第一章回溯法(习题二

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回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]

0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。

回溯法和分支限界法解决背包题

0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。

由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。

尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。

python回溯法例题

python回溯法例题回溯法是一种常用的算法思想，用于解决各种组合优化问题，尤其在解决NP完全问题方面有着广泛的应用。

本文将通过一个具体的例题来介绍和解释python回溯法的实现过程。

任务名称：python回溯法例题问题描述：给定一个由不同整数组成的数组nums，编写一个函数，返回所有可能的排列组合。

解题思路：要解决这个问题，我们可以使用回溯法来生成所有可能的排列组合。

回溯法是一种通过试错的方式搜索解空间的算法。

具体来说，我们从问题的一个初始解开始，通过一系列的决策，逐步构建问题的解，如果在构建的过程中发现当前的解不符合要求，我们就回溯到上一个状态，重新进行决策。

在本例中，我们可以使用一个递归函数来实现回溯法。

我们定义一个辅助函数backtrack，它接受一个当前的排列，一个用于标记数字是否被使用的数组，以及一个用于存储所有解的结果数组。

在函数中，我们首先检查当前的排列是否已经包含了所有的数字，如果是的话，我们将当前的排列添加到结果数组中。

然后，我们遍历所有的数字，对于每一个数字，如果它没有被使用过，我们将其添加到当前的排列中，然后递归调用backtrack函数，继续构建下一个数字。

最后，我们将当前的数字从排列中移除，以便进行下一次决策。

下面是具体的代码实现：```pythondef permute(nums):def backtrack(curr_perm, used, result):if len(curr_perm) == len(nums):result.append(curr_perm[:])else:for i in range(len(nums)):if not used[i]:curr_perm.append(nums[i])used[i] = Truebacktrack(curr_perm, used, result)used[i] = Falsecurr_perm.pop()result = []used = [False] * len(nums)backtrack([], used, result)return result```我们可以使用这个函数来解决给定数组的排列组合问题。

回溯法习题汇总

回溯法习题汇总1.1 马拦过河卒源程序名knight.???（pas, c, cpp）可执行文件名knight.exe输入文件名knight.in输出文件名knight.out【问题描述】棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。

卒行走的规则：可以向下、或者向右。

同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。

因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n, m)(n, m为不超过15的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

【输入】一行四个数据，分别表示B点坐标和马的坐标。

【输出】一个数据，表示所有的路径条数。

【样例】knight.in knight.out6 6 3 3 6【算法分析】从起点开始往下走(只有两个方向可以走)，如果某个方向可以走再继续下一步，直到终点，此时计数。

最后输出所有的路径数。

这种方法可以找出所有可能走法，如果要输出这些走法的话这种方法最合适了，但是本题只要求输出总的路径的条数，当棋盘比较大时，本程序执行会超时，此时最好能找出相应的递推公式更合适，详见后面的递推章节。

1.2 出栈序列统计源程序名stack1.???（pas, c, cpp）可执行文件名stack1.exe输入文件名stack1.in输出文件名stack1.out【问题描述】栈是常用的一种数据结构，有n令元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。

你已经知道栈的操作有两·种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。

现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。

请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。

【输入】一个整数n（1<=n<=15）【输出】一个整数，即可能输出序列的总数目。

算法习题回溯法

x[j] = 0;
}
}
main(){
ifstream fin("input.txt",ios::in);
fin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
fin>>c[i][j];
x[j] = 0;
}
cost+=c[i][i];
}
work(1,0);
void backtrack(int i){
if(i>n){
if(cw<sum)
sum = cw;
return ;
}
for(int j=1;j<=m;j++){
cw+=w[i][j];
cp+=c[i][j];
if(cw<sum && cp<=d)
backtrack(i+1);
cw-=w[i][j];
ofstream fout("output.txt",ios::out);
cout<<cost<<endl;
fout<<cost<<endl;
system("pause");
fout.close();
return 0;
}
cp-=c[i][j];
}
}
int main(){
ifstream fin("input.txt",ios::in);
fin>>n>>m>>d;

