概率统计知识点汇总
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
(完整版)(最全)高中数学概率统计知识点总结
(完整版)(最全)高中数学概率统计知识点总结-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。
4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程：ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关；ˆ0:b <负相关。
3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析1、残差：ˆˆi i i ey y =-（残差=真实值—预报值）。
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
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概率统计一,统计初步1.简单随机抽样简单随机抽样是不放回抽样,被抽取样本的个体数有限,从总体中逐个地进行抽取,使抽样便于在实践中操作．每次抽样时,每个个体等可能地被抽到,保证了抽样的公平性．实施方法主要有抽签法和随机数法．2.系统抽样(1)定义：当总体元素个数很大时,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样,也称作等距抽样．(2)系统抽样的步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号．②分段．先确定分段的间隔k.当Nn(N为总体中的个体数,n为样本容量)是整数时,k＝Nn；当Nn不是整数时,通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N′能被n整除,这时k＝N′n.③确定起始个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S.④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S加上间隔k,得到第2个个体编号S ＋k,再将(S＋k)加上k,得到第3个个体编号S＋2k,这样继续下去,获得容量为n 的样本．其样本编号依次是：S,S＋k,S＋2k,…,S＋(n－1)k.3．分层抽样(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时,按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层,然后按照各层在总体中所占的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫做分层抽样．分层抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解,明确分层的界限和数目,分层要恰当．(2)分层抽样的步骤①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本．(3)分层抽样的优点分层抽样充分利用了己知信息,充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性．使样本具有较好的代表性,而且在各层抽样时,可以根据具体情况采取不同的抽样方法,因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．4.绘制频率分布直方图把横轴分成若干段,每一段对应一个组距,然后以线段为底作一矩形,它的高等于该组的频率组距,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中,纵轴表示“频率/组距”,数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示,各小矩形的面积总和等于1.5．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中,且位数不多时,用茎叶图表示数据的效果较好,它较好的保留了原始数据信息,方便记录与表示,但当样本数据较多时,茎叶图就不太方便．6．平均数、中位数和众数(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数．(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列,当数据有奇数个时,处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时,处在最中间两个数的平均数,是这组数据的中位数．(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多,且出现的次数一样,这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数)．(4)在频率分布直方图中,最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等,因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．7．方差、标准差(1)设样本数据为x1,x2,…,x n样本平均数为x－,则s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x n－x－)2]＝1n[(x12＋x22＋…＋x n2)－n x2]叫做这组数据的方差,用来衡量这组数据的波动大小,一组数据方差越大,说明这组数据波动越大．把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差．(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,其中极差反映了一组数据变化的最大幅度．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小．8.两个变量的线性相关(1)散点图将样本中n个数据点(xi,yi)(i＝1,2,…,n)描在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系．(2)正相关、负相关如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关．反之,如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关．9．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图,②求回归直线方程,③用回归直线方程作预报．(1)回归直线：观察散点图的特征,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线．(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为(x i,y i)(i＝1,2,…,n),则回归直线方程y^＝a^＋b^x的系数为：⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x ·y ∑i ＝1n x i 2－n x 2＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n (x i －x －)2a^＝y －－b ^x 其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ,y －＝1n ∑i ＝1n y i ,(x －,y －)称作样本点的中心． a ^,b ^表示由观察值用最小二乘法求得的a ,b 的估计值,叫回归系数．10.独立性检验(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,则这些变量称为分类变量．(2)两个分类变量X 与Y 的频数表,称作2×2列联表.二．随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件．(2)在条件S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母,,,A B C 表示． 2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上,把这个常数记作()p A ,称为事件A 的概率,简称为A 的概率．3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即A B 为不可能事件(A B φ=),则称事件A 与事件B 互斥,其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．一般地,如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.对立事件：若不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即A B 为不可能事件,而A B 为必然事件,那么事件A 与事件B 互为对立事件,其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件,但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算 B 或A B +) B (或AB ) B 为不可能事件B φ= B 为不可能事件B 为必然事件与事件B 互为对立事件 B φ=且B =Ω5.随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()p A . 由定义可知()01p A ≤≤,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：()01p A ≤≤.(2)必然事件的概率：()1p A =.(3)不可能事件的概率：()0p A =.(4)互斥事件的概率加法公式：①()()()p A B p A p B =+(,A B 互斥),且有()()()1p A A p A p A +=+=． ②()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++ (12,,,n A A A 彼此互斥)．(5)对立事件的概率：()()1P A P A =-．三．古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m . 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性．概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.四．几何概型1．（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.（2）随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab 语言中,应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数.2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例,则称这样的概率模型为为几何概率模型,简称几何概型．（2）特点：①无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．（3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题,与两个变量有关就是二维的问题,与三个变量有关就是三维的问题）；接着,如果是一维的问题,先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等）,最后代公式()p A =构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积；如果是二维、三维的问题,先设出二维或三维变量,再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件,作出两个区域,最后计算两个区域的面积或体积代公式.（4）求几何概型时,注意首先寻找到一些重要的临界位置,再解答.一般与线性规划知识有联系.3．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积。
高中数学概率与统计知识点
高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。
而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。
对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。
2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。
5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。
相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。
2)必然事件与任何事件都是相互独立的。
3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。
6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。
概率 统计知识点总结
概率统计知识点总结一、概率统计基本概念1. 随机事件和样本空间在概率统计中，随机事件是指在一次试验中可能发生的结果，例如抛硬币的结果可以是正面或反面。
样本空间是指所有可能的结果的集合，例如抛硬币的样本空间为{正面，反面}。
2. 概率和基本概率公式概率是指某一事件在所有可能事件中发生的频率，通常用P(A)表示。
基本概率公式是P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间的大小。
3. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，通常表示为P(A|B)。
4. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，意味着事件A的发生不受事件B的影响，其概率关系为P(A∩B)=P(A)×P(B)。
二、概率统计的数据分析方法1. 描述性统计描述性统计是对数据进行总结和描述的方法，包括平均数、中位数、众数、标准差、极差等指标，用来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形状。
