2412垂直于弦的直径(1)

A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
A
C
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D
E
O·
B
3、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为 10cm,OE=6cm,则AB= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB A E B
∴ AE OA 2 OE 2
O·
10 2 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
∵CD=OrA-72 .2OD2 AD2
∴ r 2 18.72 r 7.22
解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段
和弧? 为什么?
C
线段: AE=BE
弧: A⌒C=⌒BC, ⌒ ⌒ AD=BD
·O
AE
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C ∵ CD是直径， CD⊥AB ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
·O
=BC,
温馨提示:
=BD.
AE D
B • 垂径定理是圆中一个重要的定理, 三种语言要相互转化,形成整体,
才能运用自如.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC=BC AD=BD
O
C
B
例1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
24.1.2 垂直于弦的直径(1)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它 的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中 点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱 的半径吗？
不借助任何工具，你能找到圆形纸 片的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形。任何 一条直径所在直线都是它的对称轴．
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
8、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
9.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，
半径、弦构成直角
三角形，便将问题
O
转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设
C
A AB所在的圆的圆心为O，半径为r.
经过圆心O作弦⌒AB的垂线OC垂足
D
B
为D，与AB交于点C，则D是AB
的中点，⌒C是AB的中点，CD就是
拱∴ 高A.B=37.4m，
C∴DA=D7=.21m/2 AB=18.7m，OD=OC- O
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
1、下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
A
O
A
E
B
D
c
D
B
O A
C
O E
BA
C
O EB D
是 不是 是
不是
2、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
OA ∴
AE
1
AB
4cm
2
OE 3cm
AEB
∴ AE AE 2 OE 2
O·
42 32 5cm
即⊙O的半径为5cm.
例2、如图，CD是⊙O的直径，弦
AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径
解C：D连的接长O。A，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
4.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 5.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
6.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
7.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
D
求弦AB的长。
A
F
E C
O B
10.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，
OB=5cm，OC=8cm，则AB=
；
A
O
45
┌
D
8
30°
B
C
你能利用垂径定理解决求赵 州桥拱半径的问题吗?
37.4m
7.2m
关于弦的问题，常
C
常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一
A
D
B 条非常重要的辅助 线。
圆心到弦的距离、