2412垂直于弦的直径(1)

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2412垂直于弦的直径精选练习题及答案

、课前预习(5 分钟训练)1. __________________________________________________________________________________________如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24 -1-2-32. __________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ .3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2) 平分弦的直径垂直于弦.4. __________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于________________________________ .二、课中强化(10 分钟训练)1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是.2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2，在⊙ O中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ .3. ____________________________________________________________________________ 在图24-1-2-3 中，弦AB 的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙ O的半径R= ___________________________________ cm.三、课后巩固(30 分钟训练)1. 如图24-1-2-5,⊙ O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙ O于B、C,则BC等于( )33 D.垂直于弦的直径4.如图24-1-2-4 所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦B.3 3C.3 2AB 的距离为图24-1-2-5 图24-1-2-62图24-1-2-5 图24-1-2-6A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm6.如图 24-1-2-9 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点 A 、 B 、C.3.⊙O 半径为 10，弦 AB=12 ， CD=16 ，且 AB ∥CD.求 AB 与 CD 之间的距离 .4. 如图 24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为 3 m ，静止时的秋千踏板 (大小忽略不计 )距地面 0.5 m. 秋千向两边摆动时，若最大摆角 (摆角指秋千链子与铅垂线的夹角 )约为 60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图 24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞 ”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1)已于今年 5月 12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图22 米，如图 (2), 那么这个圆拱所在圆的直径为 __24-1-2-8(1). 最高的圆拱的跨度为 110 米，拱高为___ 米.图 24-1-2-8(1) 用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O；( 保留作图痕迹，不写作法(2)设△ ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.4．(开放题) AB 是⊙O 的直径，AC、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16 ，AC=8 ，AD=8 ，求∠ DAC 的度数．.4. 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长图24-1-2-2 图24 -1-2-3参考答案一、课前预习（5 分钟训练）1. __________________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD 、AE=BE 、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2. _________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ .思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：4 3 cm3. 判断正误.（1）直径是圆的对称轴; （2）平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4. ___________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于_ __________________________________ .思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△ BCO 是等边三角形.答案:6二、课中强化（10 分钟训练）1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是.思路解析：根据圆的轴对称性回答. 答案：直径所在的直线2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2，在⊙ O中，直径MN垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ .图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路解析：由垂径定理回答 .答案： OM=ON ， AC=BC 弧 AM= 弧 BM3. ____________________________________________________________________________ 在图 24-1-2-3 中，弦 AB 的长为 24 cm ，弦心距 OC=5 cm ，则⊙ O 的半径 R= __________________________________ cm.思路解析：连结 AO ，得 Rt △ AOC ，然后由勾股定理得出 . 答案： 134.如图 24-1-2-4 所示，直径为 10 cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长 .图 24-1-2-4思路分析：利用 “圆的对称性 ”：垂直于弦的直径平分这条弦 .1由 OM ⊥AB 可得 OM 平分 AB ，即 AM= AB. 连结半径 OA 后可构造 Rt △，利用勾股定理求解2解：连结 OA. ∵OM ⊥AB ， ∴ AM= 1 AB.2∵OA= 1 ×10=5， OM =4，2∴ AM= OA 2OM 2=3.∴ AB=2AM=6(cm).三、课后巩固 (30 分钟训练 )1.如图 24-1-2-5,⊙ O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心 ,OA 的长为半径画弧交⊙ O 于 B 、C,则BC 等于( )思路解析：连结 AB 、BO ，由题意知： AB=AO=OB ，所以△ AOB 为等边三角形 .AO 垂直平分 BC, 所以BC=2× 3 3=3 3.2答案： BB.3 332 C.2图 24-1-2-52. 如图24-1-2-6，AB 是⊙ O的弦，半径OC⊥AB 于点D，且AB=8 cm ，OC=5 cm，则OD 的长是( )思路解析：因为AB 是⊙ O的弦，半径OC⊥AB 于点D，且AB=8 cm ，OC=5 cm，连结OA，在Rt△ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A3. ⊙ O半径为10，弦AB=12 ，CD=16 ，且AB∥CD.求AB 与CD之间的距离. 思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O的两侧时，如图(1)所示. 作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA 、OC.∵AB∥CD，GH⊥AB ，∴GH⊥ CD.∵ OG⊥ AB ，AB=12 ，∴ AG= 1 AB=6.21同理,CH= CD=8.2∴Rt△AOG 中，OG= OA2AG2=8.Rt△COH中，OH= OC2CH2=6.∴ GH=OG ＋OH=14.(2) 当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示.GH=OG - OH=8-6=2.4. 如图24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m. 秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路分析：设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点 A 、B 的铅垂线分别为 AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过 B 作BC ⊥AD 于点 C.解直角三角形即可 . 解：设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于别为 AD 、BE ，点 D 、E 在地面上，过 B 作BC ⊥AD 于点 C.如图.在 Rt △ABC 中，∵ AB=3 ，∠ CAB=60° ，1∴ AC=3× =（ m ）2∴ CD=3+ （ m ） . ∴ BE=CD=2 （ m ）答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 2 m.日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图 24-1-2-8（1）. 最高的圆拱的跨度为 110 米，拱高为22 米，如图（2）, 那么这个圆拱所在圆的直径为 __________ 米.思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便连结 OC.设圆拱的半径为 R 米，则 OF=（R － 22）（米） .11∵OE ⊥CD ，∴ CF= CD= ×110=55（米） .22根据勾股定理，得 OC 2=CF 2＋ OF 2，即 R 2=552＋（ R － 22） 2. 解这个方程，得 R=（米） .所以这个圆拱所在圆的直径是 ×2=（米） . 答案:6.如图 24-1-2-9 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点B 处 .过点 A 、B 的铅垂线分5. “五段彩虹展翅飞 ”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8（1）已于今年 5月12A 、B 、 C.图 24-1-2-8（1）用尺规作图法，找出弧 BAC 所在圆的圆心 O ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ ABC 为等腰三角形，底边 BC=10 cm ，腰 AB=6 cm ，求圆片的半径 R ；（结果保留根号）（3）若在（2）题中的 R 满足 n <R <m （m 、n 为正整数），试估算 m 和 n 的值.思路分析：（1）作 AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心 O ；（2）已知 BC 和 AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（ 3）根据半径的值确定 m 、n 的值 .（1）作法：作 AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心 O.12）解 :连结 AO 交 BC 于 E ，再连结 BO.∵AB=AC ，∴ AB=AC. ∴AE ⊥BC.∴BE= BC=5.2在 Rt △ABE 中，AE= AB 2BE 2= 36 25= 11 .∴ 5< R < 6.∵ n <R <m ，∴ m=6， n=5.7.⊙ O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 长的取值范围 . 思路分析：求出 OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理 .该题创新点在于把线段 OP 看作是一个变量，在动态中确定 OP 的最大值和最小值 .事实上只需作 OM ⊥AB ，求得 OM 即可.在 Rt △OBE 中， R 2=52＋（R- 11 ） 2，解得18R=（ cm ）113）解 :∵ 5<18189 =6，11 解：如图，作OM ⊥AB 于M，连结OB，则BM= AB= ×8=4.22在Rt△OMB 中，OM OB2BM2= 5242=3.当P与M 重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.。