2. 探索性数据分析探索性数据分析是一种用图表和统计分析方法探索数据背后的规律和结构的方法，通过绘制图表和计算相关指标，发现数据之间的关系、趋势和异常值。
3. 统计推断统计推断是根据样本数据对总体参数进行推断的方法，包括点估计和区间估计，以及假设检验。
三、概率统计的应用1. 随机过程随机过程是研究随机事件随时间或空间变化的规律性的数学模型，包括马尔可夫过程、布朗运动、泊松过程等，广泛应用于金融、电信、生物等领域。
2. 统计建模统计建模是根据数据建立数学模型，预测未来的趋势和规律，包括线性回归模型、时间序列模型、机器学习模型等。
3. 贝叶斯统计贝叶斯统计是一种基于贝叶斯定理的概率统计方法，它将先验信息和样本数据结合起来，进行参数估计和模型推断，常用于医学、生态学、市场营销等领域。
四、概率统计的挑战和发展1. 大数据与统计随着大数据时代的到来，传统的统计方法和模型已经无法满足大规模、高维度、非结构化数据的分析需求，需要发展新的统计方法和算法。
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高中数学概率统计知识点总结一、抽样方法1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法:（1）抽签法；⑵随机数表法.3．系统抽样:K （抽样距离)=N （总体规模）/n （样本规模）4．分层抽样：二、样本估计总体的方式1、用样本的频率分布估计总体分布(1）频率分布直方图的画法；（2)频率的算法；（3）频率分布折线图；（4)总体密度曲线；（5）茎叶图。
化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶）,列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数的算法;（2）标准差、方差公式.3、样本均值:nx x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==三、两个变量的线性相关1、正相关2、负相关正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增) 负相关:自变量增长，因变量减少(即单调递减)四、概率的基本概念(1）必然事件（2）不可能事件（3)确定事件（4)随机事件（5)频数与频率（6)频率与概率的区别与联系必然事件和不可能事件统称为确定事件1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值，概率是准确值4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率进行定量分析，首先要知道系统各元件发生故障的频率或概率.事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数.频率是个试验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值。
因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小虽然概率能精确反映事件出现可能性的大小,但它通过大量试验才能得到，这在实际工作中往往是难以做到的.所以，从应用角度来看，频率比概率更有用，它可以从所积累的比较多的统计资料中得到需要指出的是用频率代替概率，并不否认概率能更精确、更全面地反映事件出现可能性的大小，只是由于在目前的条件下，取得概率比取得频率更为困难。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结基本概念：随机事件：在一次试验中可能发生的结果。
例如，抛硬币的结果可以是正面或反面。
样本空间：所有可能的结果的集合。
例如，抛硬币的样本空间为{正面,反面}。
概率：描述随机事件发生可能性的数学工具。
当重复试验的次数n逐渐增大，频率值会趋于某一稳定值，这个值就是概率。
事件之间的运算律：包括交换律、结合律、分配律和摩根定理。
频率与概率：频数：事件A发生的次数。
频率：频数除以总数。
概率的性质包括：P(空集)=0，有限可加性，加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，以及古典概型中利用排列组合求解简单问题的概率。
条件概率：指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。
相关的有乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)，以及全概率公式与贝叶斯公式。
独立性检验：如果两个事件A和B满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立。
概率分布：描述了随机变量可能取值的概率情况。
分为离散分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布等）和连续分布（如均匀分布、正态分布、指数分布等）。
总体、单位和样本：总体：待认识的客观事物的全体。
单位：组成总体的各个个体。
样本：总体的部分单位组成的集合。
标志、指标、参数和统计量：标志：分为品质标志（如性别）和数量标志（如收入）。
指标：反映现象总规模、总水平的统计指标称为数量指标；反映现象相对水平和工作质量的统计指标称为质量指标。
参数：用来描述总体的特征。
这些知识点构成了概率统计的核心内容，广泛应用于各个领域，从科学研究到日常生活决策，都起着重要的作用。
高中数学概率与统计知识点总结
概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差(一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥,则()P A B =()()P A P B +.推广：如果事件1A ,2A ,…,n A 两两互斥(彼此互斥),那么事件12n A A A +++发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率的和,即()12n P A A A +++=()()()12n P A P A P A ++.②若事件B 与事件A 互为对立事件,则()P A =()1P B -. 2.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．(二)随机变量的分布列、期望与方差1. 常用的离散型随机变量的分布列(1)二项分布如果随机变量X 的可能取值为0,1,2,…,n ,且X 取值的概率()P X k ==C k k n kn p q-(其中0,1,2,,,1k n q p ==-),其随机变量分布列为X 0 1 …k…nP0C nnp q111C n np q-…C k k n knp q-…0C n n n p q则称X 服从二项分布,记为(),X B n p ~.(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为C C C k n kM N Mn N--()0,10,1,2,,2,,k m =,其中{}min ,m M n =,且n N …,M N …,n ,M ,*N ÎN .此时称随机变量X 的分布列为超几何分布列,称随机变量X 服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率 I.