椭圆和双曲线综合
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练
24．已知椭圆 ，双曲线 与椭圆 共焦点，且与椭圆 在四个象限的交点分别为 ，则四边形 面积的最大值是___________.
（2022·吉林·希望高中高二期末）
25．椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点， ，则 的取值范围是___________.
（2022·陕西·交大附中模拟预测）
22．如图， ， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， ， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点，若 ，且 ，则 与 的离心率之积为_____.
（2022·吉林长春·模拟预测）
23．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．
18．已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，且 ，则 的取值范围为_________．
（2022·安徽省临泉第一中学高二月考）
19．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，则 的取值范围是___________.
26．已知 ， 分别是具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率，点 是两曲线的一个公共点， 是 的中点，且 ，则 ______．
A． B． C． D．
（2022·浙江·舟山中学高三月考）
6．设 、 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、多选题
（2022江苏·高二单元测试）
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
高二数学选修椭圆、双曲线综合能力测试
椭圆、双曲线综合能力测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 23＋y 22＝1的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±1,0)D ．(0，±1)2．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的半焦距是( )A ．5B ．2.5 C.152D.153．平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．线段C ．射线D ．不存在4．设P 是椭圆x 2169＋y 225＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．135．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.147．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．88．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆9．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]11．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝2412．(2010·辽宁文，9)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,32)的双曲线方程为__________．14．双曲线x 24－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为______．15．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为e ＝22，则实数m 的值等于________．17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆x216＋y225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．18．(本题满分12分)方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析]根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，先将条件方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知动圆M与⊙O1：x2＋(y－1)2＝1和⊙O2：x2＋(y＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．20．(本题满分12分)如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，P点在y轴上，且BP∥x轴，AB→·AP→＝9.(1)若P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程；(2)若P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．21．(本题满分12分)设F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若PF1→·PF2→＝0，且|PF1→|·|PF2→|＝2ac，其中c＝a2＋b2，求双曲线的离心率．22．(本题满分14分)若椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．1[答案] C[解析]∵a2＝3，b2＝2，∴c2＝1.又焦点在x 轴上，故选C. 2[答案] A[解析] ∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝25，∴c ＝5. 3[答案] D[解析] 设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．4[答案] A[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22. 5[答案] D[解析] 将x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，易知双曲线的焦点在y 轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)，所以椭圆的a ＝4，c ＝23，因此b 2＝16－12＝4，所以椭圆方程为x 24＋y216＝1.6[答案] A[解析] 双曲线mx 2＋y 2＝1的方程可化为： y 2－x2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m ，由2b ＝4a ，∴2－1m ＝4，∴m ＝－14. 7[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82， 又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴|AB |＝8 2. 8[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，故选D.9[答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0， ∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m <－2或3<m <5，故选A. 10[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20，又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10.故选C.11[答案] D[解析] ∵椭圆x 216＋y 264＝1的焦点(0，±43)为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y ＝－x ，∴双曲线方程为y 2－x 2＝24.12[答案] D[分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a ，b ，c 三者关系转化出离心率 [解析] 设F (－c,0) B (0，b )则K FB ＝bc与直线FB 垂直的渐近线方程为y ＝－ba x∴b c ＝ab，即b 2＝ac 又b 2＝c 2－a 2，∴有c 2－a 2＝ac 两边同除以a 2得e 2－e －1＝0∴e ＝1±52∵e ＞1，∴e ＝1＋52，选D.13[答案] y 22－8x 29＝1[解析] 设双曲线方程为：x 29－y 216＝λ(λ≠0)又点(－3,32)在双曲线上，∴λ＝－18.故双曲线方程为y 22－8x29＝1.14[答案]3[解析] 双曲线x 24－y 23＝1的一条渐近线方程为：y ＝32x ，焦点F (7，0)到该渐近线的距离为：3×73＋4＝ 3.15[答案] 10或52[解析] 若m <5，则e ＝22＝5－m 5，解得m ＝52；若m >5，则e ＝22＝m －5m，解得m ＝10.16．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．16[答案] 2 3[解析] 由题意可知12×c ×32c ＝3，∴c ＝2，故P (1，3)在椭圆x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1上，即1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3.三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17[解析] (1)∵椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为(0，±3)，∴所求双曲线方程设为：y 2a 2－x 29－a 2＝1，又点(－2，10)在双曲线上，∴10a 2－49－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为y 25－x 24＝1.(2)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1，又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.18[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>00<－cos α<sin α，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )．故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )． 19[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 由题意得|MO 1|＝1＋r ，|MO 2|＝2＋r ， ∴|MO 2|－|MO 1|＝2＋r －1－r ＝1<|O 1O 2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支， 双曲线方程为：4y 2－43x 2＝1.(y ≥34)20[解析] (1)A (0，－b )，l 的方程为y ＋b ＝x ，P (0,1)，则B (1＋b,1)， AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0，b ＋1)，又∵AB →·AP →＝9，∴(1＋b,1＋b )·(0，b ＋1)＝9， 即(b ＋1)2＝9，∴b ＝2，∴点B (3,1)在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，∴a 2＝12，所求的椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)P (0，t )，A (0，－b )，B (t ＋b ，t )，AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )，AB →·AP →＝9， ∴(t ＋b )2＝9，∴b ＝3－t ，B (3，t )，代入椭圆9a 2＋t 2(3－t )2＝1，∴a 2＝3(t －3)23－2t， ∵a 2>b 2，∴3(t －3)23－2t>(3－t )2，∴0<t <32.21[解析] 由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52，即双曲线的离心率为1＋52.22[解析] 令x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a .设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a ，而椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a，∴b ＝c ；而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求的椭圆方程为：x 210＋y 25＝1.。
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
又椭圆过点 ，则 ，（1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。
（Ⅱ）设 ，弦MN的中点A
由 得： ， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即 ………………（1）
由韦达定理得： ，则 ，
直线AG的斜率为： ，
由直线AG和直线MN垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得 ，即 ，则 。
由 消y整理，得
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=
由|OM|=r，得 ，解得t=± ，∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± )2= .
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
高中数学—16—椭圆双曲线(A)-教师版
教师日期学生课程编号课型课题椭圆与双曲线教学目标1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程；掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y 轴）2．掌握椭圆的几何性质和应用3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程4掌握椭圆的几何性质和应用5.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点1．椭圆和双曲线的几何性质和应用；2.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学安排版块时长1 知识梳理152 例题解析503 巩固训练354 师生总结105 课后练习10椭圆与双曲线1．已知点A （2，3）、B （1，5）则直线AB 的倾角为（ ）A.arctan2B.arctan(－2)C.2π+arctan2D. 2π+arctan 21【难度】★ 【答案】D2．下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-．B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示． C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x ya b+=表示．D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示．【难度】★ 【答案】B3．在ABC ∆中，a 、b 、c 为三内角所对的边长，且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列，则直线a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是．【难度】★★【答案】两直线重合4．设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点，要使不等式m y x ++≥0恒成立，则m 取值范围是（）A ．m ≥0B ．m ≥12-C ．m ≥12+D ．m ≥21-【难度】★★ 【答案】B5．过圆522=+y x 内点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,25P 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{}n a ，如果过P 点的圆的最短的弦长为1a ，最长的弦长为n a ，且公差)31,61(∈d ，那么n 的取值集合为 ．【难度】★★ 【答案】{}7,6,5热身练习一、椭圆1．椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的 点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点（foci of anellipse ），两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距（distance between two foci ）．注意：若设动点为P ，则 （1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． （2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程及性质（Standard equations and properties of ellipse ）：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -焦距 2c2c范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -，(0,)b ，(0,)b -(,0)b ，(,0)b -，(0,)a ，(0,)a -两轴 长轴长2a ，短轴长2b3．椭圆的其他性质：①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -．知识梳理③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大．④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是； ②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③ 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为； ④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即； ⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=-．5．直线与椭圆的位置关系(The positional relation between a line and an ellipse) 联立方程，看∆． 0∆>21||k a ∆+（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；0∆<，直线与椭圆无交点．000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y ya b +=000(,)P x y 22221x y a b +=0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b+=22221x y a b+=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan 2F PF S b γ∆=AB 22221x y a b+=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a ⋅=-0202y a x b K AB -=22221x y a b+=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=-二、双曲线1．双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ），这两个定点叫双曲线的焦点（foci of a hyperbola ）．符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线标准方程的两种形式：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 222222201a b y x b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2c 2c范围 ,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -(,0)b ，(,0)b -两轴 实轴长2a ，虚轴长2b渐近线x ab y ±= a y x b=±3．双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是； x yM F 12F xyMF 12F 000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 00221x x y ya b-=②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③双曲线（）的左右焦点分别为，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知双曲线，直线y kx =交双曲线于A ，B 两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过双曲线22221x y a b-=的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交双曲线于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=．4．直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-by a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程．（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但 不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 ①若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若0∆=，则直线和双曲线相切，有一个切点；③若0∆<，则直线和双曲线相离，无公共点．5．弦长公式：直线:l y kx b =+与椭圆或双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，相交于)()(2211y x B y x A ，，，则 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=．000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b-=22221x y a b-=0,0a b >>12,F F 12F PF γ∠=122t 2F PF S b co γ∆=AB 22221x y a b -=0,0a b >>00(,)M x y AB 22OM AB b K K a ⋅=0202y a x b K AB =22221x y a b-=P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=一、椭圆1、椭圆的方程及其基本量运算【例1】根据下列条件分别求椭圆的标准方程．（1）对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是3； （2）椭圆中心在原点，对称轴是坐标轴，长轴长是短轴长的3倍，并且过点(3,0)-． 【难度】★【答案】（1）2213627x y +=或2213627y x +=；（2）2219x y +=或221819y x +=． 【例2】已知方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，求实数k 的取值范围． 【难度】★★【答案】(2,2)(2,2)(2,3)k ∈--U U【巩固训练】1．（1）ABC △周长为20，(4,0)B -，(4,0)C ，则点A 的轨迹方程为 ；（2）方程22132x y k k+=++表示椭圆，则k 的取值范围是 ； （3）长轴长为短轴长的2倍，且过点(2,3)的椭圆标准方程为 ． 【难度】★【答案】（1）221(0)3620x y y +=≠； （2）2k >-； （3）2214010x y +=或22125254y x += 2．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为105-的椭圆的标准方程． 【难度】★★【答案】221105x y += 例题解析2、椭圆定义的应用【例3】点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则||||PQ PR +的最大值为 ，最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】6，2【解析】1(1,0)C -，11r =，2(1,0)C -，21r = 把点P 想成定点，max 111(||)||||1PQ PC r PC =+=+， max 222(||)||||1PR PC r PC =+=+ 又12||||24PC PC a +==，∴max (||||)6PQ PR +=； 类似，min 12(||||)||1||12PQ PR PC PC +=-+-=．【例4】椭圆2221x y a+=（a 定值，且1a >）的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB △周长的最大值是8，则椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为 ．【难度】★★ 【答案】120︒【巩固训练】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 满足12F PF θ∠=（1F ，2F 为椭圆的两个焦点），求12F PF △的面积．【难度】★★ 【答案】2tan2b θ2．已知(1,1)A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，则1||||PF PA +的最大值是 ，最小值是 ． 【难度】★★【答案】62+，62-3．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆上一动点，点M 是圆22:(3)1C x y +-=上一动点，求||||PM PF +的最大值及此时点P 的坐标． 【难度】★★【答案】max (||||)510PM PF +=+，122103610,1313P ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】利用椭圆定义进行转化||||||4|'|4|||'|4|'|4|'|15|'|510PM PF PM PF PM PF MF CF CF +=+-=+-≤+≤++=+=+此时，122103610,1313P ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭3、椭圆的综合问题【例5】在椭圆2214x y +=上求一点P ，使它到直线:2100l x y ++=的距离最大（小），并求最大（小）值． 【难度】★★ 【答案】当22,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭时，min 210255d =-；当22,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，max 210255d =+ 【例6】已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，(,0)()M m m ∈R ，求PM 的最小值． 【难度】★★【答案】22341,[2,2]433m m PM x x ⎛⎫=-+-∈- ⎪⎝⎭，2min 3|2|293333223|2|2m m m PM m m m ⎧+<-⎪⎪⎪-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【巩固训练】1．P 是椭圆224312x y +=上任一点，1F 、2F 是它的两个焦点，则12F PF ∠的最大值是（ ）．A ．32arctan 4B ．12arcsin 4C ．3πD ．23π【难度】★★ 【答案】C2．22(40)(40)1259x y ABC A B C C ∆-+=的顶点是，、，、，又是椭圆上异于长轴端点的点，则=+CBA sin sin sin （ ）A ．2B ．54 C D ．12 【难度】★★ 【答案】B3．设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP u u u r 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．二、双曲线1、双曲线的方程和基本量计算【例7】点P 在22125144x y -=上，若116PF =，则2PF = ．【难度】★ 【答案】26【例8】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的ca的值为 ．【巩固训练】1．若x k y k22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）【难度】★★ 【答案】A2．0ab <时，方程22ax by c +=表示双曲线的是（ ）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解答】若22ax by c +=表示双曲线，则一定有0ab <；若000c ab c ≠⎧<⎨=⎩当时，表示双曲线当时，表示直线∴选A2、双曲线定义的应用【例9】圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【难度】★★A．①②B．①③C．①④D．③④【难度】★★【答案】A【巩固训练】1．设P是双曲线22xa-219y=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y-=，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若13PF=，则2PF等于．【难度】★★【答案】72．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．（x > 0）D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.3．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【难度】★★ 【答案】B【解析】12112112||||2()||=4||||6||=22||PF PF a PF aPF PF a PF a c F F -=⎧⎧⇒⎨⎨+=<=⎩⎩双曲线定义∵△21F PF 最小内角的大小为︒30，∴1230PF F ∠=︒ 易知3c a =，∴2b a =，∴渐近线方程为2by x x a=±=±3、双曲线的综合问题【例11】已知12,F F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF = .【难度】★★ 【答案】6【解析】 根据角平分线的性质，211212==MF MF AF AF ，又621=-AF AF ，故26AF =.(3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 221(1)8y x x -=<-221(1)8y x x -=>1822=+y x 221(1)10y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N【例12】如图，已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 .【例13】已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果APB ∆的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.【巩固训练】1．已知椭圆和双曲线有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线过焦点且垂直于x 轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程. 1532222=+n y m x 1322222=-n y m x l l 43三、椭圆与双曲线的综合问题1、椭圆双曲线混合问题【例14】曲线11622=--ky k x 与曲线22525922=+y x 的焦距相等的充要条件是（ ） A ．016≠<k k 且 B ．160≠>k k 且 C ．160<<k D ．160><k k 或 【难度】★★ 【答案】A【例15】已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实 数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-UD ．[1,0](1,)-+∞U 【难度】★★【答案】A 【解析】①两平行直线：0λ=（符合） ②圆：1λ=（符合） ③椭圆ⅰ）焦点在x 轴的椭圆： (1,)λ∈+∞（不符合） ⅱ）焦点在y 轴的椭圆： (0,1)λ∈（符合） ④双曲线 ⅰ）等轴双曲线：1λ=-（符合）ⅱ）渐近线较陡： (1,0)λ∈-（符合） ⅲ）渐近线较平：(,1)λ∈-∞-（不符合）2、直线与椭圆【例16】设1F ，2F 是椭圆22132x y +=的左、右焦点，弦AB 过2F ，求1ABF △的面积的最大值． 【难度】★★ 【答案】433【例17】已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -，33c a =，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ，43||=3FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围． 【难度】★★【巩固训练】1．过点(0,2)P 作直线l 与椭圆2212x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）当AOB △面积为23时，求直线l 的方程； （2）当AOB △面积取得最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆C 的方程；（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．3、直线与双曲线【例18】在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点)1,1(M 平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.这里16240∆=-<，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 所以不存在符合题设条件的直线.【例19】已知双曲线2213y x -=，曲线上存在关于直线:4l y kx =+对称的两点，求k 的范围. 【难度】★★ 【答案】3113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞U U U 【解析】当0k =时，不满足条件设1122(,),(,)A x y B x y 及其中点坐标为00(,)x y ，则22112222113113x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩:相减2121212113y y x x x x y y ++⋅=--即 0031x k y -=，又004y kx =+所以001,3x y k =-= )1(13:kx k y l AB +-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=13131222y x k x k y 联立03)13()13(2)13(22222=----+-⇒k x k k x k 0]3)13)[(13(4)]13(2[22222>+--+-=∆kk k k Θ 2211043k k ⇒<<>或),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞∈∴Y Y Y k【例20】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为.（1）求双曲线C 的方程（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2OA OB ⋅>u u u r u u u r （其中为原点），求k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设双曲线方程为,由已知得，再由，得()2,0(3,0:2=+l y kx O 2213-=x y 33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭U 22221-=x y a b3,2==a c 2222+=a b 21=b【巩固训练】1．直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于B A ,两点，直线过点)0,2(-P 和线段AB 的中点M ，求在y 轴上的截距b 的取值范围．l l2．已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点)1,1(M 的直线交双曲线于B A ,两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．（1）根据条件确定椭圆双曲线的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程．（2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义．（3）在处理与圆锥曲线相关的最值问题时通常化归成求函数最值．（4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式．（5）点差法解决与中点相关的问题．（6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零．（7）在处理与椭圆双曲线性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想．1．已知方程22132x yk k+=+-表示椭圆，则k的取值范围是．【难度】★【答案】113,,222⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U课后练习反思总结2．经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有公共焦点的椭圆方程为 ． 3．已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过2F ，且倾斜角为α，则PQ QF PF -+11的值为 ． 4．已知(0,3)A -、(0,3)B 两点，若动点P 满足||||6PA PB +=，则点P 的轨迹为（ ）． A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．x 轴上的线段D ．y 轴上的线段【难度】★★ 【答案】D5．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是 ． 6．如果过椭圆2249144x y +=内的点(3,2)P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为 ．8．若椭圆1252222=-+m y m x 上至少存在一点P ，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m 的 取值范围为____________．9．设点P 到点)0,1(-M ，)0,1(-N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.10．已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P ．（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标； （2）若30<<a 且||PA 的最小值为1，求实数a 的值．11．经过双曲线)0>,0>(1=2222b a b y a x －上任一点M ，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则平行四边形OPMQ 的面积S 为定值，ab S 21=．。
《椭圆与双曲线》教学设计
2.掌握待定系数法求椭圆、双曲线的标准方程；
3.强化数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想. 解答例题 认真听讲体会解题思路，明确解题过程书写的规范性. 例题点评 体会数形结合的思想方法. 练习1：已知双曲
(2)讲练结合，使学生掌握数学中的通性通法：待定系数法、定义法，强化数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想；
(3)通过师生互动、同桌讨论、自主练习的形式，培养学生的独立学习、合作学习、探究学习的精神.
3．情感态度与价值观 来自1)列表对比椭圆与双曲线的有关知识，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学图形的对称美、方程形式的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.
【三维目标】
1．知识与能力
(1)掌握椭圆的定义、标准方程、图像及简单性质；
(2)了解双曲线的定义、图像和标准方程，知道双曲线的有关性质；
(3)会求椭圆与双曲线的标准方程.
2．方法与过程
(1)引导学生列表对比椭圆与双曲线，有效提升学生归纳、对比、辨析、整合知识的能力；
2．区分椭圆与双曲线的相关知识，系统全面掌握两种曲线的相关知识，加深对二者的理解.
3.感受椭圆与双曲线图形的对称美、方程的简洁美. 巡视学生归纳情况及时更正存在错误，学生完成后教师展示. 例1求与双曲线
x2－15y2=15有
相同焦点且过点(0,3)的椭圆标准方程. 展示例题并分析 思考讨论形成思路 1.辨析双曲线中a、b、c的关系与椭圆中a、b、c的异同；
1.异同点分别是什么？
2.求标准方程的程序；
3.应注意问题. 学生讨论、回顾、反思，达成共识. 1.体会求圆锥曲线的标准方程时先定形(焦点位置)，后定量(基本量)；
椭圆与双曲线知识点集合
椭圆与双曲线知识点集合椭圆和双曲线是平面内的两种点的轨迹。
椭圆是指与两个定点F1和F2的距离的和等于常数（大于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为椭圆的焦点。
双曲线是指与两个定点F1和F2的距离的差的绝对值等于常数（大于且小于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为双曲线的焦点。
椭圆和双曲线的定义中，参数2a的范围限制符号不同。
对于椭圆，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|+|MF2|=2a}(2a>|F1F2|)；对于双曲线，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|-|MF2|=2a}(0<2a<|F1F2|)。
标准方程是表示椭圆和双曲线的一种方式。
在求标准方程时，一定要考虑焦点位置，即焦距|F1F2|=2c。
椭圆和双曲线的长轴和短轴的长度关系为a2=b2+c2和c2=a2+b2.几何含义是|x|≤a，|y|≤b，或者|x|≤b，|y|≤a，或者|x|≥a，y∈R。
椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，椭圆没有渐近线，双曲线有两条渐近线。
椭圆和双曲线的顶点和长轴、短轴的长度可以通过求解标准方程得到。
长轴和短轴分别被称为实轴和虚轴，实轴的长度为2a，虚轴的长度为2b。
离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个参数，其取值范围为c∈(0,1)和c∈(1,∞)。
离心率越大，椭圆或双曲线越扁，离心率越小，椭圆或双曲线越圆（椭圆）或开口越小（双曲线）。
在平面内，对于一个点到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e。
这是第一定义。
第二定义是，对于平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为（<e<1）的点的轨迹是椭圆，其中F在l外。
F是椭圆的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。
同样地，当常数（ee1）时，点的轨迹是双曲线。
F是双曲线的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。
焦点可以在x轴上或y轴上。
椭圆的准线在两侧，而双曲线的准线在两支之间。
准线方程如下：左准线x a2/c，右准线x a2/c下准线y c2/b，上准线y c2/b左焦半径|PF1|a ex，右焦半径|PF2|a ex下焦半径|PF1|a ey，上焦半径|PF2|a ey左焦半径|PF1||a ex|，右焦半径|PF2||a ex| 下焦半径|PF1||a ey|，上焦半径|PF2||a ey| 焦准距p b2/c焦半径公式是焦半径取值范围[a-c,a+c]左焦点弦|AB|2a e(x1x2)，右焦点弦|AB|2a e(x1x2)下焦点弦|AB|2a e(y1y2)，上焦点弦|AB|2a e(y1y2)左|AB||2a e(x1x2)|，右|AB||2a e(x1x2)|下|AB||2a e(y1y2)|，上|AB||2a e(y1y2)|焦点弦为长轴时最长，长为2a；焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；同侧焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；异侧焦点弦为实轴时最短，长为2a。
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。
（ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。
（ ）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。
椭圆、双曲线、抛物线综合检测(含答案)
椭圆、双曲线、抛物线综合试题学校:___________姓名：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )2．已知焦点在x 轴上的椭圆，则a 的值为 ( ) ABD ．123．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4．椭圆2249144x y +=内的一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程A. 32120x y +-=B. 23120x y +-=C. 491440x y +-=D. 941440x y +-=5k 适合的条件是A ．2k <-或25k <<B ．22k -<<或5k >C ．2k <-或5k > D．25k -<<6．已知P 为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A的坐标是 （ ）(A)8 (B)(C)107 A 、0 B 、1 C 、2 D 、38（0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明9．已知P上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________;10．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 11．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若 线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．12．对任意实数k ,直线y kx b =+与椭圆,则b 的取值范围是三、解答题（题型注释）13．（本小题满分12分） 抛物线22y px =的焦点与双曲线. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.14．已知1F )0,1(-、2F )0,1(为椭圆的焦点，且直线 （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，求△2ABF 的面积S 的最大值，并求此时直线的方程。
椭圆与双曲线综合练习题1
双曲线与椭圆综合练习题姓名： 分数(满分100分)：一，填空题（每题5分，共40分） （1）设双曲线方程为1222=-y x ，则中心坐标为，焦点坐标为，顶点坐标为，实轴长为____，虚轴长为____，渐近线方程__（错一个扣1分，扣完为止）（2）双曲线221259x y k k+=--的焦距为—————————————（ ） ()A 16 ()B 8 ()C 4 ()D（3）双曲线0122=+-y tx 的一条渐进线与直线012=++y x 垂直，则=t .（4）双曲线上2221x y a b2-=任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. （5）P 为双曲线1422=-y x 上的动点，M 为OP 中点(O 为原点)，则点M 的轨迹方程为.（6）已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别是12F F 、，直线l 过1F 交双曲线的左支于A B 、两点，AB m =，则2ABF ∆的周长为。
（7）、设曲线C 的方程为11422=-+-t y t x 则下面说法正确的是？ A 、若41<<t ，则曲线C 为椭圆；B 、若14<>t t 或者，则曲线C 为双曲线；C 、曲线C 不可能是圆；D 、若曲线C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则5.21<<t二、解答题1、（本题满分12分）已知221:(3)1C x y ++= ，222:(3)9C x y -+= ，动圆M 与12C C 、相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
18122=-y x2、求下面要求的双曲线标准方程（每题10分）（1）、求以椭圆22464x y +=的焦点为顶点，一条渐近线方程为03=+y x 的双曲线方程。
（2）、与椭圆22464x y +=有共同焦点，且一条渐近线为0x +=的双曲线方程（3）、过点(2,2)-且与双曲线2222x y -=有相同渐近线的双曲线方程（4）、与双曲线120522=-y x 有共同的渐近线，且经过点（15,5-）的双曲线方程（5）、已知椭圆191622=+y x 的两个顶点是双曲线的焦点，双曲线的两个顶点又是椭圆的焦点，求此双曲线的标准方程。
椭圆、双曲线标准方程的统一形式及应用
椭圆和双曲线都是二次曲线，可以用如下的统一形式表示：
$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$
其中，$a, b, c, d, e, f$ 是常数。
椭圆的统一形式是$b^2-4ac<0$，双曲线的统一形式是$b^2-4ac>0$。
如果$b^2-4ac=0$，那么这就是直线的方程。
在这个统一形式中，可以将椭圆和双曲线的标准方程也表示出来。
椭圆的标准方程是：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
双曲线的标准方程是：
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
其中，$a$ 是椭圆的长轴（或双曲线的横轴）的一半长度，$b$ 是椭圆的短轴（或双曲线的纵轴）的一半长度。
应用方面，椭圆和双曲线在几何、力学、电学、天文学等领域都有广泛的应用。
例如，在几何中，椭圆是轨道的形状；在力学中，椭圆是运动轨迹的形状；在电学中，椭圆是电动势能分布的形状；在天文学中，椭圆是星系形状的一种描述。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点3 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(三)
例5．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末）
5．已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ）有相同的焦点 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，则 取最大值时 的值为___________________.
