2005-2006第二学期概率论与随机过程
概率论与随机过程----第四讲
2017/2/27
北京邮电大学电子工程学院
16
f 1 ,f 2为(,)上的实可测函数，则f = f 1 +i.f 2为复可测函数。 关于可测函数有下面的结论： 定理2.1.2 （1） f 是(,) 上的实可测函数 对xR~(1) ，{: f ()x} （2.1.3） （2） f = (f 1, f 2,… f n) 是(,)上的 n 维实可测函数 k=1,2,…， f k R~(1) 是(,) 上的实可测函数 证明： （1） 的必要性利用实可测函数的定义显然成立
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为此引入辅助集合类：
={C：CR， f -1(C))(f -1())} 只须证明是包含的-代数（略，见P25）。 （2.1.2)
假设该结论成立，则有：σ()
即： f -1 (σ()) f -1 () (f -1 ()) 定义2.1.2 设(,)，(R, )是可测空间（、分别是Ω、R 上的σ-代数），f 是Ω到R上的映射，若对每一个B，有f -1() ，称 f 是(,)到(R, )上的可测映射。 二、可测函数和随机变量 可测映射的具体化即为可测函数 (1) (1) 的可测映射，则 R , Б 定义2.1.2 设 f 是(,)到 ~ n ~ n 称 f 为(,)上的实可测函数；若 f 是 (,)到 R ,Б 上的可测映射，则称 f 为 (,)上的n维实可测函数。
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逆象具有如下性质：
f 1R ，f 1 f 1 B f 1B ，B R f 1B1 \ B2 f 1 B1 \ f 1B2 ，B1，B2 R 1 f Bt f 1Bt ，Bt R，t T T是任一指标集 t T tT
概率论复习(一)随机过程西电宋月
x ， y
( x 1 ) 2 2 1 2
所以X=x条件下Y的条件概率密度为
pY | X ( y | x )
p( x , y ) pX ( x )
2 2 (y x 2 1 ) 1 1 ] e xp[ 2 2 2 2 2 2 1 2 1
lim
0
F ( x, y ) F ( x, y )/ 2 FY ( y ) FY ( y )/ 2
F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
亦即 FX |Y
( x | y)
x
p( u, y )du pY ( y )
随机过程 Stochastic processes
西安电子科技大学
宋月
E-mail songyue25@
引言 本课程的研究对象
概率论主要是以一个或有限个随机变量为研究 对象的. 随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一切可 观察现象都具有随机性. 必须对一些随机现象的变化过程进行研究.即需 要研究无穷多个随机变量
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率 密度 1
pY | X ( y | x ) 1 x 0 0 x y1 其它
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 dx ln(1 y ) pY ( y ) f ( x, y )dx 0 1 x 0 其它
FX |Y ( x | y j ) P{ X x | Y y j }
xi x
p
p ij
j
xi x
p
概率论与随机过程----第二讲
B
n 1
n
λA
（由BnλA ，则A Bnλ() ，且A Bn
n 1 2017/2/27
A B
n
λA）
北京邮电大学电子工程学院 8
第一节 集合代数和σ -代数
2. λA是包含的λ-系
（λA ，只要证明对任意的B B λA 由B λ ()，Aλ ()
第一节 集合代数和σ -代数
简单回顾上一讲的内容： 1. 集代数、σ -代数、单调类、 ()、μ()的定义 2. 它们之间的关系
σ -代数（可列可加） 集代数（有限可加）
σ -代数 单调类 集代数+单调类 σ -代数 μ()、 () 是存在且唯一的 是集代数，μ() = ()
Ω=Aλ() ）
若B,C λA且B C，有B\C λA
（ 由B,C λA， 有B,Cλ() ，且对任意 取定的Aλ()，有A B,A Cλ() ； 然而A B A C ，必有(A C)\ (A B) λ() 即(A C)\ (A B) =A (C\B) λ()，即C\B λA
第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.10 设，是由Ω的一些子集组成的非空集合类， 且
1. 若为λ -系, 是π -系，则：σ () 2. 若为单调类, 是集代数，则： σ ()
证明1：由于 ，是包含的λ -系
则也包含所生成的最小λ -系λ ()，即λ () 而是π -系，由定理1.1.9：λ ()= σ ()
1. Ω ； 2. 若 A,B ，A-B ；
而A-B=A-(AB) ABA 因此： A-B
《概率论与随机过程》课程自学内容小结
大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：学号：任课教师：成绩：评阅日期：随机序列在通信加密的应用2015年10月10日摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。
但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。
本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。
1. 引言在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。
从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。
长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。
本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。
2. 自学容小结与分析2.1 随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。
特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==⎰+∞∞-(1)性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。
