =及22x y -=在上半平面围成图形的面积A 及周长S . 解： 251]2[210322π+=--=⎰dx x x A^^2()2[]OMMPS SS =+=+⎰⎰)422781313(2π+-=. yx例2、设图形A 由x y x 222≤+与x y ≥确定，求A 绕直线2=x 旋转一周所得的y V .解：（一）用元素法，相应于上的任一小区间],[dy y y +的薄片体积的元素为dy y y dy y y dv ])1(1[2})2()]11(2[{22222---=-----=πππ∴ 21223y V dv ππ==-⎰（二）用特殊的元素法对于该题有21022(2]23y v x x dx πππ=-=-⎰. 例3、设闭曲线)()(442322y x a y x +=+所围成图形的面积.解：其极坐标方程为222(1sin 2r a θ=-，由封闭性知πθ20≤≤但由于图形上、下、左、右的对称性，知所求面积⎰⋅=202)(214πθθd r A 234a π=.例4、求曲线)cos 1(4θ+=r 和直线2,0πθθ==所围成图形绕极轴旋转一周的x V .解：⎰⎰==022282cos sin πθθππdr r dx y V x πθ160)21()1()1(122cos =+-+=⎰=dt t t t t .例5、2()f x =位于第一象限的图像与x 轴、y 轴所围区域的面积为529．解：面积44400001()[()]'()2A f x dx xf x xf x dx ==-=⎰⎰⎰3233220001252(1)(1)399du u u ==+=+=⎰⎰．例6、设221()t x f x e dt -=⎰，求其所示曲线与直线1x =及x 轴，y 轴围成的区域绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积V ．解：111221202()()[()]()V xf x dx f x dx x f x x df x ππππ===-=⎰⎰⎰1(1)2e π--．例7、已知曲线的斜率为x cos ，则该曲线在]2,0[π中的弧长为2．例8、求曲线⎰=xdt t y 8sin 的全长S ．解：ππ32≤≤x ，而x x y sin )(=' ∴ 41322=+=⎰dy y S ππ．例9、设函数)(x f 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内大于零,并满足223)()(x a x f x f x +=' (a 为常数) , 又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围成的图形S 的面积值为2,求)(x f ,并问a 为何值时,图形S 绕x 轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小. 提示：当 0≠x 时，有[]3()2a f x x '=，则Cx x a x f +=223)( 由)(x f 边连续性知0)0(=f .又由已知条件得2=12032a x Cx dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰22C a +，有a C -=4 因此x a x a x f )4(23)(2-+=，体积为[]ππ)31631301()()(2210++==⎰a a dx x f a V , 令 0)31151()(=+='πa a V ,得 5-=a .又 0151)5(<=-''V ,故知当5-=a 时,体积最小. 注：有时，平面图形的面积或旋转体体积可表示成关于参量的变限积分，在求极值时，可对此变限积分求（偏）导.例10、设()y f x =是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求()f x 的表达式. 提示： 316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ，两边关于x 求导，得当0≠x 时，得211()()x f x f x x x-'-=，当x=0时，f(0)=1.2()1,f x x Cx =++由)(x f 边连续性知2()(1).f x x =-（二）重积分计算例1、交换二次积分的积分顺序112(,)ydy f x y dx --⎰⎰=2110(,)xdx f x y dy -⎰⎰.解：画出积分区域D ，知道它是由三条直线：1x y +=，2x =，0y =围成，原式0211(,)ydy f xy dx --=-⎰⎰2021111(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy --=-=⎰⎰⎰⎰.例2、212y x dx edy -⎰⎰221120y yedy dx -=⎰⎰2122(1)y ey dy -=-⎰ 12e -=.例3、计算2122222200101111xx I dx dy dx dy x y x y -=+++++⎰⎰⎰⎰. 解: 022422200041ln 3 118r Dr I dxdy d dr x y r ππθπθ≤≤≤≤===+++⎰⎰⎰⎰. 