4-4 角动量算符的本征值和本征态
角动量的本征值和本征态
究量子测量和量子态的演化。
在原子和分子物理中的应用
电子轨道角动量
在原子和分子物理中，电子绕原 子核运动的轨道角动量决定了电
子云的形状和取向。
原子光谱
角动量本征值的差异导致原子能级 的分裂，从而形成原子光谱的精细 结构。
分子振动与转动
分子的振动和转动模式与角动量密 切相关，角动量本征值和本征态有 助于理解分子的振动和转动能级。
矩阵对角化法
对于较复杂的系统，可以通过构造角动量算符的矩阵表示，并利用矩阵对角化方法求解本征值和本征态。这种方法适 用于有限维空间中的角动量算符。
微扰法
当系统受到微扰时，可以利用微扰理论求解角动量算符的本征值和本征态。这种方法适用于微扰较小且 基态已知的情况。
本征态的物理意义
01
角动量本征态描述了物体绕某点旋转的量子化状态。不同的本征态对应不同的 旋转状态，具有不同的角动量大小和方向。
角动量的本征值和本 征态
目录
• 引言 • 角动量的本征值 • 角动量的本征态 • 角动量本征值和本征态的应用 • 角动量本征值和本征态的实验研究 • 结论和展望
01
引言
角动量的定义和性质
角动量是一个物体绕着某点旋转时所具有的动量，它是一个矢量，其方向垂直于旋 转平面，大小等于物体的质量与其到旋转中心的距离和角速度的乘积。
在固体物理中的应用
晶体对称性
固体物理中，晶体的对称性与角动量密切相关，角动量本征态可用于描述晶体的对称性质。
磁性与自旋
固体中的磁性现象与电子自旋密切相关，自旋是角动量的一种表现。角动量本征值和本征态在研 究固体磁性时起到重要作用。
能带结构与电子输运
在固体物理中，角动量影响电子在晶体中的运动，从而影响固体的能带结构和电子输运性质。
第一讲算符及其本征值与本征函数
pz z 1 p z ( z ) e 1/ 2 (2)
i
三、算符运算规则及线性厄米算符
一、算符相等：对任意函数Ψ，若 A B ˆB ˆ 则： A ˆ ˆ ˆ ˆ ( A B ) A B 二、算符和与差： ˆB ˆ (B ˆ A ˆ ) 三、算符乘： A 四、线性算符： ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ 成立，则 A ˆ 是线性算符。 若 A 1 2 1 2 • 五、泊松括号与算符对易： • • • • •
2 2 2 2 ˆ ˆ i ˆ U ˆ ˆ ,T E T U ( r ) H ,U (r ) U (r ) t 2m 2m ˆ i i ( i j k ), P ˆ 2 2 2 P x y z ˆ i , P ˆ i , P ˆ i P x x x x x x ˆ xi ˆ yj ˆ zk ˆ xi yj zk r r
ˆ *1 (r )Px 2 (r )d *1 (r )(i x ) 2 (r )d 2 dydz *1 (i ) dx x *1 dydz (i ) *1 2 2 dx x dydz 0 2 (i ) *1 dx x
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。 ˆ 的某一本征 ˆ 的本征方程时，可能得出 A • 当解 A 值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
角动量算符的本征值
角动量算符的本征值高峰;许成科;张登玉;游开明【摘要】量子物理学中,角动量算符是一个十分重要的物理量,可以用它的本征值来表征微观体系的状态.本文根据对易关系,利用较为简便的方法求出任意角动量算符的本征值,并讨论了轨道角动量算符和自旋角动量算符的本征值.【期刊名称】《衡阳师范学院学报》【年(卷),期】2015(036)006【总页数】3页(P43-45)【关键词】角动量算符;对易关系;本征值【作者】高峰;许成科;张登玉;游开明【作者单位】衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院南岳学院,湖南衡阳 421008;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院南岳学院,湖南衡阳 421008;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院南岳学院,湖南衡阳 421008;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002【正文语种】中文【中图分类】O413.1角动量是物理体系的一个重要物理量，它是确定体系状态的物理量之一。