性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。
类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。
第2讲 第二章随机过程的概念
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
西安邮电学院2005-2006第一学期通信工程专业《概率论与随机过程》期末考试A卷及答案
上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为,4/14/304/12/14/104/14/3210210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)0135{1,1,1,2}P X X X X ====．8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτλτ-=e kA P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．图1上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线概率论与随机过程试题参考答案（A ）一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a 位男士和b 位女士不同的就座方式共有:()!1)!(-+=++b a ba b a 种当2a b +=，只有一种就坐方式，因此所求概率1P =；当2a b +>时，把甲乙两人看作一人，则()1-+b a 人的就座方式共为()!2-+b a 种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:2(2)!2(1)!(1)a b P a b a b ⨯+-==+-+-. 2. 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=.因此345~136101010X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3()()0;<=≤=当时，X F X P X x 134()()(3)10≤<=≤===当时，;X F X P X x P X 445()()(3)(4);10≤<=≤==+==当时，X F X P X x P X P X 5()()(3)(4)(5)1≥=≤==+=+==当时，X F X P X x P X P X P X .所求分布函数为0,3;1,34;10()4,45;101, 5.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 因为X 与Y 相互独立，所以()()()⎩⎨⎧>≤≤=⋅=-其他,00,10,,y x e y f x f y x f y Y X由卷积公式得()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z -⋅=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,又由已知可知，当⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，亦即⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，上述积分的被积函数不等于零，即可得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥-=⋅>-=⋅=------⎰⎰0001,111,11010z z e dx e z e e dx e z f z zx z z x z Z4. XY的分布律为Y X ⋅所以0831831)(=⨯+⨯-=X E ，0831831)(=⨯+⨯-=Y E ，0821821)(=⨯-⨯=XY E ， 故Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，即X 和Y 是不相关的。
《概率论与随机过程》第3章习题答案
《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。
概率论与随机过程第2章(15)
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
第1讲 概率论与随机过程1
老 大 徒 伤 悲
人生与品牌
少 壮 不 努 力
20岁——奔腾 30岁——日立 40岁——方正 50岁——微软 60岁——松下 70岁——联想
概率论与随机事件
主讲教师：李昌兴 联系电话：88166087，85383773 辅导教师： 联系电话： 工作单位：应用数理系工程数学教研室
电子信件: shuxueshiyanshi@163. com 辅导时间：待定
1. 在相同条件下 可以重复进行. 2. 试验的结果是 不明确的，也是不 唯一. 3. 每次试验只能 出现这些结果中的 一个，但试验之前 不能确定会出现那 个结果.
试验1
代表
确定性现象
每次试验之前，根据现有条 件能够判定它有一个明确结 果的现象称为确定性现象.
太阳每天早晨从东方升起 水从高处流向低处 同性电荷必然互斥
一幅图片是否漂亮？这依赖于每个人的主观意愿，不同人 的出发点不同，所看到的意境不同，就会得到不近相同的 结论. 其结论往往只可意会，不可言传. 换句话说：结论有 时说不太清楚，因为没有一个统一的标准能够度量.
高等数学、线性代数、 复变函数、大学物理等
确定性现象
气象预报 水文预报 地震预报 产品检验 数据处理 信号分析 可靠性理论 排队轮等 模糊控制 模糊逻辑 信息理论 图像融合 信号处理
一、绪论
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的 一门学科
每次试验之前，根据现有条件能够判定它有一个明确 结果的现象称为确定性现象. 在一次试验中其结果呈现出不确定性，而在大量重复 试验中其结果又具有统计规律的现象称为随机现象. 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,其结果是 不明确的，称为模糊现象.
试验1
1. 从中任取一个小球观察其颜色 以后，再放回，第二次从中在任期一 个小球，那么第一次所取小球与第二 次所取小球的条件相同. 即在相同的 条件下，试验可以重复进行. 2. 从中任取一个小球,其颜色都是 黑色，即在取出之前已经可以知道所 取小球的颜色为黑色. 换句话说：从 试验的已知条件可以推知试验的结果. 而且结果只能是一个. 也就是试验的 结果是唯一的，而且是明确的.
概率论与随机过程的起源、应用及在自动化专业上应用
概率论与随机过程的起源、应用及在自动化专业上应用1、概率论与随机过程的起源概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。
问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。
许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。
概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。
但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。
概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。
数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。
使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。
概率是随机事件出现的可能性的量度，是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
深圳大学 随机过程和随机分析教学大纲
第一节平稳马尔可夫链的基本概念与转移矩阵
第二节马尔可夫链的状态分类与性质
第三节极限分布、平稳分布与状态空间的分解
第四节马尔可夫链的应用举例、分枝过程
教学要求
了解：了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。了解分枝过程。
理解：理解极限分布、平稳分布与状态空间的分解。
掌握：掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，掌握转移概率、状态分类与性质。
（四）主要内容
随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析的学科，在金融、经济、管理、物理、生物、工程、心理学和计算机科学等方面都得到广泛的应用。本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，主要包括泊松过程与更新过程、离散时间与连续时间的马尔可夫链、平稳过程、布朗运动与随机积分初步。
理解：理解随机积分的定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与基本性质。
掌握：掌握高斯过程、布朗运动的定义与基本性质。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为54学时，安排在第六学期，每周3学时，上课18周。具体分配如下：
第一章随机过程的概念与基本类型4学时
第二节更新方程与更新定理
第三节更新定理的应用
第四节更新定理的推广
教学要求
了解：了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。
掌握：掌握更新过程的定义和基本性质、更新函数、更新方程。
第四章离散时间的马尔可夫链
教学目的
掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟悉掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程。
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
概率论与数理统计经典课件随机过程
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
初等概率论知识体系与随机过程课程之间的区别与联系
初等概率论知识体系与随机过程课程之间的区别与联系
初等概率论知识体系与随机过程课程之间的区别与联系
一、概率论知识体系与随机过程课程的不同
1.概率论知识体系是一门学科，强调的是概率模型的建立，概率本质的理解，概率统计数据的应用，概率问题的解决等方面；而随机过程课程则是介绍了随机过程的基本概念、分析及应用等，本质上来说，这是一门应用概率论的课程。
2.概率论知识体系通常涉及的学科领域比较广泛，比如统计学、数学、信息论、信号处理和通信技术等，这些领域紧密相连，往往要求学习者具备相应的知识结构和技能；而随机过程课程的内容比较集中，一般涉及到统计学和数学两个领域。
3.概率论知识体系的学习重点在于掌握概率模型、概率本质、概率统计数据和概率问题解决，同时要求学习者具备较广泛的学科背景；而随机过程课程的重点则主要在于概率论知识的运用，对学科背景的要求可以比较宽松。
二、概率论知识体系与随机过程课程的关联
概率论知识体系和随机过程课程是密切相关的学科，它们有着相互补充和支持的作用。
概率论知识体系为随机过程课程中的概率理论带来基本的框架和基础，而随机过程课程则提供了对概率理论的实际应用，从而帮助概率论的应用技术得以更好地发挥。
随机过程课件第1讲
如：
1/2
pj
-1
1
x
2）时间离散——样本函数 xi (t ) 在时间t上也是离散的(序列)。
) X i(t
+1
取值离散
t
-1
二、按随机过程的概率分布或性质来分类 1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程——其每一个状态Xj 均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。 2)、平稳随机过程——过程的一阶，二阶矩不随时间的变 化而变化 3)、独立增量过程——每一个状态的增量之间相互独立。 三、按随机过程的样本函数的可确定性来分类 1）、确定的随机过程 2）、不确定的随机过程
随机过程的基本概念
1. 随机信号的概念
确定信号－－随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函 数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它 未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的 还是这种波形。 随机信号－－随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用 确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。 这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。
k
0
j
t
2）状态连续——状态取值连续，即幅度上也连续。当t固定时，其 状态Xj是连续型随机变量。 如其概率密度
fj(xj)
xj
2
离散型随机过程 X(t,ζ)
1）状态离散——当t固定时，状态Xj取值离散如（－1，1）,其 状态是离散型随机变量。其概率分布如：
Pj 1 2
−1
0
1
xj
2）时间连续——当ζ固定时，其样本函数 xk (t) 是时间t的连续函 数如： xk (t)
随机信号分析与处理是一门研究随机信号的特点与规律 的学科。 随机信号处理已是现代信号处理的重要理论基础和有效 方法之一。
第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版
知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？
举例说明
..\2005\应用举例.ppt
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 3
第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念：
随机试验 E ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性——不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间Ω——随机试验所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 10
第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
C是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含C。为什么？
。 由于 F 是一个σ -代数，且C F
是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
2017/11/2
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
2017/11/2 6
北京邮电大学电子工程学院
第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A满足：
1. Ω A ；
2. 若AA ，有 A A （余运算封闭）； 3. 若 A, B ∈ A ，有 A B A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
《概率论与随机过程》第2章习题答案
a2 2
cos(0
)
2.12
若随机过程并
t
的导数存在，求证：
t
d t
dt
dR t，t
dt
t
d t
dt
E
X
(t
)
lim
t 0
X (t
t) t
X (t)
证：
lim
t 0
3
f (x,6) 1 (x 2) (x 5) (x 7)
3
F(x,6) 1 U(x 2) U(x 5) U(x 7)
3
fX
(
x1,
x2
,
2,
6)
1 3
(
x1
3)
( x2
5)
( x1
4)
( x2
7)
(
x1
6)
F
x;1 以及二维分布
F
x1
,
x2
;
1 2
,1
解： f x, 1 0.5 x 0.5 x 1
2
Fx
x,
1 2
0.5 pcos
2
x
0.5 p2 *
1 2
x
0.5 px
0
3
3
E[X(6)]= 1 (2 5 7) 14
概率论与随机过程
概率论与随机过程
概率论是一种数学理论，用于研究不确定的事件发生的可能性，或者说是某件事情发生的条件下，其结果发生的可能性。
随机过程是一种时间上变化的随机变量集合。
它是在某一时刻开始，然后不断变化以至于终止时，其值发生改变。
它可以用来描述某些事件概率的变化情况。
概率论和随机过程之间的关系是：概率论提供了一种方法，用于计算随机变量在某一特定时间的可能性，而随机过程则是一种描述随机变量演化情况的方法。
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
《概率统计与随机过程》课程教学大纲
《概率统计与随机过程》课程教学大纲课程编号：课程名称：概率统计与随机过程课程英文名：Probability, statistics and random processes课程类型：本科专业必修课前导课程：高等数学信号与系统教学安排：总学时54学时授课对象：电子信息工程专业本科生所用教材：《概率论与数理统计》盛骤、谢式千、潘承毅编著高等教育出版社 2001版一、教学目的本课程是电子信息工程专业大学本科生的必修课，也是一门专业基础理论课，为本科生学习现代信号与信息处理理论、现代通信理论、控制理论等提供有关概率论、数理统计和随机过程理论等方面的基础理论知识。
二、课程简介该课程是电子信息工程系的一门重要基础课程。
本课程的主要目的在于使学生熟悉和掌握概率、统计和随机过程的基本概念及分析方法，深入了解随机变量的统计特征、数理统计的基本方法、随机过程的平稳性和几类重要的随机过程。
在学习本课程前，学生需要具备高等数学和信号与系统等方面的知识。
本课程主要讲授概率论、数理统计和随机过程的基本理论，有关应用等问题属于控制理论、信号处理、检测与估计理论等，不在本课程讲授范围之内。