条件概率条件概率一般地,设A ,B 为两个事件,且()0P A >,称()()()P ABP B A P A=为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.在古典概型中,若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数,则()()()()()n AB P AB P B A n A P A ==. II .相互独立事件相互独立事件(1)若,A B 相互独立.则()P AB =()()P A P B .(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. III .独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布在n 次独立重复试验中,事件A 发生k 次的概率为(每次试验中事件A 发生的概率为p)()C 1n kkknp p --,事件A 发生的次数是一个随机变量X ,其分布列为()01)2()C 1(n kk knP X k k n p p -===-¼，，，，,此时称随机变量X 服从二项分布. 学科*网3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差 (1)若离散型随机变量X 的概率分布列为的概率分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称EX =1122i i n n x p x p x p x p ++++¼+¼为随机变量X 的均值或数学期望. (2)若Y aX b =+,则EY =aEX b +,)(D aX b +=2a DX (3)若()X B n p ～，,则EX np =.()(1)D X np p -=. 4.正态分布(1)正态曲线的性质：正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x m =对称；③曲线在x m=处达到峰值12πs；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当s 一定时,曲线的位置由m 确定,曲线随着m 的变化而沿x 轴平移,⑥当m 一定时,曲线的形状由s 确定,s 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；s 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率 ①0().6826P X m s m s -<+=…；②2209().544P X m s m s -<+=…； ③3309().974P X m s m s -<+=…. 二、统计与统计案例 (一)抽样方法 1．简单随机抽样设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N …,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当Nn是整数时,取N k n =．如果遇到Nn不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k …．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +,再加k 得到第3个个体编号()2l k +,依次进行下去,直到获取整个样本．直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．层抽样．注：注：不论哪种抽样方法不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的． （二）统计图表的含义 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．列频率分布表． (5)画频率分布直方图．画频率分布直方图． （三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即x =()121n x x x n+++．4．方差：()()()2222121n s x x x x x x n éù=-+-++-êúëû(n x 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数)．5.标准差：()()()222121ns x x x x x x n éù=-+-++-êúëû．（四）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)相关系数相关系数r ＝ååå===----ni nj jini i i y y x x y y x x 11221)()())((,当0r >时,表示两个变量正相关；当0r <时,表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1r =时,两个变量在回归直线上两个变量在回归直线上 2．回归直线方程 (1)通过求21()ni i i Qy x a b ==--å的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的a ,b 的值即分别为aˆ,b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ,22(,)x y ,…,()n n x y ,,其回归方程为a x b y ˆˆˆ+=,则1122211()()ˆ()ˆˆnn i i i i i i n ni ii i x x y y x y nx yb x x x nxa y bx ====ì---×ï==ïí--ïï=-ïîåååå．注：样本点的中心(),x y 一定在回归直线上． （3）相关系数22121ˆ()1()n i ii ni i y yR y y ==-å=--å．2R 越大,说明残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；2R 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中,2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,2R 越接近于1,表示回归的效果越好． （六）独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量．像这样的变量称为分类变量．（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y ,它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ,其样本频数列联表（称为22´列联表）为表）为y 1 y 2 总计总计x 1 a b a b + x 2 cdc d +总计a c +b d +a b c d +++构造一个随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值0k ,如果2K 的观测值0k k …,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。
概率与统计 知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率论的基本概念1. 随机试验与样本空间随机试验是一种具有随机性质的实验，样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币的结果可以是正面或者反面，样本空间为{正面，反面}。