（八）求 （ 为正常数）型最值问题
④求 （ 为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出 的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求 （ 为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
上节中我们已经研究了类型（五），现在我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题
则 ， ，所以 ， ， ，
，整理得： ，即 ．
【结论6】已知点 是椭圆 与双曲线 共同的焦点，点 是椭圆 与双曲线 的一个公共点，则椭圆 与双曲线 在点 处的切线相互垂直．
证明：椭圆 在点 处的切线方程为 ，该切线的斜率为 ，
双曲线 在点 处的切线 ，该切线的斜率为 ， ；又由结论1得 ，
则椭圆 与双曲线 在点 处的切线相互垂直．
【强化训练】
一、单选题
（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）
一、常用结论
【结论1】已知点 是椭圆 与双曲线 共同的焦点， 分别为 的离心率，点 是 与 的一个公共点，则 ．
证明：由已知得 消去 得 ，
又 ，因此 ．
又 ．
【结论2】已知点 是椭圆 与双曲线 共同的焦点， 分别为 的离心率，点 是 与 的一个公共点， ，则 ．
证明：由椭圆与双曲线的定义得 两式分别平方再相减得 ．
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点3 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（三）
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法1. 概述共焦点的椭圆与双曲线方程是数学中一个重要且常见的问题。
通过研究共焦点椭圆与双曲线的方程，可以深入理解数学中椭圆和双曲线的性质，对于解决实际问题具有重要的理论和实际意义。
本文将探讨共焦点的椭圆与双曲线方程的推导及其相关性质。
2. 共焦点椭圆与双曲线的定义共焦点椭圆与双曲线是指在同一平面上，有两个不同的集合（椭圆和双曲线），它们的焦点相同。
椭圆是指平面上到两定点的距离之和等于常数的动点轨迹，而双曲线是指平面上到一对定点的距离之差等于常数的动点轨迹。
共焦点椭圆与双曲线即是这样两种集合的焦点相同，并且这两种集合存在一定关系的情况。
3. 共焦点椭圆与双曲线的方程共焦点椭圆与双曲线的方程可以通过公式推导得到。
对于椭圆而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]对于双曲线而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]当两者具有相同焦点时，在同一坐标系中，椭圆的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)，双曲线的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)。
根据这一特性，可以得到共焦点椭圆与双曲线的方程。
4. 共焦点椭圆与双曲线的性质共焦点椭圆与双曲线有许多重要的性质，这些性质对于理解椭圆和双曲线的特点具有重要意义。
4.1 共焦点椭圆与双曲线的焦点性质：由于共焦点椭圆与双曲线具有相同的焦点，因此它们的焦点性质是相似的。
椭圆的焦点性质是指动点到两焦点的距离之和是常数，而双曲线的焦点性质是指动点到两焦点的距离之差是常数。
在共焦点曲线中，这一性质是相互关联的，体现了它们具有共同的焦点。
4.2 共焦点椭圆与双曲线的几何性质：共焦点椭圆与双曲线在几何性质上也有一些相似之处。
它们都可以通过离心率、焦距和半长轴等参数进行描述，而这些参数与焦点密切相关，从而展现出共焦点曲线的特殊性质。
解析几何选择填空(附详解)
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ）ABC D 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个3．如图，60POQ ∠=︒，等边ABC 的边长为2，M 为BC 中点，G 为ABC 的重心，B ，C 分别在射线OP ，OQ 上运动，记M 的轨迹为1C ，G 的轨迹为2C ，则（ ）A ．1C 为部分圆，2C 为部分椭圆B ．1C 为部分圆，2C 为线段 C ．1C 为部分椭圆，2C 为线段D ．1C 为部分椭圆，2C 也为部分椭圆4． 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y kx =交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，C 的左､右焦点分别为1F ，2F .若14P PA B k k ⋅=，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）A ．4a =B ．C 的离心率为2C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D ．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形5． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =⋅，且2PQF 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．6． 已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F 、A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P 、Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（ ）AB C D 7． 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．43y x =±B ．34yx C ．y = D ．y = 8． 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2.59． 有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆22221x y a b+=和双曲线22221(0)x y a m m n -=>>的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M 、N ；A 、B 分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:A ．2()a m -B ．()a m -C ．2()b n -D ．2()a m +二．多选题12． 已知点F 为椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（ ）A ．e =B ．e =C ．12916k k =-D ．12916k k =13． 已知曲线C 上的点(),P x y 满足方程110x x y y -+-=，则下列结论中正确的是（ ）A ．当[]1,2x ∈-时，曲线C 的长度为B ．当[]1,2x ∈-时，12y x -+的最大值为1，最小值为12-C ．曲线C 与x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积和为142π- D ．若平行于x 轴的直线与曲线C 交于A ，B ，C 三个不同的点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是32,22⎛+ ⎝⎭14． 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()C a ，()2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（ ）A ．-3B ．-2C ．0D ．115． 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值16． 已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（ ）A ．双曲线CB ．点1FC ．21PF F 的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2 三、双空题18． 已知正四面体A BCD -O 中，在平面BCD 内有一动点P ，且满足AP =||BP 的最小值是___________；直线AP 与直线BC 所成角的取值范围为___________.19． Cassini 卵形线是由法国天文家Jean -DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点1S ，2S 的距离的乘积等于常数2b .b 是正常数，设1S ，2S 的距离为2a ，如果a b <，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a b =，就得到一个双纽线；如果a b >，就得到两个卵形线.若()11,0S -，()21,0S .动点P 满足121PS PS ⋅=.则动点P 的轨迹C 的方程为___________；若'A 和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则'APA △面积的最大值为___________.四、填空题22． 2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km /s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时_______________s.23.点M 是ABC ∆内部或边界上的点，若M 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC ∆的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若()0,2A ，()1,0B -，()1,0C 时，点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，则000AM BM CM ++的大小等于______.28.已知点P （0，2），圆O ∶x 2 +y 2=16上两点11(,)M x y ，22(,)N x y 满足 (R)MP PN λλ→→=∈，则1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为___________.30.（2021·江苏·盐城市伍佑中学高二月考）已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C 上存在两点,A B 满足2MA AB =，则实数t 的取值范围___________31． 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∶APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．32． 设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.33已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率大于0的直线l 经过点2F 与C 的右支交于A ，B 两点，若12AF F △与12BF F △的内切圆面积之比为9，则直线l 的斜率为______．34． 已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22:1169x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于__________．35． 双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与Γ的左、右两支分别交于A ，B 两点，点M 在x 轴上，213AF BM =，2BF 平分1F BM ∠，则Γ的渐近线方程为______．36． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e .若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足BFAe BAF∠∠=恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________.37． 过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．38． 已知过抛物线2y x =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过坐标原点O 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于M ，N 两点，点P 是双曲线上一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若不等式()124(||||)||||k k AF BF AF BF +⋅≥+恒成立，则双曲线的离心率为________.答案及解析1．C 【分析】设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值，由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即 【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ 由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以=PQ 因为||||MQ MP λ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB ，因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为=BQ .故选：C 【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短. 2．D 【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个． 【详解】解：如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆1C 与,M N 两点，设(),Q m n ，则AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭， 有2214m n +=，以AQ 为直径的圆的方程为()(3)()(1)0x m x y n y --+-+=， 即22(3)(1)3x m x y n y n m -++--=-，用1C 的方程减去以AQ 为直径的圆的方程，可得公共弦MN 所在的直线方程， 即(3)(1)123m x n y n m ++-=-+，将AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得： 左边=22316921(3)(1)222m n m m n n m n +-+++-+⎛⎫++-⋅= ⎪⎝⎭62243122m n m n -+==-+=右边，所以公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径， 则MN AQ =，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN 是矩形， 由Q 的任意性知，四边形AMQN 能构成无数个矩形，故选D ． 【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题 3．C 【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M 的轨迹方程，由此得1C 为部分椭圆；过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，得等边OEF ，由平面几何可得G 是等边OEF 的外心，由此可得点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 【详解】以O 为原点，以POQ ∠的角平分线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. 依题意得直线OQ的方程为y =，直线OP的方程为y =.设点(),B b，()C c ，由2BC =得()()2234b c b c -++=（*），设点(),M x y ，因为M 是BC的中点，所以)2b c x y b c +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即2b c x b c +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将其代入（*）得2241243y x +=，即221313y x +=，故M 的轨迹1C 为椭圆在POQ ∠内部的部分.过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，则OEF 显然也是等边三角形.下面证明等边ABC 的重心G 即等边OEF 的外心.设OCB θ∠=，则120OBC ACF θ∠=-=∠，又60BOC CFA ∠=∠=，且BC AC =，所以OBC FCA ≅，因此OC AF =.在OGC 和FGA 中，30OCG FAG θ∠=+=∠，又GA GC =，所以OGC FGA ≅，则OG FG =，同理可证OG EG =，即点G 是等边OEF 的外心，所以，点G 在y 轴上移动，故点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 故选：C.【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键. 4．D 【分析】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a 、b 关系， 通过点到直线的距离求解c ，求出a ，b ，即可推出离心率，判断A ，B 的正误；设P 在双曲线的右支上，记 2,PF t = 则 14PF t =+，利用12PF PF ⊥，转化求解三角形的面积，判断C ；设P (x 0，y 0)，通过三角形的面积求解P 的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D. 【详解】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)则2211221x y a b -=，且2200221x y a b -=，两式相减得2222101022x x y y a b --=，所以2220122201y y b x x a -=-，因为01010101()()1()()4PA PB y y y y k k x x x x -+⋅=⋅=-+，所以2214b a =，12b a = 故双曲线C 的渐近线方程1=2y x ±因为焦点(c ，0)到渐近线1=2y x 的距离为1，1=，c =2a =，1b =，故A ，B 错误． 对于C ，不妨设P 在右支上, 记 2,PF t = 则 14PF t =+ 因为 12PF PF ⊥, 所以 22(4)20t t ++=解得2t = 或2t = (舍去）, 所以 12PF F △的面积为12112)2)22PF PF =⨯1=，故C 不正确； 对于D ，设P (x 0，y 0)，因为1200122PF F S c y ∆=⋅==，所以02y =，将02y =带入C ：2214x y -=，得2020x =，即0x =由于对称性，不妨取P 得坐标为(2)，则23PF ==，17PF =因为222212121212cos 02PF F F PF PF F PF F F +-∠==<所以∶PF 2F 1为钝角，所以PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确 故选：D 5．A 【分析】根据条件求得23PF a =，∶1PF a =，在12Rt PF F △中，由勾股定理可得关于,a c 的等式，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线定义知21212PF PF QF QF a -=-=，则122PF PF a =-，122QF QF a =-，所以11224a P PF QF PF Q QF ==-++， ∶2PQF 的周长为()22222412PF QF PQ PF QF a a ++=+-=， ∶228PF QF a +=，4PQ a =，由()22222222200PF PF QF PF PF QF PF PQ PF PQ =⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥， 所以290F PQ ∠=︒，故2222216PF a QF +=，∶222QF PF a -=， ∶23PF a =，25QF a =，∶1PF a =，在12Rt PF F △中，()()22232a a c +=，故c e a =. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由2222PF PF QF =⋅得到290F PQ ∠=︒. 6．C 【分析】先由题意，得到以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a =，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，求出点P ，Q 的坐标，得出AP ，AQ ，根据23PAQ π∠=，再利用余弦定理求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a=． 设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∶(),P a b ，(),Q a b --．又A 为双曲线的左顶点，则(),0A a -， ∶AP =AQ b =，2PQ c =，在PAQ △中，23PAQ π∠=，由余弦定理得22222cos 3PQ AP AQ AP AQ π+-=，即22224()c a a b b b =+++， 即222442c a bb =+，则2b =()22244b a b =+，则2234b a =，即()22234c a a -=，所以2273c a =∶c e a ==． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：∶直接求出,a c ，从而求出e ；∶构造,a c 的齐次式，求出e ；∶采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；∶根据圆锥曲线的统一定义求解． 7．A 【分析】由1212()0F F F A F A +⋅=得121F F F A =，由此求得A 的坐标，将A 的坐标代入双曲线方程，化简求得ba，从而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意221212121112112()()()0F F F A F A F F F A F A F F F A F F +⋅=+⋅-=-=， 所以1212F F F A c ==， 1247AF k =-，设直线1F A 的倾斜角为α，则α为钝角，sin 24tan cos 7ααα==-， 结合22sin cos 1αα+=解得247sin ,cos 2525αα==-， 设()00,A x y ，则()07392cos 22525x c c c c c α⎛⎫=⋅+-=⨯--=- ⎪⎝⎭，024482sin 22525y c c c α=⋅=⋅=，将A 点坐标代入双曲线方程得2222394825251c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而222c a b =+，所以()()222222152123046256251a b a b a b ++-=，化简得22221521*********b a a b ⋅--⋅=，42241521140823040b a b a ⋅--⋅=，()()22229161691440ba b a -+=，229160b a -=，434,3b b a a ==， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A 【点睛】本题主要解题的两个关键点，一个是根据向量的数量积为零判断出121F F F A =，另一个是将A 坐标代入双曲线方程后的运算. 8．A 【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于y 的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解. 【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示， 圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交， 设半径为r ，圆心为(0,1)r +，圆方程为：222(1)x y r r +--=代入双曲线方程221y x -=， 得2(1)0,1,y r y r y y r -++=∴==， 要使清洁球到达底部，1r ≤. 故选:A【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题. 9．A 【详解】由题得：设周长为l22BM BN a l AB BN AN AM AN m+=⇒=++-=22AB a BM AM m =+-+-22AB AM BM l a m +≥⇒≥-当且仅当M 、A 、B 共线时，周长的最小点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB 、BN 、AM 、AN 的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 12．AC 【分析】设出右焦点F '，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得,a c 的关系，则离心率可求；设出,P M 的坐标，根据对称性写出Q 的坐标，利用点差法可求得12k k 的表示，结合,a c 的关系可求解出12k k 的值. 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形， 则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =． 由余弦定理可得()22222931122cos 60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e == 设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--． 因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC ． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形. 13．ACD 【分析】先作出方程110x x y y -+-=表示的曲线C ，然后对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于方程110x x y y -+-=，∶ 当1x ≤，1y ≤时，方程变为220x x y y -+-=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示半圆弧EOF ；∶ 当1x >，1y <时，方程变为222211022x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1x y +=，表示射线FN ；∶ 当1x >，1y >时，方程变为22221110222x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该圆不在1x >，1y >范围内，故舍去；∶当1x <，1y >时，方程变为222211022x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1x y +=，表示射线EM .综上可知，曲线C 由三段构成：射线EM ，半圆弧EOF 和射线FN .对于选项A ，当[]1,2x ∈-时，曲线C 由三段构成：线段EM ，半圆弧EOF 和线段FN . 其A 正确； 对于选项B ，令12y k x -=+，其表示曲线C 上的动点(,)x y 与定点(2,1)P -连线的斜率，由图可知，max 211(1)(2)PM k k -===---，但是其最小值是过点(2,1)P -且与半圆弧EOF 相切的切线斜率，显然，min (1)112(2)2PN k k --<==---，故B 错误；对于选项C ，由图可知，曲线C 与x 轴、y 轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为211112142242ππ⎡⎤⎢⎥⨯⋅⋅-⋅⋅=-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确； 对于选项D ，设平行于x 轴的直线为y m =，要使y m =与曲线C 有三个交点，则12m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，不妨设y m =与半圆弧EOF 的交点为A ，B ，显然，A ，B 两点横坐标之和121x x =+，y m =与射线FN 的交点为C ，则点C 的横坐标3111,2x m ⎛=-∈ ⎝⎭，所以12332,2x x x ⎛++∈ ⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于：准确地作出方程110x x y y -+-=表示的曲线C . 14．AD 【分析】先求得M 点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系求得a 的取值范围，进而求得正确选项. 【详解】圆O 的圆心为()0,0M 为AB 的中点，2AB =，所以2OM =，设(),M x y 2=，所以点M 的轨迹方程为224x y +=. 即M 在圆心为()0,0，半径为12r =的圆上.()C a，()2D a +都在直线x =2CD =，设线段CD 的中点为N ，则()1N a +，以N 为圆心，半径为21r =的圆与圆224x y +=外离时，始终有CMD ∠为锐角，所以123ON r r =+=，即()211a +>，11a +>，所以11a +<-或11a +>， 即2a <-或0a >. 所以AD 选项正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系. 15．ABD 【分析】首先画图找到平面1//A MN 平面1D AE ，根据面面平行的性质定理得到点F 的轨迹，接着依次判断选项即可. 【详解】如图，分别找线段1BB ,11B C 中点为M ,N ,连接11,,A M MN A N , 因为正方体1AC ，易得1//,MN ADMN ⊄面1D AE ，1AD ⊂面1D AE ，所以//MN 面1D AE ，11//A M D E ，1A M面1D AE ，1D E ⊂面1D AE ，所以1//A M 面1D AE ，又1MN A M M ⋂=所以平面1//A MN 平面1D AE ，因为1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，又1⊄A F 平面1D AE ， 所以直线1A F 与平面1D AE 平行，所以1A F ⊂面1A MN ，又点F 是侧面11BCC B 内的动点，且面1A MN ⋂面11BCC B MN =， 所以点F 的轨迹为线段MN ，故选项A 正确； 由图可知，1A F 与BE 是异面直线，故选项B 正确；当点F 与点M 重合时，直线1A F 与直线1D E 平行，故选项C 错误； 因为1//MN AD ，MN ⊄面1ABD ，1AD ⊂面1ABD ， 所以//MN 面1ABD ，则点F 到平面1ABD 的距离是定值，又三角形1ABD 的面积是定值，所以三棱锥1F ABD -的体积为定值，故选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查立体几何中的动点轨迹问题，解决该类题目一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面，在做题时要多总结. 16．ABD 【分析】由双曲线及圆的方程知圆O 的半径为c ，所以122F PF π∠=，又21tan 3PF F ∠=，根据双曲线的定义、勾股定理、双曲线中,,a b c 的关系得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，从而可判断选项A 正确；求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可判断选项B 、D 正确；由面积公式可判断选项C 错误. 【详解】解：∶双曲线222:105()x y C a a -=＞， ∶225c a =+，又圆222:5O x y a +=+， ∶圆O 的半径为c ，∶12||F F 为圆O 的直径，∶122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∶21tan 3PF F ∠=，∶1212tan 3PF PF F PF ∠==， ∶123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∶()22221231||0F F m m m =+=，∶12||2F F c =，又12||22m PF PF a -==，∶双曲线C的离心率22c e a ===A 正确； 对于B ，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ==B 正确；对于C，由离心率e ==得2103a =，21025533c =+=，∶122||F F c ===，∶2||m PF ==，1||3PF m = ∶21PF F的面积为152=，故C 错误； 对于D ，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y x =0=， 设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=∶，(),M p q 到两条渐近线的距离1d ，2d =∶22123210255p q d d -====，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，根据双曲线及圆的方程知圆O 的半径为c ，所以得122F PF π∠=，又21tan 3PF F ∠=，由双曲线的定义、勾股定理、双曲线中,,a b c 的关系求出双曲线C 的方程.18． ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先由正四面体A BCD -的球O 中，求出四面体的棱长和高，由高和AP =P 的轨迹，从而确定||BP 的最小值.（2）建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，求出直线AP 与直线BC 所成角的余弦值，求出余弦值取值范围，从而出所成角取值范围.【详解】设A 在面BCD 内的投影为E ，故E 为三角形BCD 的中心，设正四面体A BCD -的棱长为x ，球O 的半径为R .则23BE x =⨯=AE ， 依题可得，球心O 在AE 上，()222R BE AE R =+-，代入数据可得6x =，则BE =AE =又AP =PE ==故P 的轨迹为平面BCD 内以E 为圆心，BE = ,,B P E三点共线时，且P 在BE 之间时，||BP 的最小值是以E 为圆心，BE 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，(A ，()B ，()C ，()3,0D -，设(),0P θθ，[)0,2θ∈π，故(2,AP θθ=-，()BC =-，设直线AP 与直线BC 所成角为α， ∶61π11cos sin ,2322AP BCBC AP αθ-⎛⎫⎡⋅⎤===-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∶11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故,32ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了立体几何中两条直线所成角的问题，解答的关键在于能利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系进行转化.同时对于立体几何中的角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解.19．22222()2()0x y x y +--=；【分析】设(,)P x y ，代入12||||1PS PS ⋅=，化简即可得到动点P 的轨迹C 的方程；进而求出A ，A '的坐标，然后将问题转化为求点P 的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可．解：设(,)P x y ，12||||1PS PS ⋅=，2222[(1)][(1)]1x y x y ∴-+++=，即22222()2()0x y x y +--=，∴动点P 的轨迹C 的方程为：22222()2()0x y x y +--=；令0y =，可得4220x x -=，解得0x =或x =(A A '，由对称性，只考虑第一象限的部分，||AA '为定值，APA '∴面积最大时，即点P 的纵坐标最大，又422222(1)(2)0y x y x x +++-=，221y x ∴=--+令t 2214t x -=，因为x ∈，所以[1t ∈，3]， 令22111()1(2)444t f t t t -=--+=--+， ∴当2t =时，()f t 取得最大值14，即214max y =， ∴12max y =，()1122APA max S '∴=⨯∴APA '故答案为：22222()2()0x y x y +--=；2． 【点睛】 关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点P 的轨迹方程，求出点P 的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点P 的纵坐标的最大值，从而面积的最大值可求．22．80009【分析】设,PA a PB b ==，飞行过程所用时间12()123t a b =+，再令23PC b =，则问题转化为求两条线段PA PC +最小即可作答.设,PA a PB b ==，飞行过程所用时间12()1218123PA PB t a b =+=+，令23PC b =，即23PC PB =， 设点C (0，m )在圆形轨道内，取点P 坐标(0，2000)，而()0,3000B ，由23PC PB =得22000(30002000)3m -=-，40003m = ，即4000(0,)3C ，设动点(,)M x y ，当23MC MB =时， 化简整理得2222000x y +=，即满足23MC MB =的动点M 的轨迹就是给定的圆形轨道， 所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +≥=，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“=”， 即有111320008000()121812121239PA PB t PA PC AC =+=+≥⋅=⋅=， 所以这一过程最少用时80009s. 故答案为：8000923．2【分析】 先证明费马点结论：若P 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则120APBAPC BPC ，再根据角度求解三条线段长度即可得解.【详解】先证明：若P 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则120APB APC BPC如图将ABP ∆绕点B 逆时针旋转60°得到BDE ∆，则BDE ∆∶ABP ∆，,60BD BP PBD ，所以BDP ∆是等边三角形，BP DP =，PA PBPC ED DP PC ，当,,,E D P C 四点共线时取得最小值， 此时120APB EDB ，同理可得120BPC APC 所以命题得证.点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，000120AM BAM C BM C ，0060AM O OM C ， 所以000233,233BM CM OM ，所以000AM BM CM ++=2故答案为：2【点睛】此题考查求平面内点到三定点距离之和的最值问题，涉及平面几何的证明问题，根据三角形边角关系求解线段长度.28．43【分析】 由111OC OA OB λλλ=+++，可得A ，B ，C 共线，再由向量的数量积的几何意义可得PC 为APB ∠的平分线，可得PAACPB BC λ==，可得P 的轨迹为圆，求得圆的直径与AB 的关系，即可得到所求最值．【详解】 由111OC OA OB λλλ=+++， 可得A ，B ，C 共线，当点P 不在直线AB 上时， 由PA PC PB PC PA PB⋅⋅=， 可得cos cos PC APC PC BPC ∠=∠，即有APC BPC ∠=∠，则PC 为APB ∠的平分线， 根据正弦定理易得PAACPB BC λ==，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面坐标系，设()20AB a a =>，(),P x y ，(),0A a -，(),0B a则()()222222x a y PA PB x a y λ++⎛⎫== ⎪⎝⎭-+， 整理得：()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭， ∶P 的轨迹是圆心为()221,01a λλ⎛⎫ ⎪ -⎝⎭+⎪，半径为221a λλ-的圆， 因为点P 不在直线AB 上，所以不包括x 轴上的点．∶12241a PP λλ≤-，∶2421a ma λλ≤-， 即22211m λλλλ≥=--恒成立， 设()()221f λλλλ=≥-，则()f λ在[)2,∞上单调递减，∶()f λ的最大值为()423f =． ∶43m ≥． 故m 的最小值为43． 故答案为：43． 29．48【分析】 将原式化为1122|3425||3425|555x y x y ++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而1122|3425||3425|,55x y x y ++++分别表示,M N 到直线:34250l x y ++=的距离，取MN 的中点T ，设T 在直线:34250l x y ++=的射影为1T ，则原式=110||TT ，根据圆的性质可以知道T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C ，进一步即可得到答案.【详解】由题意，,,M P N 三点共线，设T 为MN 的中点，,,M T N 在直线:34250l x y ++=的射影分别为111,,M T N ，点O 到直线:34250l x y ++=的距离|304025|545d ⨯+⨯+==>， ∶:34250l x y ++=与圆22:16O x y +=相离 ，如图： 而11221122|3425||3425||3425||3425|555x y x y x y x y ++++⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭()1115||||10||MM MM TT =+=，易得OT MN ⊥，即OT PT ⊥，∶T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C . ∶11|304125|24||||1155TT CT ⨯+⨯+≥-=-=，当1,,C T T 共线，且T 在1,C T 之间时取“=”. ∶1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为2410485⨯=. 故答案为：48.【点睛】 本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取MN 的中点T ，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.30．⎡⎣【分析】令(,)A x y ，根据2MA AB =得332(,)22x t y B --，由,A B 在圆C 上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在15[,]33内，进而求t 的范围. 【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB =知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∶22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点， ∶两圆的圆心距离为d =，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意， ∶2021t ≤≤，即t∈[.故答案为：[.【点睛】关键点点睛：设(,)A x y ，利用向量共线的坐标表示求B 坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围.31【分析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x 2+（y -2）2=1相外切．且∶APB 的大小恒为定值，即可求出线段OP 的长．【详解】设()2,0O a ，圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则tan ,tan a r a r OPA OPB t t-+∠=∠=， 2222222tan 1a r a r rt t t APB a r t a r t +--∴∠==-+-+， 241a r +=+22(1)4a r ∴=+-，2222tan 3232rt t APB t t r r∴∠==-+-+，∶∶APB 的大小恒为定值，∶t【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．32【分析】设点D在底面ABC的射影点为O，连接OA，以点O为坐标原点，CB、AO、OD分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y，由已知条件可得出关于x、y所满足的等式，利用二次函数的基本性质可求得AP的最小值.【详解】设点D在底面ABC的射影点为O，连接OA，则12sin3OAπ==OD==以点O为坐标原点，CB、AO、OD分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,A⎛⎫⎪⎪⎝⎭、12B⎛⎫⎪⎪⎝⎭、12C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭、D⎛⎝⎭、0,E⎛⎝⎭、F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，设点(),,0P x y，则EF⎛=⎝⎭，,,DP x y⎛=⎝⎭，cos2DP EFDP EFθ⋅==⋅，整理可得22221211cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程22221211cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2121399x y +=+，可得2y x =，则AP ==，当且仅当0x =时，等号成立，故AP【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.33【分析】设12AF F △与12BF F △的内切圆圆心分别为G ，H ， 12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ， 利用内切圆的性质得12HG F F ⊥．设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2πtan2θ-=FG FF ，在2Rt F FH 中，2tan 2θ=FH FF ，由题得3FG FH =得tan 2θ，再由二倍角公式可得答案． 【详解】设12AF F △与12BF F △的内切圆圆心分别为G ，H ，连接HG ，2HF ，2GF ，12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，如图，则()12121212AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-， 所以()2G G a c x c x =+--，即G x a =， 同理H x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在2Rt F FG △中，()2ππtan tan 222FG FF c a θθ-⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 在2Rt F FH 中，()2tantan22FH FF c a θθ==-，由题得3FG FH =，所以()()πtan 3tan 222c a c a θθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan2θ=22tan2tan 1tan 2==-θθθ34．45【分析】由题意得8PB PA -=,10AB =，再利用正弦定理进行求解即可. 【详解】解：由题意得8PB PA -=,10AB ==，∴sin si 45n sin A B P PB PA AB --==.故答案为：45.【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，结合了正弦定理的应用，属于中档题. 35．y =． 【分析】设2AF m =，根据题意结合双曲线的定义可得4ma ，进一步判断2ABF 是等边三角形，在2F BM △中利用余弦定理可得22716m c =，即可得出,a c 关系，继而得出,a b 关系，求出渐近线方程. 【详解】根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，122F F c =，由213AF BM =，∶12F AF ∶1F BM △，∶24F M c =，设2AF m =，则3=BM m ， ∶2BF 平分1F BM ∠，∶12122142F F BF c MF BM c === ， ∶132mBF =，11132m AF BF ==，123AB BF m ==，由双曲线的定义知，212AF AF a -=， ∶122m m a -=，即4ma ∶，122BF BF a -=， ∶2322BF m a m =-=，∶22BF AB AF m ===，即2ABF 是等边三角形， ∶2260F BM ABF ∠=∠=︒，。
高中数学-椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用(教师版)
椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，下面我们介绍此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用一、常用结论结论1：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，则c a a x 210=，c b b y 210=，212100a a b b x y =证明：因为点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，所以21122112122a a PF a PF PF a PF PF +=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+由焦半径公式得caa x a a x a c a x e a PF 210210110111=⇒+=+=+=，代入椭圆的方程得c b b y 210=，所以212100a a bb x y =结论2：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则2221222121b b a a PF PF +=-=，222121b b PF PF -=⋅，2121b b S F PF =∆证明：设θ=∠21PF F ，由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF 222121a a PF PF -=⇒由余弦定理得2cos 2cos 221212111112212121F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF -+=⇒-+=θθ所以222122221212422b b c a a PF PF -=-+==⋅21222122212cot 2tan 2cot 2tan21b b b b b b S F PF =⋅===∆θθθθ结论3：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则122tan b b =θ，2221222122212221cos b b b b a a b b +-=--=θ，特别地，若21b b =，则02190=∠PF F ，反之亦然证明：⇒==∆2cot 2tan 222121θθb b S F PF 212tan b b =θ，22212221cos a a b b PF PF --==θ结论4：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则222122212122b b e b e b +=+证明：22122212212111c b c c b c a e +=+==------①，22222222222211cb c b c c a e -=-==-------②，①+⨯22b ②21b⨯得222122212122b b e b e b +=+注：结论4反映2121,,,b b e e 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2121,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是21,b b 的平方和结论5：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则2cos 1cos 12221=++-e e θθ，即12cos 2sin 222212=+e e θθ证法1：因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF ，所以在21F PF ∆中余弦定理得θcos ))((2)()(421212212212a a a a a a a a c -+--++=θcos )(22222212221a a a a --+=两边都除以22c 得222122212221cos 1cos 1cos 11(112e e e e e e θθθ++-=--+=⇒+=⇒2222122cos 22sin 22e e θθ12cos 2sin 222212=+e e θθ证法2：2sin 2cos)(2cos 2sin)(2cot 2tan 222221222121θθθθθθa c c a b b S F PF -=-⇒==∆⇒-=-⇒2cos )11(2sin )11(222221θθe e 12cos 2sin 2cos 2sin 22222212=+=+θθθθe e 结论6：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直证明：设点),(00y x P ，则椭圆1C 在点P 处的切线为1210210=+b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=双曲线2C 在点P 处的切线为1220220=-b yy a x x ，斜率为0220221y a x b k =，所以20222120222121y a a x b b k k -=，又由结论1知212100a a b b x y =120222120222121-=-=⇒y a a x b b k k ，所以1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直结论7：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 的一个公共点为P ，若椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直，则它们有共同的焦点证明：设点),(00y x P ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212222212221222120212222212221222120222022202120212011b a b a a a b b y b a b a b b a a x b y a x b y a x ，椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线分别为1210210=+b y y a x x 和1220220=-b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=，0220222y a x b k =因为1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直，所以222120222120202221202221211b b y a a x y a a x b b k k =⇒-=-=所以2222212122212221212222212221212222212221b a b a a a b b b a b a a a b a b a b b +=-⇒-=+⇒+-=++，所以它们有共同的焦点二、典型应用（一）公共点问题例1.已知点21,F F 分别为椭圆1C ：11022=+y x 的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C ：1822=-y x 的一个交点为P ，O 坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则=k 解析：20581011212100=⨯⨯===a ab b x y k （二）公共焦点三角形问题例2.已知椭圆1C ：)1(1222>=+m y m x 与双曲线2C ：)0(1222>=-n y nx 有公共焦点21,F F ，P是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积为，21F PF ∆的形状是解析：1112121=⨯==∆b b S F PF ，所以01219012tan121=∠⇒=∠⨯=∆PF F PF F S F PF ，所以21F PF ∆的形状是直角三角形例3.（2022·上海·高三专题练习）已知点P 是椭圆14822=+y x 与双曲线222=-y x 的一个交点，21,F F 为椭圆的两个焦点，则=21PF PF 解析：628222121=-=-=a a PF PF 例4.椭圆1C ：11622=+m y x 与双曲线2C ：1822=-ny x 有相同的焦点21,F F ，P 为两曲线的一个公共点，则21F PF ∆面积的最大值为（）A.4B.32 C.2D.34解析：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+224224248212121PF PF PF PF PF PF ，所以当21PF PF ⊥时，21F PF ∆面积最大，最大值为4)(2121222121=-=a a PF PF ，故选A （三）角度问题例5.设椭圆1C ：181222=+y x 与双曲线2C ：)0(122>=-m y mx 有公共的焦点21,F F ，点P是1C 和2C 的一个公共点，则=∠21cos PF F （）A.97 B.92 C.41 D.91解法1：422212tan 1221===∠b b PF F ，所以724)42(1422tan 221=-⨯=∠PF F 所以=∠21cos PF F 97，故选A 解法2：=+-=+-=1818cos 22212221b b b b θ97例6.（2022浙江嘉兴市·高二月考）设椭圆12622=+y x 与双曲线1322=-y x 有公共焦点21,F F ，点P 是两条曲线的一个公共点，则=∠21cos PF F 解析：=∠21cos PF F 22212221a a b b --313612=--=（四）公共点处切线有关问题例7.已知椭圆192522=+y x 与双曲线C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，点)59,4(P 在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为解析：注意到点P 在椭圆上，即点P 是椭圆与双曲线的公共点，椭圆在点P 处切线为15254=+y x ，其斜率为54-，所以双曲线在点P 处的切线的斜率为45例8.若两曲线在交点P 处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点P 处正交．设椭圆C ：)20(14222<<=+b b y x 与双曲线1222=-y x 在交点处正交，则椭圆C 的离心率为解析：由题意知题意与双曲线共焦点，所以3=c ，所以椭圆C 的离心率为23（五）求离心率的值（或取值范围）例9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是以一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.32 D.6解析：由题意32734221=⇒=+=c c c e ，所以31432=-=e ，故选B例10.已知21,F F 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆2C ：192522=+y x 的公共焦点，点P 是曲线1C 、2C 在第一象限的交点，若21F PF ∆的面积为63，则双曲线1C 的离心率为（）A.5102 B.310 C.553 D.25解析：66332121=⇒===∆b b b b S F PF ，又222122212122b b e b e b +=+，即=1e 6925169621+=+e 解得51021=e ，故选A （六）共焦点椭圆、双曲线离心率的关系例11.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且3221π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则=+222113e e （）A.4B.32C.2D.3解析：由题意413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，故选A 例12.设21,e e 分别为具有公共焦点21,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足21PF PF ⊥，则22212221e e e e +的值为（）A.21 B.1 C.2D.不确定解析：由题意2211145cos 45sin 22212221222122022102=+⇒=+⇒=+e e e e e e e e ，故选B 例13.（2022河南郑州市·高三一模）已知21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点，A 是21,C C 在第二象限的公共点.若21AF AF ⊥,则双曲线2C 的离心率为（）A.56 B.26 C.3 D.2解析：由题意=⇒=+⇒=+2222202210221431145cos 45sin e e e e 26，故选B 例14.设P 为有公共焦点21,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且21PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则=1e 解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又123e e =，所以29112121=+e e 351=e 例15.（2022陕西渭南市，高二期末）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 椭圆和双曲线在第一象限的交点，当02160=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A.3B.2C.332 D.2解析：由题知431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又121=e e ，所以432222=+e e ，解得=2e 3，故选A（七）离心率的范围问题例16.（2021·全国高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，02190=∠PF F ，若椭圆的离心率]322,43[1∈e ，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为解析：由题211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又]322,43[1∈e ，所以]223,7142[2∈e 例17.设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，21,F F 分别为左､右焦点，1C 和2C 在第一象限的交点为M ，若21F MF ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率]27,2[2∈e ，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A.]95,94[ B.]167,0( C.167,52[ D.)1,72[解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，又]27,2[2∈e ，所以∈1e ]167,52[，选C（八）与离心率有关的不等式问题例18.（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知21,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且321π=∠PF F ，若椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则21e e 的最小值为A.4151+B.332 C.415 D.23解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选D 例19.（2021·新江宁这育·高二期末）已知21,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且3221π=∠PF F ，若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则222127e e +的最小值为（）A.25B.100C.9D.36解析：由题知413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，所以)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)327282(41)32782(412122222121222221=⋅+≥++=e e e e e e e e ，当且仅当21222221327e e e e =即7,3721==e e 时等号成立，故选A 令析：由柯西不等式得)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)19(412=+≥，故选A例20.