三、教学内容第一章概率论的基本概念（7课时）1、引言2、随机试验3、样本空间、随机事件4、频率与概率5、等可能概率（古典概率）6、条件概率7、独立性第二章随机变量及分布（8课时）1、随机变量2、连续型随机变量及其分布律3、随机变量的分布函数4、连续型随机变量及其概率分布5、随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其分布（6课时）1、二维随机变量2、边缘分布3、条件分布4、相互独立的随机变量5、两个随机变量的函数的分布第四章随机变量的数学特征（5课时）1、数学期望2、方差3、协方差及相关函数第五章大数定律及中心极限定理（3课时）1、大数定律2、中心极限定理第六章样本及抽样分布（2课时）1、随机样本2、抽样分布第七章参数估计（6课时）1、点估计2、估计量的评选标准3、区间估计4、正态总体均值与方差的区间估计第八章假设检验（6课时）1、假设检验2、正态总体均值的假设检验3、正态总体方差的假设检验第九章随机过程及其统计描述（3课时）1、随机过程的概念2、随机过程的统计描述3、泊松过程及维纳过程第十章马尔可夫链（3课时）1、马尔可夫过程及其概率分布2、多步转移概率的确定3、遍历性第十一章平稳随机过程（5课时）1、平稳随机过程的概念2、各态历经性3、相关函数的性质4、平稳随机过程的功率谱密度四、教材1、《概率论与数理统计辅导》傅维潼编著清华大学出版社 2001年五、主要教学参考书1、《概率、随机变量与随机过程》周荫清编著北京航空航天大学出版社 1989年2、《随机过程习题集》周荫清、李春升编著北京航空航天大学出版社 1987年3、《概率论》第三册"随机过程" 复旦大学编著人民教育出版社 1981年4、《概率论与数理统计》上、下册中山大学数学系编著人民教育出版社 1980年5、《概率论与数理统计》浙江大学数学系编著人民教育出版社 1979年6、《概率论》第一册"概率论基础" 复旦大学编著人民教育出版社 1979年信息工程学院电子信息工程系（执笔者：赵晓旭）。
概率统计和随机过程课件第十一章：随机过程引论
随机过程的概率分布函数
定义
概率分布函数是描述随机过程取值范 围的函数，它给出了随机过程在任意 时刻取值小于或等于某个值的概率。
性质
计算方法
通过积分计算随机过程取某个区间的 概率，即概率分布函数的积分。
概率分布函数具有非负性、规范性和 单调不减性。
随机过程的数字特征
01
02
03
04
均值
描述随机过程的平均水平或中 心趋势的量。
独立性
如果两个随机过程在时间上互不相关，即它们的统计特性相互独立，则称这两个随机过程 为独立的。独立性是描述两个随机过程之间关系的重要性质。
遍历性
如果一个随机过程的统计特性在时间上趋于稳定，即随着时间的推移，该随机过程的概率 分布或均值等统计量趋于某个常数，则称该随机过程具有遍历性。遍历性是描述一个随机 过程长时间行为的重要性质。
04
随机过程的高频性质
随机过程的频谱分析
频谱分析
频谱分析是研究随机过程频率域特性的方法，通过将时间 域的随机过程转换为频率域进行分析，可以揭示随机过程 的频率结构和特征。
离散频谱与连续频谱
根据随机过程的时间离散程度，频谱可以分为离散频谱和 连续频谱。离散频谱对应于离散时间随机过程，连续频谱 对应于连续时间随机过程。
概率统计和随机过程课件 第十一章：随机过程引论
• 随机过程引论 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的变换与运算 • 随机过程的高频性质 • 随机过程的应用
01
随机过程引论
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间中的变化。它描述了一个随机现象在连续时间或离散时间下的变化规律。
分类
随机过程在信号处理中的应用
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（1） 1 、 1 ； （2） 1 、 1 ；（3） 1 、 1 ； 4） 1 、 1 .
2
2
2
2
3．设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从参数为 1 的 0-1 分布，则随机变 2
量 Z max{X ,Y}的分布律是( ).
(1)
Z
0
1
(2)
Z
0
1
2
P
0.5
0.5
P
0.25 0.5 0.25
线
线
订
班内序号 :
订
9．有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只， 其中 18 只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取两次做不放回抽样， 求：（1）第一次取得零件是一等品的概率；（2）已知第一次取得的零件是一等品， 第二次取到的零件也是一等品的概率。
装
6
3
6
试求概率 P{X (0) 1, X (1) 0, X (2) 2}及极限分布。
总 印 600 份
8. 设 X (t) a cos( t ),t (,) ，其中 a 和 是常数， 是在 (0, 2 ) 上 服从均匀分布的随机变量．讨论随机过程 X (t) a cos( t ) 的各态历经性．
装
封
姓名:
上
密
专业班级 :
西安邮电学院试题专用纸
共3 页
第1页
总印
西安邮电学院 2005--2006 学年第二学期期末试题卷
考试专业级别: 通信工程专业 考试课程：概率论与随机过程 (B)
题 号
一
1
2
3
二
456
7
8
总分 9
得 分
阅 卷5．设随机变量 X1, X 2 ,, X n , 相互独立，且服从同一分布，其分布律
订
装
装
封
姓名:
上
密
专业班级 :
Z
0
1
Z
0
1
(3)
(4)
P
0.75 0.25
P
0.25
0.75
4．将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，
则 X 和 Y 的相关系数等于( ).