acm回溯例题

Begin{主程序} readln(s); n:=length(s); fillchar(can,sizeof(can),0); count:=0; try(1);{开始生成第一个字符} end.
3、有重复元素的全排列
输入n（<=10）个小些字母（可能重复），输出n个字符的全部排列。样例：输入： abaab 输出： 1:aaabb 2:aabab 3:aabba 4:abaab 5:ababa 6:abbaa 7:baaab 8:baaba 9:babaa 10:bbaaa
procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n-1 do write(b[i],' '); writeln(B[N]); end;
procedure try(i:integer);{要搜索第i个人可以借的书} var j:integer; begin if i=n+1 then print; {得到一组解} for j:=1 to n do if book[j] and (a[i,j]=1) then begin b[i]:=j; book[j]:=false; try(i+1); book[j]:=true; {回溯} end; end; Begin init; try(1); end.
var n,k,i,count:integer; a:array[1..100] of integer;{记录分解项} Procedure print(x);{输出分解方案} var i:integer; begin inc(count); write(count,':',n,'='); for i:=1 to k do write(a[i],‘+’);writeln(x);{输出分解方案} End; procedure try(x:integer);{要分解x，前面已有k项} var i,j:integer; begin print(x)； for j:=a[k] to x div 2 do{分解x=j + （x-j）：保证非递减} if (j>=a[k])and(x-j>=j) then begin inc(k); a[k]:=j; try(x-j); dec(k); end; end;

回溯法作业

回溯法作业答案1. 旅行商问题（作业实验)设有n个城市，城市之间道路的长度均大于或等于0，还可能是∞（对应城市之间无交通线路）。

一个旅行商从某个城市出发，要经过每个城市一次且仅一次，最后回到出发的城市，问他如何走才能使他走的路线最短？分析：旅行商问题对应的解的元组为n元组，其中假设第一个城市为1，则n元组中未确定的为剩下n-1个城市，元组为（1,x2,…,x n）,每个x i的取值为{2,…,n}；约束条件为已经经过的城市不能再走，最后回到出发城市。

算法：INPUT: n个城市分别为{1，2，…n},城市之间路径长度的矩阵d[i][j] 。

OUTPUT: 从城市1出发的最短巡回旅行路线及长度。

1. for k =1 to n2. c[k] =13. end for4. k =2,L=0,MinL=∞5. while k≥26. while c[k]≤n-17. c[k] =c[k]+18. L=L+d[c[k-1]][c[k]]9. if c为合法的thenMinL=min{MinL,L}, p[]=c[]10. else if c是部分解then11. if L>=MinL then continue12. else k =k+113. endif14. endif15. end while16. L=L-d[c[k-1]][c[k]]17. c[k] =118. k =k-119. end while20. output MinL, p[]2. 邮票问题(作业实验选做)设有已知面额的邮票m种（假设一定有面值为1的邮票；如果没有，连续值就从最小面额的邮票面额值开始），每种有n张，问用总数不超过n张的邮票进行组合，能组合的邮票面额中可以连续的面额数最多有多少？例如：n=4 m=3v1=1 v2=2 v3=4最后的解为14。

分析：第一种思路：邮票问题是从m种邮票中选择n张邮票，求所有可能取得的面额，最后在确定最大连续面额的值。

回溯法练习题

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意:只使用ANSI C/ANSI C++标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意:所有依赖的函数必须明确地在源文件中#include <xxx>，不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
a[k]++;
if(a[k] < 30 && k == n-1)
{
s = 0;
for(i = 0;i < n;i++)
s = s + 1 / a[i];
if(s < 1.000001 && s > 0.999999)//满足条件就输出
{
for(i = 0;i < n;i++)
cout<<"1"<<"/"<<a[i]<<" ";
/*
形如：1/a的分数称为单位分数。
可以把1分解为若干个互不相同的单位分数之和。
例如：
1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18
1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15
1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231
1/2 1/4 1/9 1/12 1/18
1/2 1/4 1/10 1/12 1/15

回溯算法经典问题

回溯算法经典问题请设计⼀个函数，⽤来判断在⼀个矩阵中是否存在⼀条包含某字符串所有字符的路径。

路径可以从矩阵中的任意⼀个格⼦开始，每⼀步可以在矩阵中向左，向右，向上，向下移动⼀个格⼦。

如果⼀条路径经过了矩阵中的某⼀个格⼦，则该路径不能再进⼊该格⼦。

分析：回溯算法这是⼀个可以⽤回朔法解决的典型题。

⾸先，在矩阵中任选⼀个格⼦作为路径的起点。

如果路径上的第i个字符不是ch，那么这个格⼦不可能处在路径上的第i个位置。

如果路径上的第i个字符正好是ch，那么往相邻的格⼦寻找路径上的第i+1个字符。

除在矩阵边界上的格⼦之外，其他格⼦都有4个相邻的格⼦。

重复这个过程直到路径上的所有字符都在矩阵中找到相应的位置。

由于回朔法的递归特性，路径可以被开成⼀个栈。

当在矩阵中定位了路径中前n个字符的位置之后，在与第n个字符对应的格⼦的周围都没有找到第n+1个字符，这个时候只要在路径上回到第n-1个字符，重新定位第n个字符。

由于路径不能重复进⼊矩阵的格⼦，还需要定义和字符矩阵⼤⼩⼀样的布尔值矩阵，⽤来标识路径是否已经进⼊每个格⼦。

当矩阵中坐标为（row,col）的格⼦和路径字符串中相应的字符⼀样时，从4个相邻的格⼦(row,col-1),(row-1,col),(row,col+1)以及(row+1,col)中去定位路径字符串中下⼀个字符如果4个相邻的格⼦都没有匹配字符串中下⼀个的字符，表明当前路径字符串中字符在矩阵中的定位不正确，我们需要回到前⼀个，然后重新定位。

⼀直重复这个过程，直到路径字符串上所有字符都在矩阵中找到合适的位置class Solution {public:bool hasPath(char* matrix, int rows, int cols, char* str){if(str==NULL||rows<=0||cols<=0)return false;bool *isOk=new bool[rows*cols]();for(int i=0;i<rows;i++){for(int j=0;j<cols;j++)if(isHsaPath(matrix,rows,cols,str,isOk,i,j))return true;}return false;}bool isHsaPath(char *matrix,int rows,int cols,char *str,bool *isOk,int curx,int cury){if(*str=='\0')return true;if(cury==cols){curx++;cury=0;}if(cury==-1){curx--;cury=cols-1;}if(curx<0||curx>=rows)return false;if(isOk[curx*cols+cury]||*str!=matrix[curx*cols+cury])return false;isOk[curx*cols+cury]=true;bool sign=isHsaPath(matrix,rows,cols,str+1,isOk,curx-1,cury)||isHsaPath(matrix,rows,cols,str+1,isOk,curx+1,cury)||isHsaPath(matrix,rows,cols,str+1,isOk,curx,cury-1)||isHsaPath(matrix,rows,cols,str+1,isOk,curx,cury+1);isOk[curx*cols+cury]=false;return sign;}};。

05回溯法

第5章回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。

当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。

在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。

扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

换句话说，这个结点不再是一个活结点。

此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法即·96· ACM 程序设计培训教程以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；5.1〖案例1〗组合问题找出从自然数1、2、……、n 中任取r 个数的所有组合。

例如n=5，r=3的所有组合为：（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5 （4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5 （7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5 （10）3、4、5则该问题的状态空间为：E={（x1，x2，x3）∣xi ∈S ，i=1，2，3}，其中：S={1，2，3，4，5} 约束集为：x1<x2<x3显然该约束集具有完备性。

回溯法实例详解（转）

回溯法实例详解（转）概念回溯算法实际上⼀个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是⼀种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到⽬标。

但当探索到某⼀步时，发现原先选择并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较⼤的问题都可以使⽤回溯法，有“通⽤解题⽅法”的美称。

基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。

当探索到某⼀结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。

（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若⽤回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可⾏的⼦树都要已被搜索遍才结束。

⽽若使⽤回溯法求任⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。

解题步骤　（1）针对所给问题，确定问题的解空间：⾸先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应⾄少包含问题的⼀个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索⼦集树，排列数及其他⼦集树概念：当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满⾜的某种性质的⼦集时，相应的解空间树称为⼦集树。

