计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式[严选课资]

1 90
b
2
a
5
f
(4)(η)
(b a)5 2880
f(4)(η)
η (a,b)
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； 优质课堂 b-a<2时，误差较小15
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
b f(x)dx
a
ba 90
7f(x0 )
32f(x1 )
代入插值求积公式(4.1)有
b f(x)dx
a
n
(b a) C(kn)f(x k )
k0
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
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8
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
n
Ck 1
k0
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）
12f(x2 )
32f(x3 )
7f(x4 )
7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
R 4 (f)
8 945
b
4
a
7
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
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作变量替换 x a th 并注意 xi a ih 得：
Ak
b
alk (x)dx
b n x xi dx
a i0
xk
xi
ik
(1)nk k! (n k)! hn
n ( n (t i))hnhdt
0 i0
ik
(b a) (1)nk
0 i0
ik
例如，当n=1时
C0
1 1 0!1!
1(t
0
1)dt
1 2
C1
(1)0 1 1!0!
1tdt
0
1 2
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10
当n=2时，由
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
0 i0
ik
C0
(1)2 2 0!2!
2(t 1)(t 2)dt
当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
b f(x)dx 1(b a) f(a) f(b)
a
2
定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有 连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
R1(f)
(b a)3 12
f(η)
η (a, b)
当b-a>1时，误差较大；
b-a<1时，误差较小
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ， ) x k
k0
a kh
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n
Ck
1
1/2 1/2
2
1/6 2/3 1/6
3
1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
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（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式
b f(x)dx a
16(b
a)f(a)
4f(a
2
b
)
f(b)
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连
续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
R2(f)
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
2t(t 2)dt
0
2 3
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C2
(1)0 2 2!0!
2t(t 1)dt
0
1 6
P104 表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n = 8时， 出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用
的只是低阶公式。
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11
Newton-Cotes公式
n ( n (t i))dt
nk! (n k)! 0 i0
ik
注：最后一步用到：h
b n
a
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7
引进记号(柯特斯系数)
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt, k
0 i0
0,1,...,n
ik
则
Ak (b a)C(kn，) k 0,1,..., n
n
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
求积节点为：
xk a kh(k 0,1, … , n)
因此：
xk
xi
(k i)h
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5
可以推出：
(xk x0 ) … (xk xk1 )(x k xk1 ) … (xk xn ) (kh)(k 1)h (1h)( 1h) (k n)h k! hk (1)nk (n k)! hnk (1)nk k! (n k)! hn
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
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几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
k0
a kh
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(1) 梯形公式（是插值型求积公式）
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
优质课堂
1
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
优质课堂
2
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
优质课堂
3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式
定义：在插值求积公式
b f(x)dx
a
b P(x)dx
a
n
Akf(x k )
k0
中,当所取节点 a x0 x1 xn b 是等距
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
n
P(x) lk (x)f(x k )， Ak
k0
b a
lk
(x)dx
lk (x) 是插值基函数。有关系式
Ak
b a
lk (x)dx
bn
a i0 优质课堂 i k
x xi dx xk xiFra Baidu bibliotek
4
利用等步长的特点计算积分系数Ak
Ak
b n x xi dx a i0 xk xi
ik
将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 h b a
由关系：
Ck
b
1
a
Ak
得： n Ck k0
n k0
b
1
a
Ak
b
1
a
n k0
Ak
1 (b a) 1
ba
优质课堂
9
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的 常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt