导数与微分ppt课件

合集下载

数学分析第十六章课件偏导数与全微分

解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y）点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08

高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件

求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0

《高数四导数与微分》课件

以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数展开成泰勒级数，从而可以用简单的多项式来近似复杂的函数。这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似值的误差大小。例如，在求函数在某一点的近似值时，可以通过微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函数图像上某一点处的切线与x轴正方向的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的导数f'(x)表示函数图像上该点处的切线斜率。具体来说，当函数在某点x处可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
THANKS
感谢观看
03

高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章导数与微分
第二节导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章导数与微分
第二节导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章导数与微分
第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2

《导数概念》课件

《导数概念》PPT课件
欢迎来到《导数概念》PPT课件！本课程将介绍导数的基本概念和应用，帮助你深入理解这一重要数学概念。
什么是导数
导数是描述函数变化率的概念。它表示函数在特定点的切线斜率，是研究曲线变化的关键工具。
导数表示方式
导数可以表示为函数的微分形式或极限形式。微分写作dy/dx，而极限写作 lim[f(x+h)-f(x)]/h。
函数的导数
通过对函数求导数，我们可以得到函数的导函数，即函数的每个点的切线斜率函数。
常见函数的导数
常见函数如多项式、三角函数和指数函数都有特定的导数规律，了解这些规律可以简化求导过程。
导数的几何意义
导数在几何中表示曲线的切线斜率。它可以帮助我们理解曲线的变化率和曲线在特定点的性质。
导数定义的两种方法
导数可以通过函数的微分或极限定义。微分定义使用导数运算符，而极限定义使用导数的极限表达式。
左பைடு நூலகம்数和右导数
在某些函数不连续的情况下，左导数和右导数可以帮助我们确定导数的存在性和特定点的切线斜率。

高数导数与微分 ppt课件

(sec) tan x sec x
(csc) cot x cscx
ppt课件
9
• 对数函数 • 指数函数
( log a
x)
1 x
log
a
e
(ln x) 1 (a e时) x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
ppt课件
10
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f (x0) 表示曲线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f (x0 )
1处的连续性与可导性。
连续性左极限=右极限=函数值
可导性左导数=右导数
ppt课件
17
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则）若函数u = u(x),v
= v(x)都是 x 的可导函数，则
（1）u v也是x的可导函数，且（u v） u v
导，且( y) 0 ，那么它的反函数 y f (x) 在对
应的区间内可导，且有
dy dx
1 dx
,
或f
(
x)
1
( y)
dy
ppt课件
21
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21 求 y arcsinx 的导数例2-22 求 y arctanx 的导数
ppt课件
22
基本初等函数的导数公式
lim y
x0 x
f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称函数
x
y=
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f (x0) ，即

微积分课件(导数与微分2)资料

设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x

f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y

lim [
x 0
f
(
x0
)x

x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .

1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11

1 x2
.
第一节导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2

( 1 ) x
x1 2

1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x

高等数学第三章导数与微分

第一节导数的概念
图3-1-2
第一节导数的概念
四、可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续，其逆不真。
第一节导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。解很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节导数的概念
五、求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
偏导数函数的微分及应用
第一节导数的概念
一、引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t）。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速度为
第二节函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节函数的求导法则

微积分基本公式ppt课件

热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如求解变速直线运动的位移、求解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式可以求得该物体的位移。此外，微积分基本公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的导数与该函数在该点附近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限和下限。这个公式在理解函数的积分和导数之间关系上起着关键作用。

导数与微分课件

导数和微分都与函数的局部性质有关，它们都可以用来研究函数的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使用二项式定理进行近似计算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数，可以用来近似计算函数的值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以估计函数在某区间的变化量。
误差传播
在误差传播过程中，可以利用微分知识来估计误差的大小。

《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分

( 构造性定义 ) 本节内容
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则其他基本初等函数求导公式
目录
上页
下页
返回
结束
一、四则运算求导法则
定理1. 函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 可导
第二章导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节导数的概念
一、引例二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( x0f h (x ) 0 0) 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
返回结束
线密度是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度是电量增量与时间增量之比的极限

目录
上页
下页
二、导数的定义
定义1 . 设函数若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0

偏导数与全微分ppt课件

③ 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个；等等。
24
7. 偏导数的经济意义
边际需求: 两种商品，价格分别为 p1 和 p2
偏弹性:
需求函数： Q1( p1, p2 ) Q2 ( p1, p2 )
Q1 , Q1 , Q2 , Q2 称为边际需求 p1 p2 p1 p2
p2 0
2Q1 / Q1 p2 / p2
p2Q1 Q1p2
ln Q1 ln p2
E22
lim 2Q2 / Q2 p10 p2 / p2
p2Q2 Q2p2
ln Q2 ln p2
其中：2Q1 Q1( p1, p2 p2 ) Q1( p1, p2 )
格E1偏1 称弹为性1；商E品12需称求为量1商Q品1 需对求自量身价Q1格对相p1关的价直格接p价2
dz z dx z dy x y
32
证明：
由条件当(x+△x,y+△y)∈∪((x,y))时
△z=A△x +B△y+o()
特别地(x+△x,y)∈∪((x,y)) ，有
△z=A△x + o()=A△x + o( △x )
z f (x x, y) f (x, y) A o( x )
r
y
y x2 y2 z2
r
z
z x2 y2 z2
15
5. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
M0
Ty
Tx
z=f(x0,y)
o
y0
y
x0
P0
x
—— z
x xx0 y y0
切线M0Tx对x轴的斜率

《经济数学》课件第三章导数与微分

定义
在曲线L上点 P0附近，再取一点P，作割线P0 P ，当点P沿曲线L移动而趋向于P0 时，割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线．
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件．
目录页
第 15 页
第二节函数的求导法则和基本求导公式
• 一、函数求导的四则运算法则 • 二、复合函数的求导法则 • 三、基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ，u (v) ，v (x) ，则复合函数 y f {[ (x)]}
对的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更
多层的复合函数．
第 19 页
LOGO 正文.第三章
第 20 页
求第
导二
公节
式函
数复
的合
求函
导法则
数
∣△t ∣很小时， v可作为物体在 t0时刻瞬时速度．即
的
概念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0

微积分教学课件第2章导数与微分

原式 h l12 if0m f(x(t0)22h 12h)f(fx(0t))hlf i(m 0x0f)(t)f(x0)
微积分
三、导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).

数学分析--导数 ppt课件

数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
下页 18
（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
ppt课件
下页 23
例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
ppt课件
下页 22
（三）导函数若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作

高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件

cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .