相对论质点力学方程

0.9999999997 问：此时电子的质量是其静止质量的几倍？
真空
解： 由 m
m0
1 v2 / c2
m
1
4.0825104
m0 1 v2 / c2
二、四维动量矢量
例: 已知细棒 固有长度 静止质量 质量线密度 若以速度 作下述运动
(A)
(B)
三、相对论质点力学方程 四维力矢量
Newton运动方程: F dP / dt
0
0
i c
F
'
u '
i
0 1 0 0
0 0 1 0
i
0 0
i c
F1 F2 F3
F
u
u
利用前三个分量方程，及 u u' /(1 u1 / c)
u'F '1 ( F1 F u / c) u u(F1 F u / c)
F'
u' 1
u'
1
1
u2 c2
1
1
u c
'2
2
解：S'系相对S系的运动速度为 v
由速度变换，有
u u' /(1 u1 / c)
四维力的变换： F' F
1
1
v2 c2
四、相对论力学方程的空间分量方程的意义
F
u
(
F
,
i c
F
u)
F
'
u' (F
',
i c
F
'
u
')
F' F
u'
F1' F2' F3'
uv/c/c
F
u
(F
,
i c
F
u)
P (P相，icm)
是合理的力学方程。
四、相对论力学方程的空间分量方程的意义
例：设在惯性系S中粒子运动速度为 u, 受到作用力为 F。
四维力可写作
F
u
(F
,
i c
F
u)
在S'系中，F '，u '
F
'
u'
(F
',
i c
F
'
u
')
求 F , F '的关系。
其中： u
2m0
2m '0
1
v c
2 2
m0' m0
1 v2 c2
分裂后每个粒子的静止质量为 m0' m0 1 v2 / c2
二、四维动量矢量
S S' v
B , mB
A, mA
uB ' v 2m uA ' v
O O'
x
也可以应用 S 系中分裂前后质量守恒关系求出：
2m0 1v2 / c2
m0'
1.不存在极限速度;
dt
2.牛顿方程在Lorentz变换下不能保持形式不变。
建立相对论力学方程的基本出发点： 1. 相对论力学方程在v c 情况下，回到牛顿方程;
2. 能量守恒，动量守恒等基本物理定律（与时、空对称 性有关）仍成立；
3. 相对论力学方程是Lorentz 变换下的协变式，即四维 张量方程。
——质速关系
物体的运动质量m与其静止质量m0和速度v 的关系。
电子质量随速度变化:
理4
论 结
3 2
果1
考夫曼的 实验结果
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
二、四维动量矢量
(1) 意义：质量具有相对性，揭示了物 质与运动的不可分割的属性。
(2) 极限速度原理：
m m0 1 (v )2 c
的三维速度。
令：
四维动量可以写为： P u (m0u, m0ic)
m um0
m0 1 u2 / c2
粒子以速率 u运动时的质量
运动质量（motion mass)
定义粒子运动质量与运动速度的
乘积为粒子的相对论动量:
P相 mu um0u
四维动量矢量可以写为： P = (P相，icm)
二、四维动量矢量
推广：相对论力学方程可表示为作用在粒子上的四维力，
等于粒子四维动量对固有时的变化率：
F
dP d 0
P = （P相，icm)
d0 是Lorentz 标量， F是 四维力矢量。
d 0 dt / u
F
u
dP dt
u
1 1 u2 / c2
相对论动量对时间微商应具有通常的三维力 F的意义， 四维力矢量的空间分量可以写为：
P前 2mvex
2m0v 1 v2 / c2
ex
分裂前后粒子质量守恒（注意：部分静止能量，转化为运 动的能量，分裂后粒子的静止质量不再是 m）0 。
二、四维动量矢量
S S' v
B , mB
A, mA
uB ' v 2m uA ' v
O O'
x
分裂后粒子质量假设为 m，0' m0' 可由分裂前后质量守恒求出。 在S'系中分裂前后质量守恒：
v →c 时，m → ∞， v ﹥c 时，m 无意义， v 不可能 超过光速 c 。只有静止质量为0的粒子，可达光速，如 光子等。
(3) v 0, m m0, 物体静止时质量最小。 v c , m m0
低速情况下物体质量几乎不变。
二、四维动量矢量
例: 用直线电子加速器可将电子的速度加速到接近光速。全 长约三公里多的斯坦福直线电子加速器曾将电子加速到
P后
mA uA
mA
2v
(1
v c
2 2
)
ex
m0' 1 uA2
/ c2
2v
(1
v c
2 2
)
e
x
m0'
1
1
2v v2 /
c
2
2
1 c2
(1
2v v
c
2 2
)
e
x
2m0' v
1
v2 c2
ex
2m0v
1
v2 c2
ex
所以在 S 系中粒子分裂前后仍有动量守恒。
二、四维动量矢量
讨论
m
m0 1 v2 / c2
dt
四、相对论力学方程的空间分量方程的意义
F dP相 dt
P相 mu
m0
u
1 u2 / c2
8
(2) 速度趋于光速情况下 u / c 1 7
m um0
6 5
m/mm/0m0
4
在有限力作用下，粒子加速度趋于 3 零，这就使粒子速度不可能超过真 2
空中光速。
由此表明：
F
u
dP dt
1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y
'
0
z' 0
10
0
y
0
0 1 0 z 0
10
0
y
0 1 0 z
w
'
i
0
0
w
sin
0
0
cos
w
回顾
x ' 0 0 i x cos 0 0 sin x
y
'
0
10
0
y
0
10
0
y
z' 0 0 1 0 z 0 0 1 0 z
下面验证：如果认为物体质量对速度的依赖关系由
m um0
m0 1 u2 / c2
S
S' v
给出 ，且 P相 mu , S 系
中的动量守恒就能成立。
B , mB
A, mA
uB ' v 2m uA ' v
O O'
x
v 解：两粒子静止质量都是 m0 ,分裂前在S 系的速度都是 ,
分裂前的总动量
回顾
Lorentz 变换的几何意义
四维空间： x ( x, y, z, w ict)
w
P
x (x, y, z, w)
Lorentz变换：四维空间 x ( x, y, z, w ict) O
x
在(x, w)平面内绕原点的转动变换。
x ' 0 0 i x cos 0 0 sin x
u'
F1 F u / 1 u1 / c
c
F1'
F1 F u / 1 u1 / c
c
四、相对论力学方程的空间分量方程的意义
F1'
F1 F u / 1 u1 / c
c
其中： 1/ 12, v/c
mA
2v 1v2 /
c2
2mv
1
2mv v2 /
c2
此式成立要求 v 0
为了使动量守恒定律在S系中成立，必须假设
mA , mB 都和速度有关。
二、四维动量矢量
三维动量： P mu
U u (u, ic)
推广：四维动量 P m0U
其中： m0静止质量（rest mass)
四维速度，其中 u是粒子运动
F dP相 / dt
u
dP相 dt
uF
三、相对论质点力学方程 四维力矢量
F
u
dP dt
P = （P相，icm)
F dP相 / dt
四维力的第四分量是:
F4
ic u
dm dt
m
m0
1 u2 / c2
dm dt
1 2
m0
1 c2
2u
du dt
(1 u2 / c2 )3/ 2
mu du dt
w ' i 0 0
w
sin
0
0
cos
w
tg i , cos 1 , sin i
12
12
虚角度的 三角函数
四维速度矢量
U
u (u, ic),
u
dr dt
,
u
1 1 u2 / c2
§2 相对论质点力学方程
§2 相对论质点力学方程
一、相对论质量
牛顿方程不符合狭义相对性原理要求： F dP
F
u
dP dt
F u mu du / dt u2 mu du mu du / dt c2 dm
c2 (1 u2 / c2 )
dt (1 u2 / c2 ) dt
由
F4
ic u
dm dt
F4
i c
u
F
u
和前面得到的三个空间分量：
u
dP相 dt
uF
合并，四维力可以写为：
F
u
(
F
,
i c
c2 (1 u2 / c2 )
另一方面：F dP相 d (mu) dm u m du
dt dt
dt
dt
F u dm u2 mu du
dt
dt
三、相对论质点力学方程 四维力矢量
F u dm u2 mu du
dt
dt
dm mu du / dt dt c2 (1 u2 / c2 )
一、相对论质量
物体的质量与其运动速度有关，是一个实验事实。
首先证明，为了动量守恒定律成立，必须把质量看成与运 动速度有关的量。
设S 系、S‘ 系特殊相关，总质量 2m 的粒子静止在S’
系中，于某时刻分裂成质量相等的两部分，mA mB m，
以大小相等、方向相反的速度分别沿 x方向飞离开:
SS'
v
2m
O' uB ' v
BA x
uA ' v
一、相对论质量
SS'
v
uB ' v 2m O'
BA x
uA ' v
在S系：分裂前总动量 (mA mB )v 2mv
分裂后 uB 0
2v uA 1 v2 / c2
ux
u 'x v
1
v c2
u 'x
一、相对论质量
动量守恒要求：
(mA
mB )v
m0' 1 uA2 / c2
m0'
1
1 1
v2 v2
/ /
c2 c2
即：
m0'
1
2ห้องสมุดไป่ตู้v2
/
c2
2m0 1v2 / c2
m0' m0
1
v2 c2
2v uA 1 v2 / c2
二、四维动量矢量
m0' m0
v2 1 c2
P前
2m0v 1 v2 / c2
ex
分裂后，在 S 系 B 粒子静止，A 粒子速度为 uA 1 v22v,/ c2
F
u)
功率
四、相对论力学方程的空间分量方程的意义
F＝ u
dP dt
F＝
u
(F,
i c
F
u)
P＝（P相，icm)
空间分量方程： uF
u
dP相 dt
即： F dP相
dt
P相 mu
m0
u
1 u2 / c2
讨论 （1）在低速情况下，u / c 0, P相 P
F dP相 dt
F dP Newton方程