例如，0-1背包问题，要求在n个物品的集合S中，选出⼏个物品，使物品在背包容积C的限制下，总价值最⼤（即集合S的满⾜条件<容积C下价值最⼤>的某个⼦集）。

另：⼦集树是从集合S中选出符合限定条件的⼦集，故每个集合元素只需判断是否（0,1）⼊选，因此解空间应是⼀颗满⼆叉树回溯法搜索⼦集树的⼀般算法void backtrack(int t)//t是当前层数{if(t>n)//需要判断每⼀个元素是否加⼊⼦集，所以必须达到叶节点，才可以输出{output(x);}else{for(int i=0;i<=1;i++)//⼦集树是从集合S中，选出符合限定条件的⼦集，故每个元素判断是（1）否（0）选⼊即可（⼆叉树），因此i定义域为{0,1}{x[t]=i;//x[]表⽰是否加⼊点集，1表⽰是，0表⽰否if(constraint(t)&&bound(t))//constraint(t)和bound(t)分别是约束条件和限定函数{backtrack(t+1);}}}}　排列树概念：当问题是确定n个元素满⾜某种性质的排列时，相应的解空间称为排列树。

回溯课后测试讲解

【输出样例】perm.out aacc acac acca caac caca ccaa 6
5、子集和问题【问题描述】
子集和问题的一个实例（s,c)，其中s={x1,x2,x3…xn}是一个正整数的集合，c是一个正整数。
对于给定正整数的集合s={x1,x2,…,xn}和正整数c，编程计算s的一个子集s1,使得子集s1的和等于c. 【输入格式】第一行有2个正整数n和c，n表示s集合中元素的个数，c是子集和的目标值。第二行有n个正整数，表示集合s中的元素。【输出格式】一行数据，是子集的问题的解。当问题无解时，输出“No solution!”。【输入样例】subsum.in 5 10 2 2 6 5 4
1、全排列问题
输出自然数1~~n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。输入格式： n(1<=n<=9) 输出格式：由1~~n组成的所有不生产的数字序列，每行一个序列。输入样例：form.in 输出样例：form.out
3
v ar n,i:integer; ha:array[0..10] of boolean; l:array[0..10] of i nteger; procedure pri nt; v ar i:integer; begin write(l[1 ]); for i:=2 to n do wri te(' ',l[i]); writeln; end; procedure create (x:integer); v ar i:integer; begin if x>n then print // 位置排满则输出 else begin for i:=1 to n do // 选择位置可坐 if not ha[i] then begin // 递归回溯 ha[i]:=true; l[x]:=i; create(x+1); ha[i]:=false; end; end; end; begin read(n); for i:=1 to n do ha [i]:=false; // 初始化位置可排 create(1); end.

回溯算法的一些例题

回溯算法搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。

回溯是搜索算法中的一种控制策略。

它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。

如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。

按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。

递归回溯法算法框架[一]procedure Try(k:integer);beginfor i:=1 to 算符种数 Doif 满足条件 thenbegin保存结果if 到目的地 then 输出解else Try(k+1);恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}end;end;递归回溯法算法框架[二]procedure Try(k:integer);beginif 到目的地 then 输出解elsefor i:=1 to 算符种数 Doif 满足条件 thenbegin保存结果Try(k+1);end;end;例 1：素数环：把从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。

【算法分析】非常明显，这是一道回溯的题目。

从1 开始，每个空位有 20（19）种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。

第 20个数还要判断和第1个数的和是否素数。

〖算法流程〗1、数据初始化； 2、递归填数：判断第J种可能是否合法；A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；B、如果不合法：选择下一种可能；【参考程序】program z74;框架[一]var a:array[0..20]of byte;b:array[0..20]of boolean;total:integer;function pd(x,y:byte):boolean;var k,i:byte;begink:=2; i:=x+y; pd:=false;while (k<=trunc(sqrt(i)))and(i mod k<>0) do inc(k);if k>trunc(sqrt(i)) then pd:=true;end;procedure print;var j:byte;begininc(total);write('<',total,'>:');for j:=1 to 20 do write(a[j],' ');writeln;end;procedure try(t:byte);var i:byte;beginfor i:=1 to 20 doif pd(a[t-1],i)and b[i] thenbegina[t]:=i; b[i]:=false;if t=20 then begin if pd(a[20],a[1]) then print;endb[i]:=true;end;end;BEGINfillchar(b,sizeof(b),#1);total:=0;try(1);write('total:',total);END.通过观察，我们可以发现实现回溯算法的特性：在解决过程中首先必须要先为问题定义一个解的空间．这个空间必须包含问题的一个解。