人教版九年级数学上册课件：24.1.2 垂直于弦的直径课件1

实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明它吗？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
证明：（见课本81页）
从刚才的探究可知直径CD垂 C
直于弦AB,可得：
AE＝BE， AC=BC AD=BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分
且平分弦所对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定
理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
作业：习题24.1（89页） 2题；《新学案》“基础关”必做； “能力关” 选做.
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4 22
O·
在Rt△AOE中，
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
一位）你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线A OB C，D为垂足，OC与弧 AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37 m，CD=7.23 m，
AD
弦，并且平分弦所对的两条弧．
A
·O
E B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
D
直于弦，并且平分弦所对的两条弧．由① CD是直径可推得 ② CD⊥AB

2023-2024人教版九年级数学上册2412垂直于弦的直径pptx

A
AB=37，CD=7.23，
所以 AD=
1
1
AB= 2 ×37=18.5，
2
B
D
OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
R
O
24.1.2 垂直于弦的直径
解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D，
1
1
∴ AD AB 8 4 (cm).
2
2
设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾
股定理，得
x2 =
42 +
(x-
2)2，
结论：(
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
弦长

)2 +弦心距2 =半径2 A
①④
②③⑤
①⑤
②③④
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对
的另一条弧
②③
①④⑤
弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④
①③⑤
②⑤
①③④
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和
所对的另一条弧
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并
二、垂径定理及其推论
如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 E.你能发现图中有
哪些相等的线段和弧?
C
线段：AE = BE

人教版九年级上册数学2412垂直于弦的直径课件1共19张

二、自主探究
1.在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？试用文字
一）直线CD是AB对称轴，点A与点B关于直线CD对称，点C,D 在对称轴CD上，即圆是轴对称图形。
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，弧AD 与弧BD重合. 弧AC 与弧BC重合
∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC AE=BE
归纳垂径定理：
垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．
C
且平分弦所对的两条弧，如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，
·O
且CD⊥AB
求证:AE=BE 且
⌒⌒ AD=BD
⌒ AC
⌒ =BC
A
E
B
D
分析：只要证明圆上任一点关于直径所在的直线（对称轴）的
对称点也在圆上，就证明了圆是轴对称图形。
证明：连接OA，OB，则OA=OB CD⊥AB ∴ AE=BE（三线合
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得 R≈27.9（m）
O
你还有其它方法吗？
∴赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m．
方法一：设点C为弧AB的中点，连接OC交 AB于点D 由垂径定理推论：

垂直于弦的直径

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒
⑤⌒ AD=BD.
垂径定理
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. C 符号语言
●
O
条件： ∵ CD是直径
B 结论： ∴AE=BE
A
E└ D
CD⊥AB（弦AB） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC AD= BD
看一看：哪些图形可以用垂径定理
找出等量关系?
1
2
3
4
A
●
O
C D
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作ADB (用三个字母).
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
●
O
A
E└
D
B
沿直线CD对折，你能发现图中有哪些相等的线段或弧? 与同伴说说你的想法和理由.
③AE=BE,
可推得
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
பைடு நூலகம்
5
6
例1 ：如图，已知在⊙O中，弦AB
圆心 OAB 到， AB的距离为 3厘米的长为8厘米， OE⊥ OE=3厘米
求⊙O的半径。计算：见垂径、连半径、想勾股
A
└
E
.
B
O
例2：已知：如图，在以O为圆心的
两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点， OE⊥AB于E。求证：AC＝BD 证明：作垂直（弦心距）
A
O E┓
.
C
D
B
1.判断对错:弦的垂直平分线是圆的直径。（ 2. 如图所示：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，那么下列结论错误的是（ D ） ⌒ ⌒ A CE=DE B BC= BD

人教版九年级数学上册2412垂直于弦的直径课件16张

可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径 CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2）
F D
O
?3.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=?60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施 )
4．如图，在⊙ O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于 D，OE⊥ AC于 E，求证四边形 ADOE是正方形．
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD ? 1 AB ? 1 ? 37 .4 ? 18 .7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
24.1.2垂直于弦的直径
赵州石拱桥
?1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4m
7.2m
A
C究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
⑴d + h = r