计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式[严选课资]
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
Newton_Cotes求积系数与复合Gauss求积算法的程序设计
[收稿日期]2009-04-03 [基金项目]东华理工大学第五届大学生科技创新基金项目(2008220). [作者简介]许小勇(1983-),男,江西奉新人,助教,主要从事优化算法、小波分析与图像处理研究. 2009年8月重庆文理学院学报(自然科学版)Aug 1,2009 第28卷 第4期Journal of Chongqing University of A rts and Sciences (Natural Science Editi on )Vol 128 No 14Newton -Cotes 求积系数与复合Gauss求积算法的程序设计许小勇1,金建华2(1.东华理工大学 数学与信息科学学院,江西 抚州 344000; 2.东华理工大学 校团委,江西 抚州 344000)[摘 要]提出了利用Ne wt on -Cotes 公式进行数值计算时Cotes 系数的程序设计方法和复合高斯求积算法的程序设计方法,在Matlab 环境下编写了两算法的程序,数值实验结果证明了程序的正确性.两程序的编写为其应用提供了方便.[关键词]Cotes 系数;复合高斯求积;程序设计[中图分类号]TP311 [文献标识码]A [文章编号]1673-8012(2009)04-0015-03 数学分析中,用Ne wt on -Leibniz 公式来计算定积分[1].但在很多实际工程问题中,计算定积分的准确值是十分困难的,这就要求建立积分的近似计算方法.插值型积分方法是一种重要方法,在实际应用时,考虑到计算上的方便,常将积分区间等分,并取分点为求积节点,从而得到Ne wt on -Cotes 公式.在现有文献中,考虑用复合Gauss 型算法求积分的并不多见,而Gauss 求积公式具有较高精度,在近似求积方面具有非常重要的作用.针对这两个问题,本文推导了它们的具体计算公式,在Matlab7.0环境下,编写了通用的计算程序,为其应用提供了方便.1 Newt on -Cotes 求积系数公式的推导 设积分区间为[a,b ],将其n 等分,令x k =a+kh ,h =b -an,k =0,1,…,n,将其作为求积节点,并作变量替换,则插值型求积公式为∫baf (x )d x ≈∑nk =0A kf (x k),其中系数A k =h ∫nt (t -1)…(t -k +1)(t -k -1)…(t -n )k!(-1)n-k(n -k )!d t=b -an ・(-1)n -k k!(n -k )!∫nt (t -1)…(t -k +1)(t -k -1)…(t -n )d t =(b -a )C (n)k ,可得Ne wt on -Cotes 求积公式[2,3],∫b af (x )d x ≈∑nk =0C(n )k・f (x k ).其中C n k=(-1)n -k n ・k!(n -k )!∫nt (t -1)…(t -k +1)(t -k -1)…(t -n )d t 称为Cotes 系数.可以看出,Cotes 系数与积分区间及f (x )无关,只与区间的等分数n 有关.在现有的《计算方法》教材中,都没有通过程序来完成Cotes 系数的计算,而是通过人工计算得到系数而应用于程序当中.这显然不符合计算机程序设计的思想.因此,本文利用Matlab 语言来编写程序计算Cotes 系数.2 Newt on -Cotes 求积系数程序设计在Matlab7.0环境下编写的求解Cotes 系数的程序及相关结果如下:程序代码:functi on [s]=jc (n )%定义阶乘函数s =1;if n ==0 s =1;else s =1; f or i =1:n s =s 3i;51 endendclcclearn=input(′请输入区间等分数n=′)f p rintf(′区间等分数为\n\t\t n=%d\n′,n)k=0:nm=length(k);sy m s tf or i=1:mQ(i,:)=zer os(1,m);L=1; for j=1:m if j～=i L=L3(t-k(j)); end endP(i)=L;Q(i,:)=sy m2poly(si m p lify(L));endf or i=1:mK=k(i);C(i)=(-1)^(n-K)/(n3jc(K)3jc(n-K)); for j=1:m Q(i,j)=C(i)3Q(i,j)/(m+1-j); endendM=[0,n];f or k=1:n+1 for i=2:-1:1 s=0; f or j=1:n+1 s=s+Q(k,j)3M(i)^(n+2-j); end Y(i)=s; end R(k)=Y(2)-Y(1);endf p rintf(′区间等分数为%d时牛顿柯特斯系数为:\ n′,n)R例1 n取5,6,7,8时相关运行结果如表1.上述程序求得的不同等分数n时的Cotes系数与文献[5]中所给的结果相同.3 复合Gauss求积算法的推导高斯型求积公式尽管有较高的精度,但它有一个明显缺点,当n值改变时节点和系数几乎同时都在改变.我们虽然可以通过查资料得到相应的系数和节点,但应用时却十分不方便.同时,余项公式都涉及被积函数的高阶导数,要利用它们来控制精度也十分困难.为克服这些缺点,实际计算中较多采用复合高斯型求积方法.