例4、设区域222{(,):}D x y x y R =+≤，求2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰.解：因互换x y 、，区域D 不变，则22222222()()D Dx y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰故原式2223222200111111()()22R D x y dxdy d r dr a b a b πθ=++=+⎰⎰⎰⎰（）22422()4a b R a b π+=例5．计算22DI x y d σ=+⎰⎰，其中{}22222(,),2x y a x x D x y y a +≤+≥=解：令{}222122(,),,20x y a x y a D x y y x +≤+≥=≥，由二重积分奇偶对称性性质知，1222D I x y d σ=+⎰⎰2cos 222332[]aa d d d d ππθππθρρθρρ=-⎰⎰⎰⎰34[(8)23]9a π=-+.例6、计算221()x y x y dxdy +≤+⎰⎰.解：原式22220,00,0114()8x y y y y x x x x y dxdyxdxdy ≥≥+≤+≥≥≤=+=⎰⎰⎰⎰轮换性122008cos d r dr πθθ=⎰⎰83=. 例7、求,122σd y xD⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤.[解] 如图,原式12122222222(1)(1)(1)2(1)D D DD x y d x y d xy d x y d σσσσ=--++-=+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰211122200001(1)2(1)43dx x y dy d r rdr ππθ=+-+-=-⎰⎰⎰⎰.例8、设{}2222(,)0,0,1x y x y D x y x y ⎡⎤=+≤≥≥++⎣⎦表示不超过221x y ++的最大整数，计算二重积分22D1xy x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰. [解1] 原式 dr r r d ]1[cos sin 222034+=⎰⎰πθθθ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰4213103221dr r dr r 38=.[解2] {}0,0,1),(221≥≥<+=y x y x y x D ，{}0,0,21),(222≥≥≤+≤=y x y x y x D则有122),(,1]1[D y x y x ∈=++，222),(,2]1[D y x y x ∈=++原式122D D xydxdy xydxdy =+⎰⎰⎰⎰dr r d dr r d θθθθθθππcos sin 2cos sin 4213202103⎰⎰⎰⎰+=38=. 例9、设()f x 连续，求22[1()]DI y xf xy dxdy =++⎰⎰，D 由,1y x y ==-与1x =所围. 解: 22221112[1()][1()]3y x x y x y I y xf x y dxdy y xf x y dxdy ydxdy ≤≤≤-≤≤-≤=+++++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 例10、连续函数)(x f 的定义域为),0[+∞，且⎰⎰+++=Ddxdy y x f x t f 1)()sin 1()(222007，其中}0,|),{(22≥≤+=y t y x y x D ,求)(x f . 解：由二重积分奇偶对称性性质知，⎰⎰=+D dxdy y x f x 0)(sin 22200722220()()1()1()1Df t f x y dxdy d f d f d πθρρρπρρρ=++=+=+⎰⎰⎰将上式两端同时对t 求导)(21)()(t f t t t f t f ππ=⋅='，即2(),()2t df t dt f(t)ce f t ππ==⎰⎰又(0) 1 f =，得1c =，故xe xf 2)(π=.例11、求2611lim sin()t txt dx xy dy t +-→⎰⎰20265sin()1lim sin()lim 6t t yt t xt dx dy xy dx t t ++→→==⎰⎰⎰22406500sin 2sin 1limlim 63618t xt ut t u du t t t t ++=→→===⎰. 例12、设f (r )在[0，1]上连续，则()()0d d lim 1222222=++⎰⎰≤+∞→y x nn y x y xfy x．证明：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰++≤+==++1121122012222d 2d d d 22r r f r r r f rd y x y xfyxn n πy x nπϑ，设()r f M r 10max ≤≤=，则()22122210120d d 2d 22nn x y Mxyfx y M r r n ππ++≤≤+≤=+⎰⎰⎰注意到：1lim01n n →∞=+，于是由夹逼定理可知要证结论成立．