2. 事件与概率事件是样本空间的子集，概率是事件发生的可能性大小。
概率的性质包括非负性、规范性和可列可加性。
3. 条件概率与独立事件条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
两个事件相互独立是指它们的发生不会相互影响。
4. 随机变量与概率分布随机变量是随机试验结果的量化表达，概率分布描述了随机变量各个取值的概率。
常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
5. 随机变量的期望和方差期望是随机变量平均取值的大小，方差是衡量随机变量取值波动程度的指标。
二、统计学的基本概念1. 总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中选择出来的一部分。
2. 参数与统计量总体的特征量称为参数，样本的特征量称为统计量。
统计量是对参数的估计。
3. 抽样分布当从总体中多次抽取样本，统计量的分布称为抽样分布。
中心极限定理指出，大量独立同分布的随机变量的和的分布近似服从正态分布。
4. 点估计与区间估计点估计是用样本统计量估计总体参数，区间估计是用区间来估计参数的取值范围。
5. 假设检验假设检验是对总体参数的某些假设进行检验，包括原假设和备择假设。
6. 方差分析与回归分析方差分析用于比较多个总体均值是否相等，回归分析用于研究自变量与因变量之间的关系。
三、概率与统计在实际应用中的意义1. 产品质量控制概率与统计的方法可用于产品质量的抽样检验、质量控制图的绘制、质量误差的分析等方面，帮助企业提高产品质量。
2. 金融风险管理在金融行业，概率与统计的方法被广泛应用于风险评估、股票价格预测、投资组合管理等方面，为投资者提供科学的决策依据。
3. 医学研究概率与统计的方法可用于临床试验设计、医学数据分析、疾病发病率估计等领域，为医学研究提供科学的数据支持。
高中数学概率统计知识点总结
高中数学概率统计知识点总结一、基本概念随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，称为相对于条件S的随机事件。
必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，称为相对于条件S的必然事件。
不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，称为相对于条件S的不可能事件。
确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件。
频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
二、概率的计算互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
独立事件的概率乘法公式：如果事件A与事件B独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
古典概型及其概率计算公式：如果试验的样本空间S只包含有限个样本点，且每个样本点发生的可能性相同，则称这种概率模型为古典概型。
在古典概型中，事件A的概率P(A)等于事件A包含的样本点个数除以样本空间S中样本点的总数。
三、随机变量及其分布随机变量：在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量称为随机变量。
随机变量可以是离散型或连续型。
离散型随机变量的分布列：对于离散型随机变量X，其所有可能取值的概率组成的列表称为X的分布列。
期望与方差：随机变量的期望值表示随机变量取值的平均水平，方差表示随机变量取值与其期望值的离散程度。
四、几何概型几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
几何概型的概率计算：在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)等于区域d的测度与区域D的测度的比值。
以上是高中数学概率统计的主要知识点。
掌握这些知识点并灵活应用于解题中，是学好数学概率统计的关键。
概率统计中考知识点总结
概率统计中考知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在概率统计中，我们通常用P(A)表示事件A发生的概率，该概率的取值范围是0≤P(A)≤1。
当P(A)=1时，表示事件A一定发生；当P(A)=0时，表示事件A一定不会发生；当0<P(A)<1时，表示事件A可能发生，但也可能不发生。
2. 概率的加法公式当事件A和事件B互斥时，它们的概率之和等于它们发生的并集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
当事件A和事件B不互斥，即存在交集时，加法公式可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
3. 概率的条件概率条件概率表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
条件概率的计算在很多实际问题中都有着重要的应用，比如医学诊断、金融风险管理等领域。
4. 概率的独立性两个事件A和B称为相互独立，如果它们的发生不会相互影响，即P(A|B)=P(A)或者P(B|A)=P(B)。
在概率统计中，独立事件的性质给予我们便利的计算条件，简化了问题的复杂性。
5. 随机变量和概率分布随机变量是取值不确定的变量，它可以是离散型的也可以是连续型的。
在概率统计中，我们通常用概率分布来描述随机变量的分布规律。
常见的概率分布包括二项分布、正态分布、泊松分布等，它们在实际问题中有着广泛的应用。
6. 统计推断统计推断是利用样本数据对总体特征进行推断和估计的过程。
在统计学中，我们通常使用点估计和区间估计来估计总体参数的值，同时利用假设检验来对统计推断进行检验。
7. 相关性和因果关系在概率统计中，我们也经常研究变量之间的相关性和因果关系。
相关性研究变量之间是如何随着变化而变化的规律，而因果关系则研究变量之间的因果关系。
这些研究成果在科学研究和实际问题中都有着重要的应用价值。
以上是概率统计中的一些重要知识点总结，概率统计在现代社会中有着广泛的应用，我们需要认真学习和掌握这些知识，以便更好地理解和应用在实际问题中。
高考概率统计知识点汇总
高考概率统计知识点汇总概率统计作为数学的一个重要分支，是高中数学中的一项重要内容，也是高考中难度较大的一部分。
掌握概率统计的知识点对于高考取得好成绩至关重要。
本文将对高考概率统计的知识点进行汇总介绍，帮助考生更好地备考。
一、基本概念与定义1. 概率的概念：概率是对一件事件发生的可能性进行量化的数学方法。
常用的表示方式有百分数、小数和分数。
2. 随机事件与样本空间：随机事件指的是具有不确定性的事件，而样本空间是指所有可能结果的集合。
3. 必然事件和不可能事件：必然事件是一定会发生的事件，概率为1；不可能事件是一定不发生的事件，概率为0。
二、基本计算方法1. 乘法定理：乘法定理是指当两个随机事件A、B同时发生时，它们的概率等于事件A发生的概率乘以在A发生条件下事件B发生的概率。
2. 加法定理：加法定理是指当两个互斥事件A和B中至少一个事件发生时，它们的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