(2014高考湖北卷)已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2111e e +的最大值为()A.334 B.332 C.3 D.2解析:由题意得431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，由柯西不等式得316)31)(311()33111(11(2221221221=++≤⨯+⨯=+e e e e e e ，当且仅当321ee =即331=e ，32=e 时等号成立，2111e e +的最大值为334，故选A例21.已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有相同的焦点21,F F ，1C 和2C 的离心率分别为21,e e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且321π=∠PF F ，2121e e ee +的取值范围是解析：由题意431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，令θθsin 23,cos 2121==e e ，则由301sin 32101cos 2121πθθθ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<>=e e ，所以)3sin(334sin 32cos 21121πθθθ+=+=+e e ]334,2(∈所以2121e e e e +的取值范围是21,43[例22.（2022·河南洛阳·模拟预测）已知F 是椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 与椭圆1C 焦点，若直线AF与双曲线2C 的一条渐近线平行，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则2121e e +的最小值为解析：由题意12122222222222222=⇒=⇒-=-⇒=⇒=e e mc c a m m c c c a m n c b m n c b 所以22212212121=⋅≥+e e e e ，当且仅当2121e e =即2,2221==e e 时等号成立，所以2121e e +的最小值为22例23.已知中心在坐标原点的椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点，且左，右焦点分别为21,F F ，1C 与2C 在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若101=PF ，1C 与2C 的离心率分别为21,e e ，则212e e +的取值范围是A.),221(+∞+ B.),35(+∞ C.),1(+∞ D.),65(+∞解析：2112102,10222121=-⇒-=+=e e c c e c c e 12221+=⇒e e e ，所以222211222e e e e e ++=+令3122>=+t e ，则=+212e e t t t t t 1221211-+=-+-，因为t t t f 1221)(-+=在),3(+∞∈t 上递增，所以35)3()(=>f t f ，即212e e +的取值范围为),35(+∞，故选B例24.已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点21,F F ，其中1F 为左焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，21,e e 分别为曲线21,C C 的离心率，若21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，则12e e -的取值范围为解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e 12221+=⇒e e e ，所以=-12e e 12222+-e e e 令3122>=+t e ，则=-12e e 1)1(212121-+=---t t t t t ，因为1)1(21)(-+=t t t f 在),3(+∞∈t 上递增，所以32)3()(=>f t f ，即12e e -的取值范围为),32(+∞例25.（2022·吉林·希望高中高二期末）椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，O 为坐标原点，2214MF F F =，则12e e -的取值范围是解析：211122,22211211=-⇒-=+=e e c PF c e cPF c e 22221+=⇒e e e ，所以12e e -22222+-=e e e 424222-+++=e e ，由211122022221<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><+=<e e e e e ，令)4,3(22∈=+t e ，则4412-+=-t t e e ，因为函数44)(-+=t t t f 在)4,3(上递增，所以1)4(,31)3(==f f ，所以12e e -)1,31(∈提升训练1.如图21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.23 D.26解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又231=e ，所以=2e 26，故选D 2.已知椭圆1922=+y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 共焦点21,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且021=⋅PF PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A.x y 77±= B.x y 7±= C.x y 37±= D.x y 773±=解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又3221=e ，所以222=e 所以722)(122=⇒=+=abab e ，所以双曲线的渐近线方程为x y 7±=，故选B 3.（2022·四川·阆中中学高二月考（文））设P 是椭圆1244922=+y x 和双曲线12422=-y x 的一个交点，则=∠21PF F （）A.6πB.3π C.4π D.2π解析：易知椭圆和双曲线共焦点，所以=∠⇒==∠21122112tanPF F b b PF F 2π，故选D4.若)0,5(),0,5(21F F -是椭圆1C ：1822=+m y x 与双曲线2C ：1422=-ny x 的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则=∠21PF F （）A.6π B.3π C.2π D.32π解析：1,3548==⇒=+=-n m n m ，所以=∠21cos PF F 21481322212221=--=--a a b b ，所以=∠21PF F 3π，故选B 5.已知有相同焦点21,F F 的椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx ，点P 是它们的一个交点，则21F PF ∆面积为解析：12121==∆b b S F PF 6.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 有公共的焦点21,F F ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：222121a a PF PF -=314=-=7.（2016·上海市延安中学三模（文））已知椭圆1C ：)1(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点21,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是21PF F ∠的角平分线，O 为坐标原点，G F 1垂直射线PI 于H 点，若1=OH ，则=a 解析：由1=OH 可知1=m ，所以31112=⇒+=-a a 8.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若221=PF PF ，则=+22n b 解析：=+=222121b b PF PF 222=+n b 9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率是73，则2C 的离心率是（）A.76B.67 C.56 D.3解析：32734221=⇒=+=c c c e ，所以33432422=-=-=c c e 10.（多选题）（2022江苏·高二专题练习）若双曲线1C ：)0(12222>=-b b y x 与椭圆2C ：14822=+y x 有相同的左右焦点21,F F ，且1C 与2C 在第一象限相交于点P ，则（）A.21=PF B.1C 的渐近线方程为x y ±=C.直线2+=x y 与1C 有两个公共点 D.21F PF ∆的面积为22解析：23222211=+=+=a a PF ，A 错；24822=⇒-=+b b ，所以渐近线方程为x y ±=，B 正确；直线2+=x y 与渐近线平行，与1C 仅一个公共点，C 错；222121==∆b b S F PF ，D 正确；故选BD11.（多选题）（2022重庆巴蜀中学高三月考）已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底的等腰三角形，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则（）A.22222121b a b a +=- B.21121=+e e C.112=-e e D.21,31(1∈e 解析：因为椭圆与双曲线共焦点，所以⇒+=-=212222212b a b ac 22222121b a b a +=-，A 正确；21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，所以B 错，C 错；因为12>e ，所以21121+=e e )3,2(∈)21,31(1∈⇒e ，D 正确；故选AD12.（多选题）（2022江苏·高二单元测试）已知椭圆C ：)0(13222>=+b b y x 与双曲线1C ：122=-y x 共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点21,(F F 为椭圆C 的两个焦点)，又O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，下列说法正确的是（）A.1=bB.21PF F ∠的平分线长为362C.02190=∠PF F D.直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值31-解析：因为椭圆C 与双曲线1C 共焦点，所以11132=⇒+=-b b ，A 正确；设点),(00y x P ，则切线l ：1300=+y y x x ，所以)1,0(),0,3(00y B x A ，所以2332130020202020≤⇒≥=+y x y x y x 所以00001231321y x y x S OAB ==∆3≥，当且仅当22,2600==y x 时等号成立，此时022123222(2020200021=-+=-+=+-+=⋅y x y x x PF PF ，所以02190=∠PF F ，C 正确；由角平分线张角定理得3631311311145cos 2210=⇒=-++=+=PM PF PF PM 所以B 错；直线OP 斜率与切线l 的斜率之积为31)3(0000-=-⨯y x x y ，所以D 正确，故选ACD 13.（2022全国·高三月考）设椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，将21,C C 的离心率记为21,e e ，点A 是21,C C 在第一象限的公共点，若点A 关于2C 的一条渐近线的对称点为1F ，则=+222111e e 解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e 14.已知21,F F 为椭圆1C ：12222=+y m x 和双曲线2C ：1222=-y nx 的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且211F F PF ⊥，那么椭圆1C 和双曲线2C 的离心率之积为解析：因为211F F PF ⊥，所以n m nm 212=⇒=，又1222+=-n m ，所以1,2==n m 所以122221=⨯=e e15.（2022·浙江·高三学业考试）已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，x PM ⊥轴，M 为垂足，若O OF OM (322=为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为解析：由232OF OM =知点P 横坐标为c 32，所以m c e c e a PF -⋅=⋅-=32322122311)(32212121=⇒+=+=+⇒e e e e c m a e e 16.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 的离心率分别为21,e e ，且有公共的焦点21,F F ，则=-22214e e ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：椭圆与双曲线共焦点，所以314=+⇒+=-n m n m ，所以0)(3)1(4)4(442221=+-=+--=-n m n m e e ，314222121=-=-=a a PF PF 例17.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则当211e e 取最大值时，21,e e 的值分别是（）A.26,22 B.25,21 C.6,33 D.3,42解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选A。
椭圆双曲线抛物线综合测试题
椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1设双曲线2212y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ).A B 2 C D2椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）A 32B 16C 8D 43 两个正数a 、b 的等差中项是52，，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）AB C D 4设1F 、2F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且31||PF =42||PF ， 则12PF F ∆的面积为（ ）A B C 24 D 485 P 是双曲线22916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A 6B 7C 8D 96已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则||||PA PM +的最小值为（ ）A1 B 2- C 1 D 27 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线8若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）ABCD 29抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ）A 35,24⎛⎫⎪⎝⎭ B (1,1) C 39,24⎛⎫⎪⎝⎭D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b ca+的取值围（ ）A (1,)+∞ B)+∞ CD11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ）12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ） A12a B 12p C 1122a p + D 12a －12p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上） 13 设1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且12F PF ∠=60o，12PF F S ∆=2，则双曲线方程的标准方程为 ．14 已知椭圆221x y m n +=与双曲线221x y p q -=(,,,,)m n p q R m n +∈>，有共同的焦点1F 、2F ，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则12||||PF PF •= ．15 已知抛物线22(0)x py p =>上一点A (0,4)到其焦点的距离为174，则p = ． 16已知双曲线2222x y a -=1(a >的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 ．三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：BCDA⑴ 焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54； ⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为32y x =±.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ．动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ． ⑴求||||PA PB +的值； ⑵写出点P 的轨迹方程．19．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆相交，其中一个交点为M ．⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的一个顶点为(0,)B b -，直线2BF 交椭圆于另一点N ，求1F BN ∆的面积．20．（12分）已知抛物线方程24x y =，过点(,4)P t -作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ．⑴求证：直线AB 过定点(0,4)；⑵求OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值．21 ．（12分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且1||PF =3|2|PF ．⑴求双曲线离心率e 的取值围，并写出e 取得最大值时，双曲线的渐近线方程；⑵若点P 的坐标为，且12PF PF •=0，求双曲线方程．22．（12分）已知O 为坐标原点，点F 、T 、M 、1P 满足OF =(1,0)，(1,)OT t =-，FM MT =，1PM ⊥FT ，1PT ∥OF ． ⑴求当t 变化时，点1P 的轨迹方程；⑵若2P 是轨迹上不同于1P 的另一点，且存在非零实数λ使得12FP FP λ=，求证：1211||||FP FP +=1.参考答案1A 提示：根据题意得222c a b =+=2m +=4，∴m =2，∴c e a===．故选A ．2B 提示：2ABF ∆的周长=12||||AF AF ++12||||BF BF +=4a =16.故选B ．3C 提示：根据题意得56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得a =3，b =2，∴c ，∴ce a =4C 提示：∵P 是双曲线上的一点，且31||PF =42||PF ，1||PF －2||PF =2，解得1||PF =8，2||PF =6，又12||F F =2c =10，∴12PF F ∆是直角三角形，12PF F S ∆=1862⨯⨯=24.故选C ．5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，||PM ≤1||PF +1，||PN ≥2||PF 2-，∴||||PM PN -≤1||PF +1—（2||PF 2-） =1||PF —2||PF +3=2a +3=9.6A 提示：设d 为点P 到准线1y =-的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，||||PA PM +=d －1+||PA =||PA +||PF －1≥||AF －1．故选A ． 7C 提示：设圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆228120x y x +++=的圆心为1(4,0)O -，O '为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则1||||O O O O ''-=(2)(1)r r +-+=1，所以根据双曲线的定义可知．故选C ．2题图8C 提示：设其中一个焦点为(,0)F c ，一条渐近线方程为by x a=，根据题意得||b c 2a ，化简得2b a =，∴ e =c a故选C ．9 B 提示：设2(,)P x x 为抛物线2y x =上任意一点，则点P 到直线的距离为2d =2，∴当1x =时，距离最小，即点P (1,1)．故选B ．10 D 提示：由于22222b c b c bc a a +++⎛⎫= ⎪⎝⎭≤22222b c b c a +++=2，则b c a +， 又b c a +>，则b ca+＞1.故选D ． 11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左．12 D 提示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合抛物线的定义和相关性质，则AB 的中点M 到y 轴的距离为122x x +=||||222p pAF BF -+-=||||2AF BF p +-，显然当AB 过焦点时，其值最小，即为12a －12p ．故选D ．二 填空题13221412x y -= 提示：设双曲线方程为22221x y a b -=，∵2c e a ==，∴2c a =．∵12PF F S ∆=，∴1||PF ×2||PF =48.()22c =21||PF +22||PF -21||PF 2||PF 12cos F PF ∠，解得216c =，∴2a =4，2b =12.14 m p - 提示：根据题意得1212||||||||PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1||PF =，2||PF =12||||PF PF •=m p -．1512 提示：利用抛物线的定义可知4()2p --=174，p =12．16=，a =c =c e a==．