例13、()f x 可导， ()g x 为其反函数，，(1)0f =，证明：1()100()2()f x dxg y dy xf x dx =⎰⎰⎰．提示：令'()'()F x xf x =，则左111200[()]'()()xF x xF x dx x df x =-=-=⎰⎰右．例14、⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω由锥面222x y z +=与平面z a =（0a >）围成的区域. 【解1】原式22222220510)a a ax y a dxdy x y dz d d dz a πρθρρρπ+≤=+==⎰⎰⎰⎰⎰.【解2】原式2222223050()1aa zx y z dzx y dx dz a dy d d ππθρρ+≤=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.【解3】原式222222224cos 00(sin cos sin sin )sin a d d r r r dr ππϕθϕϕθϕθϕ=+⎰⎰⎰2344cos 000sin a d d r dr ππϕθϕϕ=⎰⎰⎰510a π=.例15、222(23)x y z dv Ω-+⎰⎰⎰，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域. 【解1】因区域Ω具有轮换性，则222x dv y dv z dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故原式22220()2()z x y dv x y dv Ω≤=++=⎰⎰⎰对称奇偶22212220012)2x y dxdy x y dz d d dz πθρρ+≤=+=⎰⎰⎰⎰815π=. 【解2】原式2221122230182()215x y z dzx y dxdy dz d d πθρπ+≤-=+==⎰⎰⎰⎰⎰. 【解3】原式2222()3x y z dv Ω=++⎰⎰⎰212200028..sin 315d d r r dr ππθϕϕπ==⎰⎰⎰. 例16、计算dv y x ⎰⎰⎰Ω+22，Ω由平面8,2==z z 以及曲面S 围成，其中S 是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转所生成的旋转面. 解：原式228822222198415x y zdzdz d d πθρπ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰. 例17、计算1I dxdydz Ω=，其中1z Ω≤≤．解：121)(1I dxdydz dxdydz ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1221224cos 40(1)sin (1)sin 1)6d d r r dr d d r r dr ππππϕπθϕϕθϕϕ=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例18、求222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥上的连续函数(,,)f x y z ，使(,,)4(,,)3f x y z x y zf x y z dv Ω=++-⎰⎰⎰．提示：令(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则4444,1A A zdv A A πππππΩ=-=-=-⎰⎰⎰．三、课后练习（一）一元积分学的几何应用1、曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围成图形的面积可表为（C ）A dx x x x ⎰---20)2)(1( Bdx x x x dx x x x ⎰⎰-----211)2)(1()2)(1(C dx x x x dx x x x ⎰⎰--+---2110)2)(1()2)(1( Ddx x x x ⎰--2)2)(1(2、设()()f x g x m <<在区间[,]a b 上连续，则曲线(),()f x g x 夹在[,]a b 之间的平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为（B ）Adx x g x f x g x f m ba )]()([)]()(2[-+-⎰π Bdx x g x f x g x f m ba )]()([)]()(2[---⎰π C dx x g x f x g x f m ba )]()([)]()([-+-⎰π D dx x g x f x g x f m ba)]()([)]()([---⎰π3、假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L ，x 轴和y 轴所围成区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，0>a 则3=a4、已知曲线)0(>=a x a y 与曲线x y ln =在点),(00y x 处有公切线，求①常数a 及切点),(00y x ；②两曲线与x 