3. 条件概率：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
计算条件概率时，需要用到乘法定理。
4. 独立事件：独立事件是指两个事件A和B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响。
对于独立事件来说，它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
三、概率分布1. 随机变量与概率分布：随机变量是指在随机试验中可能取得的各个值，概率分布是指随机变量取各个值的概率。
2. 离散型随机变量与离散概率分布：离散型随机变量是指可以取一定个数值的随机变量，离散概率分布是指离散型随机变量取各个值的概率。
3. 连续型随机变量与连续概率分布：连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意值的随机变量，连续概率分布是指连续型随机变量取某个区间的概率。
四、抽样与估计1. 简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中依概率挑选出样本的方法，以确保样本能够代表总体。
2. 参数与统计量：参数是指总体中的某个特征值，统计量是指样本中的某个特征值。
概率和统计知识点总结
概率和统计知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性的数学工具。
在概率论中，我们研究的对象是随机实验，即是某种条件下可能出现的各种可能和其相应的概率。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率的定义和性质等。
样本空间是指随机实验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集，即是样本空间中的某一部分。
事件的概率就是事件发生的可能性。
概率的定义有频率派和贝叶斯派的不同观点，频率派认为概率是频率的极限，贝叶斯派认为概率是主观的相信程度。
概率的性质包括非负性、规范性、可加性等。
2. 常见的概率分布在概率论中，概率分布是表示随机变量取值可能性的函数。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是一个随机变量只有两个可能取值的概率分布，二项分布表示的是n重伯努利试验的概率分布，泊松分布描述的是单位时间或单位面积内随机事件出现次数的概率分布。
连续型概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布描述的是在一定范围内随机变量取值均匀分布的概率分布，正态分布是一种对称的连续型概率分布，指数分布描述的是一个随机事件首次发生的时间间隔的概率分布。
3. 统计参数估计统计参数估计是利用样本数据估计总体参数的方法。
在统计学中，总体参数是描述总体特征的变量，样本是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计包括点估计和区间估计。
点估计是用样本数据估计总体参数的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找数据使得似然函数最大化的方法来估计总体参数，矩估计是利用样本矩来估计总体矩。
区间估计是用样本数据估计总体参数的区间范围。
区间估计的原理是通过置信区间来估计总体参数的范围，通常使用样本均值和标准差来构建置信区间。
4. 假设检验假设检验是统计学中用来验证总体参数的方法。
在假设检验中，我们设定一个或者两个关于总体参数的假设，然后利用样本数据进行检验。
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
概率统计知识点归纳
概率统计知识点归纳概率统计是数学的一个分支，研究与描述随机现象的规律和特征。
本文将归纳概率统计的一些重要知识点，包括基本概念、概率分布、参数估计、假设检验等。
1.基本概念概率统计的基本概念包括随机试验、样本空间、事件、概率以及随机变量等。
-随机试验指的是具有不确定性的实验，其结果有多种可能性。
-样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
-事件是样本空间的子集，表示一些结果的集合。
-概率是事件发生的可能性，用一个介于0和1之间的数值表示。
-随机变量是定义在样本空间上的函数，将每个结果映射到一个实数。
2.概率分布概率分布描述了随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
重要的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
-离散概率分布是指随机变量只能取到有限个或可数个值的分布。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
-连续概率分布是指随机变量可以取到任意实数值的分布。
常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
3.参数估计参数估计是通过已知样本数据来估计总体参数的过程。
常见的参数估计方法有点估计和区间估计。
-点估计是通过选择一个统计量来估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和最小二乘估计等。
-区间估计是通过给出总体参数一个区间范围来估计参数的值。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计等。
4.假设检验假设检验用于确定观察到的样本数据是否支持或反对一些关于总体的假设。
假设检验中包括原假设和备择假设。
-原假设是对总体参数的其中一种假设，例如总体均值等于一些值。
-备择假设是对原假设的补充，如总体均值不等于一些值。
-假设检验的步骤包括建立假设、选择显著水平、计算检验统计量、计算p值和作出决策等。
5.相关性分析相关性分析用于研究两个或多个变量之间的相关性程度。
常见的相关性分析方法有协方差和相关系数。
-协方差是衡量两个变量之间关系强弱和方向的统计量。
协方差为正表示两个变量正相关，为负表示两个变量负相关。
高考数学概率统计知识点(大全)
高考数学概率统计知识点（大全）高考数学概率统计知识点一、随机事件(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A—B可以表示成A与B 的逆的积。
(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。
(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。
二、概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。
三、概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)—P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A—B)=P(A)—P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A—B)=P(A)—P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)。
它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai)。