特别是在研究原子问题时，它显得尤为重要，根据原子体系角动量的取值可以确定其状态。
原则上，量子力学可以根据最基本的转动求出角动量算符。
量子力学的一个十分重要的任务就是求解力学量算符的本征方程，从而得出算符的本征值和本征态。
相对于宏观系统而言，微观体系要复杂得多，其角动量除轨道角动量之外，还有自旋角动量。
自旋是微观体系特有的物理现象，不存在经典类比，尽管地球除绕太阳旋转以外也还有自转，但这种自转归根结底还是一种轨道运动。
人们经过研究发现，对于任意的转动，无论是轨道角动量、自旋角动量，还是总角动量、分角动量，其相应的角动量算符都具有一些共同的特点。
例如，任意一种角动量算符^J都满足如下对易关系简记为这是角动量算符最重要的性质，它也可直接作为角动量算符的定义［1］［2］。
一般说来，要想得到力学量算符的本征值和本征态，需要求解该算符的本征方程。
量子力学中的旋转群与角动量代数
量子力学中的旋转群与角动量代数量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而旋转群和角动量代数是量子力学中重要的数学工具。
本文将介绍旋转群和角动量代数在量子力学中的应用，以及它们的基本概念和性质。
旋转群是指在空间中保持距离和角度不变的变换集合。
在量子力学中，旋转群描述了粒子在空间中的旋转对称性。
旋转群的元素可以表示为旋转矩阵，它们作用在量子态上，使其发生旋转变换。
旋转群的性质决定了旋转变换对量子态的影响，从而影响粒子的测量结果。
旋转群的表示理论是描述旋转群作用在量子态上的数学工具。
表示理论将旋转群的元素表示为矩阵形式，使其作用在量子态上。
这些矩阵称为旋转算符，它们描述了旋转变换对量子态的影响。
旋转算符是幺正算符，保持量子态的归一性和内积不变。
旋转群的表示可以通过角动量代数来描述。
角动量代数是一种代数结构，描述了旋转群的对称性。
在量子力学中，角动量代数是描述粒子角动量的数学工具。
角动量代数包括角动量算符的对易关系和升降算符的定义。
角动量算符的对易关系决定了角动量的量子化规律，即角动量的取值只能是一系列离散的值。
角动量代数的基本概念是角动量算符和升降算符。
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用J表示。
角动量算符有三个分量，分别对应于粒子在三个坐标方向上的角动量。
升降算符是改变角动量态的算符，通常用J+和J-表示。
升降算符使角动量态在角动量空间中上升或下降一个单位。
利用角动量代数，可以推导出角动量算符的本征值和本征态。
角动量算符的本征值表示粒子的角动量大小，本征态表示粒子的角动量方向。
角动量算符的本征值是离散的，且满足一定的选择定则。
本征态是旋转群的不可约表示，具有一定的对称性。
角动量代数在量子力学中有广泛的应用。
例如，它可以用来描述电子的自旋角动量。
自旋角动量是电子固有的角动量，不依赖于电子的运动状态。
自旋角动量的本征值可以解释电子在磁场中的行为，例如朗德因子和塞曼效应。
另外，角动量代数还可以用来描述多电子系统的角动量耦合和分裂。
⑴动量算符的本征值。其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征....
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
高等量子力学 角动量的本征值和本征态
s in
x
方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
值增加 。
又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值. 即： J±|a,b> = c±|a,b> ， c±由归一化条件确定。
三、J2与Jz的本征值
由于
J
2
JБайду номын сангаас
2 z
J
2 x
J
2 y
，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的
期待值为实数，故 a-b2≥0 对给定a, b有上限bmax
和下限bmin,且J+|a,bmax>=0, J-|a,bmin>=0.
D(R)=
,
六、转动算符表示的一般性质
1.由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群
a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），
c)乘积
也是成员，其中
乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。
2. 幺正性： v
v
*
D D R1 mm
jm eiJnˆ h jm
jm eiJnˆ h jm
十一、密度算符与量子统计力学
为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
求一般算符函数的矩阵元方法：
f ( A) U Uf ( A)U U U f (UAU )U
其中：(UAU )ij ij (UAU )ii; [ f (UAU )]ij ij f ((UAU )ii )
算符的本征值与本征态
算符的本征值与本征态算符是量子力学中非常重要的概念之一，用于描述物理量的性质和测量结果。
在量子力学中，算符的本征值与本征态是非常有用的工具，它们可以帮助我们理解和计算系统的物理性质。
本文将介绍算符的本征值与本征态的概念及其在量子力学中的应用。
一、算符的本征值和本征态的定义在量子力学中，算符用来描述测量物理量的操作。
一个算符作用于一个波函数上，会得到一个新的波函数或者一个数值结果。
当算符作用于一个波函数时，如果结果等于原波函数乘以一个常数，这个常数就是算符的本征值，而原波函数就是算符的本征态。
根据量子力学的原理，每个物理量都有对应的算符。
例如，位置算符描述了粒子在空间中的位置，动量算符描述了粒子的动量，能量算符描述了粒子的能量等。
这些算符都有自己的本征值和本征态。
二、算符的本征值与本征态的性质算符的本征值和本征态具有一些重要的性质。
首先，算符的本征值只能取实数或复数。
其次，算符的本征值可以是离散的或连续的。
对于离散的本征值，我们称其为离散谱；对于连续的本征值，我们称其为连续谱。
算符的本征态具有归一化的性质，即本征态的模长平方等于1。
本征态之间也可以进行线性组合，得到新的波函数，这些新的波函数也是算符的本征态。
因此，本征态构成了一个完备的正交基。
三、算符的本征值与本征态的应用算符的本征值与本征态在量子力学中有广泛的应用。
首先，它们用于描述系统的物理性质。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的所有本征值和本征态，从而了解系统的能级以及相应的波函数形式。
其次，算符的本征值与本征态用于描述量子测量的结果。
当我们对一个物理量进行测量时，测量结果就是算符的某个本征值，而物理系统处于相应的本征态。
算符的本征值与本征态还可以用于计算系统的平均值和方差。
平均值描述了物理量的期望值，而方差描述了测量结果的离散程度。
此外，算符的本征值与本征态在量子力学中的对易性质也是非常重要的。
通过研究不同算符的对易关系，我们可以推导出一些重要的定理，如不确定性原理等。
9.2 角动量的本征值与本征态
（23）
9.2 角动量的本征值与本征态
2
j j j j jz
2 2 z
9.2 角动量的本征值与本征态
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 以下分几步进行.
2 j （a） 对对Biblioteka 式 , j 0 取矩阵元
' m' j 2 j j j 2 m 0
计算得到
' ' m'
j m 0
即矩阵元对于总角动量是对角的
' m' j m ' m' j m
（b）对对易式 [ jz , j ] j 取矩阵元
9.2 角动量的本征值与本征态
（11）
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 得到
m ' jz j j jz m m ' j m
所以
m j, j 1,, j 1, j
这样角动量本征态写为
9.2 角动量的本征值与本征态
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
j 2 jm j( j 1) jm , jz jm m jm
(20)
（d） j , jx , j y 的矩阵元.利用式（11）、（13） 和（16），可得出 jm 1 j jm exp(i ) ( j m)( j m 1) (21)
m j m 1
2
（13）
m+1 j m
2
2m
9.2 角动量的本征值与本征态
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 上式化为
m1 m 2m
此式有解
2 m C m(m+1) 0
2
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
动量算符和角动量算符
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
exp⎢⎣⎡
i h
( px
−
px′ )⎥⎦⎤dx
=
2πhδ
( px
−
px′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
(py
−
p y′ )⎥⎦⎤dy
=
2πhδ
(
py
−
py′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
( pz
−
pz′ )⎥⎦⎤dz
=
2πhδ ( pz
−
pz′ )
式中 δ ( px − p′x ) 是以 px − p′x 为宗量的 δ 函数，故有
§3.2 动量算符和角动量算符 1．动量算符和本征方程 1). 动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
∂ ∂x
−
x
∂ )
∂z
lˆz
=
xpˆ y
−
什么是量子力学的角动量和自旋
什么是量子力学的角动量和自旋？量子力学中的角动量和自旋是描述粒子旋转和自旋性质的重要概念。
下面我将详细解释角动量和自旋，并介绍它们的特性和相互关系。
1. 角动量:在经典力学中，角动量是描述物体旋转的物理量，由角速度和惯性矩阵相乘得到。
在量子力学中，角动量是描述粒子旋转的量子性质。
量子力学中的角动量由角动量算符表示，通常记作L。
角动量算符是量子力学中的一个观察算符，它与粒子的旋转和角动量相关。
角动量算符具有一系列重要的性质，包括：-角动量算符是一个矢量算符，它有三个分量：Lx、Ly和Lz。
这些分量对应于粒子在三个不同方向上的角动量。
-角动量算符满足角动量代数，即它们之间存在一组对易关系。
这些对易关系决定了角动量算符的本征值和本征态之间的关系。
-角动量算符的本征值是量子力学中的角动量量子数，通常用l表示。
角动量量子数可以取整数或半整数，分别对应于不同的粒子类型。
-角动量算符的本征态是球谐函数，它们描述了粒子在不同方向上的角动量分布。
2. 自旋:自旋是量子力学中描述粒子内禀自旋性质的概念。
自旋可以看作是粒子固有的旋转，与粒子的轨道运动无关。
自旋由自旋算符表示，通常记作S。
自旋算符是量子力学中的一个观察算符，它与粒子的自旋和自旋角动量相关。
自旋算符具有一系列重要的性质，包括：-自旋算符是一个矢量算符，它有三个分量：Sx、Sy和Sz。
这些分量对应于粒子在三个不同方向上的自旋角动量。
-自旋算符满足自旋代数，即它们之间存在一组对易关系。
这些对易关系决定了自旋算符的本征值和本征态之间的关系。
-自旋算符的本征值是量子力学中的自旋量子数，通常用s表示。
自旋量子数可以取整数或半整数，分别对应于不同的粒子类型。
-自旋算符的本征态是自旋函数，它们描述了粒子在不同方向上的自旋分布。
角动量和自旋是量子力学中描述粒子旋转和自旋性质的重要概念。
它们在原子物理、凝聚态物理和粒子物理等领域发挥着重要的作用。
通过研究角动量和自旋，我们可以更好地理解和描述量子体系的旋转行为和内禀性质。
量子力学中的算符与本征值
量子力学中的算符与本征值量子力学是一门具有浓厚抽象性和深远影响的科学学科，而算符与本征值则是它的核心概念之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨算符与本征值在量子力学中的重要性和应用。
量子力学中的算符是用来描述物理量的数学运算符号，通常用字母表示，如动量算符p、位置算符x、能量算符H等。
这些算符与经典力学中的物理量类似，但它们的性质和运用有着本质的不同。
在量子力学中，算符具有两个重要的特性：线性性和非对易性。
线性性意味着一个算符作用于多个态的叠加态时，其结果等于对每个态作用后的叠加；非对易性则表明两个算符的乘积与它们的顺序有关。
量子力学的核心理论是薛定谔方程，它描述了体系的波函数在时间和空间上的演化规律。
在解薛定谔方程的过程中，算符与本征值的重要性得以彰显。
我们知道，算符作用于波函数可以得到一组数，这些数便是算符的本征值。
而与之对应的，是一组与本征值对应的本征态，它们是算符在某个特定本征值下的特殊解。
本征值和本征态的组合构成了量子力学的基本框架。
算符与本征值不仅仅是量子力学的数学形式，更具有实际的物理意义。
我们以动量算符p为例来说明。
当动量算符作用于某个波函数时，它会得到一个数，这个数便是动量算符的本征值。
然而，本征值本身并没有很大的意义，更重要的是与之对应的本征态。
本征态描述了体系的物理状态，通过对本征态的展开，我们可以得到某个动量本征值下的概率分布。
这使得我们能够研究粒子的运动规律和性质。
除了描述物理量，算符还可以描述物理过程中的变换。
我们以位置算符x为例。
当位置算符作用于一个波函数时，它将会使波函数发生平移。
这个平移的大小正好等于位置算符的本征值。
因此，通过位置算符，我们可以研究粒子运动的轨迹与位置分布。
而对于一些对称性问题，如空间反演对称性和时间反演对称性等，我们可以利用相应的算符来描述相应的变换关系。
算符与本征值的重要性和广泛应用不仅限于基本的量子力学理论，还涉及到其他领域的研究。
在固体物理和材料科学中，电子结构的计算和分析通常涉及到算符的代数运算和本征值的求解。
角动量算符的矩阵表示
角动量算符的矩阵表示1.引言1.1 概述角动量是量子力学中一个重要的物理量，描述了旋转对称性在系统中的表现。
它不仅在原子物理和分子物理中具有重要的应用，也在凝聚态物理、高能物理和相对论性量子力学等领域发挥着关键的作用。
本文旨在探讨角动量算符的矩阵表示，即将角动量算符以矩阵的形式进行表述。
矩阵表示是量子力学中一种常用的数学工具，通过将物理量抽象为矩阵，可以简化计算过程，并提供了更直观的物理图像。
在文章的正文部分，我们将首先介绍角动量算符的定义，探讨它是如何描述旋转对称性的。
随后，我们将详细讨论角动量算符的一些基本性质，包括它们的代数关系和守恒性质。
这些性质将为后面的矩阵表示提供基础。
在结论部分，我们将强调矩阵表示的重要性，并详细讨论角动量算符的矩阵表示方法。
通过将角动量算符表示为矩阵，我们可以更方便地进行计算，并直观地理解角动量的物理含义。
此外，矩阵表示还可以与实验结果进行比较，从而验证理论模型的准确性。
总之，本文将通过深入探讨角动量算符的矩阵表示，帮助读者进一步理解角动量的概念和性质。
我们相信，通过本文的阅读，读者将能够更加深入地了解量子力学中角动量的重要意义，以及矩阵表示在物理理论研究中的应用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行简要介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的了解。
以下是一种可能的写作方式:2. 正文2.1 角动量算符的定义本节将介绍角动量算符的基本定义和物理意义。
首先，我们将回顾经典力学中关于角动量的定义，并引出量子力学中对角动量的量子化要求。
然后，我们将介绍角动量算符的数学表达以及其与经典角动量的对应关系。
最后，我们将讨论角动量算符在量子力学中的重要性和应用。
2.2 角动量算符的性质本节将详细介绍角动量算符的一些基本性质。
首先，我们将讨论角动量算符的对易关系以及其对应的物理意义。
接着，我们将介绍角动量算符的升降算符，它们可以将角动量量子数增加或减少一个单位。
动量算符角动量算符
i ( r ) p ( r ) ( 1 ) p p
函数。
p 是动量算符的本征值， p ( r ) 是属于此本征值的本征
分量式：
i p ( r ) p x p ( r ) x i p ( r ) p y p ( r ) y i p ( r ) p z p ( r ) z
它们的解是
i ( r ) C e x p (p r ) ( 2 ) p
本征值 ( 可取所有实数，构成连续谱。 ppp ,y ,z ) p x
２、动量本征函数的归一化
i 求归一化常数 C ？ ( r ) C e x p ( pr ) p
() r () r d 计算积分： p p 2
可得
ˆ Lx i (sin ctg cos ) ˆ Ly i (cos ctg sin ) (16) ˆ Lz i x
y
和
2 2 2 ˆ L ( 1 7 ) z 2
N Pl (cos ) 是缔合勒让德多项式，
m
lm
是归一化常数。
N
lm
由 Ylm ( , ) 的归一化条件定出：
Y ( , ) Y ( , )s in d d 1 ( 2 2 ) l m l m
2
0 0
( lm ) !2 l 1 得 N ( 2 3 ) l m ( lm ) !4
即 r ) ( rd ) ( p p ) ( 3 ) ( p p
( r ) p 其中 3 ( 2 )2 为什么 p ( r ) 不能归一化为1，而是归一化为 函数： 这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。
角动量算符的本征值和本征函数
角动量算符的本征值和本征函数角动量算符是量子力学中非常重要的一个概念，它描述了粒子的旋转运动。
而角动量算符的本征值和本征函数则是解决角动量问题的基础。
我们来了解一下角动量算符的定义。
在量子力学中，角动量算符是用来描述粒子围绕一个固定点旋转的运动的。
它是一个矢量算符，通常用符号$\hat{L}$表示。
角动量算符可以被分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两种类型。
轨道角动量算符$\hat{L}$描述的是粒子在绕某个点旋转时的运动，而自旋角动量算符$\hat{S}$描述的是粒子自身固有的旋转运动。
接下来，我们来了解一下角动量算符的本征值和本征函数。
本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。
本征值是指在某个特定的状态下，测量角动量算符所得到的结果。
而本征函数则是指在这个状态下，角动量算符作用于某个量子态所得到的结果。
对于轨道角动量算符$\hat{L}$来说，它的本征值为$L(L+1)\hbar^2$，其中$L$为量子数，$\hbar$为普朗克常数除以$2\pi$。
轨道角动量算符的本征函数是球谐函数，它们描述的是粒子在三维空间中的运动。
对于自旋角动量算符$\hat{S}$来说，它的本征值为$s(s+1)\hbar^2$，其中$s$为自旋量子数。
自旋角动量算符的本征函数是自旋函数，它们描述的是粒子自身固有的旋转运动。
在物理学中，我们经常需要计算多个角动量算符的本征值和本征函数。
这时候，我们可以使用CG系数来计算。
CG系数是一组复数系数，它们描述的是两个角动量算符的本征函数之间的关系。
角动量算符的本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。
我们可以使用它们来计算粒子的旋转运动，以及多个角动量算符之间的关系。
在量子力学中，角动量算符的本征值和本征函数是非常重要的概念，对于我们理解粒子的旋转运动和量子力学的基础理论都有着重要的作用。
9.2 角动量的本征值与本征态
由此得到
m m 1 j m 0, m1 m 1 j m 0
9.2 角动量版) 所以
2
m C m m 1 0
m1 C m 1 m 1 1 0
2
计算得到
m m
所以
m j, j 1,, j 1, j
这样角动量本征态写为
9.2 角动量的本征值与本征态
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
j 2 jm j( j 1) jm , jz jm m jm
(20)
（d） j , jx , j y 的矩阵元.利用式（11）、（13） 和（16），可得出 jm 1 j jm exp(i ) ( j m)( j m 1) (21)
m j j j j m 2 m jz m
由矩阵元选择规则（12），只有以下矩阵元有贡献：
m j m 1 m 1 j m m j m 1 m 1 j m 2m
再利用 j = j
，可知
令 可得
m 1 j m m j m 1
m m 1 j m m j m 1
[j , j ] j j j j 2jz
[ j , j ] j j + j j 2 j 2 - jz2
（6 ） （7 ）
（8 ） （9）
（10）
由 于
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
Y00
Y10
1 , 4
3 sin e i . 8
3 cos , 1 4
3 ˆ, Y1,1 z 4
3 x y z ˆ iy ˆ) x ˆ, y ˆ, z ˆ , , ，所以 (x 8 r r r 1 3 i 3 3 ˆ, Y1 y ˆ , Y1z Y10 ˆ. Y1x (Y1,1 Y1,1 ) x (Y1,1 Y1,1 ) y z 4 4 4 2 2 ˆ r / r 的 3 个分量。 这表明，3 个 1 阶球谐函数实际上就是单位矢径 r
注意到 Y1m (m 0, 1) 也可以写为 Y10 4.4.4 球谐函数的基本性质
ˆ 的同时本征函数： (1) Ylm ( , ) 是 L 和 L z
2
3
L2Ylm l (l 1) 2 Ylm , (l 0, 1, 2, ) ˆ (m l , l 1, , l ) Lz Ylm m Ylm .