表1 由程序运行求得的不同n时的Cotes系数n C n i5192882596251442514425961928864184093592803410592809354184074299871337162849640585338258533824964033716284299871824871095782783-111339197262-454283597262-111339157827832487109 复合高斯型求积的主要思想是[4-6]:先将积分区间[a,b]分成m个等长的小区间[ti-1,t i](i =1,2,…,m),然后在每个小区间上使用同一低阶高斯型求积公式算出积分的近似值,最后将它们相加即得积分∫b a f(t)d t的近似值G m,即:∫baf(t)d t=∑mi=1∫t it i-1f(t)d t=∑ni=1t i-t i-12∫1-1f[t i-1+t i2+t i-t i-12x]d x =h2∑ni=1∫1-1f[a+(i-12)h+h2x]d x≈h2∑mi=1∑nj=0A j f[a+(i-12)h+h2x j]=G m.其中h=b-am,Aj与tj(j=0,1,…,n)可通过查表得到.另外,可用相邻的两次计算结果Gm与G m+1的关系式Δ=G m+1-G mG m+1+1<ε来控制运算,其中ε为允许误差精度.4 复合Gauss求积算法的程序设计根据上述算法思路编写Matlab通用程序,代码如下:cleara=0;b=1;f=inline(′4/(1+x^2)′);m=1;ep s=10^-10;x2=[-0.5773502692,0.5773502692];A2=[1.0, 1.0];x3=[-0.7745966692,0,0.7745966692];A3= [0.5555555556,0.8888888889,0.5555555556];x4=[-0.8611363116,-0.3399810436, 0.3399810436,0.8611363116];A4=[0.3478548451,0.6521451549,0.6521451549,610.3478548451];f p rintf(′请输入所选择的高斯型求积公式的结点数L:\n′);f p rintf(′L的取值为:2,3,4\n′);L=input(′L=′);s witch L case2 x=x2;A=A2; case3 x=x3;A=A3; case4 x=x4;A=A4;ends=0;n=length(x);f or i=1:n s=s+A(i)3f((a+b)/2+x(i)3(b-a)/2);endG1=s3(b-a)/2;R(m)=G1;delta=1.0;while delta>ep s m=m+1;h=(b-a)/m;t=0; for i=1:m f or j=1:n t=t+A(j)3f(a+(i-1/2)3h+x(j)3h/2); end end G2=h3t/2;R(m,1)=G2;delta=abs(G2-G1)/(abs(G2)+1);G1=G2; end f p rintf(′用%d点复合高斯型求积公式求得的近似积分值:\n T=%16.16g\n′,L,G2) R例2 求积分∫1041+x2d x.(ε取1×10-10)我们知道,例题中所要计算的积分的结果是圆周率p i,在控制精度相同的情况下,不同的n 求得的结果如表2.表2 不同n时求得p i的近似值n近似值有效数字23.14159265403066933.141592653494111043.1415926535893113 可见,在相同控制精度的条件下,当节点数增大时,求得的近似积分结果的有效数字也增加.5 结语本文对Ne wt on-Cotes求积系数与复合Gauss型求积算法进行了推导,编写了相应的Matlab通用程序[6],并给出了相关例子.从例2可以看出,复合高斯求积公式具有较高的精度,且计算起来比较方便,上述程序的编写为它们的应用提供了方便.[参考文献][1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2001:347-353.[2]吴世刚.牛顿-柯特斯公式的一致性[J].黄石教育学院学报,2002,19(4):93-95.[3]曾玉华,蒋光彪.一种自适应的四阶Ne wt on-Cotes求积方法[J].数学理论与应用,2005,25(4):68-69. [4]张世禄,万俊,陈豫眉,等.计算方法[M].成都:电子科技大学出版社,1999:164-173.[5]易大义,沈云宝,李有法.计算方法[M].杭州:浙江大学出版社,2002:114-119.[6]张铮,杨文平,石博强,等.MAT LAB程序设计与实例应用[M].北京:中国铁道出版社,2003:34-37.Program desi gn for coeff i c i en t of Newton-Cotes and i n tegra la lgor ithm of com pound GaussXU Xiao-yong1,J I N J ian-hua2(1.Schoo l of M a them a ti c s and I nf o r m a ti o n S c i e nce,Ea s t C hi na I ns titu te o f Te chno l o gy,Fuzho u J i angxi344000,C h i na;2.S choo lLe ague Comm itte e,Ea s t C hi na I ns titute of Te chno l o gy,Fuzho u J i angxi344000,C h i na)Abstract:The p r ogra m calculating of Cotes coefficient is given and the algorithm of compound Gauss integral is carried out under the Matlab envir onment.The si m ulati on results show the correctness of the p r ogra m.The t w o universal p r ogra m s p r ovide a convenient use for the m.Key words:Cotes coefficient;integral of compound Gauss;p r ogra m design(责任编辑 吴朝平)71。
7.1 牛顿-科特斯求积公式
x0
x1
C0(1)
1 1 0!1!