它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1，A2，...，An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式。
(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n，k)p^k(1—p)^(n—k)，k=0，1，2，...，n。
当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式。
概率与统计基本知识点总结
概率与统计基本知识点总结1.概率理论：概率的定义：概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的数表示。
概率的基本性质：概率值在0到1之间，且所有可能事件的概率之和为1事件的独立性：两个或多个事件相互独立，意味着一个事件的发生不受其他事件发生与否的影响。
加法法则：若A和B是两个事件，则它们联合发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积。
条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率，表示为P(A，B)。
贝叶斯定理：根据已知的条件概率，求解另一个条件概率的计算公式。
2.随机变量与概率分布：随机变量：将随机事件的结果映射到实数上的变量。
离散型随机变量：取有限个或可数个值的随机变量。
连续型随机变量：取任意实数值的随机变量。
概率分布：描述随机变量取各个值的概率的函数。
离散型概率分布：包括离散均匀分布、二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布：包括连续均匀分布、正态分布、指数分布等。
期望：随机变量的平均值，反映其分布的中心位置。
方差：随机变量偏离其均值的程度，反映其分布的离散程度。
3.统计推断：总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
参数与统计量：总体的数值特征称为参数，样本的数值特征称为统计量。
抽样分布：样本统计量的概率分布。
中心极限定理：在一定条件下，样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布。
置信区间：用样本统计量作为总体参数的估计范围。
假设检验：通过对样本数据的分析，判断总体参数是否满足其中一种假设。
概率统计知识点汇总
概率统计知识点汇总1．分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在第二类方案中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n 个不同的步骤，完成第一步有m 1种不同的方法，完成第二步有m 2种不同的方法，……，完成第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法． 3．两个原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4．排列与排列数公式 (1)排列与排列数从n 个不同元素中取出m m ≤n 个元素――――――――→按照一定的顺序排成一列排列―――――→所有不同排列的个数排列数(2)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！.(3)排列数的性质 ①A nn ＝n ！； ②0！＝1. 5．组合与组合数公式 (1)组合与组合数从n 个不同元素中取出m m ≤n 个元素――――→合成一组组合――――――→所有不同组合的个数组合数(2)组合数公式C m n＝A mn A m m＝nn －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.(3)组合数的性质①C 0n ＝1； ②C mn ＝C n －mn ； ③C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1.6．排列与组合问题的识别方法7．二项式定理(1)定理： (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(2)通项：第k ＋1项为：T k ＋1＝C k n an －k b k.(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C kn (k ＝0,1,2，…，n )． 8．二项式系数的性质9．概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 10．事件的关系与运算11．理解事件中常见词语的含义：(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ； (3)A ，B 都不发生的事件为A －B －；(4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A －B －. 12．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (E )＝1. (3)不可能事件的概率：P (F )＝0.(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．13．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 14．基本事件的特点(1)任意两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 15．古典概型（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相等．（2）古典概型的概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.16．几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．（2）几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的 所构成的区域长度面积或体积.17．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P AB P A ＝n ABn A．(2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 18．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．19．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 20．离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )； ②∑ni ＝1p i ＝1. 21．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C kM C n －kN －MC n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称（3①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．