三 解答题17解：⑴因为焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴22221254a b c b c a ⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得 8a =，6b =，10c =，∴双曲线的标准方程为2216436x y -=． ⑵设以32y x =±为渐近线的双曲线的标准方程为2249x y λ-=， ① 当0λ>时，，解得94λ=，此时所求的双曲线的标准方程为2218194x y -=； ② 当0λ<时，，解得1λ=-，此时所求的双曲线的标准方程为22194y x -=． 18解：⑴ 因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，∴||PB =||PQ ， ∴||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10；⑵由⑴知||||PA PB +=10（常数），又||||PA PB +=10＞6=||AB ，∴点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=． 19解：⑴∵l ⊥x轴，∴2F ，根据题意得22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩， ∴所求椭圆的方程为：22142x y +=．⑵由⑴可知(0,B ，∴直线2BF的方程为y x =22142y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得点N的纵坐标为3，∴1F BN S ∆=12F F N S ∆+12F BF S ∆=123⨯⨯=83． 20解：⑴设切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又12y x '=， 则切线PA 的方程为：1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-；切线PB 的方程为：2221()2y y x x x -=-，即2212y x x y =-，又因为点(,4)P t -是切线PA 、PB 的交点，∴ 11142x t y -=-， 22142x t y -=-，∴过A 、B 两点的直线方程为142tx y -=-，即1402tx y -+=，∴直线AB 过定点(0,4)．⑵ 由214024tx y x y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，解得2216x tx --=0，∴122x x t +=，1216x x =-．∴OAB S ∆=1214||2x x ⨯⨯-16. 当且仅当0t =时，OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值21解：⑴∵1||PF －2||PF =2a ，1||PF =3|2|PF ，∴1||PF =3a ，2||PF =a ， 由题意得1||PF +2||PF ≥12||F F ，∴4a ≥2c ，∴ca≤2，又因为1e >，∴双曲线离心率e 的取值围为(1,2]．故双曲线离心率的最大值为2.⑵∵12PF PF •=0，∴21||PF +22||PF =24c ，即22104a c =，即2232b a =， 又因为点P 在双曲线上，∴22160902525a b -=1，∴2216060a a -=1， 解得 24a =，26b =，∴所求双曲线方程为；2222x y a b-=1.22解⑴设1P (,)x y ，则由FM MT =得点M 是线段FT 中点，∴(0,)2tM ，则1PM =(,)2t x y --，又因为FT =(2,)t -，1PT =(1,)x t y ---，∵ 1PM ⊥FT ， ∴ 2()02tx t y +-=， ① ∵ 1PT ∥OF ，∴ (1)0()1x t y --•--•=0，即 t y = ② 由 ①和②消去参数得 24y x =．⑵证明：易知(1,0)F 是抛物线24y x =的焦点，由12FP FP λ=，得F 、1P 、2P 三点共线，即1P 2P 为过焦点F 的弦．①当1P 2P 垂直于x 轴时，结论显然成立；② 当1P 2P 不垂直于x 轴时，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，直线1P 2P 的方程为(1)y k x =-，∴24y kx k y x=-⎧⎨=⎩，整理得22222(2)0k x k x k -++=，∴12x x +=2224k k +，12x x =1， ∴1211||||FP FP +=121111x x +++=1212122()1x x x x x x +++++=1.。
椭圆与双曲线综合练习题
椭圆与双曲线综合练习题
本文档旨在提供一些椭圆与双曲线的综合练题，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
题目一
已知椭圆的长轴长度为 6 厘米，短轴长度为 4 厘米，求该椭圆的离心率和焦点坐标。
题目二
一个双曲线的中心位于坐标原点，焦点到原点的距离为 5，焦点所在直线的斜率为 2。
求该双曲线的方程。
题目三
一艘船沿着从双曲线的一个分支切线开始并在另一个分支切线结束的路径上航行。
已知该双曲线的焦点坐标分别为 (-3, 0) 和 (3,
0)，离心率为 2。
如果船沿着该路径行进的距离为 10 单位，求船的
行驶时间。
题目四
已知双曲线的焦点坐标分别为 (-2, 0) 和 (2, 0)，离心率为 3/2。
求该双曲线的方程并计算其近点到两焦点连线的距离。
题目五
已知椭圆的焦点在 y 轴上，且离心率为 1/3。
如果椭圆经过点(2, 1)，求该椭圆的方程。
以上是一些椭圆与双曲线的综合练题，您可以根据相关知识来
计算答案。
希望这些练能够帮助您更好地掌握椭圆与双曲线的应用。
高中数学高考综合复习椭圆与双曲线
高中数学高考综合复习椭圆与双曲线(总30页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络二、高考考点 1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质； 2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求； 3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点(一)椭圆Ⅰ定义与推论1、定义1的的认知设M为椭圆上任意一点，分别为椭圆两焦点，分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系：（解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系：，（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设为椭圆上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：（d1为点M到左准线l1的距离）（d2为点M到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式：Ⅱ标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程①中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程②（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：（2）标准方程①、②统一形式：2、椭圆的几何性质（1）范围：（有界曲线）（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义）（4）离心率：刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点对应的左准线右焦点对应的右准线椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为 .Ⅲ挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程且（2）同离心率的椭圆的方程且2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点，则；或。
椭圆双曲线综合练习题
1．中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是 22sin cos 1x y αα+= ，(0,)2πα∈，则 α∈ （ ）A ．(0,)4π B ．(0,]4π C ．(,)42ππ D ．[,)42ππ2、已知M 是椭圆14922=+yx上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、12 3．椭圆22221(1)x ymm +=- 的焦点在y 轴上，则 （ ）A ．102m << B ．12m >且1m ≠ C ．12m <且0m ≠ D ．0m >且1m ≠4．k 为何值时，直线y=kx+2 和椭圆 22236x y +=相交 （A ．3k >．3k <C ．3k ≥D ．3k ≤5．如右图，椭圆22221(0)x y a b ab+=>> 的离心率 12e = ，左焦点为F ，A 、B 、C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tan B D C ∠的值等于 （ ） A ．．-5D 56.已知双曲线)2a (12yax 222>=-的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B.3 C.362 D.3327、P 是双曲线22xy1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）.A. 6B.7C.8D.9 8．已知P 是以F 1 , F 2为左右焦点的双曲线12222=-by ax 上的一点，若021=∙PF PF ,tan ∠PF 1F 2=2，则此双曲线的离心率为A .553 B .5 C . 3/2 D .29．设12F F ，分别是双曲线2219yx +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且021=∙PF PF ，则12PF PF +=AB．CD．10、若动点(x ,y )在曲线14222=+by x(b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ；(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b (C)442+b； (D) 2b 。
椭圆双曲线共焦点
椭圆双曲线共焦点问题已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2m 2－y 2n2＝1(其中m ＞0，n ＞0)共焦点，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，M 是C 1，C 2的一个交点，θ＝∠F 1ＭF 2，则Ⅰ．|MF 1|＝a ＋m ，|M F 2|＝a －m ； Ⅱ．sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1．【技巧】结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF 1|＝a ＋m ，|M F 2|＝a －m ，找到a ，m ，c 的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后．结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角 ，然后使用结论Ⅱ：sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，可快速到e 12，e 22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值或用柯西不等式．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．1、椭圆与双曲线有公共焦点F 1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )A ．2 3B ． 3C ．2D ．1答案 B 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝3，|AF 2|＝1，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ＝a ＋mc ＝3．故选B ．2、中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝3，若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，则双曲线的离心率e 2的范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 D ．(2，3) 答案 C 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，由题意有，a ＋m ＝2c ，a －m ＝3，所以m ＝2c －a ，又e 2＝c m ＝c 2c －a ＝12－1e 1，因为e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，所以1e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32，所以e 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.3、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2＋1的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(43，＋∞)C ．(65，＋∞)D ．(109，＋∞)答案 B 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，由题意有，a ＋m ＝10，a －m ＝2c ，所以a ＝5＋c ，m ＝5－c ，c ＞52，又e 1e 2＋1＝c 2am ＋1＝c225－c 2＋1＞43．故选B ． 4、F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 是C 1，C 2在第一象限的交点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 1F 2＝π6，则C 1与C 2的离心率之积为( ) A ．2 B ． 3 C ．12 D ．32答案 A 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝3，|AF 2|＝1，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴a ＝3＋12，m ＝3－12，∴e 1e 2＝c 2am＝2．故选A ．5、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为( )A ．37B ．47C ．56D ．910答案 A 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，a －m ＝2c ，cm ＝3，∴c a ＝c m ＋2c ＝37．故选A ．6、已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(13，12)B ．(25，12)C ．(13，25)D ．(12，1)答案 C 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，由题意有，a ＋m ＝10，a －m ＝2c ，所以a ＝5＋c ，m ＝5－c ，因为双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，所以1<c 5－c <2，∴52<c <103，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝c c ＋5＝1－5c ＋5，且13<1－5c ＋5<25，∴该椭圆的离心率的取值范围是(13，25)．7、已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3C ． 6D ． 3答案 A 通解 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ′，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴2a ＝2a ′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c＋c2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A ．秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，a －m＝2c ，∴a ＝m ＋2c ，∴2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2m ＝2m ＋4c c ＋c 2m ＝2m c ＋c2m ＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2m 时取“＝”，故选A ．8、如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的交点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．26答案 A 通解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A ，B 关于原点对称，又AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，故|AF 1|＝|OF 1|＝|OA |＝|OB |＝c ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c2，32c ，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，结合b 2＝a 2－c 2及e ＝c a，整理可得，e 4－8e 2＋4＝0，∵0<e <1，∴e 2＝4－23＝(3－1)2，∴e ＝3－1．同理可求得双曲线的离心率e 1＝3＋1，∴e ＋e 1＝23．秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝1，|AF 2|＝3，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴e ＋e 1＝c a ＋c m ＝c (a ＋m )am＝23．故选A ．9、已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A ．32B ．2C ．52 D ．4答案 B 通解 以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c ，不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ，则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2，所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2，又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2．故选B ． 秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2．故选B ． 10、(2013浙江)已知F 1，F 2为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2的公共焦点，P 为它们的一个公共点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的交点，若四边形AF 1BF 1为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62答案 D 秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2，又e 1＝32，∴e 2＝62，故选D ．11、(2016全国高中数学联赛四川预赛)已知F 1，F 2为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为( )A ．33 B ．32C ．1D ． 3 答案 B 秒杀 由已知θ2＝π6，又由sin2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋3e 22＝4，4＝1e 21＋3e 22＞23e 1e 2，e 1e 2≥32(当且仅当e 2＝3e 1时取等号)，故选B ．12、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2m 2－y 2n2＝1(其中m ＞0，n ＞0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 1，则4e 21＋e 22的最小值是( )A ．52B ．72C ．92D ．112答案 C 秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2，4e 21＋e 22＝12(4e 21＋e 22)(1e 21＋1e 22)＝52＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22e 12＋4e 12e 22≥92 (当且仅当e 22＝2e 21时取等号)，故选C ． 13、(2014湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．433B ．233C ．3D ．2答案 A 秒杀 由已知θ2＝π6，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋3e 22＝4，可利用三角换元1e 1＝2cos θ，3e 2＝2sin θ，则1e 1＋1e 2＝433sin(θ＋φ)≤433．故选A ．14、(2016浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A 通解 由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，∴e 1e 2>1．故选A ． 