轴围平面区域面积A ；③该区域绕x 轴旋转一周所得旋转体体积x V [①)1,(,12e e a =②21612-=e A ③2π=x V ] 5、已知一抛物线通过)0,3(),0,1(B A①求证：两坐标轴与该抛物线所围成区域面积等于轴与该抛物线所围成图形面积 ②计算上述两平面图形绕轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比（819） 6、求曲线3,1,0,22===-=x x y x x y 所围的面积图形面积A ，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积y V （π9,2==y V S ）7、求0),0(sin =≤≤=y x x y π 围成的平面图形绕x 轴旋转所得的曲面面积x S ，并求其绕y 轴旋转所得的旋转体体积y V （2ln(1π，22π）8、设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴一周所得到的旋转体的表面积[)1511(6-=πS ]9、过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D ，①求D 的面积②求D 绕e x =旋转一周所得的旋转体的体积V[①121-=e A ②)3125(62+-=e e V π]10、设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0边到π2的一段弧与极轴所围成的图形面积为)(414πa e a 11、双钮线，所围成区域面积可表示为（A ）A θθπd ⎰42cos 2 B θθπd ⎰402c o s 4 C θθπd ⎰402cos 2 D θθπd ⎰402)2(c o s 2112、求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱)20(π≤≤t 的弧长8=S13、求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长，其中0>a （a S 8=）14、设xoy 平面上有}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D 及t y x l =+: )0(≥t ，若)(t S 表示D 位于直线l 左下方部分的面积，试求⎰xdt t S 0)( )0(≥x .（ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤≤-+-+-=⎰221101316161)(2330x x x x x x x x dt t S x ） 15、曲线2xx e e y -+=与直线0=x ,)0(>=t t x 及0=y 围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为)(t V ，侧面积为)(t S ，在t x =处的底面积为)(t F ,①求)()(t V t S ②计算)()(lim t F t S t +∞→（① 2 ② 1）16、点)2,3(是曲线C 的一个拐点，1l 、2l 分别是曲线C 在)0,0(与)2,3(处的切线，其交点为)4,2(，设函数)(x f 具有三阶连续导数，求'''+32)()(dx x f x x （20）.y0 2 3 4 x 17、求曲线x y =的一条切线l ，使该曲线与切线l 及直线2,0==x x 所围成图形面积最小（212:+=x y l ） 18、设曲线)0,0(2≥>=x a ax y 与21ax y -=交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面曲线，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？（π1875532,4max ==V a ） 19、设直线ax y =与抛物线2x y =所围面积为1S ，它们与1=x 所围面积为)1(,2<a S ①试确定a ，使达到最小21S S +，并求出最小值②求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积x V①62221min -==S a ，②π3012+=x V21、设)(x f 在),1[+∞上连续，若由)(x f y =， )0(,1>==t t x x 与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积)]1()([3)(2f t f t t V -=π，2(2)9f =，则()f x =31xx +．22、设)(x f 是正值连续函数，1)0(=f ，且对任何0>x ，曲线)(x f y =在],0[x 上的一段弧长总是等于由过x 轴上点x 且垂直于x 轴的直线及x 轴，y 轴与这段弧围成的曲边梯形面积，求这条曲线的方程．