（1） 1 （2） 0
（3） 0.5
(4) 1
共3页
第2页
总 印 600 份
3. 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y 在 1～X 中等可能地取一整数值．试求 (X ,Y ) 的分布律及关于 X ,Y 的边缘分布律．
西安邮电学院试题专用纸
线
线
订
订
班内序号 :
4.
设二维随机变量 (X ,Y) 的密度函数为
f
(x,
y)
1 2
,
0,
证 X 和Y 是不相关的，但 X 和Y 不是相互独立的．
x2 y2 2, 其他.
试验
6. 研究一机械装置，设它在[0,t) 内发生“震动”的次数 N(t) 是强度为 5（次
/h）的泊松过程，并且当第 100 次“震动”发生时，此机械装置发生故障，试求(1) 这一装置寿命的概率密度；(2)这一装置的平均寿命；（3）相继两次“震动”时间间 隔的概率密度；（4）相继两次“震动”的平均时间.
P( X j
(1) j1 3 j ) 2a j3
( j 1,2,) ，则辛钦大数定理对此序列(
).
（1）适应
（2）不适应
（3）当常数 a 取适当的数值时适应 （4）无法判别
二、计算题（共 9 小题，每小题满分 10 分，共 90 分）
1．甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能破译出的概率分别为 1 3 , 1 4, 1 5 ．试求：（1）恰有一人能破译出的概率； (2) 密码能被破译的概率．
5．某单位内部有 260 部电话分机，每部分机有 4%的时间使用外线与外界通 话，可以认为每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能 以 95% 把 握 保 证 各 分 机 在 用 外 线 时 不 必 等 候 ．（ (1.64) 0.9495 ，
(1.65) 0.9505 ， (1.66) 0.9515 ）
西安邮电学院试题专用纸
线
线
订
班内序号 :
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西安邮电学院 2005--2006 学年第二学期期末试题卷
考试专业级别: 通信工程专业 考试课程：概率论与随机过程 (A)
题 号
一
1
2
3
二
456
7
8
总分 9
得 分
阅 卷 人
总 印 600 份
(附卷纸 2 页)
5．设随机变量 X1, X 2 ,, X n ,相互独立，且服从同一分布，其分布函数为
4
8
P(AC) 0 ．求：（1） A, B,C 都发生的概率；（2） A, B,C 至少有一个发生的概率；
(3) A, B,C 都不发生的概率．
答卷说明:1.本试题共两大题,满分 100 分，考试时间 2 小时，试题共 6 页，请 考生先阅读完试题，察看有无缺页、重页，如有缺页、重页，请立刻向监考人 员询问具体事宜；2.解答应写出必要文字说明和重要的演算步骤，只写出答案 的不得分;3.试题解答过程写在相应题目的空白处,否则不得分.
装
装
上
封
姓名:
密
专业班级 :
西安邮电学院试题专用纸
共3 页
第3页
7．设齐次马氏链{X (n),n 1}的状态空间 I {0,1,2}，一步转移概率矩阵为
1/ 2 1/ 3 1/ 6
P 1/ 3 2 / 3
0
，
0 1/ 2 1/ 2
它的初始状态的概率分布为
P{X (0) 0} 1 ， P{X (0) 1} 2 , P{X (0) 2} 1 ，
F ( x) a 1 arctan x ， b 0，则辛钦大数定理对此序列(
).
b
（1）适应
（2）无法判别
（3）当常数 a, b 取适当的数值时适应 （4）不适应
二、计算题（共 9 小题，每小题满分 10 分，共 90 分）
1．设 A, B,C 是三个事件， P(A) P(B) P(C) 1 , P(AB) P(BC) 1 ,
一、选择题（在每个小题的四个被选答案中，选出一个正确的答案， 并将其号码填在题后的括号内，每小题 2 分，共 10 分。）
1．设 0<P(A)<1,0<P(B)<1 P( A | B) P( A | B) 1,则( ).
（1）事件 A 与 B 不相容
（2）事件 A 与 B 相互对立
（3）事件 A 与 B 不独立
（4）事件 A 与 B 相互独立
2 ． 设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 F( x) A B arctan x
( x )，则常数 A、B 分别等于(
).
2．
设随机变量 X
的密度函数为
f
(x)
ax,
0,
0 x 1, 其他.
（2） X 的分布函数 F(x) ．
试求：（1）常数 a ；