§ 4.4 角动量算符的本征值和本征态
4.4.1 角动量算符的球坐标表示 轨道角动量算符的定义是：
ˆ ˆ ˆ Lr p i r ,
即是
ˆ i y z , L ˆ i z x , L ˆ i x y , L x y z y z x x z y
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
其中
r [0, ), [0, ], [0, 2 ),
那么，
ˆ z i , L
1 2 . 2 2 sin ˆ 的表达式。 ˆ 和L 注意：它们与 r 无关。目前暂时用不到 L L2
4
2
1 sin sin
x
y
ˆ 的本征值和本征函数 4.4.2 L z ˆ 记 L 的本征值为 m ，本征函数为 m ( ) ，则本征方程是：
z
ˆ m , L z m m
即是：
d m i m m ( ), d
所以 m ( ) C e 所以
ˆ ,L ˆ ,L ˆ 之中的某一个，通常选为 L ˆ 。我们的任务是求解 L 和 L ˆ 所以，这些算符的完备集是 L 以及 L x y z z z
2
2
的同时本征方程（注意：这和动量算符的情况完全不同） 。 这些方程更便于从直角坐标系 (x, y, z) 转入球坐标系 (r , , ) 求解。这个变换是
i m
。由波函数的单值性，必须有：
m ( 2 ) m ( ),
m 0, 1, 2,
归一化条件
2
0
m ( ) d 1 导致 C 1/ 2 ，所以
1
2
m ( )
这些本征函数可以用于求解平面转子问题。
1 i m e . 2
1
注。这里出现了量子数 m (整数集)的情形，其数学原因是圆周 S 的第一同伦群是 ，所以 m 在 本质上是一个拓扑量子数，数学上称为第一 Chern（陈省身）数，物理上称为绕数(winding number)。 4.4.3 L 的本征值和本征函数
1 1 2wx x
头三阶 Legendre 多项式是
2
Pl ( w) xl . (0 x 1, 1 w 1)
l 0
P0 (w) 1, P 1 ( w) w, 1 P2 ( w) (3w2 1). 2
2
连带 Legendre 方程的解 Pl ( w) 称为连带 Legendre 函数，定义为
我们把对应的解记为 Pl ( w) ，所以 Pl ( w) 满足方程
m d m2 m 2 dP l (1 w ) l ( l 1) Pl ( w) 0. dw dw 1 w2
m m
特别是，当 m 0 时， Pl ( w) Pl
其中 ijk 是“完全反对称三阶单位张量” ，它的非零分量是
123 231 312 321 213 132 1,
此外定义
ˆ 2L ˆ 2L ˆ 2, L2 L 2 L x y z
那么就有
ˆ ] [ L2 , L ˆ ] [ L2 , L ˆ ] 0. [ L2 , L x y z
(3) 空间反射变换 r
Ylm ( , )Ylm ( , ) d l l mm.