（x e y y =-+12）（二）重积分计算1、交换次序2sin 0(,)xdx f x y dy π=⎰⎰2sin 1sin 1arcsin 0arcsin (,)(,)arc yarc yyydy f x y dy dy f x y dy πππ+---+⎰⎰⎰⎰.2、设D 由22222,,x y a x y ax y x +=+==-所围成，如图中阴影部分所示，将二重积分 (,)DI f x y d σ=⎰⎰（a >0）化为极坐标系下的二次积分.20I d πθ=⎰cos (cos ,sin )aa f r r rdr θθθ+⎰⎰⎰ardr r r f d 0432)sin ,cos (θθθππ.3、求120sin y xdy dx x x =-⎰1cos1-.4、计算241222x x x xdx dy dx dy y yππ+⎰⎰=38(1)2ππ+. 5、计算22221yy x y x dy edx dy dx ----+=⎰⎰⎰1(1)8e π--．6、设D 由,2y x y x ==及2π=x 所围，若⎰⎰=+Ddxdy y x A 1)2cos(，求A =3-.7、设D 是xoy 面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的∆区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(sin cos )Dxy y x d σ+⋅=⎰⎰（A ）A 12sin cos D y xd σ⋅⎰⎰ B 12D xyd σ⎰⎰ C 14(sin cos )D xy y x d σ+⋅⎰⎰ D 08、设(,)f x y 连续，则111[(,)(,)1]xdx f x y f x y dy ---+=⎰⎰1．9、若{}22222(,),2x y a x x D x y y a +≤+≥=，求DI σ==322()33a π- . 10、()f x 为区域{}0,0,4,22≥≥≤+=y x y x y x D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(2a bπ+. 11、设,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩，其它，D 为整个平面区域，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰14．12、设{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤，则1Dxy dxdy -=⎰⎰3ln 22+．13、设:0,0D x y ππ≤≤≤≤，计算cos()Dx y d σ+=⎰⎰32π+.xy -=a-a2ayx42(222a y a x =+-222a y x =+14、设{(,):01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算22max{,}x y De dxdy =⎰⎰1e - .15、设函数)(x f 在]1,0[上连续，求证：()()11201212ydy f x x dx f x dx -+=⎰⎰⎰． 16、设函数)('x f 连续，求证：())]0()4([8'204222f f dx y x f dy yy-=+⎰⎰-π．17、求22{(,)|1}D x y x y =+≤上的连续函数),(y x f ，使21(,)()(,)2Df x y x y f x y d σπ=+-⎰⎰.（21()6x y +-）． 18、设)(x f 连续，且满足16181120()()89x x x x ds f xt dt t f t dt C -+-=++⎰⎰⎰，则C =19-．19、已知32(0,0)1,(,)3,(,),22x y x x f f x y x y f x ===则||||1(,)x y f x y dxdy +≤=⎰⎰95． 20、22()201lim t xx y t dx e dy t-→=⎰⎰2．21、设222:,r D x y r +≤则2221lim cos()d d rxy r D e x y x y r +-→+=⎰⎰π．22、若Ω为平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体，则3(1)x y z dv -Ω+++=⎰⎰⎰ln 22516-． 23、记曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围的立体区域为Ω，求2221dv x y z Ω=++⎰⎰⎰43ln 3π． 24、设Ω：2222221x y z a b c++≤，则dv Ω=⎰⎰⎰43abc π． 25、设22221:,0x y z R z Ω++≤≥，22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则有（C ）A124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B 124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D 124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰26、设Ω：2222x y z R ++≤，则2(3)x z dv Ω+=⎰⎰⎰5163R π． 27、设z Ω≤2()I xy dv Ω=+=⎰⎰⎰24π．28、由面上的区域绕轴旋转一周而成的空间区域，则=．。