②在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率．22．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为<1>均值：称E (1122i i n n 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．<2>方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差．<3>均值与方差的性质E aX ＋b ＝ D aX ＋b ＝(a ，b 为常数)．<4>两点分布与二项分布的均值、方差23.(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；(3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (7)正态分布的三个常用数据(不需记忆) ① P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6； ② P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③ P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4. 24．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样． (2)常用方法：抽签法和随机数表法． 25．系统抽样(1)步骤：①先将总体的N 个个体编号；②根据样本容量n ，当N n 是整数时，取分段间隔k ＝N n； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )； ④按照一定的规则抽取样本．(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时． 26．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．27．三种抽样方法的比较(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． 29．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 30．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指 的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 31．样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把a 1＋a 2＋…＋a nn称为a 1，a 2，…，a n 这n 个数的平均数．(4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据 标准差为s ＝1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2]方差为s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]32．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 33．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中 ，a ^＝y －b ^x .(3)通过求Q ＝ (y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数：当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 34．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：K 2＝n ad －bc 2a ＋ba ＋cb ＋dc ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．。
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概率第一章
(一)概率的加减乘除运算
(二) 概率的计算
1. 古典概型的计算
2. 条件概率的计算
(三) 全概率公式与贝叶斯公式
(四) n 重伯努利试验
概率第二章
（一）随机变量分布函数
1. 分布函数的定义及性质
2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率
（二）离散型随机变量
1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列
分布列要满足的条件
2. 由分布列会求解分布函数
3. 由分布函数会求解分布列
4. 掌握三个常见的离散型随机变量
（三）连续型随机变量
1. 由分布函数会求解分布密度
2. 由分布密度会求解分布函数
3. 利用分布密度求解未知参数
4. 掌握三个常见的连续型随机变量
（四）随机变量函数的分布
1. 离散型随机变量的函数
2. 连续型随机变量的函数
概率第三章 二维随机向量
(一)联合分布函数的定义及性质
联合概率分布函数定义为____),(=y x F
联合分布函数的性质：
___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F
用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤<y Y y x X x P
(二)二维离散型随机向量
____)(互不相容时，,特别的，当____,)(.1=⋃=⋃B A P B A B A P ____)-(时，特别的，当____,)(.2=⊂=-B A P A B B A P ____)(独立时，,特别的，当___,)(____)()(.
3=⋅=⋅=AB P B A B P A P AB P ____
)(.4=B A P
1.具体问题会求解联合分布列
2.给出联合分布列会求解边际分布列
3.会判断Y X ,是否独立
(三)二维连续型随机向量
1.由联合分布密度会求解未知参数
2.由联合分布密度会求解边际分布密度
3.由联合分布密度会求解）
,（Y X 落入指定区域的概率 4. 会判断X ,Y 是否独立
(四)二维随机向量函数的分布
1. ）,（Y X 为二维离散型随机向量
2. ）,（Y X 为二维连续型随机向量－卷积公式
概率第四章
(一)期望
1. 期望的计算
2. 期望的性质
(二)方差
1. 方差的计算
2. 方差的性质
(三)协方差
1. 协方差的计算
2. 协方差的性质
(四)相关系数
1. 相关系数的计算
2. 不相关的定义
(五)切比雪夫不等式
概率第五章
(一) 大数定律
1. 依概率收敛
2. 频率与概率的关系
3. 大数定律的判定
(二)中心极限定理
统计第六章
(一) 统计学基本概念
1. 总体
2. 简单样本
3. 统计量
4. 分位数
(二) 统计学常用分布
1. 2 分布
2. T 分布
3. F分布
(三) 抽样分布定理(统计学三大随机变量)
统计第七章
(一)参数的矩估计
(二)参数的最大似然估计
(三)六个常见分布的矩估计和最大似然估计
(四)估计量的评选标准
(五)区间估计
统计第八章
(一)假设检验的两类错误及其关系
(二)显著性检验。