Ylm ( , ) (1) l Ylm ( , ) ,
所以， Ylm ( , ) 的宇称是 ( 1) l 。 (4) 球谐函数 Ylm ( , ) 是单位球面（ r 1 ）上的完备函数系，也就是说，以 ( , ) 为变量的任何 函数都可以展开为 Ylm ( , ) 的线性组合。 在经典力学里动量和角动量都是矢量，二者的区别只是动量是极矢量而角动量是轴矢量。但是在量 子力学里动量和角动量的区别要大得多。请思考一下这些区别都有哪些？
Y ( , ) P( )ei m ,
因而 P( ) 满足：
1 d dP m2 P( ) P( ). sin sin d d sin 2
通常引入 则方程成为：
w cos , w [1, 1],
d m2 2 dP P( w) 0. (1 w ) dw dw 1 w2 这个方程称为连带(associated)（又称缔合）勒让德(Legendre)方程。 w 1 是这个方程的奇点，所以， 除非 取某些特定值，方程的解会在 w 1 处变成无穷大。 的这些允许值是： l (l 1), l m , m 1,
1 1 0 1 P 1 (cos ) sin , P 1 (cos ) cos , P 1 ( w) sin . 2
综上所述，轨道角动量的本征函数是
m i m Ylm ( , ) Nlm P , l (cos )e
其中本征值 l , m 的取值范围是
Pl m ( w) (1)m (l m)! m Pl ( w). (l m)!
1 1 w2 , 2
例如 P 1 ( w) (m 1, 0, 1) 是
m
1 2 0 1 P 1 ( w) 1 w , P 1 ( w) w, P 1 ( w)
换为变量 的表达式就是
m0
( w) 满足：
dP d (1 w2 ) l l (l 1) Pl ( w) 0. dw dw 这个方程称为 Legendre 方程，它的解 Pl ( w) 是 w 的 l 阶多项式，称为 Legendre 多项式，定义为
1 dl Pl ( w) l ( w2 1) l . l 2 l! dw 直接求导就不难验证 Pl ( w) 满足 Legendre 方程。 Pl ( w) 还有如下的母函数（生成函数）展开式：
m
Pl m ( w)
事实上，在 m 0 的时候，
l m 1 2 m/2 d (1 w ) ( w2 1)l . (m l , l 1, 2l l ! dwl m
, l)
Pl m ( w) (1 w2 )m / 2
而P l
m
dm Pl ( w), dwm
( w) 和 Pl m ( w) 只有常数因子的差别：
l 0, 1, 2 , m l , l 1,
, l.
N lm 是归一化常数，使
Ylm ( , ) Ylm ( , ) d 1,
(d sin d d )
结果是（关于 N lm 的相位的选择以后再解释）
Nlm (1)m
最后得
(2l 1) (l m)! , 4 (l m)!
(2) Ylm ( , ) 是正交归一的：
r ( x x, y y, z z ) 在球坐标系 ( r, , ) 中成为 r r, , . m l m m 当 时 w w ，利用 P P l ( w) (1) l ( w) 和 Ylm ( , ) 的表达式，不难发现
2
L2 的本征函数是 ( , ) 的函数，记为 Y ( , ) ，本征值记为
2
，则本征方程是
L2 Y
即是
2
Y,
1 Y 1 2Y sin Y ( , ). sin sin 2 2
ˆ 的本征函数，这个要求等价于 Y ( , ) 是一个分离变量的解，也就是 我们要求 Y ( , ) 同时是 L z
Ylm ( , ) (1)m
(2l 1) (l m)! m Pl (cos )ei m . 4 (l m)!
Ylm ( , ) 称为球谐函数，l 称为角量子数，m 称为磁量子数。采用原子物理的术语，l 0,1, 2,3 的 状态分别称为 S, P, D, F 态， l 4,5,6, 的状态按字母表的顺序依次称为 G, H, I, 态。对于指定的 l ，
它们满足对易关系
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L x y z y z x z x y
或简记为
ˆ,L ˆ ]i L ˆ [L i j ijk k , (i, j , k x, y, z 1, 2, 3)