电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件

计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例计算下列定积分
41
第二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分的
函数值的差。
计算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定积分的概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的概念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第一节
以点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)

一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。

2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。

一元函数积分学及其应用(课件)

注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不会自动补充常数项 C 。
18
第、。二节不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ；性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即

一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用)

n
此折线的长|M i 1M i|的极限存在，则称此极限为
i 1
曲线弧 A的 B 弧长 .
1. 直角坐标情形
y
设曲线弧为y f(x)
(a xb)，其中f(x)
dy
在[a,b]上有一阶连续导数
取积分变量为 x，在 [a,b]
o a x xdxb x
上任取小区间 [x,xd]x ，
w02Rdw4 3gR3[(1)HR].
例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
解
设木板对铁钉的阻力为
f(x)kx ,
dw f(x)d xkx, dx
第一次锤击时所作的功为
三、变力沿直线所作的功
变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、克服阻力作功、万有引力作功、弹力作功等.
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程
中有一个不变的力 F作用在这物体上，且这力的方
向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])( 2t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
3. 极坐标情形
曲线弧为
rr() ()
其中 ()在 [, ]上具有连续导数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,

一元函数积分学

.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 16 / 36
曲线的弧长
.
曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由方程 y = f(x)(x ∈ [a, b]) 给出的，其中 f 具有连续导
数，那么它的弧长：
∫ b√
s=
1 + f′2(x)dx
.
a
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 17 / 36
曲线的弧长
.
曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由极坐标方程 r = r(θ)(θ ∈ [α, β]) 给出的，其中 r(θ)
具有连续导数，那么它的弧长：
∫ β√
s=
r2(θ) + r′2(θ)dθ
.
α
.Байду номын сангаас
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 19 / 36
曲线的弧长
.
例 (求弧长)
.
.
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()
一元函数积分学
November 14, 2019 13 / 36
旋转体的体积
.
旋. 转体的体积
设立体 Ω 是由图形：
{(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
绕 x− 轴旋转一周得到，称为旋转体。它的体积：
∫b
V = π f2(x)dx
.
a
.
.
.
.

微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)

第六章一元微积分的应用
第三节曲线的凹凸性, 函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点二,曲线的渐近线三,函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的曲线的图形吗? y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ↑ ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的"上方"或"下方"的问题 .
在 (∞, 0) 上 ,
x1 + x2 1 f( ) < ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凸的 .
在 (0, + ∞ ) 上 ,
f(
x1 + x2 1 ) > ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凹的 .
y
在 (∞, 0) 上 ,
f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 2!
f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) +
f ′′(ξ1 ) ( x1 x0 ) 2 2!
f ′′(ξ 2 ) f ( x2 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x2 x0 ) + ( x2 x0 ) 2 2!
其中 , ξ1 在 x0 与 x1 之间, ξ 2 在 x0 与 x2 之间.
于是 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2 f ( x0 ) + ( f ′′(ξ1 ) + f ′′(ξ 2 ))( x1 x0 ) 2