回溯法练习2-1

1、序关系计数问题用关系’<’和’=’将3个数a、b和C依次排列有13种不同的关系：a<b<C，a<b=C，a<C<b，a=b<C，a=b=C，a=C<b，b<a<C，b<a=C，b<C<a，b=C<a，C<a<b，C<a=b，C<b<a。

输入n输出n个数依序排列时有多少种关系2、栈【问题背景】栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。

宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

【问题描述】宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）1113使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。

（原始状态如上图所示）你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

【输入格式】输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）【输出格式】输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目3、传染病控制【问题背景】近来，一种新的传染病肆虐全球。

蓬莱国也发现了零星感染者，为防止该病在蓬莱国大范围流行，该国政府决定不惜一切代价控制传染病的蔓延。

不幸的是，由于人们尚未完全认识这种传染病，难以准确判别病毒携带者，更没有研制出疫苗以保护易感人群。

于是蓬莱国的疾病控制中心决定采取切断传播途径的方法控制疾病传播。

回溯法01背包问题例题

回溯法是一种解决0-1背包问题的有效方法。

以下是使用回溯法解决0-1背包问题的具体步骤和例题：1.定义问题：假设有N件物品，每件物品有一定的重量Wi和价值Vi，背包能够承受的最大重量为W。

目标是选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的最大承重。

2.使用回溯法求解：回溯法的核心是深度优先搜索，通过尝试每一种可能性来找到最优解。

o初始化：将所有物品按照价值从大到小排序。

o递归函数：▪如果当前选择的物品重量超过了背包的承重，则返回（因为无法放入背包）。

▪如果当前选择的物品价值大于之前所有选择物品的总价值，则更新当前最大价值。

▪标记当前选择的物品为已选（例如，使用一个布尔数组表示）。

▪递归地尝试下一个物品。

o回溯：如果递归到最后一个物品，并且没有超过背包的承重，则将最后一个物品加入背包，并更新最大价值。

然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。

3.求解步骤：o初始状态：未选择任何物品，总价值为0。

o递归函数：对于每个物品i，如果未选择（即第i个物品的布尔数组标记为false），则执行递归函数。

如果选择了第i个物品，并且总价值大于当前最大价值，则更新最大价值。

标记第i个物品为已选。

然后递归地尝试下一个物品。

o回溯：如果尝试了所有物品都没有超过背包的承重，并且总价值大于当前最大价值，则将最后一个选择的物品加入背包，并更新最大价值。

然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。

4.例题：假设有3件物品，重量分别为20、15、10，价值分别为20、30、25，背包的承重为25。

根据回溯法求解的步骤如下：o首先尝试第一个物品（重量20，价值20）。

由于20>25，所以无法放入背包。

o接下来尝试第二个物品（重量15，价值30）。

由于15+20=35>25，所以也无法放入背包。

o然后尝试第三个物品（重量10，价值25）。

由于10+20=30<25，所以可以放入背包中。

此时的最大价值为25+25=50。

回溯法之旅行售货员问题

回溯法之旅⾏售货员问题问题描述:某售货员要到若⼲城市去推销商品，已知各城市之间的路程，他要选定⼀条从驻地出发，经过每个城市⼀遍，最后回到住地的路线，使总的路程最短。

算法描述：回溯法，序列树，假设起点为 1。

算法开始时 x = [1, 2, 3, ..., n]x[1 : n]有两重含义 x[1 : i]代表前 i 步按顺序⾛过的城市， x[i + 1 : n]代表还未经过的城市。

利⽤Swap函数进⾏交换位置。

若当前搜索的层次i = n 时，处在排列树的叶节点的⽗节点上，此时算法检查图G是否存在⼀条从顶点x[n-1] 到顶点x[n] 有⼀条边，和从顶点x[n] 到顶点x[1] 也有⼀条边。