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b 2tan θ2＝b21tan θ2，即，tan θ2＝1tanθ2，解得θ＝π2．∴1e 21＋1e 22＝2，因为e 1≠e 2，∴2＝1e 21＋1e 22＞2e 1e 2，∴e 1e 2>1．故选A ．15、已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3答案 A 通解 如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4．故选A ．秒杀 由已知θ2＝π3，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得3e 21＋1e 22＝4．故选A ． 16、已知圆锥曲线C 1：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)与C 2：px 2－qy 2＝1(p >0)的公共焦点为F 1，F 2.点M 为C 1，C 2的一个公共点，且满足∠F 1MF 2＝90°，若圆锥曲线C 1的离心率为34，则C 2的离心率为( )A ．92B ．322C ．32D ．54答案 B 通解 C 1：x 21m＋y 21n＝1，C 2：x 21p－y 21q＝1．设a 1＝1m ，a 2＝1p，MF 1＝s ，MF 2＝t ，由椭圆的定义可得s ＋t ＝2a 1，由双曲线的定义可得s －t ＝2a 2，解得s ＝a 1＋a 2，t ＝a 1－a 2，由∠F 1MF 2＝90°，运用勾股定理，可得s 2＋t 2＝4c 2，即为a 21＋a 22＝2c 2，由离心率的公式可得，1e 21＋1e 22＝2，∵e 1＝34，∴e 22＝92，则e 2＝322，故选B ．秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2，∵e 1＝34，∴e 22＝92，则e 2＝322，故选B ．17、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)具有相同焦点F 1，F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若∠F 1PF 2＝π3，则e 21＋e 22的最小值是( )A ．2＋32B ．2＋ 3C ．1＋232D ．2＋34答案 A 通解根据题意，可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，解得|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，根据余弦定理，可知(2c )2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cosπ3，整理得c 2＝a 2＋3m 24，所以e 21＋e 22＝c 2a 2＋c 2m 2＝a 2＋3m 24a 2＋a 2＋3m 24m 2＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2a 2＋a 2m 2≥1＋32＝2＋32(当且仅当a 2＝3m 2时取等号)，故选A ．秒杀 由已知θ2＝π6，又由sin2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋3e 22＝4，e 21＋e 22＝14(e 21＋e 22)(1e 21＋3e 22)＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22e 12＋3e 12e 22≥1＋32＝2＋32(当且仅当e 22＝3e 21时取等号)，故选A ．18、已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝θ，cos θ＝45，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．43B ．103C ．53D ．73 答案 B 秒杀 由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋9e 22＝10，可利用三角换元1e 1＝10cos θ，1e 2＝103sin θ，则1e 1＋1e 2＝103sin(θ＋φ)≤103．故选B ．19、已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 24b 2＝1(其中m ＞2b ＞0)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2b2＝1(其中n ＞0，b ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2≥45B ．m ＞n 且e 1e 2≤45C ．m ＜n 且e 1e 2≥45D ．m ＜n 且e 1e 2≤45答案 A 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b 2tan θ2＝b21tan θ2，即，4tan θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝12．∴1e 21＋4e 22＝5，∴5＝1e 21＋4e 22≥24e 21e 22≥4e 1e 2，∴5≥4e 1e 2，当且仅当2e 1＝e 2时，等号成立．∴e 1e 2≥45．故选A ．20、(2014全国高中数学联赛湖北预赛)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若椭圆的短轴长是和双曲线虚轴长的2倍，则1e 1＋1e 2的最大值为( )A ．4B ．2 3C ．12D ．52答案 D 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b 2tan θ2＝b 21tan θ2，即，4tan θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝12．∴1e 21＋4e 22＝5，可利用三角换元1e 1＝5cos θ，2e 2＝5sin θ，则1e 1＋1e 2＝52sin(θ＋φ)≤52。
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椭圆和双曲线综合练习卷1.其中）的离心率分别为 ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与1大小不确定【答案】B.2. 的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C 设上，直线，由，因为在双曲线上，所以，化简得C ． 3. 已知，若圆与双曲线（ ）ABCD 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当时，圆与双曲线A ． 4. 为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（ ）0>>n m 12e ,e 121e ,e >121e ,e <121e ,e =12e ,e B F F C H P 3FP FH =u u u r u u u rH FH 3FP FH =u u u r u u u r P 22413c a =0,>b a 222b y x =+a b ≥222b y x =+P P PA．B C D．【答案】A 由题意，知，，渐近线方程为，解得，所以点到其A．5. 设点，它们在第一象限交于点，，则双曲线的离心率的取值为（）【答案】B因为，即，B．6.的离心率为（）ABC．2 D【答案】AA.7. 的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆切于菱形，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】C 直线方程为，即，由题意，∵，C．211a=2c=1a=P 21FF、M︒=∠9021MFF2C1e︒=∠9021MFF22212a a c+=12,A A12,B B12,F F12,A A1122F B F B12B F0bx cy bc+-=42310e e-+=1e>8.右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（ ）ABCD【答案】D 易知，所以周长为 9. 若点F 1、F 2分别为椭圆C :的左、右焦点,点P 为椭圆C 上的动点,则∵PF 1F 2的重心G的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C10.l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有（ ）A ．4条B ．3条 C ．2条 D ．无数条 【答案】B ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，，∴，∴直线AB 的长度是4， 综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选B ．11. 在区间和分别取一个数，记为和，的双曲线的概率为（ ） A B C D 12,F F 2F C ,P Q P 1PF Q ∆2(2,0)F PQ x ⊥1ΔPF Q 2y =±[]1,5[]2,6a b【答案】B它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程故选B.12.右焦点分别为，，双曲线的离心率为，若双曲线上一点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B 得，由双曲线定义得B. 13. 已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值围是（）1F2F e P221F P F F⋅u u u u r u u u u r323-2-1,2a c==(1,0)M,A B0MA MB•=u u u r u u u rMA BA•u u u r u u u rAB ．C D【答案】C 设，则，由题意有，所以所以，当时，有最大值，当时，有最小值 C.14. 的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值围是,那么直线斜率的取值围是（）A BCD【答案】B 15. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值围是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C16. 的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则 ）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B最小值为.[1,9]1122(,),(,)A x y B x y 11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r1212(1)(1)0MA MB x x y y •=--+=u u u r u u u r21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y •=--+-=---+-u u u r u u u r2x =-MA BA •u u u r u u u r 9MA BA •u u u r u u u r 12,A A P C 2PA []2,1--1PA P ()221:44C x y ++=()222:41C x y -+=,M N 1517. 过点作直线与双曲线交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（ ） A ．存在一条,且方程为 B ．存在无数条 C ．存在两条,方程为 D ．不存在答案：D18. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是________． 【答案】[2，＋∞)19. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【解析】设，则，所以20. 的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．(1,1)P 2212y x -=210x y --=()210x y ±+=C 1F 2F 12AF F 1AF B 114AF BF =u u u r u u u rC 11||4||=4mAF BF =u u u r u u u r2222222||||||2||||cos6013BF AF AB AF AB m =+-=o u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()()12,0,,0F c F c -,A B ()2224x c y c ++=C x 12//F A F B C【解析】由双曲线定义得，因为，所以，再利用余弦定理得21. 的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.【答案】【解析】由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.22. 上有一点,它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足,设,则该双曲线离心率的取值围为．【解析】设是左焦点，则，，因为，，又，则．又∵，2222,22AF a c BF c a=+=-12//F A F B2112cos cos F F A F F B∠=-∠12F 、F P Q (23)-，1||||PQ PF +72||||21+=PF PF 1||||PQ PF +2||||21++=PF PQ 2,,F P Q 1||||PQ PF +7252||2=+=+QF A B F AF BF ⊥ABF α∠=e 1F 2x y a -=AF BF ⊥2222(2)4x y c c +==22()(2)x y a -=222()xy c a =-2ABF OAFS S ∆∆=222sin 2c a c α-=23. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：∵设A 、B 为两个定点，k 为正常数，，则动点P 的轨迹为椭圆；∵∵方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；∵和定点其中真命题的序号为 _______ 【答案】∵∵【解析】∵中需要对的取值围加以限定；∵∵中方程的两个根分别是∵∵∵. 24. 的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值围为25. 过点A ．B 两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为 ． 【答案】【解析】设，由∵-∵因为点是弦的中点，∵，=，又因为直线过点（1,1），所以直线的方程为，即.26. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，||||PA PB k +=u u u r u u u r02522=+-x x )0,5(A k 2A B F AB M 022≥+•BF MF MA (1,1)M M AB AB 013-94=+y x ),(),,(2221y x B x x A M AB 2,22121=+=+y y x x k M AB013-94=+y xB 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. （1）求椭圆C 的焦距；（2）如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． 解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝ 3 ∵l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∵|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c2＝3c ＝23∵c ＝2 ∵椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝43b 23a ＋b2 ∵y 1，y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2∵∵AF →＝2F 2B →∵－y 1＝2y 2，代入∵∵得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2∵－2y 22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2∵∵2∵得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2(3a 2＋b 2)(a －4) ∵ 又a 2＝b 2＋4 ∵ 由∵∵解得a 2＝9b 2＝5∵椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝127. 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,虚轴长为. （1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点,并求出定点的坐标.【答案】（12试题解析：（1C x 2C :l y kx m =+C ,A B ,A B AB CD l,解得,所以双曲线的标准方程为.（2）设,联立,得,有,,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即,,解得或.当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件,所以直线过定点,定点坐标为. 28. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．（1）数m 的取值围；（2）求∵AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，∵ 设M 为AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2bm 2＋2，222a b c +=2,1a b ==2214x y -=()()1122,,,A x y B x y 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()()222148410k x mkx m ---+=()()()2222122212264161410801441014m k k m mkx x k m x x k ⎧⎪∆=+-+>⎪⎪+=<⎨-⎪⎪-+⎪=>-⎩()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-AB C ()2,0D -1AD BD k k ∴=-g ()()2221212121222212414161,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++---g 22316200m mk k ∴-+=2m k =103km =2m k =l ()2y k x =+()2,0-103k m =l 103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭l 10,03⎛⎫-⎪⎝⎭代入直线方程y ＝mx ＋12 解得b ＝－m 2＋22m 2.∵ 由∵∵得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∵⎝⎛⎭⎫－62，0∵⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设∵AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故∵AOB 面积的最大值为22.29. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，334=FM （1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值围.【答案】(I) ； (II) 22132x y += ；(III) ,⎛-∞ ⎝U . 【解析】(I) 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =， 设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k = (II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=(III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1y t x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得226223(1)x t x -=>+，解得312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ∵当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是2223m x =-，得223,33m ⎛⎫∈ ⎪ ∵当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是2223m x =--，得23,3m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝ 综上，直线OP 的斜率的取值围是23223,,333⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝U 30. 已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （1）求椭圆E 的离心率； （2）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】（I ）32；（II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，学优高考网则原点O 到直线的距离bc d a==，由12d c =，得2a b ==，解得离心率c a =. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |=.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. 从而21282x x b =-.于是12|AB |||x x =-==由|AB |==，解得23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.。