一元函数积分学的应用

一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。

积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。

通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。

本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。

一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。

同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。

希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。

一元函数微积分在经济学中的应用

扣除应交所得税后的利润。

摘要：数学学科与经济学之间具有密本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的费用总额．总成本一固定成本域方面的问题己成为经济学整个理论体系十可变成本．其中固定成本指的是不随产中的一个重要组成部分，它使经济学走向量的变化而改变的费用，如厂房费用、固了定量化。微积分作为数学知识的基础，定资产折旧以及行政管理费等；可变成本是学习经济学的必备知识，文章着重讨论指的是随产量的变化而改变的费用，如原了微积分在经济学中最基本的一些应用。材料、燃料、动力以及计件工资等．由此关键词：函数；数；际；济学导边经可见总成本函数是产量（销量）函数。或的微积分在工程技术、国防科技和经济企业为提高经济效益降低成本，通常管理等许多领域都有十分广泛的应用，随需要考察分摊到每个单位产品中的成本着现代科学技术的发展与现代管理水平的即平均成本，以评价企业生产经营管理提高，管理定量分析越来越广泛地被应状况．用，从而使微积分在经济领域中的作用越二、导数在经济分析中的应用来越重要，下面介绍微积分在经济中的一（）边际成本一些简单的应用。总成本函数的导数称为边际成本．函数在经济学中的应用边际成本是指在一定产量水平下，增需求函数。在经济管理中，需求函数加或减少一个单位产量所引起成本总额的是用来表示一种商品的需求数量和影响该变动数，用以判断增减产量在经济上是否需求数量的各种因素之间的相互关系的。合算。它是在管理会计和经营决策中常用也就是说，影响需求数量的各种因素是自的名词。例如，生产某种产品ｌ０个单位０变量，需求数量是因变量。需求函数是单时，总成本为５０００元，单位产品成本为调减少函数。５元。若生产１１Ｏ０个时，其总成本５００，４元供给函数。供给函数表示一种商品的则所增加一个产品的成本为４０元，边际供给量和该商品的价格之间存在着一一对成本即为４０元。当产量未达到一定限度应的关系。时，边际成本随产量的扩大而递减，但当均衡价格。均衡价格是指一种商品的产量超越一定限度时，就转而递增。因此，需求价格和供给价格相一致时的价格，也当增加一个单位产量所增加的收入高于边就是这种商品的市场需求曲线与市场供给际成本时，是合算的；反之，是不合算的。曲线相交时的价格。因此计算边际成本对制订产品决策具有重所谓需求价格，是指消费者对一定量要的作用。微观经济学理论认为，产量增商品所愿意支付的价格。在其他条件不变至边际成本等于边际收入时，为企业获得的情况下，市场上对某种商品的需求一般其最大利润的产量。通过确定边际成本来与其价格呈反方向运动。即价格上涨，需提供经营决策所需资料的成本决策，称为求量减少；格下跌，需求量增加。在其他边际成本计算。在实际工作中，边际成本价条件不变的情况下，商品的供给与其价格计算常只按变动成本计算。呈同方向运动。即价格上涨，供给增加；价（）边际收益二格下跌，供给减少。当然，影响需求与供总收益函数的导数称为边际收益．它（近似地）表示销售个单位产品后，给变动的因素不仅仅是价格。影响需求变化的其他因素还有消费者收入、替代品价再销售一个单位的产品所增加的收益．格、互补品价格、对未来价格的预期等；影它可以是正值或负值。边际收益是厂商响供给变化的其他因素还有生产技术水分析中的重要概念。利润最大化的一个平、生产要素价格、相关商品价格等。这必要条件是边际收益等于边际成本。在些因素变化了，会导致需求曲线和供给曲完全竞争条件下，任何厂商的产量变化线发生位移，从而也会使均衡价格发生变都不会影响价格水平，需求弹性对个别化。但是，在均衡价格下，供求相等并不厂商来说是无限的，总收益随销售量增意味着所有商品都找到了买主或者所有需加同比例增加，边际收益等于平均收益，要这种商品的人都得到了满足。一部分消等于价格。在非完全竞争（断竞争）件垄条费者可能认为这种均衡价格太高而放弃或下，厂商的销售量同价格成反比。如果需减少购买；一部分生产者可能觉得这种均求弹性大干ｌ，即售量的增加的百分比，衡价格太低而减少生产或增加库存。快于价格降低的百分比，总收益随销售某商品在价格水平下，商品的社会需量增加而增加，尽管不是同比例增加，平求量和商品的供给量达到平衡，则称为均均收益下降，边际收益为零；如果需求弹衡价格．在同一个坐标系中作出需求曲线性小于１，这时总收益随销售量增加而减和供给曲线，二者相交点，称为供需平衡少，平均收益更快下降，边际收益为负

一元函数微积分学在物理学上的运用1

t的函数关系为T=T( t ) , 则物体在时刻t 的冷却速度为T( t ) .
3. 一根杆从一端0点算起，，0 段x干的质量为则杆m在点mx(x处),的
线密度是( x) =m(x) .
4. 一根导线在0, t 这段时间内通过导线横截面的电量为则Q导线Q(t),
在时刻t 的电流强度I ( t ) =Q(t).
2 R2 x2 dx l 2l R2 x2 dx (长宽高 )
它在水面下方需移动R，上x方需移动 R x
R
w 2l( 1) (R x) R2 x2 dx 2l (R x) R2 x2 dx
R
R
4lR(2 1) R2 x2 dx lR3(2 1)
0
例2( 3) （功3）、设半径为的1 球正好有一半沉入水中，球的比重为，1现将球从
水中取出，问要作多少功？
解法一：[ 分析：把球的质量4集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质 3
量为的4质点向上移动距离为时变1力所作的功，问题归结为求出变力， 3
即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为1
解：作轴x 如图所示
取深度为x 积分变量，它的变化区间为，[0 5]
相应于[，0 5上] 任一小区间的[一x, x薄层dx水] 的高度为，因此如的dx单位为， x
这薄层水的重力为9把.8这层32水 d吸x 出k桶N,外需作的功近似为 dw 88 2 dx x
所求的功为w
5
88 2
0
x
dx
88 2
25
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