若这两条边都存在，则发现了⼀个旅⾏售货员的回路即：新旅⾏路线），算法判断这条回路的费⽤是否优于已经找到的当前最优回路的费⽤bestcost，若是，则更新当前最优值bestcost和当前最优解bestx。

若i < n 时，检查x[i - 1]⾄x[i]之间是否存在⼀条边, 若存在，则x [1 : i ] 构成了图G的⼀条路径，若路径x[1: i] 的耗费⼩于当前最优解的耗费，则算法进⼊排列树下⼀层，否则剪掉相应的⼦树。

代码实现：#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int max_ = 0x3f3f3f;const int NoEdge = -1;int citynum;int edgenum;int currentcost;int bestcost;int Graph[100][100];int x[100];int bestx[100];void InPut(){int pos1, pos2, len;scanf("%d %d", &citynum, &edgenum);memset(Graph, NoEdge, sizeof(Graph));for(int i = 1; i <= edgenum; ++i){scanf("%d %d %d", &pos1, &pos2, &len);Graph[pos1][pos2] = Graph[pos2][pos1] = len;}}void Initilize(){currentcost = 0;bestcost = max_;for(int i = 1; i <= citynum; ++i){x[i] = i;}}void Swap(int &a, int &b){int temp;temp = a;a = b;b = temp;}void BackTrack(int i) //这⾥的i代表第i步去的城市⽽不是代号为i的城市{if(i == citynum){if(Graph[x[i - 1]][x[i]] != NoEdge && Graph[x[i]][x[1]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]] < bestcost || bestcost == max_)){bestcost = currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]];for(int j = 1; j <= citynum; ++j)bestx[j] = x[j];}}else{for(int j = i; j <= citynum; ++j){if(Graph[x[i - 1]][x[j]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[j]] < bestcost || bestcost == max_)){Swap(x[i], x[j]); //这⾥i 和 j的位置交换了, 所以下⾯的是currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]]; currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];BackTrack(i + 1);currentcost -= Graph[x[i - 1]][x[i]];Swap(x[i], x[j]);}}}}void OutPut(){cout << "路线为:" << endl;for(int i = 1; i <= citynum; ++i)cout << bestx[i] << "";cout << "1" << endl;}int main(){InPut();Initilize();BackTrack(2);OutPut();}View Code测试样例：实现结果：参考：王晓东《算法设计与分析》。

回溯例题

分析：此题数据较小，可以用回溯来做，通过搜索以指定字母为龙头的所有可分析能的接龙情况，从中找出长度最长的一条“龙”。为提高搜索效率，程序先进行预处理,建立常量表add[i,j]，表示第j个串连在第i个串之后能增加的长度。若第 j个串不能连在第i个串的后面，则add[i,j]=0。一个需要注意的地方是计算add[i,j] 的时候要计算最大可能值。例如：当第i个串和第j个串分别是ABABABAB和 ABABABC时，add[i,j]等于5而不等于1。
1 16 13 6
2 15 4 7
11 8 9 10
12 5 14 3
int a[11][11]; /*记录棋盘格子填数的状态*/ int used[101]; /*标记一个数是否用过*/
main() { scanf(“%d”,&n); for ( i=1; i<=2*nห้องสมุดไป่ตู้n;i++) /*用筛选法求素数表*| p[i]=1; for( i=2;i<=n*3/2 ;i++) { j=i*2; while (j<=2*n*n) { } } for( i=1;i<=n*n;i++) used[i]=0; a[1][1]=1; _______________; used[1]=1; _______________; try=(1,2,1); printf(“no”); } p[j]=0; j=j+i;
void try( int x,inty,int dep); { int i; /*已填好所有格子*/ dep==n*n if (___________) printf; else i=1;i<=n*n;i++ { for (______________) /*通过穷举为当前位置找数*/ if(__________________) /*i未用过且可填入格（x,y)中*/ !used[i] && ok(x,y,i) a[x][y]=i { _________; _________; used[i]=1 if (y==n) /*当前行填完，转下一行x列 try(x+1,x,dep+1) ； else if (x==n) /*当前列填完，转下一列y+1行*/ try(y+1,y+1,dep+1) else if(x<=y) try(x,y+1,dep+1) /*填本行下一列*/ else try(x+1,y,dep+1) /*填本列下一行*/ used[i]=0; } } }