1
(t 1)dt
0
1 2
故求积系数A0, A1为
C1(1)
1 tdt 1
0
2
A0
A1
b
2
a
求积公式为
计算方法
b a
f ( x)dx
(b a) ( 2
f (a)
f (b))
R1[
f]
记
T b a [ f (a) f (b)] 2
-----梯形求积公式
1 sin x dx 1 0 ( f (0) 4 f (0.5) f (1)) 0.946146
0x
6
利用柯特斯公式得：
1 sin x dx
0x
1 0 (7 f (0) 32 f (0.25) 12 f (0.5) 32 f (0.75) 7 f (1)) 90
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
( 1)( nk ) k!(n k)!
nn
(t i)dt
0 i0
Cotes系数
C
( k
n
)
ik
k 0,n
则有：
计算方法
Ak
b a
lk
(
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
73第三节 复合求积公式
1 I S2 n 2 S2 n Sn 4 1 这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式. 进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛 顿-柯特斯公式. 这里就不在赘述了.
得到
数学学院 信息与计算科学系
2. 复合辛卜生公式 将积分区间[a, b]2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, …,2n，则在每个子区间[x2k, x2k+2]上 的积分用辛卜生公式，得
I f ( x )dx
b a n 1 k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有
( b a )3 e 1 4 R f ( ) 10 12n2 12n2 2
e 102 67.3087, 计算有 n 6 故取n=68，即将区间[0, 1]进行68等分就满足要求.
(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有
n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.
数学学院 信息与计算科学系
在实际中，常采用积分步长h的自动选取， 具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半， 反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结
果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是
一种事后估计误差的方法.
数学学院 信息与计算科学系
对复合梯形公式，将区间[a, b]n等分的余项式为
2k 1 f f (1) 8
数学学院 信息与计算科学系
3 3 1 4 4 4 4 2 4 2 2 k 2 2 k 1 2 24 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 k 1 k 0 4 8
3 3 1 3 16 64 2 4 2 2 6 2 16 k 64 (2 k 1) k 1 k 0
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
牛顿-柯特斯公式
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6
( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
数值分析 -牛顿-科特斯公式
n
[
k 1
f
( k
)
h]
h2 b f ( x)dx h2 [ f (b) f (a)]
12 a
12
上例中若要求 | I Tn ，| 则106
|
Rn[
f
]|
h2 12
|
f
(1)
f
(0) |
h2 6
106
h 0.00244949 即：取 n = 409
阶
~ ~ ~ Tn O(h2 ) , Sn O(h4 ) , Cn O(h6 )
1
例：计算
dx 4
0 1 x2
解：
T8
1 16
f
(0)
7
2
k 1
f
( xk
)
f
(1)
其中
k xk 8
运算量基 本相同
= 3.138988494
S4
1 24
f
(0)
)
f ( xi1)]
i0
b f (x) dx
a
h 6
f
(a)
4
n1 i0
n1
f
(
xi
1 2
)
2
i1
f (xi)
f (b)
Sn
xk
余项：
xk
1 2
x k 1
4
4
4
4
4
I[ f ]
Sn
n1
h5 2880
f (4)(i )
newton-cotes计算积分近似值
newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。
具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。
此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。
积分数值求解方法总结
插值型求积公式、Newton-Cotes 型求积公式、复化求积公式、Romberg 求积、Guass 求积公式总结 一、 本章知识梳理1、代数精度的概念如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