《医学高等数学》课件第三章一元函数积分学

2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。
解设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5

一元函数的微积分学的应用

一元函数的微积分学的应用一元函数的微积分学是数学学科中十分重要的一个分支，它涉及到很多实际应用问题的解决。

本文将围绕这一主题，探讨一元函数微积分学在实际应用中的作用。

一、函数的极限在微积分中，函数的极限是一个非常基础的概念。

它用来描述当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。

函数的极限在实际应用中十分重要。

例如，在物理学中，速度和加速度等物理量都是由函数表示的，在分析运动过程时，经常需要考虑函数在某一点处的极限。

二、导数导数是微积分中又一个非常重要的概念。

我们可以通过求导来计算函数在某个点上的斜率，进而得到函数的极值和拐点等信息。

在实际应用中，导数被广泛用于优化问题中。

例如，在工业领域中，优化生产过程可以显著降低生产成本和提高产品品质。

对于多项式函数的导数，我们还可以用它来求函数的局部极值和拐点。

三、积分积分是微积分中又一个重要的概念。

定积分可以将曲线下面的面积计算出来，而不定积分则可以将函数积累起来，在求解方程组、解微分方程等问题中发挥重要作用。

在实际应用中，积分可用于计算容积、质量、面积和功率。

例如，在工程学领域中，我们可以用积分来计算某一区域内物体的体积，进而通过密度进行质量计算。

四、微积分在经济学中的应用微积分在经济学中也发挥着重要的作用。

例如，在市场经济中，供求关系可以看做是一个基于价格和数量的函数，而函数的变化则可以用微积分来描述。

通过对供求函数的微分和积分，可以帮助经济学家更好地分析市场需求。

五、微积分在医学中的应用在医学中，微积分也发挥着重要作用。

例如，在医学影像学中，我们经常需要对医学图像进行分析，以诊断疾病。

微积分可以帮助我们分析医学图像中的特征，准确地检测疾病的位置、形态和大小。

综上所述，一元函数微积分学不仅在数学理论研究中发挥着重要的作用，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。

熟练掌握微积分学的原理和方法，不仅可以帮助我们更好地理解自然和社会现象，还能应用于许多具体问题的解决。

一元函数积分学及其应用

0.
3
0
x
tf ( t )dt x2
xf ( x ) lim 0 x0 2x
x
2）当 x 0, F ( x )

x f ( x ) 2 x 0 tf ( t )dt x4 x f ( x ) 2 0 tf ( t )dt
2 x
x3
当 x 0,
F ( 0 ) lim 0
dP ) dx dP P , y P (y ) dy ( y P , y
3) y f ( y , y )
dx 例1 计算 x 3/2 (1 e )
xe x
解原式 2 xd
2x 1 e
1 1 ex
2 ln
a
1 ex 1 1 e 1
的通解为
_________ .
应填 x sin 2 y C
1 2
1 sin y
1 2
例7 过原点作曲线 y e 的切线, 该切线与曲线 y e 及 y 轴围成平面域为 D . 1）求 D 的面积 A; 2）求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积解 (1) 设过原点的切线为 y kx , 则由此得 x 2, k ,

b a
f ( x ) d x F (b ) F (a )
2）换元法 3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性
5）利用公式
n 1 n 3 1 n n 2 2 2 , n偶 (1) 2 sin n x d x 2 cos n x d x 0 0 n1n 3 2 , n奇 n n2 3 (2)
一元函数积分学及其应用
一。不定积分

一元函数积分学的应用

一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用

高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用

一元函数积分学及其应用实验总结与反思

一元积分学的几何应用与重积分计算

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一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数积分学及其应用(课件)

一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用)

一元函数积分学

微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)

一元函数积分学的应用

一元函数微积分在经济学中的应用

一元函数微积分学在物理学上的运用1

《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学

一元函数的微积分学的应用

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《医学高等数学》课件第三章一元函数积分学