2、插值型的求积公式 设[,]a b 上有1n +个互异节点01,,,n x x x ，()f x 的n 次Lagrange 插值多项式为∑==nk k k n x f x l x L 0)()()(其中∏=--=nj ik ix x x x x Lk 0)(，插值型求积公式为()()()nbn k k ak I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (1.1) 其中(), 0,1,,bk k aA l x dx k n==⎰。
可看出，{}k A 仅由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定，与被积函数()f x 的形式无关。
求积公式(1.1)的截断误差为(1)1[]()()()()(1)!b bn aan bn aR f f x dx L x dxf x dxn ξω++=-=+⎰⎰⎰(1.2)3、.Newton-Cotes 型求积公式被积函数在积分区间内变化平缓，可用等距节点插值公式近似。
将积分区间[,]a b 划分为n 等分，步长b a h n -=，等距节点k x a kh =+，0,1,k =,n 。
此时求积公式(1.4)中的系数可得到简化00()()nnbbbjk k a a aj j k j j kj kx x x a jhA l x dx dx dxx x k j h==≠≠---===--∏∏⎰⎰⎰作变换xa th =+，则有000000()(1)()()!()!(1)()()!()!n k nnnn k j j j kj kn k nn j j kt j h h A hdt t j dt k j hk n k b a t j dt k n k n -==≠≠-=≠--==-----=--∏∏⎰⎰∏⎰令()00(1)()!()!n kn n n k j j kC t j dt k n k n -=≠-=--∏⎰则()()n kk A b a C =-，求积公式(1.1)可简化为 ()0()()()nn k k k I f b a C f x =≈-∑ (1.3)称为n 阶Newton-Cotes 公式，简记为N-C 公式，{}()n k C 称为Cotes 系数。
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
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第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
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Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
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k 0
求积系数
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复合求积公式
复合求积公式§5.3 复合求积公式由于在实际计算时，不宜使⽤⾼阶的⽜顿——柯特斯公式，但若积分区间较⼤，单独⽤⼀个低阶的⽜顿——柯特斯公式来计算积分的近似值，显然精度不好，为了提⾼数值求积的精确度，可利⽤积分对区间的可加性来解决这个问题，这就是通常采⽤的复合求积法。
所谓复合求积法，其指导思想就是先将积分区间分成若⼲个⼩区间，在每个⼩区间上采⽤低阶求积公式进⾏计算，然后把所有⼦区间的计算结果相加得出新的求积公式，这种公式就叫做复合求积公式。
5.3.1 低阶复合求积公式1 复合梯形求积公式如果在区间(a ，b)上直接应⽤梯形公式则可得(a b h -=1)：T 1＝)]()([21b f a f h +＝)]()([2b f a f a b +-若在区间(a ，b)中，增加⼀个结点2/)(b a c +=，则把区间(a ，b)分成两个⼩区间(a ，c)与(c ，b)，在两个⼩区间上分别应⽤梯形公式，然后相加就会得出新的求积公式T 2：(其中2/)(2/12a b h h -==)T 2＝)]()([22c f a f h +＋)]()([22b f c f h + ＝)]()2(2)([22b f b a f a f a b +++?-继续增加结点，把区间(a ，b)分成4等分，(a ，x 1) 、(x 1，x 2)、 (x 2，x 3) 、(x 3，b) ，在每个⼩区间上分别应⽤梯形公式后再相加，就会得出新的求积公式：T 4＝)]()([214x f a f h +＋)]()([2214x f x f h +＋)]()([2324x f x f h + ＋)]()([234b f x f h + (其中4/)(2/24a b h h -==)，＝)}()]43()2()43([2)({42b f b a f b a f b a f a f a b +++++++?-其中k x ＝4kh a +，（k ＝0，l ， (4)同理，把区间(a ，b)分成8等分时，可得求积公式T 8：T 8＝)835()826()87([2)({82b a f b a f b a f a f a b ++++++?- )}()]87()862()853()844(b f b a f b a f b a f b a f +++++++++上⾯我们将区间(a ，b)分成k 2等分，是为了在计算后⾯的数值时，充分利⽤到前⾯的数据。
4.1-4.2Newton-Cotes求积公式
b
a
n
Ak f ( x k )
(1 )
k 0
(1)为数值求积公式. Ak为求积系数, 且仅与求积节(结)点xk有关.
R[ f ] I [ f ] 称为求积余项。
n
Ak f ( x k )
(2 )
k 0
I [ f ] b f ( x )dx I R [ f ] n a n I n Ak f ( x k ) k 0 插值型求积公式 b Ak a lk ( x ) d x b 1 ( n 1 ) R[ f ] f ( ) n 1 ( x ) d x a ( n 1) !
i 1 i 0
(2)
A0
1 2
h, A1 A2 An 1 h, An
1 2
h
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图4-0所示，这就是----矩形公式：
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
1
0
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式[严选课资]
![计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式[严选课资]](https://img.taocdn.com/s3/m/8b4825dfa0116c175f0e48e1.png)
12f(x2 )
32f(x3 )
7f(x4 )
7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
R 4 (f)
8 945
b
4
a
7
f
(6)(η)，η
(a, b)
定理的证明从略。 当b-a>4时，误差较大；
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25
复合求积公式
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26
4.3 复合求积公式
一般地，应用牛顿-柯特斯求积公式求积分的近似解的时 候，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提 高。但n≥8时，开始出现负值的柯特斯系数。
• 因此，可能导致舍入误差增大，且往往难以估计。
• 不能单纯用增加求积节点数（例如，8个节点，确定一 个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。
解: 辛卜生公式
1
2
3
S
31 6
f(1)
4f2
f(3)
62 3
由于f(x)是3阶多项式，所以 f(4)(x) 0
辛卜生公式余项
R(f) (b a)5 f(4)(η) 0 2880
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解:柯特斯公式
C
31 90
7f(1)
32f(1.5)
12f(2)
32f(2.5)
7f(3)
9
)η
11
2，η
22
(0.5,1)
| R4(f) |
8
1
7
945 8
15 7 16 2
9
11
22
2
8
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（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式
b f(x)dx a
16(b
a)f(a)
4f(a
2
b
)
f(b)
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连
续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
R2(f)
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
2t(t 2)dt
0
2 3
似曾 相识
C2
(1)0 2 2!0!
2t(t 1)dt
0
1 6
P104 表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n = 8时， 出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用
的只是低阶公式。
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Newton-Cotes公式
0 i0
ik
例如，当n=1时
C0
1 1 0!1!
1(t
0
1)dt
1 2
C1
(1)0 1 1!0!
1tdt
0
1 2
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似曾 相识
10
当n=2时，由
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
0 i0
ik
C0
(1)2 2 0!2!
2(t 1)(t 2)dt
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
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几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
k0
a kh
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(1) 梯形公式（是插值型求积公式）
12f(x2 )
32f(x3 )
7f(x4 )
7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
R 4 (f)
8 945
b
4
a
7
n ( n (t i))dt
nk! (n k)! 0 i0
ik
注：最后一步用到：h
b n
a
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7
引进记号(柯特斯系数)
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt, k
0 i0
0,1,...,n
ik
则
Ak (b a)C(kn，) k 0,1,..., n
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3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式
定义：在插值求积公式
b f(x)dx
a
b P(x)dx
a
n
Akf(x k )
k0
中,当所取节点 a x0 x1 xn b 是等距
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
n
P(x) lk (x)f(x k )， Ak
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ， ) x k
k0
a kh
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n
Ck
1
1/2 1/2
2
1/6 2/3 1/6
3
1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
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6
作变量替换 x a th 并注意 xi a ih 得：
Ak
b
alk (x)dx
b n x xi dx
a i0
xk
xi
ik
(1)nk k! (n k)! hn
n ( n (t i))hnhdt
0 i0
ik
(b a) (1)nk
n
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
求积节点为：
xk a kh(k 0,1, … , n)
因此：
xk
xi
(k i)h
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5
可以推出：
(xk x0 ) … (xk xk1 )(x k xk1 ) … (xk xn ) (kh)(k 1)h (1h)( 1h) (k n)h k! hk (1)nk (n k)! hnk (1)nk k! (n k)! hn
由关系：
Ck
b
1
a
Ak
得： n Ck k0
n k0
b
1
a
Ak
b
1
a
n k0
Ak
1 (b a) 1
ba
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9
Hale Waihona Puke 2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的 常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
1 90
b
2
a
5
f
(4)(η)
(b a)5 2880
f(4)(η)
η (a,b)
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； 优质课堂 b-a<2时，误差较小15
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
b f(x)dx
a
ba 90
7f(x0 )
32f(x1 )
k0
b a
lk
(x)dx
lk (x) 是插值基函数。有关系式
Ak
b a
lk (x)dx
bn
a i0 优质课堂 i k
x xi dx xk xi
4
利用等步长的特点计算积分系数Ak
Ak
b n x xi dx a i0 xk xi
ik
将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 h b a
代入插值求积公式(4.1)有
b f(x)dx
a
n
(b a) C(kn)f(x k )
k0
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
优质课堂
8
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
n
Ck 1
k0
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
优质课堂
1
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
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2
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
b f(x)dx 1(b a) f(a) f(b)
a
2
定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有 连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
R1(f)
(b a)3 12
f(η)
η (a, b)
当b-a>1时，误差较大；
b-a<1时，误差较小